高考数学难点突破训练—数列与数学归纳法

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高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧

高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧数列和数学归纳法是高考数学中的重要考点，掌握相关解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍高考数学中的数列和数学归纳法题解技巧，帮助考生更好地应对考试。

一、数列的基本概念和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

在高考数学中，常见的数列有等差数列、等比数列和等差中项数列。

掌握数列的基本概念和性质是解题的基础。

以等差数列为例，设数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过这一公式，我们可以求得数列的任意一项的值。

同时，还需了解等差数列的前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2此外，还需掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，以及等差中项的计算方法等相关性质。

二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是解决数列相关问题常用的数学推理方法，也是高考数学中常见的一种解题技巧。

掌握数学归纳法的基本原理对于解题至关重要。

数学归纳法的基本原理分为三步：1. 验证基本情况：证明当n取某个特定值时命题成立。

2. 假设成立：假设当n=k时命题成立，即前k项满足题设条件。

3. 推理步骤：利用假设成立和题设条件推导出n=k+1时，命题也成立。

通过以上步骤，我们可以得出命题对于一切自然数n都成立的结论。

三、数列与数学归纳法的综合应用在高考数学中，数列和数学归纳法常常结合使用，解决一些复杂的问题。

以下是一个综合应用的示例题目：【例】设数列{an}满足an = 2^n - 1，证明aₙ > n，其中n为自然数。

解析：我们通过数学归纳法来解决这道题目。

（1）验证基本情况：当n=1时，a₁ = 2¹ - 1 = 1 > 1，基本条件成立。

（2）假设成立：假设当n=k时命题成立，即aₙ > k。

（3）推理步骤：当n=k+1时，aₙ₊₁ = 2^(k+1) - 1 = 2 × 2^k - 1 = 2 × (2^k - 1) + 1根据假设成立的条件，aₙ > k，我们可以得到aₙ₊₁ > 2k + 1 > k + 1所以，通过数学归纳法可知，数列{an}满足an = 2^n - 1时，aₙ > n，命题成立。

如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题

如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题数列与数学归纳法是高考数学中的重要难点之一。

很多学生在这部分内容上遇到困难，对于数列的特征与公式推导、数学归纳法的运用不太熟悉。

然而，只要我们掌握一些解题技巧和方法，就能轻松应对高考中的数列与数学归纳法难题。

本文将介绍几个解题的思路和策略，帮助考生更好地应对高考中的数学难题。

第一部分：数列的特征与公式推导数列是指按照一定规律排列的一组数。

在考试中，我们常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

解决数列问题的关键是要发现数列之间的规律，并根据规律进行推导。

首先，我们来看等差数列。

等差数列的特点是首项与公差确定，任意一项与项数之间的关系可以通过公式推导得出。

当我们遇到一个等差数列时，可以先求出公差，然后根据公式求出所需项数，这样就能轻松解决问题。

接下来是等比数列。

等比数列的特点是首项与公比确定，任意一项与项数之间的关系同样可以通过公式推导得出。

与等差数列类似，我们可以先求出公比，再根据公式求出所需项数，进而解决问题。

第二部分：数学归纳法的运用数学归纳法是解决一类问题的一种常用的证明方法。

在高考数学中，数学归纳法常常用于证明数学命题和不等式。

在解决数列问题时，数学归纳法也是一种重要的推理和证明工具。

数学归纳法的基本思想是：先证明当n=k时某个命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

通过不断地递推，最终我们就能证明当n为任意自然数时命题都成立。

在解决数列问题中，数学归纳法通常用于证明某个数列的通项公式。

我们可以先通过观察和猜测，找出数列的规律，然后利用数学归纳法证明这个规律对所有项都成立。

这样，我们就能快速确定数列的通项公式，从而方便地求解题目。

综上所述，要解决高考数学中的数列与数学归纳法难题，关键是要发现数列之间的规律，并通过公式推导或数学归纳法证明这个规律的正确性。

在备考过程中，我们可以通过大量的练习和题目分析来提高解题的能力和水平。

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法的典型题型

高考数学一轮总复习数列与数学归纳法的典型题型高考数学一轮总复习：数列与数学归纳法的典型题型在高考数学中，数列与数学归纳法是一个重要的考点。

掌握这部分知识点，不仅可以解决与数列相关的各种问题，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

本文将针对数列与数学归纳法的典型题型展开论述。

一、数列的定义与分类数列是按照一定规律排列的数的集合，常用的数列有等差数列、等比数列和等差等比数列等。

等差数列是指一个数列中的每一项与前一项之间差值相等，而等比数列则是指一个数列中的每一项与前一项之间的比值相等。

等差等比数列则是等差数列和等比数列的组合。

数列的通项公式是计算数列中任意一项的公式，通过观察数列的规律可以得到其通项公式，进而可以求解数列中的各项。

二、数列的性质和应用1. 等差数列的性质和应用对于等差数列，我们可以利用其通项公式推导出多项求和公式，从而能够快速计算数列中的各项之和。

此外，通过等差数列的性质，我们还能够解决一些实际问题，如利用等差数列求解速度、距离等问题。

2. 等比数列的性质和应用等比数列同样具有一些重要的性质和应用。

我们可以利用等比数列的通项公式计算数列各项，也可以通过等比数列的性质解决一些实际问题，如利用等比数列解决增长、衰变等问题。

三、数学归纳法的基本原理和应用数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过证明一个命题在某个情况下成立，再证明它在下一个情况下也成立，从而推断该命题对于所有情况都成立。

