安徽省芜湖市2020届高考数学仿真模拟卷理[含答案].doc

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2020年安徽省芜湖市第四十一中学高二数学理模拟试题含解析

2020年安徽省芜湖市第四十一中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的值域为( )A. B. C. B.参考答案：B略2. 过抛物线（t为参数）的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为（）A. B. 或 C. D. 或参考答案：B【分析】抛物线的标准方程是，故焦点坐标为，直线的参数方程为（为直线的倾斜角），代入抛物线方程得到关于的方程，其两个根为，再利用求出．【详解】消去参数得到抛物线方程为：，设直线的参数方程为（为直线的倾斜角），故，设两个根为，则且，因，故，或者，故选B．【点睛】如果直线的参数方程是（是参数且，是直线的倾斜角），那么表示与之间的距离．因此，在参数方程中，针对直线上的动点到定点的距离和、积或差等问题（动点和定点都在该直线上），可用直线的参数方程结合韦达定理来考虑．3. 设是函数定义域内的两个变量，且，若，那么，下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．参考答案：D4. 下表是某厂1～4月用水量(单位：百吨)的一组数据. 由散点图知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程为，则＝ ( ).A．参考答案：D略5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（）A. n≤7？B. n＞7？C. n≤6？D. n＞6？参考答案：D当时，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，当时．此时有，算法结束，所以判断框中的条件应填，这样才能保证进行7次求和．故选D．【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．6. 将最小正周期为3π的函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为（）A．B．﹣C．﹣D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，可得函数f（x）的解析式，再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）=cos（ωx+φ+）的最小正周期为3π=，求得ω=，∴函数f（x）=cos（x+φ+）．再把f（x）的图象向左平移个单位，得到偶函数y=cos[（x+）+φ+]=cos（x++φ）图象，则满足题意的φ的一个可能值为﹣，故选：B．7. 点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC=BD，且AC与BD成90°，则四边形EFGH是（）A．菱形B．梯形C．正方形D．空间四边形参考答案：C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】先根据三角形的中位线定理整出两队对边平行且相等，是一个平行四边形，再证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=90°，得到四边形是一个正方形．【解答】解：因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD同理FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．所以EH∥FG，且EH=FG∵AC=BD，所以四边形EFGH为菱形．∵AC与BD成900∴菱形是一个正方形，故选C．8. 从编号分别为1，2，…，7的7张卡片中任意抽取3张，则满足任意两张卡片的数字之差的绝对值不小于2的有（）种A．4 B．10 C．20 D．35参考答案：B略9. 圆x2+y2=4与圆x2+y2+2 y－6=0 的公共弦长为（）．A．1 B．2 C．D．2参考答案：D解：两圆方程相减公共弦所在直线方程为，与前一个圆距离，半径，则弦长．故选．10. 圆与圆位置关系是().A.相离B.相交C.外切D.内切参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知过曲线上的一点的切线方程为，则．参考答案：212. 若复数z ＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z22的虚部为________．参考答案：4略13. 设是函数的导函数，已知在R上的图象（如图），若，则的取值范围是_________________参考答案：14. 在等比数列中，已知，则该数列的前15项的和。

【KS5U解析】安徽省芜湖市2020届高三下学期教育教学质量监测数学(理)试题 Word版含解析

8.已知向量，，与的夹角为，且，则实数k的值为（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合平面向量数量积的定义可得，转化条件为，代入即可得解.
【详解】向量，，与的夹角为，
，
又，，
，
由，可得解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
【解析】
【分析】
利用与的关系，结合题意可得数列是以1为首项，公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得解.
【详解】当时，，解得，
当时，即，
所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了数列与关系的应用，考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出、的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系.
【详解】指数函数在上为减函数，则，即；
对数函数在上为减函数，则；
对数函数在上为增函数，则 .
.
因此， .
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意每抛撒钱币一次得到变爻的概率为，结合独立重复试验概率公式可得，即可得解.
【详解】由题意每抛撒钱币一次得到变爻的概率为，
则一卦中变爻个数，
则一卦中恰有三个变爻的概率 .
故选：C.
【点睛】本题考查了独立重复试验概率公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

安徽省芜湖市2020届高三数学5月模拟考试试题理(含解析)

第Ⅱ卷（非选择题，共
90分）
二、填空题（此题共4小题，每题5分，共20分）
6
13.在二项式
x
2
的睁开式中，常数项的数值为
________.
x
【答案】60
【分析】
【剖析】
经过二项式睁开式的通项，令
x的指数等于零，求得
r的值，从而求得常数项.
6 r
2
r
3
3r
C6r
C6r2r
【详解】Tr
1
x
x
2
x
当3
3r
部分的概率为（）
A.3
B.(322)
C.(2
2)
D.
32
2
4
8
【答案】B
【分析】
【剖析】
以下图，设正方形的边长为2，此中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小
圆的半径为r，求出圆的面积，依据概率公式计算即可
【详解】以下图，设正方形的边长为2，此中的4个圆过正方形的中心，且内切正方形的两
邻边的小圆的半径为r，
面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A. 6
B. 9
15
D.6
3
2
C.
2
2
【答案】A
【分析】
【剖析】
画出几何体
直观图，利用三视图的数据求解即可．
【详解】由三视图可知该几何体的各个面分别为，两个梯形
PQCD和PQBA，一个矩形
ABCD，
两个三角形PDA和三角形QCB，
所以两个梯形的面积相等，和为S 21
ω 为正奇数，再
4
4
联合f（x）在区间
12
，
上单一，求得

2020年安徽省芜湖市万春中学高三数学理模拟试题含解析

2020年安徽省芜湖市万春中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B略2. 对于复数，若，则b=（）A．0 B．2 C．－2 D．－1参考答案：C由得．3. 设向量满足，，则＝( )A．B．C．D．参考答案：B略4. 已知是函数f(x) =2x +的一个零点, 若∈（1，），∈（，+），则（A）f()＜0，f()＜0 （B）f()＜0，f()＞0（C）f()＞0，f()＜0 （D）f()＞0，f()＞0参考答案：B略5. 执行如图所示的程序框图，输出S的值等于（）A. B.C. D.参考答案：A由题可知即得S=6. 甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”；乙说:“丁是第一名”；丙说:“乙是第一名”；丁说:“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为（）A．甲B．乙C．丙D．丁参考答案：A7. 在中，，则∠C=（）A.30°B.45°C.60°D.120°参考答案：A由余弦定理可得，所以，选A.8. 设为全集，是集合，则“存在集合使得”是“”的（）A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件参考答案：C9. 设函数,则( )A.当k=2013时，在x=1处取得极小值B.当k=2013时，在x=1处取得极大值C.当k=2014时，在x=1处取得极小值D.当k=2014时，在x=1处取得极大值参考答案：C10. 阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．123 B.38 C．11 D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则= ．参考答案：略12. 设是一个非空集合，是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于，都有；（ⅱ）对于，都有；（iii）对于，使得；（iv）对于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和运算：①是整数集合，为加法；②是奇数集合，为乘法；③是平面向量集合，为数量积运算；④是非零复数集合，为乘法. 其中关于运算构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.参考答案：①④①若是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（iii） ,则；（iv），在整数集合中存在唯一一个，使；故整数集合关于运算构成一个群；②是奇数集合，为乘法，则,不满足（iv）；③是平面向量集合，为数量积运算, 则不满足（i）;④是非零复数集合，为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（iii） ,则；（iv），在中存在唯一一个，使.13. 已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且.现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，那么，当时，的估计值为.参考答案：3.8；将代入得. 所以样本中心点为，由数据点(1.1,2.1)和(4.9,7.9)知：，，故去除这两个数据点后，样本中心点不变.设新的回归直线方程为，将样本中心点坐标代入得：，所以，当时，的估计值为.14. 已知函数，令，则二项式展开式中常数项是第项.参考答案：515. 设，若，则；参考答案：1略16. 已知△ABC的三边长分别为2，3，，则△ABC的面积S= ．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由余弦定理可得一内角的余弦值，进而可得正弦值，代入三角形的面积公式计算即可得解．【解答】解：在△ABC中，由题意，不妨设△ABC的三边长分别为a=2，b=3，c=，则由余弦定理可得cosA===，∴sinA==，∴则△ABC的面积S=bcsinA=×3××=．故答案为：．17. 已知函数在上恒正，则实数的取值范围是参考答案：【知识点】指数函数复合函数的单调性 B6 B3设，需满足，即，因为，所以，从而，可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，所以，当时，函数在上单调递减，所以，即为，故答案为.【思路点拨】因为函数在上有意义，所以满足，求得，而可得函数的对称轴为，从而函数在上单调递增，然后利用复合函数同增异减对进行分类讨论，可得结果.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年安徽省芜湖市第三十六中学高一数学理模拟试卷含解析

