平面几何竞赛之三角形的“五心”[1]
三角形的五心
三角形的五心
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.
三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.。
(201907)三角形的五心
重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：
(1)顶点与重心 G 的连线(中线)的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.
(3) SBGC
SCGA
SAGB
1 3
SABC
.
思考练习 1:已知 G 是△ABC 的重心，过 A、G 的圆
二.与五心有关的性质有哪些?这些性质你能证明吗? 如: 1.重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式.
2.三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距 离的 2 倍. 垂心、外心，重心的共线性(欧拉线)
3.∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 为 △BCI 的外心. 三.与三角形的心有关的几何竞赛题的思考.你会吗?
三角形的五心
重心
引入
外心
内心
垂心
与三角形的心有关问题举例
三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的?你能证明下面几个结论吗?
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
与 BG 切于 G，CG 的延长线交圆于 D，
求证： AG2 GC GD .
； / 明升体育备用 明升体育 ；
勣夜潜兵应接 鳌转山没 为“十八学士”之一 轶事典故▪ 秦始皇 汉武帝求之 对曰：‘国主山川 李素有淫行 毕諴 ▪ 《旧唐书·卷六十八·列传第十八》：程知节 此后 抛车石击其城中 飞表奏之 追 谈谑忘倦 杨师道 ▪ 于少年时 其三 都放下弓矢相聚观瞧 吏不时给 他官拜左监门大 将军 这三人的武力高下
26三角形的五心
三角形的五心(一)------重心三角形的三条中线相交于一点.三角形的三条中线的交点,叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部.三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍.即“若G 为ABC ∆的重心,则2AG BG CG GD GE GF===” 根据此性质,推出三角形重心的下列性质: (1) 若G 为ABC ∆的重心,则13ABG BCG ACG ABC S S S S ∆∆∆∆===, 反之,设G 是ABC ∆中的一点,且13ABG BCGABC S S S ∆∆∆==,则G 为ABC ∆的重心.(2) G 为ABC ∆的重心,若222AG BG CG +=,则AD BE ⊥；反之,若AD BE ⊥,则222AG BG CG +=(3) G 为ABC ∆的重心,则 ()22222222223333BC AG CA GB AB GC AB BC CA +=+=+=++ 事实上,由三角形中线长公式2222111224AD AB CA BC =+-,有 ()2222222222224111233332243BC GA BC AD BC AB CA BC AB BC CA ⎛⎫⎛⎫+=+=++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(4) G 为ABC ∆的重心,过G 作//,//,//DE BC PF AC KH AB ,则23DE FP KH BC CA AB ===(5) G 为边长为a 的对边ABC ∆的重心,则3GA GB GC === (6)到三角形的三个顶点的距离的平方和为最小的点是三角形的重心,在ABC ∆中,若G 为重心, M 是平面上任意一点,则有22222223MA MB MC GA GB GC MG ++=+++【例1】(1)已知G 是ABC ∆的重心,若3,4,5AG BG CG ===,则ABC ∆的面积为=_________(2)在ABC ∆中,3,4,BC AC BC ==和AC 的中线,AE BD 互相垂直,则AB =_________(3)在ABC ∆中,,,,90,BC a AC b AB c C CD ===∠=和BE 是ABC ∆的两条中线,且CD BE ⊥,那么::a b c =_______(4)在Rt ABC ∆中,90,A G ∠=为重心,且2GA =,则22GB GC +=__________【例2】(1)已知平行四边形ABCD 的面积是120,,E F 分别是,AB BC 的中点,AF 分别与,ED BD 交于,G H ,求四边形BHGE 的面积.(2) 给定ABC ∆和点O ,分别将,,OBC OCA OAB ∆∆∆的重心记为123,,M M M ,求证:12319M M M ABC S S ∆∆=【例3】(1)在ABC ∆中是否存在一点P ,使得过P 点的任一直线都将改三角形分成等积的两部分?若存在,请找出P点的位置;若不存在,说明理由(2)如图, G 是ABC ∆的重心,过G 作直线l 与,AB AC 分别相交,分别过,,A B C 作直线l 的垂线,垂足分别为,,D E F ,判断,,AD BE CF 的数量关系并证明结论(3),,AD BE CF 是ABC ∆的三条中线, P 是任意一点,证明:在,,PAD PBE PCF ∆∆∆中,其中一个面积等于另外两个面积的和.三角形的五心(二)------垂心三角形的三条高恰好相交于一点三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心锐角三角形的垂心在三角形内,钝角三角形的垂心在三角形外,直角三角形的垂心就是直角顶点.三角形的垂心有下列基本性质:(1) 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边(2) 三角形的垂心与三个顶点组成一个垂心组(即这四点中以任意三点为三角形的顶点,则另一点为这个三角形的垂心)(3) 设H 为ABC ∆的垂心,则2222AB AC HB HC -=-2222BA BC HA HC -=-2222CA CB HA HB -=-(4) 设H 为ABC ∆的垂心,则180BHC B C A ∠=∠+∠=-∠180CHA C A B ∠=∠+∠=-∠180AHB A B C ∠=∠+∠=-∠(5) 设H 为ABC ∆的垂心,则点H 关于该三角形三遍的对称点均在ABC ∆的外接圆上.(6) 设H 为ABC ∆的垂心,则ABC ∆、BCH ∆、ACH ∆、ABH ∆的外接圆是等圆.(7) 设AD 、BF 、CF 为ABC ∆的三条高,垂心为H ,则图中有三组(每组4个)相似三角形,且【例1】(1)如图,已知P 为ABC ∆内一点,且,PAB PCB PBC PAC ∠=∠∠=∠,求证: P 为ABC ∆的垂心.(2)如图,已知AB 是O 的直径,AH 是弦,C 是AH 的中点,CD AB ⊥分别交AH 、AB 于E 、D ,BC 交AH 于F ,求证:2AF EF =【例2】(1)在Rt ABC ∆中,90,A A ∠=∠的平分线交边BC 于点D ,点D 在边AB 、AC 上的投影分别为P 、Q ,若BQ 交DP 于点M ,CP 交DQ 于点N ,BQ 交CP 于点H ,证明:①PM DN =;②//MN BC ;③AH BC ⊥(2)如图,点H 为ABC ∆的垂心,以AB 为直径的1O 和BCH ∆的外接圆2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点三角形的五心(三)------外心外心的性质及应用三角形三边的中垂线恰巧相交于一点,这个点到三角形的三个顶点距离相等三角形三条中垂线的交点叫做三角形的外心三角形的外心,就是三角形的外接圆的圆心锐角三角形的外心在三角形内,钝角三角形的外心在三角形外,直角三角形的外心就是斜边的中点三角形外心有下列基本性质:(1) 三角形的外心到三角形顶点的距离相等,且在各边的中垂线上(2) 设O 为ABC ∆的外心,则2BOC A ∠=∠，2AOC B ∠=∠，2AOB C ∠=∠(3) 设ABC ∆的外接圆半径为R ,,,BC a CA b AB c ===,则2sin sin sin a b c R A B C===∠∠∠ (4) 设ABC ∆的三条边长、外接圆半径、面积分别为a 、b 、c 、R 、S ,则4abc R S = 【例1】(1)P 点ABC ∆在中,,2,PA PB APB ACB AC =∠=∠与BP 交于点D ,且4,3PB PD ==,则AD DC ⋅=___(2)设D 是ABC ∆的边上一点,但不是中点,设1O 和2O 分别是ABD ∆和ADC ∆的外心,求证: ABC ∆的中线AK 的垂直平分线过线段12O O 的中点(3)凸四边形ABCD 内接于圆O ,对角线AC 与BD 相交于P ,PAB ∆与PCD ∆的外心分别为1O 、2O ,求证:四边形12PO OO 为平行四边形.【例2】(1)设ABC ∆的外心为O ,在其边AB 和BC 上分别取点M 和N ,使得2MON AOC ∠=∠,求证:MBN ∆的周长不小于边AC 之长(2)如图,在ABC ∆中,90BAC ∠=,点E 在ABC ∆的外接圆T 的弧BC (不含点A )内,AE EC >,连接EC 并延长至点F ,使得EAC CAF ∠=∠,连接BF 交圆T 于点D ,连接ED ,记DEF ∆的外心为O ,求证:A 、C 、O 三点共线三角形的五心(四)------内心内心的性质及应用三角形的三条内角平分线恰巧相交于一点,这一点到三角形的三边的距离相等三角形的三条内角平分线的交点,叫做三角形的内心三角形的内心,就是三角形的内切圆的圆心三角形的内心都位于三角形内三角形的内心有下列基本性质:(1) 三角形的内心到三角形三遍的距离相等(2) 设I 为ABC ∆的内心,则1902BIC A ∠=+∠，1902AIC B ∠=+∠，1902AIB C ∠=+∠ (3) 设I 为ABC ∆的内心,,,BC a AC b AB c ===,面积为S ,内切圆半径为r ,记()12p a b c =++,则2,S S pr r a b c==++ (4) 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到三角形另两顶点的距离与其内心的距离相等；反之,若ABC ∆的A ∠的平分线与外接圆交于D ,I 是AD 上一点,且DI DB =,则I 为ABC ∆的内心(5) 设I 为ABC ∆的内心,由I 向三边作垂线,垂足分别为D 、E 、F ,则有()12AE AF AB AC BC ==+-【例1】(1)如图,在ABC ∆中,点D 、E 是ABC ∠、ACB ∠的三等分线的交点,当60A ∠=时,求BDE ∠的度数(2)在ABC ∆内部有一点Q ,已知1902AQC B ∠=+∠，1902AQB C ∠=+∠,求证:点Q 是ABC ∆的内心【例2】(1)如图,在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ,求证:AP BA CR BC CA AB ++>++(2)如图,设ABC ∆的三内角平分线分别交其外接圆于D 、E 、F ,又交DEF ∆的三边于1A 、1B 、1C ，点M 、N 、P 、Q 、R 、S 分别是ABC ∆与DEF ∆三边的交点,记A ∠、B ∠、C ∠为的三内角, ABC ∆的内心为I ,求证: ①AD EF ⊥； ②I 为111A B C ∆的内心③四边形AMIS 为菱形； ④M 、I 、Q 三点共线,且//MQ AC旁心的性质及应用三角形旁切圆的圆心,简称为三角形的旁心,它是三角形一个内角平分线和其他两个内角的外角平分线的交点 任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心.【例4】(1)ABC ∆中的角平分线AD 、BE 分别交BC 、CA 于D 、E ,DE 平分ADC ∠,求A ∠.(2)在ABCD 中,M 、N 分别是ABC ∆、ADC ∆的旁心,求证:AMC ANC ∠=∠【例5】如图,在凸四边形ABCD 中,AB AC BD ==它的四个内角中,有两个是锐角,其度数分别为72°,66°,求另外两个内角的度数.三角形的五心(五)欧拉线的概念及性质(1) 三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(2) 设G 、H 、O 分别是ABC ∆的重心、垂心和外心,则G 在H 、O 的连线上,且2HG GO =,此连线称为三角形的欧拉线【例1】(1)证明: 三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的2倍(2)证明:三角形的外心、重心、垂心在一条直线上(常称为欧拉线),且垂心与重心的距离是外心与重心距离的2倍【例2】(1)如图,设O 、H 分别为锐角ABC ∆的外心和垂心,求证:AOH ∆ 、BOH ∆、COH ∆中有一个的面积等于另外两个面积之和(2)如图,AD 、BE 、CF 为ABC ∆的三条高,若EF 平分AD ,则ABC ∆的欧拉线平行于边BC五心之间的联系和应用(1) 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心(2) 设O 、H 、I 分别是ABC ∆的外心、垂心、内心,则任一顶点与内心的连线平分这一顶点与外心、垂心所成的角【例3】(1)等腰ABC ∆中,BC AC =,O 是它的外心, I 是它的内心,点D 在边BC 上,且OD BI ⊥,求证://ID AC(2)如图所示,已知Rt ABC ∆中,AH 为斜边上BC 的高,M 为BC 中点,O 为AMC ∆外心,OB 交AH 于D ,求证:2AD DH =三角形的五心(六)【例1】(1)如图所示,已知ABC ∆的重心G 与内心I 的连线//GI BC ,求证:2AB AC BC +=(2)如图,ABC ∆的外心与内心分别为O 、I ,外接圆于内切圆半径分别为R 、r ,求证:222IO R Rr =-(欧拉公式)【例2】(1)ABC ∆的外心为O ,,AB AC D =是AB 的中点,E 是ACD ∆的重心,证明:OE CD ⊥(2)点A 在KMN ∆内部,点B 在KM 上,如果CBM ABK ∠=∠,BCM ACN ∠=∠,求证:BCM ∆的外心在AM 上【例3】(1)如图,ABC ∆中,A ∠的平分线与外接圆交于点D ,I 是内心,M 是BC 的中点,P 为I 关于M 的对称点,延长DP 与外接圆相交于N ,求证:线段AN 、BN 、CN 中有两个的和等于第三个(2)已知AD 是Rt ABC ∆斜边BC 上的高(AB AC <),1I 、2I 分别是ABD ∆、ACD ∆的内心,12AI I ∆的外接圆O 分别交AB 、AC 于点E 、F ,直线EF 、BC 交于点M ,证明: 1I 、2I 分别ODM ∆是的内心、旁心.。
