定积分解析几何微分方程提高训练题
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()xf x e-=在R 上的一个原函数。
2． 已知222(sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。
3． 设2()f x dx xC =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。
4．计算3。
5。
计算。
6． 计算71(2)dx x x +⎰。
7。
计算。
8． 计算2113sin dx x +⎰。
9。
计算17221sin cos dx x x⎰。
10． 计算()22sin cos x dx x x x +⎰。
11． 计算()()2ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++⎰。
12． 设()arcsin xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x =⎰。
13． 设222(1)ln 2x f x x -=-，且(())ln f x x ϕ=，求()x dx ϕ⎰。
14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +⎰。
15．计算x。
16． 计算1sin 22sin dx x x +⎰。
17． 计算ln t tdt α⎰。
18． 计算()ln n x dx ⎰。
《高等数学》考研辅导练习5 定积分1．设02()2l kx x f x l c x l ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，求0()()x x f t dt Φ=⎰。
2． 设1()2()f x x f x dx =+⎰，则()f x = 。
3． 计算{}223min 2,x dx -⎰。
4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则22cos 1()xdx f x ππ-+⎰＝ 。
5． 计算101020sin cos 4sin cos x x dx x xπ---⎰，并求20sin cos sin cos m mn n x xdx a x x π---⎰，这里的a 为任意的常数，,m n 为正整数。
高等数学定积分提高习题
例1 求3321lim)n n n →∞+．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n∆=，然后把2111n n n =⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即3321lim)n n n →∞+=31lim )n n n n →∞+=34=⎰．例2 0⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=2π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则⎰=22tdt ππ-⎰=2tdt =2202cos tdt π⎰=2π 例3 比较12x e dx ⎰，212x e dx ⎰，12(1)x dx +⎰．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．解法2 在[1,2]上，有2xx e e ≤．由泰勒中值定理212!xe e x x ξ=++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．例4 估计定积分22xxe dx -⎰的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2()xxf x e -=, 因为 2()(21)xxf x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12x =, 而0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -≤≤∈,从而2122422xxee dx e --≤≤⎰,所以21024222x xe edx e ---≤≤-⎰.例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (ban g x →∞⎰．解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则()b ag x dx (b ag x ≤⎰()bag x dx ≤．由于1n n ==，故lim (b an g x →∞⎰=()bag x dx ⎰．例6求sin lim n pnn xdx x+→∞⎰, ,p n 为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．解法1 利用积分中值定理 设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξξ+=⋅⎰, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xξξξ+→∞→∞=⋅=⎰．解法2 利用积分不等式 因为sin sin 1lnn pn p n p nn n x x n pdx dx dx x x x n++++≤≤=⎰⎰⎰, 而limln0n n pn→∞+=,所以 sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰．例7 求10lim 1nn x dx x→∞+⎰．解法1 由积分中值定理()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰可知101n x dx x +⎰=111n x dx ξ+⎰，01ξ≤≤．又11lim lim01n n n x dx n →∞→∞==+⎰且11121ξ≤≤+， 故10lim 01n n x dx x→∞=+⎰． 解法2 因为01x ≤≤，故有01nn x x x≤≤+． 于是可得110001nn x dx x dx x ≤≤+⎰⎰．又由于110()1n x dx n n =→→∞+⎰． 因此10lim 1nn x dx x→∞+⎰=0． 例8 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3414()(0)f x dx f =⎰．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=．分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件()(0)f f ξ=即可． 证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得3413(0)4()4()(1)()4f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中3[,1][0,1]4ξ∈⊂．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使得()0f c '=．证毕．例9 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解 （1）()f x '=422x x xe e ---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x xf t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例11函数1()(3(0)x F x dt x =>⎰的单调递减开区间为_________．解()3F x '=()0F x '<3>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．例12 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解 由已知条件得2(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知(0)(0)1f g =''===．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-．例14 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x→-⋅-=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数a 与b，使等式201lim1sin x x x b x →=-⎰成立． 分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解2001lim sin x x x b x →-⎰=20x →=20lim 1cos x x x b x →→-2011cos x x b x →==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2011cos x x x →==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．例16 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x xg x x x→→⋅=+ 2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++．例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰．证法1 令()F x =()()2x xaaa x tf t dt f t dt +-⎰⎰，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--⎰=1()()22xa x a f x f t dt --⎰ ≥1()()22x a x a f x f x dt --⎰=()()22x a x af x f x ---0=． 故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而()F b =()()2bba aa b xf x dx f x dx +-⎰⎰0≥．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22baa b a bx f x f dx ++--⎰0≥． 即()()2baa b x f x dx +-⎰()()22b a a b a b x f dx ++≥-⎰=()()22b a a b a bf x dx ++-⎰=0．故()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰． 例18 计算21||x dx -⎰．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例19 计算220max{,}x x dx ⎰．分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩．解 23212221201011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰例20 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()ba f x dx ⎰是常数（,ab 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]x t t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．错误解答 （1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x ∈时，23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当[1,2]x ∈时，有()()xF x f t dt ==⎰0(52)xt dt -⎰=25x x -．故由上可知32, 01()5,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(5)4x x F x x x ++→→=-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．错解分析 上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因 为当[1,2]x ∈时，0()()xF x f t dt =⎰中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，101()()()()x xF x f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰才正确．例22 计算21-⎰．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 21-⎰=211--+⎰⎰2是偶函数，而是奇函数，有10-=⎰, 于是21-⎰=214⎰=04⎰=1044dx -⎰⎰由定积分的几何意义可知4π=⎰, 故2114444dx ππ-=-⋅=-⎰⎰．例23 计算3412e e⎰．分析 被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分．解3412e e ⎰=34e 3412e e⎰=⎰=3412e e =6π． 例24 计算4sin 1sin xdx xπ+⎰．解 40sin 1sin x dx x π+⎰=420sin (1sin )1sin x x dx xπ--⎰=244200sin tan cos xdx xdx x ππ-⎰⎰ =244200cos (sec 1)cos d xx dx xππ---⎰⎰=44001[][tan ]cos x x x ππ--=24π-+ 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25 计算20a⎰，其中0a >．解20a⎰=20a⎰，令sin x a a t -=，则2a⎰=3222(1sin )cosat tdt ππ-+⎰=32202cos 0atdt π+⎰=32a π．注 ，一般令sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算a⎰，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则a⎰2cos sin cos tdt t tπ=+⎰201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t t π++-=+⎰ 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tπ'+=++⎰[]201ln |sin cos |2t t t π=++=4π． 解法2 令sin x a t =，则a⎰=2cos sin cos tdt t tπ+⎰．又令2t u π=-，则有20cos sin cos t dt t tπ+⎰=20sin sin cos udu u u π+⎰．所以，a⎰=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t tt t ππ+++⎰⎰=2012dt π⎰=4π．注 如果先计算不定积分，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 0⎰． 分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解 设u =2ln(1)x u =+，221udx du u =+，则ln 0⎰=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰22222200442244u u du du u u +-=++⎰⎰2221284du du u =-=+⎰⎰4π-． 例28 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解 由于220()xtf x t dt -⎰=22201()2xf x t dt -⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰， 故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x⋅=2()xf x ． 错误解答220()x d tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx π⎰．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30sin x xdx π⎰30(cos )xd x π=-⎰330[(cos )](cos )x x x dx ππ=⋅---⎰30cos 6xdx ππ=-+⎰6π=-． 例30 计算120ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-．例31 计算20sin x e xdx π⎰．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解 由于20sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰， （1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰2200[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰， （2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例32 计算10arcsin x xdx ⎰．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21142π=-⎰． （1） 令sin x t =，则21⎰20sin t π=⎰220sin cos cos ttdt tπ=⋅⎰220sin tdt π=⎰ 201cos22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=． （2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π． 例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰0()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例34（97研） 设函数()f x 连续，1()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()limx f x A x→=（A 为常数）， 求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性．分析 求()x ϕ'不能直接求，因为10()f xt dt ⎰中含有()x ϕ的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ϕ'，最后用函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性．解 由0()limx f x A x→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0ϕ=．当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x=，则()()xf u du x xϕ=⎰，从而2()()()(0)xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰．又因为02()()(0)()limlimlim22xx x x f u du x f x A x x x ϕϕ→→→-===-⎰，即(0)ϕ'=2A．所以 ()x ϕ'=02()(),0,02x xf x f u du x x Ax ⎧-⎪≠⎪⎨⎪=⎪⎩⎰． 由于02200()()()()lim ()limlimlim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x ϕ→→→→-'==-⎰⎰=(0)2A ϕ'=．从而知()x ϕ'在0x =处连续．注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出2()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰，而没有利用定义去求(0)ϕ'，就得到结论(0)ϕ'不存在或(0)ϕ'无定义，从而得出()x ϕ'在0x =处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x ϕ→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ϕ→→'+-''==又由0()limx f x A x→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现的0lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．例35（00研） 设函数()f x 在[0,]π上连续，且()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰．试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =⎰，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，则有(0)0,()0F F π==．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx ππππ==+⎰⎰⎰()sin 0F x xdx π==⎰，由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得()sin F x xdx π⎰=()sin (0)F ξξπ⋅-．故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，使得12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．证法2 由已知条件0()0f x dx π=⎰及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f πξπ=-=⎰，1(0,)ξπ∈，则有1()0f ξ=．若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0()0f x dx π=⎰知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内异号，不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由()cos 0f x xdx π=⎰，0()0f x dx π=⎰，以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：100()(cos cos )f x x dx πξ=-⎰=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπξξξ-+-⎰⎰0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得12()()0.f f ξξ==例36 计算2043dxx x +∞++⎰．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32． 例37计算3+∞⎰．解3+∞⎰2233sec tan sec tan d ππθθθθθ+∞=⎰⎰23cos 1d ππθθ==-⎰． 例38计算42⎰．分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32⎰和43⎰均收敛时，原反常积分才是收敛的．解 由于32⎰32lim aa +→⎰=32lim aa +→⎰=32lim[arcsin(3)]a a x +→-=2π．43⎰=34lim bb -→⎰=34lim bb -→⎰=34lim[arcsin(3)]b b x -→-=2π． 所以42⎰22πππ=+=．例39计算0+∞⎰．分析 此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点． 解t ，则有+∞⎰＝50222(1)tdt t t +∞+⎰＝50222(1)dt t +∞+⎰，再令tan t θ=，于是可得5022(1)dt t +∞+⎰＝25022tan (tan 1)d πθθ+⎰＝2250sec sec d πθθθ⎰＝230sec d πθθ⎰ ＝32cos d πθθ⎰＝220(1sin )cos d πθθθ-⎰＝220(1sin )sin d πθθ-⎰＝3/21[sin sin ]3πθθ-＝23． 例40计算21⎰． 解 由于221112111()d x x x +-==⎰⎰⎰，可令1t x x=-，则当x =t =；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有21010211()()12()d x d x x x x x--=++-⎰⎰⎰022dt t +∞-∞=++⎰⎰21(arctan )22π=+ ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．分析 若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．解 选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为211(2)3A y y dy =-⎰=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．解 抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有图5－21S =2222(8)2y y dy ---⎰=24488cos 3d ππθθ--⎰=423π+，218S A π=-=463π-，于是12S S =423463ππ+-=3292ππ+-． 例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．