初三总复习—圆的复习

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初三数学圆的总复习

内切
两个圆有且仅有一个公共点，且该点在两个圆的内部时，称这两个圆内切。
圆与圆的相交
相交
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。此时两个公共点连成的线段叫做两圆的公共弦。
特殊相交
当两个圆的半径相等且相交于两点时，这两点连成的线段既是两圆的公共弦也是两圆的直径。
05 圆的综合应用
圆的面积与周长计算
01
02
03
圆的面积公式
$S = pi r^{2}$，其中 $r$ 是圆的半径。这个公式用于计算圆的面积。
圆的周长公式
$C = 2pi r$ 或 $C = pi d$，其中 $r$ 是圆的半径， $d$ 是圆的直径。这两个公式用于计算圆的周长。
扇形面积公式
$S_{扇形} = frac{npi r^{2}}{360}$，其中 $n$ 是扇形的圆心角，$r$ 是圆的半径。这个公式用于计算扇形的面积。
线的性质。
圆的拓展应用问题
圆锥曲线问题
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。在解决这类问题时，需要掌握圆锥曲线的定义、标准方程和性质等知识点。
极坐标与参数方程问题
极坐标是一种用距离和角度来描述平面上点的方法，参数方程则是用参数来描述曲线上点的坐标的方法。在解决这类问题时，需要掌握极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化等知识点。
通过一般方程，可以计算出圆心坐标$left( frac{D}{2},-frac{E}{2} right)$和半径 $r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
方程变形
通过配方等方法，可以将一般方程转化为标准方程。
圆的图形与方程的关系
图形与方程对应
01

中考圆知识点总结复习(教学课件)

圆
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、点在圆外点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点；
2、直线与圆相切有一个交点；
3、直线与圆相交有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）无交点；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5）无交点；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵ 、是的两条切线
∴ ；平分
十一、圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙ 中，∵弦、相交于点，
即：在⊙ 中，∵ 、是割线
∴
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：垂直平分。
即：∵⊙ 、⊙ 相交于、两点
∴ 垂直平分
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：中，；

初中复习资料圆的有关性质知识点归纳

初中复习资料圆的有关性质知识点归纳一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．(3)________相等的两个圆是等圆．(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系点在圆______，点在圆______，点在圆______．2．点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔________；点在圆上⇔________；点在圆内⇔________.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的________；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．二、直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系________、________、________.2．概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________．3．直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交⇔________；直线l和⊙O相切⇔________；直线l和⊙O相离⇔________.三、切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．2．切线的性质圆的切线垂直于经过________的半径．3．切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．四、三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形；(2)和多边形各边都______的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条________的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．五、圆与圆的位置关系1．概念①两圆外离：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______；②两圆外切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；③两圆相交：两个圆有______公共点；④两圆内切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；⑤两圆内含：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______．2．圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为O 1O 2＝d .两圆外离⇔d ＞______；两圆外切⇔d ＝______；两圆相交⇔______＜d ＜______(R ≥r )；两圆内切⇔d ＝______(R ＞r )；两圆内含⇔______≤d ＜______(R ＞r )．六、两圆位置关系的相关性质1．两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过________．(2)相交两圆的连心线垂直平分________．2．两圆位置关系中常作的辅助线(1)两圆相交，可作公共弦．(2)两圆相切，可作公切线．圆的有关计算一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝__________.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝__________或S ＝12lr ；扇形的周长＝2r ＋l .二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr ＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.三、正多边形和圆1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于__________．温馨提示 (1)正多边形的各边、各角都相等．(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．四、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．。

