2018年高考数学二轮复习每日一题第六周规范练文

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2018届高三数学文二轮复习全国通用 题型增分天天练 答案 含答案

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参考答案客观题提速练一1.B2.B3.C4.D 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×错误!未找到引用源。

,解得b=3(b=-错误!未找到引用源。

舍去),选D.5.B 因为6-2m>0,所以m<3,c2=m2-2m+14=(m-1)2+13,所以当m=1时,焦距最小,此时,a=3,b=2,所以错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

.选B.6.B 由题可得4×错误!未找到引用源。

+ϕ=错误!未找到引用源。

+kπ,k∈Z,所以ϕ=错误!未找到引用源。

+kπ,k∈Z.因为ϕ<0,所以ϕmax=-错误!未找到引用源。

.选B.7.C 在如图的正方体中,该几何体为四面体ABCD,AC=2,其表面积为错误!未找到引用源。

×2×2×2+错误!未找到引用源。

×2×2错误!未找到引用源。

×2=4错误!未找到引用源。

+4.选C.8.B 因为a2+a<0,所以a(a+1)<0,所以-1<a<0.取a=-错误!未找到引用源。

,可知-a>a2>-a2>a.故选B.9.C 易判断函数为偶函数,由y=0,得x=±1.当x=0时,y=-1,且当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0.故选C.10.B 因为p=错误!未找到引用源。

或p=错误!未找到引用源。

,所以8.5=错误!未找到引用源。

或8.5=错误!未找到引用源。

,解得x3=8.故选B.11.C取CS的中点O,连接OA,OB.则由题意可得OA=OB=OS=2.CS为直径,所以CA⊥AS,CB⊥SB.在Rt△CSA中,∠CSA=45°,故AS=CScos 45°=4×错误!未找到引用源。

=2错误!未找到引用源。

, 在△OSA中,OA2+OS2=AS2,所以OA⊥OS.同理,OS⊥OB.所以OS⊥平面OAB.△OAB中,OA=OB=AB=2,故△OAB的面积S=错误!未找到引用源。

2018年高考数学(文)二轮复习练习:大题规范练5 Word版含答案

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大题规范练(五)“17题~19题”+“二选一”46分练(时间:45分钟 分值:46分)解答题(本大题共4小题,共46分,第22~23题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等差数列{a n }中,a 2=5,前4项的和为S 4=28.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n,T n =a n b 1+a n -1b 2+a n -2b 3+…+a 2b n -1+a 1b n ,求T n .【导学号:04024232】解:(1)∵S 4=a 1+a 42=2(a 1+a 4)=2(a 2+a 3)=28,∴a 2+a 3=14.∵a 2=5,∴a 3=9,∴公差d =4. 故a n =4n -3.(2)∵b n =2n ,∴T n =(4n -3)·21+(4n -7)·22+…+5·2n -1+1·2n,①∴2T n =(4n -3)·22+(4n -7)·23+…+5·2n +1·2n +1,②②-①得,T n =-(4n -3)·2+4×(22+23+…+2n )+2n +1=6-8n +4×-2n -11-2+2n+1=6-8n +(2n +3-16)+2n +1=5·2n +1-8n -10.18.如图1所示,在三棱锥A ­BCD 中,AB =AC =AD =BC =CD =4,BD =42,E ,F 分别为AC ,CD 的中点,G 为线段BD 上一点,且BE ∥平面AGF . (1)求BG 的长;(2)求四棱锥A ­BCFG 的体积.【导学号:04024233】图1解:(1)连接DE 交AF 于M ,连接GM ,则M 为△ACD 的重心, 且DM ME =21. 因为BE ∥平面AGF ,所以BE ∥GM ,所以DG BG =21,所以BG =423.(2)设BD 的中点为O ,连接AO ,CO ,则AO =CO =22, 所以AO ⊥OC ,AO ⊥BD ,从而AO ⊥平面BCD , 所以V A ­BCD =13×12×4×4×22=1623.又易知V A ­FDG =13V A ­BCD ,所以V A ­BCFG =23V A ­BCD =3229.19.某地区为了落实国务院《关于加快高速宽带网络建设,推进网络提速降费的指导意见》,对宽带网络进行了全面的光纤改造.为了调试改造后的网速,对新改造的1 000户用户进行了测试,随机抽取了若干户的网速,网速全部介于13 M 与18 M 之间,将网速按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);…;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图2所示,已知图中从左到右的前三个组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数为8.图2(1)试估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16,17)内的户数; (2)求测试中随机抽取的用户数;(3)若从第一、五组中随机抽取2户的网速,求这2户的网速的差的绝对值大于1 M 的概率.【导学号:04024234】解:(1)网速在[16,17)内的频率为0.32×1=0.32, 又0.32×1 000=320,∴估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16,17)内的户数为320. (2)设图中从左到右前三个组的频率分别为3x,8x,19x , 依题意,得3x +8x +19x +0.32×1+0.08×1=1,∴x =0.02, 设测试中随机抽取了n 户用户,则8×0.02=8n,∴n =50,∴测试中随机抽取了50户用户.(3)网速在第一组的用户数为3×0.02×1×50=3,记为a ,b ,c . 网速在第五组的用户数为0.08×1×50=4,记为m ,n ,p ,q . 从第一、五组中随机抽取2户的基本事件有{a ,b },{a ,c ),{a ,m },{a ,n },{a ,p },{a ,q },{b ,c },{b ,m },{b ,n },{b ,p },{b ,q },{c ,m },{c ,n },{c ,p },{c ,q },{m ,n },{m ,p },{m ,q },{n ,p },{n ,q },{p ,q },共21个.其中,抽取的2户的网速的差的绝对值大于1 M 所包含的基本事件有{a ,m },{a ,n },{a ,p },{a ,q },{b ,m },{b ,n },{b ,p },{b ,q },{c ,m },{c ,n },{c ,p },{c ,q },共12个,∴所求概率P =1221=47.(请在第22、23题中选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分)22.【选修4-4:坐标系与参数方程】已知曲线E 的极坐标方程为ρ=4tan θcos θ,倾斜角为α的直线l 过点P (2,2).(1)求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程;(2)设l 1,l 2是过点P 且关于直线x =2对称的两条直线,l l 与E 交于A ,B 两点,l 2与E 交于C ,D 两点,求证:|PA |∶|PD |=|PC |∶|PB |.【导学号:04024235】解:(1)由题意易得E 的直角坐标方程为x 2=4y (x ≠0),l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t cos αy =2+t sin α(t 为参数).(2)证明:∵l 1,l 2关于直线x =2对称,∴l 1,l 2的倾斜角互补.设l 1的倾斜角为α1,则l 2的倾斜角为π-α1,把直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t cos α1,y =2+t sin α1(t 为参数)代入x 2=4y (x ≠0),并整理得t 2cos 2α1+4(cos α1-sin α1)t -4=0,由根与系数的关系,得t 1t 2=-4cos 2α1,即|PA |·|PB |=4cos 2α1.同理,得|PC |·|PD |=4cos 2π-α1=4cos 2α1, ∴|PA |·|PB |=|PC |·|PD |, 即|PA |∶|PD |=|PC |∶|PB |.23.【选修4-5:不等式选讲】已知函数f (x )=|x +3|-m ,m >0,f (x -3)≥0的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞). (1)求m 的值;(2)若存在x ∈R ,使得f (x )≥|2x -1|-t 2+32t +1成立,求实数t 的取值范围.【导学号:04024236】解:(1)因为f (x )=|x +3|-m ,所以f (x -3)=|x |-m ≥0, 因为m >0,所以x ≥m 或x ≤-m .又因为f (x -3)≥0的解集为(-∞,-2]∪[2,+∞), 所以m =2.(2)因为f (x )≥|2x -1|-t 2+32t +1,所以|x +3|-|2x -1|≥-t 2+32t +3.令g (x )=|x +3|-|2x -1|,则g (x )=|x +3|-|2x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧x -4,x ≤-3,3x +2,-3<x <12,-x +4,x ≥12,故g (x )max =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=72,则有72≥-t 2+32t +3,即2t 2-3t +1≥0,解得t ≤12或t ≥1,即实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12∪[1,+∞).。

2018届高考数学(理)二轮专题复习:规范练5-2-6(含答案)

2018届高考数学(理)二轮专题复习:规范练5-2-6(含答案)

大题规范练(六)(满分70分,押题冲刺,70分钟拿到主观题高分)解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(a -c )2=b 2-34ac .(1)求cos B 的值;(2)若b =13,且sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,求△ABC 的面积. 解:(1)由(a -c )2=b 2-34ac ,可得a 2+c 2-b 2=54ac .∴a 2+c 2-b 22ac =58,即cos B =58.(2)∵b =13,cos B =58,∴b 2=13=a 2+c 2-54ac =(a +c )2-134ac ,又sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,由正弦定理,得a +c =2b =213,∴13=52-134ac ,∴ac =12.由cos B =58,得sin B =398,∴△ABC 的面积S △ABC =12ac sin B =12×12×398=3394.2.(本小题满分12分)如图(1),平面四边形ABCD 关于直线AC 对称,∠BAD =60°,∠BCD =90°,CD =4.把△ABD 沿BD 折起,使A ,C 两点间的距离为2 2.记BD 的中点为E ,如图(2).(1)求证:平面ACE ⊥平面BCD ;(2)求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.解:(1)证明:由已知可得CB =CD =4,AB =AD =42,AE ⊥BD ,CE ⊥BD .又AE ∩CE =E ,因此BD ⊥平面ACE .又BD ⊂平面BCD ,因此平面ACE ⊥平面BCD .(2)如图,以CB ,CD 所在直线分别为x 轴、y 轴,过点C 垂直于平面CBD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C ­xyz ,则C (0,0,0),B (4,0,0),D (0,4,0),设A (x 1,y 1,z 1)(z 1>0),则由⎩⎪⎨⎪⎧AC 2=8AB 2=32AD 2=32,可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21+y 21+z 21=8x 1-2+y 21+z 21=32x 21+y 1-2+z 21=32z 1>0,由此解得x 1=y 1=-1,z 1=6,故A (-1,-1,6),CA →=(-1,-1,6),AD →=(1,5,-6).CB →=(4,0,0)设a =(x 2,y 2,z 2)是平面ABC 的法向量,则有 ⎩⎨⎧a ·CB →=0a ·CA →=0,即⎩⎨⎧4x 2=0-x 2-y 2+6z 2=0,故x 2=0,y 2=6z 2.取z 2=1得a =(0,6,1). 设直线AD 与平面ABC 所成的角为β, 则sin β=|cos 〈a ,AD →〉|=|a ·AD →||a ||AD →|=217,即直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为217. 3.(本小题满分12分)当今时代,智能手机在人们日常生活中的应用越来越频繁,其中的一款软件——微信更是逐渐成为人们交流的一种方式.某机构对人们使用微信交流的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对使用微信交流持赞成态度的人数如下表:的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关?4人中赞成使用微信交流与不赞成使用微信交流的人数之差的绝对值为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.参考数据如下:参考公式:K 2=a +bc +d a +cb +d,其中n =a +b +c +d .解:(1)2×2列联表如下:K 2=10×40×35×15≈9.524>6.635,所以有99%的把握认为对“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. (2)依题意得ξ的所有可能取值分别为0,2,4, 且P (ξ=0)=C 22C 25·C 24C 25+C 12·C 13C 25·C 14·C 11C 25=30100=0.3,P (ξ=4)=C 23C 25·C 24C 25=0.18,P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=4)=0.52.因此,ξ的分布列是所以ξ的期望E (ξ)4.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知点F (1,0),直线l :x =-1,动直线l ′垂直l 于点H ,线段HF 的垂直平分线交l ′于点P ,设点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程;(2)以曲线C 上的点Q (x 0,y 0)(y 0>0)为切点作曲线C 的切线l 1,设l 1分别与x ,y 轴交于A ,B 两点,且l 1恰与以定点M (a,0)(a >2)为圆心的圆相切,当圆M 的面积最小时,求△ABF 与△QAM面积的比.解:(1)由题意得|PH |=|PF |,∴点P 到直线l :x =-1的距离等于它到定点F (1,0)的距离, ∴点P 的轨迹是以l 为准线,F 为焦点的抛物线, ∴点P 的轨迹C 的方程为y 2=4x .(2)解法一:由y 2=4x ,当y >0时,y =2x ,∴y ′=1x,∴以Q 为切点的切线l 1的斜率为k =1x 0,∴以Q (x 0,y 0)(y 0>0)为切点的切线方程为l 1:y -y 0=1x 0(x -x 0),即y -y 0=2y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x -y 204,整理得l 1:4x -2y 0y +y 20=0.令x =0,则y =y 02,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,y 02, 令y =0,则x =-y 204=-x 0,∴A (-x 0,0), 点M (a,0)到切线l 1的距离d =y 20+4a 2y 20+4=y 20+42+2a -2y 20+4≥2a -1(当且仅当y 0=2a -2时,取等号).∴当点Q 的坐标为(a -2,2a -2)时,满足题意的圆M 的面积最小. 此时A (2-a,0),B (0,a -2).S △ABF =12|1-(2-a )||a -2|=12(a -1)a -2, S △AQM =12|a -(2-a )||2a -2|=2(a -1)a -2.∴S △ABF S △AQM =14,∴△ABF 与△QAM 的面积之比为1∶4.解法二:由题意知切线l 1的斜率必然存在,设为k ,则l 1:y -y 0=k (x -x 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y -y 0=k x -x 0y 2=4x,得y -y 0=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 2-x 0,即y 2-4k y +4ky 0-y 20=0,由Δ=⎝ ⎛⎭⎪⎫-4k 2-4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k y 0-y 20=0得(2-ky 0)2=0,即k =2y 0.∴l 1:4x -2y 0y +y 20=0.(下同解法一)5.(本小题满分12分)设函数f (x )=x 3+ax +2,g (x )=-2cos x -x +(x +1)ln(x +1). (1)若直线y =-4x 是曲线y =f (x )的切线,求实数a 的值;(2)若对任意x 1∈[1,2],都存在x 2∈(-1,1],使得f (x 1)-g (x 2)>3a +4成立,求实数a 的取值范围.解:(1)f ′(x )=3x 2+a .设直线y =-4x 与曲线y =f (x )相切于点(x 0,-4x 0),则有⎩⎪⎨⎪⎧-4x 0=x 30+ax 0+23x 20+a =-4,解得x 0=1,a =-7.(2)g ′(x )=2sin x -1+ln(x +1)+1=2sin x +ln(x +1),∵当x ∈(-1,1]时,y =2sin x 及y =ln(x +1)均为增函数,∴g ′(x )在(-1,1]上为增函数,又g ′(0)=0,∴当x ∈(-1,0)时,g ′(x )<0;当x ∈(0,1]时,g ′(x )>0, 从而g (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增, ∴g (x )在(-1,1]上的最小值为g (0)=-2.依题意得,当x ∈[1,2]时,f (x )min >3a +4+g (0)=3a +2. 当x ∈[1,2]时,f ′(x )=3x 2+a ∈[a +3,a +12]. 当a +3≥0,即a ≥-3,x ∈[1,2]时,f (x )单调递增,f (x )min =f (1)=a +3,于是有a +3-3a >2(a ≥-3),解得-3≤a <12.当a +12≤0,即a ≤-12,x ∈[1,2]时,f (x )单调递减,f (x )min =f (2)=2a +10,于是有2a +10-3a >2(a ≤-12),解得a ≤-12.当-12<a <-3,x ∈[1,2]时,f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1, -a 3上单调递减,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-a3,2上单调递增,f (x )min =f ⎝⎛⎭⎪⎫-a 3=2a 3-a 3+2,于是有2a 3-a3+2-3a >2(-12<a <-3),解得-12<a <-3.综上所述,a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫-∞,12. 请考生在第6、7题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 6.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos αy =t sin α(t 为参数).(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,且|AB |=14,求直线l 的倾斜角α的值. 解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ. ∵x 2+y 2=ρ2,x =ρcos θ,y =ρsin θ,∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0,即(x -2)2+y 2=4. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x =1+t cos αy =t sin α代入曲线C 的方程得(t cos α-1)2+(t sin α)2=4,化简得t 2-2t cos α-3=0.设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则⎩⎪⎨⎪⎧t 1+t 2=2cos α,t 1t 2=-3.∴|AB |=|t 1-t 2|=t 1+t 22-4t 1t 2=4cos 2α+12=14,∴4cos 2α=2,cos α=±22,α=π4或3π4. 7.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x -2|+|2x +a |,a ∈R . (1)当a =1时,解不等式f (x )≥4;(2)若存在x 0,使f (x 0)+|x 0-2|<3成立,求a 的取值范围.解:(1)当a =1时,f (x )=|x -2|+|2x +1|.由f (x )≥4,得|x -2|+|2x +1|≥4. 当x ≥2时,不等式等价于x -2+2x +1≥4,解得x ≥53,所以x ≥2;当-12<x <2时,不等式等价于2-x +2x +1≥4,即x ≥1,所以1≤x <2;当x ≤-12时,不等式等价于2-x -2x -1≥4,解得x ≤-1,所以x ≤-1.所以原不等式的解集为{x |x ≤-1或x ≥1}.(2)应用绝对值不等式可得f(x)+|x-2|=2|x-2|+|2x+a|=|2x-4|+|2x+a|≥|2x+a -(2x-4)|=|a+4|.因为存在x0,使f(x0)+|x0-2|<3成立,所以(f(x)+|x-2|)min<3,所以|a+4|<3,解得-7<a<-1,故实数a的取值范围为(-7,-1).。

