【精品】初中数学 01勾股定理及其逆定理讲义+练习题

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勾股定理及其逆定理讲义附答案

2. 11~19 的平方：______________________________________________________________． 3. 勾股逆定理：_______________________________________________________________． 4. 勾股数：_______________；_____________；_____________； ____________；
24. 已知一个三角形的三边长分别是 12cm，16cm，20cm，你能算出这个三角形的面积吗？
25. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
26. 一架 2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角 0.7m，如果梯子的顶端沿墙
勾股定理及其逆定理
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一、知识点睛
1. 勾股定理：_________________________________________________________________；数学公式表达：_____________________________________________________________．
形三边长的有( )组．

勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)

B A

勾股定理及其逆定理（讲义）

一、知识点睛

1. 11-19的平方：

_______________________________________________________________________________________________________．

2. 勾股定理：

_______________________________________________________________________________________________________． 3. 勾股定理的验证：

4. 勾股定理逆定理：

_______________________________________________________________________________________________________．

5. 勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有

______________；______________；_______________；________________；________________；_________________．

二、精讲精练

1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）

A ．斜边长为25

B ．三角形的周长为25

C ．斜边长为5

D ．三角形的面积为20

2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，若BC =8，AB =17，则AC 的长

是________．

专题勾股定理及其逆定理【九大题型】

专题2.6勾股定理及其逆定理【九大题型】

【浙教版】

【题型1勾股定理的运用】 (1)

【题型2直角三角形中的分类讨论思想】 (2)

【题型3勾股定理解勾股树问题】 (3)

【题型4勾股定理解动点问题】 (4)

【题型5勾股定理的验证】 (6)

【题型6直角三角形的判定】 (8)

【题型7勾股数问题】 (9)

【题型8格点图中求角的度数】 (10)

【题型9勾股定理及其逆定理的运用】 (11)

【题型1勾股定理的运用】

【例1】（2022•和平区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（）

A．5B．4C．3D．2

【变式1-1】（2022春•上杭县期中）如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，AC＝10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（）

A．32B．74C．2D．52

【变式1-2】（2022春•汉阳区期中）如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD ＝．

【变式1-3】（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝30，D是AC上一点，AD：CD ＝25：7，且DB＝DA，过AB上一点P，作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF长是．

【题型2直角三角形中的分类讨论思想】

【例2】（2022春•长沙月考）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高为12．则△ABC的面积为（）A．24或84B．84C．48或84D．48

【变式2-1】（2022春•宁津县期中）△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）A．42B．32C．42或32D．42或37

中考数学《勾股定理》典型练习题汇编全套

中考数学《勾股定理》典型练习题汇编全

套

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

3x）2+（4x）2＝202

化简得x2＝16；

直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96

小结：在直角三角形中，计算面积时，可以先设未知数，再用勾股定理列方程，求解未知数，最后求出面积。

举一反三：

变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

解析：由等边三角形的性质可知，它的高和中线重合，因此可以通过高来求面积。作高AD，则BD=BC/2=1，由勾股定理可得AD=√3，因此面积为S=1/2×2×√3=√3.

变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

解析：设直角三角形的两直角边长分别为x和y，则有

x+y+5=12，且根据勾股定理可得x²+y²=25.将第一个式子变形为y=12-x-5，代入第二个式子得x²+(7-x)²=25，化简得2x²-

14x+24=0，解得x=3或4.因此直角三角形的面积为3×4/2=6.

变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

解析：由勾股定理可得(n+1)²+(n+2)²=(n+3)²，化简得

2n²+6n=0，解得n=0或-3.但由于直角三角形的边长必须为正数，因此n=0不合法，只能取n=-3.

