高三理科数学下册课后练习题5

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人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练9指数与指数函数

课时规范练9 指数与指数函数基础巩固组1.(2019四川成都七中一模,2)设集合A=,B=,则A∩B=( ) A.(-1,2) B.[-1,2) C.(-1,2]D.[-1,2]2.化简√64x 12y 66(x>0,y>0)得( ) A.2x 2yB.2xyC.4x 2yD.-2x 2y3.(2019北京通州一模,2)已知c<0,则下列不等式中成立的是( ) A.c>2cB.c>(12)cC.2c >(12)cD.2c <(12)c4.(2019河北承德一中期中)设2x =8y+1,9y =3x-9,则x+y 的值为( ) A.18B.21C.24D.275.函数f (x )=a |2x-4|(a>0,a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]6.(2019黑龙江佳木斯一中调研二,5)设a=log37,b=21.1,c=0.81.1,则( ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<aD.a<c<b7.(2019陕西西安一中月考)下列函数中,与函数y=2x-2-x 的定义域、单调性、奇偶性均一致的是( ) A.y=sin x B.y=x 3 C.y=(12)xD.y=log 2x8.若偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则{x|f (x-3)>0}=( ) A.{x|x<-3或x>5} B.{x|x<1或x>5} C.{x|x<1或x>7}D.{x|x<-3或x>3}9.(2019广东韶关一中期末)设x>0,且1<b x <a x ,则 ( )A.0<b<a<1B.0<a<b<1C.1<b<aD.1<a<b10.不等式恒建立,则a 的取值范围是 . 11.函数y=xa x|x |(0<a<1)图象的大致形状是( )综合提升组12.(2019福建厦门期末,3)实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是( )<1 B.2-x<2-yA.yxC.lg(x-y)>0D.x2>y213.(2019湖北龙泉中学六月模仿,9)已知a>b>0,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,则( )A.x<z<yB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x14.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)15.(2019福建泉州五中模拟)设a>0,且a≠1,函数y=a2x+2a x-1在[-1,1]上的最大值是14,则实数a的值为.创新应用组16.(2019湖南衡阳八中模拟)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )17.(2019山西吕梁期末,20)已知定义域为R 的函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m ,n 的值;(2)若对于任意的t∈[-1,1],不等式f(t2-2)+f(2a-at)≥0恒成立,求实数a 的取值范畴.参考答案课时规范练9 指数与指数函数1.A ∵集合A={x |2x >12},解得x>-1,B={x |x+1x -2≤0}={x|-1≤x<2},则A ∩B={x|-1<x<2},故选A . 2.A原式=(26x 12y 6)16=2x 2|y|=2x 2y.3.D 因为c<0,所以0<2c<1,(12)c>1,所以选项A,B,C 错,故选D .4.D 因为2x =8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,因为9y =32y =3x-9,所以x-9=2y ,解得x=21,y=6,所以x+y=27. 5.B 由f (1)=19,得a 2=19.又a>0,∴a=13,即f (x )=13|2x-4|.∵y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,∴f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减,故选B .6.B ∵1<a=log 37<2,b=21.1>2,c=0.81.1<1,∴b>a>c.故选B .7.B y=2x-2-x 是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数.而y=sin x 不是单调递增函数;y=是非奇非偶函数;y=log 2x 的定义域是(0,+∞);只有y=x3是定义域为R 的单调递增函数,且是奇函数,符合题意.8.B ∵f (2)=0,∴f (x-3)>0等价于f (|x-3|)>0=f (2).∵f(x)=2x -4在[0,+∞)内为增函数,∴|x -3|>2,解得x<1或x>5.9.C 因为x>0时,1<b x,所以b>1.因为x>0时,b x<a x,所以x>0时,(a b )x>1.所以ab >1,所以a>b ,所以1<b<a.10.(-2,2) 由指数函数的性质知y=是减函数,由于恒建立,所以x 2+ax>2x+a-2恒成立, 所以x 2+(a-2)x-a+2>0恒成立,所以Δ=(a-2)2-4(-a+2)<0,即(a-2)(a+2)<0, 即a 的取值范围是(-2,2).11.D 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y=当x>0时,函数是一个指数函数,∵0<a<1,∴函数在(0,+∞)上是减函数;当x<0时,函数图象与指数函数y=ax(x<0,0<a<1)的图象关于x轴对称,在(-∞,0)上是增函数,故选D.12.B 由题意,指数函数y=2x是定义域R上的单调递增函数,又由x>y,则-x<-y,所以2-x<2-y,故选B.13.A∵x=a+b e b,y=b+a e a,z=b+a e b,∴y-z=a(e a-e b).又a>b>0,e>1,∴e a>e b,∴y>z.z-x=(b-a)+(a-b)e b=(a-b)(e b-1).又a>b>0,e b>1,∴z>x.综上,x<z<y,故选A.14.D不等式2x(x-a)<1可变形为x-a<(12)x,如图,作出直线y=x-a与y=(12)x的图象.由题意,在(0,+∞)上,直线有一部分在曲线的下方.观察可知,有-a<1,所以a>-1.15.13或3令t=a x(a>0,且a≠1),则原函数化为y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1,x∈[-1,1]时,t=ax,此时f(t)在上为增函数.所以f(t)max=f-2=14.解得a=-15(舍去)或a=13.②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax,此时f(t)在上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).综上,a=13或3.16.D 设原有荒漠化土地面积为b,经过x年后荒漠化面积为z,所以z=b(1+10.4%)x,故y==(1+10.4%)x(x≥0),是底数大于1的指数函数.因此y=f(x)的图象为选项D.17.解(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)==0,∴n=1,∴f(x)=又f(1)=-f(-1),∴1-2 m+4=-1-12m+1,解得m=2,∴f(x)=1-2x2x+1+2.经验证可得函数f(x)为奇函数,∴n=1,m=2.(2)由(1)知f(x)==-,∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.∵f(t2-2)+f(2a-at)≥0,∴f(t2-2)≥-f(2a-at),又f(x)是奇函数,∴f(t2-2)≥f(at-2a),又f(x)为减函数,∴t2-2≤at-2a对任意的t∈[-1,1]恒成立.∴t2-at+2a-2≤0对任意的t∈[-1,1]恒成立.令g(t)=t2-at+2a-2,则{g(-1)=1+a+2a-2=3a-1≤0, g(1)=1-a+2a-2=a-1≤0,解得a≤1 3 .∴实数a的取值范围为(-∞,13].。

2013届高三理科数学训练题(5)

2013届启恩中学高三理科数学考练试题（时间：60分钟满分：82分）一．选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（）A ．a >b +1B ．a >b -1C ．2a >2bD ．3a >3b3.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0B ．2C ．3D ．64.若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（） A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．125.若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有（） A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f <<D ．(0)(2)(3)g f f <<6.已知函数2()22(4)1f x m x m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（）A ． (0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ． (,0)-∞ 7.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 8.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = （） A ．2B ．12C ．12-D ．2-班级姓名座号总分一．选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6题，每小题5分，满分30分。