2020年安徽省芜湖市第三十六中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是定义在上的一个函数，则函数在上一定是（）A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数参考答案：A略2. 已知函数f（x）=，若?x∈R，则k的取值范围是（）A．0≤k＜B．0＜k＜C．k＜0或k＞D．0＜k≤参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【专题】常规题型．【分析】本选择题利用特殊值法解决，观察几个选项知，当k=0时，看是否能保证?x∈R，如能，则即可得出正确选项．【解答】解：考虑k的特殊值：k=0，当k=0时，f（x）=，此时：?x∈R，对照选项排除B，C，D．故选A．【点评】本小题主要考查函数定义域的应用、函数恒成立问题等基础知识，解答关键是正确选用解选择题的方法．属于基础题．3. 函数的定义域为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则2sin（π﹣2x）﹣1≥0，即sin2x≥，则2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，则kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的定义域为，故选：D4. 已知，，，则，，的大小关系为（）A B C D参考答案：B略5. 设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A．B．C．D．参考答案：C6. 满足条件的集合的个数是（）．A．4 B．3 C．2D．1参考答案：C满足条件的集合有，共个．故选．7. 设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，B={2,3}，则（）A. {4,5}B. {2,3}C. {4}D. {1}参考答案：D【分析】先求得集合的补集，然后求其与集合的交集，由此得出正确选项.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.8. 定义在R上的函数f（x）=，g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，若f（x）在[1，+∞）为增函数，则（）A．g（1）＞2g（0）B．g（3）＞8g（0）C．g（2）＞2g（0）D．g（4）＜16g（0）参考答案：B【考点】函数单调性的性质．【分析】由已知函数f（x）=在[1，+∞）为增函数，可得f（3）＞f（2），即g（3）＞2g （2），进而根据g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，转化可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=在[1，+∞）为增函数，∴f（3）＞f（2），即＞，即g（3）＞2g（2），又∵g（x）=g（2﹣x）?4x﹣1，∴g（2）=g（2﹣2）?4=4g（0），故g（3）＞8g（0），故选：B9. △的面积为，边长，则边长为A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C10. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣） C．y=cos（2x+）D．y=cos（2x﹣）参考答案：D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】函数图象经过两个特殊的点：（，1）和（﹣，0），用点的坐标分别代入各选项的表达式，计算即得正确答案．【解答】解：∵点（，1）在函数图象上，∴当x=时，函数的最大值为1．对于A，当x=时，y=sin（2?+）=sin=，不符合题意；对于B，当x=时，y=sin（2?﹣）=0，不符合题意；对于C，当x=时，y=cos（2?+）=0，不符合题意；对于D，当x=时，y=cos（2?﹣）=1，而且当x=时，y=cos[2?（﹣）﹣]=0，函数图象恰好经过点（﹣，0），符合题意．故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是．参考答案：60°【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，解直角三角形求出∠ADE的大小，即为所求．【解答】解：由题意可得，三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，取BC的中点E，则AE⊥∠面BB1C1C，ED就是AD在平面BB1C1C内的射影，故∠ADE就是AD与平面BB1C1C所成角，设三棱柱的棱长为1，直角三角形ADE中，tan∠ADE===，∴∠ADE=60°，故答案为60°．12. 已知a+a﹣1=3，则a+a =．参考答案：【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】利用a+a =，即可得出．【解答】解：∵a＞0，∴a+a==．故答案为：．13. 现有命题甲：“如果函数为定义域上的奇函数，那么关于原点中心对称”，则命题甲的否命题为（填“真命题”或“假命题”）。

2020年安徽省芜湖市第四十八中学高二数学理模拟试卷含解析

2020年安徽省芜湖市第四十八中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则P∩Q=（）A. [3,4)B. (2,3]C. (－1,2)D. (－1,3]参考答案：A由题意得，，所以，故选A.2. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()．A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a参考答案：Da＝14.7，b＝15，c＝17.3. 定义域为的函数满足当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C4. 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A. （） B. （1，） C. （） D. （1，）参考答案：D5. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A. (－∞，0)B. (－∞，4]C. (0，＋∞)D. [4，＋∞)参考答案：B【分析】分析：由已知条件推导出，令，利用导数形式求出时，取得最小值4，由此能求出实数的取值范围.【详解】详解：由题意对上恒成立，所以在上恒成立，设，则，由，得，当时，，当时，，所以时，，所以，即实数的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．6. 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)参考答案：B7. 一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（）A．B． C．1 D．参考答案：A8. 已知正方体-，则与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：D9. 若，且函数在处有极值，则的最大值等于A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：C略10. 椭圆的焦距为（）A．10 B．5 C．D．参考答案：D 【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递增区间是________.参考答案：略12. 计算：= --__________.参考答案：略13. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a n}，则a n﹣a n﹣1= （n≥2）；对n∈N*，a n= ．参考答案：3n﹣2，【考点】归纳推理．【专题】计算题；等差数列与等比数列；推理和证明．【分析】根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个等差数列，由此可得结论．【解答】解：a2﹣a1=5﹣1=4，a3﹣a2=12﹣5=7，a4﹣a3=22﹣12=10，…，由此可知数列{a n+1﹣a n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．所以a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）+1=3n﹣2（n≥2）迭加得：a n﹣a1=4+7+10+…+3n﹣2，故a n=1+4+7+10+…+3n﹣2=，故答案为：3n﹣2，【点评】本题考查了等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，属于中档题．14. 方程表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1<t<4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1<t<.其中真命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号)．参考答案：③④15. 若五个数1、2、3、4、a的平均数为4，则这五个数的标准差为．参考答案：【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．【分析】由五个数1、2、3、4、a的平均数为4，求出a=10，由此能求出这五个数的方差．【解答】解：∵五个数1、2、3、4、a的平均数为4，∴，解得a=10，∴这五个数的方差为S2= [（1﹣4）2+（2﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（10﹣4）2]=10，这五个数的标准差为S=．故答案为：．【点评】本题考查标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差性质、计算公式的合理运用．16. 如图，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使得C点至C′，E点在线段AC′上，若二面角A－BD－E与二面角E－BD－C′的大小分别为30°和45°，则＝________.参考答案：17. 设抛物线x2=4y，则其焦点坐标为，准线方程为．参考答案：（0，1），y=﹣1【分析】根据题意，由抛物线的方程分析可得其焦点位置以及p的值，进而由抛物线的焦点坐标公式、准线方程计算即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2=4y，其焦点在y轴正半轴上，且p=2，则其焦点坐标为（0，1），准线方程为y=﹣1；故答案为：（0，1），y=﹣1．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年安徽省高考理科数学仿真模拟试题(附答案)

2020年安徽省高考理科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A= {*∈-N x x x ,0<72},则B={A y N yy ∈*∈,6|}的子集个数是（） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个2. 某食品的广告词为:“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却大着呢，原来这句话的等价命题是（）A.不拥有的人们不一定幸福B.不拥有的人们可能幸福C.拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福3. 已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（） A. 64B. 32C. 16D. 44. 欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，4i i e eππ表示的复数在复平面中位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（） A. -20B. -18C. -10D. -86. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.11127．直线 m,n 和平面βα, 则下列命题中，正确的是（）A ．m ∥n, m αβα⇒⊆⊆n ,∥βB ．m αβα⇒⊆⊥⊥n n m ,,∥β C.m ∥n,n ,β⊥m βαα⊥⇒⊆ D.m ∥n,m βαβα⊥⇒⊥⊥n , 8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9. 下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 12B. 15C.D.10. 在平面区域，内任取一点，则存在，使得点的坐标满足的概率为（）A.B.C.D.11. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则||MN 的最小值为（） A. 1D.312. 已知函数()ln 2f x a x x =-+（a 为大于1的整数），若()y f x =与(())y f f x =的值域相同，则a 的最小值是（）（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈） A. 5 B. 6C. 7D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年安徽省芜湖市示范高中高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含解析)

