陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习考试讲义第40课时等差数列理

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课题：等差数列
考纲要求：
① 理解等差数列的概念.
② 掌握等差数列通项公式与前n 项和公式.
③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题. ④ 了解等差数列与一次函数的关系 教材复习
1.等差数列的判定方法：
()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；
()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列； ()3通项公式法：n a kn b =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；
()4前n 项求和法：2n S pn qn =+（*n N ∈）⇔{}n a 为等差数列；
2.等差数列的相关性质:
()1等差数列{}n a 中，()m n a a m n d =+-，变式m n
a a d m n
-=
-；
()2等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --L L 仍为等
差数列．
()3等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+，
284
若2m n p +=，则2m n p a a a +=
()4等差数列{}n a 中，2n S an bn =+（其中1
,02
a d d =
≠） ()5两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．
()6若{}n a 是公差为d 的等差数列,则其子列2,,,k k m k m a a a ++L
也是等差数列,
且公差为md ; {}n ka 也是等差数列,且公差为kd
()7在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中； 在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．
()8等差数列{}n a 中，n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
也是一个等差数列，即点(),n n a （*n N ∈）在一条直线上; 点()
,n S n n （*n N ∈）在一条直线上.
()9两个等差数列{}n a 与{}n b 中,,n n S T 分别是它们的前n 项和,则21
21
n
n n
n a
S b T --=
. 典例分析：
考点一 等差数列的基本计算
问题1．()1（01全国）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的 积为48，求1a ()2（04全国Ⅰ文）等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知1030a =，
2050a =， ①求通项n a ； ② 若242n S =，求n
考点二 等差数列性质的应用
问题2．()1(03北京春)在等差数列}{n a 中，已知1234520a a a a a ++++=， 则3a = .A 4 .B 5 .C 6 .D 7
285
()2（08届高三湖南师大附中第二次月考）在等差数列{}n a 中，
18153120a a a ++=，则9102a a -= .A 24 .B 22 .C 20 .D 8-
()3（04全国理Ⅱ）等差数列}{n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，
则此数列前20项和等于 .A 160 .B 180 .C 200 .D 220
()4（04东北三校）设等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，若28515a a a +=-，
则9S = .A 60 .B 45 .C 36 .D 18
考点三 等差数列的函数特征
问题3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S < (Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出1S ,2S ,…,12S ，中哪一个值最大,并说明理由
问题4．等差数列}{n a 中，55S =-，1015S =，求数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T
考点四 等差数列的判定与证明
问题5． 已知数列}{n a 的前项和为n S ，且120n n n a S S -+⋅=()2n ≥，112
a =
286
()1求证：1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，()2求n a 的表达式.
问题6．在数列{}n a 中，13a =-，1223n n n a a -=++（n ≥2，n N +
∈）.
()1求23,a a 的值；()2设32
n n n
a b +=（n N +
∈），求证：{}n b 是等差数列.
课后作业：
1.填空：()1若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有 项；
()2等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是
()
3若{}n a 是公差为2-的等差数列,如果1472890a a a a +++⋅⋅⋅+=,那么
287
46850a a a a +++⋅⋅⋅+=
2.含21n +个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为
.
A 21n n + .
B 1n n + .
C 1n n - .
D 1
2n n
+
3.已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为
85
9
，求这5个数
4.等差数列{}n a 中共有21n +项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项.
5.（06宿迁模拟）已知数列{}n a 中32a =，71a =，若11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
为等差数列，则11a =
.A 0 .B 12 .C 2
3
.D 2
6.（06潍坊模拟）等差数列{}n a 中，18a =，52a =，若在每相邻两项之间各插入一个
数，使之成为等差数列，那么新的等差数列的公差是 .A 34.B 34-.C 6
7
- .D 1-
7.在等差数列{}n a 中，()353a a ++710132()24a a a ++=，则此数列的前13项之和等于
288
.A 13 .B 26 .C 52 .D 156
8.（06江南十校）
已知函数()31
x
f x x =+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ ()1求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列；()2记()212n
n n x x x S x a a a =++⋅⋅⋅+，求()n S x .
5.（06汕头模拟）已知数列}{n a 中，13
5
a =
，数列112n n a a -=-
（2,*n n N ∈≥）数列{}n b 满足1
1
n n b a =
-（*n N ∈）. ()1求证：数列{}n b 是等差数列；()2求数列}{n a 的最大项与最小项，并说明理由.
289
走向高考：
1.（03全国）等差数列{}n a 中，已知11
3
a =，254a a +=，33n a =，则n 是
.A 48 .B 49 .C 50 .D 51
2.（02春高考）
设{}n a （*n N ∈）是等差数列，n S 是前n 项和，56S S <，678S S S =>， 则下列结论错误的是 .A 0d < .B 70a = .C 95S S > .D 6S 与7S 均为n S 的最大项
3.（04福建文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
5359a a =，则95
S S =
.A 1 .B 1- .C 2 .
D 2
1
4.（06全国Ⅱ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
3613S S =，则612
S
S = .
A 310 .
B 13 .
C 18 .
D 1
9
5.（06福建）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++=
.A 40 .B 42 .C 43 .D 45
6.（06广东）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则
其公差是 .A 5 .B 4 .C 3 .D 2
290
7. (06陕西文) 已知等差数列{}n a 中，288a a +=，则该数列前9项和9S 等于
.A 18 .B 27 .C 36 .D 45
8. (06江西文) 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2
110n n
n a a a +--+=(2)n ≥，则214n S n --= .A 2-
.B 0
.C 1
.D 2
9. (06全国Ⅰ文) 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =
.A 8 .B 7 .C 6 .D 5
10. (06山东文) 等差数列{}n a 中，414S =，10730S S -=，则9S =
11.（03
上海春）设()f x =
，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得(5)(4)(0)(5)(6)f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=
12.
（2013新课标全国Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = .A 3 .B 4 .C 5 .D 6
291
13.（07海南）已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =
.A 23
-
.B 13
-
.
C 1
3
.
D 23
14.（07陕西文）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则6S 等于
.A 12 .B 18 .C 24
.D 42
15.（07辽宁）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则 789a a a ++= .A 63 .B 45 .C 36 .D 27
16.（2013全国大纲）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项公式.。