人教版高三理科数学课后习题(含答案)高考大题专项(四)立体几何

高考大题专项(四)立体几何突破1空间中的平行与空间角1.(2019山东潍坊三模,18)如图,一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O,G、H分别是AE、BC的中点,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC⊥平面ABC.(1)证明:GH∥平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019湖北八校联考一,18)如图所示,四棱锥P-ABCD中,面PAD⊥面ABCD,PA=PD=,四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,BC=CD=AD=1,E为PA的中点.(1)求证:EB∥平面PCD.(2)求平面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值.3.(2019安徽“江南十校”二模,18)已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,△ADE与△BCF为边长为2的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)证明:平面ADE∥平面BCF.(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.4.(2019四川宜宾二模,19)如图,四边形ABCD是菱形,EA⊥平面ABCD,EF∥AC,CF∥平面BDE,G是AB中点.(1)求证:EG∥平面BCF;(2)若AE=AB,∠BAD=60°,求二面角A-BE-D的余弦值.5.(2017全国2,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点. ABCD,AB=BC=12(1)证明:直线CE∥平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.6.(2014课标全国2,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=√3,求三棱锥E-ACD的体积.突破2空间中的垂直与空间角1.(2018全国卷3,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧地点平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.2.(2019河北唐山一模,18)如图,△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把△AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE.(1)证明:BC⊥平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中学调研二,19)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2019山西太原二模,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点.(1)证明:AC⊥BE;(2)求直线BP与平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山东实行等四校联考,18)如图,在直角△ABC中,B为直角,AB=2BC,E,F分别为AB,AC的中点,将△AEF沿EF折起,使点A 到达点D的位置,连接BD,CD,M为CD的中点.(1)证明:MF⊥面BCD;(2)若DE⊥BE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2019宁夏银川一中一模,19)如图所示,ABCD是边长为2的正方形,AE⊥平面BCE,且AE=1.(1)求证:平面ABCD⊥平面ABE;(2)线段AD上是否存在一点F,使二面角A-BF-E所成角的余弦值为?若存在,请找出点F的位置;若不存在,请阐明来由.参考答案高考大题专项(四) 立体几何突破1 空间中的平行与空间角1.(1)证明连接GO ,OH ,∵GO ∥DC ,OH ∥AC ,∴GO ∥平面ACD ,OH ∥平面ACD ,又GO 交HO 于O ,∴平面GOH ∥平面ACD ,∴GH ∥平面ACD.(2)解以CB 为x 轴,CA 为y 轴,CD 为z 轴,建立如图所示的直角坐标系,则C (0,0,0),B (2,0,0),A (0,2,0),O (1,1,0),E (2,0,2),平面BCE 的法向量m =(0,1,0),设平面OCE 的法向量n =(x 0,y 0,z 0). CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). ∴{n ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则{2x 0+2z 0=0,x 0+y 0=0,令x0=-1,∴n=(-1,1,1).∵二面角O-CE-B 是锐二面角,记为θ,则cos θ=|cos <m ,n >|=m ·n|m ||n |=1×√3=√33.2.(1)证明取PD 中点F ,连接EF ,FC.∵E ,F 分别为AP ,PD 中点, ∴EF 12AD. 又∵BC 12AD ,∴BC EF.即四边形BCFE 是平行四边形,∴EB ∥FC.∵FC ⊂平面PCD , 且EB ⊄平面PCD , ∴EB ∥平面BCD.(2)解取BC 的中点M ,以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为正方向建立如图所示的空间直角系O-xyz.则P (0,0,1),A (0,-1,0),D (0,1,0),C √32,12,0,则平面PAD 的一个法向量为n 1=(1,0,0).∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,12,0.设平面PDC 的一个法向量为n 2=(x ,y ,z ), 则{y -z =0,-√32x +12y =0. 不妨令x=1,则y=√3,z=√3, ∴n 2=(1,√3,√3).∴|cos θ|=|cos <n 1,n 2>|=√77, 则sin θ=√77.3.(1)证明取BC ,DE 中点分别为O ,O 1,连接OA ,O 1A ,OF ,O 1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2√2,可知△ABC,△DEF 为等腰直角三角形,故OA⊥BC,O1F⊥DE,CD⊥DE,CD⊥DF.故CD ⊥平面DEF ,平面BCDE ⊥平面DEF ,所以O 1F ⊥平面BCDE. 同理OA ⊥平面BCDE ,所以O 1F ∥OA.而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,所以AO1∥OF,所以AO1∥平面BCF.又BC ∥DE ,故DE ∥平面BCF ,而AO 1∩DE=O 1,所以平面ADE ∥平面BCF.(2)解以O 为坐标原点,以过O 且平行于AC 的直线作为x 轴,平行于AB 的直线作为y 轴,OO1为z 轴建立空间直角坐标系如图.则有B (1,1,0),C (-1,-1,0),D (-1,-1,2),F (-1,1,2),故BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2). 设平面BCF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{-2x -2y =0,-2x +2z =0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF 的一个法向量为n =(1,-1,1).设BD 与平面BCF 所成角为θ,则sin θ=|cos <BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >| =-2×1-2×(-1)+2×1√3×2√3=13.故BD 与平面BCF 所成角的正弦值为13.4.(1)证明设AC ∩BD=O ,连接OE ,OF ,∵四边形ABCD 是菱形,EA ⊥平面ABCD ,EF ∥AC ,CF ∥平面BDE ,∴OE ∥CF ,∴EF=AO=CO ,∴OF ⊥平面ABCD , 设OA=a ,OB=b ,AE=c ,以O 为原点,OA,OB,OF 所在直线分别为x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E (a ,0,c ),G a 2,b2,0,B (0,b ,0),C (-a ,0,0),F (0,0,c ), FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,b ,-c ),FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,-c ),EG⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2,b 2,-c , 设平面BCF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =by -cz =0,n ·FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-ax -cz =0,取z=b ,得n =-bc a ,c ,b ,∵n ·EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a2)·(-bca )+b2·c+(-c )·b=0,EG ⊄平面BCF ,∴EG ∥平面BCF.(2)解设AE=AB=2,∵∠BAD=60°,∴OB=1,OA=√3.∴A (√3,0,0),B (0,1,0),E (√3,0,2),D (0,-1,0).∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,2),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,0),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,0), 设平面ABE 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x -y =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x -y +2z =0,取x=1,得n =(1,√3,0),设平面BDE 的法向量m =(x ,y ,z ), 则{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x -y +2z =0,m ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2y =0,取x=2,得m =(2,0,-√3),设二面角A-BE-D 的平面角为θ,则cos θ=|m ·n ||m ||n |=√4×√7=√77.∴二面角A-BE-D 的余弦值为√77.5.(1)证明取PA 的中点F ,连接EF ,BF.因为E 是PD 的中点,所以EF ∥AD ,EF=1AD. 由∠BAD=∠ABC=90°得BC ∥AD ,又BC=AD,所以EF BC,四边形BCEF 是平行四边形,CE∥BF,又BF ⊂平面PAB ,CE ⊄平面PAB ,故CE ∥平面PAB.(2)解由已知得BA⊥AD,以A 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).设M (x ,y ,z )(0<x<1),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y ,z ),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-1,z-√3). 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD 的一个法向量,所以|cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=sin 45°,√(x -1)+y 2+z 2=√22,即(x-1)2+y 2-z 2=0.① 又M 在棱PC 上,设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 x=λ,y=1,z=√3−√3λ.②由①,②解得{ x =1+√22,y =1,z =-√62(舍去),{x =1-√22,y =1,z =√62,所以M (1-√22,1,√62),从而AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-√22,1,√62).设m=(x0,y0,z0)是平面ABM 的一个法向量,则{m ·AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(2-√2)x0+2y0+√6z0=0, x0=0,所以可取m=(0,-√6,2).于是cos<m,n>=m·n|m||n|=√105.因此二面角M-AB-D的余弦值为√105.6.解(1)连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正偏向,||为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0,√3,0),E(0,√32,12),AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,12).设B(m,0,0)(m>0),则C(m,√3,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,√3,0),设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则{n1·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n1·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{mx+√3y=0,√32y+12z=0,可取n1=(√3m,-1,√3).又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos<n1,n2>|=12,即√33+4m2=12,解得m=3 2 .因为E 为PD 的中点,所以三棱锥E-ACD 的高为1. 三棱锥E-ACD 的体积V=13×12×√3×32×12=√38.突破2 空间中的垂直与空间角1.(1)证明由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD.因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM.因为M 为CD⏜上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM. 又BC ∩CM=C ,所以DM ⊥平面BMC.而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC.(2)解以D 为坐标原点,的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC 体积最大时,M 为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).设n =(x ,y ,z )是平面MAB 的法向量,则{n ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{-2x +y +z =0,2y =0.可取n =(1,0,2), DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面MCD 的法向量,因此cos <n ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55,sin <n ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√55.所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是2√55.2.(1)证明因为E ,F 分别为AB ,AC 边的中点,所以EF ∥BC.因为∠ABC=90°,所以EF ⊥BE ,EF ⊥PE.又因为BE ∩PE=E ,所以EF ⊥平面PBE ,所以BC ⊥平面PBE.(2)解取BE 的中点O ,连接PO ,由(1)知BC ⊥平面PBE ,BC ⊂平面BCFE ,所以平面PBE ⊥平面BCFE.因为PB=BE=PE ,所以PO ⊥BE.又因为PO ⊂平面PBE ,平面PBE ∩平面BCFE=BE ,所以PO ⊥平面BCFE.过O 作OM∥BC 交CF 于M,分别以OB,OM,OP 所在直线为x,y,z 轴创建空间直角坐标系,则P (0,0,√3),C (1,4,0),F (-1,2,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,-√3),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-√3). 设平面PCF 的一个法向量为m =(x ,y ,z ), 则{PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0, 即{x +4y -√3z =0,-x +2y -√3z =0,则m =(-1,1,√3), 易知n=(0,1,0)为平面PBE 的一个法向量,cos <m ,n >=√3×0√(-1)+1+(√3)=√5=√55,所以平面PBE 与平面PCF 所成锐二面角的余弦值√55.3.(1)证明 ∵A 1A ⊥平面ABC ,B 1B ⊥平面ABC ,∴AA 1∥BB 1.∵AA 1=4,BB 1=2,AB=2,∴A 1B 1=√(AB )2+(AA 1-BB 1)2=2√2,又AB 1=√AB 2+BB 12=2√2, ∴A A 12=A B 12+A 1B 12,∴AB 1⊥A 1B 1.同理可得:AB 1⊥B 1C 1,又A 1B 1∩B 1C 1=B 1,∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1. (2)解取AC 中点O ,过O 作平面ABC 的垂线OD ,交A 1C 1于D ,∵AB=BC ,∴OB ⊥OC ,∵AB=BC=2,∠BAC=120°,∴OB=1,OA=OC=√3.以O 为原点,以OB,OC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示,则A (0,-√3,0),B (1,0,0),B 1(1,0,2),C 1(0,√3,1),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1). 设平面ABB 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{x +√3y =0,2z =0,令y=1可得n =(-√3,1,0),∴cos <n ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32×√13=√3913. 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ,则sin θ=|cos <n ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√3913. ∴直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值为√3913. 4.(1)证明设F 是PD 的中点,连接EF ,CF.∵E 是PA 的中点,∴EF ∥AD ,EF=12AD.∵AD ∥BC ,AD=2BC ,∴EF ∥BC ,EF=BC.∴BCFE 是平行四边形,∴BE ∥CF.∵AD ∥BC ,AB ⊥AD ,∴∠ABC=∠BAD=90°. ∵AB=BC ,∴∠CAD=45°,AC=√2.由余弦定理得CD 2=AC 2+AD 2-2AC·AD·cos ∠CAD=2, ∴AC 2+CD 2=4=AD 2,∴AC ⊥CD. ∵PD ⊥AC ,∴AC ⊥平面PCD , ∴AC ⊥CF , ∴AC ⊥BE.(2)解由(1)得AC ⊥平面PCD ,CD=√2,∴平面ABCD ⊥平面PCD.过点P 作PO⊥CD,垂足为O,∴OP⊥平面ABCD,以O 为坐标原点,的方向为x 轴的正偏向,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则P 0,0,√62,D -√22,0,0,B √2,-√22,0,E √24,-√22,√64,∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,√22,√62),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3√22,√22,0,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3√24,0,√64,设m=(x,y,z)是平面BDE 的一个法向量,则{m ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{ -3√22x +√22y =0,-3√24x +√64z =0.令x=1,则{y =3,z =√3,∴m =(1,3,√3). ∴cos <m ,BP⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2613.∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为√2613.5.(1)证明取DB 中点N,连接MN,EN,∵MNBC,EFBC,∴四边形EFMN 是平行四边形.∵EF⊥BE,EF⊥DE,BE∩DE=E,∴EF⊥平面BED,∴EF⊥EN,MF⊥MN.在△DFC 中,DF=FC ,又∵M 为CD 的中点,∴MF ⊥CD.又∵MF ∩MN=M ,MF ,MN ⊂平面BCD , ∴MF ⊥平面BCD.(2)解 ∵DE ⊥BE ,又∵DE ⊥EF ,BE ∩EF=E ,∴DE ⊥平面BEF.21 可建立如图所示空间直角坐标系.设BC=2,∴E (0,0,0),F (0,1,0),C (-2,2,0),M (-1,1,1).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,0),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1).设平面EMF 的法向量为m =(x ,y ,z ),∴{m ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴{y =0,-x +z =0,取x=1,则y=0,z=1,∴m =(1,0,1).同理可得平面CMF 的法向量n =(1,2,1),∴cos θ=m ·n |m ||n |=√33.∵二面角E-MF-C 为钝角,∴二面角E-MF-C 的余弦值为-√33.6.(1)证明 ∵AE ⊥平面BCE ,BE ⊂平面BCE ,BC ⊂平面BCE ,∴AE ⊥BE ,AE ⊥BC.又∵BC ⊥AB ,∴AE ∩AB=A ,∴BC ⊥平面ABE.又BC ⊂平面ABCD ,∴平面ABCD ⊥平面ABE.(2)解如图所示,建立空间直角坐标系A-xyz ,∵AE=1,AB=2,AE ⊥BE ,∴BE=√3.假设线段AD 上存在一点F 满足题意,E√32,12,0,B (0,2,0),F (0,0,h )(h>0),易知平面ABF 的一个法向量为m =(1,0,0).∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32,-32,0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,h ),∴设平面BEF 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{√32x -32y =0,-2y +ℎz =0.取y=1,得n=√3,1,2ℎ,cos<m,n>=m·n|m||n|=√64=√3√4+4ℎ2,∴h=1.即点F为线段AD的中点时,二面角A-BF-E所成角的余弦值为√64.22。