2020年安徽省芜湖市示范高中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合M ＝{x||x +1|<3}，N ＝{x|x 2−x −6<0}，则M ∪N ＝（） A.{x|−4<x <3} B.{x|−4<x <−2} C.{x|−2<x <2}D.{x|2<x <3}2.设a →，b →是非零向量，则“a →⋅b →=0”是|a →+b →|=|a →−b →|的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.设复数z 满足|z −i|＝1，则|z|最大值为（） A.1B.√2C.2D.44.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y =b x +a ，已知∑=i=110 xi 225，∑=i=110 yi 1600，b =4．该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（） A.160B.163C.166D.1705.设a =(13)0.2，b =log 1215，c ＝ln5，则a ，b ，c 的大小关系是（） A.a >b >cB.c >b >aC.b >c >aD.a >c >b6.若将函数f(x)＝sin2x +√3cos2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（） A.π12B.π4C.3π8D.5π127.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n −1，则a 5的值为（） A.8B.16C.32D.818.已知向量a →=(1,k)，|b →|=2，a →与b →的夹角为5π6，且(a →+b →)⊥a →，则实数k 的值为（） A.√2B.√3C.2D.±√29.函数y =2|x|sin2x 的图象可能是()A.B.C. D.10.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为12，则一卦中恰有三个变爻的概率为（） A.516B.1564C.1351024D.1215409611.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线MN 与C 的左支交于M ，N 两点，若(F 2F 1→+F 2M →)⋅MF 1→=0，|F 2N →|=2|F 2M →|，则C 的渐近线方程为（） A.y =±√33x B.y =±√3x C.y =±√22x D.y =±√2x12.已知棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为DC 中点，F 在线段D 1C 1上运动，则三棱锥F −ADE 的外接球的表面积最小值为（） A.14π B.9π C.54564π D.52564π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.(2x −√x)6展开式中常数项为________（用数字作答）． 14.设x ，y 满足约束条件{3x −y −3≤0x −2y +4≥02x +y −2≥0 ，则目标函数z ＝x −y 的最小值为________．15.直线y =√33x 与椭圆x 2a +y 2b =1(a >b >0)交于A 、B 两点，F 为椭圆的右焦点，若AF ⊥BF ，则椭圆的离心率为________．16.若不等式asinx +sin3x −18≤0对任意x ∈[0, π]恒成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题：共70分．解等应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，且满足c 2＝(a −b)2+6，记此三角形的面积为S ． (Ⅰ)若C =2π3，求S 的值；(Ⅱ)若S=3√3，求sinAsinB的取值范围．218.如图，真四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60∘，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥面DD1E；(Ⅱ)求平面DMN与平面DD1E所成锐角的正切值．19.在平面直角坐标系xOy中，过点(0, 4)的直线l与抛物线C:x2＝2py(p>0)交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为⊙M．(Ⅰ)若⊙M与抛物线C的准线始终相切，求抛物线C的方程；(Ⅱ)过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求S△ABN的取值范围．20.学号为1，2，3的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现点数除以3，若学号与之同余（同除以3余数相同），则该小学生可以上2阶楼梯，另外两位只能上1阶楼梯，假定他们都是从平地（0阶楼梯）开始向上爬，且楼梯数足够多．(Ⅰ)经过2次投掷骰子后，学号为1的同学站在第X阶楼梯上，试求X的分布列；(Ⅱ)经过多次投掷后，学号为3的小学生能站在第n阶楼梯的概率记为P n，试求P1，P2，P3的值，并探究数列{P n}可能满足的一个递推关系和通项公式．21.已知函数f(x)＝ae x+2e−x+(a−2)x．(Ⅰ)若y＝f(x)存在极值，求实数a的取值范围；]上的函数．(Ⅱ)设1≤a≤2，设g(x)＝f(x)−(a+2)cosx是定义在(−∞,π2(i)证明：y＝g′(x)在(−∞,π]上为单调递增函数（g′(x)是y＝g(x)的导函数）；2(ii)讨论y＝g(x)的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点M(ρ0, θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ＝4cosθ上，直线l过点A(4,π)且与OM垂直，垂足为P．2(Ⅰ)当θ0=π时，求在直角坐标系下点P坐标和l的方程；6(Ⅱ)当M在C上运动且P在线段OM上时，求点P在极坐标系下的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]23.设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．(Ⅰ)证明：x2+y2+z2≥1；3(Ⅱ)求(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值．2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|x2−x−2<0}，B＝{x|2x−1>0}，则A∪B＝（）A.(−1, +∞)B.(12,1) C.(12,2) D.(12,+∞)【解答】∵A={x|−1<x<2},B={x|x>12}，∴A∪B＝(−1, +∞)．2.设复数z满足|z−1|＝|z−i|（i为虚数单位），z在复平面内对应的点为(x, y)，则（）A.y＝−xB.y＝xC.(x−1)2+(y−1)2＝1D.(x+1)2+(y+1)2＝1【解答】由z在复平面内对应的点为(x, y)，且|z−1|＝|z−i|，得|x−1+yi|＝|x+(y−1)i|，∴√(x2+y2=√x2+(y−1)2，整理得：y＝x．3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自2013年以来，“一带一路”建设成果显著．如图是2013−2017年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是（）A.这五年，2013年出口额最少B.这五年，2013年出口总额比进口总额少C.这五年，出口增速前四年逐年增加D.这五年，2017年进口增速最快【解答】对于A，2013出口额最少，故A对；对于B，2013年出口额少于进口额，故B对；对于C，2013−2014出口速率在增加，故C错；对于D，根据蓝色线斜率可知，2017年进口速度最快，故D对．4.下列不等关系，正确的是（）A.log23<log34<log45B.log23>log45>log34C.log23<log45<log34D.log23>log34>log45【解答】∵log23−log34=lg3lg2−lg4lg3=lg23−lg2lg4lg2lg3>lg23−(lg2+lg42)2lg2lg3>lg23−(12lg9)2lg2lg3=0，∴log23>log34，同理log34>log45，∴log23>log34>log45．5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，则S7的值等于（）A.21B.1C.−42D.0【解答】等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝−3，2a4+3a7＝9，∴2(−3+3d)+3(−3+6d)＝9，解得d＝1，∴S7＝7×(−3)+7×62d=0．6.若执行图的程序框图，则输出i的值为（）A.2B.3C.4D.5【解答】模拟程序的运行，可得 x ＝4，y ＝1，i ＝0 x ＝8，y ＝1+1＝2满足条件x >y ，执行循环体，i ＝1，x ＝16，y ＝2+4＝6 满足条件x >y ，执行循环体，i ＝2，x ＝32，y ＝6+16＝22 满足条件x >y ，执行循环体，i ＝3，x ＝64，y ＝22+64＝86 此时，不满足条件x >y ，退出循环，输出i 的值为3． 7.函数y =2x −2−x|x|−cosx 的图象大致为（）A. B.C. D.【解答】f(−x)=2−x −2x |−x|−cos(−x)=−2x −2−x|x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ． 8.若函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法正确的是（）A.g(x)的图象关于x =−π12对称 B.g(x)在[0, π]上有2个零点 C.g(x)在区间(π3,5π6)上单调递减D.g(x)在[−π2,0]上的值域为[−√32,0] 【解答】函数f(x)＝sin2x 的图象向右平移11π6个单位得到的图象对应的函数为g(x)＝sin[2(x −11π6)]＝sin(2x −11π3)＝sin(2x +π3)，所以对于选项A ：当x =−π12时，g(x)≠±1，故A 错误．对于选项B ：当2x +π3=kπ(k ∈Z)，整理得x =kπ2−π6，(k ∈Z)，当k ＝1时，x =π3，当k ＝2时，x =5π6时，函数g(x)＝0，故选项B 正确．对于选项C:x ∈(π3,5π6)，所以2x +π3∈(π,2π)，故函数在该区间内有增有减，故错误．对于选项D:x ∈[−π2,0]，所以2x +π3∈[−2π3,π3]，所以函数g(x)的值域为[−1, √32]，故错误．故选：B ．9.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →⋅F 2M →=0，则双曲线C 的离心率等于（） A.√5 B.2 C.√3 D.√2【解答】双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，渐近线方程为bx −ay ＝0，bx +ay ＝0，可得F 2与双曲线C 的渐近线的距离为d =√22=b ，可得圆F 2的方程为(x −c)2+y 2＝b 2，①若F 1M →⋅F 2M →=0，即有M(x, y)的方程为x 2+y 2＝c 2，② 联立方程①②可得x =2c 2−b 22c ，y 2=4b 2c 2−b 44c ，代入双曲线的方程即为b 2⋅4c 4−4b 2c 2+b 44c a 2⋅4b 2c 2−b 44c =a 2b 2，化简可得b 2＝4a 2，则e =ca=√1+b 2a =√5，10.射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001）A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116【解答】由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2＝−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等；②四边形BFD1E一定是平行四边形；③平面α与平面DBB1不可能垂直；④四边形BFD1E的面积有最大值．其中所有正确结论的序号为（）A.①④B.②③C.①②④D.①②③④【解答】如图则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB1A1 // CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面CC1D1D ＝D1E，∴BF // D1E，同理可证：D1F // BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故②正确；对于③：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，所以平面BFD′E⊥平面BB′D，故③不正确；对于④：当F与A重合，当E与C1重合时，BFD1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，12.已知函数f(x)={−e−x,x≤0xe x−x−1−lnx,x>0，则函数F(x)＝f（f(x)）−ef(x)的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A.6B.5C.4D.3【解答】f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x→0+时，g(x)→−∞，g(1)＝e−1>0，且函数g(x)在(0, +∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0, 1)，使得g(x0)＝0，即e x0−1x0=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x ∈(0, x 0)时，g(x)<0，f 2′(x)<0，f 2(x)单减；当x ∈(x 0, +∞)时，g(x)>0，f 2′(x)>0，f 2(x)单增，故f 2(x)min =f 2(x 0)=x 0e x 0−x 0−1−lnx 0=0，故f 2(x)≥0(1)令t ＝f(x)，F(t)＝f(t)−et ＝0，当t ≤0时，−e −t −et ＝0，解得t ＝−1，此时易知f(x)＝t ＝−1有一个解（2）当t >0时，te t −t −1−lnt −et ＝0，即te t −t −1−lnt ＝et ，作函数f 2(t)与函数y ＝et 如下图所示，由图可知，函数f 2(t)与函数y ＝et 有两个交点，设这两个交点为t 1，t 2，且t 1>0，t 2>0，而由图观察易知，f(x)＝t 1，f(x)＝t 2均有两个交点，故此时共有四个解（3）综上，函数F(x)＝f （f(x)）−ef(x)的零点个数为5．