分析 心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解 求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3(,)23π±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d πππθθθθ++⎰⎰=54π． 3πθ=3cos ρθ=3211-xoy121-2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-2x y =1y =3y x =o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-1cos ρθ=+例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-⎰=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c-++-+．由于dA dc =2164c c -+=24(4)c c--， 令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dAdc<，而当4c >时0dA dc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+． 例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解 如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为221y b a x =--．图5－5则体积元素为dV =2221()y y dx ππ-=224b a x dx π-．于是所求旋转体的体积为 V =224aab a x dx π--⎰=228ab a x dx π-⎰=284a b ππ⋅=222a b π．注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46（03研） 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6ln y x=ln y x=y xo12311y xe=(0,)b o()(0)x y b a b a +-=>>xy1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c计算，如图5－6所示．解 （1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-． 由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积10()12y eA e ey dy =-=-⎰． （2）切线1y x e =与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为2113V e π=，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰．因此，所求体积为212(5123)6V V V e e π=-=-+．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解 选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为得等边三角形的面积为图5－7()A x 2=． 于是所求体积为 V =2()A x dx ⎰=2⎰=例48（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米） 分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解 （1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以12211022x k k W kxdx x a ===⎰，2122222211()()22x x k k W kxdx x x x a ==-=-⎰．由21W rW =得22221x x ra -=，即 222(1)x r a =+，3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+⎰．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下3x =m ）．（2）问题是要求lim n n x →∞，为此先用归纳法证明：1n n x r +=++．假设1n n x r a -=++，则12211()2n nx n n n x k W kxdx x x +++==-⎰2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++．由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而1n n x r a+=++.于是1lim n n n x +→∞==． ()m ．例49 有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．解 建立如图5－8所示的坐标系，选取x 为积分变量．则过点(0,3)A ，(10,1)B 的直线方程为135y x =-+．于是闸门上对应小区间[,]x x dx +的窄条所承受的水压力为2dF xy gdxρ=．故闸门所受水压力为F =10012(3)5g x x dx ρ-+⎰=5003g ρ，其中ρ为水密度，g 为重力加速度．图5－8。
积分与定积分练习题及解析
积分与定积分练习题及解析1. 求定积分∫(2x+5)dx的值。
解析：根据定积分的定义，我们可以将被积函数展开进行计算：∫(2x+5)dx = ∫2xdx + ∫5dx对于∫2xdx，我们可以将2提取出来，得到：∫2xdx = 2∫xdx根据积分的基本公式，∫xdx = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：∫2xdx = 2((1/2)x^2 + C) = x^2 + 2C对于∫5dx，由于5是一个常数，我们可以将其视为∫5xdx，其中x为一个常数。
根据积分的基本公式，∫5xdx = 5x + C，其中C为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：∫5dx = 5x + C综上所述，原定积分∫(2x+5)dx的值为：x^2 + 2C + 5x + C = x^2 + 5x + 3C2. 求定积分∫(3x^2-2x+4)dx的值。
解析：根据定积分的定义，我们可以将被积函数展开进行计算：∫(3x^2-2x+4)dx = ∫3x^2dx - ∫2xdx + ∫4dx对于∫3x^2dx，根据积分的基本公式，∫x^2dx = (1/3)x^3 + C，其中C 为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：∫3x^2dx = 3((1/3)x^3 + C) = x^3 + 3C对于∫2xdx，根据积分的基本公式，∫xdx = (1/2)x^2 + C，其中C为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：∫2xdx = 2((1/2)x^2 + C) = x^2 + 2C对于∫4dx，由于4是一个常数，我们可以将其视为∫4xdx，其中x为一个常数。
根据积分的基本公式，∫4xdx = 4x + C，其中C为常数。
将上述结果代入原积分中，得到：∫4dx = 4x + C综上所述，原定积分∫(3x^2-2x+4)dx的值为：x^3 + 3C + x^2 + 2C + 4x + C = x^3 + x^2 + 4x + 6C在解题过程中，我们应用了积分的基本公式，将多项式拆分成各个单项式的积分，并根据常数的性质进行运算。
定积分应用与微分方程课外习题
定积分几何应用及微分方程课外习题一． 选择（1）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 （ ）（A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--= （C ）23.x y y y xe '''+-= （D ）23.x y y y e '''+-=（2）设()y y x =是二阶常系数微分方程3x y py qy e '''++=满足初始条件(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →时，函数2ln(1)()x y x +的极限是 ( ) （A.）不存在 （B ）等于1 (C) 等于2 (D)等于3.（3）若连续函数()f x 满足关系式220()()ln 2xt f x f dt =+⎰，则()f x 等于（ ）.(A) ln 2x e (B) 2ln 2x e(C) ln 2x e + (D) 2ln 2x e +. （4）已知ln x x y =是微分方程()y y x x y ϕ'=+的解，则()y x ϕ的表达式是( )(A) 22y x - (B) 22y x (C) 22x y - (D) 22x y .(5)设,m n 均是正整数，则反常积分的收敛性(A) 仅与m 的取值有关 (B) 仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值有关 (D) 与,m n 的取值无关.（6）设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 (A) 11,22λμ== (B) 11,22λμ=-=- (C) 21,33λμ== (D) 22,33λμ==.二． 填空（1） 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为（2）微分方程2y y x ''+=-的通解为 .（3）设12(cos sin )x y eC x C x =+（12,C C 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为： .（4）微分方程20yy y '''+=满足初始条件1002|1,|x x y y =='==的特解为 .（5）设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .三．计算题（1）求微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解.（2）求微分方程4dyy dx x y +=的通解.（3）求微分方程323cos x y y y ex '''--=+的通解.（4）求微分方程21y y '''=+的通解.(5)求微分方程y ''=00|1,|2x x y y =='==的特解.四．利用代换cos u x y =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，求出原方程的通解.五．设连续函数()f x 满足0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x .六．设D 是位于曲线2(1,0)x a y a x -=><<+∞下方，x 轴上方的无界区域，（1） 求区域D 绕x 轴旋转一周所得体积()V a .（2） 当a 为何值时，()V a 最小，并求此值.七．设非负函数()(0)y y x x =≥满足微分方程20xy y '''-+=。
定积分与微积分练习题及答案
定积分与微积分练习题及答案一、选择题：1如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353[答案] C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.2.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．πD.π2[答案] C[解析] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.3．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12C.π2－1D.2π[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区4．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则2⎰f(x)dx 等于 ( )A.34B.45C.56 D ．不存在解析：数形结合，2⎰f(x)dx=1⎰x2dx+21⎰(2-x)dx=321211(2)3021x x x +-=3115(422)326x +--+=.答案：C 5．如图，函数y ＝－x2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 B.43C. 3 D ．2解析：函数y ＝－x2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于2⎰(－x2＋2x ＋1－1)dx ＝2⎰(－x2＋2x)dx ＝43.答案：B6.(2010·烟台模拟)若y ＝x⎰(sint ＋costsint)dt ，则y 的最大值是 ( )A ．1B ．2C ．－72 D ．0解析：y ＝x⎰(sint ＋costsint)dt ＝x⎰(sint ＋12sin2t)dt＝(－cost －14cos2t)0x＝－cosx －14cos2x ＋54＝－cosx －14(2cos2x －1)＋54＝－12cos2x －cosx ＋32＝－12(cosx ＋1)2＋2≤2. 答案：B7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1[答案] A[解析] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.9．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1 －，π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )A.2＋π4B.12C ．1 D.32[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎛0 π2cosxdx ＝12＋sinx|π20＝32.二、填空题：1．已知函数y ＝x2与y ＝kx(k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为43，则k ＝________.解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，再由k⎰(kx －x2)dx ＝(kx22－x33)0k＝k36＝43求得k ＝2.答案：22．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x2向点A(2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y)， 则x⎰(kx －x2)dx ＝2x⎰(x2－kx)dx ，即(12kx2－13x3)0x ＝(13x3－12kx2)2x ，解得12kx2－13x3＝83－2k －(13x3－12kx2)，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．答案：(43，169)3．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：v ＝v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t ＜20，50－t ，20≤t ＜40，10，40≤t≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝60()d v t t⎰＝203d 2t t ⎰＋4020(50)d t t -⎰＋604010d t ⎰＝34t2200＋(50t －12t2)4020＋10t4020＝900米．答案：9004.已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.解析：⎠⎛-11 (3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)| 1-1＝4，所以2(3a2＋2a ＋1)＝4，即3a2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13.答案：－1或135．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且1⎰f(x)dx ＝5，1⎰xf(x)dx ＝176，那么21⎰f(x)xdx 的值是________．解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，由1⎰(ax ＋b)dx ＝5得(12ax2＋bx)10＝12a ＋b ＝5， ①由1⎰xf(x)dx ＝176得1⎰(ax2＋bx)dx ＝176，即 (13ax3＋12bx2) 10＝176，∴13a ＋12b ＝176，②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f(x)＝4x ＋3， 于是21⎰f(x)xdx ＝21⎰4x ＋3xdx ＝21⎰(4＋3x)dx ＝(4x ＋3lnx)21＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2. 答案：4＋3ln26．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.7．如果⎠⎛01f(x)dx ＝1，⎠⎛02f(x)dx ＝－1，则⎠⎛12f(x)dx ＝________.解析：∵⎠⎛02f(x)dx ＝⎠⎛01f(x)dx ＋⎠⎛12f(x)dx ， ∴⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛02f(x)dx －⎠⎛01f(x)dx ＝－1－1＝－2.答案：－2 8．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若⎠⎛01f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．[答案]33[解析] ⎠⎛01f(x)dx ＝⎠⎛01(ax2＋c)dx ＝(ax33＋cx)|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax20＋c ，即ax20＝a3，又a≠0，所以x20＝13，又0≤x0≤1，所以x0＝33.故填33.9．(2010·安徽合肥质检)抛物线y2＝ax(a>0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．[答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01axdx ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y2＝x 中，消去y 得， 4x2＋(4b －1)x ＋b2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0.10．设n ＝⎠⎛12(3x2－2)dx ，则(x －2x )n 展开式中含x2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x3－2x)′＝3x2－2，∴n ＝⎠⎛12(3x2－2)dx ＝(x3－2x)|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为Tr ＋1＝Cr 5x5－r(－2x)r ＝(－2)rCr 5x5－3r2 ，令5－3r2＝2，得r ＝2，∴x2项的系数是(－2)2C25＝40. 三、解答题： 1．计算以下定积分： (1) 21⎰(2x2－1x)dx ；(2)32⎰(x ＋1x)2dx ；(3)30π⎰(sinx －sin2x)dx ；(4)11-⎰|x|dx; (5)⎠⎛0πcos2x2dx ；解：(1)21⎰(2x2－1x )dx ＝(23x3－lnx)21 ＝163－ln 2－23＝143－ln 2.(2)32⎰(x ＋1x)2dx ＝32⎰(x ＋1x＋2)dx＝(12x2＋lnx ＋2x)32＝(92＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92. (3) 3π⎰(sinx －sin2x)dx ＝(－cosx ＋12cos2x)30π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14.(4)⎠⎛1－1|x|dx ＝2⎠⎛01xdx ＝2×12x2|10＝1.(5)⎠⎛0πcos2x 2dx ＝⎠⎛0π1＋cosx 2dx ＝12x|π0＋12sinx|π0＝π22．设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x －2. (1)求y ＝f(x)的表达式；(2)求y ＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b.又f′(x)＝2x －2， 所以a ＝1，b ＝－2，即f(x)＝x2－2x ＋c.又方程f(x)＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f(x)＝x2－2x ＋1. (2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x2－2x ＋1)dx ＝(13x3－x2＋x)|10＝13.3．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎠⎛01f(x)dx ＝－2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax ＋b.由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a b ＝0. ∴f(x)＝ax2＋(2－a)．又⎠⎛01f(x)dx ＝⎠⎛01 [ax2＋(2－a)]dx＝[13ax3＋(2－a)x]|10＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f(x)＝6x2－4. (2)∵f(x)＝6x2－4，x ∈[－1,1]，所以当x ＝0时，f(x)min ＝－4；当x ＝±1时，f(x)max ＝2. 4．设f(x)＝1⎰|x2－a2|dx.(1)当0≤a≤1与a ＞1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值． 解：(1)0≤a≤1时， f(a)＝1⎰|x2－a2|dx ＝a⎰(a2－x2)dx ＋1a⎰(x2－a2)dx＝(a2x －13x3)0a ＋(x33－a2x)1a ＝a3－13a3－0＋0＋13－a2－a33＋a3＝43a3－a2＋13. 当a ＞1时，f(a)＝1⎰(a2－x2)dx ＝(a2x －13x3)10＝a2－13.∴f(a)＝32241(0),331(>311).a a a a a ⎧-+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≤(2)当a ＞1时，由于a2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－13＝23.当a ∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a ＝2a(2a －1)，由f′(a)＞0知：a ＞12或a ＜0，故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增．因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f(12)＝14.综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为14.5．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)，即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.6．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．[解析] 由题意得S1＝t·t2－⎠⎛0t x2dx ＝23t3，S2＝⎠⎛t 1x2dx －t2(1－t)＝23t3－t2＋13，所以S ＝S1＋S2＝43t3－t2＋13(0≤t≤1)．又S′(t)＝4t2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12， 令S′(t)＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t<12时，S′(t)<0；当12<t≤1时，S′(t)>0.所以S(t)在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，Smin ＝14.。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
高考数学总复习课时提升练习2.12 定积分与微积分基本定理
分)若
f(x)=
2x
6cos
3tdt,
x
则 0，
f(2
014)=_________.
0
【解析】当 x>0 时，f(x)=f(x-4),
则 f(x+4)=f(x),
所以 f(2 014)=f(2)=f(-2),
又因为 6 cos
0
3tdt= (1 sin 3t) 3
6 0
1, 3
所以 f(2 014)=f(-2)=2-2+ 1 = 7 . 3 12
-3-
高考数学总复习课时提升练习
且方向和 x 轴正向相同，求变力 F(x)对质点 M 所做的功.
【解析】变力 F(x)=x2+1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为
W
110F
x
dx
10
1
x2 1
dx
(1 3
x3
x)
10 1
342 J .
(20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2015·抚州模拟)图中阴影部分的面积是( )
-4-
高考数学总复习课时提升练习
答案: 7 12
3.(5 分)(2015·南昌模拟)由曲线 y= x ，直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为________.