数学归纳法的基本步骤如下：1. 基础步骤：证明命题在第一个情况下成立。

2. 归纳假设：假设命题在某个情况下成立。

3. 归纳步骤：证明命题在下一个情况下也成立。

数学归纳法常用于数列的证明和求和问题。

我们可以利用数学归纳法证明数列的通项公式，也可以利用数学归纳法求解数列的各项之和。

四、数列与数学归纳法的典型题型举例1. 证明等差数列的通项公式利用数学归纳法证明等差数列的通项公式是一个经典的例子。

我们首先证明等差数列的首项成立，再假设等差数列的第n项成立，通过归纳步骤证明第n+1项也成立。

高考数学难点突破-难点31--数学归纳法解题Word版

难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a 、b 、c 使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (an 2+bn +c ). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当n ＞1,n ∈N *且a 、b 、c 互不相等时，均有：a n +c n ＞2b n .命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k)(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a .证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =qb,c =bq (q ＞0且q ≠1)∴a n+c n=n n q b +b n q n =b n (n q1+q n )＞2b n(2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2c a +)n (n ≥2且n ∈N *)下面用数学归纳法证明：①当n =2时，由2(a 2+c 2)＞(a +c )2，∴222)2(2c a c a +>+②设n =k 时成立，即,)2(2kk k c a c a +>+则当n =k +1时，41211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1)＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k·a )=41(a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k +1［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －21成等比数列.(1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和.命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，S k =－321-k 应舍去，这一点往往容易被忽视.技巧与方法：求通项可证明{n S 1}是以{11S }为首项，21为公差的等差数列，进而求得通项公式.解：∵a n ,S n ,S n －21成等比数列，∴S n 2=a n ·(S n －21)(n ≥2) (*) (1)由a 1=1,S 2=a 1+a 2=1+a 2,代入(*)式得:a 2=－32由a 1=1，a 2=－32,S 3=31+a 3代入(*)式得：a 3=－152同理可得：a 4=－352,由此可推出：a n =⎪⎩⎪⎨⎧>---=)1( )12)(32(2)1( 1n n n n (2)①当n =1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.②假设n =k (k ≥2)时，a k =－)12)(32(2--k k 成立故S k 2=－)12)(32(2--k k ·(S k －21)∴(2k －3)(2k －1)S k 2+2S k －1=0∴S k =321,121--=-k S k k (舍) 由S k +12=a k +1·(S k +1－21),得(S k +a k +1)2=a k +1(a k +1+S k －21).1,]1)1(2][3)1(2[22112122)12(1111211212命题也成立即+=-+-+-=⇒--+=-++-⇒++++++k n k k a a k a a k a a k k k k k k k由①②知，a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥---=)2()12)(32(2)1(1n n n n 对一切n ∈N 成立. (3)由(2)得数列前n 项和S n =121-n ,∴S =lim ∞→n S n =0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P (n )是关于自然数n 的命题，若 1°P (n 0)成立(奠基)2°假设P (k )成立(k ≥n 0)，可以推出P (k +1)成立(归纳)，则P (n )对一切大于等于n 0的自然数n 都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f (n )=(2n +7)·3n+9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( ) A.n =1 B.n =2 C.n =3 D.n =4 二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子：474131211,3531211,2321122222<+++<++<+…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a 1=21,a n +1=33+n n a a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明412+n +3n +2能被13整除，其中n ∈N *.6.(★★★★)若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n . 7.(★★★★★)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ;(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论. 8.(★★★★★)设实数q 满足|q |＜1,数列{a n }满足：a 1=2,a 2≠0,a n ·a n +1=－q n,求a n 表达式，又如果lim ∞→n S 2n ＜3,求q 的取值范围.参考答案难点磁场解：假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，这时令n =1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a c b a c b a c b a于是，对n =1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n (n +1)2=)10113(12)1(2+++n n n n记S n =1·22+2·32+…+n (n +1)2设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2+11k +10) 那么S k +1=S k +(k +1)(k +2)2=2)1(+k k (k +2)(3k +5)+(k +1)(k +2)2=12)2)(1(++k k (3k 2+5k +12k +24)=12)2)(1(++k k ［3(k +1)2+11(k +1)+10］也就是说，等式对n =k +1也成立.综上所述，当a =3,b =11,c =10时，题设对一切自然数n 均成立. 歼灭难点训练一、1.解析：∵f (1)=36,f (2)=108=3×36,f (3)=360=10×36 ∴f (1),f (2),f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除. 证明：n =1,2时，由上得证，设n =k (k ≥2)时， f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除，则n =k +1时， f (k +1)－f (k )=(2k +9)·3k +1－(2k +7)·3k=(6k +27)·3k －(2k +7)·3k=(4k +20)·3k =36(k +5)·3k －2(k ≥2) ⇒f (k +1)能被36整除∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36. 答案：C2.解析：由题意知n ≥3，∴应验证n =3. 答案：C二、3.解析：11112)11(112321122++⨯<++<+即 12122)12(1)11(11,35312112222++⨯<++++<++即 112)1(131211222++<+++++n n n 归纳为(n ∈N *) 112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *) 53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112+=+==+==+==+=+==+⨯=+=n a a a a a a a a a n 猜想同理解析 73:答案、83、93、10353=n三、5.证明：(1)当n =1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n =k 时，42k +1+3k +2能被13整除，则当n =k +1时， 42(k +1)+1+3k +3=42k +1·42+3k +2·3－42k +1·3+42k +1·3 =42k +1·13+3·(42k +1+3k +2) ∵42k +1·13能被13整除，42k +1+3k +2能被13整除 ∴当n =k +1时也成立.由①②知，当n ∈N *时，42n +1+3n +2能被13整除.6.证明：(1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时成立，即2413212111>+++++k k k 2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1>+++=+-++=+-++++>+-++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k n 时则当 7.(1)解：设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=311452)110(10101111d b d b b ,∴b n =3n －2(2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a (1+41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41)…(1+ 231-n )］而31log a b n +1=log a 313+n ,于是，比较S n 与31log a b n +1的大小⇔比较(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1，有(1+1)=33311348+⋅=> 取n =2，有(1+1)(1+33312378)41+⨯=>>推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n )＞313+n (*) ①当n =1时，已验证(*)式成立.②假设n =k (k ≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231-k )＞313+k则当n =k +1时，)1311(13)2)1(311)(2311()411)(11(3+++>-++-+++k k k k 3131323+++=k k k333222333331)1(343)23(13130)13(49)13()13)(43()23()43()131323(++=+>+++∴>++=+++-+=+-+++k k k k k k k k k k k k k k k31)1(3)1311)(2311()411)(11(++>-+-+++k k k 从而,即当n =k +1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立.于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n +1,当 0＜a ＜1时，S n ＜31log a b n +18.解：∵a 1·a 2=－q ,a 1=2,a 2≠0,∴q ≠0,a 2=－29,∵a n ·a n +1=－q n ,a n +1·a n +2=－q n +1两式相除，得qa a n n 12=+,即a n +2=q ·a n 于是，a 1=2,a 3=2·q ,a 5=2·q n…猜想：a 2n +1=－21q n(n =1,2,3,…) 综合①②，猜想通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时时下证：(1)当n =1,2时猜想成立(2)设n =2k －1时，a 2k －1=2·q k －1则n =2k +1时，由于a 2k +1=q ·a 2k －1∴a 2k +1=2·q k即n =2k －1成立. 可推知n =2k +1也成立. 设n =2k 时，a 2k =－21q k,则n =2k +2时，由于a 2k +2=q ·a 2k ,所以a 2k +2=－21q k+1,这说明n =2k 成立，可推知n =2k +2也成立. 综上所述，对一切自然数n ,猜想都成立.这样所求通项公式为a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈=-∈-=⋅-)(2 21)(12 21N N k k n q k k n q k k 时当时当S 2n =(a 1+a 3…+a 2n －1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=2(1+q +q 2+…+q n -1)－21 (q +q 2+…+q n))24)(11()1()1(211)1(2q q q q q q q q n n n ---=--⋅---=由于|q |＜1,∴n n nn S q 2lim ,0lim ∞→∞→=故=)24)(11(qq q n --- 依题意知)1(24q q --＜3,并注意1－q ＞0,|q |＜1解得－1＜q ＜0或0＜q ＜52（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