故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.已知向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，且a → // (a →+2b →)，则m 的值等于________．【解答】根据题意，向量a →=(1, 1)，b →=(m,−2)，则a →+2b →=(1+2m, −3)，若a → // (a →+2b →)，则有1+2m ＝−3，解可得：m ＝−2；14.直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________π3或2π3．【解答】直线l 经过抛物线C:y 2＝12x 的焦点F(3, 0)，斜率为k ，直线方程为：y ＝k(x −3)，且与抛物线C 交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)两点，可得k 2(x −3)2＝12x ，即k 2x 2−(6k 2+12)x +9k 2＝0，可得x 1+x 2=6k 2+12k ，弦AB 的长为16，6k 2+12k +6＝16，解得k ＝±√3．所以，直线的倾斜角为：π3或2π3．15.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目．假设在这些栏目中，某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有________种．【解答】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有C 42＝6种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，有A 44＝24种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有A 22A 33＝12种情况，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有6×12＝72种；16.已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于________√6π，球O n 的表面积等于________6π4．【解答】如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ，作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ， √63a−2r −r √63a−r 1=r2r 1，解得r 2=√624a ，把a ＝6代入的r 1=√62，r 2=√64，由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积＝4πr n 2＝4π×[√62(12)n−1]2=6π4，三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2，acosC +ccosA +√2bcosB =0． (1)求B ；(2)若BC边的中线AM长为√5，求△ABC的面积．【解答】解：(1)在△ABC中，asinA =bsinB=csinC，且acosC+ccosA+√2bcosB=0，∴sinAcosC+sinCcosA+√2sinBcosB=0，∴sinB⋅(1+√2cosB)=0，又∵sinB≠0，∴cosB=−√22．∵B是三角形的内角，∴B=3π4；(2)在△ABM中，BM=1,AM=√5,B=3π4,AB=c，由余弦定理得AM2=c2+(BM)2−2c⋅BM⋅cosB，∴c2+√2c−4=0，∵c>0，∴c=√2．在△ABC中，a=2，c=√2，B=3π4，∴△ABC的面积S=12acsinB=1．18.“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．【解答】依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：P =C 32(25)2(15)+C 32(15)2(25)=18125．X 可能取值为0，1，2，3．则P(X =0)=C 30(35)3=27125， P(X =1)=C 31(25)(35)2=54125， P(X =2)=C 32(25)2(35)=36125， P(X =3)=C 33(25)3=8125，∴X 的分布列为：∴EX =0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．或∵随机变量X 服从XB(3,25)，∴EX =np =3×25=65．19.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，AA 1＝AC ，AC ⊥BC ．（1）证明：A 1C ⊥AB 1；（2）设AC ＝2CB ，∠A 1AC ＝60∘，求二面角C 1−AB 1−B 的余弦值．【解答】证明：连结AC 1．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∴A 1C ⊥AC 1．∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AA 1C 1C ．又∵BC // B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1C 1⊥A 1C ． ∵AC 1∩B 1C 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，而AB 1⊂平面AB 1C 1， ∴A 1C ⊥AB 1．取A 1C 1的中点为M ，连结CM ．∵AA 1＝AC ，四边形AA 1C 1C 为菱形，∠A 1AC ＝60∘，∴CM ⊥A 1C 1，CM ⊥AC ．又∵CM ⊥BC ，以C 为原点，CA ，CB ，CM 为正方向建立空间直角坐标系，如图．设CB ＝1，AC ＝2CB ＝2，AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60∘，∴C(0, 0, 0)，A 1(1, 0, √3)，A(2, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(−1, 1, √3)．由（1）知，平面C 1AB 1的一个法向量为CA 1→=(1,0,√3)．设平面ABB 1的法向量为n →=(x,y,z)，则n →⋅AB →=0并且n →⋅AB 1→=0， ∴{−2x +y =0−3x +y +√3z =0．令x ＝1，得y =2,z =√3，即n →=(1,2,√3)．∴cos <CA 1→,n →>=CA 1→⋅n→|CA 1→||n →|=2×√163=√34， ∴二面角C 1−AB 1−B 的余弦值为：−√34．20.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点为A 1，A 2，上下顶点为B 1，B 2，菱形A 1B 1A 2B 2的内切圆C ′的半径为√2，椭圆的离心率为√22．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足|PM|＝|PN|，试判断直线PM ，PN 与圆C ′的位置关系，并证明你的结论．【解答】设椭圆的半焦距为c ．由椭圆的离心率为√22知，b =c,a =√2b ．设圆C ′的半径为r ，则r ⋅√a 2+b 2=ab ， ∴√2⋅√3b =√2b 2，解得b =√3，∴a =√6， ∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．∵M ，N 关于原点对称，|PM|＝|PN|，∴OP ⊥MN ．设M(x 1, y 1)，P(x 2, y 2)．当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y ＝kx +m ．由直线和椭圆方程联立得x 2+2(kx +m)2＝6，即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6＝0， ∴{x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1． ∵OM →=(x 1, y 1)，OP →=(x 2, y 2)，∴OM →⋅OP →=x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km2k 2+1+m 2 =3(m 2−2k 2−2)2k 2+1=0，∴m 2−2k 2−2＝0，m 2＝2k 2+2， ∴圆C ′的圆心O 到直线PM 的距离为√k 2+1=√2=r ，∴直线PM 与圆C ′相切．当直线PM 的斜率不存在时，依题意得N(−x 1, −y 1)，P(x 1, −y 1)．由|PM|＝|PN|得|2x 1|＝|2y 1|，∴x 12=y 12，结合x 126+y 123=1得x 12=2，∴直线PM 到原点O 的距离都是√2， ∴直线PM 与圆C ′也相切．同理可得，直线PN 与圆C ′也相切． ∴直线PM 、PN 与圆C ′相切．21.已知函数f(x)=1−x 2e x（e 为自然对数的底数）．（1）求函数f(x)的零点x0，以及曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方程；（2）设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<2−m(1+12e)．【解答】由f(x)=1−x 2e x=0，得x＝±1，∴函数的零点x0＝±1，f′(x)=x2−2x−1e x，f′(−1)＝2e，f(−1)＝0．曲线y＝f(x)在x＝−1处的切线方程为y＝2e(x+1)，f′(1)=−2e，f(1)＝0，∴曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y=−2e(x−1)；证明：f′(x)=x2−2x−1e x，当x∈(−∞,1−√2)∪(1+√2,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(1−√2,1+√2)时，f′(x)<0．∴f(x)的单调递增区间为(−∞,1−√2),(1+√2,+∞)，单调递减区间为(1−√2,1+√2)．由（1）知，当x<−1或x>1时，f(x)<0；当−1<x<1时，f(x)>0．下面证明：当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x 2−1e x>0⇔e x+1+x−12>0．易知，g(x)=e x+1+x−12在x∈[−1, 1]上单调递增，而g(−1)＝0，∴g(x)>g(−1)＝0对∀x∈(−1, 1)恒成立，∴当x∈(−1, 1)时，2e(x+1)>f(x)．由{y=2e(x+1)y=m得x=m2e−1．记x′1=m2e−1．不妨设x1<x2，则−1<x1<1−√2<x2<1，∴|x1−x2|<|x′1−x2|=x2−x′1=x2−(m2e−1)．要证|x1−x2|<2−m(1+12e )，只要证x2−(m2e−1)≤2−m(1+12e)，即证x2≤1−m．又∵m=1−x22e x2，∴只要证x2≤1−1−x22e x2，即(x2−1)⋅(e x2−(x2+1))≤0．∵x2∈(1−√2,1)，即证e x2−(x2+1)≥0．令φ(x)＝e x−(x+1)，φ′(x)＝e x−1．当x∈(1−√2,0)时，φ′(x)<0，φ(x)为单调递减函数；当x∈(0, 1)时，φ′(x)>0，φ(x)为单调递增函数．∴φ(x)≥φ(0)＝0，∴e x2−(x2+1)≥0，∴|x1−x2|<2−m(1+12e)．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3−√22t，y=1+√22t（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为ρ=4cosθ+6sinθ．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l交于点M，N，点A的坐标为(3, 1)，求|AM|+|AN|．【解答】解：(1)曲线C的方程ρ=4cosθ+6sinθ，∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x2+y2=4x+6y，即曲线C的直角坐标方程为：(x−2)2+(y−3)2=13．(2)把直线l:{x=3−√22t，y=1+√22t代入曲线C得(1−√22t)2+(−2+√22)t2=13，整理得，t2−3√2t−8=0．∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t1，t2为方程的两个实数根，则t1+t2=3√2，t1t2=−8，∴t1，t2为异号，又∵点A(3, 1)在直线l上，∴|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√50=5√2．（本小题满分0分）选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)＝|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞, 4]．（1）求m的值；（2）若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c＝2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．【解答】∵f(x)＝|x−m|−|x+2|，∴f(x−2)＝|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞, 4]，∴|x−m−2|≥|x|，解得m+2＝8，即m＝6．∵m＝6，∴a+2b+c＝12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12(123)3=32，当且仅当a+1＝2b+2＝c−3，结合a+2b+c＝12解得a＝3，b＝1，c＝7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．。

