2012高考总复习《走向清华北大》精品课件7函数的奇偶性与周期性

[答案] (2 3)
1 [反思感悟]根据f x 3 , 可得到f x 为 f ( x) 周期为6的函数.
类型四
函数的奇偶性与周期性的综合问题
解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解 决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移 问题.函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
类型二
函数的单调性与奇偶性的综合问题
解题准备:1.讨论函数的单调性和奇偶性时,应先确定函数的 定义域.
2.奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,偶函
数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. 3.将函数的奇偶性和单调性综合运用是考查函数性质的重要 题型.
4.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均 为R,则() A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数. 答案:B
3 若f x a f x , 则T 2 a ;
1 f ( x) , 则T 4 a . 4 若f x a 1 f ( x)
结论2:(对称性与周期关系结论) (1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2|b-a|; (2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|;
f 2009 f (334 6 5) f 5 , 而f 5 f 3 2 1 1 (2 3). f (2) 2 3 故填 (2 3).
1 [解析]由题意可得f x 6 f x 3 3 f ( x 3) 1 f ( x).函数的周期为6. 1 f ( x )
(3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|.
结论3:(奇偶性与周期关系结论) (1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|; (2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|. (上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期).
【典例3】已知定义在R上的函数f x 满足f 2 2 3, 1 且对任意的x都有f x 3 , 则f 2009 ________ . f ( x)
3
f x 的定义域为x R, 且x 0, 其定
1 1 义域关于原点对称, 并且有f ( x) x a 1 2 x x 1 1 a 1 (1 a ) 1 1 x x 1 2 1 a 2 1 a 2 1 ax 1 1 1 1 1 x f ( x), x 1 a 2 a 1 2 即f x f x , f x 为奇函数.
( x 0) 2 x 3, 5.如果函数g x ( x 0) f ( x), 是奇函数, 则f x ________ .
答案:2x+3
类型一
函数奇偶性的判断
解题准备:判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既
由于f x 为奇函数, 所以f x 在 1, 0 上也是减函数.
类型三
函数的周期性
解题准备:三个结论:若a､b是非零常数,且a≠b,则有
结论1: (逆推式与周期关系结论)
1 若f x a f x a , 则T 2 a ;
1 , 则T 2 a ; 2 若f x a f ( x)
②在公共定义域内 a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和 是奇函数.
b.两偶函数的和､积与商(分母不为零)为偶函数.
③奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单 调性相反.
2.函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函
1 1 x 1 x 1 f ( x) log 2 log 2 f ( x) x 1 x 1 x x , 所以f x 为奇函数.下面研究f x 在 0,1 上的单调性, 任取x1 , x 2 0,1 , 且x1 x 2 .
又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2) =2(x2-x1)>0, ∵1-x2>0,1+x1>0, ∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.
1 x1 x2 x1 x2 1, 1 x1 x2 x1 x2
得f x1 f x 2 0, 即f x 在 0,1 上单调递减.
答案:B
2.(2010·新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则 {x|f(x-2)>0}=() A.{x|x<-2或x>4} C.{x|x<0或x>6} B.{x|x<0或x>4} D.{x|x<-2或x>2}
解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x<0时,解析式为f(x)=2-x4(x<0),所以当x-2<0时,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得 x<0;当x-2≥0时,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得 x>4,综上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故选B. 答案:B
1 x1 1 1 x2 1 则f x1 f x 2 log 2 log 2 x1 1 x1 x2 1 x2 1 1 1 x2 1 x1 log 2 log 2 . 1 x2 1 x1 x1 x2 1 x2 1 x1 1 1 x2 x1 0, log 2 log 2 x1 x2 x1 x2 1 x2 1 x1 1 x1 x2 x1 x2 log 2 . 函数也不是偶函数.
(2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: ①定义判断:f(-x)=f(x)⇔f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)⇔f(x)为奇函数.
②等价形式判断:f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数. f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数.
f ( x) f ( x) 或等价于 : 1, 则f (x)为偶函数; 1, f ( x) f ( x) 则f (x)为奇函数.
奇函数
关于原点对 称
(2)对函数奇偶性的理解 ①函数奇偶性的判断 a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则
函数既不是奇函数,也不是偶函数.
b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若 f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
第七讲函数的奇偶性与周期性
回归课本
1.函数的奇偶性 (1)函数的奇偶性的定义 奇偶性 偶函数 定义 如果函数f(x)的定义域 内任意一个x都有f(x)=f(x),那么函数f(x)是 偶函数. 如果函数f(x)的定义域 内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是奇函 数. 图象特点 关于y轴对称
4
x(1 x) f x x(1 x)
( x 0) ( x 0)
的定义域关于原点对称, ∵当x>0时,-x<0, ∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x) =-f(x)(x>0).
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x) =-f(x)(x<0).
x 0 [解]函数f x 的定义域由 1 x , 0 1 x 解得 1 x 1, 且x 0.所以函数的定义域为
1, 0 0,1 .因为f x 的定义域为 1, 0 0,1 关于原点对称, 且对x 1, 0 0,1 , 有
3.(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时 ,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=() A.-3 C.1 B.-1 D.3
解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有
f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1, 所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故选A. 答案:A
1 1 x 【典例2】已知函数f x log 2 , 求函数f x 的定义域, x 1 x 并讨论它的奇偶性和单调性. 1 x 0 [分析] 1由 1 x 可求定义域; x 0
2 可考虑f x f x 0, 或直接判断f x 与f x 的关系; 3 利用定义判断单调性.
数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一个最
小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,则 kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上 ､下界.
考点陪练
1.已知f x ax 2 bx是定义在 a 1, 2a 上的偶函数, 那么a b 的值是（ 1 A. 3 1 C. 2 ） 1 B. 3 1 D. 2