2018年高考数学(文)二轮复习练习:大题规范练1 Word版含答案

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大题规范练(一)“17题~19题”+“二选一”46分练(时间:45分钟 分值:46分)解答题(本大题共4小题,共46分,第22~23题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知m =⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6,1,n =(cos x,1).(1)若m∥n ,求tan x 的值;(2)若函数f (x )=m·n ,x ∈[0,π],求f (x )的单调递增区间.【导学号:04024212】解:(1)由m∥n 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫x -π6-cos x =0,展开变形可得sin x =3cos x ,即tan x = 3. (2)易得f (x )=m·n =12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+34,由-π2+2k π≤2x -π6≤π2+2k π(k ∈Z ),得-π6+k π≤x ≤π3+k π(k ∈Z ),又因为x ∈[0,π],所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π.18.从2016年1月1日起,广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围,其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表:据(x ,y )(其中x (万元)表示购车价格,y (元)表示商业车险保费):(8,2 150),(11,2 400),(18,3 140),(25,3 750),(25,4 000),(31,4 560),(37,5 500),(45,6 500).设由这8组数据得到的回归直线方程为y ^=b ^x +1 055. (1)求b ^的值.(2)广东李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车. (i)估计李先生购车时的商业车险保费.(ⅱ)若该车今年2月已出过一次险,现在又被刮花了,李先生到4S 店询价,预计修车费用为800元,保险专员建议李先生自费(即不出险),你认为李先生是否应该接受建议?并说明理由.(假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保)【导学号:04024213】解:(1)x =18×(8+11+18+25+25+31+37+45)=2008=25(万元),y =18×(2 150+2 400+3 140+3 750+4 000+4 560+5 500+6 500)=32 0008=4 000(元),回归直线y ^=b ^x +1 055经过样本点的中心(x ,y ), 即(25,4 000),所以b ^=y -1 055x=4 000-1 05525=117.8.(2)(ⅰ)价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为117.8×20+1 055=3 411(元). (ⅱ)由于该车已出过一次险,若再出一次险, 则保费增加25%,即增加3 411×25%=852.75(元). 因为852.75>800,所以应该接受建议.19.如图1所示,在四棱锥P ­ABCD 中,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面ABCD 是菱形,且∠ABC =60°,M 为AD 的中点.图1(1)求证:平面PCM ⊥平面PAD ; (2)求三棱锥D ­PAC 的高.【导学号:04024214】解:(1)证明:依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以MC ⊥AD ,MP ⊥AD . 又因为MC ∩MP =M , 所以AD ⊥平面PMC .又因为AD ⊂平面PAD , 所以平面PCM ⊥平面PAD . (2)在正三角形PAD 中,PM =32PD =3, 又S △ACD =12×2×2×sin 60°=3,所以V 三棱锥P ­ACD =13S △ACD ·PM =1.在正三角形ACD 中,CM =32AD =3, 在Rt △PCM 中,PC =PM 2+CM 2=6,在等腰三角形PAC 中,PA =AC =2,PC =6,可得S △PAC =152. 设三棱锥D ­PAC 的高为h ,由V 三棱锥D ­PAC =V 三棱锥P ­ACD ,得13S △PAC ·h =1,解得h =2155.(请在第22、23题中选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分)22.【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C :ρsin 2θ-4cos θ=0,直线l 过点M (0,4),且斜率为-2.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并写出直线l 的标准参数方程; (2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求|AB |的值.【导学号:04024215】解:(1)由ρsin 2θ-4cos θ=0,得(ρsin θ)2=4ρcos θ,由互化公式x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x . 设直线l 的倾斜角为α,则tan α=-2, 所以α为钝角,于是cos α=-55,sin α=255, 所以直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-55t ,y =4+255t (t 为参数).(2)将(1)中直线l 的参数方程代入y 2=4x 中,整理得t 2+55t +20=0. 设A ,B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=-55,t 1t 2=20, 所以|AB |=|t 1-t 2|=t 1+t 22-4t 1t 2=-552-4×20=3 5.23.【选修4-5:不等式选讲】已知函数f (x )=|2x -a |+a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |-2≤x ≤3},求实数a 的值;(2)在(1)的条件下,若存在实数n ,使f (n )≤m -f (-n )成立,求实数m 的取值范围.【导学号:04024216】解:(1)由|2x -a |+a ≤6得|2x -a |≤6-a ,所以a -6≤2x -a ≤6-a ,即a -3≤x ≤3, 所以a -3=-2,得a =1.(2)由(1)知f (x )=|2x -1|+1,令φ(n )=f (n )+f (-n ),则φ(n )=|2n -1|+|2n +1|+2=⎩⎪⎨⎪⎧2-4n ,n ≤-12,4,-12<n ≤12,2+4n ,n >12,所以φ(n )的最小值为4, 故实数m 的取值范围是[4,+∞).。

2018年高考数学(文)二轮复习练习:大题规范练2 Word版含答案

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大题规范练(二)“17题~19题”+“二选一”46分练(时间:45分钟 分值:46分)解答题(本大题共4小题,共46分,第22~23题为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知A ,B ,C ,D 为同一平面上的四个点,且满足AB =2,BC =CD =DA =1,设∠BAD =θ,△ABD 的面积为S ,△BCD 的面积为T .(1)当θ=60°时,求T 的值; (2)当S =T 时,求cos θ的值.【导学号:04024217】解:(1)在△ABD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos θ=22+12-2×2×1×12=3.在△BCD 中,由余弦定理得 cos ∠BCD =BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD =12+12-32×1×1=-12.因为∠BCD ∈(0°,180°),所以∠BCD =120°, 所以T =12BC ·CD sin ∠BCD =12×1×1×32=34.(2)因为BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD cos θ=5-4cos θ,所以cos ∠BCD =BC 2+CD 2-BD 22BC ·CD =4cos θ-32.易得S =12AD ·AB sin ∠BAD =sin θ,T =12BC ·CD sin ∠BCD =12sin ∠BCD .因为S =T ,所以sin θ=12sin ∠BCD .所以4sin 2θ=sin 2∠BCD =1-cos 2∠BCD =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos θ-322,所以cos θ=78.18.某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球,小球除编号不同外,其余均相同.活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一球,若抽取小球的编号为3,则获得奖金100元;若抽取小球的编号为偶数,则获得奖金50元;若抽取的小球是其余编号,则不中奖.现某顾客有放回地抽奖两次.(1)求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率;(2)求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.【导学号:04024218】解:(1)该顾客有放回地抽奖两次,其结果的所有情况如下表:概率为425.(2)两次抽奖获得奖金之和为100元的情况有:①第一次获奖100元,第二次没有中奖,其结果有(3,1),(3,5),故其概率P 1=225;②两次均获奖50元,其结果有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),故其概率P 2=425;③第一次没有中奖,第二次获奖100元,其结果有(1,3),(5,3),故其概率P 3=225.所以所求概率P =P 1+P 2+P 3=825.19.如图1所示,在四棱锥P ­ABCD 中,底面ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD ,点E 是线段BD 的中点,点F 是线段PD 上的动点.图1(1)求证:CE ⊥BF ;(2)若AB =2,PD =3,当三棱锥P ­BCF 的体积等于43时,试判断点F 在线段PD 上的位置,并说明理由.【导学号:04024219】解:(1)证明:因为PD ⊥平面ABCD ,且CE ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥CE .又因为底面ABCD 是正方形,且点E 是线段BD 的中点, 所以CE ⊥BD .因为BD ∩PD =D ,所以CE ⊥平面PBD , 而BF ⊂平面PBD ,所以CE ⊥BF .(2)点F 为线段PD 上靠近D 点的三等分点. 理由如下:由(1)可知,CE ⊥平面PBF .又因为PD ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥BD . 设PF =x .由AB =2得BD =22,CE =2,所以V 三棱锥P ­BCF =V 三棱锥C ­BPF =13×12×PF ×BD ×CE =16×22×2x =2x3.由已知得2x 3=43,所以x =2.因为PD =3,所以点F 为线段PD 上靠近D 点的三等分点.(请在第22、23题中选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分)22.【选修4-4:坐标系与参数方程】极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π4,曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ=a (a >0),射线θ=φ,θ=φ+π4,θ=φ-π4,θ=π2+φ分别与曲线C 1交于点A ,B ,C ,D (均异于极点O ).(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称,求a 的值,并求曲线C 1和C 2的直角坐标方程; (2)求|OA |·|OC |+|OB |·|OD |的值.【导学号:04024220】解:(1)由ρ=22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4得ρ2=22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ+π4,由互化公式得x 2+y 2=2x +2y ,即曲线C 1的直角坐标方程为(x -1)2+(y -1)2=2. 由互化公式得曲线C 2的直角坐标方程为y =a . 因为曲线C 1关于曲线C 2对称, 所以a =1,所以曲线C 2的直角坐标方程为y =1. (2)易知|OA |=22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ+π4, |OB |=22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ+π2=22cos φ,|OC |=22sin φ,|OD |=22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ+3π4=22cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ+π4,于是可得|OA |·|OC |+|OB |·|OD |=4 2.23.【选修4-5:不等式选讲】设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0.(1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值.【导学号:04024221】解:(1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2, 由此可得x ≥3或x ≤-1,故不等式f (x )≥3x +2的解集为{x |x ≥3或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得,|x -a |+3x ≤0,此不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x -a +3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,a -x +3x ≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,x ≤-a 2.因为a >0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-a2, 由题意可得-a2=-1,所以a =2.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练:第一部分 专题六 解析几何 1-6-2

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练:第一部分 专题六 解析几何 1-6-2

限时规范训练十六 圆锥曲线的定义、性质,直线与圆锥曲线限时40分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若实数k 满足0<k <9,则曲线x 225-y 29-k =1与曲线x 225-k -y 29=1的( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等解析:选A.由25+(9-k )=(25-k )+9,知两曲线的焦距相等.2.(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是( )A.12B.32C .1D. 3解析:选D.由抛物线y 2=8x ,有2p =8⇒p =4,焦点坐标为(2,0),双曲线的渐近线方程为y =±3x ,不妨取其中一条3x -y =0,由点到直线的距离公式,有d =|3×2-0|3+1=3,故选D.3.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =52x ,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点.则C 的方程为( )A.x 28-y 210=1B.x 24-y 25=1C.x 25-y 24=1 D.x 24-y 23=1 解析:选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y =52x ,则b a =52,①又∵椭圆x 212+y 23=1与双曲线有公共焦点,易知c =3,则a 2+b 2=c 2=9, ②由①②解得a =2,b =5,则双曲线C 的方程为x 24-y 25=1,故选B.4.已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27-y 29=1的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且|AK |=2|AF |,则△AFK 的面积为( )A .4B .8C .16D .32解析:选D.因为抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27-y 29=1的右焦点(4,0)重合,所以p =8.设A (m ,n ),又|AK |=2|AF |,所以m +4=|n |, 又n 2=16m ,解得m =4,|n |=8, 所以△AFK 的面积为S =12×8×8=32.5.(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2-y 23=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A .-2B .-8116C .1D .0解析:选A.设点P (x ,y ),其中x ≥1.依题意得A 1(-1,0),F 2(2,0),则有y 23=x 2-1,y 2=3(x2-1),PA 1→·PF 2→=(-1-x ,-y )·(2-x ,-y )=(x +1)(x -2)+y 2=x 2+3(x 2-1)-x -2=4x 2-x -5=4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -182-8116,其中x ≥1.因此,当x =1时,PA 1→·PF 2→取得最小值-2,选A.6.(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1:y 2=2px (p >0)与双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ,则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析:选C.取双曲线的一条渐近线为y =bax ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2pa 2b2,y =2pab ,故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2,2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2+2pa 2b 2=p ,所以a 2b 2=14.所以双曲线C 2的离心率e =ca=a 2+b 2a 2= 5. 7.(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的一个交点为M ,F为抛物线的焦点,若|MF |=5,则该双曲线的渐近线方程为( )A .5x ±3y =0B .3x ±5y =0C .4x ±5y =0D .5x ±4y =0解析:选A.抛物线y 2=8x 的焦点为F (2,0),准线方程为x =-2,设M (m ,n ),则由抛物线的定义可得|MF |=m +2=5,解得m =3,由n 2=24,可得n =±2 6.将M (3,±26)代入双曲线x 2a2-y 2=1(a >0),可得9a 2-24=1(a >0),解得a =35,故双曲线的渐近线方程为y =±53x ,即5x ±3y=0.故选A.8.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析:选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k ,直线AE 的方程为y =k (x +a ),令x =0可得点E 坐标为(0,ka ),所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,ka 2,又右顶点B (a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y =-k 2x +k2a ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k x +a ,y =-k 2x +k 2a ,可得点M 横坐标为-a3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c ,所以e =13.9.已知双曲线的标准方程为x 29-y 216=1,F 为其右焦点,A 1,A 2分别是实轴的左、右端点,设P 为双曲线上不同于A 1,A 2的任意一点,直线A 1P ,A 2P 与直线x =a 分别交于M ,N 两点,若FM →·FN→=0,则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析:选B.∵双曲线x 29-y 216=1,右焦点F (5,0),A 1(-3,0),A 2(3,0),设P (x ,y ),M (a ,m ),N (a ,n ),∵P ,A 1,M 三点共线,∴m a +3=y x +3,m =y a +x +3, ∵P ,A 2,N 三点共线,∴na -3=yx -3,∴n =y a -x -3.∵x 29-y 216=1,∴x 2-99=y 216,∴y 2x 2-9=169.又FM →=⎝⎛⎭⎪⎫a -5,y a +x +3,FN →=⎝⎛⎭⎪⎫a -5,y a -x -3,∴FM →·FN →=(a -5)2+y 2a 2-x 2-9=(a -5)2+a 2-9,∵FM →·FN →=0,∴(a -5)2+a 2-9=0,∴25a 2-90a +81=0,∴a =95.故选B.10.(2017·山东东营模拟)设F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使PF 1→·PF 2→=0,且|PF 1|=3|PF 2|,则该双曲线的离心率为( )A.2+12 B.2+1C.3+12D.3+1解析:选C.因为双曲线右支上存在一点P ,使PF 1→·PF 2→=0,所以PF 1→⊥PF 2→, 因为|PF 1|=3|PF 2|,所以|F 1F 2|=2|PF 2|=4c ,即|PF 2|=2c , 所以|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|-|PF 2| =(3-1)|PF 2|=2a ,因为|PF 2|=2c ,所以2c (3-1)=2a ,e =c a =13-1=3+12. 11.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( )A .2B .4C .6D .8解析:选B.设抛物线方程为y 2=2px (p >0),圆的方程为x 2+y 2=r 2. ∵|AB |=42,|DE |=25, 抛物线的准线方程为x =-p2,∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ,22,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ,22,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,5在圆x 2+y 2=r 2上,∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2+8=r 2,p 24+5=r 2,∴16p 2+8=p24+5,∴p =4(负值舍去). ∴C 的焦点到准线的距离为4.12.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,|AB |+|DE |的最小值为( )A .16B .14C .12D .10解析:选A.设AB 倾斜角为θ,则|AB |=2psin 2θ,又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,|DE |=2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=2p cos 2θ而y 2=4x ,即p =2. ∴|AB |+|DE |=2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ+1cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ≥16,当θ=π4时取等号, 即|AB |+|DE |最小值为16,故选A.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知离心率e =52的双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ,A 两点,若△AOF 的面积为4,则a 的值为________.解析:因为e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2=52,所以b a =12,|AF ||OA |=b a =12,设|AF |=m ,|OA |=2m ,由面积关系得12×m ×2m =4,所以m =2,由勾股定理,得c =m 2+m2=25,又c a =52,所以a = 4.答案:414.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.解析:设F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c =1-b 2, 则可设A (c ,b 2),B (x 0,y 0),由|AF 1|=3|F 1B |,可得(-2c ,-b 2)=3(x 0+c ,y 0),故⎩⎪⎨⎪⎧-2c =3x 0+3c ,-b 2=3y 0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-53c ,y 0=-13b 2,代入椭圆方程可得-b29+19b 2=1, 解得b 2=23,故椭圆方程为x 2+3y 22=1.答案:x 2+3y22=115.(2016·高考江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点,直线y =b2与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC =90°,则该椭圆的离心率是________.解析:由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32a ,b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ,b 2,F (c,0), ∴BF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫c +32a ,-b 2,CF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫c -32a ,-b 2,由∠BFC =90°,可得BF →·CF →=0, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c -32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c +32a +⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 22=0, 即c 2-34a 2+14b 2=0,即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0,亦即3c 2=2a 2,所以c 2a 2=23,则e =c a =63.答案:6316.(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,已知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则|AB ||MN |的最小值为________.解析:设AF =a ,BF =b ,由余弦定理得|AB |2=a 2+b 2-2ab cos 120°=a 2+b 2+ab =(a +b )2-ab ≥(a +b )2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=34(a +b )2,因为a +b 2=AF +BF2=MN ,所以|AB |2≥34|2MN |2,所以|AB ||MN |≥3,所以最小值为 3.答案: 3。

河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考数学(理)试题(精校Word版含答案)

河北省衡水中学2018届高三下学期第6周周考数学(理)试题(精校Word版含答案)

理数周日测试6 一、选择题1.已知集合{}{}2,,1,0,2,3,4,8A x x n n Z B ==∈=-,则()R A B ⋂=ð( ) A. {}1,2,6 B. {}0,1,2 C. {}1,3- D.{}1,6- 2.已知i 是虚数单位,则2331i i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭( )A. 32i --B. 33i --C. 24i -+D. 22i -- 3.已知2sin 3α=,则()3tan sin 2ππαα⎛⎫++= ⎪⎝⎭( ) A. 23-B. 23C.4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12,且椭圆的长轴与焦距之差为4,则该椭圆为方程为( )A. 22142x y +=B. 22184x y +=C. 221164x y +=D.2211612x y += 5.公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是:3.1415926 3.1415927π<<,为纪念祖冲之在圆周率的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6随机选取两位数字,整数部分3不变,那么得到的数字大于3.14的概率为( ) A.2831 B. 1921 C. 2231 D.1721 6.运行如图所示的程序,输出的结果为( )A. 8B. 6C. 5D.47.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 6π+6D.8π+48.已知直线1:1l y x =+与2:l y x m =+之间的距离为2,则直线2l 被圆()22:18C x y ++=截得的弦长为( )A. 4B.3C.2D.19.已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为( )A.1B.2C.53 D. 7310.在边长为1的正ABC ∆中,点D 在边BC 上,点E 是AC 中点,若316AD BE =-,则BDBC=( ) A.14 B. 12 C. 34 D. 7811.已知定义在R 上的函数()f x ,满足()()()f m x f m x x R +=-∈,且1x ≥时,()22x n f x -+=,图象如图所示,则满足()2n mf x -≥的实数x 的取值范围是( ) A. []-1,3 B. 1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C. []0,2 D. 15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.已知函数()()23sin cos 4cos 0f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π,且()12f θ=,则2f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 52-B. 92-C. 112-D. 132- 二、填空题13.在正方体1111ABCD A BC D -中,点M 是11C D 的中点,则1A M 与AB 所成角的正切值为. 14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2,过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ,则ma=. 15.已知函数()()()()ln 0ln 0x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩,若()()()20,0f a f b a b =><,且224a b +的最小值为m ,则()22log mab +-=.16.已知ABC ∆的三个内角所对的边分别为,,a b c ,且cos cos 2cos b C c B a B +=,sin 3sin B A =,则a c=. 三、解答题17.(12分)已知等比数列{}n a 满足:112a =,且895618a a a a +=+. (1)求{}n a 的通项公式及前n 项和; (2)若n nb na =,求{}n b 的前n 项和n T .18.(12分)如图,三棱锥P ABC -中,PAB ABC ⊥平面平面,PA PB =,且AB PC ⊥.(1)求证:CA CB =;(2)若2,PA PB AB PC ====P ABC -的体积.19.(12分)某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名,点击一次付费价格排名越靠前,被点击的次数也可能会提高,已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争,其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.(1)试根据所给数据计算每小时点击次数的均值方差并分析两组数据的特征;(2)若把乙公司设置的每次点击价格为x ,每小时点击次数为y ,则点(x ,y )近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系,求y 关于x 的回归直线ˆˆˆybx a =+.(附:回归方程系数公式:1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx =-=-==--∑∑) 20.(12分)如图,直线10l y ++=与y 轴交于点A ,与抛物线()2:20C x py p =>交于P ,Q ,点B 与点A 关于x 轴对称,连接QB ,BP 并延长分别与x 轴交于点M ,N. (1)若PQ =,求抛物线C 的方程;(2)若3MN =,求BMN ∆外接圆的方程.21.(12分)已知函数()()2ln f x x axa R =+∈.(1)若()y f x =在2x =处的切线与x 轴平行,求()f x 的极值;(2)若函数()()1g x f x x =--在()0∞,+上单调递增,求实数a 的取值范围. 选考题22.(10分)选修4-4坐标系与参数方程以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为()253cos28ρθ-=,直线l的参数方程为22x m t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(其中t 为参数).(1)把曲线C 的极坐标方程化为普通方程;(2)若直线l 与曲线C 有两个公共点,求实数m 的取值范围.23.(10分)选修4-5不等式选讲 已知函数()12f x x x =-+.(1)关于x 的不等式()2f x <的解集为M ,且(),12m m M -⊆,求实数m 的取值范围; (2)求()()22g x f x x x =-+-的最小值,及对应的x 的取值范围. 附加题. 已知函数()()()2ln f x x g x ax bx a b ==-,、为常数.(Ⅰ)求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程;(Ⅱ)当函数()2g x x =在处取得极值-2,求函数()g x 的解析式;(Ⅲ)当12a=时,设()()()h x f x g x=+,若函数()h x在定义域上存在单调减区间,求实数b的取值范围.河北衡水中学2018届高三数学复习 周日测答案1.【答案】C 【解析】由条件可知A 为偶数集,故(){}R 1,3A B =-I ð.2.【答案】B 【解析】()()()22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2轾--骣-÷犏ç-=+=-+=--÷ç÷犏ç桫+臌. 3.【答案】A 【解析】()()32tan sin tan cos sin 23p p a a a a a 骣÷ç++=-=-=-÷ç÷ç桫. 4.【答案】D 【解析】设椭圆的焦距为2c ,由条件可得12c a =,故2a c =,由椭圆的长轴与焦距之差为4可得()24a c -=,即2a c -=,所以,4a =,2c =,故22212b a c =-=,故该椭圆的方程为2211612x y +=.5.【答案】A 【解析】从1,4,1,5,9,2,6这7位数字中任选两位数字的不同情况有:14,11,15,19,12,16,41,45,49,42,46,59,52,56,92,96,26,51,91,21,61,54,94,24,64,95,25,65,29,69,62,共31种不同情况,其中使得到的数字不大于3.14的情况有3种不同情况,故所求概率为32813131-=. 6.【答案】D 【解析】所给程序的运行过程如下:1b =,3a =;2b =,7a =;3b =,15a =;4b =,31a =,不满足30a <,输出b 的值为4.7.【答案】C 【解析】由三视图可知,该几何体是一个圆柱的34,故表面积为()232123213664p p p ??创=+.8.【答案】A 【解析】由条件可知,直线1l 过圆心():1,0C -,则圆心C 到直线2l 的距离等于直线1l 与2l 之间的距离2,故直线2l 被圆C 截得的弦长为4. 9.【答案】B 【解析】不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示:且点12,33A 骣÷ç-÷ç÷ç桫,()1,2B ,()1,2C -,易得目标函数3z x y =-在点C 处取得最大值5.10.【答案】C 【解析】设AB =uu u r a ,AC =uuu r b ,BD BC l =uu u r uu u r,则()()1AD AB BD l l l =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r a b a a b ,12BE AE AB =-=-u u u r u u u r u u u r b a ,则()()()()()()2211111312221133131142416AD BE l l l l l l l l l 骣÷ç轾?-+?=-?-+÷ç臌÷ç桫=-+-+=-=-uuu r uu u r a b b a a b a b故34l =,即34BD BC =. 11.【答案】B 【解析】由条件可知,()f x 的图象关于直线1x =对称,结合()()()f m x f m x x +=-?R 可得1m =,而()11f =,即221n -+=,解之得2n =,由()2n m f x -≥可得()12f x ≥,当1x ≥时,由22122x -+≥,解之得32x ≤,所以,312x ≤≤,再结合对称性可得x 的取值范围是13,22轾犏犏臌.12.【答案】B 【解析】()()2353sin cos 4cos sin 22cos22sin 2222f x x x x x x x w w w w w w j =-=--=--,其中4sin 5j =,3cos 5j =,由()12f q =可得()sin 21wq j -=,即()f x 关于x q =对称,而2x p q =+与x q =的距离为12个周期,故sin 212p w q j 轾骣÷ç犏+-=-÷ç÷ç犏桫臌,所以,592222f p q 骣÷ç+=--=-÷ç÷ç桫. 13.【答案】2【解析】11MA B Ð即为1A M 与AB 所成角,取11A B 中点N ,连接MN ,则11MN A B ^,则111tan 2MNMA B A N?=. 14.【答案】6【解析】设双曲线的焦距为2c ,则2ca=,即2c a =,则b =2x c a==代入双曲线可得2b y a =?,故22b m a =,所以,2226m b a a==.15.【答案】3【解析】由()()()20,0f a f b a b =><可得()ln ln 2a b =--,即21ab -=,∴12ab =-,则2242242a b a bab +?=≥,当且仅当122ab a b ìïï=-ïíïï=-ïî,即112a b ì=ïïïíï=-ïïî时,224a b +取得最小值2.故()22212log 2log 32m ab +=+=.16.cos cos 2cos b C c B a B +=及正弦定理可得sin cos sin 2sin cos B C Ccos B A B +=,即()sin 2sin cos B C A B +=,而()sin sin 0A B C =+>,∴1cos 2B =.由sin 3sin B A =可得3b a =,由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-,即2229a a c ac =+-,解之得a c=(舍去负值). 17.【解析】(1)设{}n a 的公比为q ,由895618a a a a +=+可得318q =,∴12q =,∴12n n a =,∴11112211212n n n S 骣÷ç-÷ç÷ç桫==--.(5分) (2)由(1)可得2n n n b =,则231232222n n nT =++++L ① 所以,2341112322222n n nT +=++++L ②由①-②可得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n T +++骣÷ç-÷ç÷ç桫+=++++-=-=--L , 所以,222n nn T +=-.(12分) 18.【解析】(1)取AB 的中点O ,连接PO ,PC .∵PA PB =,∴PO AB ^, ∵AB PC ^,PC PO P =I ,PC ,PO Ì平面POC , ∴AB ^平面POC ,又∵OC Ì平面POC ,∴AB OC ^, 而O 是AB 的中点,∴CA CB =.(6分)(2)∵平面PAB ^平面ABC ,PO Ì平面PAB ,平面PAB I 平面ABC AB =, ∴PO ^平面ABC,由条件可得PO =OC =.则11222ABC S AB OC =?创V ∴三棱锥P ABC -的体积为:1133ABC V S PO =?V .(12分)19.【解析】(1)由题图可知,甲公司每小时点击次数为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,乙公司每小时点击次数为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 甲公司每小时点击次数的平均数为:9578768677710x +++++++++==甲,乙公司每小时点击次数的平均数为:24687789071091x +++++++++==乙.甲公司每小时点击次数的方差为:()()222222122212140 1.210S 轾=+-+??+?犏臌甲;乙公司每小时点击次数的方差为:()()()22222222153******** 5.410S 轾=-+-+-+??+?犏臌乙,由计算已知,甲、乙公司每小时点击次数的均值相同,但是甲的方差较小,所以,甲公司每小时点击次数更加稳定.(6分)(2)根据折线图可得数据如下:则3x =, 5.4y =,则5152215 1.4i i i ii x y xy b x n x=-=-==-åå$, 1.2a =$, ∴所求回归直线方程为: 1.4 1.2y x =+$.(12分)20.【解析】(1)由2102y x py++=ï=ïî可得220x p ++=, 设点()11,P x y ,()22,Q x y,则()280p D=->,即1p >,12x x +=-,122x x p =,故12PQ x =-=.由2p =(舍去负值), ∴抛物线C 的方程为24x y =.(5分)(2)设直线BN ,BM 的斜率分别为1k ,2k 点,21221111212111111122222x y x p x x x x x p k x x px px p-----=====,22222221221222221122222x y x p x x x x x p k x x px px p-----=====, ∴120k k +=.直线BN 的方程为:11y k x =+,直线BM 的方程为:21y k x =+,则11,0N k 骣÷ç÷-ç÷ç÷桫,21,0M k 骣÷ç÷-ç÷ç÷桫,则12211211k k MN k k k k -=-==,由120k k +=可得12k k =-,∴1212k k =,∴1k =2k =120k k <,故tan tan BNM BMN ??, 即BMN V 是等腰三角形,且1OB =,则BMN V 的外接圆的圆心一定在y 轴上,设为()0,t ,由圆心到点M ,B 的距离相等可得()2221t t -=+桫,解之得16t =-,外接圆方程为22149636x y 骣÷ç++=÷ç÷ç桫.(12分) 21.【解析】(1)∵()2ln f x x ax =+,∴()()120f x ax x x ¢=+>, 由条件可得()11402f a ¢=+=,解之得18a =-, ∴()21ln 8f x x x =-,()()()()2211044x x f x x x x x --+¢=-=>, 令()0f x ¢=可得2x =或2x =-(舍去)当02x <<时,()0f x ¢>;当2x >时,()0f x ¢<即()f x 在()0,2上单调递增,在()2,+?上单调递减,故()f x 有极大值()12ln 22f =-,无极小值(5分) (2)()2ln 1g x x ax x =+--,则()()2121210ax x g x ax x x x-+¢=+-=> 设()221h x ax x =-+,①当0a =时,()1x g x x-¢=-,当01x <<时,()0g x ¢>, 当1x >时,()0g x ¢<,即()g x 在()0,1上单调递增,在()1,+?上单调递减,不满足条件;②当0a <时,()221h x ax x =-+是开口向下的抛物线,方程2210ax x -+=有两个实根,设较大实根为0x .当0x x >时,有()0h x <,即()0g x ¢<,∴()g x 在()0,x +?上单调递减,故不符合条件(8分)③当0a >时,由()0g x ¢≥可得()221h x ax x =-+在()0,+?上恒成立,故只需()0010400h a a ìïïïï-ïï-ïíïïD >ïïïï>ïî≥≤或0D ≤,即101041800a a a ìïïïïïïïíïï->ïïïï>ïî≥≤或1800a a ì-ïïíï>ïî≤,解之得18a ≥. 综上可知,实数a 的取值范围是1,8轹÷ê+?÷÷êøë.(12分) 22.【解析】(1)方程()253cos28r q -=可化为()22532cos 18r q 轾--=犏臌,即22243cos 4r r q -=,把222c o s x x y r r q ìï=+ïíï=ïî代入可得()222434x y x +-=,整理可得2214x y +=.(5分)(2)把x m y ìïï=-ïïïíïïï=ïïî代入2214x y +=可得225280t m -+-=,由条件可得()()2220280m D =--->,解之得m -<即实数m的取值范围是(-.(10分)23.【解析】(1)当1x ≤时,不等式()2f x <可变为()122x x --+<,解之得1x <,∴1x <;当1x >时,不等式()2f x <可变为()122x x -+<,解之得1x <,∴x 不存在. 综上可知,不等式()2f x <的解集为(),1M =-?.由(),12m m M -?,可得12121m m m ì<-ïïíï-ïî≤,解之得103m <≤,即实数m 的取值范围是10,3轹÷ê÷÷êøë.(5分)(2)()()()()2212121g x f x x x x x x x =-+-=-+----=≥,当且仅当()()120x x --≤,即12x ≤≤时,()g x 取得最小值1,此时,实数x 的取值范围是[]1,2.(10分)附加题(1)1y x =-(2)()2122g x x x =-(3)()2,b ∈+∞ 试题解析:(Ⅰ)由()ln f x x =(0x >),可得()1'f x x =(0x >), ∴()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是()()()111y f f x '-=-,即1y x =-,所求切线方程为1y x =-. (Ⅱ)∵又()2g x ax bx =-可得()2g x ax b '=-,且()g x 在2x =处取得极值2-. ∴()()20,22,g g '⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得40,422,a b a b -=-=-⎧⎨⎩解得12a =,2b =. 所求()2122g x x x =-(x R ∈). (Ⅲ)∵()()()21ln 2h x f x g x x x bx =+=+-,()21x bx h x x -+'=(0x >). 依题存在0x >使()210x bx h x x-+'=<,∴即存在0x >使210x bx -+<, 不等式210x bx -+<等价于1b x x >+(*) 令()1x x x=+λ(0x >),∵()()()221111(0)x x x x x x λ+-'=-=>. ∴()x λ在()0,1上递减,在[)1,+∞上递增,故()[)12,x x x=+∈+∞λ, ∵存在0x >,不等式(*)成立,∴2b >,所求()2,b ∈+∞.。

2018届高考数学理二轮专题复习限时规范训练:第一部分

2018届高考数学理二轮专题复习限时规范训练:第一部分

限时规范训练十六 圆锥曲线的定义、性质,直线与圆锥曲线限时40分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若实数k 满足0<k <9,则曲线x 225-y 29-k =1与曲线x 225-k -y 29=1的( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等解析:选A.由25+(9-k )=(25-k )+9,知两曲线的焦距相等.2.(2017·宁夏银川质检)抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线x 2-y 23=1的渐近线的距离是( )A.12B.32C .1D. 3解析:选D.由抛物线y 2=8x ,有2p =8⇒p =4,焦点坐标为(2,0),双曲线的渐近线方程为y =±3x ,不妨取其中一条3x -y =0,由点到直线的距离公式,有d =|3×2-0|3+1=3,故选D.3.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =52x ,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点.则C 的方程为( )A.x 28-y 210=1B.x 24-y 25=1C.x 25-y 24=1 D.x 24-y 23=1 解析:选B.∵双曲线的一条渐近线方程为y =52x ,则b a =52,①又∵椭圆x 212+y 23=1与双曲线有公共焦点,易知c =3,则a 2+b 2=c 2=9, ②由①②解得a =2,b =5,则双曲线C 的方程为x 24-y 25=1,故选B.4.已知抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27-y 29=1的右焦点重合,抛物线的准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且|AK |=2|AF |,则△AFK 的面积为( )A .4B .8C .16D .32解析:选D.因为抛物线y 2=2px 的焦点F 与双曲线x 27-y 29=1的右焦点(4,0)重合,所以p =8.设A (m ,n ),又|AK |=2|AF |,所以m +4=|n |, 又n 2=16m ,解得m =4,|n |=8, 所以△AFK 的面积为S =12×8×8=32.5.(2017·安徽合肥模拟)已知双曲线x 2-y 23=1的左顶点为A 1,右焦点为F 2,P 为双曲线右支上一点,则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A .-2B .-8116C .1D .0解析:选A.设点P (x ,y ),其中x ≥1.依题意得A 1(-1,0),F 2(2,0),则有y 23=x 2-1,y 2=3(x2-1),PA 1→·PF 2→=(-1-x ,-y )·(2-x ,-y )=(x +1)(x -2)+y 2=x 2+3(x 2-1)-x -2=4x 2-x -5=4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -182-8116,其中x ≥1.因此,当x =1时,PA 1→·PF 2→取得最小值-2,选A.6.(2017·浙江宁波模拟)点A 是抛物线C 1:y 2=2px (p >0)与双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ,则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析:选C.取双曲线的一条渐近线为y =bax ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =2pa 2b2,y =2pab ,故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b2,2pa b .因为点A 到抛物线C 1的准线的距离为p .所以p 2+2pa 2b 2=p ,所以a 2b 2=14.所以双曲线C 2的离心率e =ca=a 2+b 2a 2= 5. 7.(2017·山东德州一模)已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的一个交点为M ,F为抛物线的焦点,若|MF |=5,则该双曲线的渐近线方程为( )A .5x ±3y =0B .3x ±5y =0C .4x ±5y =0D .5x ±4y =0解析:选A.抛物线y 2=8x 的焦点为F (2,0),准线方程为x =-2,设M (m ,n ),则由抛物线的定义可得|MF |=m +2=5,解得m =3,由n 2=24,可得n =±2 6.将M (3,±26)代入双曲线x 2a2-y 2=1(a >0),可得9a 2-24=1(a >0),解得a =35,故双曲线的渐近线方程为y =±53x ,即5x ±3y=0.故选A.8.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点,A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析:选A.由题意可知直线AE 的斜率存在,设为k ,直线AE 的方程为y =k (x +a ),令x =0可得点E 坐标为(0,ka ),所以OE 的中点H 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,ka 2,又右顶点B (a,0),所以可得直线BM 的斜率为-k 2,可设其方程为y =-k 2x +k2a ,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k x +a ,y =-k 2x +k 2a ,可得点M 横坐标为-a3,又点M 的横坐标和左焦点相同,所以-a 3=-c ,所以e =13.9.已知双曲线的标准方程为x 29-y 216=1,F 为其右焦点,A 1,A 2分别是实轴的左、右端点,设P 为双曲线上不同于A 1,A 2的任意一点,直线A 1P ,A 2P 与直线x =a 分别交于M ,N 两点,若FM →·FN→=0,则a 的值为( )A.169B.95C.259D.165解析:选B.∵双曲线x 29-y 216=1,右焦点F (5,0),A 1(-3,0),A 2(3,0),设P (x ,y ),M (a ,m ),N (a ,n ),∵P ,A 1,M 三点共线,∴m a +3=y x +3,m =y a +x +3, ∵P ,A 2,N 三点共线,∴na -3=yx -3,∴n =y a -x -3.∵x 29-y 216=1,∴x 2-99=y 216,∴y 2x 2-9=169.又FM →=⎝⎛⎭⎪⎫a -5,y a +x +3,FN →=⎝⎛⎭⎪⎫a -5,y a -x -3,∴FM →·FN →=(a -5)2+y 2a 2-x 2-9=(a -5)2+a 2-9,∵FM →·FN →=0,∴(a -5)2+a 2-9=0,∴25a 2-90a +81=0,∴a =95.故选B.10.(2017·山东东营模拟)设F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使PF 1→·PF 2→=0,且|PF 1|=3|PF 2|,则该双曲线的离心率为( )A.2+12 B.2+1C.3+12D.3+1解析:选C.因为双曲线右支上存在一点P ,使PF 1→·PF 2→=0,所以PF 1→⊥PF 2→, 因为|PF 1|=3|PF 2|,所以|F 1F 2|=2|PF 2|=4c ,即|PF 2|=2c , 所以|PF 1|-|PF 2|=3|PF 2|-|PF 2| =(3-1)|PF 2|=2a ,因为|PF 2|=2c ,所以2c (3-1)=2a ,e =c a =13-1=3+12. 11.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知|AB |=42,|DE |=25,则C 的焦点到准线的距离为( )A .2B .4C .6D .8解析:选B.设抛物线方程为y 2=2px (p >0),圆的方程为x 2+y 2=r 2. ∵|AB |=42,|DE |=25, 抛物线的准线方程为x =-p2,∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ,22,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ,22,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-p 2,5在圆x 2+y 2=r 2上,∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2+8=r 2,p 24+5=r 2,∴16p 2+8=p24+5,∴p =4(负值舍去). ∴C 的焦点到准线的距离为4.12.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,|AB |+|DE |的最小值为( )A .16B .14C .12D .10解析:选A.设AB 倾斜角为θ,则|AB |=2psin 2θ,又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,|DE |=2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+θ=2p cos 2θ而y 2=4x ,即p =2. ∴|AB |+|DE |=2p ⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ+1cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ≥16,当θ=π4时取等号, 即|AB |+|DE |最小值为16,故选A.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知离心率e =52的双曲线C :x 2a 2-y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ,A 两点,若△AOF 的面积为4,则a 的值为________.解析:因为e =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2=52,所以b a =12,|AF ||OA |=b a =12,设|AF |=m ,|OA |=2m ,由面积关系得12×m ×2m =4,所以m =2,由勾股定理,得c =m 2+m2=25,又c a =52,所以a = 4.答案:414.设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.解析:设F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c =1-b 2, 则可设A (c ,b 2),B (x 0,y 0),由|AF 1|=3|F 1B |,可得(-2c ,-b 2)=3(x 0+c ,y 0),故⎩⎪⎨⎪⎧-2c =3x 0+3c ,-b 2=3y 0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-53c ,y 0=-13b 2,代入椭圆方程可得-b29+19b 2=1, 解得b 2=23,故椭圆方程为x 2+3y 22=1.答案:x 2+3y22=115.(2016·高考江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点,直线y =b2与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC =90°,则该椭圆的离心率是________.解析:由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32a ,b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ,b 2,F (c,0), ∴BF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫c +32a ,-b 2,CF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫c -32a ,-b 2,由∠BFC =90°,可得BF →·CF →=0, 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c -32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c +32a +⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 22=0, 即c 2-34a 2+14b 2=0,即4c 2-3a 2+(a 2-c 2)=0,亦即3c 2=2a 2,所以c 2a 2=23,则e =c a =63.答案:6316.(2017·山东潍坊模拟)抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,已知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB =120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则|AB ||MN |的最小值为________.解析:设AF =a ,BF =b ,由余弦定理得|AB |2=a 2+b 2-2ab cos 120°=a 2+b 2+ab =(a +b )2-ab ≥(a +b )2-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=34(a +b )2,因为a +b 2=AF +BF2=MN ,所以|AB |2≥34|2MN |2,所以|AB ||MN |≥3,所以最小值为 3.答案: 3。