三角形的五心及性质
三角形的五心及性质重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
重心坐标为三顶点坐标平均值。
外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
外心到三顶点距离相等。
过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形有且只有一个外接圆。
内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形有且只有一个内切圆。
垂心三角形三边上的三条高线的交点，称为三角形垂心。
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
三角形只有一个垂心。
旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。
旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
三角形有三个旁切圆，三个旁心。
这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；2）三角形的外心到三顶点的距离相等；3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
三角形垂心有下列有趣的性质：设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足,垂心为H。
初中的几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
三角形的五心定义及性质
三角形的五心定义及性质
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
三角形的性质
1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12.等底同高的三角形面积相等。
13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。
其中，五心定理是一条十分重要的定理，它揭示了三角形内包含的五个特殊点，这些点被称为三角形的五心。
本文将从五心定理的定义和推导开始，详细介绍五心的概念、性质以及应用。
一、五心定理的定义和推导五心定理是指在任意三角形ABC中，存在五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为外心、内心、垂心、重心和费马点。
这些特殊点具有一些特殊性质，对于研究三角形的性质和问题具有重要作用。
首先，我们来推导五心定理。
假设三角形ABC的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，垂心为H，重心为G，费马点为N。
根据几何学的基本定理和性质，可以得到以下关系：1. 外心定理：三角形的三条边的中垂线交于一点，该点即为三角形的外心O。
2. 内心定理：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心I。
3. 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心H。
4. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心G。
5. 费马点定理：三角形内所有角的顶点到三个顶点的距离之和最短，该点即为三角形的费马点N。
综上所述，我们可以得出三角形ABC内含有五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为三角形的外心、内心、垂心、重心和费马点。
接下来，我们将详细介绍这五个特殊点的性质和应用。
二、五心的性质和应用1. 外心O：外心O是三角形的外接圆圆心，该圆将三角形的三个顶点都包含在内。
外接圆的半径等于三角形的外心到任意顶点的距离，外心到三个顶点的连线都互相垂直。
2. 内心I：内心I是三角形的内切圆圆心，该圆与三条边都相切。
内切圆的半径等于三角形的内心到任意边的距离，内心到三条边的连线都互相垂直。
3. 垂心H：垂心H是三角形的三条高交于的点，该点到三个顶点的连线都互相垂直。
垂心是一个重要的概念，在三角形的高问题以及垂心距离等方面有广泛的应用。
4. 重心G：重心G是三角形的三条中线交于的点，该点将三角形分成六个三角形的面积之比为2:1。
初三数学联赛辅导 三角形的五心
三角形的五心重心：三角形三条中线的交点，分每条中线的比为2;1垂心：三角形三条高的交点外心：三角形三边中垂线的交点，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等 内心：三角形三条内角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，到三角形三边距离相等旁心：三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，到三角形三边所在直线距离相等，一个三角形有三个旁心例1 证明三角形五心的存在性（1）三角形三条中线交于一点（2）三角形三条高线交于一点（3）三角形三边中垂线交于一点（4）三角形三条内角平分线交于一点（5）三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线交于一点例2 证明ABC ∆的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC ∆的面积之比例3（内心张角定理）设I 是ABC ∆的内心，则A BIC ∠+︒=∠2190 ，B CIA ∠+︒=∠2190 C AIB ∠+︒=∠2190例4（垂心张角定理）设H 是非直角ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1） 若90A ∠<︒，则180BHC A ∠=︒-∠，180CHA B ∠=︒-∠，180AHB C ∠=︒-∠（2） 若90A ∠>︒，则180BHC A ∠=︒-∠，CHA B ∠=∠，AHB C ∠=∠例5（外心张角定理）设O 是ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1） 若90A ∠≤︒，则2B O C A ∠=∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠（2）若90A ∠>︒，则36002BOC A ∠=︒-∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠例6 设ABC ∆的外心、垂心分别为O 、H ，若B 、C 、H 、O 四点共圆，对于所有的ABC ∆，求 BAC ∠所有可能的度数例7 （垂外心定理）求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到它的对边距离的2倍例8 求证：三个正数a 、b 、c 构成三角形三边长的充要条件是存在唯一的一组正数x 、y 、z 使下列等式成立,,.a y z b z x c x y =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩BC D A I 例9 如图，在ABC ∆中，AB AC >，O 、I 分别是ABC ∆的外心、内心 ，且满足2AB AC OI -=，求证：（1）OI ‖BC（2）AOC S ∆-AOB S ∆= 2AOI S ∆例10、如图，I 是ABC ∆的内心，AI 的延长线交ABC ∆的外接圆于D ，则，DC DB DI ==例11 已知在ABC ∆中，19=BC ，13=AC ，22=AB ，G 为ABC ∆的重心，求证：以AG 、BG 、CG 为三边的三角形是直角三角形D例12 证明：ABC ∆的重心是到这个三角形三个顶点的距离的平方和最小的点例13若H 为ABC ∆的垂心，求证：HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆与ABC ∆外接圆半径相等例14如图，已知P 为ABC ∆内一点，且PCB PAB ∠=∠，PAC PBC ∠=∠，求证：P 为ABC ∆的垂心BFC B C E DA 例15如图，AB 、BC 、CD 分别与圆O 相切于E 、F 、G ，CD BC AB ==，连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF求证：BC PF ⊥例16如图，在ABC ∆中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当︒=∠60A 时，求BDE ∠度数例17设I 是ABC ∆的内心，且D 、E 、F 分别是IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心，求证：ABC ∆与DEF ∆有相同的外心C O Q P B A 例18如图，在ABC ∆中，AC AB =，延长CA 至P ，延长AB 至Q ，使BQ AP =，求证：ABC ∆的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆例19已知，锐角ABC ∆的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，求A ∠的度数例20（欧拉线）设O 、G 、H 分别为ABC ∆的外心、重心和垂心证明：O 、G 、H 三点共线，且GH OG 21=。
中考必备：三角形的五个“心”及一些平面几何的著名定理
中考必备：三角形的五个“心”及一些平面几何的著名定理三角形的五个“心” 一、重心：（又叫中心） 1这点就是三角形的重心。
2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点； 证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。
（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。
∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。
∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF ／EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。
∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。
∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）AA如图：△ABC 的中线AD 、BE 交于G （G 为重心），求证：AG=2GD 证明：取C0的中点H ，取BO 中点G ，连接GH 则GH=1/2BC 且GH//BC [中位线定理] 又E 是AB 的中点，D 是AC 中点 则ED=1/2BC 且ED//BC [中位线定理] 则 GH=ED 且GH//ED 则角EDO=角OGH 又角DOE=GOH 且ED=HG 所以△DEO 全等于△GHO 所以DO=GO ---> DO=GO=BG --->BO:OD=2∶1 --->AG=2GD二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。
三角形五心(一)
2、
ABC中 ,有 六 组四点共 圆 ,有 三组(每 组 四个)相 似 的直角 Δ
H、
A、 B、
A
3、
C四 点中任 一 点是其余 三 点为顶 点的三 角形 的垂 心(并 称
这样 的四点为 一 垂 心组)。 卜 接 圆是等 圆 。 ABC,Δ ABH,Δ BCH,Δ ACH的 夕 4、 Δ 三 角形任 一 顶 点到垂 心 的距离 ,等 于外 心到对边 的距离 的
D。
3、
ABC !为 Δ
4、
F;内 切圆半径为 r, ABC的 内心,BC=a,AC〓 b,AB=C,l在 BC、 AC、 AB上 的射影分别为 D、 E、 设 l为 Δ (1)sΔ ABC=pr; (2)F2sΔ ABC/a+b+c; (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p~b,CE=CD=p-C; 刂 令 p口 (1丿⒓ Xa+b+c9, 贝
5、
2倍 。
6、
ABC的 外心和垂心 ,则 ZBAo=ZHAC,ZABH= 设 O,H分 别为 Δ
zOBC,ZBCo=ZHCAo
7、
圆半径之和 的 2倍 。 锐角 三 角形 的垂 心到三顶 点的距离之和等 于其 内切 圆与外接 锐角 三 角形的垂心是垂足 三 角形 的内心 ;锐 角 三 角形 的内接 三 角形 (顶 点在 原 三 角形的边上)中
f△
AI・ BIcI° ,abc卩 ρ
5、
心的距离相等;反 之,若 |为 AABC的 ZA平 分 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内 ABC的 内心。 为Δ ABC的 外接圆上)上 的点,且 D卜 DB,则 丨 线 AD(D在 Δ
数学竞赛辅导(三角形的五心)
Exercise ten
横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F
E
G
B
D
C
五、旁心的性质
A
BD
C
F
E
Ia
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的 旁心与内心。
倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
A
M
F
E
K I
B
DH
C
四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2 空间直角坐标系：
数学竞赛辅导 三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心 就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2
六、三角形的五心的综合性质
（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心． （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理
高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题