人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练56排列与组合

课时规范练56排列与组合基础巩固组1.(2019河北衡水模仿,6)电视台在电视剧开播前连续播放6个差别的告白,其中4个商业广告2个公益广告,现要求2个公益告白不克不及一连播放,则不同的播放方式共有( )种A.A44·A52B.C44·C52C.A64·A72D.C64·C722.(2019湖北黄冈联考,8)现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有( )种A.A62A72B.A43A72C.A33A62A72D.A43A66A723.(2019湖南师大附中三模,7)本次模拟考试竣事后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评次序表,若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在末了,则不同的排表方法共有( )A.72种B.144种C.288种D.360种4.(2019河北衡水中学四调,7)某县教育局招聘了8名小学教师,其中3名语文西席,3名数学教师,2名全科西席,需要分配到A,B 两个学校任教,其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师,则分配方案种数为( )A.72B.56C.57D.635.(2019湖南长沙长郡中学模仿,7)如图,平面α中有梯形ABCD 与梯形A1B1C1D1分别在直线l的两侧,它们与l无公共点,并且关于l成轴对称,现将α沿l折成一个直二面角,则A,B,C,D,A1,B1,C1,D1八个点可以确定平面的个数是( )A.56B.44C.32D.166.把7个字符a,a,a,b,b,α,β排成一排,要求三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,则这样的排法共有( )A.144种B.96种C.30种D.12种7.(2019四川双流模仿,6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有( )A.144个B.120个C.96个D.72个8.(2019江西重点中学盟校2联考,7)今有6自己构成的旅游团,包括4个大人,2个小孩,去庐山旅游,准备同时乘缆车旅行,现有三辆差别的缆车可供选择,每辆缆车最多可乘3人,为了宁静起见,小孩乘缆车必须要大人陪伴,则不同的乘车方式有( )种A.204B.288C.348D.3969.从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人构成一个支教小组,则语文老师、数学老师、英语老师都至少有1名的选派方法种数为.(用数字作答)综合提升组10.(2019河南郑州联考,7)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举行,为宣传地方特色,某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间举行采访报道.工作过程中的任务划分为“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作,每项工作至少一人到场,但两名女记者不参加“负重扛机”,则不同的安排方案数共有( )A.150B.126C.90D.5411.A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌四周开会,A是集会的中央发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的座次有( )A.60种B.48种C.30种D.24种12.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天摆设一人,每人只到场一天.若要求甲、乙两人至少选一人到场,且当甲、乙两人都到场时,他们参加社区办事的日期不相邻,那么不同的安排种数为.(用数字作答)13.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块地区涂色,要求有公共边的地区涂差别颜色,一共有种差别的涂色要领.创新应用组14.(2019福建龙岩质检,8)已知数列{an}各项均为整数,共有7项,且满足|ak+1-ak|=1,k=1,2,…,6,其中a1=1,a7=a(a为常数,且a>0).若满足上述条件的不同数列个数共有15个,则a的值为( )A.1B.3C.5D.715.设x1,x2,x3,x4∈{-1,0,2},那么满足2≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|≤4的所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为.16.(2019重庆一中模仿,9)若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有( )个A.71B.66C.59D.53参考答案课时规范练56排列与组合1.A 先排4个商业广告,有,然后使用插空法,有5个空,插2个,有,所以共有故选A.2.D 接纳捆绑法和插空法.从4名男生中选择3名,进而将3个相邻的男生捆在一起,看成1个男生,要领数是种,这样与第4个男生看成是2个男生;然后6个女生任意排的要领数是种.最后在6个女生形成的7个空隙中,插入2个男生,要领数是种.综上所述,差别的排法共有种.故选D.3.B 第一步排语文,英语,化学,生物4科,且化学排在生物前面,有=12种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个,有=12种排法,所以不同的排表方法共有12×12=144种.故选B.4.A 先将两个全科老师分给语文和数学各一个,有种,然后将新的4个语文老师分给两个学校种,同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校种,所以共有=72种分派要领.故选A.5.C由题设从八个顶点中任取三个确定的所有平面的个数C83=56个,其中六个平面ABCD,A1B1C1D1,AA1D1D,BB1C1C,AB1B1A1,DCC1D1中任取三个点所确定的平面个数为6C43=24个,故A,B,C,D,A1,B1,C1,D1八个点可以确定平面的个数是C83-6C43=56-24=32.故选C.6.B 先排列b,b,α,β,若α,β不相邻,有种排法,若α,β相邻,有种,共有6+6=12种排法,从所形成的5个空档中选3个插入a,a,a,共有12=120种排法,若b,b相邻时,从所形成的4个空档中选3个插入a,a,a,共有6=24种排法,所以三个“a”两两不相邻,且两个“b”也不相邻,这样的排法共有120-24=96种.故选B.7.B 由题意可知,4开头的满足题意的偶数的个数为,5开头的满足题意的偶数的个数为,联合加法原理可得,比40 000大的偶数共有=120个.故选B.8.C 第一类:只用两辆缆车,若两个小孩坐在一块,则有=24种乘车方式;若两个小孩不坐在一块,则有C32C42C22A22C21A22=36种乘车方式;第二类:用三辆缆车,若两个小孩坐在一块,则有=72种乘车方式;若两个小孩不坐在一块,则有=216种搭车方法.综上不同的乘车方式有24+36+72+216=348种.故选C.9.44 由题意可知分四类,第一类,2名语文老师,2名数学老师,1名英语老师,有=4种选派方法;第二类,1名语文老师,2名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;第三类,2名语文老师,1名数学老师,2名英语老师,有=12种选派方法;第四类,1名语文老师,1名数学老师,3名英语老师,有=16种选派方法;则一共有4+12+12+16=44种选派要领.10.B记两名女记者为甲、乙,三名男记者为丙、丁、戊.根据题意,分环境讨论,①甲、乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一:=18种;②甲、乙不同时到场一项工作,进而又分为2种小情况;1°丙、丁、戊三人中有两人负担同一份工作,有=3×2×3×2=36种;2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作:A32×C31×C21×A22=72种;由分类计数原理,可得共有18+36+72=126种.故选B.11.B由题意知,不同的座次有A44A22=48种.故选B.12.5 040 分两类,一类是甲、乙都参加,另一类是从甲、乙中选一人,方法数为N==1 440+3 600=5 040.13.732 如图,记六个区域的涂色数为a6,若A,F涂色相同,则相当于5个地区涂色,记5个区域涂色数为a5,同理只有4个区域时涂色数记为a4,易知a4==84, a6=4×35-a5=4×35-(4×34-a4)=4×35-4×34+84=732.14.B∵|a k+1-a k|=1,∴a k+1-a k=1或a k+1-a k=-1.设有x个1,则有6x个-1,∴a7-a1=(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1).∴a-1=x+(6-x)·(-1)..∴x=a+52∵这样的数列个数有C6x=15,解得x=2或4,∴a=-1(舍)或a=3.故选B.15.45分类讨论:①|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=2,则这四个数为2,0,0,0或-1,-1,0,0,有C41+C42=4+6=10组;②|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=3,则这四个数为2,-1,0,0或-1,-1,-1,0,有C41C31+C43=12+4=16组;③|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=4,则这四个数为2,2,0,0或-1,-1,2,0或-1,-1,-1,-1,有C42+C42C21+C44=6+6×2+1=19组;综上可得,所有有序数组(x1,x2,x3,x4)的组数为10+16+19=45.16.A根据题意,四位数字相加和为10的情况有①0,1,3,6,②0,1,4,5,③0,1,2,7,④0,2,3,5,⑤1,2,3,4;共5种情况,则分5种情况讨论:①四个数字为0,1,3,6时,千位数字可以为3或6,有2种情况,将其余3个数字全分列,安排在百位、十位、个位,有=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数”;②四个数字为0,1,4,5时,千位数字可以为4或5,有2种情况,将其余3个数字全分列,安排在百位、十位、个位,有=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数”;③四个数字为0,1,2,7时,千位数字为7时,将其余3个数字全分列,安排在百位、十位、个位,有=6种情况,千位数字为2时,有2071,2107,2170,2701,2710,共5种情况,此时有6+5=11个“完美四位数”;④四个数字为0,2,3,5时,千位数字可以为2或3或5,有3种情况,将其余3个数字全分列,安排在百位、十位、个位,有=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数”;⑤四个数字为1,2,3,4时,千位数字可以为3或4或2,有3种情况,将其余3个数字全分列,安排在百位、十位、个位,有=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数”.则一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”,故选A.。

