北师大版选修(1-1)3.4《导数的四则运算法则》word学案

合集下载

高中数学《导数的四则运算法则》导学案北师大版选修1-1

第4课时导数的四则运算法则1.记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则.2.能通过运算法则求出导数并解决相应问题.3.经历由定义到具体求解的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学习热情.你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程.问题1:基本初等函数的导数公式表:①若f(x)=c,则f'(x)= ;②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)= ;③若f(x)=sin x,则f'(x)= ;④若f(x)=cos x,则f'(x)= ;⑤若f(x)=a x,则f'(x)= (a>0);⑥若f(x)=e x,则f'(x)= ;⑦若f(x)=log a x,则f'(x)= (a>0,且a≠1);⑧若f(x)=ln x,则f'(x)= .问题2:导数运算法则①[f(x)±g(x)]'= ;②[f(x)·g(x)]'= ;③[]'= (g(x)≠0) .④从导数运算法则②可以得出[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'= ,也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'= . 问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数.f'(x)= .问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些?(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),则y'= .(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数).(3)[f(x)±c]'=f'(x).1.函数y=lg x的导数为( ).A.B.ln 10C.D.2.曲线y=x3在x=α处的导数为12,则α等于( ).A.±4B.±2C.2D.43.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于.4.求下列函数的导数.(1)y=sin(x+);(2)y=lo x2-lo x.求函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x)=a2+2ax-x2; (2)f(x)=.求曲线的切线方程已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.导数公式的综合应用已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点,试在直线AB左侧的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=1+sin cos ;(3)y=-2x.(1)求曲线y=x cos x在x=处的切线方程;(2)求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.1.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( ).A.1B.2C.eD.2.曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是( ).A.[0,]∪[,π)B.[0,π)C.[,]D.[0,]∪[,]3.设函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a= .4.已知直线y=kx是y=ln x的一条切线,求k的值.(2012年·新课标卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.考题变式(我来改编):第4课时导数的四则运算法则知识体系梳理问题1:①0②αxα-1③cos x ④-sin x ⑤a x ln a ⑥e x⑦⑧问题2:①f'(x)±g'(x)②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)③④cf'(x)cf'(x)问题3:a1+2a2x1+…+ra r x r-1+…+na n x n-1问题4:(1)f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)基础学习交流1.C∵(log a x)'=,∴(lg x)'=.2.B y'=3x2,∵y'|x=α=12,∴3α2=12,解得α=±2,选B.3.4∵y=(x+1)2(x-1)=(x2-1)(x+1)=x3+x2-x-1,∴y'=(x3)'+(x2)'-(x)'-(1)'=3x2+2x-1,∴y'|x=1=4.4.解:(1)∵y=sin(x+)=cos x,∴y'=(cos x)'=-sin x.(2)∵y=lo x2-lo x=2lo x-lo x=lo x (x>0),∴y'=(lo x)'==-.重点难点探究探究一:【解析】(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=2a+2x.(2)f'(x)=()'===x sin x+x2cos x.[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.于是,正确解答为:(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.(2)f'(x)=()'==.【小结】1.利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本函数中的某一个,再套用公式求导数.2.求函数的导数时应注意以下几点:(1)要遵循先化简函数解析式,再求导的原则.(2)化简时注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.(3)求导时,既要重视求导法则,更要注意求导法则对导数的制约作用.探究二:【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3.∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,+x0-2),则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得又直线l1,l2与x轴的交点分别为(1,0),(-,0).∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数为此点处的切线的斜率.探究三:【解析】∵|AB|为定值,∴三角形面积最大,只需P到AB的距离最大,∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.设点P(x0,y0),由题意知点P在x轴上方的图像上,即P在y=上,∴y'=.又∵k AB=,∴=,得x0=1.由y0=,得y0=1,∴P(1,1).【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,解题的关键是正确确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标,运用配方法求出最值.思维拓展应用应用一:(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y'=3x2+12x+11.(2)y=1+sin x,y'=cos x.(3)y'=()'-(2x)'=-2x ln 2=-2x ln 2=-2x ln 2.应用二:(1)y'=x'cos x+x·(cos x)'=cos x-x sin x,y'=-,切点为(,0),∴切线方程为y-0=-(x-),即2πx+4y-π2=0.(2)y'==,y'|x=1==0,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=0.因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.应用三:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点P0(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点P 0(x0,y0)处的切线斜率为1,即y'=1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得x0=0,代入y=e x,得y0=1,即P0(0,1).∴d==.基础智能检测1.A由条件得y'=e x,根据导数的几何意义,可得k=y'|x=0=e0=1.2.A∵(sin x)'=cos x,∵k l=cos x,∴-1≤k l≤1,∴αl∈[0,]∪[,π).3.∵f'(x)=,∴f'(1)==-1,∴ln a=-1,∴a=.4.解:设切点坐标为(x0,y0).∵y=ln x,∴y'=.∴f'(x0)==k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,∴把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.∴k==.全新视角拓展4x-y-3=0 由题意得,y=x(3ln x+1)=3x ln x+x⇒y'=3ln x+4,所以y'|x=1=4, 由点斜式方程得y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.。