小结：在使用勾股定理时，要注意斜边的长度，有时需要通过逆定理来判断给定的边长是否能构成直角三角形。

变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

初中数学专题练习-勾股定理及其逆定理

《空间与图形》专题

勾股定理及其逆定理

考纲要求：

A：已知直角三角形的两边长,会求第三边的长．

B：会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形．

例题讲解

例1.在直角△ABC中,∠C＝90°,BC＝12,AC＝9,则AB＝．

例 2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3．若S1+S2+S3＝10,则S2的值是．

图1 图2

例3.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求完成下列各题：

（1）画线段AD∥BC且使AD=BC,连接CD；

（2）线段AC的长为 ,CD的长为 ,AD的长为；

（3）△ACD为三角形,四边形ABCD的面积为；

（4）若E为BC中点,则tan∠CAE的值是．

例 4.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为

6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以8m 为直角边的直．．．．．．角三角形．．．．

．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．

例5.如图,在△ABC 中,90ACB ∠=︒,D 是BC 的中点,DE BC ⊥,CE ∥

AD ．若AC=2,CE=4,求四边形ACEB 的周长．

例6.已知：如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 的中点,E 为CB 的四等分点且CE=14

CB,求证：AF ⊥FE.

例7.王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为a米,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.

中考数学专题复习：勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理

典题探究

例1：在△ABC 中，∠C=90°，AC=2.1cm ，BC=2.8cm.（1）求△ABC 的面积；（2）求斜边AB ；

例2：在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长。

例3：如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm

，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

例4：如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

课后练习

A 组

1．已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形. B 组

2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4, c=5

3、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程023)32(2

2=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；

（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积。

初中数学勾股定理(讲义及答案)及答案

一、选择题

1．如图，ABC 是等边三角形，点D ．E 分别为边BC ．AC 上的点，且CD AE =，点F 是BE 和AD 的交点，BG AD ⊥，垂足为点G ，已知75∠=︒BEC ，1FG =，则2AB 为（）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

2．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（）

A ．1cm

B ．1.5cm

C ．2cm

D ．3cm

3．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )

A ．2

B ．2

C ．3

D ．4

4．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．12

5．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（）

A ．2

B ．13

C ．5

D ．6

6．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（）

A ．5.3尺

B ．6.8尺

C ．4.7尺

D ．3.2尺 7．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（）

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结

1. 勾股民定理的内容：

在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。

2. 勾股数：

满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。

3. 勾股定理的逆定理：

若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。

4. 特殊三角形三边的比：

①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。

5. 两点间的距离公式：

若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=

。

练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，

BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（）

A ．3

B ．23

C ．2

D ．1

【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，

∴OB＝＝＝2，

∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，

∴AB＝OB＝1，

∴OA＝＝＝，

故选：A．

2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）

初中八年级上册数学基础习题练习：1.勾股定理及其逆定理

勾股定理

【知识要点】

1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即222a b c +=。

2．勾股定理的逆定理是判别一个三角形为直角三角形常用的方法。若三角形的三边长a,b,c 满足

222a b c +=，则这个三角形是直角三角形。

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）

②计算2c 与22a b +，并验证是否相等。若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

3．若a 、b 、c 均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式222a b c +=时，我们称（a 、b 、c ）为基本勾股数组。记一记： ()3,4,5，()10,8,6，()5,12,13，()7,24,25，()8,15,17，()9,40,41，

()11,60,61，…均为基本勾股数组。

【典型例题】

例1.已知6、8、a 是一个三角形的三边长，若该三角形为直角三角形，那么a 是多少？

例2.求下列直角三角形中未知边a,b 的长度（如下图所示）

例3.如图所示，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。求△ABC 的面积。

例4.在数轴上用点表示下列各数：3，31

例5.直角三角形斜边长为13，两直角边和为17，求此直角三角形面积。

6.如图所示，沿AE 折叠长方形，使D 落在BC 边上的点F 处，已知：AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

例7.由四个完全相同的直角三角形拼得一个大正方形，如图所示，已知直角三角形两条直角边分别是7厘米和5厘米，求大正方形的面积。（用两种方法解答）。 [练习]

(完整版)勾股定理及其逆定理复习典型例题(可编辑修改word版)