【解析】如图所示，联立
y y
x
2, x，
解得
x y
4, 2，
所以 M(4，2).
由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积
3.(2015·南昌模拟)已知函数
f(x)=
x2, 2 x 1, 0
x x
0, 2,
高三数学一轮复习定积分与微积分基本定理提分训练题(20200623094640)
解析
∵ |3 － 2x| ＝
3 － 2x＋ 3， x≤2，
3 2x－3， x＞2，
∴
2|3
－2x|d
x＝∫
3 21(3
－
2x)d
x＋
3 2 (2 x－ 3)d x 2
1
＝
x－ x2
|
31＋ ( x2－ 3x)|2
31 ＝.
2
22
1 答案 2 12．抛物线 y＝－ x2＋ 4x－ 3 及其在点 A(1,0) 和点 B(3,0) 处的切线所围成图形的面积为
答案 D
5．由曲线 y＝ x ，直线 y＝x－ 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
( )．
10 A.
3
B． 4
16 C.
3
D． 6
解析 由 y＝ x及 y＝ x－2 可得， x＝ 4，所以由 y＝ x及 y＝ x－ 2 及 y 轴所围成的封闭图
形面积为
4(
x－x＋ 2)d x＝
2
3 x
－
1 x
2＋
时的高度为 (
)．
160 A. m
3
80 B. m
3
40 C. m
3
20 D. m
3
解析 v＝ 40－ 10t 2＝ 0，t ＝2， 2(40 － 10t 2)d t ＝
0
40t
10 －t
3
3
20 ＝ 40× 2－
10 ×8＝
3
160 (m)
3
．
答案 A
4．一物体以 程是 ( ) A． 260 m C． 259 m
S 2＝∫
( 1－ k
0
x－
x2－
kx)d
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<cC ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712 [答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，137 [答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43C.185D ．6[答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪⎪x4402＝4. 5．(2010·省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0xt(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解读] F ′(x)＝x(x －4)，令F ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. [点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F ′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫36，＋∞B ．(0，e21) C ．(e －11，e) D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC ，曲线y ＝sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 [答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cos π－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<02cosx 0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )A.32B ．1 C ．4 D.12 [答案] C[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3dx ＝⎪⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.34 [答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c ≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 的概率是( )A.12B.14C.13D.25 [答案] C[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－ 3 C.323D.353 [答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323.3.⎠⎛024－x2dx ＝( )A ．4πB ．2πC ．π D.π2[答案] C[解读] 令y＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案] A[解读] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C ，D 错误；同样，在t1时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与t 轴和t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x ≤π4，0≤y ≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )A.π4B.12 C.π2－1 D.2π [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．－2[答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r ×Cr 6×26－r ×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， 即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛a b[(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)，其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1elnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1elnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx＋⎠⎛t 1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g ′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2. 15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
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1.4 定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考) 求曲线y＝ x2与y＝ x所围成图形的面积，其中正确的是()A． S＝1(x2 － x)dx0B． S＝1(x －x2)dxC． S＝1(y2 － y)dy D0． S＝1(y －y)dy[0,1][ 答案 ]B[ 分析 ]根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[ 解读 ]两函数图象的交点坐标是(0,0) ， (1,1) ，故积分上限是上， x≥ x2，故函数y＝x2 与 y＝x 所围成图形的面积S＝1(x1，下限是－x2)dx.0，由于在2．(2010 ·山东日照模考)a ＝2xdx，b＝2exdx ，c＝2sinxdx，则a、 b、c的大小关系是 ()A． a<c<bB． a<b<cC． c<b<aD． c<a<b[ 答案 ]D1[ 解读] a ＝2xdx ＝2x2|02 0＝ 2 ， b ＝2exdx ＝ex|02 0＝ e2－ 1>2， c＝2sinxdx＝－cosx|02 ＝ 1－ cos2 ∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010 ·山东理， 7) 由曲线 y＝ x2， y＝ x3 围成的封闭图形面积为() 1117A. 12B. 4C. 3D. 12[ 答案 ]Ay＝ x2[ 解读 ]由得交点为 (0,0)， (1,1) ．y＝ x3111∴ S＝1(x2 － x3)dx ＝3x3 －4x401＝12.[ 点评 ]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010 ·湖南师大附中 ) 设点 P 在曲线 y＝ x2 上从原点到A(2,4) 移动，如果把由直线OP，直线 y＝ x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2. 如图所示，当S1＝S2 时，点 P 的坐标是 ()A.416B.416 3，95，9C.415D.413 3，75，7[ 答案 ]At3 [ 解读 ]设 P(t ， t2)(0≤t ≤ 2) ，则直线 OP：y＝ tx ，∴ S1＝ t(tx－ x2)dx ＝6；S2＝8t344162(x2 － tx)dx＝3－ 2t ＋6，若 S1＝ S2，则 t ＝3，∴ P 3，9 .t4．由三条直线 x＝ 0、 x＝2、 y＝ 0 和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为 () 418A． 4 B.3C. 5 D．6[ 答案 ]Ax4[ 解读 ]S＝2x3dx ＝4 02＝ 4.5．(2010 ·湖南省考试院调研)1－1(sinx＋1)dx的值为()A． 0 B ． 2C． 2＋2cos1 D ． 2－ 2cos1[ 答案 ]B[ 解读 ]1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线 y＝ cosx(0 ≤ x≤2π) 与直线y＝ 1 所围成的图形面积是()A．2π B ．3π3πC. 2 D．π[ 答案 ]A[ 解读 ]如右图，S＝∫ 02π(1 － cosx)dx＝(x －sinx)|02 π＝ 2π.[ 点评 ]此题可利用余弦函数的对称性①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为π6 ，π ，则对称性就无能为力了．7．函数 F(x) ＝xt(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值32B．有最大值0 和最小值－332C．有最小值－ 3 ，无最大值D．既无最大值也无最小值[ 答案 ]B[ 解读 ] F′(x) ＝ x(x － 4) ，令 F′(x) ＝ 0，得 x1＝ 0， x2＝ 4，73225∵F( －1) ＝－3， F(0) ＝ 0， F(4) ＝－3， F(5) ＝－3 .32∴最大值为 0，最小值为－3 .[ 点评 ] 一般地， F(x) ＝ xφ(t)dt的导数 F′(x) ＝φ (x) ．18．已知等差数列 {an} 的前 n 项和 Sn＝ 2n2＋ n，函数 f(x) ＝x t dt ，若 f(x)<a3，则 x1的取值范围是 ()3A.6，＋∞ B． (0 ， e21)C． (e － 11， e) D ． (0 ，e11)[ 答案 ] D1[ 解读 ]f(x)＝x dt ＝ lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，t10<x<e11.9．(2010 ·福建厦门一中 ) 如图所示，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC内，曲线y＝sinx(0 ≤ x≤ π) 与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点( 该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的) ，则所投的点落在阴影部分的概率是()123πA. πB. πC. πD. 4[ 答案 ]A—[ 解读 ]由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝ πsinxdx ＝－ cosx|0 π＝－ (cos π－ cos0) ＝ 2 ，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S 2＝1 .＝πS 矩形 OABC 2πx ＋ 2 －2≤ x<010．(2010 ·吉林质检 ) 函数 f(x) ＝ π的图象与 x 轴所围成的图形2cosx 0≤ x ≤ 2面积 S 为 ()31A. 2B ． 1 C ． 4 D. 2 [ 答案 ] C[ 解读 ]面积 S ＝∫ π－ 2f(x)dx ＝－2(x ＋ 2)dx ＋∫π02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2 211．(2010 ·沈阳二十中 ) 设函数 f(x) ＝ x －[x] ，其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数， 如 [ －x1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝1， [1]＝1. 又函数 g(x) ＝－ 3， f(x) 在区间 (0,2) 上零点的个数记为 m ，f(x) 与 g(x) 的图象交点的个数记为n ，则 ng(x)dx 的值是 ()m54A ．－ 2B ．－ 357C ．－ 4D ．－ 6[ 答案 ]A[ 解读 ]由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0， f(x) ＝ x ，当 1≤ x<2 时， [x] ＝ 1，f(x)＝x － 1，所以当 x ∈ (0,2) 时，函数 f(x) 有一个零点， 由函数 f(x)与 g(x) 的图象可知两个函xx25数有 4 个交点，所以 m ＝ 1， n ＝ 4，则 ng(x)dx ＝4 － 3 dx ＝ － 614＝－ 2.m111．(2010 ·江苏盐城调研 ) 甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下： 甲从区间 [0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等 ) ，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )1 2 13A. 3B. 3C. 2D. 4[ 答案 ]A[ 解读 ] 方程 x2＋ 2bx ＋c ＝ 0 有实根的充要条件为＝ 4b2－ 4c ≥ 0，即 b2≥ c ，1b2db01由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝1×1＝3.12．(2010 ·吉林省调研 ) 已知正方形四个顶点分别为O(0,0) ，A(1,0) ，B(1,1) ，C(0,1) ，曲线 y＝ x2(x ≥ 0) 与 x 轴，直线 x＝1 构成区域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域 M内的概率是 ()11A. 2B. 412C. 3D.5[ 答案 ]C[ 解读 ]如图，正方形面积1，区域 M的面积为 S＝ 1x2dx111＝3x3|01 ＝3，故所求概率 p＝3.2．如图，阴影部分面积等于()A． 2 3B． 2－33235C. 3D. 3[ 答案 ]C[ 解读 ]图中阴影部分面积为132.S＝ 1(3 － x2－ 2x)dx ＝ (3x －3x3－ x2)|1－ 3＝ 3-33. 24－ x2dx ＝ ()A．4π B ．2ππC．π D.2[ 答案 ]C[ 解读 ]令 y＝4－ x2，则 x2＋y2＝ 4(y ≥0) ，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1∴ S＝4×π× 22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线( 假定为直线 ) 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙 ( 如图所示 ) ．那么对于图中给定的t0 和 t1 ，下列判断中一定正确的是 ()A．在 t1 时刻，甲车在乙车前面B．在 t1 时刻，甲车在乙车后面C．在 t0 时刻，两车的位置相同D． t0 时刻后，乙车在甲车前面[ 答案 ]A[ 解读 ]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0 ， t1 时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数 v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在 t0时刻， v 甲的图象与 t轴和 t ＝ 0，t ＝ t0围成区域的面积大于 v 乙的图象与 t 轴和 t ＝ 0， t ＝ t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D 错误；同样，在t1 时刻， v 甲的图象与 t 轴和t ＝ t1 围成区域的面积，仍然大于v 乙的图象与 t 轴和 t ＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在 t1 时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选 A.ππ5．(2012 ·山东日照模拟 ) 向平面区域Ω＝ {(x ，y)| －4≤ x≤4，0≤ y≤1} 内随机投掷一点，该点落在曲线y＝ cos2x 下方的概率是 ()π 1A. 4B. 2π2C. 2－ 1D. π[ 答案 ]D[ 解读 ]π平面区域Ω 是矩形区域，其面积是2，在这个区6．(sinx－ cosx)dx的值是 ()πA． 0 B. 4C． 2D．－ 2[ 答案 ]D[ 解读 ](sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)＝－2.7．(2010 ·惠州模拟 )2(2 － |1 － x|)dx ＝ ________.[ 答案 ]3[ 解读 ]1＋ x 0≤ x≤ 1∵ y＝，3－ x 1<x ≤ 2∴ 2(2 － |1 － x|)dx ＝1(1 ＋ x)dx ＋ 2(3 － x)dx0011133＝(x ＋2x2)|10＋ (3x －2x2)|21＝2＋2＝ 3.8．(2010·芜湖十二中 ) 已知函数 f(x) ＝3x2 ＋ 2x＋ 1，若1－1f(x)dx ＝2f(a) 成立，则a＝ ________.1[ 答案 ]－ 1 或3[ 解读 ]∵1－ 1f(x)dx ＝1－ 1(3x2 ＋ 2x ＋ 1)dx ＝ (x3 ＋ x2 ＋ x)|1 － 1 ＝ 4 ，1－1f(x)dx＝2f(a)，∴ 6a2＋4a＋2＝4，1∴ a＝－ 1 或3.π19．已知a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－x)6 的展开式中含x2项的系数是________．[ 答案 ]－192ππππ[ 解读 ]由已知得a＝∫2 0(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)| 2 0＝(sin2－cos2)－(sin0 － cos0) ＝ 2，1(2 x－ )6 的展开式中第 r ＋ 1 项是 Tr ＋ 1＝ ( －1)r ×C6r×26－r ×x3－r，令 3－ r ＝ 2 得，xr ＝ 1，故其系数为( －1)1 ×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y＝ x2 相交于 A、B 两点，线段 AB 与抛物线所围成图形的面积4恒等于3，求线段AB的中点 P 的轨迹方程．[ 解读 ]设直线与抛物线的两个交点分别为A(a， a2) ， B(b ， b2) ，不妨设a<b，b2－ a2则直线 AB 的方程为y－ a2＝b－a (x － a) ，即y＝(a ＋ b)x － ab.a＋ b 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S＝b[(a ＋b)x － ab－x2]dx ＝(2x2－abx －ax313 )|ba＝6(b －a)3 ，14∴6(b － a)3 ＝3，解得 b－ a＝ 2. 