浙江省杭州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学试题及答案及解析

浙江省杭州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1，2}，B ={x ∈Z ||x |＜2}，则A ∩B =（ ）A. ⌀B. {1}C. {2}D. {1,2}2. 椭圆x 25+y 24=1的离心率等于（ ）A. √52B. √55C. 3√55D. √53. 设x ∈R ，则“x ＞2”是“|x |＞2”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若复数z 满足（1-2i ）z =2+i ，则|z |=（ ）A. 25B. 1C. √415D. √415. 函数y =e x +e −x e x −e −x 的图象大致为（ ）A.B.C.D.6. 已知正三角形ABC 的边长为2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则（（ ）A. |a ⃗ +b ⃗ |=1B. a ⃗ ⊥b ⃗C. a ⃗ ⋅b ⃗ =1D. (4a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ 7. 已知函数f （x ）（x ∈R ）的周期为T （T ＞0），且在（0，T ）上单调，则（ ）A. f(x 2)是周期函数，且在(0,√T)上单调B. f(x 2)不是周期函数，且在(0,√T)上单调C. f(x 2)是周期函数，且在(0,T 2)上单调D. f(x 2)不是周期函数，且在(0,T 2)上单调 8. 设θ∈[π6，π3]，随机变量ξ的分布列如表所示，则E ξ（ ）A. 有最大值52，最小值32 B. 有最大值94，最小值74 C. 有最大值94，无最小值D. 无最大值，有最小值74 9. 设a ＜0，不等式（3x 2+a ）（2x +b ）≥0，在（a ，b ）上恒成立，则b -a 的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 13D. 1410. 设函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos 2x ．记f （x ）的最大值为M （φ），最小值为m （φ），则（ ）A. 存在φ∈R ，使得M(φ)+m(φ)=πB. 存在φ∈R ，使得M(φ)−m(φ)=πC. 存在φ∈R ，使得|M(φ)⋅m(φ)|=πD. 存在φ∈R ，使得|M(φ)m(ϕ)|=π二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 设a =log 23，b =log 38，则2a =______，ab =______．12. 设a ，b ，c 分别为△ABC 的三边长，若a =3，b =5，c =7，则cos C =______，△ABC 的外接圆半径等于______． 13. 若双曲线M ：x 2-y2m=1的离心率小于√2，则m 的取值范围是______；若m =2，双曲线M 的渐近线方程为______．14. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几体的体积是______cm 3；表面积是______cm 2． 15. 若实数x 、y 满足不等式组{x +y ≥22x −y ≤4x −y ≥0，则2x +3y 的最小值是______．16. 若函数f （x ）=√a −x +√a +x -a （a ≠0）存在零点，则a 的取值范围是______．17. 设O 为△ABC 的外接圆圆心．若存在正实数k ，使得AO⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则k 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知f （x ）=sin2x +√3cos2x （x ∈R ）．（Ⅰ）求f （5π6）的值．（Ⅱ）若x ∈[0，π4]，求函数f （x ）的取值范围．19. 设函数f （x ）=|x−1|x−2-k （x -1）2．（Ⅰ）若k =1，解方程f （x ）=0．（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=0有四个不同的解，求k 的取值范围．20. 如图，在△ABC 中，AB =8，AC =6，AD ⊥BC ，M ，N 分别为AB ，AC 的中点．（Ⅰ）若DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-6，求|BC |． （Ⅱ）若DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，求∠BAC 的大小．21. 设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6=60，且a 6为a 1和a 21的等比中项．（Ⅰ）求a n 和S n ．