北京汇文中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

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2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学(理科)试题(解析版)

2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知m ,n R, 集合A = {2, log 7m }, 集合B ={m , n },若A ∩B ={0}, 则m + n = A ．0 B ．1 C ．7 D ．82．已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK|=√2|AF|，则ΔAFK 的面积为A ．4B ．8C ．16D ．32 3．“x >0”是“x +sinx >0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f (x )=(x −1x )cosx （−π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中, M 是BC 的中点, AM = 3, 点P 在AM 上, 且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为A ．4B ．2C ．−2D ．−46．如图，点O 为坐标原点，点A(1,1)，若函数y =a x （a >0，且a ≠1）及y =log b x （b >0，且b ≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足A ．a <b <1B ．b <a <1C ．b >a >1D ．a >b >17．已知f(x)={1x −1,x ≥1,lnx,0<x <1,若函数g(x)=f(x)−kx +k 只有一个零点，则k 的取值范围是A ．(−∞,−1)∪(1,+∞)B ．(−1,1)C ．[0,1]D ．(−∞,−1]∪[0,1]8．设f(x)=asin2x +bcos2x ，其中a,b ∈R ，ab ≠0，若f(x)≤|f(π6)|对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是①f(11π12)=0；②函数y =f(x)既不是奇函数也不是偶函数； ③f(x)的单调递增区间是[kπ+π6,kπ+2π3] (k ∈Z)；④存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图象不相交． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④二、填空题9．在极坐标系中,圆ρ=2的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ=2上的动点的距离的最小值为________. 10．若双曲线x 2+y 2m =1的一条渐近线的倾斜角为60°，则m =__________．11．已知直线l 1:ax +(a +2)y +1=0，l 2:x +ay +2=0．若l 1⊥l 2，则实数a 的值是．12．若直线y =2x 上存在点(x,y)满足约束条件{x +y −3≤0x −2y −3≤0x ≥m ，则实数m 的取值范围 .13．如图，线段AB =2，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，BC =1．设O 为原点，则OC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号14．对于函数y =f(x)，若在其定义域内存在x 0，使得x 0f(x 0)=1成立，则称函数f(x)具有性质P ．（1）下列函数中具有性质P 的有__________．①f(x)=−2x +2√2 ②f(x)=sinx(x ∈[0,2π]) ③f(x)−x +1x ,(x ∈(0,+∞)) ④f(x)=ln(x +1)（2）若函数f(x)=alnx 具有性质P ，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．函数f(x)＝cos(πx ＋φ)(0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋f (x +13)，求函数g(x)在区间[−12,13]上的最大值和最小值． 17．已知抛物线C ：y 2=4x ，其焦点为F ，直线过点P （﹣2，0）（1）若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，求l 的方程；（2）若直线l 与抛物线交于不同的两点A 、B ，求|FA|+|FB|的取值范围．18．已知函数 f (x ) = x e −x (x ∈R) （Ⅰ）求函数 f (x )的单调区间和极值; （Ⅱ）若x ∈ (0, 1), 求证: f (2 − x ) > f (x );（Ⅲ）若x 1 ∈ (0, 1), x 2∈(1, +∞), 且 f (x 1) = f (x 2), 求证: x 1 + x 2 > 2.19．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点到它的两个焦的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求圆O 和椭圆C 的方程．（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：∠MQN 为定值．20．将所有平面向量组成的集合记作R 2, f 是从R 2到R 2的映射, 记作y =f(x )或(y 1,y 2)=f(x 1,x 2), 其中x 1,x 2,y 1,y 2都是实数. 定义映射f 的模为: 在|x |=1的条件下|y |的最大值, 记做‖f‖. 若存在非零向量x ∈R 2, 及实数λ使得f(x )=λx , 则称λ为f 的一个特征值.（Ⅰ）若f(x 1,x 2)=(12x 1,x 2), 求‖f‖;（Ⅱ）如果f(x 1,x 2)=(x 1+x 2,x 1−x 2), 计算f 的特征值, 并求相应的x ;（Ⅲ）试找出一个映射f , 满足以下两个条件: ①有唯一的特征值λ, ②‖f‖=|λ|. (不需证明)2018—2019学年北京八中第一学期高三期中考试数学（理科）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】根据A∩B={0}，得出log7m=0，求出m的值，从而得出n的值，再求出m+n的值．【详解】根据A={2，log7m}，B={m，n}，且A∩B={0}，得log7m=0，解得m=1；∴n=0，∴m+n=1+0=1．故选：B．【点睛】本题考查了集合交集的定义与应用问题，是基础题目．2．B【解析】试题分析：解：F（2，0）K（-2，0），过A作AM⊥准线，则|AM|=|AF|，∴|AK|=√2|AM|，∴△AFK的高等于|AM|，设A（m2，2√2m）（m＞0）则△AFK的面积=4×2√2m•12=4√2m又由|AK|=√2|AF|，过A作准线的垂线，垂足为P，三角形APK为等腰直角三角形，所以m=√2∴△AFK的面积=4×2√2m•12=8故答案为B考点：抛物线的简单性质点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．3．C【解析】令f(x)=x+sinx，则f′(x)=1+cosx≥0，∴f(x)单调递增，且f(0)=0，∴“x>0”是”x+sinx>0”的必要条件．故选C．4．A【解析】由f(−x)=(−x+1x)cos(−x)=−(x−1x)cosx=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，故排除C,D；当x=π时，f(π)=(π−1π)cosπ=1π−π<0，排除B，故选A.5．D【解析】【分析】由平行四边形法则，可得PB→+PC→=2PM→．又AP→=2PM→，可得AP→=23AM→，PM→=13AM→．代入PA→⋅(PB→+PC→)即可得出．【详解】由平行四边形法则，可得PB→+PC→=2PM→=AP→，∴AP→=23AM→，PM→=13AM→．∵AM=3，∴PA→⋅(PB→+PC→)=﹣23AM→⋅23AM→=−49AM→2=﹣49×32=﹣4．故选：D．【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量的平行四边形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．A【解析】由图象可以知道，函数均为减函数，所以0<a<1，0<b<1，∵点D为坐标原点，点A(1,1)，∴直线OA为y=x，∵y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又∵y=log b x（b>0，且b≠0）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质可知：a<b，∴a<b<1．故选A．7．D 【解析】试题分析：∵函数g(x)=f(x)−kx +k 只有一个零点，∴y =f(x)与y =kx −k 只有一个交点，图象如图所示，∴k 的取值范围是(−∞,−1)]∪[0,1]．考点：函数零点问题． 8．A 【解析】试题分析：f(x)=asin2x +bcos2x =√a 2+b 2sin(2x +θ)，其中角θ满足cosθ=√a 2+b2，sinθ=√a 2+b 2，∵f(x)≤|f(π6)|对一切x ∈R 恒成立，∴f(π6)=√a 2+b 2或−√a 2+b 2，得2×π6+θ=π2+kπ，k ∈Z ，因此θ=π6+kπ，k ∈Z ，f(x)=√a 2+b 2sin(2x +π6+kπ)=√a 2+b 2sin(2x +π6)或−√a 2+b 2sin(2x +π6)，对于①，∵sin(2×11π12+π6)=sin2π=0，∴f(11π12)=±√a 2+b 2sin(2×11π12+π6)=0，故①正确；对于②，根据函数的表达式，得f(−x)≠±f(x)，故y =f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故②正确；对于③，∵函数的表达式f(x)=√a 2+b 2sin(2x +π6)或，表达式不确定，故[kπ+π6,kπ+2π3]不一定是增区间，故③不正确；对于④，采用反证法，设经过点(a,b)的一条直线与函数y =f(x)的图象不相交，则此直线与x 轴平行方程为y =b ，且|b|>√a 2+b 2，平方得b 2>a 2+b 2矛盾，故假设不成立，所以经过点(a,b)的所有直线均与函数y =f(x)的图象相交，故④不正确．考点：三角函数的图象变换、两角和与差的正弦函数．9．C.【解析】解：在极坐标系中，圆ρ=2⇔x 2+y 2=4的圆心（0,0）到直线ρcosθ+ρsinθ=2即为x+y=2的距离为10．-3 【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =±√−mx ， ∵其中一条渐近线的倾斜是60°， ∴√−m =√3，故m =−3．11．0或－3 【解析】试题分析：由题意得：考点：直线位置关系 12．(−∞,1] 【解析】试题分析：由题意，由{y =2x x +y −3=0，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线y =2x 上存在点(x,y)满足约束条件{x +y −3≤0,x −2y −3≤0,x ≥m,，如图所示，可得m ≤1，则实数m 的取值范围(−∞,1]．考点：线性规划． 13．[1,3] 【解析】解：如图令∠OAB =θ，由于AB =2故0A =2cos θ，OB =2sin θ，如图∠DAX =π2−θ，BC =1，故x D =2cos θ+cos （π2−θ）=2cos θ+sin θ，y D =sin （π2−θ）=cos θ故OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2cos θ+sin θ，cos θ）同理可求得C （sin θ，cos θ+2sin θ），即OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（sin θ，cos θ+2sin θ）， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（cos θ+2sin θ，cos θ）•（sin θ，2cos θ+sin θ）=2+sin2θ， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（cos θ+2sin θ，cos θ）•（sin θ，2cos θ+sin θ）=2+sin2θ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是3，最小值是1，故答案是：[1，3]．14．（1）①②（2）a ≻0或a ≤−e 【解析】试题分析：（1）在 x≠0时，f （x ）=1x 有解，即函数具有性质P ，令-2x+2√2=1x ，即−2x 2+2√2x −1=0∵△=8-8=0，故方程有一个非0实根，故f （x ）=-2x+2√2具有性质P ； f （x ）=sinx （x ∈[0，2π]）的图象与y=1x 有交点，故sinx=1x 有解，故f （x ）=sinx （x ∈[0，2π]）具有性质P ；令x+1x =1x ，此方程无解，故f （x ）=x+1x ，（x ∈（0，+∞））不具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②，（2）f （x ）=alnx 具有性质P ，显然a≠0，方程 xlnx=1a 有根，∵g （x ）=xlnx 的值域[−1e ，+∞） ∴1a≥−1e解之可得：a ＞0或 a≤-e ．考点：本题考查方程和函数的综合点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．15．（1）4960；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）求得所有基本事件的种数以及符合题意的基本事件种数，利用古典概型从而求解；（2）求得X =0，1，3时的概率，得到分布列后即可求解期望．试题解析：（1）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则P(A)=C 31C 72+C 30C 73C 103=4960，∴选出的3名同学来自班级的概率为4960；（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则P(X =0)=C 30C 73C 103=724；P(X =1)=C 31C 72C 103=2140；P(X =2)=C 32C 71C 103=740；P(X =3)=C 33C 70C 103=1120，∴随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E(X)=0×724+1×2149+2×740+3×1120=910．考点：1．随机变量的概率分布及其期望；2．古典概型． 16．（1）φ=π6，x 0=53；（2）见解析【解析】试题分析：（1）将点(0,√32)代入，由已给条件可求得φ=π6；由cos (πx 0+π6)=√32并结合图象可求得x 0=53.（2）由（1）可得到f(x)+f (x +13)=√3cos (πx +π3)，由x ∈[−12,13]，得−π6≤πx +π3≤2π3，可得在πx +π3=0和πx +π3=2π3时，函数g(x)分别取得最大值和最小值。

2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数学试卷(详解)

；；；
．
6. 已知 A.
【答案】 C 【解析】
， B.
，则
的值为（）．
C.
D.
7. 若
．的值为，则
的值是（）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】 ∵若
，
∴
，
∴
，
则
．
∴
．
8. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：
小明的做法是：原式小亮的做法是：原式小芳的做法是：原式
其中正确的是（）．
2018~2019学年北京东城区汇文中学初二上学期期中数学试卷(详解)
一、选择题
（共20分，每小题2分）
1. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（
）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加牛顿的压力才能使
米长的石墨烯断裂．其中
用科学记数法表示为（）．
A. 小明
B. 小亮
”． C. 小芳
【答案】 C 【解析】原式
；；
．
D. 没有正确的
，所以小芳正确，故选．
9. 如图，已知
是等边三角形，点是上任意一点，、分别与两边垂直，等边三角
形的高为，则
的值为（）．
A.
【答案】 B 【解析】 ∵
∴
B.
是等边三角形，，
C. ，
D. 不确定
又∵
【答案】高铁列车的平均行驶速度为千米/时．
【解析】设普通快车的平均行驶速度为千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为
时．
根据题意得
．
解得
．

北京东城区北京汇文中学2018~2019学年第一学期高三期中物理试卷(word版含答案)

2017~2018学年北京东城区北京汇文中学高三上学期期中物理试卷
1. 如图甲是某电场中的一条电场线，A 、B 是这条电场线上的两点，若将一负电荷从A 点自由释放，负电荷沿电场线从A 到B 运动过程中的速度图象如图乙所示，比较A 、B 两点电势的高低和场强大小可知（）
A. φA = φB
B. φA < φB
C. EA = EB
D. EA < EB
2. 如图所示，质量均为m 的两个小球，分别用两根等长的细线悬挂在O 点，两球之间夹着一根劲度系数为k 的轻弹簧，静止时弹簧是水平的，若两根细线之间的夹角为α，则弹簧的形变量为（）
A. 2t a n αk
mg B. 2tan 2αk mg C. αtan k mg D. αtan 2k
mg 3. 如图所示，水平放置的平行板电容器与一电池相连．在电容器的两板间有一带正电的质点处于静止平衡状态．现将电容器两板间的距离增大，则（）
A. 电容变大，质点向上运动
B. 电容变大，质点向下运动
C. 电容变小，质点保持静止
D. 电容变小，质点向下运动
4. 在电梯内的地扳上，竖直放置一根轻质弹簧，弹簧上端固定一个质量为m 的物体．当电梯静止时，弹簧被压缩
了x ；当电梯运动时，弹簧又被继续压缩了
x 10
1后保持与电梯相对静止，则电梯运动的情况可能是（） A. 以大小为 g 1011的加速度加速上升 B. 以大小为g 10
11的加速度减速上升 C. 以大小为g 101的加速度加速下降 D. 以大小为g 101的加速度减速下降
5. 图甲所示为一列简谐横波在t= 20秒时的波形图，图乙是这列波中P 点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是（）。

天津市汇文中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

天津市汇文中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用．2．函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ≤π2）的部分图象如图所示，则φω的值为（）A.18 B ．14C.12D ．13．已知集合A={x ∈Z|（x+1）（x ﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x ＜2}，则A ∩B=（） A ．{x|﹣1≤x ＜2} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2} D ．{﹣1，1}4．已知三棱锥S ABC -外接球的表面积为32π，090ABC ∠=，三棱锥S ABC -的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（）A ．4B ．C ．8D ．5．已知集合{}{2|5,x |y ,A y y x B AB ==-+===（）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识，意在考查基本运算能力． 6．复数满足2＋2z1－i ＝i z ，则z 等于（）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i7．已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 8．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）A B1C D9．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（）A ．1B ．12 C. 34 D ．5810．已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（）A ．B ．C ．D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．11．已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰dx x f 1)(（）A ．67-B ．67C ．65D ．65- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.12．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知点E 、F 分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .14．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．15．函数2()cos sin ((,))6f x x x x ππ=+∈的值域是__________.16．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数)('x f 满足3)('>x f ，则不等式123)2(-⋅<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.三、解答题（本大共6小题，共70分。

北京汇文中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

北京汇文中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列命题正确的是（）A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.C ．自然数集 N 中最小的数是.D ．空集是任何集合的子集.2．已知双曲线和离心率为4sinπ的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 21cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（） A ． B ．25 C ．26 D ．273．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为O 的体积为（）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．4．设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直 5．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I （A ∩B ）等于（） A ．{3，4} B ．{1，2，5，6} C ．{1，2，3，4，5，6} D ．∅6．已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.7． 10y -+=的倾斜角为（）A ．150B ．120C ．60D ．308．若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所在直线方程为（）A ．06=--y xB ．06=++y xC ．06=+-y xD ．06=-+y x9．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（）A ．12+B ．12+23πC ．12+24πD ．12+π10．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（）A ．24B ．80C ．64D ．24011．定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（） A ．T 1=T 19 B ．T 3=T 17 C ．T 5=T 12 D ．T 8=T 1112．函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ．14．命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．15．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ． 16．直线20x y t +-=与抛物线216y x =交于A ，B 两点，且与x 轴负半轴相交，若O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值为 .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查分析问题以及解决问题的能力.三、解答题（本大共6小题，共70分。

2019年汇文高三上数学期中考试

2019-2020学年度第一学期北京汇文中学期中考试高三年级数学班级姓名学号一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.函数222x xy =+的最小值为（）A.1B.2C.2.己知命题p:∃c>0，方程x 2-x+c=0有解，则⌝p 为（）A.∀c>0，方程x 2-x+c=0无解B.∀c ≤0，方程x 2-x+c=0有解C.∃c>0，方程x 2-x+c=0无解D.∃c ≤0，方程x 2-x+c=0有解3.已知函数y=a x ，y=x b ,v=log c x 的图象如图所示，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4.已知集合P={x|x 2≤1},M={a}若P ∪M=P,则a 的取值范围是（）A.(-∞,-1]B.[1，+∞)C.[-1，1]D.(-∞，-1]∪[1,+∞)5.函数f （x ）的图象向石平移1个单位长度,所得图象与y=e x ；关于y 轴对称,则f （x ）=（） A.1x e + B.1x e - C.1x e -+ D.1x e --6.函数f(x)=4 3sin x π⎛+⎫ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程为（） A.3x π=- B.6x π= C.2x π= D.23π 7.已知x ∈R,则“|x+1|+|x-2|>4”是“x<-2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.已知向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（）A.-4B.-3C. -2D.-19.已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是（）A.y=f(x)的图像关于(π,0)中心对称B.y=f(x)的图像关于直线x=2π对称 C.f(x)的最大值为2D.f(x)既奇函数，又是周期函数 10.已知函数()22,0ln(1),0x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≤若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是（）A.(- ∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]11.若等比数列{a n }满足a 1+a 3=5,且公比q=2,则a 3+a 5=（）A.10B.13C.20D.25 12已.知{a n }是各项均为正数的等比数列,3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则1113810+=+a a a a （ A.27 B.3 C.-1或3 D.1或27二、填空题(共8小题,每小题5分，共40分.13.已知数列{a n }的n 项和S n =3n +1.则a 2+a 3=__________14.若角θ的终边过点P(3.-4).则sin(θ-π)=_____________15.已知正方形ABCD 边长为1.E 是线段CD 的中点，则AE BD ___________16.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |=|b |=2.则a (2a-b )的值为__________17.将232，1223（），122从大到小的顺序排列应该是____________ 18.给定下列四个命题: ①“6x π=”是“1sin 2x =”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真.则“p ∧q”为真； ③若a<b ，则am 2<bm 2； ④若集合A ∩B=A.则A ⊆B.其中为真命题的是______________ (填上所有正确命题的序号)19.在ABC 中，已知cosA=513，sinB=35,则cosC 的值为___________ 20.设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx 取得最大值，则cos θ=___________三、解答题(共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)21.如图，在四边形ACBD 中，cos ∠CAD=-17,∆ABC 为正三角形.(I)求cos ∠BAD 的值;(II)若,求AB 和CD 的长.23.如图，在三棱锥P-ABC 中AC=BC=2，∠ACB=90 ，AP=BP=AB ，PC ⊥AC.(I)求证:PC ⊥AB ；(I1)求二面角B-AP-C 的余弦值.23.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n ，正项等比数列{b n }滿足:b 1=a 1-1.b 4=2b 2+b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足n n n c a b =，其前n 项和为T n ，证明:32<T n <524.己知函数()sin (0)x f x x x π=<<()()(1?)g x x Inx m m R =-+∈ (I)求f(x)的单调区间；(II)求证:1是g(x)的唯一极小值点；(III)若存在a,b ∈(0,π),满足f(a)=g(b)，求m 的取值范围。

2019北京汇文中学高三上学期期中

2019北京汇文中学高三（上）期中物理一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 将地面上静止的货物竖直向上吊起，货物由地面运动至最高点的过程中，v−t图象如图所示，以下判断正确的是（）A. 在整个运动过程中，货物的位移大小是21mB. 前3s内与最后2s内货物的运动方向相反C. 前3s内货物处于超重状态D. 最后2s内货物只受重力作用2. 如图所示，壁虎沿竖直墙面斜向上匀速爬行，速度为v，壁虎所受的重力为G，与墙面之间的摩擦力为f。

关于壁虎在竖直墙面内的受力分析，下列示意图中正确的是（）3. a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星，其中a、c的轨道相交于p、b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上，某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示，下列说法中正确的是（）A. a、c存在在P点相撞危险B. b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C. a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度D. a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度4. 如图所示，质量为M的人在远离任何星体的太空中，与他旁边的飞船相对静止。