高三理科数学下册课后练习题35

8．5 椭圆一、选择题1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1解析：由题意可设椭圆的方程为x 236＋y 2b 2＝1e ＝c a ＝36－b 26＝13 ∴b 2＝32，故选D.答案：D2．设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 解析：根据题意知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，直线PF 2的倾斜角是60°，所以32a －c ＝c ⇒e ＝34，所以选C.答案：C3．若点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率e ＝( )A.53B.23C.13D.12解析：由PF 1→·PF2→＝0得PF 1→⊥PF 2→.则 tan ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝5m .所以e ＝c a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝53.答案：A4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：由题意知，因为AP→＝2PB →，则OA ＝2OF ， ∴a ＝2c ，∴e ＝12. 答案：D5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3(1－x 24)＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP→取得最大值6. 答案：C6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析：∵e ＝12，∴c a ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2.∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca ，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋1＝74a 2a 2＝74＜2.∴P 点在圆x 2＋y 2＝2内．答案：A 二、填空题7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为______．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，即4c 2＝(a －c )(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55.答案：558．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为__________．解析：根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝22，∴c a ＝22，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝1.9．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y －2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线方程为3x ＋4y －5＝0，求得切点A (35，45)，易知另一切点B (1,0)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0得上顶点为(0,2)．∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝1 三、解答题10．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析：(1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝xy P ＝54y，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412. ∴线段AB的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1625)(x 1－x 2)2＝ 4125×41＝415.11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2(c a )2＋c a －1＝0.得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0y 1＝－3c，⎩⎨⎧x 2＝85cy 2＝335c，不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )，所以|AB |＝(85c )2＋(335c ＋3c )2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋(|MN |2)2＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c－52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.12．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB→＝2OA →，求直线AB 的方程．解析：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB→＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x2B，y2B代入y216＋x24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.。

人教版高三理科数学课后习题(含答案)单元质检卷六数列(B)

单元质检卷六数列(B )(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018全国卷1,理4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .122.(2019宁夏高三联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若1a 1+1a 2+1a 3=2,a 2=2,则S 3=( )A.8B.7 C .6 D.43.(2019福建联考,12改编)在数列{a n }中,a 1=2,且a n +a n-1=n a n -a n -1+2(n ≥2),令b n =(a n -1)2,则b 10=( )A.50B.55C .60D.654.(2019贵州遵义模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 9=12a 12+6,a 2=4,若数列1S n的前k 项和为1011,则k=( )A.11B.10 C .9 D.85.(2019湖南长郡中学顺应测验一,7)已知在等比数列{an}中,an>0,=900-2a1a5,a5=9a3,则a2 019的个位数字是( ) A.6B.7C .8D.96.(2019北京房山一模)《九章算术》中有如下问题:今有浦生一日,长三尺,莞生一日,长一尺,蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍,若蒲、莞长度相称,则所需时间为( )(结果精确到0.1,参考数据:lg2=0.301 0,lg 3=0.477 1)A.2.2天B.2.4天C.2.6天D.2.8天二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2019浙江温州中学模拟)已知等比数列{a n}的前n项和S n=3n+r,则a3-r=.8.(2018全国1,理14)记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019湖北八校联考一,17)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2+Sn对一切正整数n恒成立.(1)求a1和数列{a n}的通项公式;(2)求数列{S n}的前n项和T n.10.(15分)(2019安徽宣城八校联考)已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2a n2(n∈N*).(1)证明:数列{1+log2a n}为等比数列;(2)设b n=n1+log2a n,求数列{b n}的前n项和S n.11.(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-14a n,其中n∈N*.(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通项公式;(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn<对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请阐明来由.参考答案单元质检卷六数列(B)1.B因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.2.A因为等比数列{a n}的前n项和为S n,且1a1+1a2+1a3=2,a2=2,则1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2,则S3=8.故选A.3.B∵a n+a n-1=na n n-1+2(n≥2),∴a n2−a n-12-2(a n-a n-1)=n,整理得(a n-1)2−(a n-1-1)2=n,由累加法得(a n-1)2−(a1-1)2=n+(n-1)+…+2,又a1=2,∴b n=(a n-1)2=n(n+1)2,可得b10=55.故选B.4.B 设等差数列{a n }的公差为d ,则{a 1+8d =12(a 1+11d )+6,a 1+d =4,解得{a 1=2,d =2.∴S n =2n+n (n -1)2×2=n 2+n , ∴1S n=1n (n+1)=1n −1n+1, ∴1S 1+1S 2+…+1S k=1-12+12−13+…+1k −1k+1=1-1k+1=1011,解得k=10.故选B . 5.D 设等比数列{a n }的公比q ,首项为a 1,由a 22+a 42=900-2a 1a 5,得a 22+a 42+2a 2a 4=900,解得a 2+a 4=30,即a 1q+a 1q 3=30,由a 5=9a 3,得q=3,所以a 1=1,所以a n =3n-1,所以a1=30=1,a2=31=3,a3=32=9,a4=33=27,a5=34=81,a6=35=243,…,所以an 的个位数是以4为周期重复出现的.所以a2 019的个位数字是a3的个位数字9,故选D.6.C 设蒲的长度组成等比数列{a n },其a 1=3,公比为1,其前n 项和为A n ,则A n =3(1-12n )1-12. 莞的长度组成等比数列{bn},其b1=1,公比为2,其前n 项和为Bn,则Bn=,由题意可得,整理得2n +62n =7,解得2n =6,或2n =1(舍去).∴n=log 26=lg6lg2=1+lg3lg2≈2.6.∴估计2.6日蒲、莞长度相称.故选C.7.19 等比数列前n 项和公式具有特征S n =aq n -a ,据此可知,r=-1,则S n =3n -1,a 3=S 3-S 2=(33-1)-(32-1)=18,a 3-r=19. 8.-63 ∵S n =2a n +1,①∴S n-1=2a n-1+1(n ≥2).②①-②,得a n =2a n -2a n-1,即a n =2a n-1(n ≥2).又S1=2a1+1,∴a1=-1.∴{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6==-63.9.解 (1)当n ≥2时,a n =2+S n-1,与a n+1=2+S n 相减得a n+1=2a n (n ≥2).∴数列{an}是公比q=2的等比数列,a2=2a1,又∵a 2=2+S 1=2+a 1,∴a 1=2, ∴a n =2n .(2)由a n+1=2+S n 得S n =2n+1-2,∴T n =(22+23+…+2n+1)-2n=22(1-2n )1-2-2n=2n+2-2n-4.10.(1)证明由an+1=2,两边取以2为底的对数,得log2an+1=1+2log2an,则log2an+1+1=2(log2an+1),所以{1+log2an}是首项为2,公比为2的等比数列.且log 2a n +1=(log 2a 1+1)×2n-1=2n . (2)解由(1)得b n =n 2n .因为S n 为数列{b n }的前n 项和,所以S n =12+222+…+n 2n ,则12S n =122+223+…+n2n+1.两式相减得1S n =1+122+…+1n −n 2n+1=12(1-12n )1-12−n 2n+1=1-1n −n2n+1,所以S n =2-n+2n. 11.(1)证明 ∵b n+1-b n =22an+1-1−22a n -1=22(1-14a n)-1−22a n -1=4a n 2a n -1−22a n-1=2(常数),∴数列{bn}是等差数列.∵a1=1,∴b 1=2,因此b n =2+(n-1)×2=2n , 由b n =22a n-1得a n =n+12n .(2)解存在.由c n=4a nn+1,a n=n+12n得c n=2n,∴c n c n+2=4n(n+2)=21n−1n+2,∴T n=21-13+12−14+13−15+…+1n−1n+2=21+12−1n+1−1n+2<3,依题意要使T n<1c m c m+1对于n∈N*恒成立,只需1c m c m+1≥3,即m(m+1)4≥3,解得m≥3或m≤-4,又m为正整数,∴m的最小值为3.。