设线段 AB的中点坐标为 P(x ，y) ，a＋ b其中x＝2，将 b－a＝ 2 代入得x＝a＋ 1，y＝ a2＋ b2.y＝ a2＋ 2a＋ 2.2消去 a 得 y＝ x2＋ 1.∴线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为 y＝ x2＋ 1.能力拓展提升11.(2012 ·郑州二测 ) 等比数列 {an} 中，a3＝ 6，前三项和 S3＝34xdx ，则公比 q 的值为()1A． 1 B ．－211C． 1 或－2D．－ 1 或－2[ 答案 ]C66[ 解读 ]因为 S3＝34xdx ＝ 2x2|30＝ 18，所以q＋q2＋ 6＝ 18，化简得 2q2－ q－1＝ 0，1解得 q＝ 1 或 q＝－2，故选 C.12． (20 12·太原模拟 ) 已知 (xlnx) ′＝ lnx ＋1，则elnxdx＝ ()1A． 1 B ． e C ． e－ 1 D ． e＋ 1[ 答案 ]A[ 解读 ]由(xlnx)′＝ lnx ＋ 1，联想到 (xlnx－x) ′＝ (lnx＋ 1) －1＝ lnx ，于是 elnxdx1＝(xlnx － x)|e1＝ (elne－ e) －(1 ×ln1 －1) ＝ 1.13．抛物线 y2＝ 2x与直线 y＝ 4－ x 围成的平面图形的面积为 ________．[ 答案 ]18[ 解读 ]y2＝ 2x，A(2,2) 、B(8 ，－4) ，选 y 作为积分变量 x 由方程组解得两交点y＝ 4－ x，y2＝2、 x＝ 4－y，2 [(4 － y) －y2y2y3∴ S＝2 ]dy ＝ (4y －2－6 )|2－ 4＝ 18.-414.已知函数 f(x)＝ ex－ 1，直线 l1 ： x＝ 1， l2 ： y＝et － 1(t 为常数，且 0≤ t ≤ 1) ．直线l1 ， l2 与函数 f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2 表示．直线 l2 ，y 轴与函数 f(x) 的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1 表示．当 t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[ 答案 ]( e－ 1)2[ 解读 ]由题意得S1＋ S2＝ t(et － 1－ ex ＋ 1)dx ＋1(ex － 1－ et ＋ 1)dx ＝ t(et－0t0ex)dx ＋ 1(ex － et)dx ＝ (xet － ex)|t 0 ＋ (ex － xet)|1 t ＝ (2t－ 3)et＋ e＋ 1，令 g(t) ＝ (2t－t3)et ＋ e＋ 1(0 ≤ t ≤ 1) ，则 g′(t) ＝ 2et ＋ (2t －3)et ＝ (2t－ 1)et，令 g′(t) ＝ 0，得 t ＝1 2，11∴当 t ∈ [0 ，2) 时， g ′(t)<0 ， g(t) 是减函数，当 t ∈ ( 2，1] 时， g ′(t)>0 ， g(t)是增函数，1 1因此 g(t) 的最小值为g( 2) ＝ e ＋ 1－ 2e 2＝ ( e － 1)2. 故阴影部分的面积的最小值为( e －1)2.15．求下列定积分．(1)－ 1|x|dx 。
高中数学定积分和微积分练习题突破
A 组 基础对点练1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D.12(e －1) 解析：⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.答案：C2．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A ．e ＋2 B ．e ＋1 C ．eD ．e －1解析：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪1＝(1＋e )－(0＋e 0)＝e ，因此选C. 答案：C3.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为 2⎠⎛01(－x 2＋1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫－x 33＋x ⎪⎪⎪10＝43.答案：B4．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －x 312⎪⎪⎪20＝83.答案：C5．(2018·保定模拟)从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g解析：由题意知电视塔高为：⎠⎛12gt d t ＝12gt 2|21＝2g －12g ＝32g .答案：C6．(2018·长沙模拟)若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m 2＝0，得m ＝－23. 答案：B7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：令v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，则t ＝4(舍去负值)．汽车刹车的距离是⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )⎪⎪⎪40＝4＋25ln 5. 答案：C8．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3D ．2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43. 答案：B9．(2018·厦门模拟)定积分|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：|x 2－2x |d x ＝(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫x 2－x 33|20＝8. 答案：D10．(2018·衡阳模拟)如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323D.83解析：由题意得，阴影部分的面积S ＝(3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－x 2＋3x | 1－3＝323. 答案：C11．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23D.43解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2()1×1－⎠⎛01x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1×1－13x 3⎪⎪⎪10＝43，选D.答案：D12．(2018·山东名校联考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6解析：如图，阴影部分面积即为所求，求得曲线y ＝x 与直线y ＝x －2的交点为A (4,2)，∴所求阴影部分面积 S 阴＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x＝⎪⎪⎪4＝163.答案：C13.⎠⎛03(x 2＋1)d x ＝________.解析：⎠⎛03(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪30＝13×33＋3＝12. 答案：1214．若⎠⎛0Tx 2d x ＝9，则常数T 的值为________． 解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.答案：315．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形如图所示． 面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 答案：1616．汽车以72 km /h 的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为__________ m.解析：先求从刹车到停车所用的时间t ， 当t ＝0时，v 0＝72 km /h ＝20 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0－at ＝20－4t . 令v (t )＝0，可得t ＝5 s ，所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为： ⎠⎛05(20－4t )d t ＝(20t －2t 2)|50＝50(m)． 即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m. 答案：50B 组 能力提升练1．(2018·东北师大附中模拟)定积分⎠⎛12x 2＋1x d x 的值为( ) A.32＋ln 2 B.34 C ．3＋ln 2 D.12解析：⎠⎛121＋x 2x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x ＋x d x ＝⎠⎛121x d x ＋⎠⎛12x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ 21＋12x 2⎪⎪⎪21＝ln 2－ln 1＋12×22－12×12＝32＋ln 2.故选A.答案：A2．设k 是一个正整数，(1＋x k )k 的展开式中第四项的系数为116，记函数y ＝x 2与y ＝kx的图象所围成的阴影部分的面积为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点(x ，y )恰好落在阴影区域内的概率为( )A.1796 B.532 C.16D.748解析：由题意得C 3k 1k 3＝116，解得k ＝4.阴影部分的面积S ＝⎠⎛04(4x －x 2)d x ＝(2x 2－13x 3)| 40＝323，点(x ，y )所围成的区域面积为S ′＝4×16＝64，所以所求概率P ＝S S ′＝16，故选C. 答案：C3. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.1567解析：阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝⎪⎪⎪10＝16，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝16，故选C.答案：C4．(2018·咸阳模拟)曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析：由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1或x ＝2，如图所示，故所求图形的面积S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x －2ln x |42＝4－2ln 2.答案：D5．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 ，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，则力F (x )所做的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：力F (x )所做的功为⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝20＋26＝46(J)．答案：B6．(2018·贵州七校联考)设实数a ，b 均为区间[0,1]内的随机数，则关于x 的不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率为( )A.12B.1633解析：当b ＝0时，不等式要有实数解必有a ≠0，此时点(a ，b )构成的图形为直线；当b ≠0时，不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解，则需满足a 2－b ＞0，即a 2＞b ，满足此条件时对应的图形的面积为⎠⎛01a 2da ＝13a 3| 10＝13，而在区间[0,1]内产生的两个随机数a ，b 对应的图形面积为1，所以不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率P ＝131＝13，故选C.答案：C7．(2018·湖南四校联考)已知S 1＝⎠⎛12x d x ，S 2＝⎠⎛12e x d x ，S 3＝⎠⎛12x 2d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 1<S 3<S 2C ．S 3<S 2<S 1D ．S 2<S 3<S 1解析：∵S 1＝⎠⎛12x d x ＝x 22|21＝2－12＝32， S 2＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e (e －1)，S 3＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝83－13＝73， ∴S 1<S 3<S 2，故选B. 答案：B8．(2018·江西二校联考)等比数列{a n }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3⎠⎛03x 2d x ，则公比q的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：∵⎠⎛03x 2d x ＝13x 3|30＝9，∴S 3＝3×9＝27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝9，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝27， 解得q ＝1或q ＝－12.答案：C9．如图，曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 和直线x ＝0，x ＝π2所围成的阴影部分平面区域的面积为( )A ．(sin x －cos x )d xB ．2(sin x －cos x )d xC ．(cos x －sin x )d xD ．2(cos x －sin x )d x解析：曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 的交点为⎝⎛⎭⎫π4，22，由图象的对称性可知阴影部分面积为(cos x －sin x )d x ，所以本题的正确选项为D.答案：D10．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >1，e x ＋⎠⎛121t d t ，x ≤1，则f (2 016)＝( ) A ．0 B ．ln 2 C ．1＋e 2D ．1＋ln 2解析：当x >1时，f (x )＝f (x －4)，∴f (x )在(－3，＋∞)上是周期为4的周期函数，f (2 016)＝f (504×4＋0)＝f (0)＝e 0＋⎠⎛121td t ＝e 0＋ln t |21＝1＋ln 2，故选D.答案：D11．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛02f (x )d x ＝2f (x 0)，x 0>0，则x 0＝( )A.33 B.233 C.32D ．3解析：∵函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，⎠⎛02f (x )d x ＝2f (x 0)，∴⎠⎛02(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋bx |20＝83a ＋2b ,2f (x 0)＝2ax 20＋2b ，∴83a ＝2ax 20， ∴x 0＝233，故选B.答案：B12.⎠⎛02(x －1)d x ＝________.解析：⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x ⎪⎪⎪20＝12×22－2＝0.答案：013．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率答案：2314．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________．解析：把阴影部分分成两部分求面积．S ＝S 1＋S 2＝(2－x 2)d x ＋⎠⎛01(2－x 2－x )d x＝⎝⎛⎭⎫2x －x 33⎪⎪⎪－2＋⎝⎛⎭⎫2x －x 33－x 22⎪⎪⎪1＝22－(2)33＋2－13－12＝423＋76.答案：423＋7615．(2018·泉州模拟)⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x dx ＝__________. 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14。
定积分解析几何微分方程提高训练题
积分，解析几何，微分方程练习题一、填空题:x 2J.设f (x)连续，且f f (t)dt =x ，则f ⑺= _____________，01设 f(x)是连续函数，且 f(x) =x +2 J 0f(t)dt ，贝y f(x) =x1函数F(X)= L (2 -丁)dt(x A0)的单调减少区间为 ________V td 02——f 2x cost dt =_ dx 'Xdx J : sin(x -t)dt =dx = 'exln 2x仙 E-xS —(9) (10) < -4y (11) 设y =ex(C 1Sinx +C 2COSx)(C 1,C 2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该方程为 ________________ .X = —t + 2过点M (1,2, —1)且与直线<y =3t —4垂直的平面方程是Z =t -1于L 2的平面方程是设一平面经过原点及点 (6, -3,2)，且与平面 4x -y + 2z = 8垂直，则此平面方程(8) 由曲线y =In X 与两直线y =e +1 -x 及y = 0所围成的平面图形的面积是y 2y' + 2y =e x 的通解为 =e 2x 的通解为 ______________微分方程 (12) 微分方程 yy" + y'2=0满足初始条件y xd=1，y 〕x 出专的特解是 (13) 微分方程 y ‘ +y tanx =cosx 的通解为 y = (14) 微分方程(15) (16)已知两条直线的方程是L -TFXT 心十“子'则过L 1且平行(17)X =1一 X +1 V 中2与两直线<y = T +t 及 ----- 一 -----I z = 2 +t都平行且过原点的平面方程为1(18) 设(a 咒b ) C =2，则［(a +b )x(b+ C )(” C + a )=(19)X为 ________ . 二、选择题:(1) (A)(B) (C) 设f(x)是连续函数， 当f (x)是奇函数时， 当f(x)是偶函数时， 当f(x)是周期函数时，(D) 当f(x)是单调增函数时, S3 (A) (C)(A) (C) ⑷(A)(C)(A)设f(x)为已知连续函数,F(x)是f(X)的原函数，则【】F (x)必是偶函数；F(x)必是奇函数； F(x)必是周期函数； F(x)必是单调增函数.X=t 『f(tx)dx ,其中t ：＞0,s 》0，贝y I 的值【】 (B)依赖于S 、t 和X ; (D)依赖于s ，不依赖于t o依赖于s 和t ； 依赖于t、X ,不依赖于s ; sinx 2 3 4 设 f(x) = L sin tdt,g(x)=x +x ，则当 X T 0 时，f(x)是 g(x)的【】等价无穷小； (B)同阶但非等价无穷小 高阶无穷小；(D)低阶无穷小.双纽线(x 2+y 2)2=x 2-y 2所围成的区域面积可用定积分表示为 【】n2； 02COS 2 日d 日；nJ 02Jcos2 日d & ;若连续函数f (x)满足关系式f(X)=n(B) f2cos2Td 日;1匸2(D) - f 2(cos2日)d 0 .2 *■ 02xtf f (-)d^ln2，则f (X)等于【】• 02 (C) e X +1 n2 ； e xln2 ； (B) e 2xln2 ； si nx COS 4xdx,N = f 2n (sin 3x + cos x)dx, P = J 2n(x 2sin 3x -cos 4x)dx"2 "2n设M 飞1仪2(A) N <P cM ;(B)(7)设f(X)有连续的导数,(x)与x '"是同阶无穷小，则 (A) 1；(B) (D) e 2x+ln2. n M <P <N ; (C) N cM <P ; (D) P <M <N .f (0) =0，厂(0) H0 , F(x) = J ：(x 2-t 2)f(t)dt ，且当 X T 0时,k 等于2；(D) 4.b(8) 设在区间[a,b]上 f(X)>0,f'(X)c0,f "(X)A0,令S^ J f (x )dx , S2=f(b)(b-a),a= 2[f(a)+ f(b)](b-a)则(A) S 1 ■<$2 VS 3 ；(B )(C ) S 3 <S 1 <S 2 ；(D )(9) 设 F(X)= J'esintsintdt ，则 F (x)(C) 3;(A )为正常数；(B )为负常数;(C ) S 2 V S j V S 3 ； S 2 <S 3 cS j .恒为零;(D )不为常数.(10) 设 f (x)连续，则J ：tf(X 2—t 2)dt =【】 dx2 2xf(x ) ； (B ) -xf(x )；2 (C ) 2xf (x );2(D) -2xf(x ).(11) 点X 0处【】 (A)取得极大值；(B)取得极小值； (C)某邻域内单调增加；(D)某邻域内单调减少。