由于没有力的作用，他与飞船总保持相对静止的状态。

这个人手中拿着一个质量为m的小物体，他以相对飞船为v的速度把小物体抛出，在抛出物体后他相对飞船的速度大小为（）A. mM v B. Mmv C. M+mmv D. mM+mv5.(2019汇文高三期中) 如图甲所示为一列简谐横波在t=2s时的波形图，图乙为这列波上P点的振动图像，下列说法正确的是（）A. 该横波向右传播，波速为0.6m/sB. t=2s时,Q点的振动方向为y轴负方向C. 从t=2s到t=7s内，P质点沿x轴向右平行2.0mD. 从t=2s到t=7s内，Q质点通过的路程为25cm6. 向心力演示器如图所示，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽和短槽5随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动，小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，求对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的红白相间等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小，皮带分别套在塔轮2和3上的不通透圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，以探究物体做圆周运动的向心力大小跟那些因素有关，具体关系怎样，现将小球A和B分别放在两边的槽内，小球A和B的质量分别为m A和m B，做圆周运动的半径分别为r A和r B。

北京汇文中学数学高三上期中经典复习题(培优提高)

一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（） A ．49B ．91C ．98D ．1824．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（） A ．8B ．10C ．12D ．165．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值316．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（） A ．16B ．26C ．8D ．137．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（） A ．10B ．120C ．130D ．1408．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7109．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（） A ．2B ．92 C ．143D ．510．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．403611．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（）A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,813．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A 33B 53C 73D 8314．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（）A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-15．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1ab c<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --<D ．log log c b a a <二、填空题16．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．17．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K 棵树种植在点(),k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2K ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如()2.62T =，()0.20T =．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．18．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 19．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 20．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 21．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．22．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．23．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++等于__________．24．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．25．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．三、解答题26．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 27．在平面四边形ABCD 中，已知34ABC π∠=，AB AD ⊥，1AB =．（1）若5AC =ABC ∆的面积；（2）若25sin CAD ∠=4=AD ，求CD 的长． 28．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD 5是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝5AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若6512n n S a n >--，求n 的取值范围；（3）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 30．已知函数()[)22,1,x x af x x x++=∈+∞．（1）当12a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．D3．B4．C5．A6．D7．B8．B9．B10．D11．A12．B13．B14．C15．D二、填空题16．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取17．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题18．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换19．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(120．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是21．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以122．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际23．50【解析】由题意可得=填5024．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m的取值范围考点：线性规划25．【解析】【分析】△ACD中求出AC△ABD中求出BC△ABC中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD中∠ACD＝15°∠ADC＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC＝15三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．C解析：C 【解析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论．【详解】最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．5．A解析：A 【解析】【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭，又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+，故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.6．D解析：D 【解析】【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.7．B解析：B 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x x =.所以1n a n n =++，所以11nn n a =+-，故1121n S n n n n =+-+--++-11n =+-，由1110n S n =+-=解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.8．B解析：B 【解析】试题分析：如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==,从而可得：30BAC ∠= 由正弦定理，得：56sin 45sin 30AB =， 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===，即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．9．B解析：B 【解析】【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值．【详解】1x y +=，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=+++=++++，所以，14912x y ++，当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92，故选B ．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．10．D解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==，则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【解析】【分析】【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12ln()2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 12．B解析：B 【解析】【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围．【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ．【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 13．B 解析：B 【解析】【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）．故选B ．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．14．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.15．D解析：D 【解析】【分析】运用不等式对四个选项逐一分析【详解】对于A ，1b c >>，1b c ∴>，01a <<，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<，10a ∴-<，1b c >>，则11a a c b -->，故错误对于D ，1b c >>，c b log a log a ∴<，故正确故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题16．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析：5 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，由2z x y =+知,2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时，目标函数取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -，结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时，目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.17．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404. 【解析】【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得155k k x k T -⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=.故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.18．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换解析：92【解析】【分析】先化简11122(2)2(2)()22a b a b a b a b+=⋅+⋅=⋅+⋅+，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由题得11121222(2)2(2)()(5)222a b a b a b a b a b b a+=⋅+⋅=⋅+⋅+=++19(522≥+=. 当且仅当221223222a b a ba b ⎧+=⎪==⎨⎪=⎩即时取等. 故答案为：92【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.19．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6 【解析】【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32；当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0，解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)．因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.20．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.21．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和．【详解】解：1(1)n n a ++- 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=，故答案为：1830．【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．22．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际【解析】【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值．【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=，由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=，所以BC =,由正弦定理可得sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以cos ACB ∠=所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=．【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．23．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===，填50.24．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m 的取值范围考点：线性规划解析：(,1]-∞【解析】试题分析：由题意，由2{30y xx y =+-=，可求得交点坐标为(1,2)，要使直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,{230,,x y x y x m +-≤--≤≥，如图所示，可得1m ≤，则实数m 的取值范围(,1]-∞．考点：线性规划．25．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15 解析：805【解析】【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°， ∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin1504062sin1562AC ===-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC=30°，由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC=∠∠，所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB＝((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB =则两目标A ，B间的距离为．故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．三、解答题 26．（1）n a n =；（2）1n n T n =+ . 【解析】【分析】（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==当2n ≥时，()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合（2）()11111n b n n n n ==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.27．（1）12；（2 【解析】【分析】（1）在ΔABC 中，由余弦定理，求得BC =进而利用三角形的面积公式，即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式化和恒等变换的公式，求解sin BCA 10∠=，再在ΔABC 中，利用正弦定理和余弦定理，即可求解.【详解】（1）在ΔABC 中，222AC AB BC 2AB BC COS ABC ∠=+-⋅⋅即251BC BC =++ 2BC 40⇒+-=,解得BC =.所以ΔABC 111S AB BC sin ABC 12222∠=⋅⋅=⨯=.（2）因为0BAD 90,sin CAD ∠∠==,所以cos BAC ∠=，sin BAC 5∠=, πsin BCA sin BAC 4所以∠∠⎛⎫=- ⎪⎝⎭ )cos BAC sin BAC ∠∠=-2==⎝⎭.在ΔABC 中，AC AB sin ABC sin BCA ∠∠=, AB sin ABC AC sin BCA∠∠⋅∴==222CD AC AD 2AC AD cos CAD ∠=+-⋅⋅所以 5162413=+-=所以CD =【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 28．（1）AC =2）BD =【解析】【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinθ，根据正弦定理可求sin∠ADB 35=，进而可求cos∠ADC 的值，在△ACD 中，利用余弦定理可求AC 的值．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣可求．S ABCD ＝7152+sin （θ﹣φ），结合题意当θ﹣φ2π=时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ2π+，此时cosφ=，sinφ=，从而可求BD 的值．【详解】（1）在ABD ∆中，由2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅，得214BD θ=-，又cos 5θ=-，∴BD =∵,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴sin θ===由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sinADB =∠，解得：3sin 5ADB ∠=，∵BCD ∆是以D 为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭ 在ACD ∆中，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠(2232375⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，解得：AC =（2）由（1）得：214BD θ=-，2113sin 22ABCD ABD BCD S S S BD θ∆∆=+=⨯+⨯ 7sin 2θθ=+⨯-)()157sin 2cos 7sin22θθθφ=+-=+-，此时sin φ=cos φ=，且0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当2πθφ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθφ=+，此时sin θ=，cosθ=∴2141426BD θ⎛=-=-= ⎝，即BD =答：当cos 5θ=-时，小路AC百米；草坪ABCD 的面积最大时，小路BD【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．29．（1）61n a n =-；（2）9n ≥且*n N ∈；（3）5(65)n n T n =+．【解析】【分析】（1）首先根据题意列出方程217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解方程组再求n a 即可. （2）首先计算n S ，再解不等式6512n n S a n >--即可.（3）首先得到11166(1)65n b n n =--+，再利用裂项法即可得到前n 项和n T 的值. 【详解】（1）由题意得217111721161a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得156a d =⎧⎨=⎩ 所以61n a n =-．（2）由（1）得2(1)56322n n n S n n n -=+⨯=+，因为6512n n S a n >--，即2329180n n -+≥. 解得23n ≤或9n ≥，因为1n ≥且*n ∈N ，所以n 的取值范围为9n ≥且*n ∈N . （3）因为11111611()()6(615)566n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1111111[()()()]651111176165n T n n =-+-+⋯+--+ 1116565(5)65)(n n n -==++ 【点睛】本题第一问考查等差数列通项公式的求法，第二问考查等差数列前n 项和n S 的求法，第三问考查裂项法求和，属于中档题.30．（1）72（2）3a >- 【解析】【分析】（1）由题得()122f x x x =++，再利用对勾函数的性质得到函数()f x 的最小值；（2）等价于22y x x a =++＞0,再利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】（1）当12a =时，()122f x x x =++， ∵()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，∴由对勾函数的性质知函数()f x 在区间[)1,+∞上的最小值为()712f =. （2）在区间[)1,+∞上，()220x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立．设22y x x a =++，[)1,x ∈+∞，因为()222+a=11y x x x a =+++-在[)1,+∞上递增， ∴当1x =时，min 3y a =+，于是，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-.【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，考查不等式的恒成立问题和二次函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

北京汇文中学中学部2018-2019学年高三数学理月考试题含解析

北京汇文中学中学部2018-2019学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的10.如图。

已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0≤x≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图像大致为参考答案：B2. 的展开式中的系数是A．18 B．14C．10 D．6C3. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则= ( )A. B. C.D.参考答案：A略4. 执行下列程序框图，若输入的等于，则输出的结果是（）A．2 B． C. D．－3C5. 已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是()A．①③ B．①④ C．②③ D．②④参考答案：C略6. 设集合，集合，则M∩N=（）A．[－2,+∞)B．C．D．(1,2] 参考答案：B7. 在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= （）A．58 B．88 C．143 D．176参考答案：B8. 已知函数，则下列关于函数的零点的个数判断正确的是A．当时有3个零点，当时有2个零点。

B. 当时有4个零点，当时有1个零点。

C．无论取何值均有2个零点D. 无论取何值均有4个零点。

参考答案：B略9. 某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为，则判断框内的条件应为( )(A) (B)(C) (D)参考答案：C考点：程序框图10. 由曲线围成的封闭图形面积为（）A. B. C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：0 1 2当时，，．参考答案：由题意，因为，所以，则，又因为，所以.12. 在中，所对的边的长分别是，且，则的周长为______．参考答案：考点：正弦定理余弦定理．13. 使不等式对于一切实数恒成立的实数的取值范围为 .参考答案：14. 已知是等差数列，且，，则公差=______________。