2018年高考数学二模试卷(文科)带答案精讲

2018年高考数学二模试卷(文科)带答案精讲

2018年高考数学二模试卷(文科)一、选择题(共11小题,每小题5分,满分55分)1.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=9,a6=11,则S9等于()A.180 B.90 C.72 D.102.(5分)在样本的频率分布直方图中,共有5个长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的,且样本容量为100,则正中间的一组的频数为()A.80 B.0.8 C.20 D.0.23.(5分)在△ABC中,C=60°,AB=,那么A等于()A.135°B.105°C.45°D.75°4.(5分)已知:如图的夹角为的夹角为30°,若等于()A.B.C.D.25.(5分)若集合,B={1,m},若A⊆B,则m的值为()A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D.2或6.(5分)设α、β是两个不同的平面,l、m为两条不同的直线,命题p:若平面α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;命题q:l∥α,m⊥l,m⊂β,则β⊥α,则下列命题为真命题的是()A.p或q B.p且q C.¬p或q D.p且¬q7.(5分)已知x,y满足约束条件的最小值是()A.B.C.D.18.(5分)2011年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定:凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”,享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”.则这组号码中“金兔卡”的张数()A.484 B.972 C.966 D.4869.(5分)有三个命题①函数的反函数是y=(x+1)2(x∈R)②函数f(x)=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点;③函数的图象关于y轴对称.其中真命题是()A.①③B.②C.③D.②③10.(5分)若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动,O为坐标原点,则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是()A.点B.线段C.圆弧D.抛物线的一部分11.(5分)若关于x的不等式|x﹣1|<ax(a≠0)的解集为开区间(m,+∞),其中m∈R,则实数a的取值范围为()A.a≥1 B.a≤﹣1 C.0<a<1 D.﹣1<a<0二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)12.(5分)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π,则球的表面积为.13.(5分)已知二项式展开式中的项数共有九项,则常数项为.14.(5分)已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上,则双曲线的离心率为.15.(5分)函数,在区间(﹣π,π)上单调递增,则实数φ的取值范围为.16.(5分)在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“∀”表示;“存在”一词,叫做存在量词,用符号“∃”表示.设.①若∃x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为;②若∀x1∈(2,+∞),∃x2∈(2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(12分)已知=(cosx+sinx,sinx),=(cosx﹣sinx,2cosx).(I)求证:向量与向量不可能平行;(II)若•=1,且x∈[﹣π,0],求x的值.18.(12分)已知某高中某班共有学生50人,其中男生30人,女生20人,班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查.(I)求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数;(I)若从这5人中选取2人作为重点调查对象,求至少选取1个男生的概率;(II)若本班学生考前心理状态好的概率为0.8,求调查中恰有3人心理状态良好的概率.19.(12分)如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=a,E为棱A1D1中点.(I)求二面角E﹣AC﹣B的正切值;(II)求直线A1C1到平面EAC的距离.20.(12分)已知f(x)=tx3﹣2x2+1.(I)若f′(x)≥0对任意t∈[﹣1,1]恒成立,求x的取值范围;(II)求t=1,求f(x)在区间[a,a+3](a<0)上的最大值h(a).21.(12分)已知{a n}是正数组成的数列,a1=1,且点在函数y=x2+1的图象上.数列{b n}满足b1=0,b n+1=b n+3an(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)若c n=a n b n cosnπ(n∈N*),求数列{c n}的前n项和S n.22.(10分)若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=﹣1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A、B为曲线E上的两点,点.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)若t=6,直线AB的斜率为,过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线,求圆N的方程;(Ⅲ)分别过A、B作曲线E的切线,两条切线交于点Q,若点Q恰好在直线l 上,求证:t与均为定值.参考答案与试题解析一、选择题(共11小题,每小题5分,满分55分)1.(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=9,a6=11,则S9等于()A.180 B.90 C.72 D.10【分析】由a4=9,a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20,代入等差数列的前n项和公式可求.【解答】解:∵a4=9,a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q和数列的求和.解题的关键是利用了等差数列的性质:利用性质可以简化运算,减少计算量.2.(5分)在样本的频率分布直方图中,共有5个长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的,且样本容量为100,则正中间的一组的频数为()A.80 B.0.8 C.20 D.0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中,共有5个长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的,我们出该组的频率,进而根据样本容量为100,求出这一组的频数.【解答】解:∵样本的频率分布直方图中,共有5个长方形,又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的,则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100,∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,其中根据各组中频率之比等于面积之比,求出该组数据的频率是解答本题的关键.3.(5分)在△ABC中,C=60°,AB=,那么A等于()A.135°B.105°C.45°D.75°【分析】由C的度数求出sinC的值,再由c和a的值,利用正弦定理求出sinA 的值,由c大于a,根据大边对大角,得到C大于A,得到A的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.【解答】解:∵C=60°,AB=c=,BC=a=,∴由正弦定理=得:sinA===,又a<c,得到A<C=60°,则A=45°.故选C【点评】此题考查了正弦定理,三角形的边角关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.4.(5分)已知:如图的夹角为的夹角为30°,若等于()A.B.C.D.2【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解,构造出三角形,由题目已知,可得三角形中三边长及三个角,然后解三角形即可得到答案.【解答】解:如图所示:根据平行四边形法则将向量沿与方向进行分解,则由题意可得OD=λ,CD=μ,∠COD=30°,∠OCD=90°,∠Rt△OCD中,sin∠COD=sin30°===,∴=2,故选D.【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解,关键是要根据平行四边形法则,找出向量在基底两个向量方向上的分量,再根据已知条件构造三角形,解三角形即可得到分解结果.5.(5分)若集合,B={1,m},若A⊆B,则m的值为()A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D.2或【分析】由已知中集合,解根式方程可得A={2},结合B={1,m},及A⊆B,结合集合包含关系的定义,可得m的值.【解答】解:∵集合={2}又∵B={1,m}若A⊆B则m=2故选A【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题,其中解根式方程确定集合A是解答本题的关键,解答中易忽略根成有意义的条件,而错解为A={﹣1}6.(5分)设α、β是两个不同的平面,l、m为两条不同的直线,命题p:若平面α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;命题q:l∥α,m⊥l,m⊂β,则β⊥α,则下列命题为真命题的是()A.p或q B.p且q C.¬p或q D.p且¬q【分析】对于命题p,q,只要把相应的平面和直线放入长方体中,找到反例即可.【解答】解:在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p:平面AC为平面α,平面A1C1为平面β,直线A1D1,和直线AB分别是直线m,l,显然满足α∥β,l⊂α,m⊂β,而m与l异面,故命题p不正确;﹣p正确;命题q:平面AC为平面α,平面A1C1为平面β,直线A1D1,和直线AB分别是直线m,l,显然满足l∥α,m⊥l,m⊂β,而α∥β,故命题q不正确;﹣q正确;故选C.【点评】此题是个基础题.考查面面平行的判定和性质定理,要说明一个命题不正确,只需举一个反例即可,否则给出证明;考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.7.(5分)已知x,y满足约束条件的最小值是()A.B.C.D.1【分析】本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的线段的长度问题,注意最后要平方.【解答】解:先根据约束条件画出可行域,z=x2+y2,表示可行域内点到原点距离OP的平方,点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值,d=,∴z=x2+y2的最小值为故选B.【点评】本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包括线性的与非线性,非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化.8.(5分)2011年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定:凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”,享受一定优惠政策.如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”.则这组号码中“金兔卡”的张数()A.484 B.972 C.966 D.486【分析】据题意,对卡号的后4位分3种情况讨论:①、后4位中含有2个8,进而细分为1°其他数字不重复,2°其他数字也相同,由排列、组合数公式可得其情况数目,②、后4位中含有2个6的卡片,同①可得其情况数目,③、含有2个8、2个6,由组合数公式可得其情况数目;最后由事件之间的关心计算可得答案.【解答】解:根据题意,对卡号的后4位分3种情况讨论:①、后4位中含有2个8,1°若其他数字不重复,在其中任取2个其他的数字,与2个8进行全排列,有×A44×C92种情况,2°若其他数字也相同,易得有9×C42种情况,共有×A44×C92+9×C42=486张,②、同理后4位只中含有2个6的卡片有486张,③、后4位中含有2个8、2个6,有C42=6张,共有486+486﹣6=966张;故选C.【点评】本题考查分步计数原理的应用,考查带有约束条件的数字问题,分类讨论时,注意事件之间的关系,要做到不重不漏.9.(5分)有三个命题①函数的反函数是y=(x+1)2(x∈R)②函数f(x)=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点;③函数的图象关于y轴对称.其中真命题是()A.①③B.②C.③D.②③【分析】对于①,欲求原函数y=﹣1(x≥0)的反函数,即从原函数式中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.对于②,利用函数f(x)的单调性,与函数的零点与方程的根判断即可;对于③,通过函数f(x)的奇偶性判断即可.【解答】解:对于①,∵y=﹣1(x≥0),∴x=(y+1)2(y≥﹣1),∴x,y互换,得y=(x+1)2(x≥﹣1).故不正确.对于②,考察f(x)的单调性,lnx和x﹣2在(0,+∞)上是增函数,故f(x)=lnx+x﹣2在(0,+∞)上是增函数,图象与x轴最多有1个交点,故不正确.对于③,函数的定义域为[﹣3,3],所以,函数化简为:y=是偶函数,图象关于y轴对称,正确.故选C.【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.10.(5分)若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,O 为坐标原点,则△OAB 的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是( ) A .点 B .线段 C .圆弧D .抛物线的一部分【分析】本题是个选择题,利用排除法解决.首先由△OAB 的重心,排除C ;再利用△OAB 的内心,排除B ;最后利用△OAB 的垂心,排除A ;即可得出正确选项.【解答】解:设重心为G ,AB 中点为C ,连接OC .则OG=OC (这是一个重心的基本结论).而OC=AB=定值,所以G 轨迹圆弧. 排除C ;内心一定是平分90度的那条角平分线上,轨迹是线段.排除B ;外心是三角形外接圆圆心,对于这个直角三角形,AB 中点C 就是三角形外接圆圆心,OC 是定值, 所以轨迹圆弧,排除C ; 垂心是原点O ,定点,排除A 故选D .【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法.解选择题时可利用排除法.11.(5分)若关于x 的不等式|x ﹣1|<ax (a ≠0)的解集为开区间(m ,+∞),其中m ∈R ,则实数a 的取值范围为( ) A .a ≥1B .a ≤﹣1C .0<a <1D .﹣1<a <0【分析】在同一坐标系中做出函数 y=|x |和 函数y=ax 的图象,由题意结合图形可得实数a 的取值范围.【解答】解:∵关于x 的不等式|x ﹣1|<ax (a ≠0)的解集为 开区间(m ,+∞),其中m ∈R ,在同一坐标系中做出函数y=|x﹣1|和函数y=ax的图象,如图所示:结合图象可得a≥1.故选:A.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,画出图形,是解题的关键,属于中档题.二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)12.(5分)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π,则球的表面积为12π.【分析】求出截面圆的半径,利用勾股定理求出球的半径,然后求出球的表面积.【解答】解:由题意可知截面圆的半径为:r,所以πr2=2π,r=,由球的半径,球心到截面圆的距离,截面圆的半径,满足勾股定理,所以球的半径为:R==.所求球的表面积为:4πR2=12π.故答案为:12π.【点评】本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系,是本题的解题的关键,考查计算能力.13.(5分)已知二项式展开式中的项数共有九项,则常数项为1120.【分析】根据展开式中的项数共有九项可求出n的值是8.利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的指数为0,求出r,将r的值代入通项求出展开式的常数项.【解答】解:∵二项式展开式中的项数共有九项∴n=8=2r C8r x4﹣r展开式的通项为T r+1令4﹣r=0得r=4所以展开式的常数项为T5=24C84=1120故答案为:1120.【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,解答关键是求出n的值,属于中档题.14.(5分)已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上,则双曲线的离心率为.【分析】先由题设条件求出椭圆的焦点坐标和双曲线的准线方程,列出关于b 的方程求出b,从而得到a和c,再利用a和c求出双曲线的离心率.【解答】解:由题设条件可知椭圆的右焦点坐标为(2,0),双曲线的右准线方程为x=,∴,解得b=2.则双曲线的离心率为.故答案为:.【点评】本题是双曲线的椭圆的综合题,难度不大,只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行.15.(5分)函数,在区间(﹣π,π)上单调递增,则实数φ的取值范围为.【分析】求出函数的单调增区间,通过子集关系,确定实数φ的取值范围.【解答】解:函数,由2kπ﹣πφ≤2kπ,可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ,由题意在区间(﹣π,π)上单调递增,所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ,因为0<φ<2π,所以k=1,实数φ的取值范围为;故答案为:【点评】本题是基础题,考查三角函数的单调性的应用,子集关系的理解,考查计算能力.16.(5分)在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“∀”表示;“存在”一词,叫做存在量词,用符号“∃”表示.设.①若∃x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为(,+∞);②若∀x1∈(2,+∞),∃x2∈(2,+∞)使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为不存在.【分析】①先对函数配方,求出其对称轴,判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围,即可求出实数m的取值范围;②先利用单调性分别求出两个函数的值域,再比较即可求出实数a的取值范围.【解答】解:因为f(x)==,(2,+∞),f(x)>f(2)=;g(x)=a x,(a>1,x>2).g(x)>g(2)=a2.①∵∃x0∈(2,+∞),使f(x0)=m成立,∴m;②∵∀x1∈(2,+∞),∃x2∈(2,+∞)使得f(x1)=g(x2),∴⇒a不存在.故答案为:(,+∞):不存在.【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域,是对基础知识的综合考查,属于中档题目.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(12分)已知=(cosx+sinx,sinx),=(cosx﹣sinx,2cosx).(I)求证:向量与向量不可能平行;(II)若•=1,且x∈[﹣π,0],求x的值.【分析】(I)先假设两个向量平行,利用平行向量的坐标表示,列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简,求出一个角的正弦值,根据正弦值的范围推出矛盾,即证出假设不成立;(II)利用向量数量积的坐标表示列出式子,并用倍角和两角和正弦公式进行化简,由条件和已知角的范围进行求值.【解答】解:(I)假设∥,则2cosx(cosx+sinx)﹣sinx(cosx﹣sinx)=0,1+cosxsinx+cos2x=0,即1+sin2x+=0,∴sin(2x+)=﹣3,解得sin(2x+)=﹣<﹣1,故不存在这种角满足条件,故假设不成立,即与不可能平行.(II)由题意得,•=(cosx+sinx)(cosx﹣sinx)+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin (2x+)=1,∵x∈[﹣π,0],∴﹣2π≤2x≤0,即≤,∴=﹣或,解得x=或0,故x的值为:或0.【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算,主要利用了三角恒等变换的公式进行化简,对于存在性的题目一般是先假设成立,根据题意列出式子,再通过运算后推出矛盾,是向量和三角函数相结合的题目.18.(12分)已知某高中某班共有学生50人,其中男生30人,女生20人,班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查.(I)求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数;(I)若从这5人中选取2人作为重点调查对象,求至少选取1个男生的概率;(II)若本班学生考前心理状态好的概率为0.8,求调查中恰有3人心理状态良好的概率.【分析】(Ⅰ)根据题意,可得抽取的比例为,由分层抽样的性质,计算可得答案;(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,男生被抽取人数为3人,女生被抽取人数为2人,分析可得“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“选取的都是2个女生”为对立事件;先计算“选取的都是2个女生”的概率,进而由对立事件的概率性质,计算可得答案;(Ⅲ)根据题意,分析可得:本题为在5次独立重复试验中恰有3次发生,由其公式,计算可得答案.【解答】解:(Ⅰ)根据题意,在50人中抽取了5人,抽取的比例为;则抽取男生30×=3,女生20×=2;即男生被抽取人数为3人,女生被抽取人数为2人;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,男生被抽取人数为3人,女生被抽取人数为2人,“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“2个女生”为对立事件;选取的两名学生都是女生的概率P==,∴所求的概率为1﹣P=;(Ⅲ)根据题意,本班学生的考前心理状态良好的概率为0.8,则抽出的5人中,恰有3人心理状态良好,即在5次独立重复试验中恰有3次发生,则其概率为C53×()3×()2=.【点评】本题主要考查排列n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算,涉及分层抽样与对立事件的概率计算;需要牢记各个公式,并做到“对号入座”.19.(12分)如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=a,E为棱A1D1中点.(I)求二面角E﹣AC﹣B的正切值;(II)求直线A1C1到平面EAC的距离.【分析】(I)取AD的中点H,连接EH,则EH⊥平面ABCD,过H作HF⊥AC与F,连接EF,我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角,解三角形EFH后,即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值;(II)直线A1C1到平面EAC的距离,即A1点到平面EAC的距离,利用等体积法,我们根据=,即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离.【解答】解:(I)取AD的中点H,连接EH,则EH⊥平面ABCD,过H作HF⊥AC 与F,连接EF,则EF在平面ABCD内的射影为HF,由三垂线定理得EF⊥AC,,∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a,HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分(II)直线A1C1到平面EAC的距离,即A1点到平面EAC的距离d,…8分∵=∴S•d=△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,点到平面的距离,其中(I)的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角,(II)中求点到面的距离时,等体积法是最常用的方法.20.(12分)已知f(x)=tx3﹣2x2+1.(I)若f′(x)≥0对任意t∈[﹣1,1]恒成立,求x的取值范围;(II)求t=1,求f(x)在区间[a,a+3](a<0)上的最大值h(a).【分析】(I)f′(x)=3tx2﹣4x,令g(t)=3x2t﹣4x,由,能求出x的取值范围.(II)由f(x)=x3﹣2x2+1,知f′(x)=3x2﹣4x=x(3x﹣4),f′(x)>0,得f(x)在(﹣∞,0)和()为递增函数;令f′(x)<0,得f(x)在(0,)为递减函数.由此进行分类讨论,能求出f(x)在区间[a,a+3](a<0)上的最大值h(a).【解答】解:(I)f′(x)=3tx2﹣4x,令g(t)=3x2t﹣4x,则有,∴,解得.∴x的取值范围是.(II)f(x)=x3﹣2x2+1,f′(x)=3x2﹣4x=x(3x﹣4),令f′(x)>0,得x<0或x>.令f′(x)<0,得0,∴f(x)在(﹣∞,0)和()为递增函数;在(0,)为递减函数.∵f(0)=1,,令f(x)=1,得x=0或x=2.①当a+3<0,即a<﹣3时,f(x)在[a,a+3]单调递增.∴h(a)=f(a+3)=a3+7a2+15a+10.②当0≤a+3≤2,即﹣3≤a≤﹣1时,h(a)=f(0)=1.③当a+3>2,即0>a>﹣1时,h(a)=f(a+3)=a3+7a2+15a+10.∴.【点评】本题考查导数在求最大值和求最小值时的实际应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.解题时要注意分类讨论思想的灵活运用.21.(12分)已知{a n}是正数组成的数列,a1=1,且点在函数y=x2+1的图象上.数列{b n}满足b1=0,b n+1=b n+3an(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)若c n=a n b n cosnπ(n∈N*),求数列{c n}的前n项和S n.【分析】(Ⅰ)由题设条件知a n=a n+1,根据等差数列的定义:{a n}是首项为1,+1公差为1的等差数列,从而a n=n,根据b n+1=b n+3an(n∈N*),可得b n+1﹣b n=3n (n∈N*).累加可求和,从而得{b n}的通项公式;(II)根据c n=a n b n cosnπ(n∈N*),可得,再分n为偶数,奇数分别求和即可【解答】解:(Ⅰ)因为点()(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上=a n+1所以a n+1根据等差数列的定义:{a n}是首项为1,公差为1的等差数列所以a n=n=b n+3an(n∈N*).∵b n+1∴b n﹣b n=3n(n∈N*).+1∴(II)∵c n=a n b n cosnπ(n∈N*),∴当n为偶数时,S n=(﹣3+2•32+…+n•3n)+3[1﹣2+3﹣4+…+(n﹣1)﹣n]设T n=(﹣3+2•32+…+n•3n),则3T n=﹣32+2•33+…+n•3n+1∴∴当n为奇数时,∴【点评】本题以函数为载体,考查数列的概念和性质及其应用,考查错位相减法求和,解题时要注意公式的灵活运用.22.(10分)若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=﹣1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A、B为曲线E上的两点,点.(Ⅰ)求曲线E的方程;(Ⅱ)若t=6,直线AB的斜率为,过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线,求圆N的方程;(Ⅲ)分别过A、B作曲线E的切线,两条切线交于点Q,若点Q恰好在直线l 上,求证:t与均为定值.【分析】(I)由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y.(II)由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A(6,9)和B(﹣4,4),进而直线NA的方程为,由A,B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为,可求N点的坐标,进而求出圆N的方程.(III)设A,B两点的坐标,由题意得过点A的切线方程为又Q(a,﹣1),可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a,x1x2=﹣4.所以直线AB的方程为所以t=﹣1.根据向量的运算得=0.【解答】【解】(Ⅰ)依题意,点C到定点M的距离等于到定直线l的距离,所以点C的轨迹为抛物线,曲线E的方程为x2=4y.(Ⅱ)直线AB的方程是,即x﹣2y+12=0.由及知,得A(6,9)和B(﹣4,4)由x2=4y得,.所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3.直线NA的方程为,即.①线段AB的中点坐标为,线段AB中垂线方程为,即.②由①、②解得.于是,圆C的方程为,即.(Ⅲ)设,,Q(a,1).过点A的切线方程为,即x12﹣2ax1﹣4=0.同理可得x22﹣2ax2﹣4=0,所以x1+x2=2a,x1x2=﹣4.又=,所以直线AB的方程为,即,亦即,所以t=1.而,,所以==.【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题,解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征,这也是高考常考的知识点.。