勾股定理及其逆定理复习典型例题

1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a2+b2=c2）

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c 有关系a2+b2=c2，那么这个三

角形是直角三角形。

2.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

3.如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）

（2）验证c2 与a2+b2 是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角

的三角形。（若c2>a2+b2 则△ABC 是以∠C 为钝角的三角形，若c2<a2+b2 则△ABC

是以∠C 为锐角三角形）

二、例题分析

例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

解：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

（3x）2+（4x）2=202

化简得x2=16；

∴直角三角形的面积= 1

×3x×4x=6x2=96 2

注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例2、等边三角形的边长为2，求它的面积。

ፂ

解：如图，等边△ABC，作AD⊥BC 于 D

则：BD= 1

BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

ፂፂ

∵AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）

∴BD=1

在直角三角形ABD 中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2－BD2=4－1=3 ∴AD=

初中数学《勾股定理》典型练习题

《勾股定理》典型例题分析

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：

①已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：

（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )

4、最短距离问题：主要

5、运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）

勾股定理及其逆定理 (习题及答案)

勾股定理及其逆定理（习题）

例题示范

例1：如图，强大的台风使得一棵树在离地面3m处折断倒下，树的顶部落在离树的底部4m处，这棵树折断之前有多高？

解：如图，由题意得，

AC=3，BC=4，∠ACB=90°

在Rt△ABC中，∠ACB=90°

由勾股定理，得

AC2+BC2=AB2

∴32+42=AB2

∴AB=5

∴AB+AC=5+3=8

答：这棵树折断之前高8m．

例2：如图，在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，BC=12cm．求证：∠C=90°．

证明：如图

在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=12

∵52+122=132

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°．

巩固练习

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=8，AB=17，则AC

的长为________．

2.已知甲、乙两人从同一地点出发，甲往东走了12km，乙往南

走了5km，这时甲、乙两人之间的距离为___________．

3.如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，三个半圆的

面积从小到大依次记为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）

A．S l+S2>S3B．S l+S2

C．S1+S2=S3D．S12+S22=S32

第3题图第4题图

4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三

角形，若其中最大正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2．

5.如图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边

的长分别为a和b，斜边长为c．图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

勾股定理及逆定理的练习题---

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6。如图所示，△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线AD=24，求AC ．

类型一已知两边求第三边

例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm,2cm ，则第三边长为_____________．类型二构造Rt△，求线段的长

例2．如图2，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合,求EB 的长．

例3．如图3，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点,E 为AD 边中点，求EP+DP 最小值.

例4、如图4，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm,A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________ dm.

类型三判别一个三角形是否是直角三角形例5、如图5,正方形ABCD 中，F 为DC 的中点,E 为BC

上一点,且CE=BC ．你能说明∠AFE 是直角吗？

初中数学勾股定理及逆定理练习题(附答案)

初中数学勾股定理及逆定理练习题

一、解答题

1.如图所示的一块地,4,3,13,12,AD m CD m AB m BC m ====求这块地的面积.

2.如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A ，B ，C 为格点

(1)判断ABC 的形状，并说明理由.

(2)求BC 边上的高.

3.如图,在Rt ABC 中90,7cm C BC ∠=︒=.动点P 在线段AC 上从点C 出发,沿CA 方向运动;动点Q 在线段BC 上同时从点B 出发,沿BC 方向运动.如果点,P Q 的运动速度均为1cm /s ,那么运动几秒时,它们相距5cm

4.如图,在ABC ∆中,45ABC ∠=︒,CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E ,BE 与CD 交于点F .

(1)求证:ACD FBD ∆≅∆

(2)若5,1AB AD ==,求BF 的长

5.如图，将长方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接CE .

(1)求证:AE AF CE CF

===；

(2)设AE a

=，请写出一个a b c

，，三者之间的数量关系式.

=，DC c

=，ED b

6.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将ADE

△，延长

△沿AE对折至AFE

EF交BC于点G，连接AG.

(1)求证:ABG AFG

△△；

≅

(2)求BG的长.

7.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB的中点C处有一滴蜂蜜，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.

勾股定理及逆定理辅导讲义

考点·方法：

1．会用勾股定理解决简单问题.

2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证. 经典·考题：

【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )

A ．13

B ．26

C ．47

D ．94

【解法指导】观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．【变式题组】

01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.

02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______.

03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )