1.3.2_球的表面积和体积_课件

设“小锥体”的体积为 Vi

Si
O

则球的体积为：

Vi

V  V1  V2  V3    Vn
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球的表面积

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第 二 步： 求 近 似 和

Si
hi
O O

Vi

1 Vi  S i hi 3
由第一步得： V  V1  V2  V3    Vn

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V半球  V1  V2    Vn
12  2 2    ( n  1)2  [n  ] 2 n n

R 3

R 3 1 ( n  1)  n  ( 2n  1)  [n  2  ] n n 6
1 ( n  1)( 2n  1)  R [1  2  ] n 6
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球的表面积

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球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图 求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法, 是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?

下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块, 每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似 看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近 于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为 顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大, 越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.

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球的体积
A A

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O

O

C2

B2

r1  R  R,
2

R 2 r2  R  ( ) , n
2

2R 2 r3  R  ( ) , n
2
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ri

O

R ( i  1) n

1 3  R 3

V半球  ?

V圆柱

3 3  R 3

猜测 : V半球

2 4 3  R , 从而V  R 3 . 3 3
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球的体积

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学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．

我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 R和R的矩形.

那么圆的面积就近似等 于R .
2
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球的体积

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当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和

下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
3

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球的体积
V半球 1 1 (1  )( 2  ) n n ]  R 3 [1  6
1  0. n

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当n  时,

2 V半 球  R 3 3 4 从 而V  R 3 . 3

4 3 定理：半径是 R的球的体积为： V  R 3

重点难点

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教学重点
球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用

教学难点
球的表面积公式的推导
球的体积公式的推导
分割  求近似和  化为准确和思想方法
4

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高等于底面半径的旋转体体积对比
R 

V圆锥
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S i

o

o

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第 一 步： 分 割

球面被分割成n个网格，表面积分别为：

S1，S2，S3 ,, Sn
O

则球的表面积：

S  S1  S2  S3    Sn

R

O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri  R R  [ ( i  1)]2 , i  1,2 , n. n
2

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球的体积
R ( i  1)]2 , i  1,2, , n n 3 R  R i 1 2 2 Vi  ri   [1  ( ) ], i  1,2 , n n n n ri  R2  [

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掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．

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1.3.2《球的表面积和体积》

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教学目标

重点难点

球的体积

球表面积

退出
2

例题讲解

课堂练习

课堂小结

课堂作业 封底

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教学目标
掌握球的体积、表面积公式．

hi 的值就趋向于球的半径 R
1  Vi  S i R 3 1 1 1 1 V  Si R  S2 R  S3 R    Sn R 3 3 3 3
1 1  R( S i  S 2  S 3  ...  S n )  RS 3 3

1 1 1 1 V  S1h1  S2 h2  S3 h3    Sn hn 3 3 3 3
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球的表面积

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第 三 步： 来自百度文库 为 准 确 和
O

hi

S i
Vi

如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