（Ⅱ）设数列{b n }满足b n +1-b n =a n ，若b 1=3，求数列{1b n}的前n 项和T n （n ∈N *）．22. 已知函数f （x ）=x 2+ax +ln x ，a ∈R ．（Ⅰ）若函数f （x ）存在两个极值， （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：函数f （x ）存在唯一零点．（Ⅱ）若存在实数x1，x2，使f′（x1）+f′（x2）=0，且x2＜x1＜2x2，求f（x1）-f（x2）取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={-1，0，1}，A={1，2}；∴A∩B={1}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：椭圆+=1，可得a=，b=2，则c=1，所以椭圆的离心率等于=．故选：B．利用椭圆的标准方程，求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.【答案】A【解析】解：由|x|＞2得x＞2或x＜-2，即“x＞2”是“|x|＞2”充分不必要条件．故选：A．根据绝对值不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：∵（1-2i）z=2+i，∴z=，则|z|=||=．故选：B．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础的计算题．5.【答案】A【解析】解析：函数有意义，需使e x-e-x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，又因为，所以当x＞0时函数为减函数，故选A故选：A．欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x ＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质．6.【答案】D【解析】解：如图，令D为AB中点，设==．且AD=BD=BE=1，∠EBC=120°．∴不垂直，故B错；作平行四边形BEFC，∴||=||≠1．故A错；，故C错；故选：D．画出图形，利用向量的运算性质求解．本题考查了向量的运算性质，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：函数f（x）（x∈R）的周期为T（T＞0），但是x2≥0，所以函数的定义域变小，故f（x2）不是周期函数．且：在（0，T）上单调，故：0＜x2＜T，解得：，故：在（0，）上单调．故选：B．直接利用函数的性质单调性和周期性的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质周期性和单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解：∵θ∈[，]，随机变量ξ的分布列如表所示，sin2θ∴Eξ=+2×+cos2θ=+cos2θ，∵θ∈[，]，∴，，∴∈[]，cos2θ∈[，]，由随机变量ξ的分布列的性质得：cos2θ∈[，]，∴Eξ=∈[]．故Eξ有最大值，最小值．故选：B．推导出Eξ=+cos2θ，θ∈[，]，结合随机变量ξ的分布列的性质得：cos2θ∈[，]，由此能求出Eξ的最大值和最小值．本题考查离散型随机变量的数学期望的取值范围的求法，考查离散型随机变量的数学期望的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：∵（3x2+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，∴3x2+a≥0，2x+b≥0或3x2+a≤0，2x+b≤0，①若2x+b≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b≥0，即b≥-2a＞0，此时当x=0时，3x2+a=a≥0不成立，②若2x+b≤0在（a，b）上恒成立，则2b+b≤0，即b≤0，若3x2+a≤0在（a，b）上恒成立，则3a2+a≤0，即-≤a≤0，故b-a的最大值为，故选：C．若（3x2+a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则3x2+a≥0，2x+b≥0或3x2+a≤0，2x+b≤0，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b的范围，进而得到答案．本题考查的知识点是恒成立问题，二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．10.【答案】D【解析】解：由f（x）=sin（2x+φ）+cos2x=sin（2x+φ）+cos2x=sin2xcosφ+cos2xsinφ+cos2x=cosφsin2x+（sinφ+）cos2x+=sin（2x+θ），则M（φ）=，m（φ）=-，对于选项A，M（φ）+m（φ）=+（-）=1，即不存在φ∈R，使得M（φ）+m （φ）=π，故A错误，对于选项B，M（φ）-m（φ）=-（-）=2∈[1，3]，即不存在φ∈R，使得M（φ）-m（φ）=π，故B错误，对于选项C，M（φ）•m（φ）=（）•（-）=-1-sinφ∈[-2，0]，即不存在φ∈R，使得|M（φ）•m（φ）|=π，故C错误，对于选项D，||=||=||∈[2，+∞），即存在φ∈R，使得||=π，故D正确，故选：D．由三角函数的辅助角公式及三角函数求最值逐一检验即可得解．本题考查了三角函数的辅助角公式及三角函数求最值，属中档题．11.【答案】3 3【解析】解：∵a=log23；∴2a=3；又b=log38；∴．故答案为：3，3．由a=log23即可得出2a=3，利用换底公式可得出，从而可求出ab=3．考查对数式和指数式的互化，对数的定义，对数的换底公式．12.【答案】-127√3 3【解析】解：∵a=3，b=5，c=7，∴cosC===-．∴sinC==，∴设△ABC的外接圆半径为R，则由2R==，解得：R=．故答案为：-，．由已知利用余弦定理可求cosC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用正弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.【答案】（0，1）y=±√2x【解析】解：双曲线M：x2-=1的离心率小于，可得：，解得m∈（0，1）．则m的取值范围是：（0，1）．m=2，双曲线M化为：x2-=1，双曲线的渐近线方程：y=x．故答案为：（0，1）；y=x．利用双曲线的离心率的范围列出不等式，求解可得m的范围，通过m的值，求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．14.【答案】288-24π 264+12π【解析】解：根据三视图知该几何体是一长方体，挖去两个对顶点的圆锥，且圆锥的底面圆内切与长方体，画出图形，如图所示；则该几何体的体积为V=8×6×6-2××π×32×4=288-24π；表面积为S=4×6×8+6×6-2×π×32+2×π×3×=264+12π．故答案为：288-24π，264+12π．根据三视图复原几何体的形状，结合图中数据求出几何体的体积和表面积．本题考查了利用三视图求几何体的体积和表面积的应用问题，也考查了空间想象能力和计算能力，是基础题．15.【答案】4【解析】解：依题意作出可行性区域如图，目标函数z=2x+3y在边界点（2，0）处取到最小值z=2×2+3×0=4．故答案为：4本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x+3y中，求出2x+3y的最小值．在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16.【答案】[2，4]【解析】解：要使函数有意义，则，即，即-a≤x≤a，则（a＞0），由f（x）=+-a=0得+=a，平方得a-x+a+x+2=a2，即2=a2-2a，即=，设y=，则y=的图象是以原点为圆心半径为a的上半圆，要使=有解，则满足0≤≤a，即，即，得，得2≤a≤4或a=0（舍），即实数a的取值范围是[2，4]，故答案为：[2，4]先求出函数的定义域，根据函数与方程之间的关系，进行整理，得到=有解，借助y=的几何意义，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法，转化为两个函数交点问题，以及利用数形结合是解决本题的关键．17.【答案】k＞12【解析】解：由三角形外心的定义，结合向量的投影的几何意义可得：=2，即（+k）=2，化简得：k=-2＜0，又k＞0，可得＜0，同理：=2，即（+k）•=2，化简得：=2，又＜0，即2＜0，即1-2k＜0，即k，故答案为：k由三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点，结合向量的投影的几何意义可得：= 2，即＜0，同理：=2，即=2，又＜0，即2＜0，即1-2k＜0，即k，故得解本题考查了三角形外心的定义即外心为各边中垂线的交点、向量的投影，属中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）f（5π6）=sin5π3+√3cos5π3=-√32+√32=0，（Ⅱ）f（x）=sin2x+√3cos2x=2sin（2x+π3），当x∈[0，π4]时，2x+π3∈[π3，5π6]，∴sin（2x+π3）∈[12，1]，∴函数f（x）的取值范围为[1，2]【解析】（Ⅰ）直接代值计算即可，（Ⅱ）先化简，再根据三角函数的性质即可求出．本题考查了三角函数值的求法和三角函数的性质，属于基础题19.【答案】解：（Ⅰ）当k=1时，|x−1|x−2-k（x-1）2=0，∴|x-1|•1−(x−1)(x−2)x−2=0，∴|x-1|•1−|x−1|(x−2)x−2=0，∴|x-1|•1−|x−1|(x−2)x−2=0，∴|x-1|=0或1-|x-1|（x-2）=0，∴x=1或x=3+√52．（Ⅱ）∵|x-1|•（1x−2−k|x−1|）即|x-1|=0或1x−2−k|x−1|=0，当x-1=0时，x=1，此时k∈R，∴1x−2-k|x-1|=0有三个不等于1的解，根据函数y=|x-1|•（x-2）的图象，得-14＜1k＜0，解得k＜-4，∴k的取值范围是（-∞，-4）．【解析】（Ⅰ）当k=1时，-k（x-1）2=0，推导出|x-1|=0或1-|x-1|（x-2）=0，由此能求出方程f（x）=0的解．（Ⅱ）|x-1|•（），得|x-1|=0或，从而-k|x-1|=0有三个不等于1的解，由此能求出k的取值范围．本题考查方程的解法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由AD ⊥BC 可知，|DM |=|AM |，|DN |=|AN |，所以∠MDN =∠MAN ，因为DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12cos ∠MAN =-6， 所以cos ∠MAN =-12， 所以|BC |2=|AB |2+|AC |2-2|AB ||AC |cos ∠MAN =148，所以|BC |=2√37，故答案为：2√37（Ⅱ）因为DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12（|DB |+|DC |）=5， 所以|BC |=10，所以∠BAC =90°，故答案为：90°．【解析】（Ⅰ）由平面向量的数量积运算及余弦定理得：cos ∠MAN=-，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB||AC|cos ∠MAN=148，（Ⅱ）由平面向量的数量积运算得：+=（|DB|+|DC|）=5，即|BC|=10，所以∠BAC=90°，得解 本题考查了平面向量的数量积运算及余弦定理，属简单题．21.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，则{a 1(a 1+20d)=(a 1+5d)26a 1+15d=60，解得a 1=5，d =2， ∴a n =2n +3，∴S n =n(2n+3+5)2=n （n +4），（Ⅱ）∵b n +1-b n =a n ，∴b n -b n -1=a n -1，n ≥2，n ∈N *，当n ≥2时，b n =（b n -b n -1）+（b n -1-b n -2）+）+（b 2-b 1）+b 1=a n -1+a n -2+…+a 1+b 1，=（n -1）（n -1+4）+3=n （n +2），对于b 1=3也适合，∴b n =n （n +2），∴1b n =1n(n+2)=12（1n -1n+2），∴T n =12（1-13+12-14+…+1n−1-1n+1+1n -1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）=3n 2+5n 4(n+1)(n+2)【解析】（Ⅰ）由题意可得设等差数列的公差为d ，则，计算即可求出a 1，d 的值，即可求出a n 和S n ．（Ⅱ）先根据迭代法求出数列的通项公式，再根据裂项求和即可求出．本题考查了数列的通项公式和递推公式以及裂项求和，考查了运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）（i ）根据题意，f ′（x ）=2x 2+ax+1x ，（x ＞0）方程2x 2+ax +1=0有2个正根m ，n ，（不妨设m ＜n ），故{△＞0−a 4＞0，解得：a ＜-2√2； （ii ）证明：易知f （x ）在x =m 时取极大值，在x =n 时取极小值，由（i ）知2m 2+am +1=0，故f （m ）=-m 2+ln m -1，令g （x ）=-x 2+ln x -1，故g ′（x ）=1x -2x ，由1x -2x =0，解得：x =√22， 故g （x ）≤g （√22）=ln √22-32＜0， 故f （m ）＜0，f （x ）至多只有1个零点，又f （-a ）=ln （-a ）＞0，故f （x ）存在唯一零点；（Ⅱ）由题意知：2x 1+a +1x 1+2x 2+a +1x 2=0， 即a =-（x 1+x 2）-x 1+x 22x 1x 2，故f （x 1）-f （x 2）=x 12-x 22+a （x 1-x 2）+ln x 1x 2 =-12（x 1x 2-x 2x 1）+ln x 1x 2， 设t =x 1x 2∈（1，2），记h （t ）=-t 2+12t +ln t ，则h ′（t ）=-12(1t +1)2≤0，故h （t ）递增，故h （t ）∈（h （2），h （1）），即h （t ）∈（-34+ln2，0），+ln2，0）．即f（x1）-f（x2）取值范围是（-34【解析】（Ⅰ）（i）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；（ii）令g（x）=-x2+lnx-1，求出g（x）≤g（）=ln-＜0，得到f（x）至多只有1个零点，从而证明结论；（Ⅱ）求出a=-（x1+x2）-，以及f（x1）-f（x2）=-（-）+ln，设t=∈（1，2），记h（t）=-++lnt，根据函数的单调性求出其范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及换元思想，转化思想，是一道综合题．。