第五章 弯曲内力(2)

RA A
0 x2 l 0 x2 l 0 x2 l
C RCx
RCy l/2 x2 Mx 2 Qx Nx
B q
2
§5-7 刚架内力图
B l/2
（3）画内力图
RA A
AB段
Qx ql M x qlx1 N x ql
0 x1 l 2 0 x1 l 2 0 x2 l 0 x2 l 0 x2 l
Qx ql M x qlx1
0 x1 l 2 0 x1 l 2
Qx 1
§5-7 刚架内力图
B 2 l/2 x2 RA A
（2）分段列内力方程 BC段内任意横截面， 由平衡关系得：
l
q
2
N x ql Qx qx2 1 1 2 M x ql 2 qx2 2 2
§5-5
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
x2 x1
M x2 M x1 Qx dx
M x2 M x1 Qx dx
x2 x1
RA
P1=2kN M0=10kN· m q=1kN/m R C
4m 4m D 4m
P2=2kN
B
MC M A
3 7 4 20kN
A Q q a
qa
C a
1 qa 2
B
O M
a/2
1 2 qa 2 1 2 qa 8
x
1 qa 2
O
x
§5-5
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
qa
例5-12 根据载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，改正剪力 图和弯矩图 2
RA A Q a
qa 4
q
RB
C a
D 2a
B
O a/4
3qa 2
2
x
49qa2 32
xO
x
§5-7 平面刚架内力图
•刚架： 杆与杆之间通过刚性节点连接的杆系 •平面刚架： 全部杆在一个平面之内，且载荷与约束反力 均位于此平面内时称为平面刚架。 •平面刚架的内力图
•例5.13 试作如图所示的平面刚架的内力图
1 a
x1 A
1
p Mx
（1）分段求内力 解：
x1 A p
取右段为研究对象 AB段任意
M D 0, RB 4P M
B
A a
B a
3P
C a
D
a
0, RD 2P
Q
（2）分段 （3）确定控制面的剪力 值，画剪力图； （4）根据剪力图画弯矩图 （微分关系确定形状，积分 关系确定弯矩值，注意极值 点）
O
P
x
2P
M
2 Pa
O
Pa 2 Pa
x
§5-5
弯矩图画在杆件的受压侧,不标正负号。
§5-7 平面刚架内力图
a B A p
（2）画内力图 AB段上的内力： Qx p
0 x1 a
a
C
M x px1 0 x1 a BC段上的内力： N x p 0 x2 a Qx 0
0 x2 a
p p pa
N
M x pa 0 x2 a
例5-8 作全梁的剪力图和弯矩图
（1）由静力平衡关系求支座反力 RA
P1=2kN M0=10kN· m q=1kN/m R C D P2=2kN
B
M M
B
0, RA 7kN 0, RB 5kN
A
B
E 4m 3m
A
4m
4m
（2）分段并根据微分、积分关系判断内力图的形状和数值 A+ Q图 7 AC C3 C+ 1 CD D-3 D+ DB -3 B-3 B+ 2 BE E 2
l
q
BC段
C RCx
RCy
Qx qx2 1 1 2 M x ql 2 qx2 2 2
ql 2 2
ql
N
ql
Q
ql 2 2
M
ql
小
结
1、熟练求解各种形式静定梁的支座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的 正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪 力图和弯矩图 5、熟练建立平面刚架的剪力方程、弯矩方程， 正确绘制平面刚架的剪力图和弯矩图
§5-5
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
三、简易法作内力图：
基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）；
2、分段
3、利用微分关系判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负；
5、画内力图。
控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
§5-5
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
3、控制点处的弯矩值
Q图的面积计算（Q值要带入代数值）
M x2 M x1 Qx dx
x2 x1
4、检查集中力偶作用处的M图的突变
§5-5
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
P
例5-10 根据载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系作全梁的剪力图 和弯矩图
（1）由静力平衡关系求支座反 力
截面形心∑MO=0
M x pa 0 x2 a
x2 2 Mx
B
可知：对于平面刚架，内力通常包括： 轴力N，剪力Q，弯矩M 符号规定： 轴力N：拉伸为正，压缩为负； 剪力Q： 使研究对象顺时针转动为正，反之为负； 弯矩M：不规定正负号。
Nx
轴力图和剪力图： 正的画在上侧或外侧， 负的画在下侧或内侧； 注明正负号。
2
A
B
E 3m
1 1 M 极值 M C 20.5kN Q 2 3 3 7kN M D左 M 极值 2 20kN 4.5kN 16kN O M D右 M D左 10
6kN A+ 3 4C- C+ CD MB M D AC M 6kN 12kN 6kN
Lx x 2 Mx 2 2 q
M
Mx
bx p L
L q 2 M M R x qx x b M p q x x x A 2 L 2 2 Lx x 2 bx p q O xO L 2 2
（1）由静力平衡关系求支座反力
qa
q
RB
M B 0, RA
5 qa 6
A a
C a
B a
D
M A 0, RB
（2）分段
13 qa 6
Q
5 qa 6
qa
（3）确定控制面的剪力值， 画剪力图； （4）根据剪力图画弯矩图 （微分关系确定形状，积分 关系确定弯矩值，注意极值 点）
O M
5 2 qa 6
5 a 6
x
13 2 qa 72 7 qa 6
作剪力图，从左往右，看 着上就上，看着下就下。
O
1 2 qa 6
x
1 2 qa 2
§5-5
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
1、两端的弯矩M的值；
注意：
若两端为集中力端、 铰支端
无集中力偶作用
M=0
2、弯矩图的凹凸性和极值点；
载荷集度q(x)方向向下，则为弯矩图开口向下，上凸； q(x)方向向下，则为弯矩图开口向上，下凸； 极值点在Q=0的截面处，利用积分关系求值。
pa
Q
M
§5-7 刚架内力图
•例5.14 试作如图所示的平面刚架的内力图
1 B l/2 1 l q x1 RA A
（1）由静力平衡关系求解支座反力 解：
M
C
0
RA ql
RCx ql
RCy ql
X 0
Y 0
C
RCx RCy 1 Mx x1 RA A
（2）分段列内力方程 AB段内任意横截面， 由平衡关系得：
由平衡关系可知：
B
1 a C
Qx
1
Qx p
0 x1 a
M x px1 0 x1 a
§5-7 平面刚架内力图
a p A
BC段任意横截面，取上段为研究对象 由平衡关系 垂直方向∑Y=0 水平方向∑X=0
x2
a 2
B
2 C
a p A Qx 2
Nx p Qx 0
0 x2 a 0 x2 a
3kN 1kN 1m
2kN x
D20kN· m
D+ DB
3kN
B-
B+ 2
BE
E 2
x
Q图
M E M B 2 3 0kN
7
3
1
O
-3
20.5kN· m 16kN-3 · m -3 6kN· m
6kN· m
§5-5
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
RA
例5-9 根据载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系作全梁的剪力图 和弯矩图 2
7 qa 4
M
5qa 4 qa2 4
2
O
x
§5-6
叠加法作弯矩图
叠加法作弯矩图——单独计算单个载荷下梁的支座反 力或内力值，再进行代数相加。
q
P
q
q
P
A x
C
B
A x
C L
B
A
C
B
x
L
L
Lxb x 2 L bx MM ,p p x 0 R q q B A L 2 2 L 2
载荷集度、剪力和弯矩之间的关系
2
例5-11 根据载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系作全梁的剪力图 qa2 和弯矩图