2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章 1.2.2 全称量词和存在量词 Word版含解析

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新课标湘教版高中数学选修2-1第一章 1.2 简单的逻辑联结词课件

逻辑知识吗？
在这个故事里，批评家用他的语言和行动表明了这样几句语句（1）我不给傻子让路，（2）你歌德是而歌德用语言和行动反击，傻子, （3）我不给你让路。（1）我给傻子让路（2）你批评家是傻子（3）我给你让路。
数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话．三句话中，只有一句是真话．谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能作我的丈夫．”盒子上的话见下图，求婚者猜中了，问：他是怎样猜中的?
例2 下列语句是命题吗？如果是命题，则与前面的命题(1)(2)(3)在结构上有什么区别？（8） 10可以被2或5整除
（9）菱形的对角线互相垂直且平分
（10） x>3或x=-1 （11） x<5且x≥4 （12） 0.5是非整数（1）12>5 （2）3是12的约数（3）0.5是整数
那么命题（8）：10可以被2或5整除中的 “或”与集合中学过的哪个概念的意义相同呢？命题（9）：菱形的对角线互相垂直且平与集合并集定义中A∪B={x|x∈A或x∈B} 分中的“且”与集合中学过的哪个概念的意的“或”意义相同义相同呢？命题（12）：0.5是非整数中的“非”的与集合交集定义中A∩B={x|x∈A且x∈B} 意义显然是否定的意思，即是对命题进行否的“且”意义相同定而得出的命题。
命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, p q 是假命题. 全真为真,有假即假.
如果p：集合A； q：集合B；则p∧ q为集合 A∩B p q
AA∩BΒιβλιοθήκη B思考?下列三个命题间有什么关系?
(1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数;

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章 1.2.1 逻辑联结词“非”、“且”和“或” Word版含解析

1．2简单的逻辑联结词1．2.1逻辑联结词“非”、“且”和“或”[读教材·填要点]1．联结词“非”设p是一个命题，用联结词“非”对命题p作全盘否定，得到新命题，记作綈p，读作“非p”或“不是p”．2．联结词“且”用联结词“且”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∧q，读作“p且q”．3．联结词“或”用联结词“或”把两个命题p，q联结起来，得到新命题，记作p∨q，读作“p或q”．4．含有逻辑联结词的命题的真假判断[小问题·大思维]1．逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同．日常用语中的“或”带有“不可兼有”的意思．而逻辑联结词中的“或”含有“同时兼有”的意思．2．“或”“且”联结词的否定形式分别是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．3．命题“綈p”与命题“p的否命题”有何不同？提示：命题“綈p”与“否命题”完全不同，前者是对命题的结论否定，后者是既否定条件又否定结论．如：若命题p为“若s，则t”，则綈p：若s，则綈t，否命题：若綈s，则綈t.写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)p：3＋4>6；(2)p：杨振宁是数学家或物理学家；(3)p：不等式x2－3x＋2≥0的解集是{x|1≤x≤2}．[自主解答](1)3＋4>6是一个简单命题，“>”的否定即是“≤”，所以“非p”：3＋4≤6.由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(2)命题是一个“p∨q”形式的命题，其否定为“(綈p)∧(綈q)”的形式，所以“非p”：杨振宁既不是数学家又不是物理学家．由于p是真命题，故命题“非p”是假命题．(3)“非p”：不等式x2－3x＋2≥0的解集不是{x|1≤x≤2}．由于p是假命题，故命题“非p”是真命题．若将例1(2)中的“或”改为“且”，如何解答？解：綈p：杨振宁不是数学家或杨振宁不是物理学家，由于p是假命题，故命题綈p是真命题．写“非p”应先弄清p的条件与结论．另外，要注意改变原命题的真假，一般用否定词语对正面叙述的词语进行否定．如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”．1．写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假．(1)若a，b都是奇数，则a＋b是偶数；(2)全等的三角形是相似三角形．。

选修2-1数学课后习题答案(全)

新课程标准数学选修2—1第一章课后习题解答第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系练习（P4）1、略.2、（1）真；（2）假；（3）真；（4）真.3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等. 这是真命题.（2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称. 这是真命题.（3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行. 这是假命题.练习（P6）1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0. 这是假命题.否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除. 这是假命题.逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0. 这是真命题.2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等. 这是真命题.否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等. 这是真命题.逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数. 这是真命题.否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称. 这是真命题.逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数. 这是真命题.练习（P8）证明：若1a b -=，则22243a b a b -+-- ()()2()2322310a b a b a b b a b b a b =+-+---=++--=--=所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题.习题1.1 A 组（P8）1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2、（1）逆命题：若两个整数a 与b 的和a b +是偶数，则,a b 都是偶数. 这是假命题.否命题：若两个整数,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数. 这是假命题.逆否命题：若两个整数a 与b 的和a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数. 这是真命题.（2）逆命题：若方程20x x m +-=有实数根，则0m >. 这是假命题.否命题：若0m ≤，则方程20x x m +-=没有实数根. 这是假命题.逆否命题：若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤. 这是真命题.3、（1）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上.这是真命题.否命题：若一个点到不在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.逆否命题：若一个点到线段的两个端点的距离不相等，则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.（2）命题可以改写成：若一个四边形是矩形，则四边形的对角线相等.逆命题：若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形. 这是假命题.否命题：若一个四边形不是矩形，则四边形的对角线不相等. 这是假命题.逆否命题：若四边形的对角线不相等，则这个四边形不是矩形. 这是真命题.4、证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形，也就是说这两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题为真命题. 所以，原命题也是真命题.习题1.1 B 组（P8）证明：要证的命题可以改写成“若p ，则q ”的形式：若圆的两条弦不是直径，则它们不能互相平分.此命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦互相平分，则这两条相交弦是圆的两条直径.可以先证明此逆否命题：设,AB CD 是O 的两条互相平分的相交弦，交点是E ，若E 和圆心O 重合，则,AB CD 是经过圆心O 的弦，,AB CD 是两条直径. 若E 和圆心O 不重合，连结,,AO BO CO 和DO ，则OE 是等腰AOB ∆，COD ∆的底边上中线，所以，OE AB ⊥，OE CD ⊥. AB 和CD 都经过点E ，且与OE 垂直，这是不可能的. 所以，E 和O 必然重合. 即AB 和CD 是圆的两条直径. 原命题的逆否命题得证，由互为逆否命题的相同真假性，知原命题是真命题.1．2充分条件与必要条件练习（P10）1、（1）⇒；（2）⇒；（3）⇒；（4）⇒.2、（1）. 3（1）.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真.练习（P12）1、（1）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（2）原命题和它的逆命题都是真命题，p 是q 的充要条件；（3）原命题是假命题，逆命题是真命题，p 是q 的必要条件.2、（1）p 是q 的必要条件；（2）p 是q 的充分条件；（3）p 是q 的充要条件；（4）p 是q 的充要条件.习题1.2 A 组（P12）1、略.2、（1）假；（2）真；（3）真.3、（1）充分条件，或充分不必要条件；（2）充要条件；（3）既不是充分条件，也不是必要条件；（4）充分条件，或充分不必要条件.4、充要条件是222a b r +=.习题1.2 B 组（P13）1、（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.2、证明：（1）充分性：如果222a b c ab ac bc ++=++，那么2220a b c ab ac bc ++---=. 所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以，0a b -=，0a c -=，0b c -=.即 a b c ==，所以，ABC ∆是等边三角形.（2）必要性：如果ABC ∆是等边三角形，那么a b c ==所以222()()()0a b a c b c -+-+-=所以2220a b c ab ac bc ++---=所以222a b c ab ac bc ++=++1．3简单的逻辑联结词练习（P18）1、（1）真；（2）假.2、（1）真；（2）假.3、（1）225+≠，真命题；（2）3不是方程290x -=的根，假命题；（31≠-，真命题.习题1.3 A 组（P18）1、（1）4{2,3}∈或2{2,3}∈，真命题；（2）4{2,3}∈且2{2,3}∈，假命题；（3）2是偶数或3不是素数，真命题；（4）2是偶数且3不是素数，假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题.3、（1不是有理数，真命题；（2）5是15的约数，真命题；（3）23≥，假命题；（4）8715+=，真命题；（5）空集不是任何集合的真子集，真命题.习题1.3 B 组（P18）（1）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∨为真命题；（2）真命题. 因为p 为真命题，q 为真命题，所以p q ∧为真命题；（3）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∨为假命题；（4）假命题. 因为p 为假命题，q 为假命题，所以p q ∧为假命题.1．4全称量词与存在量词练习（P23）1、（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.练习（P26）1、（1）00,n Z n Q ∃∈∉；（2）存在一个素数，它不是奇数；（3）存在一个指数函数，它不是单调函数.2、（1）所有三角形都不是直角三角形；（2）每个梯形都不是等腰梯形；（3）所有实数的绝对值都是正数.习题1.4 A 组（P26）1、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题.2、（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题.3、（1）32000,x N x x ∃∈≤；（2）存在一个可以被5整除的整数，末位数字不是0；（3）2,10x R x x ∀∈-+>；（4）所有四边形的对角线不互相垂直.习题1.4 B 组（P27）（1）假命题. 存在一条直线，它在y 轴上没有截距；（2）假命题. 存在一个二次函数，它的图象与x 轴不相交；（3）假命题. 每个三角形的内角和不小于180︒；（4）真命题. 每个四边形都有外接圆.第一章复习参考题A 组（P30）1、原命题可以写为：若一个三角形是等边三角形，则此三角形的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则此三角形是等边三角形. 是真命题；否命题：若一个三角形不是等边三角形，则此三角形的三个内角不全相等. 是真命题；逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，则此三角形不是等边三角形. 是真命题.2、略.3、（1）假；（2）假；（3）假；（4）假.4、（1）真；（2）真；（3）假；（4）真；（5）真.5、（1）2,0n N n ∀∈>；（2）{P P P ∀∈在圆222x y r +=上}，(OP r O =为圆心)；（3）(,){(,),x y x y x y ∃∈是整数}，243x y +=；（4）0{x x x ∃∈是无理数}，30{x q q ∈是有理数}. 6、（1）32≠，真命题；（2）54≤，假命题；（3）00,0x R x ∃∈≤，真命题；（4）存在一个正方形，它不是平行四边形，假命题.第一章复习参考题B 组（P31）1、（1）p q ∧；（2）()()p q ⌝∧⌝，或()p q ⌝∨.2、（1）Rt ABC ∀∆，90C ∠=︒，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则222c a b =+；（2）ABC ∀∆，,,A B C ∠∠∠的对边分别是,,a b c ，则sin sin sin a b c A B C ==.新课程标准数学选修2—1第二章课后习题解答第二章圆锥曲线与方程2．1曲线与方程练习（P37）1、是. 容易求出等腰三角形ABC 的边BC 上的中线AO 所在直线的方程是0x =.2、3218,2525a b ==. 3、解：设点,A M 的坐标分别为(,0)t ，(,)x y .（1）当2t ≠时，直线CA 斜率 20222CA k t t -==-- 所以，122CB CA t k k -=-= 由直线的点斜式方程，得直线CB 的方程为 22(2)2t y x --=-. 令0x =，得4y t =-，即点B 的坐标为(0,4)t -.由于点M 是线段AB 的中点，由中点坐标公式得4,22t t x y -==. 由2t x =得2t x =，代入42t y -=，得422x y -=，即20x y +-=……① （2）当2t =时，可得点,A B 的坐标分别为(2,0)，(0,2)此时点M 的坐标为(1,1)，它仍然适合方程①由（1）（2）可知，方程①是点M 的轨迹方程，它表示一条直线.习题2.1 A 组（P37）1、解：点(1,2)A -、(3,10)C 在方程2210x xy y -++=表示的曲线上；点(2,3)B -不在此曲线上2、解：当0c ≠时，轨迹方程为12c x +=；当0c =时，轨迹为整个坐标平面. 3、以两定点所在直线为x 轴，线段AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，得点M 的轨迹方程为224x y +=.4、解法一：设圆22650x y x +-+=的圆心为C ，则点C 的坐标是(3,0).由题意，得CM AB ⊥，则有1CM AB k k =-.所以，13y y x x⨯=--(3,0)x x ≠≠ 化简得2230x y x +-=(3,0)x x ≠≠当3x =时，0y =，点(3,0)适合题意；当0x =时，0y =，点(0,0)不合题意.解方程组 222230650x y x x y x ⎧+-=⎪⎨+-+=⎪⎩，得5,3x y == 所以，点M 的轨迹方程是2230x y x +-=，533x ≤≤. 解法二：注意到OCM ∆是直角三角形，利用勾股定理，得2222(3)9x y x y ++-+=，即2230x y x +-=. 其他同解法一.习题2.1 B 组（P37）1、解：由题意，设经过点P 的直线l 的方程为1x y a b+=.因为直线l 经过点(3,4)P ，所以341a b+= 因此，430ab a b --= 由已知点M 的坐标为(,)a b ，所以点M 的轨迹方程为430xy x y --=.2、解：如图，设动圆圆心M 的坐标为(,)x y . 由于动圆截直线30x y -=和30x y +=所得弦分别为 AB ，CD ，所以，8AB =，4CD =. 过点M 分别作直线30x y -=和30x y +=的垂线，垂足分别为E ，F ，则4AE =，2CF =.ME =，MF =. 连接MA ，MC ，因为MA MC =，则有，2222AE ME CF MF +=+ 所以，22(3)(3)1641010x y x y -++=+，化简得，10xy =. 因此，动圆圆心的轨迹方程是10xy =.2．2椭圆练习（P42）1、14. 提示：根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF=. 2、（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=，或2213616y x +=. 3、解：由已知，5a =，4b =，所以3c .（1）1AF B ∆的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=.所以，1AF B ∆的周长420a ==.（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ∆的周长不变化.这是因为①②两式仍然成立，1AF B ∆的周长20=，这是定值.4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得直线AM 的斜率 1AM y k x =+(1)x ≠-；直线BM 的斜率 1BMy k x =-(1)x ≠；由题意，得2AM BM k k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.练习（P48）1、以点2B （或1B）为圆心，以线段2OA （或1OA ）为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F .点12,F F 就是椭圆的两个焦点.这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同样有1OF c =.2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)；（2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-. 3、（1）2213632x y +=；（2）2212516y x+=. 4、（1）22194x y += （2）22110064x y +=，或22110064y x +=. 5、（1）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆2211612x y +=的离心率是12， 12>，所以，椭圆2211612x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁；（2）椭圆22936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=的离心率是5，因为35>，所以，椭圆221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁.6、（1）8(3,)5；（2）(0,2)；（3）4870(,)3737--. 7、7. 习题2.2 A 组（P49） 1、解：由点(,)M x y10=以及椭圆的定义得，点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆. 它的方程是2212516y x +=. 2、（1）2213632x y +=；（2）221259y x +=；（3）2214940x y +=，或2214940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；（2）不等式x -≤≤101033y -≤≤表示的区域的公共部分. 图略. 4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率2e =，焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率3e =，焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).5、（1）22185x y +=；（2）2219x y +=，或221819y x +=；（3）221259x y +=，或221259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.因为12PF F ∆的面积等于1，所以，12112P F F y ⨯⨯=，解得1P y =. 代入椭圆的方程，得21154x +=，解得2x =±. 所以，点P的坐标是(1)2±±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =.所以，QO QA QO QP OP r +=+==.又因为点A 在圆内，所以OA OP <根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.8、解：设这组平行线的方程为32y x m =+. 把32y x m =+代入椭圆方程22149x y +=，得22962180x mx m ++-=. 这个方程根的判别式 223636(218)m m ∆=--（1）由0∆>，得m -<<当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(-时，直线与椭圆相交.（2）设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为(,)M x y . 则 1223x x m x +==-. 