2020年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷2(5月份) (含答案解析)

2020年安徽省芜湖市高考数学模拟试卷2（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>1}，B={x|2x>1}，则()A. A∩B={x|x>0}B. A∩B={x|x>1}C. A∪B={x|x>1}D. A∪B=R2.已知i是虚数单位，若z⋅(1+2i)=|3+4i|，则z=()A. −1+2iB. −1−2iC. 1+2iD. 1−2i3.已知向量a⃗=(4,−2)，b⃗ =(3,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m等于()A. −6B. 6C. −32D. 324.设{a n}是等差数列，下列结论中一定成立的是()A. 若a1+a2>0，则a2+a3>0B. 若a1+a3<0，则a1+a2<0C. 若a1<0，则(a2−a1)(a2−a3)>0D. 若0<a1<a2，则a2>√a1a35.已知过原点的直线l与抛物线y=x2−2x所围成的图形面积为92，则直线l的方程为()A. y=xB. y=±xC. y=−xD. y=−5x6.已知函数且a≠1)的最大值为1，则a的取值范围是()A. [12,1) B. (0,1) C. (0,12] D. (1,+∞)7.设x=40.2，y=(12)−12，z=lg2，则()A. z<x<yB. z<y<xC. y<z<xD. x<z<y8.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为()A. 2√3B. √52C. 8D. 8√39. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC=√22，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为( ) A. 2√2−12B. 2√2−14C. √2−12D. √2−1410. 已知函数f (x )=Asin (ωx +π6)(A >0,ω>0,x ∈(−∞,+∞))的最小正周期为π，且f (0)=√3，则函数y =f (x )在区间[−π4,π4]上的最小值是( )A. −√6B. −2√3C. −3D. 2√311. 在▵ABC 中，若cosA =45,cosB =513,则sinC 的值是( )A. 1665B. 5665C. 1665或5665D. 636512. 关于不等式x 的不等式ax −2a >2x −lnx −4(a >0)的解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是( )A. (ln3,2)B. [2−ln3,2)C. (0,2−ln3]D. (0,2−ln3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在二项式(x +2x ) 6的展开式中，常数项等于______．14. 若x,y 满足约束条件{x −y +4≥0x −2≤0x +y −2≥0，则z =x +2y 的最大值为__________．15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1⋅a n =2n (n ∈N ∗)，则S 2012= ______ ．16. 三棱锥A −BCD 中，底面BCD 与ABC 均为边长为√3的等边三角形，且平面BCD 与平面ABC 所成角为2π3则三棱锥的外接球表面积为 __________ 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且bsin(A +B)=2ccosB ．(Ⅰ)求sin 2B +sin2B 的值；(Ⅱ)若b =2，ΔABC 面积为1，求AC 边中线的长度．18.为加强对企业产品质量的管理，市监局到区机械厂抽查机器零件的质量，共抽取了600件螺帽，将它们的直径和螺纹距之比Z作为一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这600件螺帽质量指标值的样本平均数x，样本方差s2(在同一组数据中，用该区间的中点值作代表)；(2)由频率分布直方图可以近似的认为，这种螺帽的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．(i)利用该正态分布，求P(185.03<Z<229.94)；(ii)现从该企业购买了100件这种螺帽，记X表示这100件螺帽中质量指标值位于区间(185.03,229.94)的件数，利用(i)的结果，求E(X)．附：√224≈14.97.若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+ 2σ)=0.9544．19.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上，且AE=2−√3(1)证明：A1D⊥平面D1EC1；(2)求二面角D1−EC−D的大小．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点M与左焦点F所在直线的倾斜角为π3，O为坐标原点，三角形OMF的周长为3+√3．(1)求椭圆E的方程;(2)若不过点A的直线l与椭圆E相交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过点A，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标．21.已知函数f(x)=e x−alnx(a∈R,a>0)(1)若a=e，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)≥a(2−lna)．22. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =1+2cosθ,y =2sinθ(θ为参数)，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1的普通方程；(2)极坐标方程为2ρsin (θ+π3)=3√3的直线l 与C 1交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．23. 已知函数f(x)=|2x −1|+|x −2a|．(1)当a =1时，求f(x)⩽3的解集；(2)若当x ∈[1,2]时，f(x)⩽3恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的交集、并集的计算，属于基础题．【解答】解：∵集合A={x|x>1}，B={x | 2x>1}={x | x>0}，∴A∩B={x|x>1}，A∪B={x | x>0}．故选B．2.答案：D解析：【分析】由题意得z=|3+4i|1+2i，利用复数的运算，即可求解．【解答】解：由题意z⋅(1+2i)=|3+4i|，所以z=|3+4i|1+2i =5⋅(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i，故选D．3.答案：B解析：【分析】本题考查平面向量垂直的坐标运算，属于基础题．根据平面向量垂直的性质列式求解即可．【解答】解：∵a⃗=(4,−2)，b⃗ =(3,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则4×3−2m=0，解得m=6．故选B．4.答案：D解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是中档题．利用等差数列的通项公式及性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：对于A，∵a1+a2>0，∴a2+a3=(a1+a2)+2d，d的正负无法判断，a2+a3正负无法判断，故A错误；对于B，∵a1+a3<0，∴(a1+a2)+d<0，a1+a2正负无法判断，故B错误；对于C，(a2−a1)(a2−a3)=−d2<0，故C错误；对于D，∵0<a1<a2=a1+d，∴d>0，则a22−a1a3=(a1+d)2−a1(a1+2d)>0，即∴a2>√a1a3，故D正确．故选D．5.答案：A解析：【分析】本题给出直线与抛物线围成的封闭图形的面积，求直线的方程，着重考查了定积分的几何意义及计算，属于中档题．设直线l的方程为y=kx，由y=kx与y=x2−2x联立得交点坐标为(0,0)，(k+2,k2+2k)，先求出抛物线与x轴围成的面积，从而得出直线l与抛物线的另一个交点在x轴上方，再求抛物线与直线l所围成的图形的面积，列出方程即可得解．【解答】解：设直线l的方程为y=kx，由y=kx与y=x2−2x联立得交点坐标为(0,0)，(k+2,k2+2k)．抛物线与x轴围成的面积为S=∫(22x−x2)dx=(x2−x33)|2=4−83=43<92，∴直线l与抛物线的另一个交点在x轴上方．抛物线与直线l所围成的图形的面积为S=∫k+2[kx−(x2−2x)]dx=(k +22x 2−x 33)|k +20=(k +2)32−(k +2)33=(k+2)36=92，∴ k = 1，∴直线l 的方程为 y =x ．故选A ．6.答案：A解析：【分析】本题考查分段函数的最值问题以及指数函数和对数函数的单调性，对x 进行分类讨论，由最大值为1得到a 的取值范围，属中档题．【解答】解：∵当x ≤2时，f (x )=x −1， ∴f (x )max =f (2)=2−1=1， ∵函数f(x)的最大值为1， ∴当x >2时，2+log a x ≤1. ∴{0<a <1log a 2≤−1，解得12≤a <1．故选A .7.答案：A解析：【分析】本题考查指数函数及对数函数的性质，考查大小比较，属于基础题．由题可得x>1，y>1，且1<x<y，z<1，即可得出．【解答】解：x=40.2=20.4>20=1，)−12=212>20=1，y=(12因为212>20.4，所以y>x>1，z=lg2<lg10=1，所以z<x<y．故选A．8.答案：D解析：【分析】本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的分析能力，确定几何体的形状是关键．由题意知，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为1×4×4=8，另一侧面是等边三角形，边长为4√2，求出面积，即可得出结论．2【解答】解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为1×4×4=8，2另一侧面是等边三角形，边长为4√2，面积为，所以该几何体的各个面中最大面的面积为8√3，故选D．9.答案：C解析：【分析】本题考查与面积有关的几何概型概率求解，属于基础题目．【解答】解：设AB=1，则BC=√2，根据对称性可知，落在正方形DEFG 中的概率为1(√2+1)2−12×√2×√2=√2−12．故选C ．10.答案：C解析：【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象和性质，属于基础题．先求出函数的解析式，然后得出结果．【解答】解：因为的最小正周期为π，所以π=2πω，所以ω=2，又f (0)=√3，所以Asin π6=A2=√3，解出A =2√3，所以，x ∈[−π4,π4]时，2x +π6∈[−π3,2π3]，令2x +π6=π2，得x =π6，所以x ∈[−π4,π6]时，f(x)单调递增， x ∈[π6,π4]时，f(x)单调递减，，f(π4)=2√3sin(2π3)=3，所以f(x)min =f(−π4)=−3．故选C ．11.答案：D解析：在▵ABC 中，0<A <π,0<B <π，cosA =45，cosB =513，∴sinA =35，sinB =1213，所以sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =35×513+45×1213=6365．12.答案：C解析：本题主要考查了函数的单调性，图象，以及函数的交点，属于中档题，可作出图象进行分析．由题意可知f(x)>0，即ax −2a >2x −lnx −4(a >0)．设g(x)=2x −lnx −4，ℎ(x)=ax −2a ，在同一坐标系中作出g(x)，ℎ(x)的图象，可得{a >0ℎ(1)>g(1)ℎ(3)≤g(3)，由此求出a 的范围．【解答】解：由题意可知，ax −2a >2x −lnx −4，设g (x )=2x −lnx −4，ℎ(x )=ax −2a.由g′(x )=2−1x =2x−1x ．可知g (x )=2x −lnx −4在(0,12)上为减函数，在(12,+∞)上为增函数，ℎ(x )=ax −2a 的图象恒过点(2,0)，在同一坐标系中作出g (x )，ℎ(x )的图象如下，若有且只有两个整数x 1，x 2，使得f (x 1)>0，且f (x 2)>0，则{a >0ℎ(1)>g (1)ℎ(3)≤g (3)，即{a >0−a >−2a ≤2−ln3，解得0<a ≤2−ln3，故选C ．