近代电网络理论课程讲义

式中 Z l = B f ZB T E l = B f E − B f ZJ 为回路等效电压源的电压列向 f 为回路阻抗矩阵， 量。 例 2．1 对图示电路，写出其节点法，割集法，回路法方程。 而
I = BT f Il
有
解： （1）节点法：
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1 0 1 0 0 1 A = 0 −1 1 0 1 0 − 1 0 − 1 0 0 − 1 Z = diag [1 2 2 2 1 2] J = [0 0 0 3 0 2]
KCL
Ai b = [Al Q f i b = [Q l B f ub = [1l ub = A T u n
KVL
2 网络的最少变量 注意到： AB f = 0
T
B f QT f =0
Ql = − BtT = AtT Al
可得以下关系：
i i 1 1 i b = l = l = l i l = lT i l = B T f il i t − Q l i l − Q l Bt Q lT u l − Bt u t − B t = ub = = ut = ut = Q T f ut ut ut 1t 1t
图示网络中， il = f (ψ ), u c = f ( q ) ；其中 f (⋅) 在两式中是同一函数，设 f (⋅) 的
导数连续。电阻为 1 Ω ，各初始条件均为零。试证明此网络是端口线性的，且与 1 Ω 电阻等 效。
解：由定义 10 是非线性的，由定义 20 是非线性的,因为
&=q & + f ( q) u = uc + 1 ⋅ q
始条件均为零。试证明此网络是端口时不变网络，且与 1 Ω 电阻等效。
解： Q 令
ψ q & +( −q & ) ⋅1 = ψ L C ψ & + =α ψ L q & + =α q C
∴
&+ ψ
ψ q &+ =q L C
ψ (t 0 ) = 0 q (t 0 ) = 0
对所有 t ≥ t 0
而在任何时刻，均有 C (t ) = L(t ) ，可知 ψ (t ) = q (t ) 注意到
i=
ψ & +q L
及
&+ u =ψ
q C
得
Ri =
u (t ) = 1Ω i (t )
可见此网络是端口时不变的，且与 1 Ω 电阻等效。 3 无源性和有源性 对 n 端口网络，其端口处电压，电流分别为：
u(t ) = [u1
u2
u 3 Lu n ]T
i (t ) = [i1
i2
i 3 L i n ]T
y 2 , L,
yq
]
T
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分别表示其 p 个输入和 q 个输出，而 [u, y ] 为其容许信号偶，可以是电压也可以是电流。 （a）齐次性 （b）可加性 若 u → y ，有 αu → αy 成立，称其为按端口齐次性网络。 若 u → y , u → y ，有 u + u → y + y 成立，称其为按端口可加性网络。
现代网络理论
本课程是研究生的一门技术基础课，是在掌握了本科 《电路》课程的基础上开设的。其目的是开拓视野，扩展知 识面，为专业课的进行以及今后的研究工作奠定扎实基础。 1 课程时数：40 学时 2 考试方式：考试 3 授课方法：讲授与自学相合 4 参考文献： （1） B. Peikari , Fundamentals of Network Analysis and Synthesis . 1974. （2） N . Balabanian T . A . Bikart , Electrical Network Theory . John wiley & sons , Inc., 1968. （ 3） 社，1982. （ 4 ） 肖达川编著 . 电路分析 . 北京：科学出版社， 1984. （5） 邱关源编著. 电网络理论. 北京：科学出版社， 1988. 邱关源编著. 网络理论分析. 北京：科学出版
d X = AX + Bu dt
Y = CX + Du
则称其为线性网络。 若用这个定义考察一个网络是否线性， 就必须知道网络的内部结构， 就考察网络的端口 特性时未必有效。 30 从端口特性定义 对于一个 n 端口网络，用列向量
u = u1 , u 2 , L, u p
[
] , y = [y ,
T 1
T
1 Y = diag 1 2
这就是说，b 个支路电流可以用 l = b − n 个连支电流表示，而 b 个支路电压可以用
n = nt − 1 个树支电压表示。
3 一般支路
由 Kirchhoff ’s & Ohm’s lows,可得支路特性关系：
I k = Yk (U k + E k ) − J k = Yk U k + Yk E k − J k U k = Z k ( I k + J k ) − Ek = Z k I k + Z k J k − E k
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(1) 若对所有容许的信号偶 [ u, i ] ，在所有时间 t，输入端口的总能量为非负的，即：
W (t ) = ∫ u T (τ )i (τ )dτ ≥ 0
−∞
t
则称其为无源网络。这里假定在 t ≤ −∞ 时，网络是松驰的。即 i ( −∞ ) = 0 ， u( −∞ ) = 0 。 （2）若对某些容许的信号偶 [ u, i ] ，或对某些 t ≥ −∞ ，有
1
1．网络的基本性质 §1．1 1 基本变量 复合变量 2 基本关系 基本概念
i (t ) p (t )
u (t ) w(t ) dq(t ) dt
q (t )
ψ (t )
与元件无关的变量之间关系
i (t ) =
u (t ) =
dψ (t ) dt
t −∞
p(t ) = u (t )i (t )
3 基本元件
AI = AYU + AYE − AJ = 0 AYU = AJ − AYE Yn U n = J n
式中 Yn = AYAT 为节点导纳矩阵，J n = AJ − AYE 为注入节点的等效电流源的电流列 向量。 (2) 割集法 以树支电压为求解对象 而
U = AT U n
有
Q f I = Q f YU + Q f YE − Q f J = 0 Q f YU = Q f J − Q f YE QC U t = J c