北师大版数学选修1-1《3.4导数的四则运算法则》备课精选同步练习含答案

§4 导数的四则运算法则课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f(x)＋g(x)]′＝______________；(2)[f(x)－g(x)]′＝______________；(3)[f(x)·g(x)]′＝________________；(4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝____________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－ 12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A .12e 2B .94e 2 C ．2e 2 D ．e 23．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x)为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 34．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( )A ．18B ．－18C ．8D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A .⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C .⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D .⎣⎡⎦⎤0，π∪⎣⎡⎦⎤π，3π 题号1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7．已知f(x)＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝___________________.8．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 009x ；(4)y ＝x ·tan x .11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§4 导数的四则运算法则知识梳理(1)f ′(x)＋g ′(x) (2)f ′(x)－g ′(x)(3)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)(4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g(x)≠0) 作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ′＝(1212x -)′＝－1432x - ＝－14x x.] 2．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x=2＝e 2.∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.] 3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．] 4．A [y′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y＋1＝0.]5．A [∵f ′(x)＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 6．A [∵y′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 7．4解析 ∵f ′(x)＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a ＝4.8．2x解析 ∵f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x.9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m /s )． 10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x′log 2 009 x ＋(log 2 009x)′x]＝2x ln 2·cos x －sin x·2x －3[log 2 009 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 009 e x] ＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e .(4)y ′＝(x tan x)′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 11．解设P(x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．D [由已知f ′(x)＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 13．解依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。

北师大版高中数学选修导数的四则运算法则教案(1)

导数的四则运算法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：1. 函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。

（1）()()[]()()x v x u x v x u '±'='± （2）()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅()[]()x u c x cu '='()w uv w v u vw u uvw '+'+'='（3）()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 这里仅证（2）()()()hx f h x f x f h -+='→0lim()()()()h x v x u h x v h x u h -++=→0lim ()()()()()()()()[]x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h h -+++-++=→1lim 0()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅++⋅-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h 0lim ()()()()()()hx v h x v x u h x v h x u h x u h h h -+⋅++⋅-+=→→→000limlim lim()()()()x v x u x v x u '+'= 例1 x y tan =，求y '。

解：()()()x x x x x x x x y 2cos cos sin cos sin cos sin tan '-'='⎪⎭⎫⎝⎛='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=，即 ()x x 2sec tan ='。

2020北师大版选修(1-1)3.4《导数的四则运算法则》课件2 推荐

例2 设f(x)源自(1 x2 )(1 -
1 x2
),
求
f
(1).
解根据乘法法则，有
f
( x)
(1
x2 )(1 -
1 x2
)
(1
x2 )(1 -
1 x2
)
2x(1 -
1 x2
)
(1
x2)
2 x3
2 2x x3
所以 f (1) 4.
三、函数商的导数
法则 3 设 u=u(x)、v =v(x) 都是 x 的可
课前预习：
一、函数和(或差)的导数
法则 1 如果 u=u(x)、 v =v(x) 都是 x 的可
导函数，则 y=u v 也是 x 的可导函数，且
y =(u v) = u v
证当 x 取得增量 x 时，函数 u、v
和 y=u v 分别取得增量 u、v 和 y .
因为
u (x + x) - u(x) = u，
yx 2
1 (1 - x2 )
(1 - x2 )x
-x .
1- x2
达标练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
x
sec2
x.
即同理可得
(tan x) = sec2x . (cot x) = - csc2x .
练习设 y = sec x，求 y .
解根据推论 2，有
y
(se
cx)
1 cos
x
-
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
tan
x secx.