高三理科数学下册课后练习题

9．7 立体几何中的向量方法一、选择题1．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)． BC1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)， cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 答案：B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A解析：以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (0,0,0)，C (1,1,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1，AC→＝(1,1,0)，BD →＝(－1,1,0)， A 1D →＝(0,1，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)．显然CE →·BD →＝12－12＋0＝0， ∴CE→⊥BD →，即CE ⊥BD .3．在90°的二面角的棱上有A 、B 两点，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知AB ＝5，AC ＝3，CD ＝52，则BD ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：由条件知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ⊥BD ，又CD→＝CA →＋AB →＋BD →， ∴CD→2＝(CA →＋AB →＋BD →)2 ＝|CA→|2＋|AB →|2＋|BD →|2 ＝32＋52＋|BD →|2 ＝(52)2，∴|BD→|2＝16，∴BD ＝4. 答案：A4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105D.1010解析：如图建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C (4,4,0)，C 1(4,4,2)，显然AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC→＝(4,4,0)为平面BB 1D 1D 的一个法向量．又BC 1→＝(0,4,2)， ∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝1616＋4·16＋16＝105.即BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105.5．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：由题意知AC→与BD →所成角即为该二面角的平面角． ∵CD→＝CA →＋AB →＋BD →， ∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →. ∴(217)2＝62＋42＋82＋2|CA→||BD →|cos 〈CA →，BD →〉＝116＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉， ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12， ∴〈CA →，BD →〉＝120°，∴〈AC →，BD →〉＝60°， ∴该二面角的大小为60°. 答案：C6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M (a ，23a ，a 3)，N (23a ，23a ，a )． ∴MN →＝(－a 3，0，23a )．又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→＝(0，a,0)．∴MN →·C 1D 1→＝0.∴MN →⊥C 1D 1→. ∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B 二、填空题 7．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是__________．解析：由已知a 、b 分别是平面α、β的法向量． ∵a·b ＝－2＋6－4＝0，∴a ⊥b ，∴α⊥β. 答案：垂直8．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 的夹角的大小为__________．解析：如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz . 设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2.则CA→＝(2a,0,0)， AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a,0)．设平面P AC 的法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →|·|n |＝a 2a 2·2＝12. ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面P AC 的夹角为90°－60°＝30°. 答案：30°9．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，则此时KG 的长是__________．解析：如图，过K 作KM ⊥EF 于M ，则M 为EF 的中点，连接MG ，则∠KMG ＝120°.在△KMG 中，MG ＝1，KM ＝1.KG →2＝1＋1－2×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3 ∴|KG→|＝ 3. 答案： 3 三、解答题10．(2018·新课标全国卷Ⅱ)如图，直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D —A 1C —E 的正弦值．解析：(1)证明：如图，连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 为AB 中点，连接DF ，BC 1，则BC 1∥DF . ∵DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)．则CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，CA 1→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CD→＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0，可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎨⎧m ·CE→＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D —A 1C —E 的正弦值为63. 11．(2018·江苏卷)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1夹角的正弦值．解析：(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ，则A (0,0,0)，B (2，0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，∴A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．∵cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010.∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， ∵AD →＝ (1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，∴n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且2y ＋4z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，∴n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1夹角的大小为θ.由cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1夹角的正弦值为53. 12．如图①所示的正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B (如图②)．在图②中：(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由． (2)求二面角E －DF －C 的余弦值．(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．解析：(1)在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 、DA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,2)，B (2,0,0)， C (0,23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)．平面CDF 的法向量为DA→＝(0,0,2)， DF→＝(1，3，0)， DE →(0，3，1) 设平面EDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，取n ＝(3，－3，3)，cos 〈DA →，n 〉＝DA →·n |DA →||n |＝217. (3)假设存在点P ，使AP ⊥DE .设P (x ，y,0)，AP →＝(x ，y ，－2)，则AP →·DE →＝3y －2＝0，∴y ＝233，又BP→＝(x －2，y,0)，PC →＝(－x,23－y,0), ∵BP→∥PC →， ∴(x －2)(23－y )＝－xy . ∴3x ＋y ＝2 3.把y ＝233代入上式得x ＝43， ∴BP →＝13BC →. ∴在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE .。

2021-2022年高三下学期理科数学测试题(5)

2021年高三下学期理科数学测试题（5）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，1、已知全集，集合1|{},0)1)(2(|{-=>-+=x B x x x A ≤则（C U B ）为A ．B ．≥C ．D ．≥2、已知直线平面，直线平面，给出下列命题:（1）（2）（3）（4）其中正确命题的序号是A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（4）C 、（2）（4）D 、（1）（3）3、将函数的图象按向量平移后，得到的图象，则（）A ．=（1，2）B ．=（1，－2）C ．=（－1，2）D ．=（－1，－2）4、等差数列的公差，若与的等比中项，则（）A ．2B ．4C ．6D ．85、设随机变量～B(2,p), ～B(4,p),若，则的值为A .B . C. D .6、设命题P ：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；命题Q ：在中是22cos ()cos ()2424A B ππ+<+成立的必要非充分条件, 则（） A ．P 真Q 假 B ．P 且Q 为真 C ．P 或Q 为假 D ．P 假Q 真7、设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A 与中的任意一点B, 的最小值等于( )A ．B ．4C ．D ．28、半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是（）A. B C D9、设,.定义一种向量积：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=.已知,点在的图象上运动,点在的图象上运动,且满足 (其中为坐标原点),则的最大值及最小正周期分别为（）A ．，B ．，C ．，Ｄ．，10、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）（A ）1 （B ）（C ）（D ）2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2021年高三下学期期末练习理科数学含解析

2021年高三下学期期末练习理科数学含解析作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合，，则A． B． C． D．【答案】B，所以，即选B.2.已知数列是公比为的等比数列，且，，则的值为A． B． C．或 D．或【答案】D由，得，，解得。

当时，，此时。

选D.3. 如图，在边长为的正方形内有不规则图形.撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，则图形面积的估计值为A. B. C. D.【答案】C设图形面积的为,则由实验结果得，解,所以选C.4.俯视图A. B. C. D.【答案】B由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。

上部分为四棱锥。

四棱锥的底面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为，选B. 5.在四边形中，“，使得”是“四边形为平行四边形”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C若，则，即,所以四边形为平行四边形。

反之，若四边形为平行四边形，则有且，即，此时，所以，使得成立。

所以“，使得”是“四边形为平行四边形”的充分必要条件，选C. 6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为 A. B. C. D.【答案】A由题意可知2和4需要排在十位、百位和千位．若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以随意排，因此有种情况，同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有种情况．再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的排列有两种情况，而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情况，最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有种情况．因此所有的排法总数为12+12+8=32种．选A.7.双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为 A. B. C. D.【答案】B抛物线的焦点为，即,所以双曲线中。

2013届高三理科数学解答题训练(5)

高三数学（理）解答题训练(5)1.已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=- ，（其中实数x 和y 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥ ，当||2x ≥时，//a b ．（1）求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对[)(,2]2,x ∀∈-∞-+∞ ，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．2.已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b =(e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项. (1) 求证: *N n ∈∀有n n n a a 21<<+； (2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .高三数学（理）解答题训练(5)参考答案1.解：（1）当||2x <时，由a b ⊥ 得2(3)0a b x x y ⋅=--= ，33y x x =-；（||2x <且0x ≠）当||2x ≥时，由//a b得23xy x =-- ∴323,(220)().(22)3x x x x y f x xx x x ⎧--<<≠⎪==⎨≥≤-⎪-⎩且或（2）当||2x <且0x ≠时，由2'33y x =-<0,解得(1,0)(0,1)x ∈- ，当||2x ≥时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ∴函数()f x 的单调减区间为(1,0),(0,1)-（3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ ，都有230mx x m +-≥ 即2(3)m x x -≥-，也就是23xm x ≥-对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞ 恒成立，由（2）知当||2x ≥时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增又2(2)234f --==-，2(2)234f ==--，当2x ≤-时 2()03xf x x=>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时，有2()0f x -≤<，综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞ ， ()f x 取得最大值2；∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.2.解：（1）2511,()3ln(21),222x a f x x x x =∴=-++>- ()f x '=x -3+5=(21)(3)5x x +-+=()()212x x --，令()f x '=0，则x =1或x =2 ()=()ln 2228f x f ∴=-极大， ()=(2)ln 542f x f =-极小（2）()f x '=x -（1+2a ）+4121a x ++=(21)(1-2)4121x x a x +-+++=()()21221x x a x --+令()f x '=0，则x =12或x =2ai 、当2a >1,即a >1时，所以()f x 的增区间为（-12，12）和（2a ，+∞），减区间为（12，2a ） ii 、当2a =12,即a =14时，()f x '=()22121x x -+≥0在（12-，+∞）上恒成立，所以()f x 的增区间为（12-，+∞）iii 、当-1<2a <1,即-1<a <1时，所以()f x 的增区间为（-2，2a ）和（2，+∞），减区间为（2a ，2） iv 、当2a ≤-1,即a ≤-1时，所以()f x 的增区间为（2，+∞），减区间为（-2，2）综上述：当a ≤-14时，()f x 的增区间为（12，+∞），减区间为（-12，12）当-14<a <14时，()f x 的增区间为（-12，2a ）和（12，+∞），减区间为（2a ，12）当a =14时，()f x 的增区间为（12-，+∞）当a >14时，()f x 的增区间为（-12，12）和（2a ，+∞），减区间为（12，2a ）3. 解：(1) 12-n 是n S 与n a 的等差中项⇔n n n a S -=211112 1 a S a a ∴==-⇒=11122n n n n n n S a S a +++=-⇒=-111112(2)2 n n n n n n n n n n a S S a a a a +++++∴=-=---=+-122 n n n a a +∴=+ 1111 :242224n n n n n n n n n n a a a a ++++⇒=+⇒-=法一1121121(22)(22)(22) n n n n n n n n a a a a a a +-+-∴-+-++-11144444(41)22(41)33n n n n n n a -++=+++=-⇒-=-12111212,2 332332n n n n n n a a +∴=⋅+⋅=⋅+⋅11111112(2)0,20, 32332n n n n n n n n a a a ++∴-=⋅-<-=⋅-⋅>12 n n n a a +∴<<（2）由（1）得1212 332n nn a =⋅+⋅12ln ln ln 12： 12122213 ,1223212)1(2321111-<+++<-∴->-+=--≤-+=----n n n n n n n n n n n b b b a a 只需证1 1++n n n b b b 与是的等比中项n n n b b b +=⇒+212, 0 n b e b =>，当211211 n b b b e b =+==⇒=时1111111111 481,1 2 ln ln10(21) , ln ln( 1 )12 1 ee b b e b b b b --+>∴>=+=<>==-<+<=- 所证不等式成立2 n ≥当时2211ln 2ln n nn n n n b b b b b b ++=+>⇒> 22122112ln 2ln .2ln 23ln ln ln 0122 (21) (1)2n n n n n n n n b b b b b b a -----∴>>≥=+++>++++=-≥- 2221211121121221 ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)2ln(1)ln(1)2ln(1)2ln(1)2ln(1)2 ln ln ln ln(1)ln(1)ln(1)12222 1 3 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b a +-----+=++<+++=+=+∴+<+<+<+<+++<++++++<++++=-<- 又综上所述，总有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a 成立解法二：11122n n n n n n S a S a +++=-⇒=-，111 22 n n n n n n a S S a a +++=-∴=+ 1111121223)1,21, 2 22a i n a S a a a a a +===-⇒===∴<<当时成立111211*********),2, 1 ,2222222 20; 02222k kk k k k k k k k k kk k k k k k a ii n k a a n k a a a a a a +++++++++++++++=<<=+=-----=<<-=>>假设时则时有112 2k k k a a +++∴<<也成立，1),)2n n n i ii a a +<<综合可知成立（2）11111111122 22(2) 2323n n n n n n n n n n a a a a a a -++++=+⇔=+∴-⋅=-⋅1111112122(2)(2) 3323232n n n n n n n a a a -⎛⎫∴-⋅=-⋅=⋅⇒=+ ⎪⎝⎭1 1++n n n b b b 与是的等比中项n n n b b b +=⇒+21 ，221121, 0 n b e b b b b e b =>+==⇒=11111111i) n 11,1 3ln ln10(1) , ln ln( 1 )123 1 2eb b e b b a b b a =>=+=<∴>==-<+<<=-当时ii)假设*,N k k n∈=时不等式13ln ln ln )1(2321-<+++<-k k k a b b b a 成立，则1n k =+时要证明13ln ln ln ln )1(2311211-<++++<-+++k k k k a b b b b a只需证明：)13(13ln )1(23)1(23111---<<---+++k k k k k a a b a a即只需证明：k k k k k b 212ln 212111-<<-++-1112112112212122ln 2.ln 2ln 2ln ln 2ln +----+++->=≥>>>⇒>⇒>+=k k k k k k k kk k k k k b b b b b b b b b b221211112 ln(1)ln(1)ln(1)2ln(1)ln ln(1)2ln(1)2ln(1)2ln(1)k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b +-++-+=++<+=+∴<+<+<+≤+ 又只需证明k k k k e b 411411)1ln(21212)1ln(221-≤-<+⇔-<+-只需证明32)1(23)1ln(e e e <+⇔<+由3327.23.01.81.816)1(e e <=⨯⨯<<+ 可知上面结论都成立综合(i)(ii)可知*N n ∈∀, 13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a 成立法三：当n=1时同法一：2≥n 时左边证明同法一当2≥n 时，证明右边如下：11112312212111ln ln ln ln ln ln ln ln ln )1ln()1ln()1ln(ln ln ln ln ln )1ln()1ln(ln ln +++++<-=-++-+-=++++++≤+++∴-=+⇒++=n n n n n n nn n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b只需证明)2(1312ln 1≥-<-≤+n a b n n n22212111112 ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)2ln(1)ln ln(1)2ln(1)2ln(1)2ln(1)2 ln(1e)n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b +--++-+=++<+++=+=+∴<+<+<+<≤+=+ 又只需证明)2(212)1ln(12)1ln(211≥-<+⇔-<+--n e e n n n∴≥≥--)2(232121n n 只需证明32)1(23)1ln(e e e <+⇔<+由3327.23.01.81.816)1(e e <=⨯⨯<<+ 可知上面结论都成立综上所述*N n ∈∀, 13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a 成立注1：n nn n b b b 211)1ln(12)1ln(2ln 111-<+⇔-<+<+若证必须3≥n 才行不成立时当n b n 211)1ln(2,11-<+=实际上才有时当，n b 3,79.0)1ln(1≥≈+成立nb 211811)1ln(1-≤-<+31212)(21 22)2(21)2(212:21111-=⇒=⋅-⋅∴=⋅-⋅⋅+=⋅+-+++λλλλλλλn n n n n n n a a 则设注。