北京汇文中学届高三上学期期中考试数学理试题

北京汇文中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试高三（理科）数学一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 复数i (3 + 4i ) 的虚部为（）（A ）3（B ） 3i （C ）4（D ） 4i2 已知命题 p : ∀x ∈ R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是（）A ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ 2B ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < 2C ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ -2D ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < -23．下列函数中，对于任意 x ∈ R ，同时满足条件 f (x ) = f (-x ) 和 f (x - π) = （）f (x ) 的函数（A ） f (x ) = sin x（C ） f (x ) = cos x（B ） f (x ) = sin x cos x（D ） f (x ) = cos 2x - sin 2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入 a = 2, b = 2，那么输出的 a 值为（）（A ） 4 （B ）16 （C ） 256（D ） log 3 165.满足 a , b ∈{-1, 0,1, 2} ,且关于 x 的方程ax 2 + 2x + b = 0 有实数解的有序数对 (a , b ) 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．102 32115俯⎨ 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A ） 2（C ） 44（B ）3（D ） 5正(主)视图侧(左)视图视图7．已知 a , b ∈ R ．下列四个条件中，使 a > b 成立的必要而不充分的条件是（）（A ） a > b -1（C ）| a | >| b |8.点 P (x , y ) 是曲线 C : y =（B ） a > b +1（D ） 2a> 2b1(x > 0) 上的一个动点，曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 xA ,B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② ∆OAB 的周长有最小值 4 + 2 ；③曲线 C 上存在两点 M , N ，使得 ∆OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）（A ）１（B ）２（C ）３（D ）０二.填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 若向量a ,b 满足 | a |=| b |=| a + b |= 1 ,则 a ⋅ b 的值为 .a = 3,b = 2, A = π10．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a , b , c .6 ，则tan B = .11.若数列{a n }的前 n 项和 S n = n -10n (n = 1，2，3， ) ，则此数列的通项公式为 .12. 已知为锐角， cos =5 ，则 tan( π+) = 5 4⎧ x ≥ 1,⎪x + y - 4 ≤ 0,⎪kx - y ≤ 0 13. 不等式组表示面积为 1 的直角三角形区域，则的值为.⎩ k14．设某商品的需求函数为 Q = 100 -EQQ '5P ，其中 Q , P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性 EQEP大于 1（其中 = - EP QP ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格 P 的取值范围是 .2 2北京汇文中学2015-2016 学年度第一学期期中考试答题纸高三（理科）数学班级姓名学号成绩一、选择题：题号１２３４５６７８选项二、填空题：9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题,共6 小题，共80 分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知∆ABC 的三个内角分别为A,B,C,且2sin2 (B + C) = （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若BC = 7, AC = 5, 求∆ABC 的面积S.sin 2 A. 316. 如图，PA ⊥ 平面ABC ，AB ⊥ BC ，AB = PA = 2BC = 2 ，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥ 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A - PC - B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥ AC ，并求PD的值．PCCBP17.设函数f (x) = (x + 1)2 - 2k ln x ．（Ⅰ）k=2 时，求函数f(x)的增区间；（Ⅱ）当k<0 时，求函数g(x)= f '(x) 在区间（0，2]上的最小值．* 18.设数列{a n}的前n 项和为S n，且2a n=S n+2n+1(n∈N).（Ⅰ）求a1 ，a2 ，a3 ；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n ⋅ a n }的前n 项和T n .19．已知函数f (x) = ln x - a，其中a ∈ R ．x（Ⅰ）当a = 2 时，求函数f (x) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x ∈ (1, +∞) ，都有f (x) > -x + 2 ，求a 的取值范围．20. 设满足以下两个条件的有穷数列a1 , a2 ,⋅⋅⋅, a n 为n（n =2, 3, 4, … ,）阶“期待数列”：① a1 + a2 + a3 + + a n = 0 ；②a1+a2+a3+ + a n= 1.（1）分别写出一个单调递增的3 阶和4 阶“期待数列”；（2）若某2015 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为S k (k = 1, 2, 3, , n) ，试证：S k≤ 1 .22题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCBCAC-1 9.2 ；10. ； 11. 2n-11；41213.114 (10, 20)15．解: （Ⅰ） 2sin 2(B + C ) =sin 2 A .∴ 2 s in 2 A = 2 sin A c os A ,……………………….2 分sin A ≠ 0,∴sin A = cos A ,∴tan A = ,……………………….4 分0 < A < ,∴ A = 60 °.…………………….6 分（Ⅱ）在 ∆ABC 中, BC 2= AB 2+ AC 2- 2 A B ⨯ AC ⨯ cos 60, BC = 7, AC = 5,∴ 49 = AB 2 + 25 - 5AB , ∴ AB 2 - 5AB - 24 = 0,∴ AB = 8 或 AB = -3 (舍),………….10 分∴ S= 1 AB ⨯ AC ⨯ sin 60 = 1 ⨯ 5 ⨯ 8 ⨯ 3= 10 . …………………….13 分∆ABC2 2 216. 解：（Ⅰ）因为 PA ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 PA ⊥ BC ．因为 BC ⊥ AB ， PA AB = A ，所以 BC ⊥ 平面 PAB ．又 AM ⊂ 平面 PAB ，所以 AM ⊥ BC ．因为 PA = AB ， M 为 PB 的中点，所以 AM ⊥ PB ．又 PB BC = B ，所以 AM ⊥ 平面 PBC ．……………………………5 分3 3 3 3 3xyz ．zCDAByMP （Ⅱ）如图，在平面 ABC 内，作 AZ ∥ BC ，则 AP , AB , AZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 A -x则 A (0, 0, 0), P (2, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 2,1) ， M (1,1, 0) ．AP = (2, 0, 0) ， AC = (0, 2,1) ， AM = (1,1, 0) ．设平面 APC 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n ⋅ AP = 0, ⎧x = 0,⎨ 即 ⎨⎪⎩n ⋅ AC = 0, ⎩2 y + z = 0.令 y = 1，则 z= -2 ．所以 n = (0,1, -2) ．由（Ⅰ）可知 AM = (1,1, 0) 为平面 BPC 的法向量，设 n , AM 的夹角为，则 c os =因为二面角 A - PC - B 为锐角，所以二面角 A - PC - B 的余弦值为10 ．1010 ．…………………………10 分10（Ⅲ）设 D (u , v , w ) 是线段 PC 上一点，且 PD = PC (0≤ ≤ 1) ．即 (u - 2, v , w ) = (-2, 2,1) ．所以 u = 2 - 2, v = 2, w = ．所以 BD = (2 - 2, 2- 2,) ．由 BD ⋅ AC = 0 ，得= 4． 5因为 4∈[0,1] ，所以在线段 PC 上存在点 D ，使得 BD ⊥ AC ．5-k -k -k -k nPD 此时，PC= =4 ． ………………………………14 分517. 解：（1）k =2， f (x ) = (x + 1)2 - 4 l n x ．则 f '(x ) = 2x + 2 - 4．x= 2(x -1)(x + 2) ＞0，（此处用“≥”同样给分） x注意到 x ＞0，故 x ＞1，于是函数的增区间为 (1, +∞) ．（写为 [1, +∞) 同样给分）6 分（2）当 k ＜0 时，g (x )= f '(x ) = 2x + 2 -2k ．g (x )= 2(x +-k) + 2 ≥ 4 + 2 9 分 xx当且仅当 x = 时，上述“≥”中取“=”．①若 ∈ (0, 2]，即当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；…②若 k ＜-4，则 g '(x ) = 2(1 +k) 在 (0, 2] 上为负恒成立，x 2故 g (x )在区间 (0, 2] 上为减函数，于是 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 g (2)=6-k ． ………………………13 分综上所述，当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；当 k ＜-4 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k ． ………………………15 分18.（Ⅲ）由(Ⅱ) 得： a n + 2 = 5⨯ 2n -1 ，即 a = 5⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N * ) . -knn -1*则 na n = 5n ⋅ 2 - 2n (n ∈ N ) .……………8 分设数列{5n ⋅ 2n -1} 的前 n 项和为 P ,12n -2n -1则 P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5⨯(n -1) ⋅ 2+ 5⨯ n ⋅ 2 ，123n -1n所以 2P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5(n -1) ⋅ 2 + 5n ⋅ 2 ，12n -1n所以 -P n = 5(1+ 2 + 2 +... + 2 ) - 5n ⋅ 2 ，即 P n = (5n - 5) ⋅ 2n + 5 (n ∈ N * ) .……………11 分nn (n +1)所以数列{n ⋅ a n }的前 n 项和 T n = (5n - 5) ⋅ 2 + 5 - 2 ⨯ ， 2n 2 *整理得， T n = (5n - 5) ⋅ 2 - n - n + 5 (n ∈ N ) .……………13 分19．（Ⅰ）解：由 f (x ) = ln x - 2 12 ，得 f '(x ) = + x x x 2，……………… 2 分所以 f '(1) = 3 ，又因为 f (1) = -2 ，所以函数 f (x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x - y - 5 = 0 .……………… 4 分（Ⅱ）解：由f (x ) > -x + 2 ，得 ln x - a > -x + 2 ， x即 a < x ln x + x 2 - 2x .……………… 6 分设函数g (x ) = x ln x + x 2 - 2x ，则 g '(x ) = ln x + 2x - 1 ， ……………… 8 分因为 x ∈ (1, +∞) ，所以 ln x > 0 ， 2x -1 > 0 ，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g '(x ) = ln x + 2x - 1 > 0 ， ……………… 10 分故函数 g (x ) 在 x ∈ (1, +∞) 上单调递增，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g (x ) > g (1) = -1.……………… 11 分因为对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有 f (x ) > -x + 2 成立，所以对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有a < g (x ) 成立.所以 a ≤-1.……………… 13 分- 1 , 0, 120. 解：（Ⅰ）数列- 3 , - 1 , 1 , 3为三阶期待数列 …………………………………………1 分22数列88 8 8为四阶期待数列, ………………………………………2 分（Ⅱ）设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d ，2013(a + a) 因为a 1 + a 2 + a 3 + + a 2013 = 0 ，∴12013= 0,2∴ a 1 + a 2013 = 0 ，即a 1007 ∴ a 1008 = d ,= 0 ， …………………………………………3 分当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾，a+ a+ + a= 1, 当 d>0 时，据期待数列的条件①②可得 1008100920132∴ 1006d + 1006 ⨯1005 d = 1 ,即d = 1,2 2 1006 ⨯1007 ∴ a n = a 1007 + (n -1007)d =n -1007. 1006 ⨯1007(n ∈ N *且n ≤ 2013) ，当 d<0 时，同理可得a n = -n +10071006 ⨯1007. (n ∈ N *且n ≤ 2013) .…………………………………8 分【注】只写一种的扣一分; n 的范围未写的扣一分S = 0 ≤ 1（Ⅲ）当 k=n 时，显然n成立； …………………………………………………………10 分2当 k<n 时，根据条件①得S k = a 1 + a 2 + + a k = -(a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ) ，即 S k = a 1 + a 2 + + a k = a k +1 + a k +2 + + a n ，∴ 2 S k = a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n ≤ a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n = 1,S ≤ 1(k = 1, 2, 3, , n).k2………………………………………………………………………14分。