高中数学第三章变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-

§4 导数的四则运算法则[对应学生用书P41]导数的加法与减法法则已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x ，那么f ′(x )＝－1x2，g ′(x )＝1.问题1：如何求h (x )＝f (x )＋g (x )的导数？提示：用定义，由h (x )＝1x＋x ，得h (x ＋Δx )－h (x )＝1x ＋Δx ＋x ＋Δx －1x－x ＝Δx －Δxx x ＋Δx.则f ′(x )＝lim Δx →0 h x ＋Δx －h xΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎫1－1xx ＋Δx ＝1－1x 2.问题2：[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )成立吗？提示：成立．问题4：运用上面的结论你能求出(3x 2＋tan x －e x)′吗？提示：可以，(3x 2＋tan x －e x )′＝6x ＋1cos 2x－e x .导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．导数的乘法与除法法则已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x 2，则f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝2x . 问题1：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )成立吗？提示：因为[f (x )·g (x )]′＝(x 5)′＝5x 4，f ′(x )g ′(x )＝3x 2·2x ＝6x 3，所以上式不成立．问题2：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )成立吗？提示：成立．问题3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g ′x 成立吗？提示：不成立．问题4：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2成立吗？提示：成立．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .(2)[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )≠f ′(x )g ′(x )，避免与[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )混淆．2．若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )．3．类比[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )记忆⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x gx ′＝f ′xg x －f x g ′x[g x ]2.[对应学生用书P42]导数公式及运算法则的应用[例1] 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1x ＋1； (3)y ＝2x 3＋log 3x ；(4)y ＝x －sin x2cos x2.[思路点拨] 观察函数的结构特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及运算法则求解．[精解详析] (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.(2)法一：y ′＝(x －1x ＋1)′＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.法二：y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(3)y ′＝(2x 3＋log 3x )′＝(2x 3)′＋(log 3x )′＝6x 2＋1x ln 3. (4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝(x －12sin x )′＝1－12cos x .[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．用导数的运算法则推导： (1)(tan x )′＝1cos 2x； (2)(cot x )′＝－1sin 2x.解：(1)(tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x. (2)(cot x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝cos x ′sin x －cos x sin x ′sin 2x ＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x.2．求下列函数的导数． (1)y ＝4cos x －3sin x ；(2)y ＝x ＋3x 2＋3；(3)y ＝x n e x. 解：(1)y ′＝(4cos x －3sin x )′＝(4cos x )′－(3sin x )′＝－4sin x －3cos x .(2)y ′＝(x ＋3x 2＋3)′＝x ＋3′x 2＋3－x ＋3x 2＋3′x 2＋32＝x 2＋3－2x 2－6xx 2＋32＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(3)y ′＝(x n e x)′＝(x n)′e x＋x n(e x)′＝(nxn －1＋x n )e x.利用导数解决参数问题[例2] 2处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a ，b ，c 的值．[精解详析] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9. [一点通]1．由导数的几何意义，结合已知条件建立关于参数的方程组是解决此类问题的关键． 2．若已知(x 0，y 0)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则有f ′(x 0)＝k ，y 0＝kx 0＋b .3．若函数y ＝x 2＋m 2x(m ＞0)在点x ＝x 0处的导数等于0，那么x 0＝( )A ．mB ．－mC ．±mD ．m 2解析：由y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 2x ′＝1－m 2x 2，结合题意得1－m 2x 20＝0⇒x 20＝m 2⇒x 0＝±m .答案：C4．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( )A.33B.333C. 3D.393解析：因为y ＝x 3－1⇒y ′＝3x 2，y ＝3－12x 2⇒y ′＝－x ，由题意得3x 20·(－x 0)＝－1，解得x 30＝13，即x 0＝313＝393.答案：D5．若f ′(x )为一次函数，且x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由于f ′(x )为一次函数，则f (x )必为二次函数，令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，代入x 2f ′(x )＋(－2x ＋1)f (x )＝1得x 2(2ax ＋b )＋(－2x ＋1)(ax 2＋bx ＋c )＝1.即(－b ＋a )x 2＋(b －2c )x ＋(c －1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＋a ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.导数与曲线的切线[例3] 3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路点拨] (1)求出f (x )在2处的导数，即切线斜率，用点斜式写出方程即可． (2)设出切点坐标，进而求出切线斜率，写出切线方程，再利用切线过原点即可求出切点坐标．(3)设出切点坐标，求出切线斜率，又已知斜率为4，则可求出切点坐标． [精解详析] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16. 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1.解之得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， ∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14. [一点通]利用导数求曲线的切线方程的两种类型及求解过程． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程： ①求导数y ＝f ′(x )，得斜率k ＝f ′(x 0)；②写出点斜式方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)并化简． (2)求过点P (x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程： ①设切点坐标为(x 0，y 0)；②求导数y ＝f ′(x )得切线斜率k ＝f ′(x 0)； ③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)； ④代入P 的坐标(x 1，y 1)，求出x 0； ⑤代入切线方程并化简．6．若曲线f (x )＝13x 3＋ax 2＋x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－12]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[－12，＋∞)解析：f ′(x )＝x 2＋2ax ＋1， ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即x 2＋2ax ＋1＝0有解， ∴Δ＝(2a )2－4≥0， ∴a ≥1或a ≤－1，即a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：B7．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．解析：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，当x ＝－1时，y ′取最小值3.∴点(－1，－14)处的切线斜率最小，切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)即3x －y －11＝0. 答案：3x －y －11＝08．若函数f (x )＝ax 2＋2ln x (a ∈R )在点(1，f (1))处的切线l 与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，求a 的值及切线l 的方程．解：依题意有f (1)＝a ，f ′( x )＝2ax ＋2x，∴f ′(1)＝2a ＋2.∴直线l 的方程为y －a ＝(2a ＋2)(x －1)，即(2a ＋2)x －y －a －2＝0.(*) ∵l 与圆C 相切，∴|a ＋2|4a ＋12＋1＝1，解得a ＝－1或a ＝－13.把a ＝－1或a ＝－13代入(*)式并整理得切线l 的方程为y ＝－1或4x －3y －5＝0.1．运用基本的初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．2．求切线方程．(1)求过点P 的曲线的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值．[对应课时跟踪训练十四]1．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋32B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋32D.3x 2＋6x x ＋32解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32 ＝2xx ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6xx ＋32.答案：A 2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x ′x ＋2－x x ＋2′x ＋22＝2x ＋22，∴k ＝f ′(－1)＝2－1＋22＝2.∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：A3．若过函数f (x )＝ln x ＋ax 上的点P 的切线与直线2x －y ＝0平行，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：设过点P (x 0，y 0)的切线与直线2x －y ＝0平行，因为f ′(x )＝1x＋a ，故f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝2，得a ＝2－1x 0，由题意知x 0＞0，所以a ＝2－1x 0＜2.答案：B4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( )A.1e B ．eC ．－1eD ．－e解析：由f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e⇒f ′(e)＝－1e.答案：C5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3处的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12tan x －12′＝12cos 2x ，∴x ＝π3时，y ′＝12cos2π3＝2.答案：26．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点P 的坐标为________．解析：过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x 20－ln x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)7．求下列函数的导数． (1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x ；(2)y ＝ln x ＋2xx2； (3)y ＝1－12sin 2x 2.解：(1)∵y ＝1＋x21－x ＋1－x 21－x＝21＋x1－x＝41－x－2,∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝4′1－x －41－x ′1－x 2＝41－x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2xx 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2xx 2′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x·2x x4＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ln 2·x －22xx 3.(3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x )＝34＋14cos x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x .8．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2，所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x.即f ′(x )＝2ax 2－a ＋2x ＋1x＝2x －1ax －1x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0，可得f ′(x )≥0.[对应学生用书P44]一、导数的概念1．导数：f′(x0)＝li mΔx→0f x0＋Δx－f x0ΔxΔx是自变量x在x0处的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．2．导函数：f′(x)＝li mΔx→0f x＋Δx－f xΔxf′(x)为f(x)的导函数，是一个函数．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程：常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点(x0，f(x0))处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数：(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝αxα－1；(3)f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则f′(x)＝a x ln a.(4)f(x)＝log a x，则f′(x)＝1x ln a；(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝1cos2x；(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－1sin2x. 2．导数四则运算法则：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5xlog 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(5x )′＝5x ln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ，∴B 选项正确．答案：B2．设函数y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a ，在区间[2,4]上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不确定解析：一次函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率都为常数k .∵y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a ＝b ＝－3.答案：C3．运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．10解析：t ＝10时的瞬时速度即为t ＝10时的导数值，s ′＝6t －2. ∴t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58. 答案：B4．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1. 答案：A5．曲线f (x )＝x ＋13x 3在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.19解析：由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴、y 轴交点为(13，0)，(0，－23)．故所求三角形的面积＝12×13×23＝19.答案：D6．曲线f (x )＝2x 3－3x 在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，－5) C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)解析：设切点为(x 0，y 0)，则6x 20－3＝3. ∴x 20＝1，则x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选D. 答案：D7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．1D ．－4解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4. 答案：D8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f (1))和点(－1，f (－1))处的切线斜率均为－2，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝－2，f ′－1＝3－2a ＋b ＝－2，解得a ＝0，b ＝－5，∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数．答案：A9．(江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：令f ′(x )＝2x －2－4x＝2x －2x ＋1x＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2. 答案：C10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3解析：y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin x cos 2x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎪⎫322＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－23＋2 3.答案：－23＋2 312．点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴所求切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x14．已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，112 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义．解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝3，f ′0＝c ＝0，f ′1＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 都经过点P (1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．解：∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.18．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .解：(1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13，解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。