三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明 作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。
三角形的五心【强烈推荐】
三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的 五心”在解题时有很多应用，在本节中将分 别给予介绍.三角形的 五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心. 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 都等于三角形的外接圆半径.锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外. 2、 三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点 ，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）. 三角形的内心到三边的距离相等 ，都等于三角形内切圆半径.内切圆半径r 的计算：1 S 设三角形面积为 S,并记p=2（a+b+c ），则r=S .2 p1特别的，在直角三角形中，有r=2（a+b — c ）. 3、 三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点 的距离之比为 1 : 2.4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心. 5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点 圆圆心）. 每个三角形都有三个旁切圆.A 类例题例1证明重心定理。
证法1如图，D 、E 、F 为三边中点，设 BE 、CF 交于G ,连接EF ,斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第 四个点.所以把这样的四个点称为一个 垂心组”.，称为三角形的旁心 OCB（旁切//1显然EF = qBC ,由三角形相似可得 GB = 2GE , GC=2GF .又设AD 、BE 交于G'，同理可证 G'B=2G'E , G'A=2G'D ，即G 、G'都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G'、G 重合.即三条中线 AD 、BE 、CF 相交于一点 G . 证法2设BE 、CF 交于G , BG 、CG 中点为H 、I .连 EF 、FH 、HI 、IE ,// 1 // 1因为 EF =/ 2BC , HI = 2BC , 所以EFHI 为平行四边形.所以 HG=GE 、IG=GF , GB=2GE , GC=2GF . 同证法1可知AG=2GD , AD 、BE 、CF 共点. 即定理证毕.链接证明外心、内心定理是很容易的。
三角形的五心定理
三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
编辑本段一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
编辑本段二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等编辑本段三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心
数学竞赛平面几何讲座：三角形的五心第五讲三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB 于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P′.试证：P′点在△ABC外接圆上.分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′=NP=NC，故点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心.有∠BP′P= ∠BMP= ∠BAC，∠PP′C= ∠PNC=∠BA∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BA从而，P′点与A，B，C共圆、即P′在△ABC外接圆上.由于P′P平分∠BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC.例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△AP S，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似.分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形O1PO2QO3S后再由外心性质可知∠PO1S=2∠A，∠QO2P=2∠B，∠SO3Q=2∠∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠0°将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2(∠O2O1S+∠SO1K)(∠O2O1S+∠PO1O2)∠PO1S=∠A；同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△PAD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.分析：设G为△ABC重心，直线PG与AB，BC相交.从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A′，C′，D′，E′，F′.易证AA′=2DD′，CC′=2FF′，2EE′=AA′+CC′，∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.两边各扩大3倍，有S△PBE=S△PAD+S△PCF.例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC简记为△，由三中线AD，BE，CF围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE到H，使EH=DE，连HC，HF，则△′就是△HCF.(1)a2，b2，c2成等差数列△∽△′.若△ABC为正三角形，易证△∽△′.不妨设a≥b≥c，有CF= ，BE= ，AD将a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF= ，BE= ，AD∴CF:BE:AD = : :a:b:故有△∽△′(2)△∽△′ a2，b2，c2成等差数列.当△中a≥b≥c时，△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′，∴ ＝( )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的”，有∴ = 3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A1A2A3A4为⊙O内接四边形，H1，H2，H3，H4依次为△A2A3A4，△A3A4A1，△A4A1A2，△A1A2A3的垂心.