2018年2月18日 每周一测-每日一题2018年高考数学(文)二轮复习

2018年2月18日 每周一测-每日一题2018年高考数学(文)二轮复习

每周一测高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★★☆☆1.已知函数e xy =的值域为集合A ,不等式260x x --<的解集为集合B ,则A B =A .{|20}x x -<<B .{|23}x x -<<C .{}|2x x >-D .{}|0x x >2.设,a b ∈R ,若a b >,则 A .11a b< B .lg lg a b > C .sin sin a b >D .22ab>3.若0,0x y >>,则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A .x y =B .2x y =C .2,x =且1y =D .,x y =或1y =4.若命题“ax 2-2ax + 3 > 0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是 A .a < 0或a ≥3 B .a ≤0或a ≥3 C .a < 0或a >3D .0<a <35.已知数列{}n a 满足111,2nn n a a a +==+,则10a =A .1024B .1023C .2048D .20476.已知0a b <<,且1a b +=,下列不等式中,一定成立的是 ①2log 1a >-;②22log log 2a b +>-; ③()2log 0b a -<; ④2log ) 1.ba a b+>( A .①② B .③④ C .②③D .①④7.已知关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是 A . B . C .D .8.数列{}n a 满足12a =,21n n a a +=(0n a >),则n a =A .210n -B .110n -C .1210n -D .122n -9.在等差数列}{n a 中,首项01=a ,公差0≠d ,若1011100k a a a a =+++,则=kA .4910B .4914C .4915D .491610.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,22a =,且()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ,记()*12111n nT n S S S =+++∈N ,则2018T = A .40342018 B .20172018 C .40362019D .2018201911.在各项都为正数的等比数列{}n a 中,若201822a =,则2017201912a a +的最小值为__________.12.各项都是正数的数列{}n a 满足12n n a a +=,且31116a a ⋅=,则5a =__________.13.已知圆221:4C x y +=和圆()()222:224C x y -+-=,若点(),(0,0)P a b a b >>在两圆的公共弦上,则19a b+的最小值为___________.学+ 14.我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是___________. 15.已知数列{}n a 满足:10a =,)21111n n a a +=+-()*n ∈N .(1)求n a ;(212n n S b b b =++⋅⋅⋅+,求2n S .16.设{}n a 是公比大于1的等比数列,n S 为其前n 项和,已知37S =,13a +,23a ,34a +构成等差数列.学&(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令ln n n n b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .1.【答案】C【解析】由函数e xy =的值域为{}|0A y y =>,不等式260x x --<的解集为{|23}B x x =-<<,所以{}|2AB x x =>-,故选C .2.【答案】D【解析】因为,,a b a b ∈>R ,所以当0,0a b ><时,A 不成立; 根据对数函数的定义,可知真数必需大于零,故B 不成立; 由于正弦函数具有周期性,故不能确定大小,故C 不成立; 根据指数函数的单调性可知,D 正确. 故选D . 3.【答案】C 【解析】0,0x y >>,∴222x y xy +≥,当且仅当2x y =时取等号.故“2,x =且1y =”是“222x y xy +=”的充分不必要条件.选C .5.【答案】B【解析】∵12nn n a a +=+,∴a n +1−a n =2n ,∴()()()()929213210921222212a a a a a a --+-++-=+++=-=1022;∴a 10−a 1=a 10−1=1022,∴a 10=1023. 本题选择B 选项.【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.7.【答案】B 【解析】时,符合题意,时,关于的不等式的解集为,只需20116160a a a a ∆>⎧⇒<<⎨=-<⎩,综上可知,实数的取值范围是,选B .8.【答案】D【解析】因为数列{}n a 满足12a =,21n n a a +=(0n a >),所以212122log log 2log 2log n n n na a a a ++=⇒=,所以{}2log n a 是公比为2的等比数列,所以112221)log (log 22n n n n a a a --=⋅⇒=.9.【答案】C【解析】因为数列}{n a 是等差数列,所以d n d n a a n )1()1(1-=-+=, 因为10100k a a a =++,所以101112100111009998100(9)491422k a a a a a a d a d d ⨯⨯=+++⋅⋅⋅+=+-+=, 又(1)k a k d =-,所以(1)4914k d d -=,所以4915k =.故选C . 10.【答案】C【解析】2120n n n a a a ++-+=,212n n n a a a ++∴+=,∴数列{}n a 是等差数列,又11a =,22a =,1d ∴=,则n a n =,()12nn n S +⋅=,()1211211n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪⋅++⎝⎭,12111111111122211223111nnnTS S S n n n n⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭,∴201840362019T=,故选C.13.【答案】8【解析】由题意,两圆的方程相减,可得公共弦方程为2,x y+=点()(),0,0P a b a b>>在两圆的公共弦上,()191192,2a b a ba b a b⎛⎫∴+=∴+=++⎪⎝⎭()19110106822b aa b⎛⎫=++≥⨯+=⎪⎝⎭,当且仅当9b aa b=,即3b a=时,取等号,19a b+的最小值为8,故答案为8.学*14.【答案】195【解析】由题意得,解得.即题中的人数是195.15.【答案】(1)21na n=-;(2)2nS=221nn-+.【解析】(1)由)21111n na a+=+-11na+⇒+)211na=+1111n na a++=+,∴{}1n a+是公差为1的等差数列,1n a∴+=()1111a n n+-⨯=,21na n∴=-.(2)由(1)知()()2111nnnbn n+=-+()1111nn n⎛⎫=-+⎪+⎝⎭,2111111111112233445221n S n n ∴=--++--+++⋅⋅⋅+++11212121nn n -=-+=++.(2)由(1)得()121ln2n n b n -=+-,所以()()2112220121ln2n n T n -⎡⎤=+++++++++-⎣⎦()112ln2122n n n --=+-()121ln22n n n -=-+.学¥。

2018届高考数学(理)二轮限时规范训练(Word版,含答案解析)

2018届高考数学(理)二轮限时规范训练(Word版,含答案解析)