版高考数学一轮总复习数列与数学归纳法典型题型分析

版高考数学一轮总复习数列与数学归纳法典型题型分析在高考数学中，数列与数学归纳法是一个非常重要的知识点。

准确地掌握数列的性质以及数学归纳法的运用方法，对于解答各类数学题目具有重要的指导作用。

本文将针对数列与数学归纳法的典型题型进行分析，并给出解题思路和方法。

一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数。

2. 数列的表示方法：通项公式或递推公式。

3. 数列的性质：等差数列、等比数列、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式等。

二、数列的应用1. 等差数列：寻找等差数列的通项公式和前n项和公式，解决与等差数列相关的各类问题。

2. 等比数列：寻找等比数列的通项公式和前n项和公式，解决与等比数列相关的各类问题。

3. 递推数列：寻找数列的递推关系，解决与递推数列相关的各类问题。

三、数学归纳法的基本思想与运用1. 数学归纳法的基本思想：证明一个命题在自然数范围内成立的方法。

2. 数学归纳法的步骤：基础步骤、归纳假设和归纳证明。

3. 数学归纳法在数列中的应用：利用数学归纳法证明数列的性质、递推公式等。

四、典型题型分析与解题思路1. 求等差数列的通项公式和前n项和公式：通过观察等差数列的规律，寻找通项公式和前n项和公式。

2. 求等比数列的通项公式和前n项和公式：通过观察等比数列的规律，寻找通项公式和前n项和公式。

3. 利用数学归纳法证明数列的性质：首先通过观察数列的规律猜测数列性质，然后使用数学归纳法证明其正确性。

4. 利用数学归纳法证明数列的递推公式：通过观察数列的递推关系猜测递推公式，然后使用数学归纳法证明其正确性。

通过对高考数学中数列与数学归纳法的典型题型进行分析，我们可以看出这些题型的解答方法主要是通过观察规律，寻找通项公式和前n 项和公式，利用数学归纳法证明数列的性质和递推公式等。

只有掌握了这些解题方法，才能在考试中迅速准确地解答相关的题目。

总结起来，数列与数学归纳法是高考数学中的重要知识点，需要我们熟练掌握其中的概念、性质和应用方法。

高考数学难点突破训练数列与数学归纳法(含详解)