九年级中考圆题型知识点

九年级中考圆题型知识点九年级中考数学是学生们备考重点之一。

其中，圆是一个重要的几何概念，也是中考数学题目中经常出现的一个考点。

本文将为大家细致解析九年级中考圆题型知识点，希望能帮助同学们更好地应对考试。

一、圆的基本概念圆是平面上所有到圆心的距离都相等的点的集合。

其中，与圆有关的一些常用术语包括：1. 圆心（O）：圆的中心点。

2. 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段，它的长度称为圆的半径。

3. 直径（d）：通过圆心的两个确定的点，其长度为圆的直径，直径是半径的两倍。

4. 弧（弧度）：圆上的一段弧，可以用圆心角来度量，弧度是度量角度的单位。

二、圆的性质1. 圆的内切圆：一个正多边形的内接圆的半径与这个正多边形的边长之比保持不变。

2. 相交弧的性质：如果两条弦在某个圆上相交，那么这两个相交的弧的度数之和为360°。

3. 切线和切点：切线与半径垂直。

4. 弧与角：圆内每个弧所对的圆心角有唯一对应的。

三、圆的定理和推论1. 同弧度的圆周角相等。

2. 同弧中心角相等。

3. 对称圆周角相等。

4. 直径所对的圆周角为直角。

5. 互余弧余角相等。

6. 弦切定理：圆上的切线与切点所组成的锐角与切点所对的弦上的弧所对的圆心角相等。

四、圆的应用圆的应用在生活中随处可见。

以下是几个典型的示例：1. 汽车轮胎：汽车轮胎的主体即为圆形，保证轮胎的平衡性和牢固性。

2. 潮汐现象：地球与月球之间的引力相互作用所产生的潮汐现象正是由于圆形轨道的影响。

3. 时钟：时钟的表面多为圆形，所以我们通常以圆上点的运动方式来计时。

4. 路灯：路灯的灯罩大多采用圆形或者半圆形，能够同时照亮周围的区域。

总结：掌握圆的基本概念和性质是解决九年级中考圆题型的关键。

除了理论知识的掌握，同学们还应该加强实际应用的训练，这样才能在考试中灵活运用所学知识解题。

希望本文的知识点讲解和实例分析能为同学们的备考提供帮助，让大家能够在数学考试中更加出色。

中考圆知识点总结复习

中考圆知识点总结复习圆是初中数学中重要的一章，所以复习圆的知识点是中考复习的重点之一、下面是关于圆的相关知识点的总结复习。

1.圆的定义与要素圆是指平面上到一点距离等于固定的一点的所有点的集合。

在一个圆中，距离固定点（圆心）的距离叫做半径，而连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径。

圆上的任意一段弧称为弦，弦的中点称为弦的中点。

2.圆的性质(1)圆上的任意一条弦都小于等于圆的直径。

(2)如果两条弦等长，则它们所对应的弧相等。

(3)圆上的两个相邻的弧所对应的圆心角相等。

(4)圆上任意两条弦所对应的圆心角一定小于等于180°，当且仅当两条弦所对应的圆心角相等时，这两条弦等长。

(5)在同一个圆或等圆上，圆心角相等的弧相等，弦长相等的圆心角相等。

3.圆的证明(1)两个平行弦所对应的圆心角相等。

证明方法：连接两个圆心与平行弦的中点，用平行线性质证明两个等腰三角形的两个底角相等。

(2)相等弧的圆心角相等。

证明方法：用反证法，假设相等的弧对应的圆心角不相等，然后利用圆周角的性质推导出矛盾。

(3)等腰三角形的底角对应的圆心角相等。

证明方法：连接两个顶点与圆心，利用等腰三角形的性质证明两个三角形的两个底角相等。

(4)正三角形的顶角对应的圆心角为120°。

4.圆周角和弧度制(1)圆周角：一个圆周角等于360°，半圆角等于180°，直角等于90°。

(2)弧度制：角度制中一个圆周角等于360°，而弧度制中一个圆周角等于2π（即360°=2π）。

5.弧长和扇形面积(1)弧长：一个圆的弧长等于它的圆周角所对应的弧x半径。

