高考圆锥曲线综合题型分析

一、求轨迹方程：

1、（1）已知双曲线1C 与椭圆

2C ：22

136

49

x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之

比为7

3

，求双曲线1C 的方程．

（

2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,2e =

由1273e e =得1e =设双曲线的方程为

2

2

221(,0)y x a b a b -=>则22222

13139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪

⎩ 解得22

9,4a b == 双曲线的方程为22

194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00

62

2

x x y y +⎧

=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．

代入2

008y x =得：2

412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．

2、设M 是椭圆22

:

1124

x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．

解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠

则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分

2

2

112

222

1,(1)12

4 1.(2)

124

x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3

MN QN k k ∙=-…6分又MN ⊥MQ ，

1

1

1,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-

所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为

1

1

.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为

所求的轨迹方程. 二、中点弦问题：

3、已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>

的一个焦点1(0,F -

，对应的准线方程为4

y =-.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

平分，求直线l 的方程.

解：（1

）由2

222.c a

c a b c ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪

⎪=+⎩

3,1a b ==

即椭圆的方程为2

2

1.9

y x +=

（2）易知直线l 的斜率一定存在，设l ：313,.2222k y k x y kx ⎛

⎫-=+=++ ⎪⎝

⎭即

设M （x 1, y 1），N （x 2, y 2），由2

23,221.

9k y kx y x ⎧

=++⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩

得2222

327(9)(3)0.424k k x k k x k +++++-= ∵x 1、x 2为上述方程的两根，则222

2

327(3)4(9)042

4k k k k k ⎛⎫

∆=+-+⋅+-> ⎪⎝⎭

①

∴2

122

3.9k k x x k

++=-+ ∵MN 的中点为13,22P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

，∴1212 1.2x x ⎛⎫+=⨯-=- ⎪⎝⎭ ∴22

3 1.9k k k +-=-+ ∴22

39k k k +=+，解得k=3.

代入①中，229927184(99)180424⎛⎫

∆=-+⋅+-=> ⎪⎝⎭

∴直线l ：y=3x+3符合要求.

4、已知椭圆的一个焦点为)22,0(1-F ，对应的准线为4

2

9-=y ，离心率e 满足34,,32e 成等比数列．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点B A ,，且线段AB 恰好被直线2

1

-=x 平分？若存在，求出直线l 的倾斜角α的取值范围；若不存在，说明理由．

解 ： (Ⅰ)由题意知，9834322

=⋅=

e ，所以3

22=e ． 设椭圆上任意一点P 的坐标为),(y x ，则由椭圆的第二定义得，

3

224

29)22(2

2=

+++y y x ，化简得1922=+y x ，故所求椭圆方程为1922

=+y x ． （Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，AB 中点),(00y x M ，依题意有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+=-=+=22

122

10210y y y x x x ，可得

⎩⎨

⎧=+-=+0

212121

y y y x x ． 若直线l 存在，则点M 必在椭圆内，故19)21(2

02<+-y ，解得023

3233000<<-<

将),(),,(2211y x B y x A 代入椭圆方程，有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+

)2(19)1(192

2222

121y x y x

)1()2(-得，09

)

)(())((1212

1212=+-++-y y y y x x x x ， 故0

121212122)

1(9)(9y y y x x x x y y k AB -⨯-

=++-=--=， 所以AB k y 290=， 则有029

233233290<<-<<

AB

AB k k 或， 解得33-<>AB AB k k 或， 故存在直线l 满足条件，其倾斜角)3

2,2()2,3(π

ππ

πα⋃∈． 三、定义与最值：

5、已知动点P 与双曲线22x －3

2

y =1的两个焦点F 1、F 2的距离之和为6．

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）若1PF •2PF =3，求⊿PF 1F 2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M 、N 在轨迹C 上且

，求实数的取值范围．

解：①92x +4

2

y =1；②2；③[51,5]

四、弦长及面积：