13.答案：160解析：解：展开式的通项为T r+1 =C 6r x 6−r (2x )r =2r C 6r x 6−2r 令6−2r =0可得r =3常数项为23C 63=160故答案为：160展开式的通项为T r+1 =C 6r x 6−r (2x )r =2r C 6r x 6−2r ，要求常数项，只要令6−2r =0可得r ，代入即可求本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题解析：【分析】本题主要考查利用线性规划解答最值问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.画出约束条件{x −y +4≥0x −2≤0x +y −2≥0表示的平面区域如图所示，再利用数形结合分析得解．【解答】【解答】解：画出约束条件{x −y +4⩾0x −2⩽0x +y −2⩾0表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z =x +2y 过点A 时取得最大值，由{x −y +4=0x =2,解得A (2,6), 代入计算z =2+2×6=14，所以z =x +2y 的最大值为14.故答案为14．15.答案：3×21006−3解析：【分析】本题考查了数列的递推关系，等比数列的概念，分组转化求和法和等比数列的求和．利用数列的递推关系，结合等比数列的概念得数列{a n }奇数项与偶首项分别成等比数列，再利用分组转化求和法，结合等比数列的求和计算得结论.【解答】解：因为a n+1⋅a n =2n (n ∈N ∗)，a 1=1，所以a 2=2，a 3=2.又因为a n+2⋅a n+1=2n+1，所以a n+2a n =2，即数列{a n }奇数项与偶首项分别成等比数列，其公比为2，首项分别为1，2.所以S 2012=(a 1+a 3+⋯+a 2011)+(a 2+a 4+⋯+a 2012)=21006−12−1+2(21006−1)2−1 =3×21006−3.故答案为3×21006−3．16.答案：7π解析：【分析】本题考查了球的表面积运算，求出球的半径是解题的关键，画出三棱锥的图，由图分析出球心再联立方程组解出半径，由球的表面积公式可得答案．【解答】解：在三棱锥A −BCD 中，平面BCD 与平面ABC 均为边长为√3的等边三角形，取BC 的中点M ，故可AM =DM =32，且AM ⊥BC ，DM ⊥BC ，则∠AMD 为平面BCD 与平面ABC 所成角，，取△ABC 与△BCD 的外接圆的圆心E ，F ，点E ，F 分别在线段AM ，DM 上，且AE =DF =1，EM =FM =12，过点E ，F 作分别垂直于平面ABC ，平面BCD 的两条直线交于点O ，故O 是三棱锥的外接球的球心，连接OM ，则，，三棱锥外接球半径为R ，则R 2=OA 2=OE 2+AE 2=74，故三棱锥的外接球的表面积为，故答案为7π． 17.答案：解：，，由正弦定理得，∵0<C<π，，，∴sin2B+sin2B=sin2B+2sinBcosBsin2B+cos2B =tan2B+2tanBtan2B+1=85.(Ⅱ，且0<B<π，∴B为锐角，且，，，，∴ac=√5，在中，由余弦定理得，a2+c2=6，设AC边的中点为D，连接BD，在中，分别由余弦定理得：∴a2+c2=2+2BD2，∴BD=√2.即AC中线的长度为√2．解析：本题考查正余弦定理面积公式的应用，属于基础题．(1)三角形中正弦定理得应用．(2)三角形中余弦定理面积公式的运用．18.答案：解：(1)抽取的螺帽质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为：x=170×0.05+180×0.12+190×0.18+200×0.30+210×0.19+220×0.10+230×0.06= 200，s2=(−30)2×0.05+(−20)2×0.12+(−10)2×0.18+0×0.30+102×0.19+202×0.10+302×0.06=224；(2)(i)由(1)知，Z～N(200,224)，从而P(200−14.97<Z<200+14.97)=2P(185.03<Z≤200)=0.6826，P(185.03<Z≤200)=0.3413，P(200−29.94<Z<200+29.94)=2P(200≤Z<229.94)=0.9544，P(200≤Z<229.94)=0.4772，P(185.03<Z<229.94)=P(185.03<Z≤200)+P(200≤Z< 229.94)=0.8185；(ii)由(i)知，一件螺帽的质量指标值位于区间(185.03,229.94)的概率0.8185，依题意知X～B(100,0.8185)，所以E(X)=100×0.8185=81.85．解析：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．(1)由频率分布直方图求平均数和方差公式；(2)(i)由(1)知Z ～N(200,224)，从而求出相应数据；(ii)由(i)知X ～B(100,0.8185)，运用EX =np 即可求得．19.答案：证明：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AE =x ，则A 1(1,0，1)，D 1(0,0，1)，E(1,x ，0)，A(1,0，0)，C(0,2，0)．A 1D →=(−1,0，−1)，D 1E →=(1,x ，−1)，D1C1→=DC →=(0,2，0)，∴A 1D →·D 1E →=0，A 1D →·D 1C 1→=0，∴A 1D ⊥D 1E ，A 1D ⊥D 1C 1，∴A 1D ⊥平面D 1EC 1；解：(2)C(0,2，0)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2−x,0)，设面D 1EC 的法向量n⃗ =(a,b ，c)，则{n →⋅D 1C →=2b −c =0n →⋅EC →=−a +b(2−x)=0，取b =1，得n⃗ =(2−x,1，2)，面DEC 的法向量DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，∵二面角D 1−EC −D 的大小为π4． ∴cos <n ⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√(2−x)2+5=√22，解得x =2−√3或x =2+√3(舍去)．∴AE =2−√3时，二面角D 1−EC −D 的大小为π4．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间思维能力，是中档题．(1)以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥D 1E ，A 1D ⊥D 1C 1，∴A 1D ⊥平面D 1EC 1；(2)求出面D 1EC 的法向量，面DEC 的法向量，利用向量法能求出AE =2−√3时，二面角D 1−EC −D 的大小为π4． 20.答案：解：(1)由题意可得：b c =tan π3，a +b +c =3+√3，又a 2=b 2+c 2，联立解得：a =2，b =√3，c =1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)证明：A(2,0).显然直线l 不平行于x 轴，设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).联立{my +t =xx 24+y 23=1，化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0，∴Δ>0，y 1+y 2=−6mt 3m 2+4，y 1⋅y 2=3t 2−123m 2+4，(∗) ∵以PQ 为直径的圆经过点A ，∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，∴(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，即(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=0，化为：(m 2+1)y 1y 2+(mt −2m)(y 1+y 2)+(t −2)2=0，把(∗)代入可得：(m 2+1)⋅3t 2−123m 2+4+(mt −2m)⋅−6mt 3m 2+4+(t −2)2=0，化简可得：7t 2−16t +4=0，解得t =2或27．因为直线l 不过点A ，故t =2舍去．将t =27代入直线l 的方程：my +t =x ，可得：my +27=x ．可得直线l 经过定点：(27,0)．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．(1)由题意可得：b c =tan π3，a +b +c =3+√3，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出椭圆方程;(2)设直线l 的方程为：my +t =x ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2).与椭圆方程联立化为：(3m 2+4)y 2+6mty +3t 2−12=0.以PQ 为直径的圆经过点A(2,0)，可得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0，把根与系数的关系代入化简可得t ，注意t 的取舍，即可得解． 21.答案：解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，若a =e ，则f(x)=ex −elnx ，．令g(x)=xe x ，则g′(x)=(x +1)e x >0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(1)=e ．当x ∈(0,1)，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0；故f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)．，由(1)可知f′(x)在(0,+∞)上必有唯一零点，设为x 0，则x 0e x 0=a.当x ∈(0,x 0)时，f′(x)<0，f(x)递减；当x ∈(x 0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)递增；，又，，另外，，∴lnx 0=lna −x 0，，得证．解析：本题考查函数与导数中的利用导数研究函数的单调性，属于中档题．(1)求出f(x)的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．(2)问题转化为证明f(x)的最小值大于等于a(2−lna)根据函数的单调性即可求解．22.答案：解：(1)曲线 C 1 的参数方程为{x =1+2cosθ,y =2sinθ(θ 为参数)，可得cosθ=x−12，sinθ=y 2. 因为sin 2θ+cos 2θ=1，可得：(x −1)2+y 2=4．即曲线 C 1 的普通方程：(x −1)2+y 2=4，(2)将 2ρsin (θ+π3)=3√3 的直线 l 化为普通方程可得：2ρsinθcos π3+2ρcosθsin π3=3√3，即y +√3x =3√3，因为直线 l 与 C 1 交 P ，Q 两点，曲线 C 1 的圆心 (1,0)，半径 r =2，圆心到直线 l 的距d =√3−3√3|√1+3=√3，所以线段 PQ 的长=2√r 2−d 2=2√4−3=2．解析：本题考查参数方程和极坐标方程和普通方程的互化，属于一般难度题．(1)利用平方和1化参数方程，(2)极坐标方程化普通方程后，利用圆的弦长求法求弦长．23.答案：解：(1)当a =1时，由f(x)≤3，可得|2x −1|+|x −2|≤3，①{x <121−2x +2−x ≤3,②{12≤x <22x −1+2−x ≤3, ③{x ≥22x −1+x −2≤3，解①求得0≤x<1；2≤x<2；解②求得12解③求得x=2，综上可得，0≤x≤2，即不等式的解集为[0,2]．(2)∵当x∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，即|x−2a|≤3−|2x−1|=4−2x，故2x−4≤2a−x≤4−2x，即3x−4≤2a≤4−x，又3x−4的最大值为6−4=2，4−x的最小值为4−2=2，∴2a=2，∴a=1，即a的范围为{1}．解析：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可;(2)去绝对值符号，讨论不等式两端的最值即可得到a的取值范围．。