18. 在不等边△ ABC中，设 A、B、C所对的边分别为 a，b，c，已知 sin 2 A ，sin 2 B ，sin 2 C
依次成等差数列，给定数列 cos A ， cosB ， cosC ．
a
b
c
（ 1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：
数列 cos A ， cos B ， cosC （
差数列（ d 0 ） .
( Ⅰ ) 若 a20 40 ，求 d ；（Ⅱ）试写出 a30 关于 d 的关系式，并求 a30 的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使得 a30 , a31 , , a40 是公差为 d 3 的等差数列，……，依次类推，
把已知数列推广为无穷数列 . 提出同（ 2）类似的问题（（ 2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ ( 所得的结论不必证明 )
设 x1 1, an x n 1 x n , bn yn y n 1 。
（ I ）求 Q1 ,Q2 的坐标；（ II ）求数列 an 的通项公式；
1 （ III ）记数列 an bn 的前 n 项和为 Sn ，求证： Sn 3
答案：
1.
解：①由条件可得
13 P1 a1 , a1
22
3 a12
1 a1, a1 0, a1
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2. 设 an , bn 都是各项为正数的数列，对任意的正整数 bn2 , an 1,bn2 1 成等比数列．
n ，都有 an , bn2 , an 1 成等差数列，
（ 1）试问 bn 是否成等差数列？为什么？
（ 2）如果 a1 1,b1
2 ，求数列
1 an
的前 n 项和 Sn ．

如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目

如何解决高考数学中的数列与数学归纳法题目数列与数学归纳法是高考数学中常见的题型，对于考生来说，熟练掌握解决这类题目的方法和技巧至关重要。

本文将介绍一些解决高考数学中的数列与数学归纳法题目的策略和步骤。

一、数列题目解决策略对于数列题目，首先需要明确题目给出的条件以及需要求解的内容。

然后可以按照以下步骤进行解决：1. 找出数列的通项公式：通过观察数列中元素之间的规律，可以尝试找出数列的通项公式。

常见的数列有等差数列、等比数列和递推数列等，可以根据数列的性质来确定通项公式。

2. 确定数列的首项和公差（或公比）：根据数列的通项公式，可以确定数列的首项和公差（或公比）。

首项即数列中的第一个数，公差即等差数列中相邻两项之间的差值，公比即等比数列中相邻两项之间的比值。

3. 求解问题：根据题目给出的条件和要求，使用所确定的数列通项公式和已知信息，对数列进行计算，得到所需的结果。

需要注意题目中可能涉及到的问题类型，如求和、求极限、求范围等，应选择相应的解决方法。

二、数学归纳法题目解决策略数学归纳法常用于证明一些数学命题的正确性，在高考数学中也经常出现数学归纳法的题目。

解决这类题目时，可以按照以下步骤进行：1. 确定归纳假设：首先需要明确题目给出的命题，并对其进行归纳分析。

通过观察命题中的模式和规律，得出归纳假设，即命题成立的前提条件。

2. 验证归纳基础：归纳基础是证明归纳法的第一步，需要验证命题在某个确定的数值下是否成立。

通常选取最小的自然数或指定的特殊值进行验证，并确保命题在该值下是成立的。

3. 假设归纳成立：假设在某个确定的情况下命题成立，即假设命题对任意给定的自然数n成立。

4. 利用归纳法证明：利用归纳假设和归纳成立的情况，通过数学推理和逻辑推导来证明命题对n+1也成立。

通常需要进行等式转换、代数运算等步骤。

5. 总结归纳法的结果：根据归纳法的步骤和推导过程，总结出命题的结论，确保命题在任意给定的自然数下都成立。

高三数学题：数列与数学归纳法

高三数学题：数列与数学归纳法数列是数学中重要的概念，也是高中数学中常见的考点。

数学归纳法作为解决数列问题的有效方法，也需要我们掌握和运用。

下面，我们将通过几道高三数学题，来探索数列及数学归纳法的应用。

题目1：已知数列 {an} 的通项公式为 an = 4n + 1，其中 n 是自然数。

求数列的前五项。

题目2：已知数列 {bn} 的前 n 项和 Sn = n(n+1)。

证明数列 {bn} 是等差数列，并求其通项公式。

题目3：已知数列 {cn} 的前 n 项和 Sn = 2^n - 1。

证明数列 {cn} 是等比数列，并求其公比。

解答1：根据题目给出的数列通项公式 an = 4n + 1，我们可以依次代入 n 的值来计算前五项。

当 n = 1 时，an = 4(1) + 1 = 5；当 n = 2 时，an = 4(2) + 1 = 9；当 n = 3 时，an = 4(3) + 1 = 13；当 n = 4 时，an = 4(4) + 1 = 17；当 n = 5 时，an = 4(5) + 1 = 21。

所以，数列的前五项依次为 5，9，13，17，21。

解答2：我们已知数列前 n 项和 Sn = n(n+1)。

要证明数列 {bn} 是等差数列，我们需要使用数学归纳法。

首先，当 n = 1 时，Sn = 1(1+1) = 2，代入数列的首项 b1，我们可以得到 b1 = 2。

其次，假设当 n = k 时，Sn = k(k+1)，数列的第 k 项为 bk，即 Sk = bk。

现在来证明当 n = k+1 时，Sn = (k+1)((k+1)+1)。

根据归纳假设，Sk = bk，那么 Sk+1 = bk + (k+1)。

根据题目中给出的数列 {bn} 的前 n 项和公式 Sn = n(n+1)，我们有 Sn+1 =(k+1)(k+2)。

因此，当 n = k+1 时，Sn = (k+1)((k+1)+1) 成立，数列 {bn} 为等差数列。

第8讲数列归纳法(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)