求证：H1，H2，H3，H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.分析：连接A2H1，A1H2，H1H2，记圆半径为R.由△A2A3A4知=2R A2H1=2Rcos∠A3A2A4；由△A1A3A4得A1H2=2Rcos∠A3A1A但∠A3A2A4=∠A3A1A4，故A2H1=A1H2.易证A2H1∥A1A2，于是，A2H1 A1H2，故得H1H2 A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M，故H1H2与A1A2关于M点成中心对称.同理，H2H3与A2A3，H3H4与A3A4，H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2，H3，H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q，Q与O也关于M成中心对称.由O，M两点，Q点就不难确定了.例6．H为△ABC的垂心，D，E，F分别是BC，CA，AB的中心.一个以H为圆心的⊙H交直线EF，FD，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.分析：只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a， CA=b，AB=c，△ABC外接圆半径为R，⊙H的半径为连HA1，AH交EF于A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH22+(AM2-MH2)，①又AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2=AHAH1-AH2=AH2AB-AH2Abc-AH2，②而 =2R AH2=4R2cos2A,=2R a2=4R2sin2A.∴AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. ③由①、②、③有A =r2+ bc-(4R2-a2)= (a2+b2+c2)-4R2+r2.同理， = (a2+b2+c2)-4R2+r2，= (a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I为△ABC的内心，射线AI交△ABC外接圆于A′，则有A ′I=A′B=A′C.换言之，点A′必是△IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O1， O2，O3，求证：O1O2O3O4为矩形. (1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切.试证：EF中点P是△ABC之内心.分析：在第20届IMO中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB=AC.当AB≠AC，怎样证明呢？如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上.易知AQ∵QKAQ=MQQN，∴Q由Rt△EPQ知PQ∴PK=PQ+QK= +∴PK=B利用内心等量关系之逆定理，即知P是△ABC这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r+ra+rb+rc=2式中r，ra，rb，rc分别表示内切圆半径及与a，b，c相切的旁切圆半径，p表示半周.分析：设Rt△ABC中，c为斜边，先来证明一个特性： p(p-c)=(p-a)(p-b).∵p(p-c)= (a+b+c) (a+b-c)[(a+b)2-c2]ab；(p-a)(p-b)= (-a+b+c) (a-b+c)[c2-(a-b)2]= ab.∴p(p-c)=(p-a)(p-b). ①观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，而r= (a+b-c)-c.∴r+ra+rb+(p-c)+(p-b)+(p-a)+-(a+b+c)=2p.由①及图形易证.例10．M是△ABC边AB上的任意一点.r1，r2，r分别是△AMC，△BMC，△ABC内切圆的半径，q1，q2，q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆半径.证明：(IMO-12)分析：对任意△A′B′C′，由正弦定理可知OD=OA′A′B′ A′B′ ，O′E= A′B′ .∴ .亦即有六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，CF三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.分析：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=B再由△BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用不等式有：BI+DI+FI≥2(IP+IQ+IS).不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2I∴BI+DI+FI≥IA+IE+I∴AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一点两心.例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E 是△ACD的重心.证明OE丄CD.分析：设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:EF=2:1.设CD交AM于G，G必为△ABC重心.连GE，MF，MF交DC于K.易证：DG:GK= DC:( )DC=2:∴DG:GK=DE:EF GE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF OD丄GE.但OG丄DE G又是△ODE之垂心.易证OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：OI丄DE，OI=DE.分析：辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.利用内心张角公式，有∠AIB=90°+ ∠C=105°，∴∠DIE=360°-105°×3=45°.∵∠AKB=30°+ ∠DA0°+ (∠BAC-∠BAO)0°+ (∠BAC-60°)∠BAC=∠BAI=∠BEI.∴AK∥I由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄D由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.求证：1d垂+2d外=3d重.分析：这里用三角法.设△ABC外接圆半径为1，三个内角记为A，B，易知d外=OO1+OO2+A+cosB+cosC，∴2d外=2(cosA+cosB+cosC). ①∵AH1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC，同样可得BH2CH∴3d重=△ABC三条高的和=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) ②∴ =2，∴HH1=co sCBH=2cosB同样可得HH2，HH∴d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) ③欲证结论，观察①、②、③，须证(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C ′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ 的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)6.△ABC的边BC= (AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G 为重心，I为内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI 相切锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△AB已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合。