对网络中的各支路 b1 , b2 , L, bb 列出方程，可得 b 元联立代数方程，用向量表示：
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I = YU + YE − J
U = ZI + ZJ − E
式中 Y, Z 分别为支路导纳矩阵和支路阻抗矩阵，它们不必是对角阵，即元件之间可以有互 易或互易的耦合。 4 一般求解方法 (1) 节点法 以节点电压为求解对象
式中 Qc = Q f YQ T f 为割集导纳矩阵，J c = Q f J − Q f YE 为注入割集的等效电流源的电流 列向量。 (3) 回路法 以连支电流为求解对象 而
U = QT f Ut
有
B f U = B f ZI + B f ZJ − B f E = 0 B f ZI = B f E − B f ZJ Zl Il = El
u(t ) = u (t ) ，而在所有 t ≤ t1 及任何 t1 > −∞ ，有 y (t ) = y (t ) ，称其为起因性网络。否则称
其为非起因性网络。 例 1．5 隧道二极管在电压激励，电流响应时是起因性的，而在电流激励，电压响应时是 非起因性的。
隧道二极管为压控电阻， i = f (u ) ，对两个输入 u (t ) 和 u (t ) ， 若 u (t ) = u (t ) （对所有 t） ，其输出 i (t ) = f (u (t )) = f (u (t )) = i (t ) （对所有 t） 。但 是对两个相等的电流 i (t ) = i (t ) ，却有三个不同的响应 u1 (t ) ≠ u 2 (t ) ≠ u 3 (t ) ，在这种情 况下，电路是非起因性的。 5 互易性
w(t ) = ∫ u (τ )i (τ )dτ
MEMRISTOR,由美籍华人蔡少棠教授于 1971 年提出。
§1．2
网络的基本性质
1 线性和非线性 （1） 关于线性的定义 10 从元件性质定义 若一网络由线性元件（具有任意初始值）及独立电源所构成，则称其为线性网络。此定 义初看起来似乎正确，但就网络的输入输出特性而言未必有效。我们将举例说明。 20 从网络方程定义 若网络的输入输出方程可以写成
At ], B f = [1l
B t ], Q f = [Q l
1t ] ，令节点电压列向量为 un ，支路
电流，电压列向量分别为：
i u ib = l , ub = l ，则 i t u t i At ] l = Al i t + At i t = 0 i t i 1t ] l = Ql i l + i t = 0 i t u B t ] l = ul + Bt ut = 0 ut
W (t ) = ∫ u T (τ )i (τ )dτ < 0
−∞
t
则称其为有源网络。 例 1．4 某非线性电阻在 t = 0 时与电池接通，
解:
W (t ) = ∫ u (τ )i (τ )dτ = ∫ 1 ⋅ (−0.5)dτ = −0.5t
−∞ 0
t
t
对所有 t > 0, W 为负的，网络向电池提供能量，非线性电阻是有源的。 4 起因性（Causalty） （1） 如果网络在激励施加之前没有响应，仅当激励施加后才有响应，网络的这种性质称为 起因性。即网络在任何时刻的响应只受过去和现在激励的影响，与将来的激励无关。 （ 2 ） 若 一 n 端 口 网 络 对 所 有 容 许 信 号 偶 [u(t ), y (t )] 及 [u (t ), y (t )] , 在 t < t1 时 ，
& + 1 ⋅ il = ψ & + f (ψ ) u =ψ
我们考察定义 30，因为 f (⋅) 的导数连续，所以它们的解是存在且唯一的。
& = u − f (q ) q & = u − f (ψ ) ψ
所以
q (t 0 ) = 0 ψ (t 0 ) = 0
对所有 t ≥ t 0 即 Ri =
q(t ) = ψ (t )
如果一个 n 端口网络同时具备齐次性和可加性，称其为按端口线性网络。 例 1．1 图示电路中，电容初始值为 U 0 ，考察其是否线性。
该电路按定义 10， 20 是线性的； 按定义 30 却不是线性的； 因为 y (t ) = 既不具有齐次性又不具有可加性。 例 1．2
1 t u (τ )dτ + U 0 c ∫0
而
& + il = u − f (q) + f (ψ ) = u (t ) i (t ) = q
u (t ) = 1Ω i (t )
，
可见此网络是端口线性的，且与 1 Ω 电阻等效。 （2）说明 随意断言一个网络是否线性是错误的。 2 时变和时不变
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（1）关于时不变的定义 10 若网络中不含有时变元件，则称其为时不变网络。 20 若网络的输入输出状态方程可以写成一组常系数一阶微分方程， 则称其为时不变网络。 30 设 [u(t ), y (t )] 及 [u (t ), y (t )] 为网络的任意两个输入输出偶，又设 y (T ) = y (0) 。若对 所有的 T ，当 u (t ) = u(t − T ) 时，有 y (t ) = y (t − T ) ，则称其为按端口时不变网络。 （2） 说明 定义 10 包含了定义 20，30 的意义，即满足定义 10 的网络也一定满足定义 20，30，反过 来却不成立。 例 1．3 图示电路中，电感和电容是线性时变的，在任何时刻，均有 C (t ) = L(t ) ，且初
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粗略地说，当输入，输出互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应，网络的这种性 质称为互易性。具有互易性的网络称为互易网络。
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2．网络的代数方程 §2．1 网络的基本解法 1 KCL 和 KVL 的矩阵形式 若一个网络是用一个具有 b 条支路， nt = n + 1 个节点的连通图表示，并选一树 T。于 是可以写出 A = [ Al