北师大版选修1-1高中数学3.4《导数的四则运算法则》ppt课件

§4 导数的四则运算法则
-*-
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
思维脉络
1.了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导. 2.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则,能正确运用求导法则求某些简单函数的导数. 3.能正确地进行求导运算,树立多角度、换位思考的意识,优化解题思维, 简化解题过程.
2.导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f'(x)和 g'(x),则有
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
��(��) ��(��)
'=��'(��)��(��2)-(��()��)��'(��)[g(x)≠0].
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一利用导数公式及运算法则求导
利用导数的运算法则求函数的导数时,应注意以下几点: (1)要熟记基本初等函数的导数公式,并能根据具体情境灵活选择相应
的导数公式求其导数. (2)求导之前,尽可能地化简函数解析式,特别是对幂函数求导之前,应
先将根式转化为指数式,再利用幂函数的导数公式求导.
=(sin��+��(clons��)��)2ln��-sin��.
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU

数学北师大版选修1-1导学案-3-4导数的四则运算法则

§3.4导数的四则运算法则【学习目标】1、会推导函数的和、差、积、商的导数公式．2、能正确运用两个函数的和、差、积、商的求导法则求简单函数的导数．一、知识记忆与理解【自主预习】阅读教材P70-P73，完成下列问题1、两个函数和(差)的导数等于这两个函数______，即[f (x )＋g (x )]′＝___________，[f (x )－g (x )]′＝____________.2、若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则[f (x )g (x )]′＝________，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________. 特别地，当g (x )＝k 时，有[kf (x )]′＝______. 【预习检测】1、若y ＝cos x ＋e x，则y ′等于( ) A ．－sin x ＋e x B ．sin x ＋e xC ．－sin x ＋1xD ．sin x ＋1x2、若函数f (x )＝x 2ln x ，则f ′(x )＝________.二、思维探究与创新【问题探究】1、利用导数的加法与减法法则求导探究一：求下列函数的导数：(1))221(2x x y ++=；(2)y ＝1＋sin x 2cos x2；(3))11(32xx x x y ++=；(4))11)(1(-+=xx y .变式训练1：求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2；(2)y ＝sin 4x 4＋cos 4 x 4.2、利用导数的乘法与除法法则求导探究二:求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝2x cos x －3x ln x ；(3)y ＝x ＋3x 2＋3. 整理反思变式训练2:求下列函数的导数：(1)y＝x－1 x＋1；(2)y＝x sin x－2 cos x；(3)y＝x5＋x7＋x9x.3、导数的综合应用探究三:求曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程．变式训练3:已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a，b，c的值．【总结归纳】1、对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，可适当运用代数、三角恒等变换手段，对函数进行化简，然后求导.2、若已知(x0，y0)处的切线方程为y＝kx＋b，则有f′(x0)＝k，y0＝kx0＋b.三、技能应用与拓展【当堂检测】1、曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为____________.2、若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．3、求下列函数的导数：（1）xxy tan=（2）xey x3log+=（3）33443xxy+⋅=4、设函数)(xfy=满足以下条件：①32)(xxf-='；②2)1(=f求函数)(xfy=的表达式。