弧长公式：弧长=圆周角/360°x2πr(2)扇形面积：一个圆的扇形面积等于它的圆周角所对应的扇形面积。

扇形面积公式：扇形面积=圆周角/360°xπr²6.圆的切线和切点(1)切线：圆上的一条切线与圆的切点只有一个。

九年级圆知识点归纳

九年级圆知识点归纳在九年级数学学习中，圆是一个非常重要的知识点。

本文将对九年级圆的相关知识进行归纳，包括圆的定义、圆的性质、圆的元素以及圆的应用等内容。

一、圆的定义圆是由平面内和一个确定点距离相等的点的全体组成。

其中，确定点称为圆心，距离称为半径。

二、圆的性质1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角，其对应的弧长等于该角的大小。

2. 弦：圆上连接两点的线段称为弦，等长的弦对应的圆心角相等。

3. 切线：切线是与圆只有一点相切的直线，切线与半径垂直。

4. 弧：两个点间的圆弧是连接这两点且完全位于圆内的曲线部分。

5. 弧长：弧长是弧上的一段弧所对应的圆心角的大小乘以半径。

三、圆的元素1. 圆心：圆心是圆上任意一点到圆心的距离都相等。

2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。

3. 直径：直径是通过圆心的任意两点之间的线段，直径等于半径的两倍。

4. 弦：弦是圆上的线段，连接圆上任意两点，但不通过圆心。

5. 弧：弧是弦所对应的曲线部分，也可以用来求解弧长。

四、圆的应用1. 圆的面积：圆的面积可以通过半径或直径来计算，公式分别为πr²和π(d/2)²，其中π是一个常数，取近似值3.1415。

2. 弧长和扇形面积：根据圆的定义，可以推导出弧长和圆心角的关系，进而计算弧长和扇形面积。

3. 圆的切线与切点：通过圆心和切点的连线垂直于切线，可以利用圆的性质求解相关问题。

4. 圆的相交关系：两个圆相交时，可以根据相交的弧长、圆心角等来求解相应的问题。

总结：通过本文的归纳，我们对九年级圆的相关知识点有了一个整体的了解。

圆的定义、性质、元素以及应用都是我们在解题过程中需要掌握的重要内容。

希望同学们能够通过不断练习，熟练掌握圆的相关知识，提高数学解题能力。

九年级常考的圆知识点总结

九年级常考的圆知识点总结圆是我们九年级数学中的一个重要知识点，也是经常出现在考试中的内容。

本文将对九年级常考的圆知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。

一、圆的定义和性质圆是平面内所有与一个确定点距离相等的点构成的集合。

其中，确定的点称为圆心，相等的距离称为半径。

圆的性质有很多，包括以下几个重要的方面：1. 圆上任意两点与圆心的距离相等；2. 圆的直径是圆上任意两点的最大距离；3. 圆的半径垂直于切线；4. 圆的切线与半径的交角是直角；5. 圆的内接四边形的两对对边和相等。

二、圆的基本要素和计算1. 弧度制和度度量制弧度制是一种角度的计量单位，它是以圆的半径长的弧所对的圆心角来定义的。

与之相对的是度度量制，在度度量制中，一个圆被划分成360个度。

在解决圆的相关问题时，我们需要根据具体情况选择使用弧度制还是度度量制。

2. 圆的弧长和扇形面积当我们需要计算圆上两点之间的弧长时，可以使用下列公式进行计算：L = rθ，其中L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示弧所对的圆心角的度数或弧度数。

而当我们需要计算一个扇形的面积时，可以使用下列公式：S = 0.5r²θ，其中S表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示扇形所对的圆心角的度数或弧度数。

三、圆的位置关系和相交性质1. 相离和相切当两个圆没有任何交点时，我们称它们为相离的；当两个圆只有一个公共切点时，我们称它们为相切的。

2. 相交和内切当两个圆有两个交点时，我们称它们为相交的；当一个圆完全包含在另一个圆内部，并且两个圆的圆心重合时，我们称它们为内切的。

四、圆的切线和切点1. 切线的性质圆的切线与半径的交角是直角，这是一个重要的性质。

同时，切线与半径的长度相等。

2. 切点的坐标计算当我们知道切线的方程和圆的方程时，可以通过联立两个方程来求解切点的坐标。

五、圆的证明问题圆的证明问题是考察同学们对圆性质的理解和运用能力的重要环节。

初三圆的知识点归纳总结

初三圆的知识点归纳总结圆是初中数学中一个重要的几何概念，它涉及到的知识点较多。

下面将对初三圆的知识点进行归纳总结，以便于读者更好地理解和掌握。

1. 圆的定义与性质圆是平面上的一条曲线，其上的任意两点到圆心的距离相等。

圆由无数点组成，其中最重要的是圆心和半径。

- 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，通常用字母O表示。

- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。

2. 相关公式与计算圆的周长和面积是初三学习中需要重点掌握的计算公式。

- 圆的周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14，r为半径。

- 圆的面积公式：S = πr²，其中π取近似值3.14，r为半径。

3. 弧与弦圆上的弧是圆上两点之间的曲线段，弧由圆心角所确定。

圆上任意两点之间的线段称为弦。

- 弧长：弧长可以通过圆心角与圆的周长的比例来计算，通常用字母l表示。

l = (θ/360) × 2πr，其中θ为圆心角的度数。

- 弦长：弦长可以通过半径和圆心角来计算，通常用字母s表示。

s = 2r × sin(θ/2)，其中θ为圆心角的度数。

4. 切线与切点在圆上，过圆上一点的直线称为切线，该点称为切点。

圆的切线与半径的关系如下：- 切线与半径的垂直关系：切线与通过切点的半径垂直相交。

- 切线的长度：切线的长度可以通过直角三角形的定理计算。

假设切点坐标为(x₀, y₀)，半径为r，则切线长为L = √(x₀² +y₀²)。

5. 弧度制与角度制圆的度量可以用角度制和弧度制来表示。

- 角度制：一个圆的360°被等分为若干个小部分，每个小部分被称为1度（1°）。

- 弧度制：一个圆的一周对应的弧长为2π，定义为2π弧度（2π rad），因此1弧度约等于57.3°。

6. 圆的其他性质- 在同一个圆上，相等弧所对圆心角相等，圆心角相等则所对弧相等。

- 在同一个圆上，位于圆上的两条弦相等，则其所对的圆心角相等。

中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)

圆的基本性质【命题趋势】圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。

【中考考查重点】一、运用垂径定理及其推论进行计算二、运用圆周角定理及其推论进行计算三、垂径定理雪与圆周角定理结合考点：圆的有关概念圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。

圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜.读弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB作圆弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。

1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＞2AC D．AB＜2AC【答案】D【解答】解：如图.取弧AB的中点D.连接AD.BD.则＝2＝2.∵＝2.∴＝＝.∴AD＝BD＝AC．在△ABD中.AD+BD＞AB.∴AC+AC＞AB.即AB＜2AC．故选：D．2．（2021秋•平原县期末）下列语句.错误的是（）A．直径是弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．弦的垂直平分线一定经过圆心D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【答案】B【解答】解：直径是弦.A正确.不符合题意；在同圆或等圆中.相等的圆心角所对的弧相等.B错误.符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心.C正确.不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦.D正确.不符合题意；故选：B．3．（2021秋•玉林期末）如图.从A地到B地有两条路可走.一条路是大半圆.另一条路是4个小半圆．有一天.一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走.它不敢与猫同行（怕被猫吃掉）.就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同.那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a.b.c.d.则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．考点：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦.并且平分弦所对的两条弧。

中考数学专题复习圆

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类3、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。

2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。

【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

九年级圆的常考知识点

九年级圆的常考知识点在九年级数学学习中，圆的相关知识点是重要的基础内容。

掌握了这些知识点，学生才能在解题过程中运用自如，为进一步学习更高级的几何知识打下坚实的基础。

本文将从圆的定义、圆的要素、圆的性质和圆的应用等几个方面，系统地介绍九年级圆的常考知识点。

一、圆的定义圆是平面上的一类特殊图形，它由平面内任意一点到另一点距离相等的所有点组成。

二、圆的要素1. 圆心：圆上的任意一点到圆上所有点的距离相等，这个点称为圆心。

2. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，这段线段的长度称为圆的半径。

3. 直径：通过圆心的两个相对点，这个线段的长度称为圆的直径，直径是半径的两倍。

4. 弦：在圆上任意两点间的线段称为弦。

5. 弧：在圆上的两点间的一段弧称为弧。

弧的长度可以用它所对应的圆心角的度数来表示。

三、圆的性质1. 圆心角与弧的关系：圆心角是指以圆心为顶点的角，与圆上的弧所对应的圆心角的度数是相等的。

2. 弧长与圆周角的关系：以圆心为顶点的角，所对应的弧长与它所对应的圆心角度数成正比，即弧长等于圆周长的$\frac{1}{360}$倍乘以对应的圆心角的度数。

3. 弦长定理：如果两条弦在圆上的弦长相等，那么它们所对应的圆心角也相等。

4. 弦心定理：如果两条不等长的弦（或弦段）在圆上的两个弦心上对圆心的距离相等，那么它们与圆心的连线所夹的角（或角的对角）相等。

5. 切线和切点：通过圆外一点恰好有一条直线与圆相切，这条直线称为切线，切线与半径的夹角为直角，切点即为切线与圆的交点。

四、圆的应用圆是我们日常生活和工作中经常会遇到的几何图形，它的应用广泛而重要。

1. 圆的测量：在实际中，我们常常需要计算圆的直径、半径、周长和面积等。

这些计算需要借助圆的相关公式和性质，确保计算结果的准确性。

2. 圆的建模：在建筑、工程、艺术设计等领域，圆的概念和性质被广泛运用。

通过圆的建模，我们可以更好地解决和处理一些问题，实现更高的效益和价值。

初三总复习圆的复习

•
C
B 第1题
B C2
第2题
B
DC第3题来自四川中考题选4.(2011.广安)如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P 是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦
AB的长为 24 cm。
O
•
A
P1 P B
第4题
综合提升
1.如图，△ABC中,∠BAC= 60, ∠ABC= 4,5AB= 2 ,2 D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 3 。
CD的中点M，若∠BOC= 40，则∠ABD= 70 。
练习2. 如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切
点，A、D是⊙O上的两点，若∠E= 46,∠CAD= 32则 ∠BAD的度数为 99。
A
B
A
O
•O
•
M
C
D
E
D
B
C
练习1
四川中考题选
1.(2012.达州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、
弦AB=6，点C是优弧AB上的一点(不与A、B重合)，
则cos C的值为( 4 )。
5
D
D
A
O•
B
C O•
C 练习1
A
B
练习2
考点2：垂径定理及其推论
例:(2008.泸州)如图，在气象台A的正西方向240千米
的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20千米的
速度沿北偏东 60 的BD方向移动，在距离台风中心
3.如图， AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接
AC，过点C作CD⊥AB于点D(AD<DB),点E是DB上

初三《圆》章节知识点复习专题

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；rddCBAO2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；rdd=rdr图3rR drRdr Rd 图4rRd图5r Rd（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

九年级数学圆_复习资料_圆的知识要点梳理人教版

圆单元复习与巩固重点：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论；切线的判定定理、性质定理、切线长定理.知识要点梳理1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2．判定一个点P是否在⊙O上.设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.3．判定几个点在同一个圆上的方法：当时，在⊙O 上.4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.5．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.6．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部 .②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。