定积分及微积分基本定理练习题及答案
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.（2011 •宁夏银川一中月考）求曲线y = x2与y = x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A. S = 1(x2 — x)dxB . S = 1(x — x2)dxC. S = 1(y2 — y)dy D -S = 1(y — 'y)dy0 0［答案］B［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.［解读］两函数图象的交点坐标是（0,0） , （1,1），故积分上限是1，下限是0,由于在［0,1］上，x >x2，故函数y = x2与y = x 所围成图形的面积 S = 1（x — x2）dx. 02xdx , b = 2exdx , c = 2sinxdx ，贝U a 、b 、c 的大小关 0 0 0 玄阜 系是A. a<c<bB . a<b<c C. c<b<aD. c<a<b ［答案］D1［解读］ a = 2xdx = rx2|02 = 2 , b = 2exdx = ex|02 = e2 — 1>2, c = 2sinxdx =—0 0 0 cosx|02 = 1 — cos2 € (1,2),c<a<b.3. (2010 •山东理，7)由曲线y = x2, y = x3围成的封闭图形面积为( )［答案］Ay = x2［解读］由得交点为(0,0) , (1,1)y = x3（2010 •湖南师大附中）设点P 在曲线y = x2上从原点到A （2,4）移动，如果把由直线OR2. （2010 •山东日照模考）a = 1117A讲.产于壬S = 1(x2 — x3)dx =1 1 1 3x3 —4x4 01 =［点评］图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函 数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题:直线y = x2及直线x = 2所围成的面积分别记作 S1, S2.如图所示，当S1 = S2时，点P 的坐标是()4 164 16A. 3， 9B. 5， 94 154 13 C. 3， 7 D. 5， 7 ［答案］A4. 由三条直线x = 0、x = 2、y = 0和曲线y = x3所围成的图形的面积为( )4 18A. 4B.C. wD. 63 5 ［答案］Ax4［解读］ S = 2x3dx =— 02= 4.0 5.(2010 •湖南省考试院调研)1 — 1(sinx + 1)dx 的值为()A. 0 B . 2C. 2 + 2cos1 D . 2— 2cos1 ［答案］B［解读］ 1 — 1(sinx + 1)dx = ( — cosx + x)| — 11 = ( — cos1 + 1) — ( — cos( — 1) — 1)= 2.6.曲线y = cosx(0 wx < 2n )与直线y = 1所围成的图形面积是()A. 2 n B . 3 n7t［答案］A ［解读］如右图， S =/ 02 n (1 — cosx)dx=(x — sinx)|02 n= 2 n.［点评］ 此题可利用余弦函数的对称性［解读］ 设 P(t ,⑵(0 < t < 2)，则直线 OP y = tx ,••• S1 =t(tx 0t3—x2)dx =~6; S2 =8t3 卄 , 2(x2 — tx)dx t =3― 2t + 百，若 S1= S2,则 t4 16 …P 3， 9①②③④ 面积相等解决，但若把积分区间改为4 3，n—,n ，则对称性就无能为力了.7. 函数F(x) = xt(t —4)dt 在［—1,5］上( )A. 有最大值0,无最小值32B. 有最大值0和最小值-㊁c.有最小值- 3，无最大值D.既无最大值也无最小值［答案］B［解读］F' (x) = x(x —4)，令F' (x) = 0，得x1 = 0, x2 = 4,•- F( —1) =—3, F(0) = 0, F(4) = —32, F(5)=—学的取值范围是()C. (e —11, e) D . (0 , e11)［答案］D［解读］1f(x) = x-dt = Int|1x = Inx , a3 = S3—S2= 21 —10= 11,由Inx<11 得, 1t0<x<e11.9. (2010 •福建厦门一中)如图所示，在一个长为n,宽为2的矩形OABC内，曲线y =sinx(0 w x< n )与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OAB(内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()1 2 3 nA. B.—C. —D.二n n n 4［答案］A•••最大值为0,最小值为—32［点评］一般地，F(x) x $ (t)dt 的导数F' (x) (x).&已知等差数列{an}的前n项和Sn= 2n2 + n,函数f(x) *dt，若f(x)<a3 ，则xA. -pmB. (0 , e21)［解读］由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积•由题意得S = nsinxdx = — cosx|0 n=— (cos n — cosO) = 2，再根据几何概型的算法易知所求概率 P =S 2 1S 矩形 OAB CT 27=V .x + 2— 2 w x<010.(2010 •吉林质检)函数f(x) = n 的图象与x 轴所围成的图形2cosx 0w x w —面积S 为( )3 1 A. gB . 1 C .4 D. q ［答案］Cnn［解读］ 面积 S =/ — — 2f(x)dx =0 — 2(x + 2)dx + / —02cosxdx = 2 + 2= 4.11. (2010 •沈阳二十中)设函数f(x) = x — ［x ］，其中［x ］表示不超过x 的最大整数，女口［—x1.2］ =— 2, ［1.2］ = 1, ［1］ = 1.又函数g(x) = — 3, f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m,f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ,贝U ng(x)dx 的值是()m5 4 A.—尹.—3C — 5D . — 74 6［答案］ A［解读］ 由题意可得，当 0<x<1 时，[x] = 0, f(x) = x ，当 1w x<2 时，[x] = 1, f(x)=x — 1,所以当x € (0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函11. (2010 •江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛， 比赛规则如下：甲从区间［0,1］ 上随机等可能地抽取一个实数记为b ,乙从区间［0,1］上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2 + 2bx + c = 0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在 一场比赛中甲获胜的概率为( )1213［答案］A数有4个交点，所以 m = 1, n = 4，贝U ng(x)dx =mx —3 dx =x2 6 14= — 52.［解读］方程x2+ 2bx + c= 0有实根的充要条件为△ = 4b2 —40 0,即卩b2> c,1b2db 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p = 0X1 =!12. (2010 •吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为0(0,0) , A(1,0) , B(1,1), 曲线y= x2(x > 0)与x轴，直线x = 1构成区域M现将一个质点随机地投入正方形中，点落在区域M内的概率是()A.2B.4C.3D.5［答案］C［解读］如图，正方形面积1，区域M的面积为S= 1x2dx2•如图，阴影部分面积等于()A. 2 '3B. 2 —：3［答案］C［解读］图中阴影部分面积为1 32S= 1 (3 —x2 —2x)dx = (3x —3x3 —x2)|1 —3=石.-3 3 33. 2 ;4 —x2dx =( )A. 4 n B . 2 nnC.nD. 2 C(0,1),则质= 3x3|01 = g,故所求概率p= 332 35C.yD.y［答案］C［解读］令y= .'4 —x2,则x2 + y2 = 4（y >0）,由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1S=〒XnX 22=n.4—% •；0!2 xft电Jf XS*J F*4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶•甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）•那么对于图中给定的tO和t1，下列判断中一定正确的是（）A. 在t1时刻，甲车在乙车前面B. 在t1时刻，甲车在乙车后面C. 在tO时刻，两车的位置相同D. tO时刻后，乙车在甲车前面［答案］A［解读］判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在to, t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题. 根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t = 0, t = t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t = 0, t = t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C, D错误；同样，在域中曲线COS2T下方区域的面积長J* cos2xd.T ［答案］t1时刻，v甲的图象与t轴和t = t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t = t1 围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面•所以选 A.5. (2012 •山东日照模拟)向平面区域Q= {(x,y)l 7t—才w x w —, 0 w y w 1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y= cos2x下方的概率是(D.［答案］平面区域Q 是矩形区域n 其面积是—,在这个区2,1 o4COS2^.T1T—2( 1.故所求的概率是丄7T6.A. 0 Ji 7T(sinx —cosx)dx 的值是(C. 2D.—2［解读］(si nx —cosx)dx = ( —cosx —sinx) =—2.7. (2010 •惠州模拟) 2(2 —|1 —x|)dx =••• 2(2 — |1 — x|)dx = 1(1 + x)dx +2(3 — x)dx0 0 1 1 1 3 3=(x + 2X2)|1O + (3x —严)|21 = + 2= 3.& (2010 •芜湖十二中)已知函数 f(x) = 3x2 + 2x + 1,若 1 — 1f(x)dx = 2f(a)成立，则［答案］—1则直线AB 的方程为y — a2=学—乎(x — a), 即 y = (a + b)x — ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为 S =a + bb[(a + b)x — ab — x2]dx = (—^ x2 — abx — a［答案］3［解读］3-x 1<xa =［解读］1 — 1f(x)dx1 — 1(3x2 + 2x + 1)dx = (x3 + x2 + x)|1 — 1 =4 ,1 —1f(x)dx = 2f(a),• 6a2 + 4a + 2= 4,• • a =— 1 1或3.9.已知 n —1a =/ y0(sinx + cosx)dx ，则二项式 (a x —)6 的展开式中含x2项的系数［答案］ —192［解读］ ,「.n n n n由已知得 a =/ —0(sinx + cosx)dx = ( — cosx + sinx)| —0= (sin — — cos-^) —(si n0 — cosO) = 2,(2 .x -的展开式中第 r + 1 项是 Tr + 1= ( — 1)r x (C x 26— r x x3 —，令 3— r = 2 得,r = 1，故其系数为(—1)1 XCX 25=—192.10. 有一条直线与抛物线 y = x2相交于A B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积 恒等于4,求线段AB 的中点P 的轨迹方程.［解读］设直线与抛物线的两个交点分别为A(a , a2), B(b , b2)，不妨设 a<b ,1 4 ••• 6(b - a)3 = 3，解得b - a = 2.设线段AB 的中点坐标为P(x , y),a + b消去a 得y = x2 + 1.•线段AB 的中点P 的轨迹方程为y = x2 + 1. 能力拓展提升11. (2012 •郑州二测)等比数列｛an ｝中,a3= 6,前三项和S3= 34xdx ,则公比q 的值为0 ( )1A. 1 B •-、1 、 1c. 1 或—•— 1 或—2 ［答案］C6 6［解读］ 因为 S3= 34xdx = 2x2|30= 18,所以-+ 迈 + 6= 18,化简得 2q2- q - 1 = 0, 1解得q = 1或q =— 2，故选C. 12.(2012 •太原模拟)已知(xlnx) ' = lnx + 1，贝U elnxdx =()1A. 1 B . e C . e — 1 D . e + 1 ［答案］A［解读］ 由(xlnx) ' = lnx + 1,联想到(xlnx — x) '= (lnx + 1) — 1 = lnx ，于是 elnxdx1=(xlnx — x)|e1 = (elne — e) — (1 x ln1 —1) = 1.13. _________________________________________________________ 抛物线y2= 2x 与直线y = 4— x 围成的平面图形的面积为 ___________________________________ .［答案］18y2= 2x ，［解读］由方程组解得两交点A(2,2)、B(8，— 4)，选y 作为积分变量xy = 4 — x ，x = 4 — y ，其中x =a2 + b2 2将b - a = 2代入得x =a + 1, y = a2+ 2a + 2.已知函数f(x) = ex — 1，直线11 : x = 1, 12 : y = et — 1(t 为常数，且 O w t < 1).直线11 ,12与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域H 所示，其面积用 S2表示•直线12 ,y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域I 所示， 其面积用S1表示.当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为 _________ .［答案］(,e — 1)2［解读］ 由题意得 S1 + S2= t(et — 1 — ex + 1)dx + 1(ex — 1 — et + 1)dx = t(et — 0 t0 ex)dx + 1(ex — et)dx = (xet — ex)|t 0 + (ex — xet)|1 t = (2t — 3)et + e + 1,令 g(t) = (2t — t13)et + e + 1(0 w t w 1)，则 g ' (t) = 2et + (2t — 3)et = (2t — 1)et ，令 g ' (t) = 0,得 t = ?,s = 2 [(4 -414.=(4y - y2罟)|2— 4= 18.—y)—(t)<0 , g(t)是减函数，当 t € (2, 1]时，g ' (t)>0 , g(t)是增函数,1 1g （2）= e + 1 — 2e^ = （ ：e — 1）2.故阴影部分的面积的最小值为（，:e[解读]f ' (x) =— 3x2+ 2ax + b , v f ' (0) = 0 b = 0, ••• f(x) =— x3 + ax2，令 f(x) = 0，得 x = 0 或 x = a(a<0).••• S 阴影= 0[0 — ( — x3 + ax2)]dxa1 1 1 1 =(4x4 — §ax3)|0a = ^a4=匸, -a<0,. • a = — 1.1. （2011 •龙岩质检）已知函数f （x ） = sin5x + 1,根据函数的性质、积分的性质和积分1 ••当 t € [0 , 2)时，g '因此g （t ）的最小值为 1)2.15.求下列定积分. (1)1 — 1|x|dx 。
2024年领军高考数学二轮复习专题15定积分与微积分基本定理考点必练理