因为点M 在直线32y x m =+上，与3m x =-联立，消去m ，得320x y +=. 这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在一条直线上. 9、222213.525 2.875x y +=. 10、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km.习题2.2 B 组（P50）1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则0x x =，032y y =. 所以0x x =，023y y = ……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22004x y += ……②.将①代入②，得点M 的轨迹方程为22449x y +=，即22149x y += 所以，点M 的轨迹是一个椭圆与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.2、解法一：设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R ，两已知圆的圆心分别为12,O O .分别将两已知圆的方程 22650x y x +++=，226910x y x +--=配方，得 22(3)4x y ++=， 22(3)100x y -+=当P 与1O ：22(3)4x y ++=外切时，有12O P R =+……① 当P 与2O ：22(3)100x y -+=内切时，有210O P R =- ……② ①②两式的两边分别相加，得1212O P O P +=12……③化简方程③.先移项，再两边分别平方，并整理，得 12x =+ ……④ 将④两边分别平方，并整理，得 22341080x y +-= ……⑤ 将常数项移至方程的右边，两边分别除以108，得 2213627x y += ……⑥ 由方程⑥可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，它的长轴和短轴长分别为12，. 12= ……①由方程①可知，动圆圆心(,)P x y 到点1(3,0)O -和点2(3,0)O 距离的和是常数12，所以点P 的轨迹方程是焦点为(3,0)-、(3,0)，长轴长等于12的椭圆.并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程. 因为 26c =，212a =，所以3c =，6a =所以236927b =-=. 于是，动圆圆心的轨迹方程为2213627x y +=. 3、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF PM d ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭由此得 12= 将上式两边平方，并化简，得 223448x y +=，即2211612x y += 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.4、解：如图，由已知，得(0,3)E -，(4,0)F 因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，,,R S T '''是线段CF 的四等分点，所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；933(4,),(4,),(4,)424R S T '''. 直线ER 的方程是33y x =-；直线GR '的方程是3316y x =-+. 联立这两个方程，解得 3245,1717x y ==. 所以，点L 的坐标是3245(,)1717.同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621(,)2525.由作图可见，可以设椭圆的方程为22221x y m n+=(0,0)m n >> ……①把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得22114m =，22113n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为221169x y +=. 把点N 的坐标代入22169x y +，得22196121()()11625925⨯+⨯=，所以，点N 在221169x y +=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆221169x y +=上. 2．3双曲线练习（P55）1、（1）221169x y -=. （2）2213y x -=. （3）解法一：因为双曲线的焦点在y 轴上所以，可设它的标准方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>将点(2,5)-代入方程，得222541a b-=，即22224250a b a b +-= 又 2236a b +=解方程组 222222425036a b a b a b ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩令22,m a n b ==，代入方程组，得425036mn m n m n +-=⎧⎨+=⎩解得 2016m n =⎧⎨=⎩，或459m n =⎧⎨=-⎩第二组不合题意，舍去，得2220,16a b ==所求双曲线的标准方程为2212016y x -=解法二：根据双曲线的定义，有2a ==.所以，a = 又6c =，所以2362016b =-=由已知，双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=. 2、提示：根据椭圆中222a b c -=和双曲线中222a b c +=的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.3、由(2)(1)0m m ++>，解得2m <-，或1m >- 练习（P61）1、（1）实轴长2a =，虚轴长24b =；顶点坐标为-；焦点坐标为(6,0),(6,0)-；离心率4e =. （2）实轴长26a =，虚轴长218b =；顶点坐标为(3,0),(3,0)-；焦点坐标为-；离心率e =（3）实轴长24a =，虚轴长24b =；顶点坐标为(0,2),(0,2)-；焦点坐标为-；离心率e =（4）实轴长210a =，虚轴长214b =；顶点坐标为(0,5),(0,5)-；焦点坐标为；离心率e =2、（1）221169x y -=；（2）2213628y x -=. 3、22135x y -= 4、2211818x y -=，渐近线方程为y x =±. 5、（1）142(6,2),(,)33-；（2）25(,3)4习题2.3 A 组（P61）1、把方程化为标准方程，得2216416y x -=. 因为8a =，由双曲线定义可知，点P 到两焦点距离的差的绝对值等于16. 因此点P 到另一焦点的距离是17.2、（1）2212016x y -=. （2）2212575x y -= 3、（1）焦点坐标为12(5,0),(5,0)F F -，离心率53e =；（2）焦点坐标为12(0,5),(0,5)F F -，离心率54e =；4、（1）2212516x y -=. （2）221916y x -=（3）解：因为ce a==，所以222c a =，因此2222222b c a a a a =-=-=. 设双曲线的标准方程为 22221x y a a -=，或22221y x a a-=.将(5,3)-代入上面的两个方程，得222591a a -=，或229251a a -=.解得 216a = （后一个方程无解）.所以，所求的双曲线方程为2211616x y -=. 5、解：连接QA ，由已知，得QA QP =.所以，QA QO QP QO OP r -=-==. 又因为点A 在圆外，所以OA OP >.根据双曲线的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为实轴长的双曲线.6、22188x y -=.习题2.3 B 组（P62）1、221169x y -= 2、解：由声速及,A B 两处听到爆炸声的时间差，可知,A B 两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以,A B 为焦点的双曲线上.使,A B 两点在x 轴上，并且原点O 与线段AB 的中点重合，建立直角坐标系xOy . 设爆炸点P 的坐标为(,)x y ，则 34031020PA PB -=⨯=. 即 21020a =，510a =.又1400AB =，所以21400c =，700c =，222229900b c a =-=.因此，所求双曲线的方程为221260100229900x y -=. 3、22221x y a b-=4、解：设点11(,)A x y ，22(,)B x y 在双曲线上，且线段AB 的中点为(,)M x y .设经过点P 的直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-把1y kx k =+-代入双曲线的方程2212y x -=得 222(2)2(1)(1)20k x k k x k ------=（220k -≠） ……①所以，122(1)22x x k k x k +-==- 由题意，得2(1)12k k k-=-，解得 2k =. 当2k =时，方程①成为22430x x -+=.根的判别式162480∆=-=-<，方程①没有实数解.所以，不能作一条直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点.2．4抛物线练习（P67）1、（1）212y x =；（2）2y x =；（3）22224,4,4,4y x y x x y x y ==-==-.2、（1）焦点坐标(5,0)F ，准线方程5x =-；（2）焦点坐标1(0,)8F ，准线方程18y =-；（3）焦点坐标5(,0)8F -，准线方程58x =；（4）焦点坐标(0,2)F -，准线方程2y =； 3、（1）a ，2pa -. （2），(6,- 提示：由抛物线的标准方程求出准线方程. 由抛物线的定义，点M 到准线的距离等于9，所以 39x +=，6x =，y =±练习（P72）1、（1）2165y x =；（2）220x y =；（3）216y x =-；（4）232x y =-. 2、图形见右，x 的系数越大，抛物线的开口越大. 3、解：过点(2,0)M 且斜率为1的直线l 的方程为2y x =-与抛物线的方程24y x =联立 224y x y x=-⎧⎨=⎩解得1142x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2242x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 设11(,)A x y ，22(,)B x y，则AB ===4、解：设直线AB 的方程为x a =(0)a >.将x a =代入抛物线方程24y x =，得24y a =，即y =±因为22AB y ==⨯== 所以，3a =因此，直线AB 的方程为3x =.习题2.4 A 组（P73）1、（1）焦点坐标1(0,)2F ，准线方程12y =-；（2）焦点坐标3(0,)16F -，准线方程316y =；（3）焦点坐标1(,0)8F -，准线方程18x =；（4）焦点坐标3(,0)2F ，准线方程32x =-.2、（1）28y x =-；（2），或(4,-3、解：由抛物线的方程22y px =(0)p >，得它的准线方程为2px =-. 根据抛物线的定义，由2MF p =，可知，点M 的准线的距离为2p .设点M 的坐标为(,)x y ，则 22p x p +=，解得32px =. 将32p x =代入22y px =中，得y =. 因此，点M的坐标为3()2p，3(,)2p.4、（1）224y x =，224y x =-；（2）212x y =-（图略）5、解：因为60xFM ∠=︒，所以线段FM所在直线的斜率tan 60k =︒=. 因此，直线FM 的方程为1)y x =-与抛物线24y x =联立，得21)142y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩将1代入2得，231030x x -+=，解得，113x =，23x =把113x =，23x =分别代入①得1y =，2y =由第5题图知1(,33-不合题意，所以点M 的坐标为.因此，4FM ==6、证明：将2y x =-代入22y x =中，得2(2)2x x -=，化简得 2640x x -+=，解得 3x=±则 321y ==±因为OB k ，OA k=所以15195OB OA k k -⋅===--所以 OA OB ⊥7、这条抛物线的方程是217.5x y = 8、解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为22x py =-，因为拱桥离水面2 m ，水面宽4 m 所以 222(2)p =--，1p =因此，抛物线方程为22x y =- ……①水面下降1 m ，则3y =-，代入①式，得22(3)x =-⨯-，x =这时水面宽为 m.习题2.2 B 组（P74）1、解：设垂线段的中点坐标为(,)x y ，抛物线上相应点的坐标为11(,)x y .根据题意，1x x =，12y y =，代入2112y px =，得轨迹方程为212y px =. 由方程可知，轨迹为顶点在原点、焦点坐标为(,0)8p的抛物线. 2、解：设这个等边三角形OAB 的顶点,A B 在抛物线上，且坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则 2112y px =，2222y px =.又OA OB =，所以 22221122x y x y +=+即221212220x x px px -+-=，221212()2()0x x p x x -+-=因此，1212()(2)0x x x x p -++= 因为120,0,20x x p >>>，所以12x x = 由此可得12y y =，即线段AB 关于x 轴对称. 因为x 轴垂直于AB ，且30AOx ∠=︒，所以11tan30y x =︒=. 因为2112y x p=，所以1y =，因此12AB y ==.3、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+. 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-. 由题意，得2AM BM k k -=，所以，2(1)11y y x x x -=≠±+-，化简，得2(1)(1)x y x =--≠± 第二章复习参考题A 组（P80）1、解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a +=>>.则 22a c OA OF F A -=-=63714396810=+=，22a c OB OF F B +=+=637123848755=+=，解得 7782.5a =，8755c =所以b ===用计算器算得 7722b ≈因此，卫星的轨道方程是2222177837722x y +=. 2、解：由题意，得 12a c R r a c R r -=+⎧⎨+=+⎩，解此方程组，得1221222R r r a r r c ++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩因此卫星轨道的离心率21122c r r e a R r r -==++. 3、（1）D ；（2）B .4、（1）当0α=︒时，方程表示圆.（2）当090α︒<<︒时，方程化成2211cos y x α+=. 方程表示焦点在y 轴上的椭圆. （3）当90α=︒时，21x =，即1x =±，方程表示平行于y 轴的两条直线.（4）当90180α︒<≤︒时，因为cos 0α<，所以22cos 1x y α+=表示双曲线，其焦点在x 轴上.而当180α=︒时，方程表示等轴双曲线. 5、解：将1y kx =-代入方程224x y -=得 2222140x k x kx -+--= 即 22(1)250k x kx -+-= ……① 222420(1)2016k k k ∆=+-=-令 0∆<，解得2k >，或2k <- 因为0∆<，方程①无解，即直线与双曲线没有公共点，所以，k的取值范围为k >k <6、提示：设抛物线方程为22y px =，则点B 的坐标为(,)2p p ，点C 的坐标为(,)2pp - 设点P 的坐标为(,)x y ，则点Q 的坐标为(,0)x .因为，PQ y ==2BC p =，OQ x =.所以，2PQ BC OQ =，即PQ 是BC 和OQ 的比例中项.7、解：设等边三角形的另外两个顶点分别是,A B ，其中点A 在x 轴上方.直线FA 的方程为 )32py x =-与22y px =联立，消去x ，得 220y p --=解方程，得 12)y p =，22)y p =把12)y p =代入)2p y x =-，得 17(2x p =+.把22)y p =代入)32p y x =-，得 27(2x p =-.所以，满足条件的点A 有两个17((2))2A p p +，27((2))2A p p -.根据图形的对称性，可得满足条件的点B 也有两个17((,2))2B p p +-，27((,2))2B p p --所以，等边三角形的边长是112)A B p =，或者222(2A B p =. 8、解：设直线l 的方程为2y x m =+.把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.1265mx x +=-，2123610m x x += ……①由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……②把①代入②，解得 3m =±所以，直线l 的方程为23y x =±9、解：设点A的坐标为11(,)x y，点B的坐标为22(,)x y，点M的坐标为(,)x y.并设经过点M的直线l的方程为1(2)y k x-=-，即12y kx k=+-.把12y kx k=+-代入双曲线的方程2212yx-=，得222(2)2(12)(12)20k x k k x k------=2(20)k-≠. ……①所以，122(12)22x x k kxk+-==-由题意，得2(12)22k kk-=-，解得4k=当4k=时，方程①成为21456510x x-+=根的判别式25656512800∆=-⨯=>，方程①有实数解.所以，直线l的方程为47y x=-.10、解：设点C的坐标为(,)x y.由已知，得直线AC的斜率(5)5ACyk xx=≠-+直线BC的斜率(5)5BCyk xx=≠-由题意，得AC BCk k m=. 所以，(5)55y ym xx x⨯=≠±+-化简得，221(5)2525x yxm-=≠±当0m<时，点C的轨迹是椭圆(1)m≠-，或者圆(1)m=-，并除去两点(5,0),(5,0)-；当0m>时，点C的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)-；11、解：设抛物线24y x=上的点P的坐标为(,)x y，则24y x=.