高中数学第三章变化率与导数 4 导数的四则运算法则学案(含解析)北师大版选修1-1-北师大版高二

§4 导数的四则运算法则学习目标 1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程.2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数．知识点一导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )， [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．知识点二导数的乘法与除法法则1．若两个函数f (x )和g (x )的导数分别是f ′(x )和g ′(x )，则(1)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x .2．[kf (x )]′＝kf ′(x )．1．若f (x )＝a 2＋2ax ＋x 2，则f ′(a )＝2a ＋2x .( × )2．运用法则求导时，不用考虑f ′(x )，g ′(x )是否存在．( × ) 3．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )．( × )题型一利用导数四则运算法则求导例1 求下列函数的导数： (1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)； (4)y ＝x sin x －2cos x.考点导数的运算法则题点导数乘除法则的混合运用解 (1)∵y ＝322x －123x-＋x －1＋32x-，∴y ′＝123x ＋3232x -－x －2－5232x -.(2)方法一 y ′＝x 2＋1′x 2＋3－x 2＋1x 2＋3′x 2＋32＝2xx 2＋3－2x x 2＋1x 2＋32＝4xx 2＋32.方法二 y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝－2′x 2＋3－－2x 2＋3′x 2＋32＝4x x 2＋32.(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2cos x ′cos x 2＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.反思感悟 1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分． 2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x ln x ；(2)y ＝x －1x ＋1； (3)y ＝2x 3＋log 3x ； (4)y ＝x －sin x 2cos x2.解 (1)f ′(x )＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.(2)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法二 y ＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(3)y ′＝(2x 3＋log 3x )′＝(2x 3)′＋(log 3x )′＝6x 2＋1x ln3. (4)y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .题型二导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 考点导数的应用题点导数的应用解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.所以f (x )＝ln x x －2x ，得f (e)＝lne e －2e ＝1e－2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思感悟解决利用导数求函数解析式的题目的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－3B ．2eC.21－2e D.31－2e考点导数的应用题点导数的应用答案 D解析 ∵f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，令x ＝1，得f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， ∴f ′(1)＝31－2e. 命题角度2 与切线有关的问题例 3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 考点导数的应用题点导数的应用(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 (1)1 (2)(e ，e) 解析 (1)y ′＝sin 2x －2－cos x cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x，当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1，直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a(a ≠0)，由题意－1a＝－1，所以a ＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则y ＝x ln x 在x ＝x 0处的导数为ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，则y 0＝e ，则P 点坐标为(e ，e)．反思感悟 1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练3 设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 4解析因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2，又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.求导数运算的技巧典例有下列命题：①若函数h (x )＝cos 4x 2－sin 4x 2，则h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12；②若函数g (x )＝(x －1)(x －2)…(x －6)，则g ′(6)＝120；③函数y ＝f (x )的图像在点P (4，y 0)处的切线方程是y ＝－2x ＋6，则f (4)＋f ′(4)＝－1. 其中真命题的序号是________．题点答案 ②解析 ①中h (x )＝cos 4x2－sin 4x2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x 2＋sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x2＝cos x ，h ′(x )＝(cos x )′＝－sin x . h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＝－12，①不正确． ②中g ′(x )＝(x －2)(x －3)…(x －6)＋(x －1)(x －3)…(x －6)＋(x －1)(x －2)(x －4)(x －5)(x －6)＋(x －1)·(x －2)(x －3)(x －5)(x －6)＋(x －1)(x －2)(x －3)·(x －4)(x －6)＋(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，g ′(6)＝5×4×3×2×1＝120，故②正确．③中f (4)＝－2，f ′(4)＝－2，∴f (4)＋f ′(4)＝－4，故③不正确．[素养评析] 导数的运算，许多同学虽然导数公式、运算法则记得比较熟悉，但遇到复杂的导数运算，就容易出现错误，因此，需要把数量关系的理解与运用结合起来，同时还要掌握必要的运算技巧，有助于学生整体数学素养的提高.1．下列运算中正确的是( )A ．(ln x －3sin x )′＝(ln x )′－3′·(sin x )′B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 考点导数的应用题点导数的应用答案 B2．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3C ．－e 2D ．－e 3 考点导数的应用题点导数的应用解析 ∵f ′(x )＝exx －2x 3＋1x ＋2kx2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2考点导数的应用题点导数的应用答案 D 解析 y ′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝－2x －12，∴在x ＝3处，函数y ＝x ＋1x －1的导数为－23－12＝－12， ∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率为－12，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－a )＝－1，∴a ＝－2. 4．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 3解析由题意得f ′(x )＝(2x ＋3)e x，得f ′(0)＝3.5．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．考点导数的应用题点导数的应用答案－3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2，直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解． D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2考点导数的运算法则题点导数除法法则及运算答案 B解析 ∵y ′＝1－a 2x 2，在x ＝x 0处，函数y ＝x 2＋a 2x 的导数是1－a 2x 20＝0，∴x 0＝±a .3．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194 B.174 C.154D.134考点导数的应用题点导数的应用答案 D解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴在t ＝2处，函数s ＝t 2＋3t 的导数是4－34＝134.即物体在时刻t ＝2时的速度为134.4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 考点导数的应用题点导数的应用答案 D解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由题意知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1， ∴a ＝2.5．若函数f (x )＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．不存在考点导数的应用题点导数的应用答案 C解析 f ′(x )＝x e x －e xx 2，由题意知f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，即00020e e x x x x -＋00e x x ＝0，解得x 0＝12.6．函数y ＝f (x )＝sin x ＋e x的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0 答案 B解析因为函数y ＝f (x )＝sin x ＋e x 的导数为y ′＝cos x ＋e x ，所以f ′(0)＝cos0＋e 0＝2. 所以函数y ＝sin x ＋e x的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为2. 7．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处有斜率为1的切线．8．在下面的四个图像中，其中一个图像是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A.13B ．－13C.73D ．－13或53 考点导数的应用题点导数的应用答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x )的图像开口向上．又∵a ≠0，∴f ′(x )不是偶函数，其图像不关于y 轴对称，故其图像必为③.由图像特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题9．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 10．曲线y ＝f (x )＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．考点导数的应用题点导数的应用答案 3x －y ＋1＝0解析 f ′(x )＝e x ＋x e x ＋2，k ＝f ′(0)＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.11．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________. 考点导数的运算法则题点导数乘法法则及运算答案 120解析因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x [(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120.三、解答题12．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．考点导数的应用题点导数的应用解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x ，由题意可知存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0，即a ＝2x ＋1x成立， ∴a ＝2x ＋1x≥2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立. ∴实数a 的取值范围是[22，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．考点导数的应用题点导数的应用解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.14．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．考点导数的应用题点导数的应用答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 y ′＝－4e x e x ＋12＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2， ∵t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，等号成立)， ∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 15．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．考点导数的应用题点导数的应用解 (1)由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x . (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0×|2x 0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