考点15 定积分与微积分基本定理1．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A．1 B.4 3C. 3 D．2【答案】B2．定积分 ( )A．5 B．6C．7 D．8【答案】D【解析】3．如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323D.83【答案】C【解析】由题意得，阴影部分的面积＝4．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于( ) A ．1 B.13 C.23 D.43【答案】D5．曲线y ＝2x与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2【答案】D【解析】由曲线y ＝2x与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1或x ＝2，如图所示，故所求图形的面积S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎪⎫x －1－2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x －2ln x |42＝4－2ln 2.6．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 ，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2，(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，则力F (x )所做的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J【答案】B【解析】力F (x )所做的功为＝20＋26＝46(J)．7．设实数a ，b 均为区间[0,1]内的随机数，则关于x 的不等式bx 2＋ax ＋14＜0有实数解的概率为( )A.12B.16C.13D.23【答案】C8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －4，x >1，e x ＋⎠⎛121t d t ，x ≤1，则f (2 016)＝( )A ．0B ．ln 2C ．1＋e 2D ．1＋ln 2【答案】D【解析】当x >1时，f (x )＝f (x －4)，∴f (x )在(－3，＋∞)上是周期为4的周期函数，f (2 016)＝f (504×4＋0)＝f (0)＝e 0＋⎠⎛121td t ＝e 0＋ln t |21＝1＋ln 2，故选D.9．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛02f (x )d x ＝2f (x 0)，x 0>0，则x 0＝( )A.33B.233C.32 D ．3【答案】B【解析】∵函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，⎠⎛02f (x )d x ＝2f (x 0)，∴⎠⎛02(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx |20＝83a ＋2b,2f (x 0)＝2ax 20＋2b ，∴83a ＝2ax 20，∴x 0＝233，故选B. 10．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b【答案】D11．已知分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2，x≤0，e －x，x >0，则⎠⎛13f (x －2)d x ＝( )A ．3＋ 1 eB ．2－e C.73－ 1 e D ．2－ 1 e【答案】C【解析】⎠⎛13f (x －2)d x ＝⎠⎛12f (x －2)d x ＋⎠⎛23f (x －2)d x ＝⎠⎛12(x 2－4x ＋5)d x ＋⎠⎛23e－x ＋2d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋5x | 21＋(－e－x ＋2)|32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×23－2×22＋5×2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13×13－2×12＋5×1＋[(－e －3＋2)－(－e －2＋2)]＝73－1e ，故选C.12.⎠⎛03(x 2＋1)d x ＝ .【答案】12【解析】⎠⎛03(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪3＝13×33＋3＝12. 13．若⎠⎛0Tx 2d x ＝9，则常数T 的值为 ．【答案】3【解析】∵⎠⎛0Tx 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3. 14．定积分⎠⎛01x －13d x 的值为________．【答案】32【解析】⎠⎛01x －13d x ＝32x23| 1＝32－0＝32. 15．⎠⎛1－1(|x |＋s in x )d x ＝________.【答案】1【解析】⎠⎛1－1(|x |＋s in x )d x ＝⎠⎛1－1|x |d x ＋⎠⎛1－1s in x d x .依据定积分的几何意义可知，函数y ＝|x |在[－1,1]上的图象与x 轴，直线x ＝－1，x ＝1围成的平面区域的面积为1.y ＝s in x 为奇函数，则⎠⎛1－1s inx d x ＝0，所以⎠⎛1－1(|x |＋s in x )d x ＝1.16．汽车以72 km/h 的速度行驶，由于遇到紧急状况而刹车，汽车以等减速度a ＝4 m/s 2刹车，则汽车从起先刹车到停止走的距离为 m. 【答案】5017．由曲线y ＝2－x 2，直线y ＝x 及x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是 ．【答案】423＋76【解析】把阴影部分分成两部分求面积．18．⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝ . 【答案】π＋14【解析】⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14. 19．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．【答案】e －12【解析】由题意知所求面积为∫0－1(x ＋1)d x ＋∫10e x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x |0－1＋e x |10＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(e －1)＝e －12.20．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积． 【答案】431f(x)d x＝－2. 21．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎠⎛(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．【答案】f(x)＝6x2－4；f(x)m ax＝2.【解析】(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝ax 2＋2－a .又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a )d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13a x 3＋2－a x | 10＝2－23a ＝－2. ∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]．∴当x ＝0时，f (x )m in ＝－4；当x ＝±1时，f (x )m ax ＝2.22.在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值．【答案】14.。
高等数学定积分提高习题
例1 求33322321lim(2)n n n n n →∞+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n∆=，然后把2111n n n =⋅的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim(2)n n n n n →∞+++=333112lim ()n n n n nn →∞+++=13034xdx =⎰．例2 2202x x dx -⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -⎰=2π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t ππ-≤≤），则222x x dx -⎰=2221sin cos t tdt ππ--⎰=2221sin cos t tdt π-⎰=2202cos tdt π⎰=2π 例3 比较12x e dx ⎰，212x e dx ⎰，12(1)x dx +⎰．分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰，从而有2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．解法2 在[1,2]上，有2xx e e ≤．由泰勒中值定理212!xe e x x ξ=++得1x e x >+．注意到1221()()f x dx f x dx =-⎰⎰．因此2111222(1)x x x dx e dx e dx +>>⎰⎰⎰．例4 估计定积分22xxe dx -⎰的值．分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2()xxf x e -=, 因为 2()(21)xxf x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12x =, 而0(0)1f e ==, 2(2)f e =, 141()2f e -=,故124(),[0,2]ef x e x -≤≤∈,从而21224022xxee dx e --≤≤⎰,所以21024222x xe edx e ---≤≤-⎰.例5 设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim ()()bn an g x f x dx →∞⎰．解 由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又()0g x ≥，则()b nam g x dx ⎰()()b n ag x f x dx ≤⎰()bn aM g x dx ≤⎰．由于lim lim 1n n n n m M →∞→∞==，故lim ()()b n an g x f x dx →∞⎰=()bag x dx ⎰．例6求sin lim n pnn xdx x+→∞⎰, ,p n 为自然数． 分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．解法1 利用积分中值定理 设 sin ()xf x x=, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξξ+=⋅⎰, [,]n n p ξ∈+,当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故sin sin lim lim 0n pnn x dx p xξξξ+→∞→∞=⋅=⎰．解法2 利用积分不等式 因为sin sin 1ln n pn p n p nn n x x n pdx dx dx x x x n++++≤≤=⎰⎰⎰,而limln0n n pn→∞+=,所以 sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰．例7 求10lim 1nn x dx x→∞+⎰．解法1 由积分中值定理()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰可知101nx dx x +⎰=111n x dx ξ+⎰，01ξ≤≤．又11lim lim01n n n x dx n →∞→∞==+⎰且11121ξ≤≤+， 故10lim 01n n x dx x→∞=+⎰． 解法2 因为01x ≤≤，故有01nn x x x≤≤+． 于是可得110001nn x dx x dx x ≤≤+⎰⎰．又由于110()1n x dx n n =→→∞+⎰． 因此10lim 1nn x dx x→∞+⎰=0． 例8 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3414()(0)f x dx f =⎰．证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=．分析 由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件()(0)f f ξ=即可． 证明 由题设()f x 在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得3413(0)4()4()(1)()4f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中3[,1][0,1]4ξ∈⊂．于是由罗尔定理，存在(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使得()0f c '=．证毕．例9 （1）若22()x t xf x e dt -=⎰，则()f x '=___；（2）若0()()xf x xf t dt =⎰，求()f x '=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-⎰．解 （1）()f x '=422x x xe e ---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =⎰，则可得()f x '=0()()xf t dt xf x +⎰．例10 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=⎰两边关于x 求导得32(1)31f x x -⋅=，故321(1)3f x x -=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =． 例11 函数11()(3)(0)x F x dt x t=->⎰的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x '=-，令()0F x '<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求． 例12 求0()(1)arctan xf x t tdt =-⎰的极值点．解 由题意先求驻点．于是()f x '=(1)arctan x x -．令()f x '=0，得1x =，0x =．列表如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．例13 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中2arcsin 0()x t g x e dt -=⎰，[1,1]x ∈-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n→∞．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ''=．解 由已知条件得20(0)(0)0t f g e dt -===⎰，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=''===-．故所求切线方程为y x =．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n→∞→∞-'=⋅==-． x(,0)-∞ 0 (0,1)1(1,)+∞()f x '- 0＋－例14 求 22000sin lim(sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt→-⎰⎰=2202(sin )lim (1)(sin )x x x x x x →-⋅⋅-=220()(2)lim sin x x x x →-⋅-=304(2)lim 1cos x x x →-⋅-=2012(2)lim sin x x x→-⋅=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．例15 试求正数a 与b ，使等式2201lim1sin x x t dt x b x a t→=-+⎰成立． 分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t→-+⎰=220lim 1cos x x a x b x →+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x →→⋅-+201lim 11cos x x b x a→==-， 由此可知必有0lim(1cos )0x b x →-=，得1b =．又由2012lim 11cos x x x a a→==-， 得4a =．即4a =，1b =为所求．例16 设sin 20()sin x f x t dt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）．A ．等价无穷小．B ．同阶但非等价的无穷小．C ．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x xg x x x →→⋅=+2200cos sin(sin )lim lim34x x x x x x →→=⋅+ 22011lim 33x x x →==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到sin 223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+⎰，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f x g x x x x→→→-+-+===++．例17 证明：若函数()f x 在区间[,]a b 上连续且单调增加，则有()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰． 证法1 令()F x =()()2x xaaa x tf t dt f t dt +-⎰⎰，当[,]t a x ∈时，()()f t f x ≤，则 ()F x '=1()()()22x a a x xf x f t dt f x +--⎰=1()()22xa x a f x f t dt --⎰ ≥1()()22x a x a f x f x dt --⎰=()()22x a x af x f x ---0=． 故()F x 单调增加．即 ()()F x F a ≥，又()0F a =，所以()0F x ≥，其中[,]x a b ∈． 从而()F b =()()2bba aa b xf x dx f x dx +-⎰⎰0≥．证毕． 证法2 由于()f x 单调增加，有()[()()]22a b a bx f x f ++--0≥，从而 ()[()()]22baa b a bx f x f dx ++--⎰0≥． 即()()2baa b x f x dx +-⎰()()22b a a b a b x f dx ++≥-⎰=()()22b a a b a bf x dx ++-⎰=0．故()baxf x dx ⎰()2baa b f x dx +≥⎰． 例18 计算21||x dx -⎰．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界.例19 计算220max{,}x x dx ⎰．分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩． 解 23212221201011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰例20 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()ba f x dx ⎰是常数（,ab 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ⎰是常数，记1()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=， 从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．分析 由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论． 解 （1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =． 因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连续．错误解答 （1）求()F x 的表达式, 当[0,1)x ∈时，23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当[1,2]x ∈时，有0()()xF x f t dt ==⎰0(52)xt dt -⎰=25x x -．故由上可知32, 01()5,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(5)4x x F x x x ++→→=-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处不连续, 从而()F x 在[0,2]上不连续．错解分析 上述解法虽然注意到了()f x 是分段函数，但（1）中的解法是错误的，因 为当[1,2]x ∈时，0()()xF x f t dt =⎰中的积分变量t 的取值范围是[0,2]，()f t 是分段函数，101()()()()x xF x f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰才正确．例22 计算2112211x x dx x-++-⎰．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解 2112211x x dx x-++-⎰=211112221111x x dx dx x x--++-+-⎰⎰．