限时规范训练一 集合、常用逻辑用语限时40分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.集合A ={x ∈N |-1<x <4}的真子集个数为( ) A .7 B .8 C .15D .16解析:选C.A ={0,1,2,3}中有4个元素,则真子集个数为24-1=15.2.已知集合A ={x |2x 2-5x -3≤0},B ={x ∈Z |x ≤2},则A ∩B 中的元素个数为( ) A .2 B .3 C .4D .5解析:选B.A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12≤x ≤3,∴A ∩B ={0,1,2},A ∩B 中有3个元素,故选B. 3.设集合M ={-1,1},N ={x |x 2-x <6},则下列结论正确的是( ) A .N ⊆M B .N ∩M =∅ C .M ⊆ND .M ∩N =R解析:选C.集合M ={-1,1},N ={x |x 2-x <6}={x |-2<x <3},则M ⊆N ,故选C. 4.已知p :a <0,q :a 2>a ,则﹁p 是﹁q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B.因为﹁p :a ≥0,﹁q :0≤a ≤1,所以﹁q ⇒﹁p 且﹁p ⇒/﹁q ,所以﹁p 是﹁q 的必要不充分条件.5.下列命题正确的是( )A .若p ∨q 为真命题,则p ∧q 为真命题B .“a >0,b >0”是“b a +ab≥2”的充要条件C .命题“若x 2-3x +2=0,则x =1或x =2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2,则x 2-3x +2≠0”D .命题p :∃x ∈R ,x 2+x -1<0,则﹁p :∀x ∈R ,x 2+x -1≥0解析:选D.若p ∨q 为真命题,则p ,q 中至少有一个为真,那么p ∧q 可能为真,也可能为假,故A 错;若a >0,b >0,则b a +a b ≥2,又当a <0,b <0时,也有b a +a b≥2,所以“a >0,b >0”是“b a +a b≥2”的充分不必要条件,故B 错;命题“若x 2-3x +2=0,则x =1或x =2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2,则x 2-3x +2≠0”,故C 错;易知D 正确.6.设集合A ={x |x >-1},B ={x ||x |≥1},则“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是( )A .-1<x ≤1B .x ≤1C .x >-1D .-1<x <1解析:选D.由题意可知,x ∈A ⇔x >-1,x ∉B ⇔-1<x <1,所以“x ∈A 且x ∉B ”成立的充要条件是-1<x <1.故选D.7.“a =0”是“函数f (x )=sin x -1x+a 为奇函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0},关于原点对称.当a =0时,f (x )=sin x -1x,f (-x )=sin(-x )-1-x =-sin x +1x =-⎝⎛⎭⎪⎫sin x -1x =-f (x ),故f (x )为奇函数;反之,当f (x )=sin x -1x+a 为奇函数时,f (-x )+f (x )=0,又f (-x )+f (x )=sin (-x )-1-x +a +sin x -1x +a =2a ,故a =0,所以“a =0”是“函数f (x )=sin x -1x+a 为奇函数”的充要条件,故选C.8.已知命题p :“∃x ∈R ,e x-x -1≤0”,则﹁p 为( ) A .∃x ∈R ,e x-x -1≥0 B .∃x ∈R ,e x -x -1>0 C .∀x ∈R ,e x -x -1>0 D .∀x ∈R ,e x -x -1≥0解析:选C.特称命题的否定是全称命题,所以﹁p :∀x ∈R ,e x-x -1>0.故选C. 9.下列命题中假命题是( ) A .∃x 0∈R ,ln x 0<0 B .∀x ∈(-∞,0),e x>x +1 C .∀x >0,5x>3xD .∃x 0∈(0,+∞),x 0<sin x 0解析:选D.令f (x )=sin x -x (x >0),则f ′(x )=cos x -1≤0,所以f (x )在(0,+∞)上为减函数,所以f (x )<f (0),即f (x )<0,即sin x <x (x >0),故∀x ∈(0,+∞),sin x <x ,所以D 为假命题,故选D.10.命题p :存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,使sin x 0+cos x 0>2;命题q :命题“∃x 0∈(0,+∞),ln x 0=x 0-1”的否定是∀x ∈(0,+∞),ln x ≠x -1,则四个命题(﹁p )∨(﹁q )、p ∧q 、(﹁p )∧q 、p ∨(﹁q )中,正确命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B.因为sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4≤2,故命题p 为假命题;特称命题的否定为全称命题,易知命题q 为真命题,故(﹁p )∨(﹁q )真,p ∧q 假,(﹁p )∧q 真,p ∨(﹁q )假.11.下列说法中正确的是( )A .命题“∀x ∈R ,e x >0”的否定是“∃x ∈R ,e x>0”B .命题“已知x ,y ∈R ,若x +y ≠3,则x ≠2或y ≠1”是真命题C .“x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2],有(x 2+2x )min ≥(ax )max ” D .命题“若a =-1,则函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点”的逆命题为真命题 解析:选B.全称命题“∀x ∈M ,p (x )”的否定是“∃x ∈M ,﹁p (x )”,故命题“∀x ∈R ,e x >0”的否定是“∃x ∈R ,e x≤0”,A 错;命题“已知x ,y ∈R ,若x +y ≠3,则x ≠2或y ≠1”的逆否命题为“已知x ,y ∈R ,若x =2且y =1,则x +y =3”,是真命题,故原命题是真命题,B 正确;“x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立”⇔“对于x ∈[1,2],有(x +2)min ≥a ”,由此可知C 错误;命题“若a =-1,则函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点”的逆命题为“若函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点,则a =-1”,而函数f (x )=ax 2+2x -1只有一个零点⇔a =0或a =-1,故D 错.故选B.12.“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交”是“0<b <1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选B.若“直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交”,则圆心到直线的距离为d =|b |2<1,即|b |<2,不能得到0<b <1;反过来,若0<b <1,则圆心到直线的距离为d =|b |2<12<1,所以直线y =x +b 与圆x 2+y 2=1相交,故选B. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若命题“∃x 0∈R ,x 20-2x 0+m ≤0”是假命题,则m 的取值范围是________. 解析:由题意,命题“∀x ∈R ,x 2-2x +m >0”是真命题,故Δ=(-2)2-4m <0,即m >1.答案:(1,+∞)14.若关于x 的不等式|x -m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3,则实数m 的取值范围是________.解析:由|x -m |<2得-2<x -m <2,即m -2<x <m +2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m-2<x <m +2}的真子集,于是有⎩⎪⎨⎪⎧m -2<2m +2>3,由此解得1<m <4,即实数m 的取值范围是(1,4).答案:(1,4)15.设集合S ,T 满足∅≠S ⊆T ,若S 满足下面的条件:(i)对于∀a ,b ∈S ,都有a -b ∈S 且ab ∈S ;(ⅱ)对于∀r ∈S ,n ∈T ,都有nr ∈S ,则称S 是T 的一个理想,记作S ⊲T .现给出下列集合对:①S ={0},T =R ;②S ={偶数},T =Z ;③S =R ,T =C (C 为复数集),其中满足S ⊲T 的集合对的序号是________.解析:①(ⅰ)0-0=0,0×0=0;(ⅱ)0×n =0,符合题意.②(ⅰ)偶数-偶数=偶数,偶数×偶数=偶数;(ⅱ)偶数×整数=偶数,符合题意. ③(ⅰ)实数-实数=实数,实数×实数=实数;(ⅱ)实数×复数=实数不一定成立,如2×i=2i ,不合题意.答案:①②16.已知f (x )=m (x -2m )(x +m +3),g (x )=2x-2.若同时满足条件: ①∀x ∈R ,f (x )<0或g (x )<0;②∃x ∈(-∞,-4),f (x )g (x )<0,则m 的取值范围是________.解析:当x <1时,g (x )<0;当x >1时,g (x )>0;当x =1时,g (x )=0.m =0不符合要求.当m >0时,根据函数f (x )和函数g (x )的单调性,一定存在区间[a ,+∞)使f (x )≥0且g (x )≥0,故m >0时不符合第①条的要求.当m <0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f (x )的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f (x )至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4.函数f (x )的两个零点是2m ,-(m +3),故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m <0,2m <-m +,2m <-4,-m +<1或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,-m +<2m ,2m <1,-m +<-4,解第一个不等式组得-4<m <-2,第二个不等式组无解,故所求m 的取值范围是(-4,-2).答案:(-4,-2)限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.设i 是虚数单位,如果复数a +i2-i的实部与虚部相等,那么实数a 的值为( )A.13 B .-13C .3D .-3解析:选C.a +i 2-i =2a -1+a +5,由题意知2a -1=a +2,解之得a =3.2.若复数z 满足(1+2i)z =(1-i),则|z |=( ) A.25 B.35 C.105D.10解析:选C.z =1-i 1+2i =-1-3i 5⇒|z |=105.3.已知复数z =1+i(i 是虚数单位),则2z-z 2的共轭复数是( )A .-1+3iB .1+3iC .1-3iD .-1-3i 解析:选 B.2z -z 2=21+i -(1+i)2=-+--2i =1-i -2i =1-3i ,其共轭复数是1+3i ,故选B.4.若z =(a -2)+a i 为纯虚数,其中a ∈R ,则a +i 71+a i=( )A .iB .1C .-iD .-1解析:选C.∵z 为纯虚数,∴a =2,∴a +i 71+a i =2-i 1+2i=2--2+2-2=-3i 3=-i.5.已知复数z =11-i ,则z -|z |对应的点所在的象限为( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 解析:选B.∵复数z =11-i =1+i -+=12+12i , ∴z -|z |=12+12i -⎝ ⎛⎭⎪⎫122+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=1-22+12i ,对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22,12所在的象限为第二象限.故选B.6.若复数z 满足z (1-i)=|1-i|+i ,则z 的实部为( ) A.2-12B.2-1C .1D.2+12解析:选 A.由z (1-i)=|1-i|+i ,得z =2+i1-i=2++-+=2-12+2+12i ,z 的实部为2-12,故选A. 7.已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0.若存在实数m ,使得AB →+AC →=mAM →成立,则m =( )A .2B .3C .4D .5解析:选B.由MA →+MB →+MC →=0知,点M 为△ABC 的重心,设点D 为边BC 的中点,则AM →=23AD →=23×12(AB →+AC →)=13(AB →+AC →),所以AB →+AC →=3AM →,故m =3,故选B. 8.已知向量a =(3,-2),b =(x ,y -1)且a ∥b ,若x ,y 均为正数,则3x +2y的最小值是( )A .24B .8 C.83D.53解析:选B.∵a ∥b ,∴-2x -3(y -1)=0,即2x +3y =3,∴3x +2y =⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +2y ×13(2x +3y )=13⎝ ⎛⎭⎪⎫6+9y x +4x y +6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12+29y x·4x y =8,当且仅当2x =3y =32时,等号成立.∴3x +2y的最小值是8.故选B.9.在平行四边形ABCD 中,AC =5,BD =4,则AB →·BC →=( ) A.414B .-414C.94D .-94解析:选 C.因为BD →2=(AD →-AB →)2=AD →2+AB →2-2AD →·AB →,AC →2=(AD →+AB →)2=AD →2+AB →2+2AD →·AB →,所以AC →2-BD →2=4AD →·AB →,∴AD →·AB →=AB →·BC →=94.10.在△ABC 中,已知向量AB →=(2,2),|AC →|=2,AB →·AC →=-4,则△ABC 的面积为( ) A .4 B .5 C .2D .3解析:选C.∵AB →=(2,2),∴|AB →|=22+22=2 2. ∵AB →·AC →=|AB →|·|AC →|cos A =22×2cos A =-4, ∴cos A =-22,∵0<A <π,∴sin A =22, ∴S △ABC =12|AB →|·|AC →|sin A =2.故选C.11.△ABC 的外接圆的圆心为O ,半径为1,2AO →=AB →+AC →且|OA →|=|AB →|,则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C .-12D .-32解析:选A.由2AO →=AB →+AC →可知O 是BC 的中点,即BC 为△ABC 外接圆的直径,所以|OA →|=|OB →|=|OC →|,由题意知|OA →|=|AB →|=1,故△OAB 为等边三角形,所以∠ABC =60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC =1×cos 60°=12.故选A.12.如图,菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =60°,M 为DC 的中点,若N 为菱形内任意一点(含边界),则AM →·AN →的最大值为( )A .3B .2 3C .6D .9解析:选D.由平面向量的数量积的几何意义知, AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积,所以(AM →·AN →)max =AM →·AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →+AD →·(AB→+AD →)=12AB 2→+AD 2→+32AB →·AD →=9.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知复数z =3+i -32,z 是z 的共轭复数,则z ·z =________.解析:∵z =3+i -32=3+i-2-23i =3+i -2+3=3+-3-+3-3=23-2i -8=-34+14i ,∴z ·z =⎝ ⎛⎭⎪⎫-34+14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34-14i =316+116=14. 答案:1414.已知向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1,且对一切实数x ,|a +x b |≥|a +b |恒成立,则a ,b 夹角的大小为________.解析:|a +x b |≥|a +b |恒成立⇒a 2+2x a ·b +x 2b 2≥a 2+2a·b +b 2恒成立⇒x 2+2a ·b x -1-2a ·b ≥0恒成立,∴Δ=4(a·b )2-4(-1-2a·b )≤0⇒(a·b +1)2≤0,∴a·b =-1,∴cos〈a ,b 〉=a·b |a |·|b |=-12,又〈a ,b 〉∈[0,π],故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案:23π15.已知在△ABC 中,AB =4,AC =6,BC =7,其外接圆的圆心为O ,则AO →·BC →=________.解析:如图,取BC 的中点M ,连OM ,AM ,则AO →=AM →+MO →, ∴AO →·BC →=(AM →+MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心,∴OM ⊥BC ,即OM →·BC →=0,∴AO →·BC →=AM →·BC →=12(AB →+AC →)·(AC →-AB →)=12(AC 2→-AB 2→)=12(62-42)=12×20=10.答案:1016.已知非零向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|a -b |,〈c -a ,c -b 〉=2π3,则|c ||a |的最大值为________.解析:设OA →=a ,OB →=b ,则BA →=a -b . ∵非零向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|a -b |, ∴△OAB 是等边三角形. 设OC →=c ,则AC →=c -a ,BC →=c -b .∵〈c -a ,c -b 〉=2π3,∴点C 在△ABC 的外接圆上,∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时,|c ||a |取得最大值,为1cos 30°=233.答案:233限时规范训练三 算法、框图与推理限时45分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.请仔细观察1,1,2,3,5,( ),13,运用合情推理,可知写在括号里的数最可能是( )A.8 B.9C.10 D.11解析:选A.观察题中所给各数可知,2=1+1,3=1+2,5=2+3,8=3+5,13=5+8,∴括号中的数为8.故选A.2.执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为2,则输出的y的值为( )A.2 B.5C.11 D.23解析:选 D.x=2,y=5,|2-5|=3<8;x=5,y=11,|5-11|=6<8;x=11,y=23,|11-23|=12>8.满足条件,输出的y的值为23,故选D.3.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( ) A.f(x) B.-f(x)C.g(x) D.-g(x)解析:选D.由所给等式知,偶函数的导数是奇函数.∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数,从而g(x)是奇函数.∴g(-x)=-g(x).4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,则输入的S0的值为( )A .7B .8C .9D .10解析:选D.根据程序框图知,当i =4时,输出S .第1次循环得到S =S 0-2,i =2;第2次循环得到S =S 0-2-4,i =3;第3次循环得到S =S 0-2-4-8,i =4.由题意知S 0-2-4-8=-4,所以S 0=10,故选D.5.(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,当输入的x 的值为4时,输出的y 的值为2,则空白判断框中的条件可能为()A .x >3B .x >4C .x ≤4D .x ≤5解析:选B.输入x =4,若满足条件,则y =4+2=6,不符合题意;若不满足条件,则y =log 24=2,符合题意,结合选项可知应填x >4.故选B.6.如图所示的程序框图的运行结果为()A .-1B .12C .1D .2解析:选A.a =2,i =1,i ≥2 019不成立;a =1-12=12,i =1+1=2,i ≥2 019不成立; a =1-112=-1,i =2+1=3,i ≥2 019不成立;a=1-(-1)=2,i=3+1=4,i≥2 019不成立;…,由此可知a是以3为周期出现的,结束时,i=2 019=3×673,此时a=-1,故选A.7.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c.类比这个结论可知:四面体S­ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体S­ABC的体积为V,则R等于( )A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4解析:选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥,其高都是R,四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积,因此V=13S1R+13S2R+13S3R+13S4R,解得R=3VS1+S2+S3+S4.8.按照如图所示的程序框图执行,若输出的结果为15,则M处的条件为( )A.k≥16B.k<8C.k<16 D.k≥8解析:选 A.根据框图的循环结构依次可得S=0+1=1,k=2×1=2;S=1+2=3,k =2×2=4;S=3+4=7,k=2×4=8;S=7+8=15,k=2×8=16,根据题意此时跳出循环,输出S=15.所以M处的条件应为k≥16.故A正确.9.如图所示的程序框图中,输出S=( )A .45B .-55C .-66D .66解析:选B.由程序框图知,第一次运行T =(-1)2·12=1,S =0+1=1,n =1+1=2;第二次运行T =(-1)3·22=-4,S =1-4=-3,n =2+1=3;第三次运行T =(-1)4·32=9,S =-3+9=6,n =3+1=4…直到n =9+1=10时,满足条件n >9,运行终止,此时T =(-1)10·92,S =1-4+9-16+…+92-102=1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+(8+9)-100=1+92×9-100=-55.故选B.10.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记为[k ],即[k ]={5n +k |n ∈Z },k =0,1,2,3,4.给出如下四个结论:①2 018∈[3]; ②-2∈[2];③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”. 其中正确结论的个数为( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C.因为2 018=403×5+3,所以2 018∈[3],①正确;-2=-1×5+3,-2∈[3],所以②不正确;因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类,所以③正确;整数a ,b 属于同一“类”,因为整数a ,b 被5除的余数相同,从而a -b 被5除的余数为0,反之也成立,故整数a ,b 属于同一“类”的充要条件是“a -b ∈[0]”,故④正确.所以正确的结论有3个,故选C.11.执行如图所示的程序框图,如果输入x ,t 的值均为2,最后输出S 的值为n ,在区间[0,10]上随机选取一个数D ,则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析:选D.这是一个循环结构,循环的结果依次为M=2,S=2+3=5,k=1+1=2;M =2,S=2+5=7,k=2+1=3.最后输出7,所以在区间[0,10]上随机选取一个数D,则D≤n的概率P=710,故选D.12.定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ(x)=x3-1的“新驻点”分别为α,β,γ,则α,β,γ的大小关系为( )A.α>β>γB.β>α>γC.γ>α>βD.β>γ>α解析:选C.g(x)=g′(x),即x=1,所以α=1;h(x)=h′(x),即ln(x+1)=1x+1,0<x<1,所以β∈(0,1);φ(x)=φ′(x),即x3-1=3x2,即x3-3x2=1,x2(x-3)=1,x>3,所以γ>3.所以γ>α>β.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是8,则输入的数是________.解析:令a≥b得,x2≥x3,解得x≤1.所以当x≤1时,输出a=x2,当x>1时,输出b =x3.当x≤1时,由题意得a=x2=8,解得x=-8=-2 2.当x>1时,由题意得b=x3=8,得x=2,所以输入的数为2或-2 2.14.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试,考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下:甲说:“我们四人都没考好.”乙说:“我们四人中有人考得好.”丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”丁说:“我没考好.”结果,四名学生中有两人说对了,则这四名学生中的________两人说对了.解析:甲与乙的关系是对立事件,二人说话矛盾,必有一对一错,如果选丁正确,则丙也是对的,所以丁错误,可得丙正确,此时乙正确.故答案为乙,丙.答案:乙,丙15.已知实数x∈[2,30],执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于103的概率是________.解析:实数x∈[2,30],经过第一次循环得到x=2x+1,n=2;经过第二次循环得到x =2(2x+1)+1,n=3;经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4,此时输出x,输出的值为8x +7.令8x +7≥103,解得x ≥12.由几何概型的概率公式,得到输出的x 不小于103的概率为30-1230-2=914.16.集合{1,2,3,…,n }(n ≥3)中,每两个相异数作乘积,将所有这些乘积的和记为T n ,如:T 3=1×2+1×3+2×3=12×[62-(12+22+32)]=11;T 4=1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=12×[102-(12+22+32+42)]=35; T 5=1×2+1×3+1×4+1×5+…+3×5+4×5=12×[152-(12+22+32+42+52)]=85.则T 7=________.(写出计算结果)解析:由T 3,T 4,T 5归纳得出T n =12[(1+2+…+n )2-(12+22+…+n 2)],则T 7=12×[282-(12+22+…+72)].又∵12+22+…+72=16×7×8×15=140,∴T 7=12×(784-140)=322.答案:322限时规范训练四 函数的图象与性质 限时40分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.函数y =x +x -2的定义域是( )A .(-1,+∞)B .[-1,+∞)C .(-1,2)∪(2,+∞)D .[-1,2)∪(2,+∞)解析:选C.由题意知,要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧x -2≠0x +1>0,即-1<x <2或x >2,所以函数的定义域为(-1,2)∪(2,+∞).故选C.2.设函数f :R →R 满足f (0)=1,且对任意,x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2,则f (2 017)=( )A .0B .1C .2 016D .2 018解析:选D.令x =y =0,则f (1)=f (0)f (0)-f (0)+2=1×1-1+2=2,令y =0,则f (1)=f (x )f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1,f (1)=2代入,可得f (x )=1+x ,所以f (2 017)=2 018.故选D.3.若函数f (x )满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”,则f (x )的解析式可以是( )A .f (x )=(x -1)2B .f (x )=e xC .f (x )=1xD .f (x )=ln(x +1)解析:选C.根据条件知,f (x )在(0,+∞)上单调递减. 对于A ,f (x )=(x -1)2在(1,+∞)上单调递增,排除A ; 对于B ,f (x )=e x在(0,+∞)上单调递增,排除B ; 对于C ,f (x )=1x在(0,+∞)上单调递减,C 正确;对于D ,f (x )=ln(x +1)在(0,+∞)上单调递增,排除D. 4.已知函数f (x )=2x +1(1≤x ≤3),则( ) A .f (x -1)=2x +2(0≤x ≤2) B .f (x -1)=2x -1(2≤x ≤4) C .f (x -1)=2x -2(0≤x ≤2) D .f (x -1)=-2x +1(2≤x ≤4)解析:选B.因为f (x )=2x +1,所以f (x -1)=2x -1.因为函数f (x )的定义域为[1,3],所以1≤x -1≤3,即2≤x ≤4,故f (x -1)=2x -1(2≤x ≤4).5.若函数y =f (x )的定义域是[0,2 018],则函数g (x )=f x +x -1的定义域是( ) A .[-1,2 017]B .[-1,1)∪(1,2 017]C .[0,2 019]D .[-1,1)∪(1,2 018]解析:选B.要使函数f (x +1)有意义,则0≤x +1≤2 018,解得-1≤x ≤2 017,故函数f (x +1)的定义域为[-1,2 017],所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤2 017x -1≠0,解得-1≤x <1或1<x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[-1,1)∪(1,2 017].6.下列函数为奇函数的是( ) A .y =x 3+3x 2B .y =e x +e -x2C .y =x sin xD .y =log 23-x3+x解析:选D.依题意,对于选项A ,注意到当x =-1时,y =2;当x =1时,y =4,因此函数y =x 3+3x 2不是奇函数.对于选项B ,注意到当x =0时,y =1≠0,因此函数y =e x +e-x2不是奇函数.对于选项C ,注意到当x =-π2时,y =π2;当x =π2时,y =π2,因此函数y=x sin x 不是奇函数.对于选项D ,由3-x3+x>0得-3<x <3,即函数y =log 23-x3+x的定义域是(-3,3),该数集是关于原点对称的集合,且log 23--x 3+-x +log 23-x 3+x =log 21=0,即log 23--x 3+-x =-log 23-x 3+x,因此函数y =log 23-x 3+x是奇函数.综上所述,选D.7.设函数f (x )=ln(1+x )+m ln(1-x )是偶函数,则( ) A .m =1,且f (x )在(0,1)上是增函数 B .m =1,且f (x )在(0,1)上是减函数 C .m =-1,且f (x )在(0,1)上是增函数 D .m =-1,且f (x )在(0,1)上是减函数解析:选B.因为函数f (x )=ln(1+x )+m ln(1-x )是偶函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,则(m -1)ln 3=0,即m =1,则f (x )=ln(1+x )+ln(1-x )=ln(1-x 2),在(0,1)上,当x 增大时,1-x 2减小,ln(1-x 2)减小,即f (x )在(0,1)上是减函数,故选B.8.若关于x 的不等式4a x -1<3x -4(a >0,且a ≠1)对于任意的x >2恒成立,则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 C .[2,+∞) D .(2,+∞)解析:选B.不等式4ax -1<3x -4等价于ax -1<34x -1.令f (x )=ax -1,g (x )=34x -1,当a >1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图1所示,由图知不满足条件;当0<a <1时,在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图2所示,则f (2)≤g (2),即a2-1≤34×2-1,即a ≤12,所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12,故选B.9.已知函数y =a +sin bx (b >0且b ≠1)的图象如图所示,那么函数y =log b (x -a )的图象可能是( )解析:选C.由三角函数的图象可得a >1,且最小正周期T =2πb<π,所以b >2,则y=log b (x -a )是增函数,排除A 和B ;当x =2时,y =log b (2-a )<0,排除D ,故选C.10.已知函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈(-∞,0]时,f (x )为减函数,若a =f (20.3),b =f (log 124),c =f (log 25),则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .c >b >aC .c >a >bD .a >c >b解析:选B.函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈(-∞,0]时,f (x )为减函数,∴f (x )在[0,+∞)为增函数, ∵b =f (log 124)=f (-2)=f (2),1<20.3<2<log 25,∴c >b >a ,故选B. 11.已知函数f (x )=x -4+9x +1,x ∈(0,4),当x =a 时,f (x )取得最小值b ,则函数g (x )=a |x +b |的图象为( )解析:选A.∵x ∈(0,4),∴x +1>1, ∴f (x )=x -4+9x +1=x +1+9x +1-5≥ 29x +1x +-5=1,当且仅当x =2时取等号,此时函数f (x )有最小值1. ∴a =2,b =1,∴g (x )=2|x +1|=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥-1,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +1,x <-1,此函数可以看成由函数y =⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≥0,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,x <0的图象向左平移1个单位得到,结合指数函数的图象及选项可知A 正确.故选A.12.若函数f (x )=1+2x +12x +1+sin x 在区间[-k ,k ](k >0)上的值域为[m ,n ],则m +n的值是( )A .0B .1C .2D .4解析:选D.∵f (x )=1+2·2x2x +1+sin x=1+2·2x+1-12x +1+sin x=2+1-22x +1+sin x=2+2x-12x +1+sin x .记g (x )=2x-12x +1+sin x ,则f (x )=g (x )+2,易知g (x )为奇函数,g (x )在[-k ,k ]上的最大值a 与最小值b 互为相反数, ∴a +b =0,故m +n =4.(a +2)+(b +2)=a +b +4=4. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=log 2x -1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22=________.解析:因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22=-⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222-1=32. 答案:3214.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log a x ,x >2,-x 2+2x -2,x ≤2(a >0,且a ≠1)的值域是(-∞,-1],则实数a 的取值范围是________.解析:当x ≤2时,f (x )=-x 2+2x -2=-(x -1)2-1,f (x )在(-∞,1)上递增,在(1,2]上递减,∴f (x )在(-∞,2]上的最大值是-1, 又f (x )的值域是(-∞,-1],∴当x >2时, log a x ≤-1,故0<a <1,且log a 2≤-1, ∴12≤a <1,故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,115.已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质:①直线x =1是函数f (x )图象的一条对称轴;②f (x +2)=-f (x );③当1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,则f (2 015)、f (2 016)、f (2 017)从大到小的顺序为______________.解析:由f (x +2)=-f (x )得f (x +4)=f (x ),所以f (x )的周期是4,所以f (2 015)=f (3),f (2 016)=f (0),f (2 017)=f (1).因为直线x =1是函数f (x )图象的一条对称轴,所以f (0)=f (2).由1≤x 1<x 2≤3时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0,可知当1≤x ≤3时,函数f (x )单调递减,所以f (1)>f (2)>f (3),即f (2 017)>f (2 016)>f (2 015).答案:f (2 017)>f (2 016)>f (2 015)16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|2x +1|,x <1,log 2x -m ,x >1,若f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等),且x 1+x 2+x 3的取值范围为(1,8),则实数m 的值为________.解析:作出f (x )的图象,如图所示,可令x 1<x 2<x 3,则由图知点(x 1,0),(x 2,0)关于直线x =-12对称,所以x 1+x 2=-1.又1<x 1+x 2+x 3<8,所以2<x 3<9.结合图象可知点A的坐标为(9,3),代入函数解析式,得3=log 2(9-m ),解得m =1.答案:1限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟,实际用时分值80分,实际得分一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设0<a <b <1,则下列不等式成立的是( ) A .a 3>b 3B.1a <1bC .a b >1D .lg(b -a )<a解析:选D.∵0<a <b <1,∴0<b -a <1-a ,∴lg(b -a )<0<a ,故选D. 2.已知a ,b 是正数,且a +b =1,则1a +4b( )A .有最小值8B .有最小值9C .有最大值8D .有最大值9解析:选B.因为1a +4b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +4b (a +b )=5+b a +4ab≥5+2b a ·4a b =9,当且仅当b a =4a b且a +b =1,即a =13,b =23时取“=”,所以1a +4b的最小值为9,故选B.3.对于任意实数a ,b ,c ,d ,有以下四个命题: ①若ac 2>bc 2,则a >b ;②若a >b ,c >d ,则a +c >b +d ; ③若a >b ,c >d ,则ac >bd ;④若a >b ,则1a >1b.其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个D .4个解析:选B.①ac 2>bc 2,则c ≠0,则a >b ,①正确; ②由不等式的同向可加性可知②正确; ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立;④错误,如:令a =-1,b =-2,满足-1>-2,但1-1<1-2.故选B. 4.已知不等式ax 2-bx -1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <-13,则不等式x 2-bx -a ≥0的解集是( )A .{x |2<x <3}B .{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12 解析:选B.∵不等式ax 2-bx -1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <-13, ∴ax 2-bx -1=0的解是x 1=-12和x 2=-13,且a <0.∴⎩⎪⎨⎪⎧-12-13=ba ,⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13=-1a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-6,b =5.则不等式x 2-bx -a ≥0即为x 2-5x +6≥0,解得x ≤2或x ≥3. 5.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x -y ≥0,x +y -4≤0,y ≥12x 2,则z =y -x 的取值范围为( )A .[-2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,2C .[-1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1 解析:选B.作出可行域(图略),设直线l :y =x +z ,平移直线l ,易知当l 过直线3x-y =0与x +y -4=0的交点(1,3)时,z 取得最大值2;当l 与抛物线y =12x 2相切时,z 取得最小值,由⎩⎪⎨⎪⎧z =y -x ,y =12x 2,消去y 得x 2-2x -2z =0,由Δ=4+8z =0,得z =-12,故-12≤z ≤2,故选B.6.设等差数列{a n }的公差是d ,其前n 项和是S n ,若a 1=d =1,则S n +8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C .22+12D .22-12解析:选A.∵a n =a 1+(n -1)d =n ,S n =n+n2, ∴S n +8a n=n+n2+8n=12⎝ ⎛⎭⎪⎫n +16n +1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n +1=92,当且仅当n =4时取等号.∴S n +8a n 的最小值是92,故选A. 7.一条长为2的线段,它的三个视图分别是长为3,a ,b 的三条线段,则ab 的最大值为( )A. 5B. 6C.52D .3解析:选C.如图,构造一个长方体,体对角线长为2,由题意知a 2+x 2=4,b 2+y 2=4,x 2+y 2=3,则a 2+b 2=x 2+y 2+2=3+2=5,又5=a 2+b 2≥2ab ,所以ab ≤52,当且仅当a =b 时取等号,所以选C.8.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥x ,4x +3y ≤12,则x +2y +3x +1的取值范围是( ) A .[1,5] B .[2,6] C .[3,11]D .[3,10]解析:选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,y ≥x ,4x +3y ≤12的可行域如图阴影部分所示,则x +2y +3x +1=x +1+2y +2x +1=1+2×y +1x +1,y +1x +1的几何意义为过点(x ,y )和(-1,-1)的直线的斜率.由可行域知y +1x +1的取值范围为k MA ≤y +1x +1≤k MB ,即y +1x +1∈[1,5],所以x +2y +3x +1的取值范围是[3,11].9.设x ,y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,若M =3x +y ,N =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-72,则M -N 的最小值为( )A.12 B .-12C .1D .-1解析:选A.作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易求得A (-1,2),B (3,2),当直线3x +y -M =0经过点A (-1,2)时,目标函数M =3x +y 取得最小值-1.又由平面区域知-1≤x ≤3,所以函数N =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-72在x =-1处取得最大值-32,由此可得M -N 的最小值为-1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=12.10.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y ≥0,x +y ≤a表示的平面区域的形状是三角形,则a 的取值范围是( )A .a ≥43B .0<a ≤1C .1≤a ≤43D .0<a ≤1或a ≥43解析:选 D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示.其中直线x -y =0与直线2x +y =2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23,而直线x +y =a 与x 轴的交点是(a,0).由图知,要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形,只需a ≥23+23或0<a ≤1,所以选D.11.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x +4y -10≥0,x ≤4,y ≤3表示区域D ,过区域D 中任意一点P 作圆x2+y 2=1的两条切线,切点分别为A 、B ,当∠APB 最大时,cos∠APB =( )A.32 B.12 C .-32D .-12解析:选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,易知当点P 到点O 距离最小时,∠APB 最大,此时|OP |=|3×0+4×0-10|32+42=2,又OA =1,故∠OPA =π6, ∴∠APB =π3,∴cos∠APB =12.12.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,且0<f (-1)=f (-2)=f (-3)≤3,则( ) A .c ≤3 B .3<c ≤6 C .6<c ≤9D .c >9解析:选C.由0<f (-1)=f (-2)=f (-3)≤3,得0<-1+a -b +c =-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ≤3,由-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,得3a -b -7=0,① 由-1+a -b +c =-27+9a -3b +c ,得 4a -b -13=0,②由①②,解得a =6,b =11,∴0<c -6≤3, 即6<c ≤9,故选C.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数f (x )=1+log a x (a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny -2=0上,其中mn >0,则1m +1n的最小值为________.解析:因为log a 1=0,所以f (1)=1,故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1). 由题意,点A 在直线mx +ny -2=0上,所以m +n -2=0,即m +n =2. 而1m +1n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m +1n ×(m +n ) =12⎝⎛⎭⎪⎫2+n m +m n ,因为mn >0,所以nm >0,m n>0. 由均值不等式,可得n m +m n ≥2×n m ×mn=2(当且仅当m =n 时等号成立), 所以1m +1n =12⎝ ⎛⎭⎪⎫2+n m +m n ≥12×(2+2)=2,即1m +1n的最小值为2.答案:214.设P (x ,y )是函数y =2x(x >0)图象上的点,则x +y 的最小值为________.解析:因为x >0,所以y >0,且xy =2.由基本不等式得x +y ≥2xy =22,当且仅当x =y 时等号成立.答案:2 215.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,y ≥x ,3x +2y ≤15,则w =4x ·2y的最大值是________.解析:作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.w =4x ·2y =22x +y,要求其最大值,只需求出2x +y =t 的最大值即可,由平移可知t =2x +y 在A (3,3)处取得最大值t =2×3+3=9,故w =4x·2y的最大值为29=512.答案:51216.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x ≤1,log 13x ,x >1,若对任意的x ∈R ,不等式f (x )≤m 2-34m 恒成立,则实数m 的取值范围为________.解析:由题意知,m 2-34m ≥f (x )max .当x >1时,f (x )=log 13x 是减函数,且f (x )<0;当x ≤1时,f (x )=-x 2+x ,其图象的对称轴方程是x =12,且开口向下,∴f (x )max =-14+12=14.∴m 2-34m ≥14,即4m 2-3m -1≥0,∴m ≤-14或m ≥1.答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-14∪[1,+∞)限时规范训练六 导数的简单应用限时45分钟,实际用时分值81分,实际得分一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)1.设函数f (x )=x 24-a ln x ,若f ′(2)=3,则实数a 的值为( )A .4B .-4C .2D .-2解析:选B.f ′(x )=x 2-a x ,故f ′(2)=22-a2=3,因此a =-4.2.曲线y =e x在点A 处的切线与直线x -y +3=0平行,则点A 的坐标为( ) A .(-1,e -1) B .(0,1) C .(1,e)D .(0,2)解析:选B.设A (x 0,e x 0),y ′=e x,∴y ′|x =x 0=e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k =e x 0.由切线与直线x -y +3=0平行可得切线的斜率k =1. ∴e x 0=1,∴x 0=0,∴A (0,1).故选B.3.若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32,+∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞ 解析:选D.若函数f (x )=x 3-2cx 2+x 有极值点,则f ′(x )=3x 2-4cx +1=0有两根,故Δ=(-4c )2-12>0,从而c >32或c <-32. 4.已知f (x )=a ln x +12x 2(a >0),若对任意两个不等的正实数x 1,x 2都有f x 1-f x 2x 1-x 2≥2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .(0,1)D .(0,1]解析:选 A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2,所以函数的导数f ′(x )=ax+x ≥2.可得x =a 时,f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5.若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=-1,其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1,则下列结论中一定错误的是( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k -1C .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1<1k -1D .f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>k k -1解析:选C.构造函数g (x )=f (x )-kx +1,则g ′(x )=f ′(x )-k >0,∴g (x )在R 上为增函数. ∵k >1,∴1k -1>0,则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1>g (0). 而g (0)=f (0)+1=0, ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1-k k -1+1>0,即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k -1>k k -1-1=1k -1,所以选项C 错误,故选C.6.由曲线y =x 2,y =x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D .1解析:选 B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x -x 2)d x =⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32-13x 310=13.所以选B.二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)7.(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y =kx +b 是曲线y =ln x +2的切线,也是曲线y =ln(x +1)的切线,则b =________.解析:直线y =kx +b 与曲线y =ln x +2,y =ln(x +1)均相切,设切点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由y =ln x +2得y ′=1x ,由y =ln(x +1)得y ′=1x +1,∴k =1x 1=1x 2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k-1,∴y 1=-ln k +2,y 2=-ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k,-ln k +2,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k-1,-ln k ,∵A 、B 在直线y =kx +b 上, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2-ln k =k ·1k +b ,-ln k =k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k -1+b解得⎩⎪⎨⎪⎧b =1-ln 2,k =2.答案:1-ln 28.已知函数f (x )=-12x 2-3x +4ln x 在(t ,t +1)上不单调,则实数t 的取值范围是________.解析:由题意得,f (x )的定义域为(0,+∞),∴t >0, ∴f ′(x )=-x -3+4x=0在(t ,t +1)上有解,∴x 2+3x -4x=0在(t ,t +1)上有解,∴x 2+3x -4=0在(t ,t +1)上有解,由x 2+3x -4=0得x =1或x =-4(舍去),∴1∈(t ,t +1),∴t ∈(0,1),故实数t 的取值范围是(0,1).答案:(0,1)9.若f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,则实数b 的最大值是________.解析:函数的定义域是x +2>0,即x >-2,而f ′(x )=-x +bx +2=-x 2-2x +bx +2.因为x +2>0,函数f (x )=-12x 2+b ln(x +2)在(-1,+∞)上是减函数,即-x 2-2x +b ≤0在x ∈(-1,+∞)上恒成立,得b ≤x 2+2x 在x ∈(-1,+∞)上恒成立,令g (x )=x 2+2x =(x +1)2-1,x ∈(-1,+∞),g (x )>g (-1)=-1,所以b ≤-1.所以b 的最大值为-1.答案:-1三、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分) 10.已知f (x )=2x +3-x +2x +1.(1)求证:当x =0时,f (x )取得极小值;(2)是否存在满足n >m ≥0的实数m ,n ,当x ∈[m ,n ]时,f (x )的值域为[m ,n ]?若存在,求m ,n 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:由已知得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞. 当x >-12时,f ′(x )=2-2-x +x +2=8x 2+8x +x +x +2.设F (x )=8x 2+8x +2ln(2x +1),则f ′(x )=F x x +2.当x >-12时,y =8x 2+8x =8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -⎝ ⎛⎭⎪⎫-122-2是单调递增函数,y =2ln(2x +1)也是单调递增函数.∴当x >-12时,F (x )=8x 2+8x +2ln(2x +1)单调递增.∴当-12<x <0时,F (x )<F (0)=0,当x >0时,F (x )>F (0)=0.∴当-12<x <0时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,当x >0时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.∴当x =0时,f (x )取得极小值.(2)由(1)知f (x )在[0,+∞)上是单调递增函数,若存在满足n >m ≥0的实数m ,n ,当x ∈[m ,n ]时,f (x )的值域为[m ,n ],则f (m )=m ,f (n )=n ,即f (x )=x 在[0,+∞)上有两个不等的实根m ,n .∴2x 2+7x +3-ln(2x +1)=0在[0,+∞)上有两个不等的实根m ,n . 设H (x )=2x 2+7x +3-ln(2x +1),则 H ′(x )=8x 2+18x +52x +1.当x >0时,2x +1>0,8x 2+18x +5>0, ∴H ′(x )=8x 2+18x +52x +1>0.∴H (x )在[0,+∞)上是单调递增函数,即当x ≥0时,H (x )≥H (0)=3. ∴2x 2+7x +3-ln(2x +1)=0在[0,+∞)上没有实数根. ∴不存在满足条件的实数m ,n .11.(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )=12x 2-m ln x ,g (x )=x 2-(m +1)x .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)当m ≥0时,讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数.。