点P到直线3y x=+的距离d===当2y=时，d. 此时1x=，点P的坐标是(1,2).12、解：如图，在隧道的横断面上，以拱顶为原点、拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系.设隧道顶部所在抛物线的方程为22x py=-因为点(4,4)C -在抛物线上所以 242(4)p =-- 解得 24p =-所以，隧道顶部所在抛物线的方程为24x y =-.设0.5EF h =+. 则(3, 5.5)F h -把点F 的坐标代入方程24x y =-，解得 3.25h =. 答：车辆通过隧道的限制高度为3.2 m.第二章复习参考题B 组（P81）1、12PF F S ∆=.2、解：由题意，得1PF x ⊥轴.把x c =-代入椭圆方程，解得 2b y a=±. 所以，点P 的坐标是2(,)b c a -直线OP 的斜率21b k ac =-. 直线AB 的斜率2bk a =-.由题意，得2b bac a =，所以，b c =，a =.由已知及1F A a c =+，得a c +=所以 (1c +=+ c =所以，a =，b =因此，椭圆的方程为221105x y +=. 3、解：设点A 的坐标11(,)x y ，点B 的坐标22(,)x y .由OA OB ⊥，得12120x x y y +=. 由已知，得直线AB 的方程为25y x =-+. 则有 12125()250y y y y -++= ……①由25y x =-+与22y px =消去x ，得250y py p +-= ……②（第4题）12y y p +=-，125y y p =- ……③ 把③代入①，解得54p = 当54p =时，方程②成为245250y y +-=，显然此方程有实数根. 所以，54p = 4、解：如图，以连接12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的中点为原点，建立直角坐标系.对于抛物线，有176352922922p=+=，所以，4584p =，29168p =.对于双曲线，有2080529c a c a +=⎧⎨-=⎩解此方程组，得775.5a =，1304.5c = 因此，2221100320b c a =-=.所以，所求双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 因为抛物线的顶点横坐标是 (1763)(1763775.5)987.5a --=--=- 所以，所求抛物线的方程是 29168(987.5)y x =+ 答：抛物线的方程为29168(987.5)y x =+，双曲线的方程是221601400.31100320x y -=(775.5)x ≥. 5、解：设点M 的坐标为(,)x y由已知，得直线AM 的斜率 (1)1AM yk x x =≠-+ 直线BM 的斜率 (1)1BM yk x x =≠-由题意，得2AM BM k k +=，所以2(1)11y y x x x +=≠±-+，化简，得21(1)xy x x =-≠± 所以，点M 轨迹方程是21(1)xy x x =-≠±.6、解：（1）当1m =时，方程表示x 轴；（2）当3m =时，方程表示y 轴；（3）当1,3m m ≠≠时，把方程写成22131x y m m +=--. ①当13,2m m <<≠时，方程表示椭圆； ②2m =时，方程表示圆；③当1m <，或3m >时，方程表示双曲线.7、以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切.证明：如图，过点,A B 分别作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足分别为,D E .由抛物线的定义，得 AD AF =，BE BF =.所以，AB AF BF AD BE =+=+.设AB 的中点为M ，且过点M 作抛物线22(0)y px p =>的准线l 的垂线，垂足为C .显然MC ∥x 轴，所以，MC 是直角梯形ADEB 的中位线. 于是，11()22MC AD BE AB =+=. 因此，点C 在以AB 为直径的圆上.又MC l ⊥，所以，以AB 为直径的圆与抛物线的准线l 相切. 类似地，可以证明：对于椭圆，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相离；对于双曲线，以经过焦点的弦为直径的圆与相应的准线相交.新课程标准数学选修2—1第三章课后习题解答第三章空间向量与立体几何 3．1空间向量及其运算练习（P86）1、略.2、略.3、A C AB AD AA ''=+-，BD AB AD AA ''=-+，DB AA AB AD ''=--. 练习（P89）1、（1）AD ；（2）AG ；（3）MG .2、（1）1x =；（2）12x y ==；（3）12x y ==. 3.练习（P92） 1、B .2、解：因为AC AB AD AA ''=++，所以22()AC AB AD AA ''=++2222222()4352(0107.5)85AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++=（第7题）PRS B CAQ O（第3题）所以85AC '=3、解：因为AC α⊥所以AC BD ⊥，AC AB ⊥，又知BD AB ⊥.所以0AC BD ⋅=，0AC AB ⋅=，又知0BD AB ⋅=. 2CD CD CD =⋅222222()()CA AB BD CA AB BD CA AB BDa b c =++⋅++=++=++所以CD .练习（P94）1、向量c 与a b +，a b -一定构成空间的一个基底. 否则c 与a b +，a b -共面，于是c 与a ，b 共面，这与已知矛盾.2、共面2、（1）解：OB OB BB OA AB BB OA OC OO a b c ''''=+=++=++=++；BA BA BB OC OO c b '''=+=-+=-CA CA AA OA OC OO a b c '''=+=-+=-+（2）1111()2222OG OC CG OC CB b a c a b c '=+=+=++=++. 练习（P97）1、（1）(2,7,4)-；（2）(10,1,16)-；（3）(18,12,30)-；（4）2.2、略.3、解：分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0)D ，1(1,1,1)B ，1(1,,0)2M ，(0,1,0)C 所以，1(1,1,1)DB =，1(1,,0)2CM =-.所以，111110cos ,153DB CM DB CM DB CM-+⋅<>===⋅.习题3.1 A 组（P97）1、解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA AC AA AC CC AC ''''++=+=+=；（3）设点M 是线段CC '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=；（4）设点G 是线段AC '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==.向量,,,AC AC AM AG '如图所示. 2、A .3、解：22()AC AB AD AA ''=++2222222()15372(53573722298AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+所以，13.3AC '≈.4、（1）21cos602AB AC AB AC a ⋅=⋅︒=；（2）21cos1202AD DB AD DB a ⋅=⋅︒=-；（3）21cos1802GF AC GF AC a ⋅=⋅︒=- 11()22GF AC a ==；（4）21cos604EF BC EF BC a ⋅=⋅︒= 11()22EF BD a ==；（5）21cos1204FG BA FG BA a ⋅=⋅︒=- 11()22FG AC a ==；（6）11()22GE GF GC CB BA CA ⋅=++⋅2111()222111424111cos120cos60cos6042414DC CB BA CA DC CA CB CA BA CA DC CA CB CA BA CA a =++⋅=⋅+⋅+⋅=⋅︒+⋅︒+⋅︒=5、（1）60︒；（2）略.6、向量a 的横坐标不为0，其余均为0；向量b 的纵坐标不为0，其余均为0；向量c 的竖坐标不为0，其余均为0.7、（1）9；（2）(14,3,3)-.8、解：因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即8230x --+=，解得103x =.9、解：(5,1,10)AB =--，(5,1,10)BA =-设AB 的中点为M ，119()(,,2)222OM OA OB =+=-，所以，点M 的坐标为19(,,2)22-，(AB =-10、解：以1,,DA DC DD 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.则1,,,C M D N 的坐标分别为：(0,1,0)C ，1(1,0,)2M ，1(0,0,1)D ，1(1,1,)2N . 1(1,1,)2CM =-，11(1,1,)2D N =- 所以2312CM ==，21312D N == 111114cos ,994CM D N --<>==- 由于异面直线CM 和1D N 所成的角的范围是[0,]2π因此，CM 和1D N 所成的角的余弦值为19. 11、31(,,3)22- 习题3.1 B 组（P99）1、证明：由已知可知，OA BC ⊥，OB AC ⊥∴ 0OA BC ⋅=，0OB AC ⋅=，所以()0OA OC OB ⋅-=，()0OB OC OA ⋅-=. ∴ OA OC OA OB ⋅=⋅，OB OC OB OA ⋅=⋅.∴ 0OA OC OB OC ⋅-⋅=，()0OA OB OC -⋅=，0BA OC ⋅=. ∴ OC AB ⊥.2、证明：∵ 点,,,E F G H 分别是,,,OA OB BC CA 的中点.∴ 12EF AB =，12HG AB =，所以EF HG = ∴四边形EFGH 是平行四边形.1122EF EH AB OC ⋅=⋅11()()44OB OA OC OB OC OA OC =-⋅=⋅-⋅∵ OA OB =，CA CB =（已知），OC OC =. ∴ BOC ∆≌AOC ∆（SSS ） ∴ BOC AOC ∠=∠∴ OB OC OA OC ⋅=⋅∴ 0EF EH ⋅= ∴ EF EH ⊥∴ 平行四边形□EFGH 是矩形.3、已知：如图，直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，,O B 为垂足. 求证：OA ∥BD证明：以点O 为原点，以射线OA 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，,,i j k 分别为沿x 轴、y 轴、z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =.∵ BD α⊥.∴ BD i ⊥，BD j ⊥.∴ (,,)(1,0,0)0BD i x y z x ⋅=⋅==，(,,)(0,1,0)0BD j x y z y ⋅=⋅==. ∴ (0,0,)BD z =. ∴ BD zk =.∴ BD ∥k ，又知,O B 为两个不同的点.∴ BD ∥OA .3．2立体几何中的向量方法练习（P104）1、（1）3b a =，1l ∥2l ；（2）0a b ⋅=，1l ⊥2l ；（3）3b a =-，1l ∥2l .2、（1）0u v ⋅=，αβ⊥；（2）2v u =-，α∥β；（3）292247u v u v⋅=-，α与β相交，交角的余弦等于292247.练习（P107）1、证明：设正方形的棱长为1.11D F DF DD =-，AE BE BA =-.因为11()000D F AD DF DD AD ⋅=-⋅=-=，所以1D F AD ⊥. 因为1111()()00022D F AE DF DD BE BA ⋅=-⋅-=+-+=，所以1D F AE ⊥. 因此1D F ⊥平面ADE .2、解：22()CD CD CA AB BD ==++（第3题）222222361664268cos(18060)68CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯⨯︒-︒=∴CD =练习（P111）1、证明：1()()2MN AB MB BC CN AB MB BC CD AB ⋅=++⋅=++⋅ 222211()22111cos120cos60cos600222MB BC AD AC AB a a a a =++-⋅=+︒+︒-︒=∴ MN AB ⊥. 同理可证MN CD ⊥.2、解：222222()2cos l EF EA A A AF m d n mn θ''==++=+++（或2cos()mn πθ-）22222cos d l m n mn θ=--，所以 22cos AA d mn θ'=.3、证明：以点D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)C '，11(,1,)22O . ∵ 11(,1,)(1,0,1)022DO BC '⋅=---⋅-= ∴DO BC '⊥ 习题3.2 A 组（P111）1、解：设正方形的棱长为1（1）1()()2MN CD MB B N CC C D ''''''⋅=+⋅+=，212MN CD '⋅== 112cos 12θ==，60θ=︒.（2）1()2MN AD MB B N AD ''⋅=+⋅=，212MN AD ⋅==1cos 2θ==，45θ=︒.2、证明：设正方体的棱长为1因为11()000DB AC DB BB AC ⋅=+⋅=+=，所以1DB AC ⊥.因为111111()000DB AD DA AB AD ⋅=+⋅=+=，所以11DB AD ⊥. 因此，1DB ⊥平面1ACD .3、证明：∵()cos cos 0OA BC OC OB OA OC OA OB OA θθ⋅=-⋅=-=，∴OA BC ⊥.4、证明：（1）因为11()000AC LE A A AC LE ⋅=+⋅=+=，所以1AC LE ⊥. 因为11()000AC EF A B BC EF ⋅=+⋅=+=，所以1AC EF ⊥. 因此，1AC ⊥平面EFGHLK . （2）设正方体的棱长为1因为1111()()1AC DB A A AC DB DB ⋅=+⋅+=-，211(3)3AC DB ⋅== 所以 1cos 3θ=-. 因此1DB 与平面EFGHLK 的所成角α的余弦cos 3α=. 5、解：（1）222211111()()22222DE DE DE DE DA AB AC AB OA AC AB ==⋅=++-=++11(111111)42=++-+-= 所以，2DE =（2）11111()()22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=，32AE AO ⋅=1cos 2θ===sin θ=点O 到平面ABC 的距离sin 1OH OA θ===. 6、解：（1）设1AB =，作AO BC ⊥于点O ，连接DO .以点O 为原点，,,OD OC OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O，D ，1(0,,0)2B，3(0,,0)2C，A . ∴3((4DO DA ⋅=-⋅=，184DO DA ⋅=，cos 2θ=. ∴ AD 与平面BCD 所成角等于45︒. （2）(0,1,0)(0BC DA ⋅=⋅=. 所以，AD 与BC 所成角等于90︒.（3）设平面ABD 的法向量为(,,1)x y ，则1(,,1)(,,1)(0,,02x y AB x y ⋅=⋅=，(,,1)(,,1)0x y AD x y ⋅=⋅=. 解得 1x =，y =显然(0,0,1)为平面BCD 的法向量.(0,0,1)1⋅=，cos θ==因此，二面角A BD C --的余弦cos cos()απθ=-=7、解：设点B 的坐标为(,,)x y z ，则(1,2,)AB x y z =-+.因为AB ∥α，所以123412x y z-+==-. 因为226AB α==26=.解得5x =-，6y =，24z =，或7x =，10y =-，24z =-.8、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(,,0)A a a -，(,,0)B a a ，(,,0)C a a -，(,,0)D a a --，(0,0,)V h ，(,,)222a a hE -.（1）222233(,,)(,,)6222222cos ,10a a h a a h h a BE DE h a BE DE--⋅-<>==+.（2）223(,,)(,,)02222a a h h VC BE a a h a ⋅=--⋅--=-=，222h a = 222222641cos ,10123h a a BE DE h a a --<>===-+9、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，111(,,)222O -，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)D -，1(0,0,)2M .因为10OM AA ⋅=，10OM BD ⋅=，所以1OM AA ⊥，1OM BD ⊥，2OM ==. 10、解：以点A 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)A ，(0,7,0)B ，(0,0,24)C ，(,,)D x y z .因为(,7,)(0,7,0)0BD AB x y z ⋅=-⋅=，所以7y =.由24BD ==，25CD ==解得12z =，x =1cos 2BD AC BD ACθ⋅==⋅，60θ=︒ 因此，线段BD 与平面α所成的角等于9030θ︒-=︒.11、解：以点O 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)O ，(4,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,0,4)O '，(4,0,4)A '，(0,3,4)B '，3(2,,4)2D ，(0,3,)P z .由3(0,3,)(2,,4)02OP BD z ⋅=⋅-=，解得98z =. 所以，938tan 38PB OB θ===.12、解：不妨设这条线段MN 长为2，则点M 到二面角的棱的距离1MP =，点N 到二面角的棱的距离1NQ =，QM PN ==PQ =22cos 2PQ MNPQ PQ MNθ⋅====⋅， 45θ=︒. 习题3.2 B 组（P113） 1、解：12222ABC S ∆=⨯⨯=， ()224502AD BE AB BD BE ⋅=+⋅=︒+=，202cos AD BE AD AD θ⋅==，20AD =，204BD ==. 184233ABCD V =⨯⨯=2、解：（1）以点B 为原点建立坐标系，得下列坐标：(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,0,1)C ，(1,1,0)F，,0,1)M -，,0)N .。