由于22211x x+-是偶函数，而211x x+-是奇函数，有112011xdx x-=+-⎰, 于是2112211x xdx x -++-⎰=2102411x dx x +-⎰=22120(11)4x x dx x--⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知12014x dx π-=⎰, 故211122444411x x dx dx xππ-+=-⋅=-+-⎰⎰．例23 计算3412ln (1ln )e edx x x x -⎰．分析 被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分． 解3412ln (1ln )e e dx x x x -⎰=34(ln )ln (1ln )e ed x x x -⎰=34122(ln )ln 1(ln )e ed x x x -⎰=341222(ln )1(ln )e ed x x -⎰=3412[2arcsin(ln )]e e x =6π． 例24 计算40sin 1sin xdx xπ+⎰．解40s i n 1s i n x dx x π+⎰=420sin (1sin )1sin x x dx xπ--⎰=244200sin tan cos x dx xdx x ππ-⎰⎰ =244200cos (sec 1)cos d xx dx xππ---⎰⎰ =44001[][tan ]cos x x x ππ--=224π-+． 注 此题为三角有理式积分的类型，也可用万能代换公式来求解，请读者不妨一试．例25 计算2202ax ax x dx -⎰，其中0a >．解2202ax ax x dx -⎰=2220()ax a x a dx --⎰，令sin x a a t -=，则2202ax ax x dx -⎰=3222(1sin )cosat tdt ππ-+⎰=32202cos 0atdt π+⎰=32a π．注 若定积分中的被积函数含有22a x -，一般令sin x a t =或cos x a t =． 例26 计算022adxx a x+-⎰，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则22adx x a x +-⎰2cos sin cos tdt t tπ=+⎰201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t tπ++-=+⎰ 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tπ'+=++⎰ []201ln |sin cos |2t t t π=++=4π．解法2 令sin x a t =，则22adx x a x +-⎰=2cos sin cos tdt t tπ+⎰．又令2t u π=-，则有20cos sin cos t dt t tπ+⎰=20sin sin cos udu u u π+⎰．所以，22adxx a x +-⎰=22001sin cos []2sin cos sin cos t t dt dt t tt t ππ+++⎰⎰=2012dt π⎰=4π． 注 如果先计算不定积分22dx x a x +-⎰，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 513x x xe e dx e -+⎰． 分析 被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式． 解 设1x u e =-，2ln(1)x u =+，221udx du u =+，则ln 513x x x e e dx e -+⎰=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰22222200442244u u du du u u +-=++⎰⎰2221284du du u =-=+⎰⎰4π-． 例28 计算220()xd tf x t dt dx -⎰，其中()f x 连续． 分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．解 由于220()xtf x t dt -⎰=22201()2xf x t dt -⎰． 故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以220()x tf x t dt -⎰=201()()2x f u du -⎰=201()2x f u du ⎰， 故220()x d tf x t dt dx -⎰=201[()]2x d f u du dx ⎰=21()22f x x ⋅=2()xf x ． 错误解答220()xd tf x t dt dx -⎰22()(0)xf x x xf =-=． 错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．例29 计算30sin x xdx π⎰．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解30s i n x x d x π⎰30(c o s )x d x π=-⎰33[(c o s )](c o s)x x x d x ππ=⋅---⎰ 30cos 6xdx ππ=-+⎰326π=-． 例30 计算12ln(1)(3)x dx x +-⎰． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x +-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰11ln 2ln324=-．例31 计算20sin x e xdx π⎰．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解 由于20sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰220[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰， （1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰2200[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰， （2）将（2）式代入（1）式可得2sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例32 计算10arcsin x xdx ⎰．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰ 21021421x dx x π=--⎰． （1） 令sin x t =，则2121x dx x-⎰2202sin sin 1sin t d t tπ=-⎰220sin cos cos ttdt tπ=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos 22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=． （2） 将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π． 例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且0[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰0()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-． 例34（97研） 设函数()f x 连续，1()()x f xt dt ϕ=⎰，且0()limx f x A x→=（A 为常数）， 求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性．分析 求()x ϕ'不能直接求，因为10()f xt dt ⎰中含有()x ϕ的自变量x ，需要通过换元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出()x ϕ'，最后用函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性．解 由0()limx f x A x→=知0lim ()0x f x →=，而()f x 连续，所以(0)0f =，(0)0ϕ=．当0x ≠时，令u xt =，0t =，0u =；1t =，u x =．1dt du x=，则()()xf u du x xϕ=⎰，从而2()()()(0)xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰．又因为02()()(0)()limlimlim22xx x x f u du x f x A x x x ϕϕ→→→-===-⎰，即(0)ϕ'=2A．所以 ()x ϕ'=02()(),0,02x xf x f u du x x Ax ⎧-⎪≠⎪⎨⎪=⎪⎩⎰． 由于02200()()()()lim ()limlimlim xxx x x x xf x f u duf u du f x x xx x ϕ→→→→-'==-⎰⎰=(0)2A ϕ'=．从而知()x ϕ'在0x =处连续．注 这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：（1）直接求出2()()()xxf x f u dux xϕ-'=⎰，而没有利用定义去求(0)ϕ'，就得到结论(0)ϕ'不存在或(0)ϕ'无定义，从而得出()x ϕ'在0x =处不连续的结论．（2）在求0lim ()x x ϕ→'时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从而导致()()()1lim ()lim ().22x x xf x f x f x x f x x ϕ→→'+-''==又由0()limx f x A x→=用洛必达法则得到0lim ()x f x →'=A ，出现该错误的原因是由于使用洛必达法则需要有条件：()f x 在0x =的邻域内可导．但题设中仅有()f x 连续的条件，因此上面出现的0lim ()x f x →'是否存在是不能确定的．例35（00研） 设函数()f x 在[0,]π上连续，且()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰．试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．分析 本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =⎰，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，则有(0)0,()0F F π==．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx ππππ==+⎰⎰⎰()sin 0F x xdx π==⎰，由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得()sin F x xdx π⎰=()sin (0)F ξξπ⋅-．故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，使得12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．证法2 由已知条件0()0f x dx π=⎰及积分中值定理知必有10()()(0)0f x dx f πξπ=-=⎰，1(0,)ξπ∈，则有1()0f ξ=．若在(0,)π内，()0f x =仅有一个根1x ξ=，由0()0f x dx π=⎰知()f x 在1(0,)ξ与1(,)ξπ内异号，不妨设在1(0,)ξ内()0f x >，在1(,)ξπ内()0f x <，由()cos 0f x xdx π=⎰，0()0f x dx π=⎰，以及cos x 在[0,]π内单调减，可知：100()(cos cos )f x x dx πξ=-⎰=11110()(cos cos )()(cos cos )f x x dx f x x dx ξπξξξ-+-⎰⎰0>．由此得出矛盾．故()0f x =至少还有另一个实根2ξ，12ξξ≠且2(0,)ξπ∈使得12()()0.f f ξξ==例36 计算2043dxx x +∞++⎰．分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32． 例37 计算322(1)2dx x x x+∞--⎰．解 322(1)2dx x x x+∞--⎰223223sec tan 1sec sec tan (1)(1)1dxx d x x ππθθθθθθ+∞=-=---⎰⎰233cos 12d ππθθ==-⎰． 例38 计算42(2)(4)dx x x --⎰．分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32(2)(4)dxx x --⎰和43(2)(4)dx x x --⎰均收敛时，原反常积分才是收敛的．解 由于32(2)(4)dx x x --⎰=32lim (2)(4)aa dx x x +→--⎰=322(3)lim 1(3)aa d x x +→---⎰=32lim[arcsin(3)]a a x +→-=2π．43(2)(4)dx x x --⎰=34lim (2)(4)bb dx x x -→--⎰=324(3)lim 1(3)bb d x x -→---⎰=34lim[arcsin(3)]b b x -→-=2π． 所以42(2)(4)dx x x --⎰22πππ=+=．例39 计算05(1)dx x x +∞+⎰．分析 此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点． 解 令x t =，则有5(1)dx x x +∞+⎰＝50222(1)tdt t t +∞+⎰＝50222(1)dt t +∞+⎰，再令tan t θ=，于是可得5022(1)dt t +∞+⎰＝25022tan (tan 1)d πθθ+⎰＝2250sec sec d πθθθ⎰＝230sec d πθθ⎰ ＝32cos d πθθ⎰＝220(1sin )cos d πθθθ-⎰＝220(1sin )sin d πθθ-⎰＝3/21[sin sin ]3πθθ-＝23． 例40 计算214211x dx x -++⎰． 解 由于221114222222111()11112()d x xx x dx dx x x x x x ---+-+==+++-⎰⎰⎰，可令1t x x=-，则当2x =-时，22t =-；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有210142202211()()11112()2()d x d x x x x dx x x x x x----+=+++-+-⎰⎰⎰02222()22d t dt t t +∞--∞=+++⎰⎰21(arctan )22π=+ ． 注 有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．分析 若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．解 选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为211(2)3A y y dy =-⎰=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．解 抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有图5－21S =2222(8)2y y dy ---⎰=24488cos 3d ππθθ--⎰=423π+，218S A π=-=463π-，于是12S S =423463ππ+-=3292ππ+-．例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．分析 心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解 求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3(,)23π±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为图5－3A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d πππθθθθ++⎰⎰=54π． 3πθ=3cos ρθ=3211-xoy121-2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-2x y =1y =3y x=o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-1cos ρθ=+例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析 要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解 设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-⎰=44(1)4ln 46ln 62ln 2c c-++-+．由于dA dc =2164c c-+=24(4)c c --， 令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dAdc<，而当4c >时0dA dc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+． 例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解 如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为221y b a x =--．图5－5则体积元素为dV =2221()y y dx ππ-=224b a x dx π-．于是所求旋转体的体积为V =224aaba x dx π--⎰=228ab a x dx π-⎰=284a b ππ⋅=222a b π．注 可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46（03研） 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；（2）求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V ． 分析 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A ，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行图5－6ln y x=ln y x=y xo12311y xe=(0,)b o222()(0)x y b a b a +-=>>xy1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c计算，如图5－6所示．解 （1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-． 由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积10()12y eA e ey dy =-=-⎰． （2）切线1y x e =与x 轴及直线x e =围成的三角形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为2113V e π=，曲线ln y x =与x 轴及直线x e =围成的图形绕直线x e =旋转所得的旋转体积为1222011()(2)22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰．因此，所求体积为212(5123)6V V V e e π=-=-+．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解 选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x 轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为22x ，得等边三角形的面积为图5－7()A x =23(22)4x =23x ． 于是所求体积为 V =2()A x dx ⎰=223xdx ⎰=43．例48（03研） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k ，0k >），汽锤第一次击打进地下a （m ），根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r （01r <<）．问：（1）汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？（2）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米） 分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求．解 （1）设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为n W （1n =，2，）．由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以xyzo22y x=2x =12211022x k k W kxdx x a ===⎰，2122222211()()22x x k k W kxdx x x x a ==-=-⎰．由21W rW =得22221x x ra -=，即 222(1)x r a =+，3222223323()[(1)]22x x k kW kxdx x x x r a ==-=-+⎰．由2321W rW r W == 得22223(1)x r a r a -+=，即 2223(1)x r r a =++．从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下231x a r r =++（m ）．（2）问题是要求lim n n x →∞，为此先用归纳法证明：11n n x a r r +=+++．假设11n n x r r a -=+++，则12211()2n nx n n n x k W kxdx x x +++==-⎰2121[(1...)]2n n kx r r a -+=-+++．由2111...n n n n W rW r W r W +-====，得21221(1...)n n n x r r a r a -+-+++=．从而11n n x r r a +=+++.于是111lim lim 11n n n n r a x a r r++→∞→∞-==--．若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下()1a m r-．例49 有一等腰梯形水闸．上底为6米，下底为2米，高为10米．试求当水面与上底相接时闸门所受的水压力．解 建立如图5－8所示的坐标系，选取x 为积分变量．则过点(0,3)A ，(10,1)B 的直线方程为135y x =-+．于是闸门上对应小区间[,]x x dx +的窄条所承受的水压力为2dF xy gdxρ=．故闸门所受水压力为F =10012(3)5g x x dx ρ-+⎰=5003g ρ，其中ρ为水密度，g 为重力加速度．图5－8o xyx dx+x(0,3)A (10,1)B。
