2017届人教版高考精选预测(数学理)42

2017届人教版高考精选预测（理42）
一、填空题： 1． 若
1a i
i
+-（i 是虚数单位）是实数，则实数a 的值是_________ 2． 已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =>=-<，则A B =_________
3． 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取
20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中使用多媒体进行教学次数在【15,30】内的人数是_________
4． 在如图所示的流程图中，输出的结果是_________
5． 若以连续两次骰子得到的点数m ，n 分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则点P 在圆
2216x y +=内的概率是
6． 在约束条件010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩
_________
7． 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，
Ｐ是摩天轮轮周上一定点，从Ｐ在最低点时开始计时，则１６分钟后Ｐ点距地面的高度是_________ 8． 已知集合222{(,)|||||1},{(,)|,0}A x y x y B x y x y r r =+≤=+≤>若点（ｘ，ｙ）
Ａ是点（ｘ，ｙ）Ｂ的必要条件，则ｒ 的最大值是_________
9． 已知点Ａ（０，２）抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线
与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p=_________ 10． 若函数2,0
()2,0
x
x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是_________
11．
如图所示，在直三棱柱中，AC ⊥BC ，AC =4,BC =CC 1=2,若用平行于三棱柱
A 1
B 1
C 1-ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小 值为 。

12．
已知椭圆22
142
x y +=，A 、B 是其左右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连接AM 交椭圆与点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ
的交点，则点Q 的坐标为_________ 13． 在三角形ABC 中，过中中线AD 中点E 任作一直线分别交边AB ，AC 与M 、N 两点，
设,,(0)AM xAB AN xAC xy ==≠
则4x+y 的最小值是_________
14． 如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的
和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数
表中的第13行，第10个数为_________ 二、解答题 15．
如图,在平面直角坐标系中,点A 在x 轴正半轴上,直线AB 的倾斜角为
3
4
π,OB=2，设3
,(,)24
AOB πθθπ∠=∈ (1) 用表示OA
(2) 求OA OB ⋅
的最小值.
16．如图，已知四面体ABCD 的四个面均为锐角三角形，EFGH 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，BD||平面EFGH ，且EH=FG 。

（1） 求证：HG||平面ABC
（2） 请在平面ABD 内过点E 做一条线段垂直于AC ，并给出证明。

17．如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点（0,1）且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1:2，过点H （0，t ）的直线l 于圆C 相切于MN 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O 。

（1） 求圆C 的方程；
（2） 当t=1时，求出直线l 的方程； （3） 求直线OM 的斜率k 的取值范围。

18．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量14
4
y x =
+；若在t （t>0）天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y 2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为
2
(0)(4)a
a t <+，存留量随时间变化的曲线如图所示。

当进行第一次复习
后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点” （1）若a=-1，t=5，求“二次复习最佳时机点”； （2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a 的取值范围。

19．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项， （1）若k=7，12a =
（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；
（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求21
1*212
32(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值
（2）若存在m>k,*
m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数。

20．已知函数2
22121451
()ln ,()ln ,()2,6392
f x ax x f x x x x f x x ax a R =+=
++=+∈ （1）求证：函数()f x 在点(,())e f e 处的切线横过定点，并求出定点的坐标； （2）若2()()f x f x <在区间(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当2
3
a =
时，求证：在区间(1,)+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个。