人教版高三理科数学课后习题(含答案)课时规范练36数学归纳法

课时规范练36数学归纳法基础巩固组1.(2019福建三明三模)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n应等于()A.1B.4C.5D.62.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是( )A.假设n=k(k∈N*),证明n=k+1时命题成立B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1时命题成立C.假设n=2k+1(k∈N*),证明n=k+1时命题成立D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2时命题成立3.(2019浙江丽水一模)已知n∈N*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=时.假设当n=k(k∈N*)时命题建立,证明当n=k+1时命题也建立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是( )A.f(k+1)=f(k)+3k-5B.f(k+1)=f(k)+3k-2C.f(k+1)=f(k)+3k+1D.f(k+1)=f(k)+3k+44.(2019江西吉安期末)下面是利用数学归纳法证明不等式2(√1×2+√2×3+…+√(n-1)·n)<n2(n≥2,且n∈N*)的部分过程: “……假设当n=k(k≥2)时,2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k)<k2,故当n=k+1时,有,因为2√k·(k+1)=22+k<,故2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<(k+1)2, ……”则横线处应该填()A.2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<k2+2√k·(k+1),2k+1B.2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k)<k2+2√k·(k+1),2k+1C.2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<k2+2√k·(k+1),2k+2D.2(√1×2+√2×3+…+√<k2+2√k+25.用数学归纳法证明:“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分,则f(n)=1+.”证明第二步归纳递推时,用到f(k+1)=f(k)+ .6.(2019河南南阳期末)是否存在正整数m,使得对任意正整数n,f(n)=(2n+7)·3n+m都能被36整除?若存在,求出m的最小值,并用数学归纳法证明你的结论;若不存在,请阐明来由.7.证明:对任意的n∈N*,不等式32·54·76·…·2n+12n>√n+1成立.8.(2019江苏盐城期末)已知数列{an}各项均为正数,满足13+23+…+n3=.(1)求a1,a2,a3的值;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.综合提升组9.(2019浙江湖州一模)某个命题与正整数n有关,如果当n=k+1(k∈N*)时命题建立,那么可推得当n=k时命题也建立.现已知当n=2 019时该命题不建立,那么可推得( )A.当n=2 020时该命题不成立B.当n=2 020时该命题成立C.当n=2 018时该命题不成立D.当n=2 018时该命题成立10.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条直线不外同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示).11.(2019江苏南京三模)对由0和1这两个数字构成的字符串,作如下规定:按从左向右的次序,当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*,且k≥3)位,则称子串“010”在第k 位出现;再继续从第k+1位按从左往右的顺序找子串“010”,若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k+m位(其中m≥3且m∈N*),则称子串“010”在第k+m位出现;……;云云不停地重复下去.如:在字符串11010101010中,子串“010”在第5位和第9位出现,而不是在第7位和第11位出现.记在n位由0,1构成的全部字符串中,子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n).(1)求f(3),f(4)的值;(2)求证:对任意的正整数n,f(4n+1)是3的倍数.创新应用组12.将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17, 18,19,20,21),….分别计算各组包含的正整数的和如下,S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.13.(2019江苏无锡新吴区模拟)记[x ]r =x (x+1)…(x+r-1),x ∈R ,r ∈N *,并规定[x ]0=1, (1)分别求[3]2,[-3]2的值;(2)证明:[a+b ]r=∑k=0rC rk [a ]r-k [b ]k ,a ,b ∈R ,r ∈N *.参考答案课时规范练36数学归纳法1.D n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,∴初始值n0至少应取6.故选D.2.D相邻两个正奇数相差2,故D选项正确.3.C因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=3n 2-n2时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+…+(3k-2)=3k2-k 2,则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+…+(3k+2)+[3(k+1)-2],需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.故选C.4.A假设当n=k(k≥2)时,2(√1×2+√2×3+…+√)<k2,故当n=k+1时,有2(√1×2+√2×3+…+√+√<k2+2√.因为2√2√k2+k<2k+1,故2(√1×2+√2×3+…+√(k-1)·k+√k·(k+1))<(k+1)2.故选A.5.k+1当n=k(k≥2)时,有f(k)=1+k(k+1)2,当n=k+1时,f(k+1)=1+(k+1)(k+2)2,∴从k到k+1左端需增加的代数式1+(k+1)(k+2)2-1-k(k+1)2=k+12(k+2-k)=k+1,∴在证明第二步归纳推理的历程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1).6.解由f(n)=(2n+7)·3n+m,得f(1)=27+m,f(2)=99+m,∴27+m=36,99+m=3×36,由此猜想m=9.下面用数学归纳法证明,(1)当n=1时,显然成立.(2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除.当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最小值为9.7.证明①当n=1时,左边=,右边=,因为,以是不等式建立.②假设当n=k时不等式建立,即…成立.则当n=k+1时,左边=32·54·76·…·2k+12k·2k+32k+2>√k+1·2k+32k+2=√(2k+3)24(k+1)=√4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)=√(k+1)+1+14(k+1)>√所以当n=k+1时,不等式也建立.由①②可得不等式恒建立.8.解(1)当n=1时,13=(a1·22) 2 ,又a n>0,所以a1=1,当n=2时,13+23=(a2·32)2,解得a2=2,当n=3时,13+23+33=(a3·42)2,解得a3=3.(2)猜想数列{a n}的通项公式为a n=n,①当n=1时,由(1)可知结论成立;②假设当n=k时,结论成立,即a k=k成立, 则n=k+1时,由13+23+…+k3=[a k(k+1)2]2与13+23+…+(k+1)3=[a k+1(k+2)2]2,所以(k+1)3=[a k+1(k+2)2]2−[a k(k+1)2]2=[a k+1(k+2)2]2−[k(k+1)2]2,所以a k+12(k+2)2=4(k+1)3+k2(k+1)2=(k+1)2(4k+4+k2)=(k+1)2(k+2)2.又a n>0,a k+1=k+1成立,根据①②猜想成立.9.A 由题意可知,原命题建立则逆否命题建立,P(n)对n=2 019不成立,P(n)对n=2 020也不成立,否则,n=2 020成立,由已知推得n=2 019也成立.与当n=2 019时该命题不建立抵牾.故选A.10.51(n+1)(n-2)f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)=2+3+4+…+(n-1)=1(n+1)(n-2).211.(1)解在3位数字符串中,子串“010”在第三位出现有且只有1个,即010,∴f(3)=1.在4位数字符串中,子串“010”在第四位出现有2个,即0010与1010,∴f(4)=2.(2)证明当n≥5且n∈N*时,当最后3位是010时,前n-3个数位上,每个数位上的数字都有两种大概,即0和1,共有2n-3种可能.由于当最后3位是010时,若最后5位是01010,且前n-2位形成的字符串中子串“010”,是在第n-2位出现,此时不满足条件.∴f(n)=2n-3-f(n-2),n≥5且n∈N*.∵f(3)=1,∴f(5)=3.下面用数学归纳法证明f(4n+1)是3的倍数.①当n=1时,f(5)=3是3的倍数;②假设当n=k(k∈N*)时,f(4k+1)是3的倍数,那么,当n=k+1时,f [4(k+1)+1]=f (4k+5)=24k+2-f (4k+3)=24k+2-[24k -f (4k+1)]=3×24k +f (4k+1).∵f (4k+1)是3的倍数,且3×24k 也是3的倍数,∴f (4k+5)是3的倍数.即n=k+1时,f [4(k+1)+1]是3的倍数.综上,对于任意的正整数n ,f (4n+1)是3的倍数.12.解 (1)S 7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S 1=1;S 1+S 3=16;S 1+S 3+S 5=81;S 1+S 3+S 5+S 7=256;猜测S 1+S 3+S 5+…+S 2n-1=n 4.证明如下:记M n =S 1+S 3+S 5+…+S 2n-1,①当n=1时,猜想成立.②假设当n=k 时,命题成立,即M k =S 1+S 3+S 5+…+S 2k-1=k 4.下面证明当n=k+1时,料想也建立.事实上,由题设可知Sn 是由1+2+3+…+(n -1)+1=+1开始的n 个一连自然数的和. 所以S n =n (n -1)2+1+n (n -1)2+2+…+n (n -1)2+n =n (n 2+1)2, 所以S 2k+1=(2k+1)[(2k+1)2+1]2=(2k+1)(2k 2+2k+1)=4k 3+6k 2+4k+1, 从而M k+1=M k +S 2k+1=k 4+4k 3+6k 2+4k+1=(k+1)4,所以猜想在n=k+1时也成立.综合①②可知猜想对任何n ∈N *都成立.13.(1)解 [3]2=3×4=12.[-3]2=-3×(-3+2-1)=6.(2)证明使用数学归纳法证明.①r=1时,[a+b ]1=C 10[a ]1[b ]0+C 11[a ]0[b ]1=a+b 成立.②假设r=n 时成立,则[a+b ]n =∑k=0nC n k [a ]n-k [b ]k 成立,则r=n+1时,[a+b ]n+1=[a+b ]n [a+b ]1=(C n 0[a ]n +C n 1[a ]n-1[b ]1+…+C n n [b ]n )[a+b ]=(C n 0[a ]n+1+C n 1[a ]n [b ]1+…+C n n [a ][b ]n )+(C n 0[a ]n [b ]+C n 1[a ]n-1[b ]2+…+C n n [b ]n+1).根据C n k +C n k+1=C n+1k+1.∴[a+b ]n+1=C n 0[a ]n+1+C n+11[a ]n [b ]1+…+C n+1n+1[b ]n+1=∑k=0n+1C n+1k [a ]n+1-k [b ]k .假设成立,即r=n+1时命题建立.综上可得,[a+b]r=[a]r-k[b]k,a,b∈R,r∈N*.。