数列专题引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。

第八讲数学归纳法
思维导图------知识梳理
脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶
考点一增项问题
围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹
1.（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明“52n n -能被3整除”的第二步中，n k =变形为（
）
B．()
52452k k k k
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2。

数学高考数学中的数列与数学归纳解题方法总结

数学高考数学中的数列与数学归纳解题方法总结数学是高考中最重要的科目之一，其中数列与数学归纳是数学题中常见的解题方法。

在本文中，我们将对数学高考中的数列与数学归纳解题方法进行总结与讨论。

一、数列的基本概念数列是由一系列数按照一定规律排列而成的，通常用数学符号表示为{an}或{a1，a2，a3，...}。

其中，an代表数列中的第n个数。

二、数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和通项公式数列等等。

对于不同类型的数列，解题的方法也有所差异。

1. 等差数列等差数列的特点是每相邻两项之间的差值保持不变，常用的解题方法是找出公差d，然后运用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d进行计算。

2. 等比数列等比数列的特点是每相邻两项之间的比值保持不变，常用的解题方法是找出公比q，然后运用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)进行计算。

3. 通项公式数列除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，它们的通项公式需要通过观察数列的规律来确定。

解题时需要注意观察数列中数字之间的关系，然后推导出通项公式。

三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的解题方法，它通过找到数列的规律，然后进行数学归纳来解决问题。

1. 递推关系在用数学归纳法解题时，首先需要找到数列中相邻的两项之间的递推关系。

通过观察数列中数值的变化，可以推测出相邻两项之间的关系式。

2. 归纳假设在数学归纳法中，需要假设前n项成立。

即假设当n=k时，命题成立。

然后通过归纳步骤证明当n=k+1时，命题也成立。

3. 归纳证明归纳证明是通过证明当n=k成立的情况下，当n=k+1时也必然成立，从而证明命题对于所有自然数都成立。

通过以上的步骤，数学归纳法可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，特别是那些涉及到数列的题目。

四、数列与数学归纳解题方法的综合应用在高考中，数列与数学归纳解题方法常常结合运用。

解题时，我们需要先确定数列的类型（等差数列、等比数列等），然后找出数列的递推关系和通项公式。

高二数学中常见的数列与数学归纳法问题解析

高二数学中常见的数列与数学归纳法问题解析数列和数学归纳法是高中数学中常见且重要的概念与方法。

在高二数学学习中，我们经常会遇到与数列及数学归纳法相关的问题。

本文将对高二数学中常见的数列与数学归纳法问题进行解析。

一、常见的数列类型1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。

设数列为{an}，首项为a1，公差为d，则等差数列可以表示为：an = a1 + (n - 1) * d等差数列的前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = (n / 2)(a1 + an)2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之间的比值是一个常数。

设数列为{an}，首项为a1，公比为r，则等比数列可以表示为：an = a1 * r^(n - 1)等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式求得：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r不等于13. 斐波那契数列斐波那契数列是指每一项都是前两项的和，首两项一般规定为1。

斐波那契数列可以表示为：F1 = 1，F2 = 1Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n大于等于3斐波那契数列具有许多特殊性质和应用，例如黄金分割比、螺旋线等。

二、数学归纳法的基本思想与步骤数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它基于以下两个基本思想：1. 当证明一个命题时，我们可以通过先证明该命题在某个特定情况下成立，再证明该命题在某个特定情况下成立的前提下，命题在下一个情况下也成立。

2. 数学归纳法的逻辑基础是：如果我们能证明当命题在某个特殊情况下成立时，它在下一个情况下也成立，那么该命题在任意情况下都成立。

数学归纳法的基本步骤如下：1. 第一步：证明命题在第一个特殊情况下成立。

这一步通常是一个简单的计算或直接验证。

2. 第二步：假设命题在第n个特殊情况下成立，即假设命题对于某个特定的k成立。

这一步通常称为归纳假设。

3. 第三步：证明命题在第n+1个情况下也成立。

通常是使用归纳假设和数学运算或推理来证明。

高中数学的数列与数学归纳法总结

高中数学的数列与数学归纳法总结数列与数学归纳法是高中数学中重要的概念和方法。

数列是一系列按照一定规律排列的数的集合，而数学归纳法是一种证明数学命题的方法。

在高中数学学习过程中，我们需要深入理解数列的性质和使用数学归纳法解决问题的技巧。

本文将就这两个方面进行总结和分析。

一、数列的基本概念与性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。

常见的数列包括等差数列和等比数列。

等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都相等，而等比数列则是指数列中的任意两个相邻项之比都相等。

在数列中，我们关注的重点在于求解数列的通项公式和前n项和。

通项公式是指能够通过整数n来表达第n项的公式，而前n项和则是指数列的前n项的和。

求解通项公式和前n项和可以帮助我们更好地理解数列的特点和性质，并应用于实际问题中。

二、常见数列的特点与求解方法1. 等差数列等差数列是高中数学中最基础的数列之一。

其通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

对于等差数列，其性质包括：- 任意两个相邻项之差都相等，即an - an-1 = d；- 第n项与倒数第n项之和等于首项与末项之和，即an + an-n = a1+ an；- 等差数列前n项和的通式为Sn = (a1 + an) * n / 2。

2. 等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻项之比相等的数列。

其通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。

等比数列的性质包括：- 任意两个相邻项之比都相等，即an/an-1 = q；- 等比数列前n项和的通式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。