参考答案 填空题：
1．1-； 2．}{
x x >；
3．100； 4. 60； 5．
92； 6
7．14； 8
9
10．11(1,)(,1)22
-- ； 11．24； 12．(0,0)； 13．
9
4
； 14．162（或者65536）． 二、解答题:
15. (1)在△ABC 中，因为2OB =，4
BAO
p
?，344
ABO p p p q q ?-
-=-， 由正弦定理，得sin sin
4
OB OA ABO
p
=
Ð，……………………………………3分
3sin()
42
OA
p q =
-，所以
3)4OA p q =-. ……………6分 注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB 方程求得2(sin cos )OA q q =+
或
)4
OA π
θ=+也得分.
(2)由(1)
得3||||cos )cos 4OA OB OA OB p
q q q ?鬃-?uu r uu u r uu r uu u r ，…………………8分
2(sin 2cos2)2θθ=+
+)24
θπ
=++， …………………10分
因为3(,),24p p q Î所以572(,)444
p p p
q +?， 所以当3242p p q +=，即58
p
q =时，OA OB ×u u r u u u r
的最小值为2-14分
16. （1）因为BD //平面EFGH ，BDC EFGH FG = 平面平面，所以BD //FG ． 同理BD //EH ，又因为EH FG =，
所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以HG //EF ，又HG ABC ⊄平面，
所以HG ABC 平面 ． ……………………………………………………6分 （2）在ABC 平面内过点E 作EP AC ⊥，且交AC 于P 点，
在ACD 平面内过点P 作PQ AC ⊥，且交AD 于Q 点，
连结EQ ，则EQ 即为所求线段．………………………………………………10分 证明如下：
EP AC AC EPQ PQ AC EQ AC EQ EPQ EP PQ P ⊥⎫
⇒⊥⎫
⎪⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭
⎪=⎭
平面平面…………………………………14分
17解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上， 设圆C 与轴的交点分别为A 、B ，
由圆C 被轴分成的两段弧长之比为21:，得23
ACB π
∠=， 所以2CA CB ==，圆心C 的坐标为(2,1)-，
所以圆C 的方程为：2
2
(2)(1)4x y ++-=． ………………………………4分 （2）当1t =时，由题意知直线的斜率存在，设直线方程为1y mx =+，
由22
1(2)(1)4y mx x y =+⎧⎨++-=⎩得01x y =⎧⎨=⎩或2224141
1x m m m y m -⎧=
⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩
， 不妨令22
2
441
(,),(0,1)11
m m M N m m --+++， 因为以MN 为直径的圆恰好经过(0,0)O ，
所以222
2244141
(,)(0,1)0111
m m m m OM ON m m m m --+-+⋅=⋅==+++ ，
解得2m =，所以所求直线
方程为(21y x =+
或(21y x =+．
………………………………10分
（3）设直线MO 的方程为y kx =，
2，解之得3
4k ≤，
同理得，1
3
4
k
-≤，解之得43k ≤-或>0k ． 由（2）知，=0k 也满足题意．
所以的取值范围是43
(,][0,]34
-∞- ． ………………………………………14分
18. 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为， 由题意知，228
()(4)(4)4a y x t t t t =
-+>++ ………………………………2分
所以21284
()(4)(4)44
a y y y x t t t t x =-=
-+->+++ ……………………4分
(1) 当1,5a t =-=时，
2
184
(5)(54)544y x x -=
-+-+++(4)41814x x -+=-++
≤1-59=， 当且仅当 14x = 时取等号，
所以“二次复习最佳时机点”为第14天． ………………10分 (2) 284()(4)44a y x t t t x =
-+-+++22
(4)48(4)
(4)44(4)
a x a t t x t t -++=--+-++++
≤84
a
t --+， …………………………………………14分 当且仅当
4)4(244
)
4()4(2
-+-=+=++-t a
x x t x a 即 时取等号，
由题意
t t a
>-+-4)4(2，所以 40a -<<． ………………16分
注：使用求导方法可以得到相应得分.
19．⑴ 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，
所以()()2
11126a d a a d +=+，整理得12a d =， 又12a =，所以1d =， 112b a ==，321111
22a b a d q b a a +=
===，
所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， ……………………………4分 ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前项和为12n n T n +=⨯； ………6分 ② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前项的和，
所以121(21)(22)2(21)
(21)(21)221
n n n n n n n S ----+-=
-=---. 所以211212321n n n n S -----+⋅=-． ………………………10分 ⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=
k a d ，所以3111
23
2a a d k q a a +-===.
因为存在m ＞k,m ∈N *
使得13,,,k m a a a a 成等比数列，
所以3
13
123⎪⎭
⎫
⎝⎛-==k a q a a m ， ………………………………………………12分
又在正项等差数列{a n }中，4
)
5)(1()1(111--+
=-+=k m a a d m a a m ， ……13分
所以3
111234)5)(1(⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，
所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-， …………………………………14分 因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，
即3-k 为偶数，所以k 为奇数. ……………………………………16分
20. (1)因为1()2f x ax x '=+ ，所以()f x 在点(e,(e))f 处的切线的斜率为1
2k ae e
=+， 所以()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为2
1(2)()1y ae x e ae e
=+-++ ，……2分
整理得11(2)()22e y ae x e -=+-，所以切线恒过定点1
(,)22
e ． ………4分
(2) 令x ax x a x f x f x p ln 2)2
1()()()(2
2+--=-=<0，对(1,)x ∈+∞恒成立，
因为21(21)21(1)[(21)1]
()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x
--+---'=--+== （*）
………………………………………………………………6分
令()0p x '=，得极值点1x 1=，21
21
x a =-， ①当
112
a <<时，有1x x 12=>，即1a 21
<<时，在（2x ，+∞）上有()0p x '>，
此时)(x p 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈2((),)p x +∞，不合题意；
②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，)(x p 在区间(1,)+∞上，有)(x p ∈((1),)p +∞，
也不合题意； …………………………………………… 8分 ③当1
2
a ≤
时，有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0p x '<， 从而)(x p 在区间(1,)+∞上是减函数；
要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足021
)1(≤--=a p 12
a ⇒≥-， 所以11
22
a -
≤≤．
综上可知的范围是11,22⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦． ……………………………………………12分 (3)当23a =
时，221214514
()ln ,()63923
f x x x x f x x x =++=+
记22115
()()ln ,(1,)39
y f x f x x x x =-=-∈+∞．
因为22565
0399x x y x x
-'=
-=>，所以21()()y f x f x =-在(1,)+∞上为增函数， 所以21211
()()(1)(1)3
f x f x f f ->-=， ………………………………14分
设11
()(),(01)3
R x f x λλ=+
<<, 则12()()()f x R x f x <<, 所以在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个． ………………………………………………………………16分。