安徽省芜湖市芜湖县一中2020届高三下学期仿真模拟理科数学试题

安徽省芜湖市芜湖县一中2020届高三下学期仿真模拟理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合2{|13},{|log (2)}A x x B x y x =-≤≤==-，则集合AB =（） A ．{}|12x x -≤< B ．{}|23x x <≤C ．{}|13x x <≤D ．{}|2x x > 2．在复平面上，若复数21x i i +-所对应的点在虚轴上，则实数x 的值为 A ．1B ．2C ．-1D ．-2 3．函数 ()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴强长度的23得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的43为第三根琴弦，第三根琴弦长度的23为第四根琴弦．第四根琴弦长度的43为第五根琴弦．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“官、商、角（jué）、微（zhǐ）、羽”，则“角＂和“徵”对应的琴弦长度之比为（） A ．32B ．8164C ．3227D ．985．已知0.33a =，12b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =，则下列大小关系正确的是（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 6．2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有( )A ．15B ．60C ．90D ．5407．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136a a +=，4612a a +=，则20202020S =（） A ．20232 B ．1011 C ．20212 D ．10108．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，则AE EC ⋅=（）A ．1225B ．2425C ．125D ．45 11．已知椭圆221:184x y C +=的左，右焦点分别为12,F F ，抛物线()22:20C y px p =>的准线l 过点1F ，设P 是直线l 与椭圆1C 的交点，Q 是线段2PF 与抛物线2C 的一个交点，则2QF =（）A．(123- B．(124- CD．12．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为（）A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-二、填空题13．已知函数2()ln(32)f x x x =+-，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为_____14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 15．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是__________.16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是BC 边上的一个动点，且直线PQ 与面ABC 所成角的最大值为3π，则该三棱锥外接球的表面积为__________．三、解答题17．在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B为锐角，且sin 2sin A B A +=.（1）求C ；（2）已知2a =，8AB BC ⋅=-，求ABC 的面积.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190ACB C CB ∠=∠=，160A AC ∠=，D 、E 分别为1A A 和11B C 的中点，且1AA AC BC ==.（1）求证：1//A E 平面1BC D ；（2）求平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.19．已知ABC的两个顶点坐标是(B -，C ，ABC的周长为8+O 是坐标原点，点M 满足2OA AM =-.（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于,P Q 两点，若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ △面积的最大值.20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表注：参考数据5555111174.691312.76110.98040.457i i i i i i i i i i y x y z x z ========∑∑∑∑，，，（其中z ＝lny ）．附：样本（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）的最小二乘法估计公式为()()()121ˆˆˆni ii n i i x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑，（1）根据表中数据判断，y ＝a +bx 与y ＝ce dx （其中e ＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？21．已知函数()ln f x x =.（1）函数()()()21222t x x a x af x =-++，讨论()t x 的单调性；（2）曲线()()30g x x x =>在点P 处的切线为l ，是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y f x =也相切，若存在，判断满足条件的点P 的个数，若不存在，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11||||AM AN +的值. 23．已知不等式21211x x m ++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为M ，且正实数a 、b 、c 满足a b c M ++=，求证：13222a b b c+≥+++参考答案1．B【分析】先根据对数函数的定义域求解出{}|2B x x =>，然后借助于数轴求解A B . 【详解】集合{}{}2|log (2)|2B x y x x x ==-=>，如图所示：则{}|23A B x x =<≤.故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的定义域问题，属于简单题.2．B【分析】先化简21x i i+-，若对应的点在虚轴上，则实部为零. 【详解】 ∵()()()()()()2122222111222x i i x x i x i x x i i i i ++-+++-+===+--+， ∴复数21x i i +-所对应的点为22,22x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，若22,22x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭在虚轴上，则202x -=，即2x =. 故选B.【点睛】本题考查复数的运算及几何性质.3．A【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可判断函数图象；【详解】解：∵()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()()()221sin 1sin 11x x x e f x x x x e f e -⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为偶函数，其图像关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时， ()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ，故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题.4．C【分析】设基准琴弦的长度为1，得到5根弦的长度即可求解【详解】设基准琴弦的长度为1，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为23，89，1627，6481，五根琴弦的长度从大到小依次为1，89，6481，23，1627，所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为6481和23，其长度之比3227．故选：C【点睛】本题考查推理能力，考查学生的数学抽象和计算能力，是基础题5．D【分析】根据指数函数与对数函数的性质，先判断,,a b c 的大致范围，即可得出结果.【详解】因为0.30331a =>=，1111222b π⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，551log log 2c =>=且5log 1c =<，所以a c b >>.故选：D.【点睛】本题主要考查比较指数幂与对数的大小，属于基础题型.6．C【分析】根据平均分组的方法计算可得；【详解】解：依题意，首先将人平均分成3组，再将三组进行全排列即可，所以所有可能的派出方法有222342633390C C C A A ⋅=（种）故选：C【点睛】本题考查平均分组分配问题，属于基础题.7．A【分析】首先根据已知条件构造关于1a ，d 的方程组，求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得.【详解】解：因为136a a +=，4612a a +=，所以1111263512a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得121a d =⎧⎨=⎩，()111n a a n d n ∴=+-=+， ()21322n na a n n n S ++∴== 2202020203202020232020220202S +⨯∴==⨯故选： A【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.8．B【分析】根据循环结构分析找到规律，m 是偶数时相减，是奇数时相加，当m =0时终止.【详解】第1次循环2020,19S m =-=第2次循环202019,18S m =-+=第3次循环20201918,17S m =-+-=依此循环该框图的运行结果是：2020191817210S =-+-+++-+-.20(2019)(1817)(21)010=+-++-+++-+-= 故选：B【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查推理论证的能力，属于基础题. 9．A【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为： sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．D 【分析】建立直角坐标系，设(,)E x y ，由AE BD ⊥和//BE BD 可列方程求出点E ，再根据数量积坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系：则(0,1),(0,0),(2,0),(2,1)A B C D ，设(,)E x y 所以()(,1),(,),2,1AE x y BE x y BD =-==AE BD ⊥且//BE BD21020x y x y +-=⎧∴⎨-=⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩481(,),,5212(,),55555AE EC E ⎛⎫=-=- ∴⎪⎝⎭，8414+552555AE EC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查了向量平行、垂直以及向量数量积的坐标表示，对于规则图形的向量运算通过建立坐标系进行坐标运算比较简便，属于中档题. 11．A 【分析】由椭圆方程221:184x y C +=有，()12,0F -，可得抛物线22:8C y x =，则l ：2p x =-,将直线l ：2x =-代入椭圆方程,得P y1PF =2PF =2QF QM =，又12//QM F F ，所以212PQ MQ PF F F =，可求出答案.【详解】由椭圆221:184x y C +=，有2a b ==，所以2224,c a b =-=得2c =. 所以()12,0F -，抛物线()22:20C y px p =>的准线l ：2px =-过点1F . 所以22p-=-，得4p =，所以抛物线22:8C y x =，由P 是直线l 与椭圆1C 的交点，不妨设P 在x 轴上方,将直线l ：2x =-代入椭圆方程.得Py =1PF =22PF a ===Q 作QM ⊥直线l 于M ，由抛物线定义知2QF QM =，又12//QM F F ，所以212PQ MQ PF F F =，=，∴(123MQ =-. 故选：A【点睛】本题考椭圆定义和抛物线定义的应用，属于中档题. 12．A 【分析】将不等式122112x x x e x e a x x -<-转化为121122x x e a e a x x x x +>+，构造函数()x e af x x x=+，只需使()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x a f x x--'=≤在[)2,0-恒成立，只需()1xe x a -≤恒成立，然后求解a 的取值范围. 【详解】因为12x x <，所以120x x -<，则122112x x x e x e a x x -<-可化为()122112x x x e x e a x x ->-，整理得122211x x x e ax x e ax +>+，因为120x x >，所以121122x x e a e a x x x x +>+，令()x e af x x x=+，则函数()f x 在[)2,0-上递减，则()()210x e x af x x--'=≤在[)2,0-上恒成立，所以()1xex a -≤在[)2,0-上恒成立，令()()1xg x e x =-，则()()10x x x g x e x e xe '=-+=<在[)2,0-上恒成立，则()()1xg x ex =-在[)2,0-上递减，所以()()232g x g e ≤-=-，故只需满足：23a e ≥-. 故选：A. 【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键. 13．540x y --= 【分析】利用导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程．【详解】因为3()232f x x x '=+-，所以(1)235k f '==+=，切点坐标为()1,1，故切线方程为：15(1)y x -=-即540x y --＝．【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求函数曲线在某点处的切线方程． 14．2827【分析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有3127q =，解得13q =，则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--．故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，考查计算求解能力，属于基础题. 15．)∞【分析】根据题意，确定直线与渐近线的关系，得到1ba≥，再计算离心率范围得到答案. 【详解】记过点F 的直线为l ，因为过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l 的倾斜角，已知l 的倾斜角是45︒，从而tan 451b a ≥︒=，故c e a ===≥.故答案为：)∞. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力，属于基础题. 16．57π 【分析】根据题意画出图形，结合图形找出ABC ∆的外接圆圆心与三棱锥P ABC -外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积. 