高中数学北师大版选修1-1课件：第三章 4 导数的四则运算法则

[方法规律总结] 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
变式训练：
直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )
第三章变化率与导数
§4 导数的四则运算法则
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
知识点一、导数的运算法则
思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及 y＝sinx，y ＝cosx，y＝tanx，y＝cotx 的导数，那么怎样求 f(x)与 g(x)的和、差、积、商的导数呢？设 f(x)、g(x)是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)·g(x)，则Fx＋ΔΔxx－Fx
解法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1， y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1. (2)y′ ＝ (x2sinx)′ ＝ (x2)′sinx ＋ x2(sinx)′ ＝ 2xsinx ＋ x2cosx. (3)y′＝1x＋x22＋x33′＝(x－1＋2·x－2＋3·x－3)′＝－x－2－ 4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
A．2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．－1
C．1
D．－2
[解析] 由条件知，点A在直线上，∴k＝2，又点A在曲线上， ∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.由y＝x3＋ax＋b得y′＝3x2＋a，∴3 ＋a＝k，∴a＝－1，∴b＝3，∴2a＋b＝1.
[答案] C

高中数学北师大版选修1-1第三章《导数的四则运算法则》word教案1

导数的四则运算法则一、教学目标：掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用.二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数..教学难点：商求导法则的理解与应用.三、教学过程：（一）新课1．基本初等函数的导数公式（见教材）2．导数运算法则：（1）．和（或差）的导数法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即(u ±v )'＝u '±v '．例1 求y ＝x 3＋sin x 的导数．解：y'＝(x 3)'＋(sin x )' ＝3x 2＋cos x ．例2 求y ＝x 4－x 2－x ＋3的导数．解：y'＝4x 3 －2x －1．（2）．积的导数法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 (uv )'＝u 'v ＋uv '．由此可以得出 (Cu )'＝C 'u ＋Cu '＝0＋Cu '＝Cu ' ．也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 (Cu )'＝Cu ' ．例3 求y ＝2x 3－3x 2＋5x －4的导数．解：y'＝6x 2－6x ＋5．例4 求y ＝(2x 2＋3) (3x －2) 的导数．解：y'＝(2x 2＋3)'(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)'＝4x (3x －2)＋(2x 2＋3)·3＝18x 2－8x ＋9．或：692623-+-=x x x y ，9418'2+-=x x y练习1．填空：⑴ [(3x 2＋1)(4x 2－3)]'＝( 6x )(4x 2－3)＋ (3x 2＋1)( 8x )；⑵ (x 3sin x )'＝( 3 )x 2·sin x ＋x 3· ( cos x )．2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)．[(3＋x 2)(2－x 3)]'＝2x (2－x 3)－3x 2(3＋x 2)．3．求下列函数的导数：⑴ y ＝2x 3＋3x 2－5x ＋4； ⑵ y ＝ax 3－bx ＋c ； ⑶ y ＝sin x －x ＋1；（4） y ＝(3x 2＋1)(2－x )；（5） y ＝(1＋x 2)cos x ；（6）x x y x 2log 3cos 2-= 例5．已知函数f (x )＝x 2(x －1)，若f ' (x 0)＝f (x 0)，求x 0的值．（3）商的导数例6．求下列函数的导数（1）x x y tan = （2）xx y cos 1sin += （3）x x y 2log sin = 练习：求下列函数的导数（1）32521xx x y +-= （2）x x x y cos tan -= 例7．求函数x x x y cos sin =的导数思考：设 f (x )＝x (x ＋1) (x ＋2) … (x ＋n )，求f '(0)．练习. 函数f (x )＝x (x －1) (x －2)(x －3) …(x －100)在x ＝0处的导数值为( )A. 0B. 1002C. 200D. 100!（三）课堂小结1．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．2．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '．（四）课后作业。