高中数学选修2-1-全称量词与存在量词

全称量词与存在量词知识集结知识元全称量词与全称命题知识讲解1．全称量词和全称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法1．全称量词与存在量词（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．例题精讲全称量词与全称命题例1.存在x>0，3x（x-a）<2，则a的取值范围为（）A．（-3，+∞）B．（-2，+∞）C．（-1，+∞）D．（0，+∞）例2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列命题错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）=0B．函数f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是函数f（x）的极大值点，则f（x）在（x0，+∞）上是增函数D．函数f（x）可能是R上的增函数例3.若a、b不全为0，必须且只需（）A．ab≠0B．a、b中至多有一个不为0C．a、b中只有一个为0D．a、b中至少有一个不为0存在量词与特称命题知识讲解1．存在量词和特称命题【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x 0∈M ，有p （x 0）成立”简记成“∃x 0∈M ，p （x 0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题x ∈M ，p （x ）特称命题x 0∈M ，p （x 0）表述方法①所有的x ∈M ，使p （x ）成立①存在∃x 0∈M ，使p （x 0）成立②对一切x ∈M ，使p （x ）成立②至少有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立③某些x ∈M ，使p （x ）成立④对任给一个x ∈M ，使p （x ）成立④存在某一个x 0∈M ，使p （x 0）成立⑤若x ∈M ，则p （x ）成立⑤有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q ”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．例题精讲存在量词与特称命题例1.已知函数．f（x）=ax2+2x-e x，若对∀m，n∈（0，+∞），m>n，都有成立，则a的取值范围是（）A．B．（-∞，1]C．D．（-∞，e]例2.已知命题“∃x0∈[-1，1]，-x02+3x0+a>0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（-，+∞）B．（4，+∞）C．（-2，4）D．（-2，+∞）例3.函数f（x）满足f'（x）=f（x）+，x∈[，+∞），f（1）=-e，若存在a∈[-2，1]，使得f （2-）≤a3-3a-2-e成立，则m的取值范围是（）A．[，1]B．[，+∞）C．[1，+∞）D．[，]当堂练习单选题练习1.下列命题中是真命题的是（）A．∃x0∈R，B．∀x∈R，lg（x2+1）≥0C．若x2>x，则x>0”的逆命题D．若x<y，则x2<y2”的逆否命题练习2.下列“非p”形式的命题中，假命题是（）A．不是有理数B．π≠3.14C．方程2x2+3x+21=0没有实根D．等腰三角形不可能有120°的角练习3.下列四个命题：p1：任意x∈R，2x>0；p2：存在x∈R，x2+x+1<0，p3：任意x∈R，sin x<2x；p4：存在x∈R，cos x>x2+x+1。

人教版选修2-1第一章第二节简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词

解析：由 C 选项，若 p∨q 为真命题，则 p ，q 中至少有一个是真命题，所以 C 选项命题是假命题，故选 C.
1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．
p
真真假假
q
真假真假
p∨q
p∧q
非p
3. 全称量词 (universal quantifier) 与存在量词 (existential quantifier) (1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等． (2)常见的存在量词有： “存在一个”、 “ “有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“ 表示． ”表示；存在量词用符号“∃” 有一个”、
【解析】 (1)∵方程 x2＋x＋1＝0 的判别式 Δ＝12－4＝－ 3<0， ∴x2＋x＋1<0 无解，故命题 p1 为假命题，綈 p1 为真命题；由 x2－1≥0，得 x≥1 或 x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题 p2 为真命题，綈 p2 为假命题．∵綈 p1 为真命题，p2 为真命题，∴綈 p1∧p2 为真命题，选 C.
(2)∵y＝2 在 R 上为增函数，y＝2 数，∴y＝－2
－x
x
－x
1 ＝ x 在 2
R 上为，
∴y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，故 p1 是真命题． y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数是错误的，故 p2 是假命题． ∴q1：p1∨p2 是真命题，因此排除 B 和 D，

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义精练第1章 1.2.2 全称量词和存在量词 Word版含解析

．全称量词和存在量词[读教材·填要点]．全称量词与存在量词“所有、()全称量词：、“任意”“”等叫作全称量词，数学上用符号∀”“每一个表示．”存在、()存在量词：“““”某一个至少有一个等叫作存在量词，数学上用符”、∃号“”表示．．含有“全称量词”或“存在量词”的命题的否定的否定是”,()∀()命题“∈∈”“()；綈∃，”的否定是，()∃()命题“∈“”∀()．∈，綈[小问题·大思维]．命题：任何一个实数除以等于这个数；：等边三角形的三边都相等．它们各使用了什么量词？提示：命题使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题使用了全称量词“任意”．．下列命题使用了什么量词？：存在实数，使－>；：有的实数既不是质数也不是合数．提示：命题使用存在量词“存在”，命题使用存在量词“有的”．．如何用符号表示下列命题？()对任意实数α，有α＋α＝；()存在实数，使得＝.提示：()用符号表示为“∀α∈，α＋α＝”．()用符号表示为“∃∈，＝”．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．()实数的平方是非负数；()整数中最小；()方程＋＋＝(＜)至少存在一个负根；()对于某些实数，有＋＞.[自主解答]()∀∈，≥；真．()∀∈，≥；假．()∃＜，有＋＋＝(＜)；真．()∃∈，有＋＞；真．同一个含全称量词或存在量词的命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：．用全称量词或存在量词表示下列语句：()不等式＋＋>恒成立；()当为有理数时，＋＋也是有理数；()等式(α＋β)＝α＋β对有些角α，β成立；()方程－＝有整数解．解：()对任意实数，不等式＋＋>成立．()对任意有理数，＋＋是有理数．()存在角α，β，使(α＋β)＝α＋β成立．()存在一对整数，，使－＝成立．。

2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第1章章末小结含答案

1．命题的概念及真假命题的判断(1)命题是能够判断成立或不成立的语句，一个命题由条件和结论两部分构成．命题分为真命题和假命题．(2)判断命题真假的方法：①直接判断：先确定命题的条件与结论，再判断条件能否推得结论；②利用四种命题的等价关系：互为逆否的两个命题同真同假；③对于“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，判断方式可分别简记为：一真即真、一假即假、真即假．2．四种命题及其关系(1)四种命题的构成：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p(结论和条件“换位”)；否命题：若非p，则非q(条件和结论都否定“换质”)；逆否命题：若非q，则非p(条件和结论“换质”后又“换位”)．(2)四种命题的关系：原命题与逆命题称为互逆命题；原命题与否命题称为互否命题；原命题与逆否命题称为互为逆否命题．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p q，则p不是q的充分条件，q 也不是p的必要条件．因此，给定p，q，则p是q的什么条件仅有下列四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．(2)判断方法：①定义法：分别寻找“p⇒q”“q⇒p”“p] q”“q p”中哪两个成立．②命题法：分别判断命题“若q，则p”与“若p，则q”的真假．③集合法：p，q能用集合A，B表示时，判断集合关系“A B”“B A”“A＝B”是否成立，若都不成立，则为既不充分也不必要条件．4．逻辑联结词命题p，q的运算“或”“且”“非”与集合P，Q的运算“并”“交”“补”有如下的对应关系：p或q⇔P∪Q；p且q⇔P∩Q，非p⇔∁U P.5．全称量词和存在量词(1)确定命题中所含量词的意义，是研究含量词的命题的重点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)可以通过“举反例”否定一个含有全称量词的命题，同样也可以举一例证明一个含有存在量词的命题．而肯定含有全称量词的命题或否定含有存在量词的命题都需要推理判断．命题及其关系[例1] ①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4. ②函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0成中心对称． ③命题“如果a ·b ＝0，则a ⊥b ”的否命题和逆命题都是真命题． ④若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确的命题序号都填上) [解析] ①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4， ∴cos 〈a ·b 〉＝－45.∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4，①正确． ②当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3无意义，由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确． ③∵原命题的逆命题为“若a ⊥b ，则a ·b ＝0”为真， ∴其否命题也为真．∴③正确． ④当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立． (当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .) ∴④正确． [答案] ①②③④判断一个命题为真命题必须进行严格的证明，但要说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，当直接判断命题的真假较困难时，可利用其等价命题判断．1．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b ”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆否命题解析：对于A ，逆命题是“若3a>3b，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.答案：A2．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”．答案：C充分条件、必要条件与充要条件[例2] n n “d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12 ＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12 <π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A本例所给命题均含有不等关系，判断起来与习惯不符，因此先将命题进行等价转化，将不等关系转化为相等关系再进行判断，从而使问题得以顺利解决．[例3] 已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．[解] p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， ∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a . 由题意p ⇒q 且p q ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2，⇒0<a ≤3.∴正实数a 的取值范围为(0,3]．将充分条件、必要条件转化为集合间的关系，进而转化为集合的运算问题，是解决此类问题的有效方法．3．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由基本不等式知当a ，b ∈R 时，a 2＋b 2≥2ab ，其中当a ＝b 时，等号成立．∴当a >b >0时，ab <a 2＋b 22，反之不成立．答案：A4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．答案：B逻辑联结词[例4] 已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．[解] p 真：Δ＝a 2－4×4≥0， ∴a ≤－4或a ≥4. q 真：－a4≤3，∴a ≥－12.由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题得：p ，q 两命题一真一假．当p 真q 假时，a ＜－12；当p 假q 真时，－4＜a ＜4. 综上，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．先求出命题p ，q 为真、假命题时a 的取值范围，然后利用已知条件转化为集合的运算是解决此类问题的常规方法．5．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．解：若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1. 若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2. 依题意，得p 假q 真或p 真q 假，即⎩⎨⎧ 0<a ≤1，a >2或⎩⎨⎧a >1，0<a ≤2.∴1<a ≤2， ∴a 的取值范围为(1,2].全称量词和存在量词[例5]①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3＞0； ②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] ①中x 2＋x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋114≥114＞0，故①是真命题．②中，x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②是真命题．③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题． ④中x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，故④是真命题． [答案] D利用特值说明含有全称量词的命题为假命题，说明含有存在量词的命题为真命题是解决此类问题的常用方法．6．命题“∀n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．∀n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n D ．∃n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．答案：D7．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1.命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”为真，则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．答案：(－∞，－2]∪{1}(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，“<”的否定是“≥”．故选D. 答案：D2．命题“若x ＝－1，则 x 2＋3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．又它的逆命题是：若x 2＋3x ＋2＝0，则x ＝－1，是假命题， ∴它的否命题也是假命题. 答案：B3．已知命题①若a >b ，则1a <1b ，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：①的逆命题为1a <1b 则，a >b ，若a ＝－2，b ＝3，则不成立．故A 错；②的逆命题为若(x ＋2)(x －3)≤0，则－2≤x ≤0是假命题，故B 错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C 错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D 正确．答案：D4．已知f (x )＝e x ＋x －1，命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，则( ) A ．p 是真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )<0 B ．p 是真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0 C ．p 是假命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )<0 D ．p 是假命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0解析：由于函数y ＝e x 和y ＝x －1在R 上均是增函数，则f (x )＝e x ＋x －1在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，所以p 为真命题，綈p ：∃x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0，故选B.答案：B5．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 3＋y 3＝0，则x ，y 互为相反数；命题q ：若a >b >0，则1a <1b .下列命题p ∧q ，p ∨q ，綈p ，綈q 中，真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：易知命题p ，q 都是真命题，则p ∧q ，p ∨q 都是真命题，綈p ，綈q 是假命题．答案：B6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的充分而不必要条件．答案：A7．命题甲：“a ，b ，c 成等差数列”是命题乙：“a b ＋cb ＝2”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ，b ，c 成等差数列时，若b ＝0，则a b ＋cb ＝2不成立，反之当a b ＋cb ＝2，即a ＋c b ＝2，即a ＋c ＝2b 时，b －a ＝c －b ，所以a ，b ，c 成等差数列．答案：A8．下列命题是真命题的是( ) A ．“若x ＝0，则xy ＝0”的逆命题 B ．“若x ＝0，则xy ＝0”的否命题 C ．若x ＞1，则x ＞2D ．“若x ＝2，则(x －2)(x －1)＝0”的逆否命题解析：D 中，x ＝2时，(x －2)(x －1)＝0成立，即原命题为真命题，那么逆否命题也是真命题．答案：D9．命题甲：⎝⎛⎭⎫12x,21－x,2x 2成等比数列，命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎝⎛⎭⎫12x,21－x,2x 2成等比数列可得x ＝－2或x ＝1，由lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列可得x ＝1，所以甲是乙的必要而不充分条件．答案：B10．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：|x －2|<1⇔1<x <3.由于{x |1<x <2}是{x |1<x <3}的真子集，所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分而不必要条件．答案：A11．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．[3，＋∞)B ．(－∞，8)C ．(－∞，3]∪(8，＋∞)D ．[3,8)解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8.故实数m 的取值范围为[3,8)．答案：D12．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝22，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：∵p ，q 都是真命题，∴①②③④均正确．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．命题“若x >y ，则x 3>y 3－1”的否命题为________．解析：将命题的条件和结论分别否定即得原命题的否命题，即“若x ≤y ，则x 3≤y 3－1”．答案：若x ≤y ，则x 3≤y 3－114．若“∀x ∈R ，x 2－2x －m >0”是真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：∵∀x ∈R ，x 2－2x －m >0是真命题， ∴Δ＝(－2)2＋4m <0恒成立． ∴m <－1.答案：(－∞，－1)15．设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：当命题p 为真时，由2x 2－3x ＋1≤0得12≤x ≤1；当命题q 为真时，可知a ≤x ≤a ＋1，又綈p 是綈q 的必要不充分条件等价于p 是q 的充分不必要条件，所以⎣⎡⎦⎤12，1 [a ，a ＋1]，a ∈⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 16．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题；④若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中真命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都填上)解析：对①，逆命题“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；对②，否命题“不相似的三角形的周长不相等”是假命题；对③，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )≥0，即b ≤0，∴b ≤－1时，方程有实根，即命题为真命题，逆否命题也为真命题；对④，p ∨q 假时，p ，q 一定均假，∴④正确．故①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 18．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p ：3是素数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．解：(1)p 或q ：3是素数或3是偶数；p 且q ：3是素数且3是偶数；非p ：3不是素数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题．(2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题．19．(本小题满分12分)已知c >0，设命题p ：y ＝c x 为减函数，命题q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x∈12，2上恒成立．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可．若p 真，由y ＝c x 为减函数，得0<c <1.当x ∈12，2时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知，f (x )＝x ＋1x 在12，2上的最小值为2. 若q 真，则1c <2，即c >12. 若p 真q 假，则0<c <1，c ≤12，所以0<c ≤12；若p 假q 真，则c ≥1，c >12，所以c ≥1. 综上可得，c ∈0，12∪[1，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知k ∈R 且k ≠1，直线l 1：y ＝k 2x ＋1和l 2：y ＝1k －1x －k .(1)求直线l 1∥l 2的充要条件；(2)当x ∈[－1,2]时，直线l 1恒在x 轴上方，求k 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧k 2＝1k －1，k －1≠0，－k ≠1，解得k ＝2.当k ＝2时，l 1：y ＝x ＋1，l 2：y ＝x －2，此时l 1∥l 2.∴直线l 1∥l 2的充要条件为k ＝2.(2)设f (x )＝k 2x ＋1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (2)>0，即⎩⎨⎧ k 2×(－1)＋1>0，k 2×2＋1>0，解得－1<k <2.∴k 的取值范围是(－1,2)．21．(本小题满分12分)已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点，如果p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解：由y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0<a <1，∵曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两个不同的点，∴Δ＝(2a －3)2－4×1×1>0，解得a <12或a >52. ∴p 真对应集合A ＝{a |0<a <1}，q 真对应集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <12或a >52. 由于p ∨q 真，即p ，q 中至少有一个为真命题．p 真q 假时，12≤a <1； p 假q 真时，a >52或a ≤0； q 真q 真时，0<a <12. 综上得，a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.22．(本小题满分12分)已知命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．(1)求实数m的取值集合B；(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)命题：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a<x<3a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B，∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝∅，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B成立；③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a<x<2＋a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A B 成立，，1）.∴3a≥2，此时a∈（23，＋∞）.综上①②③可得a∈（23。