高三数学下学期模拟卷五理试题

HY 中学2021届高三数学下学期模拟卷〔五〕理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日测试范围：学科内综合．一共150分，考试时间是是120分钟第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．〕 1．设U =R ,{|0}A x x =>,{|1}B x x =>，那么UA B = 〔〕A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >2．假设复数z 满足i1iz z =-，其中i 为虚数单位，那么复数z 的一共轭复数所对应的点位于〔〕 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin,cos,tan777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么〔〕 A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个实轴顶点为12,A A ，点C 为虚轴顶点，且120CA CA ⋅<，那么双曲线的离心率的范围为〔〕A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞5．桌子上有同一副纸牌中的红桃、方片、梅花的纸牌各3张，假设小李第一次从中抽取了1张红桃和2张其他纸牌后不再放回，那么第二次从中抽取了1张红桃和2张方片的概率为〔〕 A ．15B ．25C ．325D ．4256．向量213(,cos ),(2cos ,sin )(0)22x x x ωωωω==+>a b ，函数()f x =⋅a b 在区间[],m n 上单调，且m n -的最大值是2π，那么()2f π= 〔〕 A ．2 B ．74 C ．54D ．17．如下图的程序框图，假设输入的5n =，那么输出的i = 〔〕A ．10B ．11C ．12D ．138．设M 是ABCD 的对角线的交点，三角形ABD 的高AP 为2，O 为任意一点，那么(3)()OB OC OD OA OP OA ++-⋅-= 〔〕A ．6B ．16C ．24D ．489．设,x y 满足约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥，那么22(1)(1)z x y =-++的取值范围为〔〕 A ．[2,13]B ．[4,13]C ．13]D ．13]10．数列{}n a 满足113,1n n a a a +==,012123164nn n n n n a C a C a C a C +++++=，那么21(1)(2)nx x x--展开式中的常数项为〔〕A ．160-B ．80-C ．80D ．16011．如图，六个直角边均为1和3的直角三角形围成的两个正六边形，那么该图形绕着L 旋转一周得到的几何体的体积为〔〕A ．154πB ．174πC ．194πD ．214π12．函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，假设函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，那么实数k 的取值范围为〔〕A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．将答案填在题中的横线上．〕13．抛物线2:8C y x =，Q 是C 上的一点，假设焦点F 关于Q 的对称点P 落在y 轴上，那么FP = .14．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联络，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭(正四梭台)体积为22()3h V a b ab =++ 其中a 为上底边长，b 为下底边长，h 为高．杨辉利用沈括隙积术的根底上想到：假设由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，一共有n 层，最下层(即下底)由b b ⨯个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：22()32n b aS a b ab -=+++根据以上材料，我们可得22212n +++= .15．某一几何体三视图如下图，3，那么俯视图的面积为 .16．在ABC △中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且4,6AB AC ==，假设ABC △的面积不小于63BECF的最小值为 . 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17．〔12分〕数列{}n a 的前n 项和记为n T ,121(1)n n a T n +=+≥，11a =；等差数列{}n b 中，且{}n b 的前n 项和为n S ，1333,27b a S =+=. 〔1〕求{}n a 与{}n b 的通项公式；〔2〕设数列{}n c 满足1313log n n n c b a ++=，求{}n c 的前n 项和.18．〔12分〕京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产〞，为纪念著名京剧表演艺术家，京剧艺术HY 梅兰芳先生，某电视台?我爱京剧?的一期比赛中，2位“梅派〞传人和4位京剧票友〔资深业余爱好者〕在幕后登台演唱同一曲目?贵妃醉酒?选段，假设6位演员的演唱程度相当，由现场40位群众评委和“梅派〞传人的朋友猜想哪两位是真正的“梅派〞传人.〔1〕此栏目编导对本期的40位群众评委的年龄和对京剧知识的理解进展调查，根据调查得到的数据如下：试问：关系？〔2〕假设在一轮中演唱中，每猜出一位亮相一位，且规定猜出2位“梅派〞传人〞或者猜出5人后就终止，记本轮竞猜一一共竞猜X 次，求随机变量X 的分布列与期望. 参考数据：参考公式：2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++19．〔12分〕在如图〔1〕梯形ABCD 中，9,:1:2AB AD DC EB ==，过D 作DE AB ⊥于E ，1DE =，沿DE 翻折后得图〔2〕，使得23AEB π∠=，又点F 满足EA EB EF +=，连接,,AF BF CF ，且2EM MF =. 〔1〕证明：//CF 平面BDM ；〔2〕求平面BMD 与平面AED 所成的二面角的余弦值.20．〔12分〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的左、右焦点为12,F F ，左右两顶点,A B ，点M为椭圆C 上任意一点，满足直线,MA MB 的斜率之积为34-，且12MF MF ⋅的最大值为4.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕直线2a x c =与x 轴的交点为S ,过S 点的直线l 与椭圆C 相交与,P Q 两点，连接点2QF 并延长,交轨迹C 于一点P '.求证：22'P F PF =.21．〔12分〕函数()m xf x e n -=+在点(1,1)处的切线方程为20x y +-=.〔1〕假设函数()()(cos )()F x f x a x a =-+∈R 存在单调递减区间，务实数a 的取值范围；〔2〕设2()(1)[(1)1]G x f x x t x =++-+，对于[0,1]x ∈，()G x 的值域为[,]N M ，假设2M N >，务实数t 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题计分．答题时请写清题号．22．〔10分〕选修4—4坐标系与参数方程直线l 的普通方程为20x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为2cos2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，将直线向右平移2个单位后得到直线'l ，又点P的极坐标)2π.〔1〕求直线'l 以及曲线C 的极坐标方程；〔2〕假设直线'l 与曲线C 交于,A B 两点，求三角形PAB 的面积值.23．〔10分〕选修4—5不等式选讲函数()||||f x x a x b c =++-+〔1〕假设1,2,3a b c ===，求不等式8()10f x <<的解集；〔2〕当0,0,0.a b c >>>时，假设()f x 的最小值为2，求111a b c++的最小值.2021届模拟05理科数学答案与解析1．【答案】B 【解析】因为{}1U B x x =≤，所以{|01}UA B x x =<≤．2．【答案】C 【解析】由i 1i z z =-得i i(1+i)1i 1i (1i)(1+i)22z ===-+--，所以1i22z =--，所以z 对应的点在第三象限.3．【答案】A 【解析】因为幂函数1()n f x mx +=在区间[2,]n -上是奇函数，所以1,2m n ==，即3()f x x =，因为222cossin tan 777πππ<<，又()f x 为增函数，所以b a c <<. 4．【答案】A 【解析】根据题意，120CA CA ⋅<，所以12ACA ∠为钝角，所以a b >，所以22222,2,1c a c e a >∴<∴<5．【答案】C 【解析】设A=｛抽取1张红桃和2张其他纸牌｝；B=｛第二次从中抽取1张红桃和2张方片｝；21111112116333323323333996159(),()28140C C C C C C C C C C P A P AB C C C +====，所以9()3140()15()2528P AB P B A P A ===.6．【答案】D 【解析】21()(2cos )sin 2f x x x x ωωω=⋅=+a b 211cos 22x x ωω=+ 1cos2124x x ωω+=+511(cos22)422x x ωω=+15sin(2)264x πω=++，由题意：T π=,22ππω∴=,1ω∴=，即15()sin(2)264f x x π=++，所以15()1244f π=-+=.7．【答案】C 【解析】输入的5n =，程序框图运行如下：1i =，1(1)115S =-⨯=-<;2i =，21(1)21215S =-+-⨯=-+=<； 3i =，31(1)31325S =+-⨯=-=-<;4i =，42(1)42425S =-+-⨯=-+=<；10i =，(12)(34)(56)(78)(910)5S =-++-++-++-++-+=； 11i =，115(1)1151165S =+-⨯=-=-<；12i =，126(1)1265S n =-+-⨯=>=；所以输出的12.i =8．【答案】B 【解析】因为AP BD ⊥，AM 在向量AP 的射影为AP ，所以2(3)()24416OB OC OD OA OP OA AC AP AM AP AP ++-⋅-=⋅=⋅=⋅=.9．【答案】A 【解析】由约束条件02346x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≤≥作出可行域如图，令22(1)(1)t x y -++，那么表示点(,)x y 和(1,1)D -两点的间隔，由图可得，max t DC =, 联立4623x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得(1,2)C -，所以max 13t DC =过(1,1)D -作DH BD ⊥于H ，那么min 22t DH ===，故[2,13]z ∈. 10．