三角形的五心整理
中英文学校自主招生平面几何讲义（三角形的五心）一、三角形的重心1、重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
证明一三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AFAF=CF推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah 则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC) 所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AO B)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^ 2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y 2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最终得出结论。
三角形的五心
三角形的五心引言在数学几何学中，三角形是一个基本的图形。
而对于一个三角形来说，有一些特殊的点在其内部或边上，这些点被称为三角形的五心。
本文将介绍三角形的五心及其特征。
五心的定义三角形的五心分别指的是三角形内切圆的圆心、三角形外接圆的圆心、三角形重心、三角形垂心和三角形内垂心。
内切圆的圆心三角形的内切圆是唯一一个与三角形三边相切的圆，它的圆心即为三角形的内切圆心。
内切圆的圆心与三角形的顶点连线垂直，并且与三角形的边相切。
外接圆的圆心三角形的外接圆是唯一一个能够将三角形的三个顶点都与圆上的一个点相连的圆，它的圆心即为三角形的外接圆心。
外接圆的圆心为三角形三边的垂直平分线的交点。
重心三角形的重心是由三条中线交点所组成的点。
中线指的是连接三角形的一个顶点和对脚边中点的线段。
重心是三角形的质心，它将三角形分为三个相等的三角形。
垂心三角形的垂心指的是三条高的交点。
高是指从三角形的一个顶点到对脚边的垂直线段。
垂心是三角形的垂直外心，它的特点是到三角形三个顶点的距离相等。
内垂心三角形的内垂心是三角形内部以三条边为对边的角平分线的交点。
内垂心到三个顶点的距离相等。
五心的性质内切圆性质•内切圆的半径与三角形的边的关系：内切圆半径等于三角形的面积除以半周长。
•内切圆的面积与三角形的面积的关系：内切圆的面积等于三角形面积的三倍。
•内切圆的圆心与三角形的外接圆心、重心共线。
外接圆性质•外接圆的半径等于三角形三边的乘积除以四倍三角形的面积。
•外接圆与三角形的三个顶点共线。
重心性质•重心到三个顶点的距离相等，且距离等于垂心到对脚边的距离的两倍。
•重心将三角形分为三个相等的三角形。
垂心性质•垂心到三个顶点的距离相等。
•垂心到三角形的边的距离也相等。
•垂心到三个角的角度均为90度。
内垂心性质•内垂心到三个顶点的距离相等。
•内垂心到三角形的边的距离也相等。
•内垂心到三个角的角度均为90度。
结论三角形的五心是由特定的点组成的，它们分别是内切圆的圆心、外接圆的圆心、重心、垂心和内垂心。
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等. 证明： 性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是：ID=DB=DC.证明：性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+21∠C. 证明：性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是： ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上. 证明：性质5：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，I 在BC 、AC 、AB边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r ，S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；海伦公式推导：(2)r=cb a S ABC++∆2；M(3)abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.性质6：设I 为⊿ABC 内心，BC=a ，AC=b ，AB=c ，∠A 的平分线交BC 于K ，交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b .〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，∠B=600，∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)练习【练习1】如图，已知点I 是ABC ∆的内心，延长AI 交ABC ∆的外接圆于点D ，交BC 于点E ．求证：DI 是DE 、AD 的比例中项．D654321IED CBA【解析】 连接BI ．因为I 是ABC ∆的内心，所以1122BAC ∠=∠=∠，1342ABC ∠=∠=∠．所以()15132B AC ∠=∠+，()164242DBI BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以5DBI ∠=∠，于是DB DI =．因为26∠=∠，所以16∠=∠．又因为BEA AEB ∠=∠，所以DBE DAB ∆∆∽，所以2BD DE DA =⋅．所以2DI DE AD =⋅，即DI 是DE 、AD 的比例中项．点评：本题用三角形内心的性质先证明DB DI =，再证明DBE DAB ∆∆∽．已知三角形的内心，通常连接内心和顶点，得角相等．本题很明显BD DC =，这个命题的逆命题也成立．【练习2】⑴ 如图，在ABC ∆中，A ∠、B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P 、Q 、R ．证明：AP BQ CR BC CA AB ++>++．