高中数学 课后提升训练十二 1.7.1 定积分在几何中的应用 2-2
课后提升训练十二定积分在几何中的应用（45分钟70分）一、选择题(每小题5分,共40分)1。
由y=，x轴及x=1，x=2围成的图形的面积为( ）A.ln2 B。
lg2 C. D.1【解析】选A.S=dx=ln 2-ln 1=ln 2.2。
(2017·泉州高二检测）如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数y=(x>0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为( ）A.ln2 B。
1-ln2C。
2—ln2 D。
1+ln2【解析】选D。
由题意,阴影部分E由两部分组成，因为函数y=（x〉0），当y=2时，x=,所以阴影部分E的面积为×2+dx=1+lnx=1+ln2.3.由y=-x2与直线y=2x—3围成的图形的面积是（）A。
B。
C。
D。
9【解析】选B。
由得交点A(—3,—9）,B（1,—1)，所以y=-x2与直线y=2x—3围成的图形的面积S=(—x2)dx—(2x—3）dx=-x3—（x2—3x）=.4。
如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是( )A。
2 B。
C。
D.【解析】选D。
由题意，建立如图所示的坐标系,则D（2,1）,设抛物线方程为y2=2px，代入D，可得p=,所以y=,所以S=2dx=·=。
5.由曲线y=,直线y=-x+2及x轴所围成的图形的面积为( ）A。
B。
4 C. D.6【解析】选C。
由得交点（1,1）所以所围成图形的面积S=dx+×1×1=+=.6。
（2017·钦州高二检测)由直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的封闭图形的面积为（) A.1 B。
3 C.6 D。
9【解析】选D。
由得或所以直线y=2x及曲线y=4-2x2围成的封闭图形的面积S=（4—2x2—2x)dx==9。
7。
如图曲线y=sinx，y=cosx和直线x=0,x=所围成的阴影部分平面区域的面积为（)A。
积分与定积分的应用于曲面练习题及解析
积分与定积分的应用于曲面练习题及解析在微积分中，积分和定积分是重要的概念，它们在曲面和体积的计算中发挥着重要作用。
下面我们通过一些练习题来探讨积分和定积分在曲面计算中的应用。
练习题1：计算曲面z = xy在区域D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2的面积。
解析：根据给定的曲面方程z = xy，我们可以使用定积分来计算该曲面在区域D上的面积。
面积S = ∬D dS = ∫∫D √(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2) dA其中√(1 + (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2)表示曲面元素的间距，dA表示区域D上的面积元素。
首先，计算∂z/∂x和∂z/∂y：∂z/∂x = y，∂z/∂y = x然后，计算面积元素dA：dA = dxdy将∂z/∂x、∂z/∂y和dA的值代入面积公式，得到：S = ∫∫D √(1 + y^2 + x^2) dxdy对于给定的区域D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2，我们可以进行双重积分计算：S = ∫[0,2] ∫[0,1] √(1 + y^2 + x^2) dxdy解答略。
练习题2：计算曲面z = x^2 + y^2在区域D: x^2 + y^2 ≤ 1的体积。
解析：要计算曲面z = x^2 + y^2在给定的区域D上的体积，我们可以使用定积分。
体积V = ∭D dV = ∬D zdA其中dV表示体积元素，zdA表示曲面元素。
面积元素dA的计算与前面的题目相同。
将曲面z = x^2 + y^2代入体积公式，得到：V = ∬D (x^2 + y^2) dxdy对于给定的区域D: x^2 + y^2 ≤ 1，我们进行极坐标变换：x = r cosθ，y = r sinθ计算雅可比行列式，得到dxdy = r dr dθ。
将极坐标变换和dxdy的值代入体积公式，得到：V = ∫[0,2π] ∫[0,1] (r^3 cos^2θ + r^3 sin^2θ) r dr dθ解答略。
积分与定积分的应用练习题及解析
积分与定积分的应用练习题及解析题目1：已知函数f(x)在区间[0, 2]上连续，且其导函数f'(x)满足f'(x) = 2 -x^2。
求定积分∫[0, 2] f(x)dx。
解析1：根据题意，我们需要先求出函数f(x)，再进行定积分。
首先，根据f'(x) = 2 - x^2，我们可以得到f(x)的原函数F(x)。
对f'(x)进行积分，可以得到∫(2 - x^2)dx = 2x - (1/3)x^3 + C，其中C为常数。
由此可得F(x) = 2x - (1/3)x^3 + C。
根据积分的性质，∫[0, 2] f(x)dx = F(2) - F(0)。
代入F(x)的表达式，得到∫[0, 2] f(x)dx = (2*2 - (1/3)*2^3 + C) - (2*0 - (1/3)*0^3 + C) = 8/3。
所以，定积分∫[0, 2] f(x)dx = 8/3。
题目2：已知函数f(x)在区间[-1, 1]上连续，且其导函数f'(x) = √(1 - x^2)。
求定积分∫[-1, 1] f(x)dx。
解析2：根据题意，我们需要先求出函数f(x)，再进行定积分。
由f'(x) = √(1 - x^2)，我们可以知道f(x)的原函数F(x)。
对√(1 - x^2)进行积分，可以得到∫√(1 - x^2)dx = (1/2)(x√(1 - x^2) + arcsin(x)) + C，其中C为常数。
所以F(x) = (1/2)(x√(1 - x^2) + arcsin(x)) + C。
根据积分的性质，∫[-1, 1] f(x)dx = F(1) - F(-1)。
代入F(x)的表达式，得到∫[-1, 1] f(x)dx = [(1/2)(1√(1 - 1^2) + arcsin(1)) + C] - [(1/2)(-1√(1 - (-1)^2) + arcsin(-1)) + C] = π/2。
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积分，解析几何，微分方程练习题一、填空题： (1) 设()f x 连续，且2 1()x f t dt x -=⎰，则(7)f = 。
(2) 设()f x 是连续函数，且 1()2()f x x f t dt =+⎰，则()f x = .(3)函数 1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为 . (4)22 cos xd x t dt dx =⎰.(5) 0sin()xdx t dt dx-=⎰．(6) 2 ln e dx x x+∞=⎰ ．(7)=⎰．(8) 由曲线ln y x =与两直线1y e x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是 。
(9) 微分方程22x y y y e '''-+=的通解为 . (10) 24x y y e ''-=的通解为 ．(11) 设12(sin cos )x y e C x C x =+(12,C C 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的解，则该方程为 ．(12) 微分方程20yy y '''+=满足初始条件01x y ==，012x y ='=的特解是 ．(13) 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y = . (14) 微分方程30xy y '''+=的通解为 ．(15) 过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 .(16)已知两条直线的方程是1212321:, :101211x y z x y zL L ---+-====-，则过1L 且平行于2L 的平面方程是 .(17) 与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z +++==都平行且过原点的平面方程为 。
(18) 设(a ⨯b )⋅c 2=，则[(a +b )(⨯b +c )](⋅c +a )= . (19) 设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为 .二、选择题：(1) 设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则【 】(A) 当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数； (B) 当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数； (C) 当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数；(D) 当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数． (2) 设()f x 为已知连续函数，0()xt I t f tx dx =⎰，其中0,0t s >>，则I 的值【 】(A) 依赖于s 和t ；(B)依赖于s 、t 和x ； (C) 依赖于t 、x ，不依赖于s ；(D) 依赖于s ，不依赖于t 。
(3) 设 sin 234 0()sin ,()xf x t dtg x x x ==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 】(A) 等价无穷小； (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小；(D) 低阶无穷小.(4) 双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为【 】 (A) π2 02cos 2d θθ⎰;(B)π2 0cos 2d θθ⎰;(C) θ⎰; (D) π 22 01(cos 2)2d θθ⎰.(5) 若连续函数()f x 满足关系式 2 0()()ln 22x tf x f dt =+⎰，则()f x 等于【 】(A) ln 2x e ； (B) 2ln 2x e ； (C) ln 2x e +； (D) 2ln 2xe +.(6) 设ππ43422ππ222sin cos ,(sin cos ),1x M xdx N x x dx x --==++⎰⎰π232π2(sin P x x -=-⎰4cos )x dx 则【 】(A) N P M <<； (B) M P N <<； (C) N M P <<； (D) P M N <<. (7) 设()f x 有连续的导数，(0)0,(0)0f f '=≠，220()()()xF x x t f t dt =-⎰，且当0x →时，()F x '与x λ是同阶无穷小，则k 等于(A) 1;(B) 2;(C) 3;(D) 4.(8) 设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>，令 1 ()baS f x dx =⎰，2()()S f b b a =-，31[()()]()2S f a f b b a =+-则 【 】(Ａ) 123S S S <<； (Ｂ) 213S S S <<； (Ｃ) 312S S S <<； (Ｄ) 231S S S <<．(9) 设 2sin ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x【 】(Ａ) 为正常数； (Ｂ) 为负常数； (Ｃ) 恒为零；(Ｄ) 不为常数．(10) 设()f x 连续，则 22 0()xd tf x t dt dx -=⎰【 】(Ａ) 2()xf x ； (Ｂ) 2()xf x -； (Ｃ) 22()xf x ； (Ｄ) 22()xf x -．(11) 设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0f x f x '>=，则函数()f x 在点0x 处【 】(A) 取得极大值；(B) 取得极小值；(C) 某邻域内单调增加； (D) 某邻域内单调减少。
(12) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，1C ，2C 是任意常数，则该非齐次方程的通解是【 】(A) 11223C y C y y ++;(B) 1122123()C y C y C C y +-+; (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++--.(13) 设()f x 是连续函数，且π ()()xxF x f t dt +=⎰，则()F x '等于【 】(A) ()()x x e f e f x ----; (B) ()()x x e f e f x ---+; (C) ()()x x e f e f x ---; (D) ()()x x e f e f x --+.(14) 设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为 (A) π6; (B) π4; (C) π3; (D) π2.(15) 设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面π:4220x y z -+-=，则直线L 【 】(A) 平行于π; (B) 在π上;(C) 垂直于π;(D) 与π相交.三、 (1)求x⎰；(2) 求sin 22sin dxx x+⎰.(3) 求2arctan xxe dx e ⎰． (4) 求π2πsin sin sin πlim 1112n n n n n n n →∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦． 四、设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数．(1) 试证明存在0(0,1)x ∈，使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积，等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的梯形面积．(2) 又设()f x 在区间(0,1)内可导，且2()()f x f x x'>-，证明(１)中的0x 是唯一的． 五、设 0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，其中f 为连续函数，求()f x .六、设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，且在(,)a b 内有()0f x '>，证明：在(,)a b 内存在唯一的ξ，使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围成图形的面积1S是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围成图形面积2S 的3倍。
七、证明方程 0ln e xx =-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根.八、(1) 求 120ln(1)(2)x dx x +-⎰. (2) 求x⎰；(3) 求sin 22sin dx x x +⎰.(4) 设21,0,(),0,x x x f x e x -⎧+≤=⎨>⎩，求 3 1(2)f x dx -⎰.九、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 12 33()(0)f x dx f =⎰，证明在 (0,1)内存在一点c ，使()0f c '=.十、设()f x 连续，1()(),x f xt dt φ=⎰且0()limx f x A x→=(A 为常数)，求()x φ'并讨论()x φ'在0x =处的连续性．十一、设对任意0x >，曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰，求()f x 的一般表达式. 十二、设函数()f x 在[0,π]上连续，且ππ()0,()cos 0f x dx f x xdx ==⎰⎰，试证在(0,π)内至少存在两个不同的点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==．十三、(1) 已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段A B 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体的体积.(2) 求心形线(1cos )r a θ=+的全长，其中0a >是常数. 十四、已知两曲线()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞．十五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y (从海增面算起)与下沉速度v 之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m ，体积为B ，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为(0)k k >．试建立y 与v 所满足的微分方程，并求出函数关系式()y y v =． 十六、(1) 求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解，其中常数0a >。