【答案】D 【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，所以13n n a -=，所以01200112212313333(13)464,3n n nn n n n n n n n n n n a C a C a C a C C C C C n +++++=++++=+==∴=，所以61(1)(2)x x x --，其中61(2)x x -展开式的第r +1项为66621661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-⋅⋅⋅,令621r -=-，得72r =〔舍去〕，令3r =可得33346(1)2160T C =-⋅=-，所以二项式2321(1)(44)x x x-+-展开式中常数项为1(160)160-⨯-=． 11．【答案】B 【解析】外面的六边形旋转得到的几何体的体积为22221333212[((3)()(3)]3224πππππ⨯⨯+⨯=，内部的六边形旋转得到的几何体的体积为2211332()132πππ⨯⨯+⨯=，所以几何体的体积为174π.12．【答案】B 【解析】当0x >时，ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=，又(0,)x e ∈时，()0f x '＞，∴()f x 在(0,)e 上单调递增，(,)x e ∈+∞时，()0f x '＜，∴()f x 在(,)e +∞上单调递减，(0,1),()0x f x '∈＞()(1)0f x f ＜＜.(1,),'()0,()(1)0x e f x f x f ∈>>=;(,),'()0,()0x e f x f x ∈+∞<>，所以()f x 的值域为1(,)e -∞，设y kx =与ln x y x=相切时的切点为00(,)x y ，所以切线方程为0002200ln 1ln ()x x y x x x x --=-，代入(0,0)，得0x e =，故切线的斜率为12e，所以()f x 与y kx =的图象如下：根据题意，120k e k ⎧<⎪⎨⎪>⎩，故102k e <<，所以实数k 的取值范围为1(0,)2e .13．【答案】6【解析】根据题意，Q 为FP 的中点，所以Q 的横坐标为1x =，所以2(12)6FP =+=.14．【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】观察规律令1,a b n ==，可得222112(1)(21)6n n n n +++=++.15．【答案】3【解析】这个几何体为一个四棱锥，直观图如下，设四棱锥的高为h ，几何体的体积为11223,332h h +⨯⨯=∴=，即点E 到平面ABCD 的间隔为3，俯视图为一个正三角形，边长为2，所以俯视图的面积为3，16．【答案】9114【解析】根据题意，画出图形，如下图：又点,E F 分别为,AC AB 的中点，那么3,2AE AF ==，所以在ABE △中，由余弦定理得2224324cos 2524cos BE A A =+-=-,2222624cos 4024cos CF A A =+-=-，所以BECF =又假设ABC △的面积不少于6，所以111sin 12sin sin cos [,]222ABC S AB AC A A A A =⋅=∴∈-△≥当cos A 取最大时，BECF17．【解析】〔1〕111121(1)21(2),2(2),3(2)n n n n n n n n n a T n a T n a a a n a a n +-++=+∴=+∴-=∴=≥≥≥≥，又11a =，2213,3aa a =∴=，所以数列{}n a 为等比数列，13n n a -∴=〔3分〕设数列{}n b 的公差为d ，33127,6,3a S b d d +=∴+=∴=3n b n ∴=.〔6分〕〔2〕由题意得：()1313111log 11n n n c b a n n n n ++===-++〔9分〕所以前n 项和11111(1)()()22311n n A n n n =-+-++-=++.〔12分〕 18．【解析】〔1〕因为222()40(301512) 6.061 5.024()()()()18221525n ac bd K a b c d a c b d --⨯==≈>++++⨯⨯⨯，〔3分〕所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可以认为年龄与对京剧知识的理解有关系. 〔5分〕〔2〕由题意，随机变量X 的取值分别为2,3,4,5.〔6分〕22261(2) 15A P X A ===,112242362(3) 15C C A P X A ===， 12342434464(4) 15C C A A P X A +===,1248(5)115151515P X ==---=，〔10分〕 ∴随机变量X 的分布列为：P115215415 815〔11分〕∴随机变量X的期望为：12486423451515151515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.〔12分〕 19．【解析】〔1〕连接DB 与EC 交于点N ，:1:2DC EB =，那么:2:1EN CN =2,:2:1EM MF EM MF =∴=，∴//MN CF ，〔2分〕又MN ⊂平面BDM ，CF ⊄平面BDM ， ∴//CF 平面BDM .〔4分〕〔2〕证明：由EA EB EF +=，得四边形AFBE 为平行四边形，所以6AF BE ==，3EAF π∠=，所以222cos 333EF AE AF AE AF π=+-⋅=，所以222,AF AE EF AE EF =+∴⊥，〔6分〕又,,DE EB DE EA EB EA E ⊥⊥=，所以DE ⊥平面AFBE ，所以DE EF ⊥，又EA ED E =，EF ∴⊥平面ADE ADE.〔8分〕以点E 为原点，EA 为x 轴，EF 为y 轴，ED 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么(0,0,0),(0,0,1),(3,33,0),(0,23,0)E D B M -，所以(3,33,1),(3,3,0)BD BM =-=-，〔9分〕设平面BMD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以(,,)(3,030,(,,)(3,030BD x y z x zBM x y z x⎧⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⋅==⎪⎪⎩⎩nn令y=n，〔10分〕又平面AED得一个法向量为(0,1,0)=m，〔10分〕所以cos,⋅<>==⋅n mn mn m又平面BMD与平面AED所成的二面角显然为锐角，所以平面BMD与平面AED.〔12分〕20．【解析】〔1〕根据题意122212()4,22MF MFMF MF a a+⋅==∴=≤，〔1分〕又设00(,)M x y，所以00022222002222200(1)xbyy y bax a x a x a x a a-⋅===-+---，所以2234ba-=-，〔3分〕故23b=，从而椭圆C的HY方程为22143x y+=.〔4分〕〔2〕根据题意，(4,0)S，所以设直线l的方程4x ky=+，联立224143x kyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x得22(34)24360k y ky+++=，222(24)436(34)144(4)0k k k∆=-⨯+=->，即24k>.设1122(,),(,)P x y Q x y，那么00'(,)P x y.由根与系数的关系得，1212222436,3434ky y y yk k+=-=++.〔7分〕设直线2QF的方程为2211xx yy-=+，所以222222111434xx yyx yx ky-⎧=+⎪⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩，得2222222(3)6(3)[34]90ky kyy yy y++++-=，220022222222222999,27(34)1827(3)(34)1834y y y y k y ky ky k y k y y ---=∴==++++++++ 12221199273621(34)181827()3y k y k k k y y y --===-+++++--.〔10分〕所以20111112213321()1()()1[3()]()143ky x y k y k k y ky x y y y +=-+=+-+=+---+=+= 故11'(,)P x y -，所以22'P F PF =.〔12分〕21．【解析】因为'()m x f x e -=-，所以1'(1)1,1m f e m -=-=-∴=，又11(1)1,0f e n n -=+=∴=，故1()x f x e -=.〔2分〕〔1〕由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++，假设函数()f x 存在单调减区间，那么1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间，即)4a x π+存在取值区间，所以a 〔5分〕〔2〕因为2(1)1()x x t x G x e +-+=，所以()(1)'()x x t x G x e ---= ①当1t ≥时，()0h x '≤，()G x 在[0,1]上单调递减，由2N M <，所以2(1)(0)G G <，即321t e -⋅<，得32e t >-；〔7分〕 ②当0t ≤时，'()0G x ≥，()G x 在[0,1]上单调递增，所以2(0)(1)G G <，即32t e-<，得32t e <-，〔8分〕 ③当01t <<时，在[0,)x t ∈，'()0G x <，()G x 在[0,]t 上单调递减，在(,1]x t ∈，'()0G x >，()G x 在[,1]t 上单调递增，所以2()max{(0),(1)}G t G G <，即132max{1,}()t t t e e+-⋅<*.〔10分〕令1()t t p t e +=,(0,1)t ∈，那么()0t t p t e -'=<，所以1()t t p t e+=在(0,1)t ∈上单调递减，故1421t t e e +⨯>>，而334t e e e-<<，所以不等式〔*〕无解，综上所述，(,32)(3,)2e t e ∈-∞--+∞.〔12分〕22．【解析】〔1〕直线'l 的普通方程为0x y -=，直线'l 的极坐标方程4πρ=，〔3分〕曲线C 的普通方程22((4x y+-=，所以2cos sin 60ρθθ--+=.〔5分〕（2）由〔1〕得2660ρρ-+=，所以12AB ρρ=-=8分〕点P 到直线'l 的间隔 d 为34π=，所以132PAB S =⨯=〔10分〕 23．【解析】〔1〕根据题意，22,2()|1||2|36,1242,1x x f x x x x x x +⎧⎪=++-+=-<<⎨⎪--⎩≥≤，〔3分〕解210228x x ⎧⎨>+>⎩≥，或者110428x x -⎧⎨>->⎩≤，得34x <<或者32x -<<-，所以解集为(3,2)(3,4)--.〔5分〕〔2〕因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c +--+=++≥，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，〔8分〕又0,0a b >>，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，所以2a b c ++=.所以1111111119()()(3)(3222)2222b a a c c b a b c a b c a b c a b c a b c ++=++++=+++++++++=≥.〔10分〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。