三、数学归纳法的基本原理与应用数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。

它的基本思想是：首先证明当n取某个特定值时命题成立，然后假设当n取k时命题成立，证明当n取k+1时命题也成立，由此可得出对于所有正整数n都成立。

数学高考重点数列与数学归纳法的应用与题型解析

数学高考重点数列与数学归纳法的应用与题型解析数学高考中，数列与数学归纳法是重点内容之一。

掌握数列的性质和数学归纳法的应用对于解题至关重要。

本文将对数学高考中的数列和数学归纳法进行应用与题型解析。

一、等差数列和等比数列的性质1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列有以下性质：（1）前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2。

（2）常见题型：已知首项和公差，求第n项的值；已知首项和前n 项和，求公差。

2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。

等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等比数列有以下性质：（1）前n项和公式（当r ≠ 1时）：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)。

（2）常见题型：已知首项和公比，求第n项的值；已知首项和前n 项和，求公比。

二、斐波那契数列的应用斐波那契数列是一种特殊的数列，其前两项为1，后续项为前两项之和。

斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2。

斐波那契数列在高考中经常以应用题的形式出现，例如跳台阶、青蛙跳等问题。

掌握斐波那契数列的递推关系，能够解决这类问题。

三、数学归纳法的应用数学归纳法是一种证明方法，用于证明对于所有自然数n成立的命题。

数学归纳法包括两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

1. 基础步骤：证明当n取某个特定值时，命题成立。

通常通过计算或举例的方式来完成。

2. 归纳步骤：假设当n=k时，命题成立，即假设命题对于某个自然数k成立。

然后利用这个假设，证明当n=k+1时，命题也成立。

数学归纳法在高考中常被用于证明等式或不等式的成立，例如证明等差数列的通项公式或求和公式。

四、题型解析1. 选择题：（1）已知数列的首项和公差，求该数列的第n项的值。

2011届高考数学140分难点突破训练——数列与数学归纳法(含详解)-推荐下载

12.
设各项为正数的等比数列 an 的首项 a1
210 S30 (210 1)S20 S10 0 。
（Ⅰ）求 an 的通项；
（Ⅱ）求 nSn 的前 n 项和Tn 。
13.
设数列{an} 是首项为
0 的递增数列，（ n N
an1] 满足：对于任意的 b [0,1), fn (x) b 总有两个不同的根。
Sn

n n
1lg
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求证数列 bn 是等比数列；
3

1 2
n
n
1 。
（3）设 cn anbn ，试问数列cn有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，
说明理由。
9. 设数列an 前项和为 sn ,且(3 m)sn 2man m 3(n N ), ,其中 m 为常数,m 3.
5. 已知数列{an}中，a1>0, 且 an+1= 3 an ， 2
(Ⅰ)试求 a1 的值，使得数列{an}是一个常数数列； (Ⅱ)试求 a1 的取值范围,使得 an+1>an 对任何自然数 n 都成立； (Ⅲ)若 a1 = 2，设 bn = | an+1－an| (n = 1，2，3，…)，并以 Sn 表示数列{bn}的前 n
(1 p) Sn p pan （p 为大于 1 的常数），并记
f (n)

（1）求 an ；
1

C
1 n
a1

C
2 n
a2
2n Sn

C
n n
an
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高中数学练习题附带解析数列与数学归纳法

高中数学练习题附带解析数列与数学归纳法数列与数学归纳法在高中数学中是非常重要的概念，在学习和应用过程中，练习题是最有效的辅助方式。

本篇文章将提供一些常见的高中数学数列与数学归纳法练习题，并附带详细解析。

题目一：1、一个等差数列的首项为3，公差为5，求第10项和第20项。

解析：已知a1=3, d=5. 求a10和a20。

根据公式an=a1+(n-1)d可求出：a10=3+(10-1)×5=48a20=3+(20-1)×5=98因此，数列第10项为48，第20项为98。

题目二：2、求下列数列的通项公式：3，6，9，12 ……解析：根据题目可以确定第一项a1=3，公差d=3。

因为首项为3，而公差为3，可以将通项公式表示为a_n=3+(n-1)×3。

因此，该数列的通项公式为an=3+(n-1)×3。

题目三：3、有一等比数列的第一项为1，公比为2，求第5项和第10项。

解析：已知a1=1，q=2. 求a5和a10。

根据公式an=a1×q^(n-1)，可得：a5=1×2^(5-1)=16a10=1×2^(10-1)=512因此，数列第5项为16，第10项为512。

题目四：4、已知数列{an}满足：a1=3, a3=7，每一项都等于前一项与后一项的和，求数列的通项公式。

解析：根据题目可以得到：a1=3a3=7a_n=a_(n-1)+a_(n+1) (n>1)将上述式子表示为：a_(n+1)=a_n+a_(n-1)设数列的通项公式为an=x^n，代入上式可得：x^(n+1)=x^n+x^(n-1)化简可得：x^2-x-1=0解方程可得：x1=(1+sqrt(5))/2 ,x2=(1-sqrt(5))/2由于数列的通项公式必须满足a1=3，因此，x=（1+sqrt(5))/2最终，求得数列的通项公式为an=((1+sqrt(5))/2)^n。