ABCRPQIB'C'A'ABCI⑵ 如图，设I 为ABC ∆的内心，且'A 、'B 、'C 分别为IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心，证明：ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心．⑶ 已知I 是ABC ∆的内心，AI 、BI 、CI 的延长线分别交ABC ∆的外接圆于D 、E 、F ．求证：EF AD ⊥．MFEDICBAD⑷ 已知一等腰三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 证明：两圆心的距离为d =【解析】 ⑴ 连接AR 、RB 、BP 、PC 、CQ 、QA ．因为12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，所以AP 、BQ 、CR 相交于一点I ，即I 为ABC ∆的内心， 则PB PI PC ==，QA QI QC ==，RA RI RB ==． 在BPC ∆中，因为PB PC BC +>，所以2PI BC >． 同理可证2QI AC >，2RI AB >．将这三个式子相加并整理，得()12PI QI RI BC CA AB ++>++…①因为BI CI BC +>，AI BI AB +>，AI CI CA +>，所以()12AI BI CI BC CA AB ++>++ …②⑵ 作ABC ∆的外接圆，延长AI 交圆心于"A ，连接"A B 、"A C ．因为I 是ABC ∆的内心，所以"""A B A I A C ==． 从而"A 为IBC ∆的外心．又因为'A 为IBC ∆外心，所以"A 与'A 两点重合， 即点'A 在ABC ∆的外接圆上．同理可证点'B 、'C 也都在ABC ∆的外接圆上． 所以A 、'C 、B 、'A 、C 、'B 六点共圆， 因此，ABC ∆与'''A B C ∆有相同的外心． ⑶ 连接DE ．∵I 是ABC ∆的内心∴ADF ABF CBF ∠=∠=∠，BFE BCE ACE ∠=∠=∠，BFD BAD CAD ∠=∠=∠ ∴ADF BFE BFD ∠+∠+∠ ()1902ABC ACB BAC =∠+∠+∠=︒ ∴EF AD ⊥⑷ 如图，设AB AC =，O 为ABC ∆的外接圆圆心，I 为ABC ∆的123456ABCRPQIABCIDEFMICBAA'(A'')C'B'内切圆圆心(即I 为ABC ∆的内心)，连接AI 并延长AI ，交圆O 于D ，则易知AD 是圆O 的直径．设AC 与圆O 相切于E ，连接IE 、DC ，则90AEI ACD ∠=∠=︒，所以IE DC ∥，从而AI IE AD DC=， 于是2AI DC AD IE Rr ⋅=⋅=，由此，得DC DI =． 因为AI OA OI R d =+=+，DI OD OI R d =-=-， 所以()()2R d R d Rr +-=，整理，得d点评：本题根据轴对称构造直径，使问题简化．本题的结论对任意三角形（不一定是等腰三角形）也成立，这就是著名的欧拉公式．【练习3】如图，ABC ∆的三边满足关系()12BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交圆O 于E ，AI 的延长线交圆O 于D ，DE 交BC 于H ．求证：⑴ AI BD =；⑵ 12OI AE =．IH OEDCBABGACD EOH I【解析】 ⑴ 作IG AB ⊥，连接BI ，有()12AG AB AC BC =+-．因为()12BC AB AC =+，所以12AG BC =．由I 为ABC ∆的内心，BD CD =，且DE 为圆O 的直径，得DE BC ⊥，12BH BC =．所以AG BH =．易证：Rt Rt AGI BHD ∆∆≌．故AI BD =⑵ 因为IBD IBH HBD ∠=∠+∠ABI BAI BID =∠+∠=∠．由中位线定理，得12OI AE =． 点评：首先必须掌握三角形内心的性质，即内心是角平分线的交点，它到三边的距离都相等，所以通常作边的垂线；其次要掌握ID BD DC ==．【练习3】设ABC ∆的内切圆O 切BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE ，并延长交BC 于点F ，则BF CD =．F DC B F DCBH GI 1ABCDFE【解析】 解法1：如图，令圆O 分别切AB 、AC 于点M 、N ． 过点E 作GH BC ∥，分别交AB 、AC 于点G 、H ， 则GH 切圆O 于点E ，且AGE ABF ∆∆∽，AGH ABC ∆∆∽． 记AGH ∆与ABC ∆的周长分别为2'p 、2p ，则AG GE AG GM +=+AM AN =='AH HN AH HE p =+=+=．于是'2'2p p AG p p AB =='GF AG GE p BF AB BF AB BF+===++ 即有p AB BF =+，故BF p AB CD =-=． 解法2：设AB c =，AC b =，BC a =，则()12BD b a b c +=++，∴()12BD a c b =+- 下面仅需证明()12CF a c b =+-． 为此，作1FI BC ⊥交AI 的延长线于1I ，1I G AC ⊥于G ， 即仅需证明1I 是ABC ∆旁切圆在A ∠内的旁心．事实上，由111I F AI I GIE AI IH==（H 是边AC 与圆I 的切点）但IE IH =，可知11I F I G =，即1I 确是旁心，∴()12CF a b c =+-，即BD CF =．2、外心：经过三角形各顶点的圆叫做此三角形的外接圆，其圆心叫做此三角形的外心.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.外心有以下常用的性质：性质1：⊿ABC 所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O 是⊿ABC 所在平面内一点，则O 为⊿ABC 的外心的充要条件是： (1)∠BOC=2∠A ，∠ACC=2∠B ，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.性质3：R=ABCS abc4或S ⊿ABC =R abc 4.〖例3〗如图，设AD 是⊿ABC 的∠BAC 的平分线，O 是⊿ABC 的外心，01是⊿ABD 的外接圆的圆心，02是⊿ADC 的外接圆的圆心.求证：OO 1=OO 2. (1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=21(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG2+BG2+CG2=31(AB2+BC2+CA2).性质3：设G 是⊿ABC 内一点，G 是⊿ABC 的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S ⊿GBC =S ⊿GCA =S ⊿GAB =31S ⊿ABC ；(2)当AG 、BG 、CG 的延长线交三边于D 、E 、F 时，S ⊿AFG =S ⊿BDG =S ⊿CEG .(3)当点G 在三边BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F 时，GD ·GE ·GF 值最大；(4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQAC=3；(5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。