北师大版数学高二选修1-1 3.4 导数的四则运算法则课件

x )′ 1＋
1 x
＋Leabharlann (1－x)·1＋
1 x
′＝－21x－121＋
1x＋(1－
x)·－12x－32＝－
1 2x
－12－12x－1－12x－32＋12x－1＝－12x－21－21x－32＝－2x＋x 1x.
正解二：∵f(x)＝(1－ x)1＋ 1x＝1－ x＋ 1x－1＝－ x
＋1， x
∴f′(x)＝－ x＋ 1x′＝－12x－21－21x－32＝－2x＋x 1x.
解析： (1)f′(x)＝1xx＋1－x＋lnx1·2x＋1′－2xln 2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2(x>0)；
(2)f′(x)＝x＋3′x2＋3x2＋－3x＋2 3x2＋3′
＝x2＋3x－2＋x3＋23·2x＝－xx22－＋63x＋2 3(x>0)；
(3)∵f(x)＝1＋
1－ x
1．函数 y＝x＋1x的导数是( )
A．1－x12
B．1－1x
C．1＋x12
D．1＋1x
解析： y′＝(x)′＋1x′＝1－x12
答案： A
2．下列结论：①若
y＝
1 ，则 x
y′|x＝2＝－
22；②若
y
＝cosx，则 y′|x＝π2＝－1；③若 y＝ex，则 y′＝ex.正确的个
数是( )
A．0
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
1．可导函数的和、差、积、商的可导性如果函数 u(x)，v(x)在点 x 处可导，则 u(x)±v(x)，u(x)·v(x)， Cu(x)(C 为常数)都在点 x 处可导，另当 v(x)≠0 时，vuxx在点 x 处也可导．

高中数学第二章导数及其应用4导数的四则运算法则学案北师大版选择性

§4导数的四则运算法则最新课程标准学科核心素养能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．1.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(数学运算)2．利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)[教材要点]要点导数的运算法则若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有导数运算法则语言叙述1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方．状元随笔法则1：函数的和(差)的导数导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)．法则2：函数的积的导数(1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即[cf(x)]′＝cf ′(x)．(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常数．(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x).法则3：函数的商的导数(1)注意[]′≠.(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，[]′＝－.[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知函数y＝2ln x－2x，则y′＝－2x ln 2.( )(2)已知函数y＝3sin x＋cos x，则y′＝3cos x＋sin x．( )(3)函数f(x)＝x e x的导数是f′(x)＝e x(x＋1)．( )(4)若函数f(x)＝，则f′(x)＝.( )2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )A．1－sin 1 B．1＋sin 1C．sin 1－1 D．－sin 13．函数y＝sin x·cos x的导数是( )A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________．题型一利用求导公式和法则求导例1 求下列函数的导数(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x2＋ln x；(3)y＝x2·sin x；(4)y＝.方法归纳利用导数的公式及运算法则求导的思路跟踪训练1 (1)(多选题)下列求导运算中正确的是( )A．′＝1＋B．(lg x)′＝C．′＝D．(x2cos x)′＝－2x sin x(2)求下列函数的导数①y＝x2－2x－4ln x；②y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；③y＝.题型二导数与曲线的切线问题例2 已知曲线y＝在(2，2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值．变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直线方程．方法归纳应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．方法先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________．(2)已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R，若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．易错辨析不能正确应用导数的运算法则致误例3 求函数y＝的导数．解析：∵y＝＝3x－x＋5－，∴y′＝(3x－x＋5－)′＝)′＝＝－1＝－1.【易错警示】出错原因纠错心得不对求导的式子进行化简，而是直接利用商的导数公式求解，且误记＝致误．利用导数的四则运算法则求导时，应先把原式进行恒等变形进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式．本题就是把商化成和差求导，这样容易计算．[课堂十分钟]1．若f(x)＝x cos x，则f′＝( )A． B．1C．－ D．－12．函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为( ) A．y＝4x＋2 B．y＝2x－4C．y＝4x－2 D．y＝2x＋43．(多选题)下列结论中正确的有( )A．若y＝sin ，则y′＝0B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)的值等于________．5．已知函数f(x)＝x3＋x－16(1)求f′(x)；(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程．§4导数的四则运算法则[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.答案：A3．解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.故选B.答案：B4．解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案：1题型探究·课堂解透题型一例 1 解析：(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x －5.(2)y′＝(x2＋ln x)′＝(x2)′＋(ln x)′＝2x＋.(3)y′＝(x2)′sin x＋x2·(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(4)y′＝＝＝.跟踪训练1 解析：(1)′＝1－，A错误；(lg x)′＝，B正确；′＝，C正确；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．故选BC.(2)①y′＝2x－2－；②∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11；③y′＝＝.答案：(1)BC (2)见解析题型二例2 解析：因为y′＝＝－，所以y′|x＝2＝－1，即－＝－1.所以a＝2.变式探究1 解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0，直线方程x＋y＋＝0，所以所求距离d＝＝.变式探究2 解析：由例2知y′＝－.令－＝－1，得x＝0或2(x＝0舍去)，所以切线方程为x＋y－4＝0.跟踪训练2 解析：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即解得b＝0，c＝1.(2)f′(x)＝1－，由导数的几何意义，得f′(2)＝3，于是a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，可得f(2)＝2－＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.答案：(1)b＝0，c＝1 (2)见解析[课堂十分钟]1．解析：因为f′＝cos x－x sin x，所以f′＝－.故选C.答案：C2．解析：由已知y′＝2(ln x＋1)＋2x·＝2ln x＋4，则y′|x＝1＝4，又x＝1时，y＝2，则切线方程为y＝4x－2.故选C.答案：C3．解析：若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；若f(x)＝3x2－f′(1)·x，则f′(x)＝6x－f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．故选ABC.答案：ABC4．解析：由f(x)＝x2＋3xf′(2)，得f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，则f′(2)＝4＋3f′(2)，解得f′(2)＝－2，答案：－25．解析：(1) f′＝3x2＋1(2)可判定点在曲线y＝f上．∵f′(x)＝3x2＋1∴在点处的切线的斜率为k＝f′＝13.∴切线的方程为y＋6＝13，即y＝13x－32.。