高考数学(浙江专版)二轮复习专题突破专题5 数列与数学归纳法【原卷版】

数列与数学归纳法1.已知数列的前几项，求数列通项公式时，应注意四个特征：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想、利用数学归纳法进行证明.2.由递推关系求数列通项公式时的常用方法有：（1）已知，且，可用“累加法”求；（2）已知，且，可用“累乘法”求；（3）已知，且，则，（其中可由待定系数法确定），可转化为数列成等比数列求；（4）形如为常数）的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解.注意求出时，公式是否成立.3.与关系的应用问题：（1）由与前项和关系求时：，当时，若适合（），，则时的情况可并入时的通项；否则用分段函数的形式表示.(2)由与前项和关系求，通常利用（）将已知关系式转化为与的关系式，然后求解.4.判定一个数列是等差数列的方法：（1）用定义法（当时，为同一常数）；（2）等差中项法（）；（3）为常数）；（4）为常数）.1a 1()n n a a f n --=n a 1a 1()nn a f n a -=n a 1a 1n n a qa b +=+()1n n a k q a k ++=+k {}n a k +n a 1(,,nn n Aa a A B C Ba C+=+1n =n a n S n a n n S n a 11,1,,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩1n =1a 1n n n a S S -=-2n ≥1n =2n ≥n a n a n n S n S 1n n n a S S -=-2n ≥n S 1n S -2≥n 1--n n a a 112,2n n n n a a a -+≥=+b a b an a n ,(+=b a bn an S n ,(2+=5.解决等差数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差与首项来表示，列出方程进行求解.6.求等差数列前项和的最值的常用方法：（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值；（2）用通项公式求最值：求使成立时的最大值即可. 7. 判定一个数列是等比数列的方法：（1）定义法（为同一常数）；（2）等比中项法（）.8.解决等比数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比与首项来表示，列出方程进行求解. 9．数列求和常用方法有：（1）公式法：直接利用等差、等比数列的前项和公式求和(等比数列求和需考虑与)；（2）倒序相加法：若一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，这样的求和问题可用倒序相加法；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的求和问题可用错位相减法；（5）分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.学@科网10.与数列的关的不等式证明问题，需灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法等.11.明确数学归纳法证明命题的步骤(1)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，这一步是归纳奠基．(2)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，这一步是归纳递推．完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．【说明】数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．d 1a n 0(0)n n a a ≥≤n 12,nn a n a -≥2112,(0)n n n n n a a a a -+≥=⋅≠q 1a n 1q =1q ≠{}n a n一、单选题1.（湖南永州市·高三二模）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A ．小寒比大寒的晷长长一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．小雪的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长长【要点回扣】1.数学文化；2.等差数列及其求和.2.（湖南长郡中学高三月考（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8【要点回扣】等差数列通项公式、求和公式.3. （浙江省武义第三中学高三月考）十三世纪意大利数学家列昂那多.斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}n a 满足以下关系：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N --===+≥∈，记其前n 项和为n S ，若2020(a m m =为常数)，则2018S 的值为（） A ．2m -B ．1m -C ．mD ．1m +【要点回扣】数列的递推式、数列的性质.4.（浙江省宁海中学高三月考）已知数列{}()*3,n a n n N ≥∈为等差数列，则“12202022020a aa ++⋅⋅⋅+为有理数”是“数列{}n a 中存在有理数” （）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【要点回扣】充要条件、等差数列的前n 项和.5．（安徽安庆市·高三一模（文））已知等差数列{}n a 满足11a =，1010a =，则数列18n n n a a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为（） A ．118B ．115C ．344D ．114【要点回扣】1.等差数列的前n 项和、性质；2.基本不等式的应用.6．（全国高三开学考试（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1226a a =-=，21,,n n n a a a ++为等差数列，则2020S =（） A ．2020142+B ．2018142+C ．2020142-D ．2018142-【要点回扣】1.等比数列的求和；2. 等差数列的性质；3.对数的运算性质；4.将212n n n a a a ++=+化为21112n n n n a a a a +++-=--从而得11192n n n a a -+⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭是本题的解题的关键点. 7．（吉林东北师大附中高三月考（理））设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当()0,1x ∈时，()sin f x x π=.记当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为123,,,...,,...n a a a a 并记相应的极大值为123,,,...,,...n b b b b ，则()101kk k ab =+=∑（）A ．561B ．611C ．1073D ．2097【要点回扣】1.三角函数的图象和性质；2.极值点以及极值的定义；3.等差数列、等比数列的前n 项和公式 8．（河北高三期末（理））已知递增等差数列{}n a 中，122a a =-，则3a 的（） A ．最大值为4-B ．最小值为4C ．最小值为4-D ．最大值为4或4-【要点回扣】1.等差数列通项公式与单调性的应用；2.基本不等式的应用.9．（北京高三开学考试）等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知15a =-，31a =-.记(1,2,)==⋅⋅⋅nn nS b n a ，则数列{}n b 的（） A ．最小项为3bB ．最大项为3bC ．最小项为4bD ．最大项为4b【要点回扣】1.等差数列及其求和；2.导数的应用.10．（全国高三专题练习（理））已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足131,7a S ==．若2323()(2)n n n f x S x a x a x a x n =++++≥，()f x '为函数()f x 的导函数，则(1)(0)f f ''-=( )A ．(1)2nn -⋅B ．(2)2nn -⋅C ．2 n(n-1)D ．2 n(n+1)【要点回扣】1.导数的应用；2.等比数列及其求和. 二、填空题11．（南京市中华中学高三期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列，对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第20项为______．【要点回扣】1、等差数列的通项及其性质；2、数学文化.12．（江西南昌市·高三月考（文））无穷数列{}n a 满足：只要()*,p q a a p q N=∈，必有11p q aa ++=，则称{}n a 为“和谐递进数列”.若{}n a 为“和谐递进数列”，且11a =，22a =，41a =，686a a +=，则7a =_________；2021S =_________.【要点回扣】1、数列及其性质；2、数列新定义.13．（河南高三月考（文））已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，3S ，9S ，6S 成等差数列，则3q 的值为___________；设k a 是4a 与7a 的等差中项，则k 的值是___________.【要点回扣】1、等差数列、等比数列及其求和公式.14. （海南高三期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11122n n a a +=+，则n S =______；若12n n S na t ≤+恒成立，则实数t 的取值范围为______.【要点回扣】1、等比数列的通项、求和公式；2、数列的性质；3.递推数列.15．（福清西山学校高三期中）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列．则数列的()()*21n N n n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭前100项和是______，数列()()*12n n n +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭N 前n 项和是______ 【要点回扣】数学文化、数列新定义、数列的求和.16. （福建高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1,1,Nn n n S a S n a n ==∈，则数列{}na 的通项公式为___________.【要点回扣】1.数列的递推公式；2.数列的通项.17．（重庆市合川瑞山中学高三（理））已知函数()()2214,3441518,3tx x f x tx t x t x -⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-+-≥⎩，数列{}n a 的通项公式为()()*Nn a f n n =∈，若数列{}na 是单调递减数列，则实数t 的取值范围是_________.【要点回扣】1.数列的函数性质；2.分段函数单调性；3.指数函数的性质. 三、解答题18．（江苏盐城市·高三一模）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：22111112ni i i a a =+<+-∑. 【要点回扣】1. 等差数列的通项公式、前n 项和；2.等裂项相消法. 19．（河北衡水市·衡水中学高三期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，()*13nn n a a n N a +=∈+. （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足的()312nn n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nnn n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.【要点回扣】1.等比数列；2.错位相减法；3.放缩法.20．（天津滨海新区·高三月考）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，132a =，数列{}nb 是等比数列，且11b a =，23b a =-，34b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S . （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设,58,6n n nb nc a n ≤⎧=⎨≥⎩，求{}n c 的前n 项和n T ；（3）若1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值. 【要点回扣】1.等差数列；2.等比数列；3.函数单调性应用.21．（湖北武汉市·华中师大一附中高三期中）已知数列{}n a {}n b 的各项为正，且3118a b =，{}n b 是公比为13的等比数列.再从： ①数列{}n a 的前n 项和n S 满足242n n n S a a =+：②数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且12312a a a ++=，1a ，2a ，4a ，成等比数列．这两个条件中任选一个，解答下列问题. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令()cos n n n c a b n π=+，设{}n c 的前n 项和为n T 若()()1nn n T λ-⨯+>对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【要点回扣】1.等差数列；2.等比数列；3.函数单调性应用. 22．（浙江温州中学高三月考）已知等差数列{}n a 的首项11a =，数列{}2na 的前n 项和为nS，且12S +，22S +，32S +成等比数列．（1）求通项公式n a ；（2）求证：11n na n a ⎫+<⎪⎪⎭（*n N ∈）；【要点回扣】1.等差数列；2.等比数列；3.数学归纳法.。