北京汇文中学2018-2019学年高三数学文模拟试卷含解析

北京汇文中学2018-2019学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣1，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性求出函数f（x）的表达式，然后解不等式即可．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x﹣1，∴f（﹣x）=﹣x﹣1，∴f（x）=﹣f（x）=x+1，x＜0．图象如图所示，则不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故选A．2. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是( )A． B． C．D．参考答案：B3. 对于数列{an}，定义数列为数列an的“差数列”若a1=1，{an}的“差数列”的通项公式为3n，则数列{an}的通项公式an =A. 3n -1；B. 3n+1 +2；C.（3n -1）/2；D.（3n+1 -1）/2；；参考答案：C略4. 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）(A) (B) 4 (C)2 (D)参考答案：D5. 在复平面内，复数的值为（）A． B． C． D．参考答案：B6. 已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A．45°B．30°C．15°D．60°参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p），∵K（﹣，0），∴k KM=1，∴∠MKF=45°，故选A．7. 复数满足，则复数的共轭复数=A. B.C. D.参考答案：B8. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是() A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样参考答案：C略9. 已知，复数，则（）A．2 B．1 C．0 D．-2参考答案：A由题意得，所以，选A.10. 已知函数的取值范围为（）A． B． C．D．参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线 (为参数)被双曲线截得的弦长为 .参考答案：略12. 图1是一个质点做直线运动的图象，则质点在前内的位移为 m参考答案：9. 解1：由题图易知∴s===6+3=9.13. 过点且与直线垂直的直线方程的一般式是___________参考答案：x+2y-2=0略14. 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数，则的表达式为 .参考答案：略15. 已知，tanα=2，则=__________。

2022-2023学年北京市汇文中学高三上学期期中考试数学试卷含答案

北京汇文中学教育集团2022-2023学年度第一学期期中考试高三年级数学学科本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B = （）.A ．{}01x x ≤<B ．{}12x x -<<C ．{}12x x -<≤D ．{}02x x ≤≤2.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．在复平面内，复数i(2i)z =+对应的点的坐标为A.(1,2)B.(1,2)- C.(2,1)D.(2,1)-4．已知命题:p (0,)a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是A.(0,)a ∃∈+∞，12a a +> B.(0,)a ∃∉+∞，12a a +>C.(0,)a ∃∈+∞，12a a +≤ D.(0,)a ∃∉+∞，12a a+≤5．下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是A.sin y x= B.||y x x = C.tan y x= D.1y x x=-6．将函数sin 2y x =的图像向右平移π6个单位，得到函数()f x 的图像，则下列说法正确的是A ．π()sin(2)6f x x =- B.π3x =-是函数的()f x 图像的一条对称轴C.()f x 在ππ[,63-上是减函数 D.()f x 在π5π[,1212-上是增函数7.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是（）.A ．若a b >，则22ac bc>B ．若a bc c>，则a b >C ．若a b >且0ab <，则11a b>D ．若22a b >，则11a b<8.已知等比数列{}n a 中，11a =，且58258a a a a +=+，那么5S 的值是（）.A ．15B ．31C ．63D ．649.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则)(PC PB AP +⋅等于（）.A ．43- B.43C.49- D.4910.定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”．已知1sin 4=α，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（）.A ．15sin 4β=B ．1cos()4πβ+=C ．15tan 5β=D ．15tan 15β=11.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在地为点(2,3)B -，若将军从点(2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）.A 26B 29 C.31D 3412.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-.记12n n T a a a = (1,2,)n = ，则数列{}n T （）.A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和.若2n S n =，则2a =_________.14.已知1a >，则4+1a a -的最小值为_________.15.若直线y a =与函数3()3f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是.16.已知平面内的点()2,0A ，(),B x y ，()1,3C，若四边形OABC （O 为坐标原点）是平行四边形，则向量OB的模为.17.已知函数2ln ()x f x x x=-，给出下列四个结论：函数()f x 是奇函数；函数()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上都单调；当0x >时，函数()0f x >恒成立；当0x <时，函数()f x 有一个零点.其中所有正确结论的序号是____________.18．某生物种群数量Q 与时间t 的关系近似地符合10e ()e 9tt Q t =+.给出下列四个结论：1该生物种群的数量不会超过10；2②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；3该生物种群数量的增长速度最大的时间0(2,3)t ∈．依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（本大题共5小题，共72分）19．（本小题共14分）已知等差数列{}n a 满足142n na a n ++=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n b a -是公比为3的等比数列，且13b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（本小题共14分）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin 3cos a B b A =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第3组条件：19,5a c ==;第②组条件：1cos 423C c ==，;第③组条件：AB 边上的高3h =，3a =.21.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求二面角E PD C --的余弦值．22．（本小题共15分）设函数2()(3),f x x x x a a =-+∈R .（Ⅰ）当9a =-时，求函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,2)上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(0,2)内存在两个极值点12,x x ，且满足1212()()()()f x f x f x f x ->+，请直接写出a 的取值范围.23．（本小题15分）设正整数3n ≥，集合{}12( )1 2 n k A x x x x k n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅R ，，，，，，，，a a ，对于集合A 中的任意元素12( )n x x x =⋅⋅⋅，，，a 和12( )n y y y =⋅⋅⋅，，，b ，及实数λ，定义：当且仅当(1,2,,)i i x y i n == 时=a b ；1122( )n n x y x y x y +=++⋅⋅⋅+，，，a b ；12( )n x x x λλλλ=⋅⋅⋅，，，a ．若A的子集{}123B =，，a a a 满足：当且仅当1230λλλ===时，112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ，则称B 为A 的完美子集．（Ⅰ）当3n =时，已知集合1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B ，2={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B ，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当3n =时，已知集合{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，.若B 不是A 的完美子集，求m 的值；（Ⅲ）已知集合{}123,,B A =⊆a a a ，其中12( )(1 2 3)i i i in x x x i =⋅⋅⋅=，，，，，a ，若1232ii i i i x x x x >++对任意1 2 3i =，，都成立，判断B 是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例．答案选择题CABCB DCBDA BB填空题13．214.515.16.3217.18．①②④解答题19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为142n n a a n ++=+,所以当1n =时，216a a +=.①-------------------------------------------1分当2n =时，3210a a +=,②-------------------------------------------2分②—①得314a a -=.因为{}n a 为等差数列，设公差为d ,所以3124d a a =-=，则2d =,-----------------------------------------4分由①可得126a d +=，所以12a =，----------------------------------------6分所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==L .-----------------------------------7分经检验2n a n =符合题意，所以通项2n a n =.其它解法：因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，11n a a nd +=+，---2分所以112(21)n n a a a n d ++=+-，由已知可得12(21)42a n d n +-=+，因为122(42)a d d n --=-对于n +∀∈N 成立，-----------------------3分所以2d =，12a =，----------------------------------------6分所以1(1)2(1,2,)n a a n d n n =+-==L .-----------------------------------7分（Ⅱ）因为{}n n b a -是公比为3的等比数列，又知13b =，所以11111()3=(32)3=3n n n n n b a b a ----=-⨯-⨯，-----------------------9分所以11332n n n n b a n --=+=+，所以0121(3333)+2(123)n n S n -=++++++++L L 132(1)132n n n -+=+-------------------------------------------------13分1(31)(1)2nn n =-++.---------------------------------------------------------14分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin a bA B=及sin 3cos a B b A =得sin sin 3cos A B B A =，------------------------------------------------------2分因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠--------------------------------------------------------3分所以sin 3A A =，----------------------------------------------------------4分所以tan 3A =----------------------------------------------------------5分因为()0,πA ∈，----------------------------------------------------------6分所以π3A =.----------------------------------------------------------7分（Ⅱ）选②：---------------------------------------------------8分法一：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以22122sin 1cos 133C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.----------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C =得342sin 233sin 223c Aa C===.--------------------10分由πA B C ++=得()31122223sin sin sin cos cos sin 23236B A C A C A C +=+=+=+⨯.-12分所以1123sin 334232226ABC S ac B ∆+==⨯=分法二：因为1cos 3C =，()0,πC ∈，所以22122sin 1cos 133C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.-------------------------------------9分由正弦定理sin sin a c A C =得342sin 233sin 223c Aa C===.-------------------10分由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得2322723b b =+-，即22350b b --=，解得322b =（舍负）所以322b =.------------------------------------12分所以113sin 322232222ABC S bc A ∆==⨯⨯=分法三：所以1cos 3C =，()0,πC ∈，所以22122sin 1cos 133C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin a c A C =得342sin 233sin 223c Aa C===.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2273242b b =+-，即24250b b -+=，解得223b =由2221cos 023a b c C ab +-==>，得2225b c a >-=所以322b =.所以113sin 322232222ABC S bc A ∆==⨯⨯选③：-------------------------------------------------------------------------------------8分法一：因为π3A =，AB 边上的高3h =作CD AB ⊥，垂足为D ，则3CD Rt ∆CAD 中有sin h A b=，所以32sin 32hb A===.--------------------------------------------------------------10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2942c c =+-，即2250c c --=，解得16c =±所以16c =+------------------------------12分所以(1132163222ABC S ch ==⨯+⨯ .---------------------------------14分法二：过C 作CD 垂直直线AB 于D ，则3CD h ==，所以32sin 32CDb A===，------------------------------------------------------------10分所以1cos 212AD b A ==⨯=.因为3a =，由勾股定理得22936BD a h =-=-=---------------------12分因为a b >，所以A B >，即60B < ，所以AB AD BD =+，所以(11332163222ABC S ch ∆==⨯+⨯.----------------------------14分21.（本小题共14分）⑴略33．22．（本小题共15分）解：（Ⅰ）当9a =-时，2()(39)f x x x x =--，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-，------------------------------------------2分'(),()f x f x 的情况如下：x (,1)-∞-1-(1,3)-3(3,)+∞()f x '+0-+()f x所以，函数()f x 的增区间为(,1]-∞-和[3,)+∞﹒--------------------------------4分（Ⅱ）由2()(3)f x x x x a =-+得2()36f x x x a '=-+，因为()f x 在区间(1,2)上为减函数，所以()0f x '≤在(1,2)内恒成立，-----------------------------------------------------6分因为22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-，所以(1,2)x ∈时，'()(3,)f x a a ∈-，-----------------------------------------------8分所以(,0]a ∈-∞.---------------------------------------------------------------------------9分或者：()0f x '≤，即236,(1,2)a x x x ≤-+∈恒成立，(1,2)x ∈时，22363(1)3(0,3)x x x -+=--+∈（Ⅲ）所以a 的取值范围为9(0,4﹒----------------------------------------------------------15分23．（本小题共15分）解：（Ⅰ）1B 是完美集；-------------------------------------------1分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ，即1230λλλ===．所以1B 是完美集．------------------------------------------2分2B 不是完美集．------------------------------------------3分设112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ，即12312312324023503460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩．，，令3=1λ，则12=2=3λλ-，．所以2B 不是完美集．------------------------------------------5分（Ⅱ）因为B 不是完美集，所以存在123()(0 0 0)λλλ≠，，，，，使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ，即123123123202(1)0(1)(1)20m m m m m m m m m λλλλλλλλλ++=⎧⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩，，．------------------------------------------6分因为{}(21) ( 21) (1 2)B m m m m m m m m m =---，，，，，，，，，由集合的互异性得，0m ≠且1m ≠-．------------------------------------------8分所以12320λλλ++=，3122λλλ=--，12()(0 0)λλ≠，，．所以1212(2)(1)0(31)(1)0m m m m λλλλ-+++=⎧⎨--+--=⎩．，所以1(41)0m λ-+=．所以14m =或10λ=．检验：当14m =时，存在1235,7,3λλλ==-=-使得112233(0 0 0)λλλ++=，，a a a ．当10λ=时，因为1m ≠-，所以230,0λλ==，舍．所以14m =．------------------------------------------10分（Ⅲ）B 一定是完美集．------------------------------------------11分假设存在不全为0的实数123,,λλλ满足112233(0 0 0)λλλ++=⋅⋅⋅，，，a a a ，不妨设123λλλ≥≥，则10λ≠（否则与假设矛盾）．由1112213310x x x λλλ++=，得3211213111x x x λλλλ=--．所以32112131213111x x x x x λλλλ≤+≤+．与111121312x x x x >++，即112131x x x >+矛盾．所以假设不成立．所以10λ=．所以230λλ==．所以B 一定是完美集．------------------------------------------15分。