1.2.2全称量词和存在量词_课件-湘教版数学选修1-1

点评 (1)要判定命题“∀x∈I，p(x)”是真命题，需要对集合 I 中每个元素 x，证明 p(x)成立；如果在集合 I 中找到一个元素 x，使得 p(x)不成立，那么这个命题就是假命题．
(2)要判定命题“∃x∈I，p(x)”是真命题，只需在集合 I 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；如果在集合 I 中，使 p(x)成立的元素 x 不存在，那么这个命题是假命题．
2．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (4)s：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
误区警示含有一个量词的命题的应用中因忽视了束缚条件而出错
【示例】∀x∈[－1，2]，使 4x－2x＋1＋2－a<0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2．存在性量词与含有存在量词的命题 (1)一般地，设 q(x)是某集合 I 中的有些元素 x 具有的某种性质，那么含有存在量词的命题就是形如“存在集合 I 中的元素 x，q(x)” 的命题，可简记为∃x∈I，q(x)． (2)含有存在量词的命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．
全称量词和存在量词
1．理解全称量词、存在量词的概念及其表示方法． 2．掌握含有全称量词的命题和含有存在量词的命题的真假性的判定方法．
自学导引 1．“任意”、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学
上用符号“∀”表示．“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“ ∃ ”表示．涉及量词的命题必须指出量词的作用范围．
1．判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，都有 x2－x＋1>12； (2)∀x，y∈N，都有 x－y∈N； (3)∃x，y∈Z，使得 2x＋y＝3.

2019-2020学年湘教版数学选修2-1新素养同步讲义：1.常用逻辑用语章末复习提升课

章末复习提升课1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若﹁p，则﹁q逆否命题若﹁q，则﹁p(2)(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)分类①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；＼p；②充分不必要条件：p⇒q，q⇒＼q；③必要不充分条件：q⇒p，p⇒＼p.④既不充分也不必要条件：p⇒＼q且q⇒3．简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，﹁p.(2)命题p∧q，p∨q，﹁p的真假判断．p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与﹁p必定是一真一假．4．全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题全称量词用符号“∀”表示．全称命题用符号简记为：∀x∈I，p(x)．(2)存在量词与特称命题存在量词用符号“∃”表示．特称命题用符号简记为：∃x∈I，p(x)．5．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈I，p(x)∃x∈I，﹁p(x)∃x∈I，p(x)∀x∈I，﹁p(x)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题；(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为：“若p，则q”，则该命题的否命题是“若﹁p，则﹁q”；命题的否定为“若p，则﹁q”．2．四种命题的三种关系：互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．如“a＝0”是“a·b＝0”的充分不必要条件，“a·b＝0”是“a＝0”的必要不充分条件．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．命题的真假判断及应用命题真假的判断是本章的主要内容，也会逐渐成为高考命题的重点，此类问题主要是学会对复合命题进行分解，并依据真值表进行判断．对于四种命题：原命题与其逆否命题的真假一致，即原命题与其逆否命题要么同真，要么同假；逆命题与否命题的真假也是一致的．正因为原命题与其逆否命题的真假一致，所以对有些命题的证明可转化为证明逆否命题，也即运用反证法来证明一个命题的真假．如果p，q是两个简单命题，试列出下列九个命题的真值表：(1)非p；(2)非q；(3)p或q；(4)p且q；(5)“p或q”的否定；(6)“p且q”的否定；(7)“非p或非q”；(8)“非p且非q”；(9)“非‘非p’”．【解】p 真真假假q 真假真假非p 假假真真非q 假真假真p或q 真真真假p且q 真假假假﹁(p或q)假假假真﹁(p且q)假真真真非p或非q 假真真真非p且非q 假假假真非“非p”真真假假【点评】由上表可知，“﹁(p或q)”与“非p且非q”的真假相同，“﹁(p且q)”与“非p或非q”的真假相同，“非‘非p’”与“p”的真假相同，前两条可与集合的如下公式进行对比：①∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；②∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；③∁U(∁U A)＝A.充要条件的判定(1)直接利用定义判断：即“若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p ⇒q ”的等价命题是“﹁q ⇒﹁p ”，即“若﹁q ⇒﹁p 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件”．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分非必要条件B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件若一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，因此m ≤14.故m <14是方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．【答案】 A逻辑联结词判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．在下列各结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分条件但不是必要条件； ②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为假的充分条件但不是必要条件； ③“p ∨q ”为真是“﹁p ”为假的必要条件但不是充分条件； ④“﹁p ”为真是“p ∧q ”为假的必要条件但不是充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④ “p ∧q ”为真，则“p ∨q ”为真，反之不一定，①真；如p 真，q 假时，p ∧q 假，但p ∨q 真，故②假；﹁p 为假时，p 真，所以p ∨q 真，反之不一定对，故③真；若﹁p 为真，则p 假，所以p ∧q 假，因此④错误．【答案】 B等价转化思想等价转化思想是本章常用的数学思想方法，命题的真假可转化为集合间的包含关系，原命题与其逆否命题的等价转化，p 是q 的充分条件等价于q 是p 的必要条件．等价转化是解决问题常用的方法．已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且﹁p 是﹁q 的充分条件，求实数a的取值范围．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <32<x <4，即2<x <3，所以q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}．因为﹁p ⇒﹁q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A . 所以{x |2<x <3}包含于集合A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式 2x 2－9x ＋a <0，须⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≤0f （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0，所以a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．【点评】有关不等式的“充要条件”问题，一般是转化为集合之间的包含关系加以解决．。

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x ∈R,2x －3>1”的否定是( )A ．∃x ∈R,2x －3≤1B ．∀x ∈R,2x －3>1C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x ∈R,2x －3>1答案：C2．已知椭圆E ：x24＋y23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，M 是平面内任一点．则“|MF 1|＋|MF 2|＝4”是“点M 在椭圆E 上”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知，椭圆的长轴长2a ＝4，根据椭圆的定义知，C 选项正确．答案：C3．双曲线的渐近线为y ＝±22x ，且过点M (2，－3)，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－y22＝1 B.x22－y 2＝1 C.y22－x 2＝1 D ．y 2－x22＝1 解析：依题意可设双曲线方程为x22－y 2＝λ(λ≠0)，将M (2，－3)代入双曲线方程，得λ＝－1.故所求双曲线方程为y 2－x22＝1. 答案：D4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题，④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，所以选C.答案：C5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.5 32 B.212 C.372 D.3 52解析：由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)．又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0.∴2n ＝5，n ＝52.∴|a |＝ 1＋4＋254＝3 52. 答案：D6．一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：圆C 的方程即(x －3)2＋y 2＝1，圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R . ∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1，又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．答案：A7．以x24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x216＋y212＝1 B.x212＋y216＝1 C.x216＋y24＝1 D.x24＋y216＝1 解析：双曲线x24－y212＝－1化为y212－x24＝1，其焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y2a2＋x2b2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12. ∴b 2＝4，因此方程为y216＋x24＝1. 答案：D8．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞d。

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义精练第2章章末小结 Word版含解析

．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为＋＝(>，>，≠)；②双曲线方程为＋＝(<)；③抛物线方程为＝(≠)或＝(≠)．．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：()定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在轴上还是轴上都有关系式－＝(＋＝)以及＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．()方程法：建立参数与之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．．直线与圆锥曲线的位置关系()从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．()从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：()直接法：建立适当的坐标系，设动点为(，)，根据几何条件直接寻求，之间的关系式．()代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标，来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标，之间的关系式．()定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．()参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(，)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．[例]设圆(－)[解]法一(直接法)：设点坐标为(，)，由题意，得＋＝，如图所示，即＋＋[(－)＋]＝，即中点的轨迹方程为＋＝(去掉原点)．法二(几何法)：设点坐标为(，)，由题意知⊥，的中点记为，如法一中图，则＝＝，故点的轨迹方程为＋＝(去掉原点)．法三(代入法)：设点坐标为(，)，点坐标为(，)，由题意得(\\(＝()，＝()，))即(\\(＝，＝.))又因为(－)＋＝，所以(－)＋()＝.即＋＝(去掉原点)．法四(交点法)：设直线的方程为＝，当＝时，为()；当≠时，直线的方程为：＝－(－)，直线，的方程联立消去即得其交点轨迹方程：＋(－)＝，即＋＝(≠)，显然()满足＋＝，故＋＝(去掉原点)为所求．()解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．()要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．．求与圆＋＝外切，且和轴相切的动圆圆心的轨迹方程．设两圆的切点为，解：坐标为(，)，圆与轴相切于点，的＝，∴＝＝.－。

湘教版高中数学选修2-1同步精练：1.2.2全称量词和存在量词含解析

2x≤0"的否定是（)．1命题“存在x0∈R,0A．不存在x0∈R，02x＞0B．存在x0∈R,02x≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x＞02已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( ）．A．⌝p：∃x∈R，sin x≥1B．⌝p：∀x∈R，sin x≥1C．⌝p:∃x∈R，sin x＞1D．⌝p：∀x∈R，sin x＞13下列四个命题中，为真命题的是（)．A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R,∃m∈R，m2＜nD．∀n∈R，n2＜n4下列命题中真命题的个数为（）．①末位是0的整数,可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1 B．2 C．3 D．05下列命题中假命题的个数是（)．①有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A．0 B．1 C．2 D．36下列命题：①∀α∈R，在α，α＋π]上，函数y＝sin x都能取到最大值1；②若∃a∈R且a≠0，f(x＋a）＝－f（x）对∀x∈R成立，则f(x）为周期函数；③∃x∈（－错误!，－错误!)，使sin x＜c os x。

其中真命题的序号为__________．7设命题p:∃x∈R,满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，命题q：∃x∈R,满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且⌝p是⌝q的必要而不充分条件，则a的取值范围是__________．8函数f(x)对一切实数x,y均有f（x＋y)－f(y）＝(x＋2y＋1)x成立，且f（1）＝0。

(1)则f（0）的值是__________;（2）当f（x)＋2＜log a x，x∈（0，错误!)恒成立时，则a的取值范围是__________．9判断下列命题的真假．（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；(3）∀x∈Z，x2－2＝0;（4)∀x∈Z，5x＋3是整数．（5）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（6)存在一个函数,它既是奇函数又是偶函数．10写出下列命题的否定，并判断其真假．（1）p：对所有的正实数m，错误!为正数且错误!＜m.（2）q：存在实数x，使得|x＋1|≤1或x2＞4。

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第1章 1.1.1 命题的概念和例子含解析

1．1命题及其关系1．1.1　命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．命题的概念判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答]　(1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．真假命题的判断判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答]　(1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝，b ＝－时，a ，b 都是无理数，但×(－)＝－5是有理数，故5555该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)形如a ＋b 的数是无理数；6(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称；(4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋b 是有理数．6(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列．(3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称．(4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．命题的综合问题试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答]　方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－；1b当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则>0c aC ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若·>0，则B 为锐角AB ―→ BC ―→解析：选B y ＝sin 2x ＝，T ＝＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，1－cos 2x 22π2故C 为假命题；在三角形ABC 中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B 应AB ―→ BC ―→ AB ―→ BC ―→为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思]　“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解]　由5x －1>a ，得x >(1＋a )．15∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题，∴⊆(1，＋∞)．(1＋a 5，＋∞)∴≥1，即a ≥4.1＋a 5即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国 B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( )A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A．4B．2C．0D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．sin 0°＝0C ．求x 2－2x ＋1>0的解集D ．作△ABC ∽△EFG解析：A 选项是疑问句，不是命题，C 、D 选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C ．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A 中命题是假命题；由球的体积公式可知B 中命题为真命题；C 中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝<1，故直线与圆相交，所22以D 中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，则l ⊥m ；②若a ，b 都是正实数，则a ＋b ≥2；ab③若x 2>x ，则x >1；④函数y ＝x 3是指数函数．其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①中，显然l ∥m 或l 与m 重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x 2>x ，得x <0或x >1，所以③是假命题；④中，函数y ＝x 3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m ＞0，a ＞b ＞0，则＞.b ＋m a ＋m b a其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A ⊆B ，B ⊆A ，则A ＝B ；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x 2－x ＋1＝0有两个实根；②对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0；③若p ＞0，则p 2＞p ；④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p ＝时，p 2＜p ；④假，正方形是菱形，也是矩形．12答案：②　①③④7．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R)是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R)是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x ＝x ，未必有x 1＝x 2，故①为假命题；对于f (x )＝2x ，当f (x 1)＝f (x 2)时一定212有x 1＝x 2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有Error!解得－3≤a <0.综上，－3≤a ≤0.答案：[－3,0]三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)一个数不是合数就是质数．(2)大角所对的边大于小角所对的边．(3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数．(4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根．解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数．(2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中．(3)是假命题，如x ＝，y ＝－.22(4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假．解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝＝＝＝r ，|a ＋b |2222所以直线与圆相切，即命题为真.。