专题06 数列与数学归纳法【解析版】

专题6.数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ． D ．【答案】D 【解析】对于A ，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，，A 正确；对于B ，由题意可知，，1212b S a a ==+， ∴，，，． ∴，．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得，B 正确；对于C ，，当时，，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，，．当时，，∴即24280b b b ->；当时，，∴即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是________．【答案】【解析】因为，所以．即．故答案为：.3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．【答案】（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【解析】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设，由于，所以，故1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ . 所以 .由于10,1d b >=，所以，所以. 即，.4．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q . 由，()5435a a a =-，可得d =1. 从而的通项公式为. 由，又q ≠0，可得，解得q =2，从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有，和 ① 由①得 ②由①②得，由于，从而得：. 因此，.所以，数列的前2n 项和为.5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足24320,8a a a +==．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）100480S =. 【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，所以，所以数列的通项公式为. （2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则1617314b b b ====，即有个；对应的区间分别为：，则3233635b b b ====，即有个；对应的区间分别为：，则64651006b b b ====，即有个.所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.一、单选题1．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（） A ．2016 B ．1528 C ．1504 D ．992【答案】C 【解析】因为，所以，，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为故选：C2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（） A ．8 B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】已知为等比数列，，且，满足，则S 3＝8．故选：A ．3．（2020·浙江高三期中）在数列中，，对任意的，，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】因为对任意的，都有，所以令，则112+=⋅=n n n a a a a ，因为，所以，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，解得n =5，故选：C4．（2020·浙江杭州市·高一期末）设公差为d 的等差数列的前n 项和，若4228S S =+，则（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】因为4228S S =+，所以，所以，即，解得，故选：B.5．（2019·浙江高二学业考试）已知数列是是正项等比数列，且，则的值不可能是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】数列是是正项等比数列，且，根据题意，数列是正项等比数列，设其公比为，则，则且，求得，故的值不可能是，故选．6．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等差数列的公差为正数，为常数，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】，, 令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得等差数列，，即()2111t t -=++，解得则公差，所以. 故选：A7．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知数列满足，()11i i a a i +=+∈N ，则的值不可能是（） A ．2 B ．4 C ．10 D ．14【答案】B 【解析】由得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以，又，所以21200211a a a =++=，则，因为()11i i a a i +=+∈N ，，则，所以，则或，所以或；则或，所以或；则或或，所以或或；则或或，所以或或；……，以此类推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以所有可能取的值为，，，，，，，，，，；则所有可能取的值为，，，，，，，，，，，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B.8．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。