高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章导数的四则运算法则参考教案__2

3.4 导数的四则运算法则教学目的：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数．2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数3.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则教学难点：函数的积、商的求导法则的推导．授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：常见函数的导数公式：0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=二、讲解新课：例1.求2y x x =+的导数.法则 1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 []()()''()'()f x g x f x g x ±=±法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．[]()'()'cf x cf x = 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 []()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ 证明：令()()y f x g x =，则=∆y ()f x x +∆()g x x +∆-()()f x g x()f x x =+∆()g x x +∆-()f x ()g x x +∆+()f x ()g x x +∆-()()f x g x ，=∆∆x y ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x ()()g x x g x x+∆-∆ 因为()g x 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，()()g x x g x +∆→，从而0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆()g x x +∆+()f x 0lim →∆x ()()g x x g x x+∆-∆ '()()()'()f x g x f x g x =+，法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭三、讲解范例：例1 求下列函数的导数1、y =x 2+sin x 的导数.2、求2(23)(32)y x x =+-的导数．(两种方法)3、求下列函数的导数 ⑴()sin h x x x = ⑵21()t s t t+= 4、y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′5、求y =xx sin 2的导数. 变式：(1)求y =332++x x 在点x =3处的导数. (2) 求y =x1·cos x 的导数. 例2求y =tan x 的导数.例3求满足下列条件的函数()f x(1) ()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-=(2)'()f x 是一次函数, 2'()(21)()1x f x x f x --=变式：已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2)，且在点M 处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式四、课堂练习：1.求下列函数的导数：(1)y =x a x a +- (2)y =232xx + (3)y =x cos 11- 五、小结：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数法则(v u)′=2vv u v u '-'(v ≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住六、课后作业：。

北师大版高中数学选修高二导数的四则运算法则习题课教学设计

第四节导数的四则运算法则（习题课）教学目标1．理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给8个函数的导数公式，并能求简单函数的导数。

2．了解两个函数的和、差、积、商的求导公式的推导过程；会运用上述公式求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数。

3．能运用导数的几何意义求过曲线上一点的切线。

教法指导通过例题、习题的求导过程体验导数公式的应用，逐步形成利用导数公式进行求导的算法技能；教学重难点剖析重点：掌握导数公式和导数四则运算法则的运用，并逐步记住这些公式；难点：公式的记忆剖析：1．导数公式和导数四则运算公式的记忆，开始时强记，逐步在运用中熟记；2．几个常见函数的导数： ⑴函数x y 1=的导数是21x y -='；⑵函数x y =的导数是x y 21='；教学过程（一）、复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式1、两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+2、若两个函数)(x f 和)(x g 的导数分别是)(x f '和)(x g '，我们有)()()()()()()()()()()(])()([2x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'='特别地，当k x g =)(时，有)(])([x f k x kf '='典例分析例1：求下列函数的导数：（1）)sin (ln 2x x x y +=；（2）2cos x xx y -=。

解：（1）解一：)sin (ln )sin (ln )(])sin (ln [222'+⋅++⋅'='+='x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos 1)sin (ln 222+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⋅=解二：)sin ()ln ()sin ln (])sin (ln [22222'⋅+'⋅='⋅+⋅='+='x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 2ln 2cos sin 21ln 2222+++=⋅+⋅+⋅+⋅=。

高中数学第3章(变化率与导数)3.4导数的四则运算法则习题导学案(无答案)北师大版选修1-1 学案

陕西省榆林育才中学高中数学第3章《变化率与导数》3.4导数的四则运算法则习题导学案（无答案）北师大版选修1-1【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则2.导数的运算法则导数运算法则1．[]'()()f x g x ±= 2．[]'()()f x g x ⋅=3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于：）知识反馈 1. 函数1y x x=+的导数是（） A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（） A ．cos2cos x x - B ．cos2sin x x + C ．cos2cos x x + D ．2cos cos x x + 3. cos xy x=的导数是（） A ．2sin x x -B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +-D ．2cos cos x x xx +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 1。