2018年高考数学(文)二轮复习练习:大题规范练10 Word版含答案

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大题规范练(十) “20题、21题”24分练(时间:30分钟 分值:24分)解答题(本大题共2小题,共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x -y +2=0相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ,B ,且|OA →-OB →|<253,求直线斜率的取值范围.【导学号:04024248】解:(1)由题意知e =c a =22,所以e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=12,即a 2=2b 2. 又因为b =21+1=1,所以a 2=2,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在.设AB :y =k (x -2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -,x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-8k 2x +8k 2-2=0,则Δ=64k 4-4(2k 2+1)(8k 2-2)>0,得k 2<12,x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1·x 2=8k 2-21+2k2.因为|OA →-OB →|<253,所以1+k 2|x 1-x 2|<253,所以(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1·x 2]<209,所以(1+k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k4+2k22-4·8k 2-21+2k 2<209, 所以(4k 2-1)(14k 2+13)>0,所以k 2>14.所以14<k 2<12,所以12<k <22或-22<k <-12,所以直线斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,-12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12,22. 21.已知函数f (x )=e x-ax (x ∈R ).(1)当a =1时,求证:f (x )≥1;(2)若函数f (x )有两个零点x 1,x 2,其中x 1<x 2,求a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求证:x 1+x 2>2.【导学号:04024249】解:(1)证明:当a =1时,f (x )=e x -x ,f ′(x )=e x -1=e x -e 0. 当x >0时,有f ′(x )>0;当x <0时,有f ′(x )<0.所以f (x )在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数, 所以f (x )≥f (x )min =f (0)=1.(2)由f (x )=e x -ax ,得f ′(x )=e x-a . 当-a ≥0,即a ≤0时,f (x )是R 上的增函数, 函数f (x )最多有一个零点,不符合题意,所以a >0. 当a >0时,f ′(x )=e x-a =e x-eln a,当x >ln a 时,有f ′(x )>0;当x <ln a 时,有f ′(x )<0.所以f (x )在(-∞,ln a )上为减函数,在(ln a ,+∞)上为增函数, 所以f (x )min =f (ln a )=eln a-a ln a =a -a ln a ,因为函数f (x )有两个零点x 1和x 2(x 1<x 2),所以f (ln a )=a -a ln a <0,所以a >e. 所以a 的取值范围是(e ,+∞). (3)证明:由(2)得a >e,0<x 1<x 2,由e x 1=ax 1,e x 2=ax 2,得x 1=ln a +ln x 1,x 2=ln a +ln x 2, 所以x 2-x 1=ln x 2-ln x 1=ln x 2x 1.所以x 2x 1=t (t >1),则⎩⎪⎨⎪⎧x 2=tx 1,x 2-x 1=ln t ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=ln tt -1,x 2=t ln tt -1.所以x 1+x 2=ln t t -1+t ln t t -1=t +tt -1.设h (t )=ln t -t -t +1,则h ′(t )=t -2t t +2,又t >1,所以h ′(t )>0,于是h (t )是(1,+∞)上的增函数, 所以当t >1时,h (t )>h (1)=0,即ln t -t -t +1>0,所以t +tt -1>2,所以x1+x2>2.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习:规范练5-2-1(含答案)

2018届高考数学(理)二轮专题复习:规范练5-2-1(含答案)