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第3章章末小结 Word版含解析

1．空间向量基本定理设e1，e2，e3是空间中的三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．空间向量的坐标运算公式(1)加减法：(x1，y1，z1)±(x2，y2，z2)＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．(2)与实数的乘法：a(x，y，z)＝(ax，ay，az)．(3)数量积：设v＝(x，y，z)，则|v|＝x2＋y2＋z2.(4)向量的夹角：cos θ＝v1·v2 |v1|·|v2|＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22.3．空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则[例1]M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] 如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .则有，(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． ∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a 2. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，AP ―→＝(0,0，a )，AD ―→＝(0，a,0)， ∴MN ―→＝12AD ―→＋12AP ―→.又∵MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：PC ―→＝(b ，a ，－a )，PM ―→＝⎝⎛⎭⎫b2，0，－a ， PD ―→＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC ―→＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0，n 1·PM ―→＝0⇒b 2x 1－az 1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC ―→＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0，n 2·PD ―→＝0⇒ay 2－az 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)， ∵n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面PMC ⊥平面PDC .(1)用向量法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要应用直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行或垂直的定理．(2)用向量法证明平行或垂直的步骤：①建立空间图形与空间向量的关系(通过取基或建立空间直角坐标系的方法)，用空间向量或以坐标形式表示问题中涉及的点、直线和平面；②通过向量或坐标，研究向量之间的关系；③根据②的结论得出立体几何问题的结论．(3)在用向量法研究线面平行或垂直时，上述判断方法不唯一，如果要证直线l ∥平面α，只需证l ＝λa ，l ⊄α，其中l 是直线l 的方向向量，a ⊂α；如果要证l ⊥α，只需在平面α内选取两个不共线向量m ，n ，证明⎩⎪⎨⎪⎧l ·m ＝0，l ·n ＝0，即可．1.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设A 1B 1―→＝a ，A 1D 1―→＝b ，A 1A ―→＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0， A 1O ―→＝A 1A ―→＋AO ―→＝A 1A ―→＋12(AB ―→＋AD ―→)＝c ＋12(a ＋b )，BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ，OG ―→ ＝OC ―→ ＋CG ―→ ＝12(AB ―→＋AD ―→ )＋12CC 1―→＝12(a ＋b )－12c ，∴A 1O ―→·BD ―→＝⎝⎛⎭⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0，∴A 1O ―→⊥BD ―→.∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O ―→⊥OG ―→.∴A 1O ⊥OG . 又OG ∩BD ＝O ， ∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2，2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1，1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)， DG ―→＝(0,2,1)，则A 1O ―→·DB ―→＝(－1,1，－2)·(2,2,0)＝0， A 1O ―→·DG ―→＝(－1,1，－2)·(0,2,1)＝0，所以A 1O ―→⊥DB ―→，A 1O ―→⊥DG ―→.即A 1O ⊥DB ，A 1O ⊥DG . 又DB ∩DG ＝D ，故A 1O ⊥平面GBD .法三：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，O (1,1,0)，所以A 1O ―→＝(－1,1，－2)，DB ―→＝(2,2,0)，DG ―→＝(0,2,1)．设向量n ＝(x ，y ，z )为平面GBD 的一个法向量，则n ⊥DB ―→，n ⊥DG ―→. 即n ·DB ―→＝0，n ·DG ―→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2y ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，z ＝2，所以n ＝(1，－1,2)．所以A 1O ―→＝－n .即A 1O ―→∥n . 所以A 1O ⊥平面GBD .2.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点． (1)用向量法证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1；(2)用向量法证明MN ⊥平面A 1BD . 证明：(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， BD ―→＝AD ―→－AB ―→，B 1D 1―→＝A 1D 1―→－A 1B 1―→，又∵AD ―→＝A 1D 1―→，AB ―→＝A 1B 1―→，∴BD ―→＝B 1D 1―→， ∴BD ∥B 1D 1. 同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1，所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)MN ―→＝MB ―→＋BC ―→＋CN ―→＝12AB ―→＋AD ―→＋12(CB ―→＋BB 1―→)＝12AB ―→＋AD ―→＋12(－AD ―→＋AA 1―→) ＝12AB ―→＋12AD ―→＋12AA 1―→.设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则MN ―→＝12(a ＋b ＋c )．又BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝b －a ， ∴MN ―→·BD ―→＝12(a ＋b ＋c )·(b －a )＝12(b 2－a 2＋c ·b －c ·a )．又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c ·b ＝0，c ·a ＝0. 又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2.∴b 2－a 2＝0. ∴MN ―→·BD ―→＝0.∴MN ⊥BD . 同理可证MN ⊥A 1B . 又A 1B ∩BD ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BD .[例2] 四棱锥＝AD ＝2，点M ，N 分别在棱PD ，PC 上，且PC ⊥平面AMN .(1)求AM 与PD 所成的角； (2)求二面角P -AM -N 的余弦值；(3)求直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵A (0,0,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，D (0，2,0)， ∴PC ―→＝(2,2，－2)，PD ―→＝(0,2，－2)．设M (x 1，y 1，z 1)，PM ―→＝λPD ―→，则(x 1，y 1，z 1－2)＝λ(0,2，－2)． ∴x 1＝0，y 1＝2λ，z 1＝－2λ＋2. ∴M (0,2λ，2－2λ)．∵PC ⊥平面AMN ，∴PC ―→⊥AM ―→， ∴PC ―→·AM ―→＝0.∴(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0⇒4λ－2(2－2λ)＝0. ∴λ＝12.∴M (0,1,1)．设N (x 2，y 2，z 2)，PN ―→＝t PC ―→，则(x 2，y 2，z 2－2)＝t (2,2，－2)．∴x 2＝2t ，y 2＝2t ，z 2＝－2t ＋2. ∴N (2t,2t,2－2t )．∵PC ―→⊥AN ―→，∴AN ―→·PC ―→＝0. ∴(2t,2t,2－2t )·(2,2，－2)＝0. ∴4t ＋4t －2(2－2t )＝0， ∴t ＝13.∴N ⎝⎛⎭⎫23，23，43. (1)∵cos 〈AM ―→，PD ―→〉＝(0，1，1)·(0，2，－2)0＋1＋1×0＋4＋4＝0，∴AM 与PD 所成角为90°.(2)∵AB ⊥平面PAD ，PC ⊥平面AMN ，∴AB ―→，PC ―→分别是平面PAD ，平面AMN 的法向量． ∵AB ―→·PC ―→＝(2,0,0)·(2,2，－2)＝4， |AB ―→|＝2，|PC ―→|＝23， ∴cos 〈AB ―→，PC ―→〉＝443＝33.∴二面角P -AM -N 的余弦值为33. (3)∵PC ―→是平面AMN 的法向量，∴CD 与平面AMN 所成角即为CD 与PC 所成角的余角． ∵CD ―→·PC ―→＝(－2,0,0)·(2,2，－2)＝－4， ∴cos 〈CD ―→，PC ―→〉＝－42×23＝－33.∴直线CD 与PC 所成角的正弦值为63，即直线CD 与平面AMN 所成角的余弦值为63.(1)求异面直线所成的角：设两异面直线的方向向量分别为n 1，n 2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|. (2)求二面角的大小：如图，设平面α，β的法向量分别为n 1，n 2.因为两平面的法向量所成的角就等于平面α，β所成的锐二面角θ，所以cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.(3)求斜线与平面所成的角：如图，设平面α的法向量为n 1，斜线OA 的方向向量为n 2，斜线OA 与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|.3.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，沿对角线AC折起，使D 在平面ABC 上的射影E 恰好落在AB 上，求这时二面角B -AC -D 的余弦值．解：如图所示，作DG ⊥AC 于G ，BH ⊥AC 于H .在Rt △ADC 中， AC ＝AD 2＋DC 2＝5， cos ∠DAC ＝AD AC ＝35.在Rt △AGD 中，AG ＝AD ·cos ∠DAC ＝3×35＝95，DG ＝AD 2－AG 2＝9－8125＝125. 同理，cos ∠BCA ＝35，CH ＝95，BH ＝125.AD ―→·BC ―→＝(AE ―→＋ED ―→)·BC ―→＝AE ―→·BC ―→＋ED ―→·BC ―→＝0， GD ―→·HB ―→＝(GA ―→＋AD ―→)·(HC ―→＋CB ―→) ＝GA ―→·HC ―→＋GA ―→·CB ―→＋AD ―→·HC ―→＋AD ―→·CB ―→ ＝－95×95＋95×3×35＋3×95×35＋0＝8125.又|GD ―→|·|HB ―→|＝14425，∴cos 〈GD ―→，HB ―→〉＝916.因此所求二面角的余弦值为916.4.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正四棱柱． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)二面角C 1-BD -C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值．解：(1)证明：建立空间直角坐标系D -xyz ，如图．设AD ＝a ，DD 1＝b ，则有D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，C 1(0，a ，b )，∴BD ―→＝(－a ，－a,0)，AC ―→＝(－a ，a,0)，CC 1―→＝(0,0，b )， ∴BD ―→·AC ―→＝0，BD ―→·CC 1―→＝0. ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1.又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1＝C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)设BD 与AC 相交于点O ，连接C 1O ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，OC 1―→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，b . ∵BD ―→·OC 1―→＝0，∴BD ⊥C 1O . 又BD ⊥CO ，∴∠C 1OC 是二面角C 1-BD -C 的平面角， ∴∠C 1OC ＝60°， ∵tan ∠C 1OC ＝CC 1OC ＝b22a ＝3， ∴b ＝62a . ∵AC ―→＝(－a ，a,0)，BC 1―→＝(－a,0，b )， ∴cos 〈AC ―→，BC 1―→〉＝AC ―→·BC 1―→|AC ―→|·|BC 1―→|＝55. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为55.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝( ) A ．－8 B ．－5 C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A2．在空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→的化简结果为( )A ．AB ―→B ．2BD ―→C ．0D ．2DE ―→解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE ―→＝DF ―→. ∵12BC ―→＝BF ―→，则AB ―→＋12BC ―→－32DE ―→－AD ―→＝AB ―→＋BF ―→－DF ―→－AD ―→＝AF ―→＋FD ―→－AD ―→＝AD ―→－AD ―→＝0.答案：C3．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝2OA ―→－2OB ―→－OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基； ⑤ |(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C4．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA ―→＝a ，CB ―→＝b ，CC 1―→＝c ，则A 1B ―→＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：A 1B ―→＝CB ―→－CA 1―→＝CB ―→－(CA ―→＋CC 1―→)＝b －a －c . 答案：D5．已知四面体ABCD 的各边长都是a ，点E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则AE ―→·AF ―→的值是( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2 解析：由已知得ABCD 为正四面体，因为AE ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，AF ―→＝12AD ―→，所以AE ―→·AF―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·12AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→) ＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案：C6．已知正四棱锥S -ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A.13B.23C.33D.23解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设A (1,0,0)，则B (0,1,0)，D (0，－1,0)，AB ＝2，SD ＝2，∴SO ＝1，∴S (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫0，12，12，AE ―→＝－1，12，12，SD ―→＝(0，－1，－1)．∴cos 〈AE ―→， SD ―→〉＝AE ―→·SD ―→|AE ―→||SD ―→|＝－12－1262×2＝－33， ∴AE 与SD 所成角的余弦值为33. 答案：C7．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，若AC ′―→＝x AB ―→＋2y BC ―→＋3zC ′C ―→，则x ＋y ＋z 等于( )A ．1 B.76 C.56D.23解析：如图，AC ′―→＝AB ―→＋BC ―→＋CC ′―→＝AB ―→＋BC ―→－C ′C ―→，所以x ＝1,2y ＝1，3z ＝－1，所以x ＝1，y ＝12，z ＝－13，因此x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.答案：B8.如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线P Q 与AM 所成的角为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM ―→＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，Q P ―→＝(0，－1,2)，所以Q P ―→·AM ―→＝0，所以Q P 与AM 所成角为π2.答案：D9．如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC 1―→＝(－2,0,1)，AC ―→＝(－2,2,0)，且AC ―→为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC 1―→，AC ―→〉＝BC 1―→·AC ―→|BC 1―→|·|AC ―→|＝45·8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 答案：D10．已知OA ―→＝(1,2,3)，OB ―→＝(2,1,2)，OP ―→＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当Q A ―→·Q B ―→取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73解析：∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则Q A ―→＝(1－x ，2－x,3－2x )， Q B ―→＝(2－x,1－x,2－2x )．∴Q A ―→·Q B ―→＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，Q A ―→·Q B ―→取得最小值，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 答案：C11.如图，在四面体P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B -AP -C 的余弦值为( )A.22 B.33C.77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于点D ，作CE ⊥AP 于点E .设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC ―→＝BD ―→＋DE ―→＋EC ―→，∴BC ―→2＝BD ―→2＋DE ―→2＋EC ―→2＋2BD ―→·DE ―→＋2DE ―→·EC ―→＋2EC ―→·BD ―→， ∴EC ―→·BD ―→＝－14，∴cos 〈BD ―→，EC ―→〉＝－77.故二面角B -AP -C 的余弦值为77. 答案：C12.如图，在三棱柱ABC -A1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，且底面边长与侧棱长都等于2，O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，则平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离为( )A.355B.255C.55D.510解析：如图，连接OO 1，根据题意，OO 1⊥底面ABC ，则以O 为原点，分别以OB ，OC ，OO 1所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AO 1∥OC 1，OB ∥O 1B 1，AO 1∩O 1B 1＝O 1，OC 1∩OB ＝O ，∴平面AB 1O 1∥平面BC 1O .∴平面AB 1O 1与平面BC 1O 间的距离即为O 1到平面BC 1O 的距离．∵O (0，0,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1,2)，O 1(0,0,2)，∴OB ―→＝(3，0,0)，OC 1―→＝(0,1,2)，OO 1―→＝(0,0,2)，设n ＝(x ，y ，z )为平面BC 1O 的法向量，则n ·OB ―→＝0，∴x ＝0.又n ·OC 1―→＝0，∴y ＋2z ＝0，∴可取n ＝(0,2，－1)．点O 1到平面BC 1O 的距离记为d ，则d ＝|n ·OO 1―→||n |＝25＝255.∴平面AB 1O 1与平面BC 1O间的距离为255.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q )共线，则p ＋q ＝________. 解析：由已知得AB ―→＝(1，－1,3)，AC ―→＝(p －1，－2，q ＋2)，因为AB ―→∥AC ―→，所以p －11＝－2－1＝q ＋23，所以p ＝3，q ＝4，故p ＋q ＝7.答案：714.已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝3GN ―→，现用基向量OA ―→，OB ―→，OC ―→表示向量OG ―→，并设OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的和为________．解析：OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋34MN ―→＝12OA ―→＋34⎝⎛⎭⎫－12 OA ―→＋OC ―→＋12 CB ―→＝12OA ―→－38OA ―→＋34OC ―→＋38OB ―→－38OC ―→＝18OA ―→＋38OB ―→＋38OC ―→， ∴x ＝18，y ＝38，z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝78.答案：7815．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为______________．解析：由OA ―→＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH ―→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴BH ―→·OA ―→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12， ∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，12，0 16.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G .则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，CC 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，1，G ⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，13， GE ―→＝⎝⎛⎭⎫a 6，a 6，23，BD ―→＝(0，－a,1)． ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→·BD ―→＝0，解得a ＝2. ∴GE ―→＝⎝⎛⎭⎫13，13，23，BA 1―→＝(2，－2,2)， ∵GE ―→⊥平面ABD ，∴GE ―→为平面ABD 的一个法向量．又cos 〈GE ―→，BA 1―→〉＝GE ―→·BA 1―→|GE ―→||BA 1―→|＝4363×23＝23， ∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为23. 答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ―→⊥b ？(O 为原点)解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)OE ―→＝OA ―→＋AE ―→＝OA ―→＋t AB ―→ ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ―→⊥b ，则OE ―→·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE ―→⊥b ，此时E 点坐标为⎝⎛⎭⎫－65，－145，25.18．(本小题满分12分)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠BAD ＝60°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝45°.(1)求|BD 1―→|；(2)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1. 解：(1)∵BD 1―→＝BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→∴|BD 1―→|2＝(BA ―→＋BC ―→＋BB 1―→)2＝BA ―→2＋BC ―→2＋BB 1―→2＋2(BA ―→·BC ―→＋BA ―→·BB 1―→＋BC ―→·BB 1―→)＝1＋1＋1＋2⎝⎛⎭⎫－12－22＋22＝2，∴|BD 1―→|＝ 2.(2)证明：∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→， ∴AA 1―→·BD ―→＝AA 1―→·(AD ―→－AB ―→)＝0， ∴BD ⊥AA 1，又BD ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面ACC 1A 1.19．(本小题满分12分)如图，已知点P 在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA ―→＝(1,0,0)，CC 1―→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1.在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH ―→＝(m ，m,1)(m ＞0)，由已知〈DH ―→，DA ―→〉＝60°，由DH ―→·DA ―→＝|DA ―→||DH ―→|cos 〈DA ―→，DH ―→〉，可得2m ＝2m 2＋1. 解得m ＝22，所以DH ―→＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH ―→，CC 1―→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以〈DH ―→，CC 1―→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC ―→＝(0,1,0)．因为cos 〈DH ―→，DC ―→〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH ―→，DC ―→〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.20．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB ―→，AD ―→，AA 1―→为单位正交基底建立空间直角坐标系．(1)依题意，得B (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12，AD ―→＝(0,1,0)．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD ―→是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，则 sin θ＝|BE ―→·AD ―→||BE ―→|·|AD ―→|＝132×1＝23. 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(2)依题意，得A 1(0,0,1)，BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，连接B 1F ，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)，又B 1(1,0,1)，所以B 1F ―→＝(t －1,1,0)．而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .21．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D -AE -C 的余弦值．解：(1)证明：由题设可得，△ABD ≌△CBD ，从而AD ＝DC . 又△ACD 是直角三角形，所以∠ADC ＝90°.取AC 的中点O ，连接DO ，BO ，则DO ⊥AC ，DO ＝AO .又因为△ABC 是正三角形，所以BO ⊥AC .所以∠DOB 为二面角D -AC -B 的平面角．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2. 又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°.所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由题设及(1)知，OA ，OB ，OD 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ―→的方向为x 轴正方向，|OA ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，D (0,0,1)．由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫0，32，12.故AD ―→＝(－1,0,1)，AC ―→＝(－2,0,0)，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，32，12.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DAE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD ―→＝0，n ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋z 1＝0，－x 1＋32y 1＋12z 1＝0. 可取n ＝⎝⎛⎭⎫1，33，1. 设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面AEC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC ―→＝0，m ·AE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＝0，－x 2＋32y 2＋12z 2＝0，可取m ＝(0，－1，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33＋3213×2＝77.由图知二面角D -AE -C 为锐角，所以二面角D -AE -C 的余弦值为77.22.(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF的位置，OD ′＝10.(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值．解：(1)证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF ，得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6，得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC ，得OH DO ＝AE AD ＝14. 所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD . (2)如图，以H 为坐标原点， HF ―→的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz ，则H (0,0,0)，A (－3，－1,0)，B (0，－5,0)，C (3，－1,0)，D ′(0,0,3)，故AB ―→＝(3，－4,0)，AC ―→＝(6,0,0)，AD ′―→＝(3,1,3)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB ―→＝0，m ·AD ′―→＝0即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4,3，－5)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ―→＝0，n ·AD ′―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3,1)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.故sin 〈m ，n 〉＝29525. 因此二面角B -D ′A -C 的正弦值是29525.。