2022-2023学年北京市汇文中学高三上学期期中考试数学试卷(带讲解)

【详解】由全称命题的否定是特称命题知：，，
是，，
故选：C.
5.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，函数是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；
对于B，函数定义域是R，是奇函数，当时，在上单调递增，当时，在上也单调递增，
【详解】．若，当时，，所以选项不成立；
．若，当时，则，所以选项不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以选项成立；
．如果满足，但是，所以选项不成立．
故选：．
8.已知等比数列中，，且，那么的值是（）.
A.15B.31C.63D.64
【答案】B
【分析】设等比数列公比为，根据已知求出的值即得解.
【答案】
【分析】根求出和，由即可求解.
【详解】因为是数列的前项和.若，
可得，，
所以，
故答案为： .
14.已知，则的最小值是________.
【答案】5
【分析】将变形为，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是5,
A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，

2019届北京高三上学期期中数学(文)试卷含解析

2019届北京高三上学期期中数学试卷数学（文）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1.已知集合，若，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据2∈A即可得出2﹣a≤0，从而可解出a的取值范围．【详解】∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的定义，元素与集合的关系．2.下列函数中，是奇函数且在上存在最小值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与（0，+∞）的最值情况，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及最值的判断，关键是掌握常见函数的性质，属于基础题．3.函数满足，则的值是A. 0B.C.D. 1【答案】A【解析】【分析】由已知求得φ，进一步得到的值．【详解】由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．4.已知向量，，则向量，夹角的大小为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用两个向量的夹角公式，求得向量，夹角的大小．【详解】设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，所以故选：B．【点睛】本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，属于基础题．5.已知函数，，的图像都经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，可得=2，=2，解得a，b 即可得出．【详解】函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.在中，“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，成立；当时，如取时，成立，此时，所以不成立；综上知“”是“”的”的充分不必要条件，选A.7.数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．【详解】数列{a n}单调递增⇔a n+1＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜n2+n．∴a＜2．故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.已知向量满足，且，则、、中最小的值是A. B. C. D. 不能确定的【答案】A【解析】【分析】可在的两边分别乘可得出，，，再根据即可得到，，这样整理即可得出．【详解】∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．【点睛】考查数量积的定义及运算，不等式的性质．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。