大题规范练(一)(满分70分,押题冲刺,70分钟拿到主观题高分)解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin 2C cos C -sin 3C =3(1-cos C ).(1)求角C ;(2)若c =2,且sin C +sin(B -A )=2sin 2A ,求△ABC 的面积. 解:(1)由2sin 2C cos C -sin 3C =3(1-cos C ), 得sin 2C cos C -cos 2C sin C =3-3cos C , 化简得sin C =3-3cos C ,即sin C +3cos C =3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C +π3=32, 又C 为△ABC 的内角, 所以C +π3=2π3,故C =π3.(2)由已知可得,sin(A +B )+sin(B -A )=2sin 2A , 可得sin B cos A =2sin A cos A . 所以cos A =0或sin B =2sin A .当cos A =0时,A =π2,则b =23,S △ABC =12·b ·c =12×23×2=233.当sin B =2sin A 时,由正弦定理得b =2a .由cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+4a 2-42·a ·2a =12,得a 2=43,所以S △ABC =12·b ·a ·sin C =12·2a ·a ·32=32a 2=233.综上可知,S △ABC =233.2.(本小题满分12分)为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效改良玉米品种,为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.抗倒伏易倒伏 7 7 3 149 7 3 3 1 15 1 9 6 4 0 16 7 5 5 4175 88 8 0 18 1 2 6 6 79 5 5 2 19 0 0 3 4 5 8 9 9 6 6 3202 2 3(1)列出2×2列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米,设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X ,求X 的分布列(概率用组合数算式表示);(ⅱ)若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取50株,求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.附:P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(K 2=n ad -bc 2a +bc +d a +cb +d,其中n =a +b +c +d )解:(1)根据统计数据得2×2列联表如下:抗倒伏 易倒伏 合计 矮茎 15 4 19 高茎 10 16 26 合计252045由于K 2=45×219×26×25×20≈7.287>6.635,因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关.(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法抽到的易倒伏玉米共4株,则X 的可能取值为0,1,2,3,4. P (X =0)=C 416C 420,P (X =1)=C 14·C 316C 420,P (X =2)=C 24·C 216C 420,P (X =3)=C 34·C 116C 420,P (X =4)=C 44C 420,所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 PC 416C 420C 14·C 316C 420C 24·C 216C 420C 34·C 116C 420C 44C 420(ⅱ)在抗倒伏的玉米样本中,高茎玉米有10株,占5,即每次取出高茎玉米的概率均为25,设取出高茎玉米的株数为ξ,则ξ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫50,25,即E (ξ)=np =50×25=20,D (ξ)=np (1-p )=50×25×35=12.3.(本小题满分12分)如图(1)所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD =π2,AB =BC =1,AD =2,E 为AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图(2)所示.(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值.解:(1)证明:在直角梯形ABCD 中,因为AB =BC =1,AD =2,E 是AD 的中点,∠BAD =π2,所以BE ⊥AC ,BE ∥CD ,故BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,从而BE ⊥平面A 1OC . 又因为CD ∥BE , 所以CD ⊥平面A 1OC .(2)如图,以O 为原点,OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.则B ⎝⎛⎭⎪⎫22,0,0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,0,0, A 1⎝⎛⎭⎪⎫0,0,22,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22,0, 得BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,22,0,A 1C →=⎝⎛⎭⎪⎫0,22,-22,CD →=BE →=(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 所成的锐二面角为θ,则⎩⎨⎧ n 1·BC →=0n 1·A 1C →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧-x 1+y 1=0y 1-z 1=0,取x 1=1得n 1=(1,1,1);由⎩⎨⎧n 2·CD →=0n 2·A 1C →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=0y 2-z 2=0,取y 2=1得n 2=(0,1,1),从而cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=23×2=63,即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为63. 4.(本小题满分12分)已知中心在原点,左焦点为F 1(-1,0)的椭圆C 的左顶点为A ,上顶点为B ,F 1到直线AB 的距离为77|OB |. (1)求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 1:x 2m 2+y 2n 2=1(m >n >0),椭圆C 2=x 2m 2+y 2n2=λ(λ>0且λ≠1),则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆.已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆,若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于M ,N 两点,求弦长|MN |的取值范围.解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则A (-a ,0),B (0,b ),∴直线AB 的方程为x-a +y b=1,整理得-bx +ay -ab =0,∴F 1(-1,0)到直线AB 的距离d =|b -ab |a 2+b 2=77b ,整理得a 2+b 2=7(a -1)2, 又b 2=a 2-c 2,故a =2,b =3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知,椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212+y 29=1,①若切线l 垂直于x 轴,则其方程为x =±2,易求得|MN |=2 6. ②若切线l 不垂直于x 轴,可设其方程为y =kx +d , 将y =kx +d 代入椭圆C 的方程中, 整理得(3+4k 2)x 2+8kdx +4d 2-12=0, ∵直线l 与椭圆C 相切,∴Δ=(8kd )2-4(3+4k 2)(4d 2-12)=48(4k 2+3-d 2)=0,即d 2=4k 2+3.记M ,N 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 将y =kx +d 代入椭圆C 2的方程,得 (3+4k 2)x 2+8kdx +4d 2-36=0, x 1+x 2=-8kd 3+4k 2,x 1x 2=4d 2-363+4k 2,∴|x 1-x 2|=x 1+x 22-4x 1x 2=4312k 2+9-d23+4k2把d 2=4k 2+3代入得|x 1-x 2|=463+4k2,∴|MN |=1+k 2·|x 1-x 2|=4 6 1+k23+4k2= 2 61+13+4k2. ∵3+4k 2≥3,∴1<1+13+4k 2≤43,即26<2 61+13+4k2≤4 2. 综上,弦长|MN |的取值范围为[26,42].5.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a (x 2-1)-ln x . (1)若f (x )在x =2处取得极小值,求a 的值;(2)若f (x )≥0在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=2ax -1x,∵f (x )在x =2处取得极小值,∴f ′(2)=0,a =18.经验证,x =2是f (x )的极小值点,故a =18.(2)f ′(x )=2ax -1x,①当a ≤0时,f ′(x )<0,∴f (x )在[1,+∞)上单调递减, ∴当x >1时,f (x )<f (1)=0,这与f (x )≥0矛盾. ②当a >0时,令f ′(x )>0,得x >12a;令f ′(x )<0,得0<x <12a. (ⅰ)若12a>1,即0<a <12,当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12a 时,f ′(x )<0,∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1,12a 上单调递减,∴f (x )<f (1)=0,与f (x )≥0矛盾. (ⅱ)若12a≤1,即a ≥12,当x ∈[1,+∞)时,f ′(x )≥0,∴f (x )在[1,+∞)上单调递增,∴f (x )≥f (1)=0,满足题意. 综上,a ≥12.请考生在第6、7题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 6.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C :⎩⎨⎧x =3cos a y =sin a(a 为参数),直线l :x -y -6=0.(1)在曲线C 上求一点P ,使点P 到直线l 的距离最大,并求出最大值;(2)过点M (-1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ,B 两点,求点M 到A ,B 两点之间的距离之积.解:(1)设点P (3cos a ,sin a ),则点P 到直线l 的距离d =|3cos a -sin a -6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-a -62,∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-a =-1时,d max =42,此时,3cos a =-32,sin a =12,P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12.(2)曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1,即x 2+3y 2=3,由题意知,直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =-1+22t y =22t(t 为参数),代入x 2+3y 2=3中化简得,2t 2-2t -2=0,得t 1t 2=-1,由参数的几何意义得|MA |·|MB |=|t 1t 2|=1. 7.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f (x )=|2x -1|+|2x -3|. (1)解不等式f (x )≤5;(2)若不等式m 2-m <f (x )对任意x ∈R 都成立,求实数m 的取值范围.解:(1)∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4-4x ,⎝ ⎛⎭⎪⎫x <122,⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤324x -4,⎝ ⎛⎭⎪⎫x >32∴原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <124-4x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <322≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥324x -4≤5,解得-14≤x <12或12≤x≤32或32≤x ≤94, ∴不等式f (x )≤5的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,94.(2)∵f (x )=|2x -1|+|2x -3|≥|2x -1-(2x -3)|=2, ∴m 2-m <f (x )min =2,即m 2-m -2<0, ∴-1<m <2.故m 的取值范围是(-1,2).。

近年高考数学二轮复习课时规范练(第六周)理(2021学年)

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2018高考数学二轮复习课时规范练(第六周)理编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2018高考数学二轮复习课时规范练(第六周)理)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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规范练(第六周)[题目1](本小题满分12分)已知锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b =sin(A+C),cos(A-C)+cos B=错误!c。

(导学号54850162)(1)求角A的大小;(2)求b+c的取值范围.解:(1)因为b=sin(A+C),可得b=sin B,所以由正弦定理\f(a,sin A)=错误!=错误!,可得a=sin A,c=sinC.因为cos(A-C)+cos B=\r(3)c,可得cos(A-C)-cos(A+C)=3c,则cos Acos C+sin A sin C-(cos Acos C-sin A sin C)=错误!c,所以2sin Asin C=\r(3)c,所以2ac=3c,可得a=错误!=sinA,因为A为锐角,所以A=错误!.(2)因为a=错误!,A=错误!,所以由余弦定理得错误!错误!=b2+c2-2bc cos 错误!,即\f(3,4)=b2+c2-bc,整理得(b+c)2=错误!+3bc,又因为错误!=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时等号成立,所以(b+c)2=错误!+3bc≤错误!+错误!=3,解得:b+c≤错误!,当且仅当b=c时等号成立,又b+c>a=错误!,所以b+c∈错误!,故b+c的取值范围是错误!。

高考数学专题复习 阶段滚动检测六 文(2021年最新整理)

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(江苏专用)2018版高考数学专题复习阶段滚动检测六文1.(2016·浙江六校联考)若全集U=R,集合A={x|x2+x-2≤0},B={y|y=log2(x+3),x∈A},则集合A∩(∁U B)=________。

2.已知“x>k"是“错误!<1”的充分不必要条件,则k的取值范围是________.3.将函数f(x)=2sin错误!的图象上各点的横坐标缩小为原来的错误!,再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x=错误!对称,则φ的最小值是________.4.(2016·河南实验中学质检)已知数列{a n}的通项为a n=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”,则在(0,2 016]内的所有“优数"的和为________.5.在[-2,3]上随机取一个数x,则(x+1)(x-3)≤0的概率为________.6.如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是________.7.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,有以下四个命题:①错误!⇒β∥γ;②错误!⇒m⊥β;③错误!⇒α⊥β;④错误!⇒m∥α。

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每日一题 规范练(第六周)[题目1] (本小题满分12分)在△ABC 中,2b -ca=cos Ccos A. (1)求∠A 的大小;(2)若a =10,b =82,求△ABC 的面积S . 解:(1)因为a sin A =b sin B =csin C ,由题意,可得2sin B -sin C sin A =cos Ccos A.所以2sin B cos A =cos C sin A +sin C cos A , 即2sin B cos A =sin(A +C )=sin B . 因为B ∈(0,π),所以sin B ≠0, 所以cos A =22. 因为A ∈(0,π),所以∠A =π4.(2)因为a =10,b =82, 所以102=(82)2+c 2-2×82×22c , 解之得c =14或c =2,所以S =12bc sin A =56或S =12bc sin A =8.[题目2] (本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =2n +1+2p (n ∈N *).(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足a n +12=(3+p )a n b n ,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)因为S n =2n +1+2p (n ∈N *),所以a 1=S 1=4+2p , 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n. 由于{a n }是等比数列,所以a 1=4+2p =2,则p =-1,因此a n =2n (n ∈N *). (2)由a n +12=(3+p )a n b n =2a n b n ,得2n=22nb n ,所以b n =n2n .T n =12+222+323+…+n2n .①12T n =122+223+…+n -12n +n 2n +1② ①-②得12T n =12+122+123+…+12n -n 2n +1,所以T n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12-n 2n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n -n2n ,因此T n =2-12n -1-n2n .[题目3] (本小题满分12分)为了响应我市“创建宜居港城,建设美丽莆田”的号召,某环保部门开展以“关爱木兰溪,保护母亲河”为主题的环保宣传活动,将木兰溪流经市区河段分成10段,并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评,得到分值数据如下表:为优良的概率;(2)根据表中数据完成下面茎叶图;(3)分别估计两岸分值的中位数,并计算它们的平均数,试从计算结果分析两岸环保情况,哪边保护更好?解:(1)从10段中任取一段的基本事件为(77,72),(92,87),(84,78),(86,83),(74,83),(76,85),(81,75),(71,89),(85,90),(87,95)共10个,这些基本事件是等可能的.用A 表示“同一段中两岸环保评分均为优良”的事件,则A 包含的基本事件为:(92,87),(86,83),(85,90),(87,95)共4个,所以P (A )=410=25.(2)根据表中数据完成下面茎叶图(2)南岸10段的分值数据的中位数z 1=81+842=82.5,南岸10段分值数据的平均数:x 1=(70×4+1+4+6+7)+(80×5+1+4+5+6+7)+9210=81.3.北岸10段分值数据的中位数z 2=83+852=84,北岸10段分值数据的平均数:x 2=(70×3+2+5+8)+(80×5+3+3+5+7+9)+(90×2+0+5)10=83.7.由z 1<z 2,x 1<x 2,可看出北岸保护更好.[题目4] (本小题满分12分)如图,五面体ABCDE ,四边形ABDE 是矩形,△ABC 是正三角形,AB =1,AE =2,F 是线段BC 上一点,直线BC 与平面ABD 所成角为30°,CE ∥平面ADF .(1)试确定F 的位置; (2)求三棱锥A ­CDF 的体积.解:(1)连接BE 交AD 于点O ,连接OF ,因为CE ∥平面ADF ,CE ⊂平面BEC ,平面ADF ∩平面BEC =OF , 所以CE ∥OF .因为O 是BE 的中点,所以F 是BC 的中点.(2)因为BC 与平面ABD 所成角为30°,BC =AB =1, 所以C 到平面ABD 的距离为h =BC ·sin 30°=12.因为AE =2,所以V A ­CDF =V F ­ACD =12V B ­ACD =12V C ­ABD =12×13×12×1×2×12=112.[题目5] (本小题满分12分)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1,233,离心率为33. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)若A 1,A 2分别是椭圆E 的左、右顶点,过点A 2作直线l 与x 轴垂直,点P 是椭圆E 上的任意一点(不同于椭圆E 的四个顶点),连接PA 1交直线l 于点B ,点Q 为线段A 2B 的中点,求证:直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点.(1)解:依题意得⎩⎪⎨⎪⎧e =c a =33,1a 2+43b 2=1,a 2=b 2+c 2,⇒⎩⎨⎧a =3,b =2,c =1,所以椭圆E 的标准方程为x 23+y 22=1.(2)证明:设P (x 0,y 0)(x 0≠0且x 0≠±3), 则直线PA 1的方程为y =y 0x 0+3(x +3),令x =3,得B ⎝⎛⎭⎪⎫3,23y 0x 0+3,则线段A 2B 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,3y 0x 0+3,所以直线PQ 的斜率k PQ =y 0-3y 0x 0+3x 0-3=x 0y 0x 20-3.① 因为P 是椭圆E 上的点,所以x 2=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-y 202,代入①式,得k PQ =-2x 03y 0, 所以直线PQ 的方程为y -y 0=-2x 03y 0(x -x 0),联立方程式⎩⎪⎨⎪⎧y -y 0=-2x 03y 0(x -x 0),x 23+y22=1,整理得x 2-2x 0x +x 20=0,因为Δ=0,所以直线PQ 与椭圆E 相切, 故直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点.[题目6] (本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2-a ln x (a >0)的最小值是1. (1)求a ;(2)若关于x 的方程f 2(x )e x -6mf (x )+9m e -x=0在区间[1,+∞)有唯一的实根,求m 的取值范围.解:(1)f ′(x )=2x -a x=2⎝⎛⎭⎪⎫x +a 2⎝⎛⎭⎪⎫x -a 2x(x >0).所以,当0<x <a2时,f ′(x )<0;当x >a2时,f ′(x )>0, 故f (x )min =f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2=a 2-a2ln a2, 由题意,可得a 2-a2ln a2=1,即a 2-a 2ln a2-1=0, 记g (a )=a 2-a 2ln a2-1(a >0),则函数g (a )的零点即为方程a 2-a 2ln a2=1的根;由于g ′(a )=-12ln a2,故a =2时,g ′(2)=0,且0<a <2时,g ′(a )>0;a >2时,g ′(a )<0. 所以a =2是函数g (a )的唯一极大值点, 所以g (a )≤g (2),又g (2)=0,所以a =2. (2)由条件可得f 2(x )e 2x-6mf (x )e x+9m =0, 令h (x )=f (x )e x=(x 2-2ln x ) e x, 则h ′(x )=⎝⎛⎭⎪⎫x 2+2x -2x-2ln x e x,令r (x )=x 2+2x -2x-2ln x (x ≥1),则r ′(x )=2x +2+2x 2-2x >2x -2x =2(x 2-1)x≥0,r (x )在区间[1,+∞)内单调递增,所以h (x )≥h (1)=e ;所以原问题等价于方程t 2-6mt +9m =0在区间[e ,+∞)内有唯一解, 当Δ=0时可得m =0或m =1,经检验m =1满足条件. 当Δ>0时可得m <0或m >1,所以e 2-6m e +9m ≤0,解之得m ≥e 26e -9,综上可知,m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m =1或m ≥e 26e -9. [题目7] 请考生在1、2题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 1.(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =5+32t ,y =12t(t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;(2)设曲线C 与直线l 相交于P ,Q 两点,以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形,求该矩形的面积.解:(1)对于曲线C ,由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ, 所以x 2+y 2=4x .对于l :由⎩⎪⎨⎪⎧x =5+32t ,y =12t (t 为参数),消去t 可得y =13(x -5),化为一般式可得x -3y -5=0.(2)由(1)可知C 为圆,且圆心为(2,0),半径为2, 所以弦心距d =|2-3×0-5|1+3=32,所以弦长|PQ |=222-⎝ ⎛⎭⎪⎫322=7,所以以PQ 为边的圆C 的内接矩形面积S =2d ·|PQ |=37.2.(本小题满分10分)已知函数f (x )=|ax -2|. (1)当a =2时,解不等式f (x )>x +1;(2)若关于x 的不等式f (x )+f (-x )<1m有实数解,求m 的取值范围.解:(1)当a =2时,不等式为|2x -2|>x +1, 当x ≥1时,不等式化为2x -2>x +1,解得x >3. 当x <1时,不等式化为2-2x >x +1,解得x <13.综上所述,解集为⎝⎛⎭⎪⎫-∞,13∪(3,+∞). (2)因为f (x )+f (-x )=|ax -2|+|-ax -2|≥|ax -2-ax -2|=4, 所以f (x )+f (-x )的最小值为4, 因为f (x )+f (-x )<1m有实数解,所以4<1m ,则0<m <14.故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,14.。

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