2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2.5 曲线与方程 Word版含解析

2．5曲线与方程第一课时曲线与方程[读教材·填要点]曲线的方程、方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：点在曲线上⇔点的坐标满足方程．即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线．[小问题·大思维]1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线f(x，y)＝0上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.2．“曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别？提示：“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系．而“方程的曲线”则强调的是数量关系表示的图形．曲线的方程与方程的曲线的概念分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[自主解答](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．[注意]只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．答案：B用直接法求曲线方程已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程．[自主解答]设动点M的坐标为(x，y)，且M到x轴的距离为d，那么M属于集合{M|d＝|MF|}．由距离公式得|y|＝(x－0)2＋(y－4)2，整理得x 2－8y ＋16＝0，即y ＝18x 2＋2.∴所求点M 的轨迹方程是y ＝18x 2＋2.把本例中的“x 轴”改为“直线x ＝－4”，求点M 的轨迹方程．解：设动点M 的坐标为(x ，y )，则|x ＋4|＝(x －0)2＋(y －4)2，整理得x ＝18y 2－y ，∴点M 的轨迹方程为x ＝y 28－y .利用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系，列出x ，y 之间的关系式，构成F (x ，y )＝0，从而得出所求动点的轨迹方程．要注意求轨迹方程时去杂点，找漏点．2．已知两点A (0,1)，B (1,0)，且|MA |＝2|MB |，求动点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(x ，y )，由两点间距离公式，得 |MA | ＝(x －0)2＋(y －1)2， |MB |＝(x －1)2＋(y －0)2.又|MA |＝2|MB |， ∴(x －0)2＋(y －1)2＝2(x －1)2＋(y －0)2.两边平方，并整理得3x 2＋3y 2＋2y －8x ＋3＝0，即所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89.用定义法求曲线方程如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，A Q 的垂直平分线交C Q 于M ，求点M 的轨迹方程．[自主解答] 由垂直平分线性质可知|M Q |＝|MA |，∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|M Q |＝|C Q |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点轨迹为椭圆．由椭圆的定义知：a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214. ∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征．3．已知B ，C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．解：如图，建立直角坐标系，使x 轴经过点B ，C ，原点O 与BC 的中点重合．由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝16，|BC |＝6， ∴|AB |＋|AC |＝10>|BC |＝6. 即点A 的轨迹是椭圆，且2c ＝6,2a ＝10.∴c ＝3，a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. 但当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A ，B ，C 三点不能构成三角形． ∴点A 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1(y ≠0)．用相关点法求曲线方程已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM ―→＝2MP ′―→，求点M 的轨迹．[自主解答] 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y .因为P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，所以x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入，得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. 所以点M 的轨迹是一个椭圆．若将“点M 在PP ′上，并且PM ―→＝2MP ′―→”改为“点M 在直线PP ′上，并且P ′M ―→＝12P ′P ―→(λ＞0)”，则M 点的轨迹是什么？解：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， ∵PP ′⊥x 轴，且|P ′M |＝12|PP ′|，∴x ＝x 0，y ＝12y 0，即x 0＝x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9.把x 0＝x ，y 0＝2y 代入上式得，x 29＋y 294＝1.所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆．此类题的解题步骤是先设出点P 和M 的坐标，根据条件写出P 点与M 点的坐标之间的关系，然后用M 点的坐标表示P 点的坐标，并代入P 点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程．动点M 与曲线上的点P 称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法．4．已知点A 是椭圆x 22＋y 2＝1上任意一点，O 为坐标原点，求线段OA 的中点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，A (x 1，y 1)，∵P 为OA 中点，∴x ＝0＋x 12，y ＝0＋y 12，∴x 1＝2x ，y 1＝2y .又点A 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1.∴(2x )22＋(2y )2＝1. ∴x 212＋y 214＝1 即为所求点P 的轨迹方程．解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．[解] 法一：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， ∵M 为AB 中点，∴A (2x,0)，B (0,2y )． ∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)， ∴PA ⊥PB .∴k PA ·k PB ＝－1.∵k PA ＝42－2x(x ≠1)，k PB ＝4－2y 2，∴42－2x ·4－2y2＝－1，即x ＋2y －5＝0(x ≠1)．当x ＝1时，A (2,0)，B (0,4)．此时AB 中点M 的坐标为(1,2)，它也满足方程x ＋2y －5＝0，∴所求点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 法二：设M (x ，y )，则A (2x,0)，B (0,2y )， ∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形，∴|PM |＝12|AB |.即(x －2)2＋(y －4)2＝124x 2＋4y 2.化简得x ＋2y －5＝0，∴所求点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0.1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0解析：设满足方程f (x ，y )＝0的点组成的集合为M ，曲线C 上的所有点组成集合N ，由题意可知M ⊆N .答案：C2．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )解析：对于A ，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除A ；对于B ，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除B ；对于C ，曲线上第三象限的点，由于x ＜0，y ＜0，不满足方程，排除C. 答案：D3．下列方程中与方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( ) A ．|x |－y ＝0 B.x 2y＝1 C ．x 2－|y |＝0D ．2ln x －ln y ＝0解析：根据曲线与方程的关系，若两个方程表示同一曲线，则其方程在形式上必须能统一，且其中的变量范围也必须一致．本题中的方程x 2－y ＝0表示顶点在原点，且开口向上的抛物线．C项方程中，y∈R，即y＝±x2表示两条抛物线，A、B、D三项中的方程都能化为x2－y＝0.但在B项中y≠0，它表示一条除去顶点的抛物线；D项中有x>0，y>0，它表示抛物线在y轴右侧部分．答案：A4．到点F(2,0)和y轴的距离相等的点的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)为轨迹上任意一点，则(x－2)2＋y2＝|x|，∴(x－2)2＋y2＝x2.即y2＝4x－4.答案：y2＝4(x－1)5．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．解析：易求|PO|＝2，故P点的轨迹方程为x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝46．已知线段AB与CD互相垂直且平分于点O，且|AB|＝4，|CD|＝8，动点P满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程．解：如图所示，分别以CD，AB所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．则O(0,0)，C(－4,0)，D(4,0)，A(0，－2)，B(0,2)．设动点P(x，y)，则由|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，得x2＋(y＋2)2·x2＋(y－2)2＝(x＋4)2＋y2·(x－4)2＋y2.化简，得x2－y2＝6.此为所求动点P的轨迹方程．一、选择题1．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A．|x|－|y|＝1B．|x－y|＝1C．||x|－|y||＝1 D．|x±y|＝1解析：设M(x，y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点M到x轴的距离为|y|，到y 轴的距离为|x|.由题意知||x|－|y||＝1.答案：C2．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：设P(x，y)，因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16.整理得，x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2.∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：D3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：设P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝4，所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.答案：B4．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()解析：由2log2y＝2＋log2x，得log2y2＝log24x，∴y 2＝4x (x >0，y >0)，即y ＝2x (x >0)．答案：A 二、填空题5．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0. ∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝0，2(y ＋2)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)6．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP ―→·OA ―→＝4，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由OP ―→·OA ―→＝4得x ·1＋y ·2＝4，因此所求轨迹方程为x ＋2y －4＝0. 答案：x ＋2y －4＝07.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP ―→·MN ―→＝4，则动点P 的轨迹方程为________．解析：由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP ―→·MN ―→＝(x ，y )·(x ，－2y ) ＝x 2－2y 2＝4，即x 24－y 22＝1. 答案：x 24－y 22＝18．已知A (2,0)，B (－1,2)，点C 在直线2x ＋y －3＝0上移动，则△ABC 重心G 的轨迹方程为________________．解析：设G (x ，y )，C (x ′，y ′)∵G 是△ABC 的重心，且A (2,0)，B (－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋2－13＝x ，y ′＋0＋23＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －1，y ′＝3y －2.又C (x ′，y ′)在直线2x ＋y －3＝0上， ∴2x ′＋y ′－3＝0，即2(3x －1)＋(3y －2)－3＝0. 化简得：6x ＋3y －7＝0.①∵A (2,0)，B (－1,2)，C (3x －1,3y －2)共线的条件是3y －23x －3＝2－3，即2x ＋3y －4＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y －7＝0，2x ＋3y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝34，y ＝56，故方程①中含有轨迹外的一个点⎝⎛⎭⎫34，56，应去掉．从而△ABC 的重心G 的轨迹方程是 6x ＋3y －7＝0⎝⎛⎭⎫x ≠34. 答案：6x ＋3y －7＝0⎝⎛⎭⎫x ≠34 三、解答题9.如图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→.求动点P 的轨迹C 的方程．解：设P (x ，y )，则Q (－1，y )． ∴Q P ―→＝(x ＋1,0)，Q F ―→＝(2，－y )． FP ―→＝(x －1，y )，F Q ―→＝(－2，y )．由Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→，得 2(x ＋1)＋0·(－y )＝－2(x －1)＋y 2，整理得y 2＝4x .即动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .10．已知△ABC 中，三边c >b >a ，且a ，b ，c 成等差数列，b ＝2，试求顶点B 的轨迹方程．解：如图，以AC 所在的直线为x 轴，AC 的垂直平分线所在直线为y 轴建立平面直角坐标系．由于b ＝|AC |＝2，则A 点坐标为(－1,0)，C 点坐标为(1,0)．因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即4＝|BC |＋|AB |.设B 点坐标为(x ，y )，则|AB |＝(x ＋1)2＋y 2，|BC |＝(x －1)2＋y 2. 所以4＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2.移项，两边平方并整理，得4－x ＝2(x －1)2＋y 2，两边再平方，并整理，得3x 2＋4y 2＝12. 方程两边同除以12，得x 24＋y 23＝1.又c >a ，即|AB |>|BC |，且A ，B ，C 三点不共线，所以0<x <2.所以适合题意的动点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(0<x <2)．第二课时圆锥曲线的统一定义[读教材·填要点]圆锥曲线的统一定义任意给定常数e (e >0)、点F 和直线l (F ∉l )，设动点P 到F 的距离和到l 的距离之比等于e ，则P 的轨迹是圆锥曲线．F 是这条圆锥曲线的焦点，l 称为它的准线．当e <1时P 的轨迹是椭圆，当e ＝1时是抛物线，当e >1时是双曲线．[小问题·大思维]1．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)对应的准线方程分别是什么？提示：准线方程分别为x ＝－a 2c ，x ＝a 2c.2．中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆与双曲线，与焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )对应的准线方程分别是什么？提示：准线方程分别是y ＝－a 2c ，y ＝a 2c.由曲线方程求焦点坐标和准线方程求下列曲线的焦点坐标和准线方程．(1)x 24＋y 23＝1；(2)x 2122－y 252＝1；(3)4y 2－9x 2＝36； (4)y 2＝－2x ；(5)x 2＋4y ＝0.[自主解答] (1)由方程知椭圆焦点在x 轴上，且a 2＝4，b 2＝3，则c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，准线方程为x ＝±a 2c ＝±4.(2)由方程知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝122，b 2＝52，则c ＝a 2＋b 2＝13.∴焦点坐标为(－13,0)，(13,0)，准线方程为x ＝±a 2c ＝±14413.(3)将方程化为标准方程y 29－x 24＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线，且a 2＝9，b 2＝4，则c ＝a 2＋b 2＝9＋4＝13.∴焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，准线方程为y ＝±a 2c ＝±913＝±91313.(4)方程表示开口向左，顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线，且2p ＝2，p 2＝12.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，0，准线方程为x ＝12. (5)将方程化为标准方程x 2＝－4y ，它表示开口向下，顶点在原点，对称轴为y 轴的抛物线，且2p ＝4，p2＝1.∴焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1.(1)由圆锥曲线求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值a ，b ，c 或p ，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程．(2)注意椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线．1．求下列曲线的焦点坐标和准线方程． (1)2x 2＋y 2＝4；(2)3x 2－3y 2＝2；(3)x 2－3y ＝0.解：(1)将方程化为标准方程y 24＋x 22＝1，它表示焦点在y 轴上的椭圆，且a 2＝4，b 2＝2，则c ＝a 2－b 2＝4－2＝2，故焦点坐标为(0，－2)，(0，2)，准线方程为y ＝±a 2c ＝±42＝±2 2.(2)将方程化为标准方程x 223－y 223＝1，它表示焦点在x 轴上的双曲线，且a 2＝23，b 2＝23，则c ＝a 2＋b 2＝233，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－233，0，⎝⎛⎭⎫233，0，准线方程为x＝±a 2c ＝±23233＝±33.(3)将方程化为标准方程x 2＝3y ，它表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，2p ＝3，p 2＝34.故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，准线方程为y ＝－34.求圆锥曲线的方程已知椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，焦距为2，一条准线方程为y＝5，求椭圆的标准方程．[自主解答] 依题意，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．则⎩⎨⎧2a 2－b 2＝2，a 2a 2－b 2＝5，解得a 2＝5，b 2＝4.∴椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1.解决圆锥曲线问题的一般步骤是：一定曲线种类，二定曲线的焦点位置，三定标准方程的形式，四定对应参数值，即定类、定位、定形、定参．2．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线的方程为5y ＋33＝0，求此双曲线的方程．解：由双曲线的准线方程为y ＝－335，渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1. 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝335， ①a b ＝34， ②a 2＋b 2＝c 2， ③设a ＝3k ，b ＝4k ，则c ＝5k .代入①得a ＝3，b ＝433.∴所求双曲线方程为y 23－3x 216＝1.圆锥曲线统一定义的应用椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到椭圆的左准线的距离为10，求点P 到椭圆的右焦点的距离．[自主解答] 椭圆x 2100＋y 236＝1中，a 2＝100，b 2＝36，则a ＝10，c ＝a 2－b 2＝100－36＝8，∴离心率为e ＝45.根据圆锥曲线的统一定义得，点P 到椭圆的左焦点的距离为10e ＝8. 再根据椭圆的定义得，点P 到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.解决此类圆锥曲线上的点到焦点和准线的距离问题的一般思路是利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线上点到两个不同焦点距离之间的转化来解决．3．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，求P 到右准线的距离．解：由椭圆的定义知，2m ＝3＋1＝4，又∵m >1，∴m ＝2. ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴e ＝c a ＝12.设点P 到右准线的距离等于d ，由圆锥曲线的统一定义得1d ＝12，∴d ＝2.即点P 到右准线的距离等于2.解题高手妙解题什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路已知椭圆x 25＋y 24＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋5MF 的值最小．[巧思] 题设中F 是椭圆的右焦点，5是椭圆的离心率的倒数，由圆锥曲线的统一定义可知：5MF 就是椭圆上P 点到相应准线的距离，观察图形，便可解决问题 .[妙解] 由椭圆方程x 25＋y 24＝1，知a ＝5，b ＝2，∴c ＝1，e ＝15 .设点M 在右准线l 上的射影为M 1，根据圆锥曲线的统一定义，得MFMM 1＝15，即5MF ＝MM 1，∴MP ＋5MF ＝MP ＋MM 1，观察图形可知，当P ，M ，M 1三点共线时，MP ＋MM 1的值最小，即MP ＋5MF 的值最小．于是，过点P 作准线l 的垂线y ＝－1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1(x >0)，y ＝－1，解得M⎝⎛⎭⎫152，－1.1．“双曲线的方程为x 29－y 216＝1”是“双曲线的准线方程为x ＝±95”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：令双曲线的方程为x 29－y 216＝1为①，双曲线的准线方程为x ＝±95为②，则有①⇒②，但②①.答案：A2．以双曲线x 2－y 2＝2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－4x －3＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋3＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －5＝0 D ．x 2＋y 2＋4x ＋5＝0解析：易知右焦点为F (2,0)，右准线x ＝a 2c ＝1，∴r ＝1. 即圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1. 答案：B3．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.33 C.63D.66解析：两焦点间的距离为2c ，两准线间的距离为2a 2c ，依题意有2c ＝13×2a 2c ，∴a 2＝3c 2.∴e ＝c a ＝33.答案：B4．曲线25x 2＋9y 2＝225的准线方程为________．解析：由25x 2＋9y 2＝225，得x 29＋y 225＝1， ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4. ∴a 2c ＝254. ∴准线方程为y ＝±254.答案：y ＝±2545．若双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m ＝________.解析：由题意知双曲线的离心率为3，则ca ＝m ＋1m＝3，解得m ＝18.答案：186．判断下列各动点的轨迹表示的曲线是否为圆锥曲线；若是，是哪一种圆锥曲线． (1)定点F ，定直线为l ，F ∉l ，动点M 到定点F 的距离MF 与该点到定直线l 的距离d 的比为2；(2)定点F ，定直线为l ，F ∉l ，动点M 到定直线l 的距离d 与动点M 到定点F 的距离MF 的比为5；(3)到定点F 和定直线l 的距离相等的点的轨迹；(4)定点F 不在定直线l 上，到定点F 的距离与到定直线l 的距离的比大于1的点的轨迹．解：(1)∵|MF |d ＝2>1，∴动点的轨迹是双曲线．(2)∵d |MF |＝5，∴|MF |d ＝15，∴动点的轨迹是椭圆．(3)当F ∈l 时，动点的轨迹是过点F 且与l 垂直的直线；当F ∉l 时，动点的轨迹是抛物线．(4)动点的轨迹不是双曲线，因为比大于1不一定是常数，动点的轨迹是一个平面区域．一、选择题1．如果双曲线x 216－y 29＝1右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则点P 到左准线的距离为( )A.245 B.6910 C ．8D ．10解析：设左、右焦点分别为F 1，F 2，则由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，且点P 在右支上，可求得|PF 1|＝10.设P 到左准线的距离为d ，则由统一定义知10d ＝c a ＝54，∴d ＝8.答案：C2．椭圆x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1的准线平行于y 轴，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2>(m －1)2，m －1≠0，解得m >12，且m ≠1.答案：D3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B .若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→|＝( )A ．2 B. 2 C. 3D.3＋ 2解析：过点B 作BM ⊥l 于M ，并设右准线l 与x 轴的交点为N ，易知e ＝22，FN ＝1.由题意FA ―→＝3FB ―→，故BM ＝23FN ＝23.又由圆锥曲线的统一定义，得BF ＝22×23＝23， ∴|AF ―→|＝ 2. 答案：B4．已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线y 2＝4x 的准线重合，则该双曲线与抛物线y 2＝4x 的交点到原点的距离是( )A ．23＋ 6 B.21 C ．18＋12 2D ．21解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2c ＝1，ca ＝3，解得a ＝3，c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝6， ∴双曲线方程为x 23－y 26＝1.联立双曲线与抛物线方程解得它们的交点为P (3，±23)， P 到原点的距离为|OP |＝32＋(±23)2＝21.答案：B 二、填空题5．设λ1是抛物线y 2＝2px (p ≠0)与椭圆ax 2＋by 2＝1(a >b >0)的离心率的比值，λ2是双曲线ax 2－by 2＝1上一点到左准线与左焦点的距离之比，则λ1λ2________1(填“>”“＝”或“<”)．解析：根据题意知，λ1是椭圆离心率的倒数，必大于1；λ2是双曲线离心率的倒数，必是小于1的正数．因此λ1λ2>1. 答案：>6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线C 的方程为________．解析：由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3. 故b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. 答案：x 2－y 22＝1 7．已知双曲线x 22－y 22＝1的准线经过椭圆x 24＋y 2b2＝1(b >0)的焦点，则b ＝________. 解析：由已知可得双曲线的准线为x ＝±a 2c＝±1，因为椭圆焦点为(±4－b 2，0)，所以4－b 2＝1，即b 2＝3，故b ＝ 3.答案： 38．已知椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >0)的一条准线与抛物线y 2＝－10x 的准线重合，则椭圆的离心率为________．解析：抛物线y 2＝－10x 的准线方程是x ＝52，由题意知椭圆x 2a 2＋y 2＝1的一条准线方程为x ＝52，即右准线方程为x ＝52，故a 2c ＝52，∴a 2＝52c ， ∵b ＝1，∴c 2＋1＝52c ，解得c 1＝2，c 2＝12. 当c ＝2时，a 2＝52c ＝5，a ＝5，∴e ＝255；当c ＝12时，a 2＝52c ＝54，a ＝52，∴e ＝55. 答案：255或55三、解答题9．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到左、右焦点距离之比为1∶3，求点P 到两准线的距离．解：设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1，F 2，由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c＝8，e ＝c a ＝45，则PF 1＋PF 2＝2a ＝20. 又3PF 1＝PF 2，∴PF 1＝5，PF 2＝15.设点P 到两准线的距离分别为d 1，d 2，可得d 1＝PF 1e ＝254，d 2＝PF 2e ＝754. 故点P 到两准线的距离分别为254，754. 10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，F 1，F 2分别为左、右焦点，点M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且F 1M ―→·F 2M ―→＝－14.求双曲线的方程．解：根据题设条件，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设点M (x ，y )，则x ，y 满足⎩⎨⎧ x ＝－a 2c ，y ＝－b a x .因为e ＝c a ＝52，则M ⎝⎛⎭⎫－2a 5，2b 5，故F 1M ―→·F 2M ―→＝⎝⎛⎭⎫－2a 5＋c ，2b 5·⎝⎛⎭⎫－2a 5－c ，2b 5＝ 45a 2－c 2＋45b 2＝－14，又a 2＋b 2＝c 2，得c 2＝54，于是a 2＝1，b 2＝14，因此，所求双曲线的方程为x 2－4y 2＝1.。

2019年数学新同步湘教版选修1-2讲义+精练：模块综合检测 Word版含解析

姓名，年级：时间：错误!（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足（1＋i)z＝2，其中i为虚数单位,则z＝( ）A．2－2i B．2＋2iC．1－i D．1＋i解析:z＝错误!＝错误!＝错误!＝1－i。

答案：C2．设回归方程y＝3－5x，变量x增加一个单位时( )A．y平均增加3个单位 B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位 D．y平均减少3个单位解析：由回归方程知:y与x是负相关的，x每增加一个单位，y减少5个单位．答案：B3．由①正方形的四个内角相等;②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为（）A．②①③ B．③①②C．①②③ D．②③①解析:根据三段论的一般形式，可以得到大前提是②，小前提是③，结论是①。

答案：D4．观察数列1，2,2，3，3,3，4,4，4，4,…的特点,问第100项为( )A．10 B．14C．13 D．100解析：由于1有1个，2有2个,3有3个,…,则13有13个，所以1～13的总个数为错误!＝91，从而第100个数为14。

答案：B5．复数z满足(－1＋i）z＝（1＋i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析:z＝1＋i2－1＋i＝错误!＝错误!＝1－i，故z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1），位于第四象限．答案：D6．在等差数列{a n}中,若a n＞0,公差d＞0，则有a4·a6＞a3·a7，类比上述性质，在等比数列｛b n}中,若b n＞0,q＞1，则b4，b5,b7,b8的一个不等关系是( )A．b4＋b8＞b5＋b7 B．b5＋b7＞b4＋b8C．b4＋b7＞b5＋b8 D．b4＋b5＞b7＋b8答案：A7．(山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x 的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0，0 B．1，1C．0，1 D．1，0解析：当输入x＝7时,b＝2,因为b2>x不成立且x不能被b整除，故b＝3,这时b2〉x成立,故a＝1，输出a的值为1.当输入x＝9时，b＝2，因为b2〉x不成立且x不能被b整除,故b＝3，这时b2>x不成立且x能被b整除,故a＝0，输出a的值为0.答案：D8．已知a，b，c，d为正数，S＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!，则（)A．0〈S〈1 B．1<S<2C．2〈S<3 D．3〈S〈4解析：S<错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝2，S 〉错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝1。