【详解】由题意，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，如图所示，则3sin PA PQ PQ θ==，且sin θ所以min ()PQ =AQ ，即A 到BC所以AQ BC ⊥，因为AB =Rt ABQ ∆中可得6ABC π∠=，即可得6BC =,取ABC ∆的外接圆圆心为O '，作//OO PA '，所以62sin120r =，解得r =O A '=取H 为PA 的中点，所以32OH O A PH '===，由勾股定理得2OP R ===，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积是224457S R πππ==⨯=.【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.17．（1）23C π=；（2）【分析】（1）计算得到sin sin 3B A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据题意得到cos 4c B =，根据正弦定理得到1cos sin 22c B c B -=sin c B =.【详解】（1）由sin 2sin A B A +=，得1sin sin 22B A A =-，故sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即23B A π=+.因为B 为锐角，所以3B A π=-，即3B A π+=，故23C π=. （2）由8AB BC ⋅=-，得()cos 8ca B π-=-，故cos 8ca B =.因为2a =，所以cos 4c B =①. 根据正弦定理，sin sin a c A C =，及3A B π=-，23C π=，2a =，得2sin 3B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 3c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1cos sin 22c B c B -=.①代入②，得1sin 2c B =sin c B =所以ABC的面积等于11sin 222ac B =⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）先根据1//EF BB 且112EF BB =，11//A D BB 且1112A D BB =可知四边形1A DFE 为平行四边形，由此1//A E DF ，进而得证；（2）先证明1A O ⊥平面ABC ，由此可以O 为坐标原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1BC D 与平面ABC 的法向量，再利用向量的夹角公式得解. 【详解】（1）如图1，取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，E 为11B C 的中点，1//EF BB ∴且112EF BB =，又D 为1AA 的中点，11//A D BB ∴且1112A D BB =，1//EF A D ∴且1EF A D =， ∴四边形1A DFE 为平行四边形，1//A E DF ∴，又DF ⊂平面1BC D ，1A E ⊄平面1BC D ，1//A E ∴平面1BC D ；（2）作1A O AC ⊥于点O ，由160A AC ∠=，得130AAO ∠=， 11122AO AA AC ∴==，即O 为AC 的中点， 190ACB C CB ∠=∠=，BC AC ∴⊥，1BC CC ⊥，又1ACCC C =，BC ∴⊥平面11A ACC ，1A O ⊂平面11A ACC ，从而有1BC A O ⊥，又1A O AC ⊥，AC BC C =，1A O ∴⊥平面ABC ，故可以点O 为坐标原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图2，令12AA AC BC a ===，则(),0,0A a 、(),2,0B a a -、()1A、()12C a -、1,0,22D a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，3,2,22BD a a a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，15,0,22C D a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BC D 的一个法向量为(),,m x y z =，则132022502m BD x y zm C D x ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，取5z =，则x =y =()3,m =，又平面ABC的一个法向量为()1OA =，设平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角为θ，则115cos 40m OA m OA θ⋅===⋅因此，平面1BC D 与平面ABC 【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题.19．（Ⅰ）()22104x y y +=≠；（Ⅱ）1. 【分析】（Ⅰ）8AB AC BC +=>,点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.利用定义法求点A 轨迹方程，利用2OA AM =-求出点M 的轨迹E 的方程即可.（Ⅱ）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠与点M 的轨迹E 的方程联解，利用根与系数关系与直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列建立方程求出12k =±，再求出弦长PQ=.点O 到直线l 的距离d ==.运用三角形面积公式建立关于m 的表达式求出最值. 【详解】（Ⅰ）已知8AB AC BC +=>，所以，点A 的轨迹是以,B C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）.因为，28a =，c =，所以，4a =，2b =.所以，点A 的轨迹方程为()2210164x y y +=≠.设(),M x y ，()00,A x y .由2OA AM =-得，0022x x y y =⎧⎨=⎩，又22001164x y +=.故，点M 的轨迹E 的方程为()()22221164x y +=，即()22104x y y +=≠.（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222148410k x kmx m +++-=，则()()()222222641614116410k m kmk m =-+-=-+>△，即22410k m -+>，且122814km x x k -+=+，()21224114m x x k-=+，故()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.∵直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列，∴()2221212121212k x x km x x my y k x x x x +++⋅==，即22228014k m m k-+=+，又0m ≠，所以214k =，即12k =±. 由0>，及直线,OP OQ 的斜率存在，得202m <<，∵12PQ x =-==，点O 到直线l 的距离d ==.112OPQ S PQ d =⋅==△，当21m =时取等号，此时直线l 的方程为112y x =±±，OPQ S 的最大值为1.【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.20．（1）选y ＝ce dx ；（2）0.7520.060x y e -=；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大【分析】（1）直接由表中数据可得选择回归方程y ＝ce dx ，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对y ＝ce dx 两边取自然对数，得lny ＝lnc +dx ，转化为线性回归方程求解；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A 、甲与乙先赛；B 、甲与丙先赛；C 、丙与乙先赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的概率得结论．【详解】（1）选择回归方程y ＝ce dx ，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对y ＝ce dx 两边取自然对数，得lny ＝lnc +dx ，令z ＝lny ，a ＝lnc ，b ＝d ，得z ＝a +bx ．由于51 15i i x ==∑，511 35i i x x ===∑，511 2.1965i i z z ===∑， ∵5152221 540.45753 2.1965553 5i ii i i x z x z b x x ==-⋅-⨯⨯==≈-⨯-∑∑0.752， 2.1960.75230.060a z b x =-=-⨯=-．∴z 关于x 的回归方程为0.7520.060z x =-，则y 关于x 的回归方程为0.7520.060x y e -=；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A 、甲与乙先赛；B 、甲与丙先赛；C 、丙与乙先赛．由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，则甲公司获胜的概率分别是： P （A ）131311113113111353523325345⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；P （B ）31311331139111535325523525⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； P （C ）131113112532355⎛⎫=-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭．由于913125455＞＞， ∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查了分析问题运算求解的能力，属于中档题．21．（1）见解析；（2）存在，有且只有两个【分析】（1）利用导数的运算法则得出()t x '，分0a ≤，02a <<，2a =，2a >讨论单调性，分别解出()0t x '>与()0t x '<的区间即可得出单调区间．（2）先求直线l 为函数的图象上一点()()3000,0P x x x >处的切线方程，再设直线 l 与()f x 的图象也相切，切点为 ()11,ln x x ，进而可得 3002ln ln 312x x ---=-，再判断方程在区间 ()0,∞+上有且只有两个实数根．【详解】（1）因为：()()2122ln 2t x x a x a x =-++，所以：()()()()222x x a a t x x a x x --'=-++=. 所以：①当0a ≤时：()t x 在(]0,2上为减函数，在[)2,+∞为增函数； ②当02a <<时：()t x 在(]0,a 上为增函数，在[],2a 上为减函数，在[)2,+∞上为增函数；③当2a =时：()t x 在()0,∞+上为增函数；④当2a >时：()t x 在(]0,2上为增函数，在[]2,a 上为减函数，在[),a +∞上为增函数. （2）设()()3000,0P x x x>. 因为：()23g x x '=，所以：()2003g x x '=.所以直线l 的方程为：()320003y x x x x -=-，即：230032y x x x =-①. 假设直线l 与()f x 的图象也相切，切点为：()11,ln x x .因为()1f x x '=，所以()111f x x '=. 所以直线l 的方程也可以写作为：()1111ln y x x x x -=-. 又因为20113x x =，即：12013x x =. 所以直线l 的方程为：20220011ln 333y x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即：20032ln ln 31y x x x =---②. 由①②有：3002ln ln 312x x ---=-，即：30022ln 1ln 30x x ---=.令()()3000022ln 1ln300m x x x x =---=>，所以()200026m x x x '=-. 令()2000260m x x x '=-≥，得：0x ≥ 所以()0m x在⎛ ⎝递减，在⎫+∞⎪⎪⎭递增. 所以()0min 11121ln 3ln 30333m x m ==⨯--=--<，又因为当0x →时，()0m x →+∞；当x →+∞时，()0m x →+∞.所以()300022ln 1ln30m x x x =---=在()0,∞+有且只有两个实数根. 所以，存在这样的点P 使得直线l 与函数()f x 的图象也相切，这样的点P 有且只有两个.【点睛】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．22．（Ⅰ）直线l的普通方程为：20x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=；（Ⅱ）4【分析】（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线l 的普通方程，根据cos ,sin x y ρθρθ==，结合二倍角的余弦公式，可得曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）写出直线l 参数方程的标准形式，然后联立曲线C 的方程，可得关于参数t 的一元二次方程，根据t 的几何意义，可得结果.【详解】（Ⅰ）由,2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），所以2y x = 则直线l的普通方程为：20x y -+= 由2cos240ρθ+=，所以()222cos s 40in θθρ+-= 又cos ,sin x y ρθρθ==，所以2240x y -+= 则曲线C 的直角坐标方程为：2240x y -+=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：直线l参数方程标准形式为：,5x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将该方程代入曲线C 的直角坐标方程化简可得：232050t t ++=设点,M N 所对应的参数分别为12,t t 所以1212205,33t t t t +=-=，则120,0t t << 所以1212111111||||AM AN t t t t ⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭则1212114||||t t AM AN t t ++=-= 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题 23．（1）[]3,1-；（2）证明见解析.【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出2121x x ++-的最小值，由此可得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（2）由题意可得1a b c ++=，可得出()()222a b b c +++=，可得出()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，利用基本不等式可证得结论. 【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()212121212x x x x ++-≥+--=，所以，12m +≤，解得31m -≤≤，因此，实数m 的取值范围是[]3,1-；（2）因为，1M =，所以，1a b c ++=，()()222a b b c ∴+++=，所以，()()131132222222a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()321214422222a b b c b c a b ⎡+⎡⎤+=++≥⨯+=+⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣即13222a b b c+≥+++【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立问题的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。