1.3.2_球的表面积和体积_课件

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1.3.2 球的体积和表面积公开课一等奖课件

，设球的半径为R，
1.（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，
它的体积为（ C ）
A.72π B.48π
C.30π
D.24π
【解析】选C. 由三视图可知几何体是由一个半球和一个倒立的圆锥组成的组合体.
1 1 4 V= π × 32× 4+ × π × 33 = 30π. 3 2 3
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
4 3 π (3R) 2 S V 3 4π(3R) 表 = = 27. = = 9，所以 4 3 V S表 4πR2 πR 3
答案：9
27
4.已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB = BC = CA = 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
所以, S球 = S 圆柱侧.
4p R 2 ，
【变式练习】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( B ) A.π C. a2
11 π a2 3
7 B. π a2 3
D.5π a2
【解题提示】这是一个组合体问题，解答此题只需
画出三棱柱的直观图，弄清球心位置求出球的半径
熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 V = R 3 S = 4R 2
不能忍受批评，就无法尝试新事物。
语文
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附赠中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。

1.3.2 球(杨晖公开课课件)

O
C1 B1
略解： B1 D1 D中 : Rt ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D
A D1 A1 B1 O B
C
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
C1
探究若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝
a
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
例题讲解
例4 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
O A
O
R O O , ABC是正三角形， 2
C
B
2 3 2 3 OA AB r 3 2 3
16 64 S 4R 4 . 9 9
2
R 2 2 3 2 ( ) ( ) , 2 3
O A
O
C
B
课堂小结
1. 球的表面积公式； 2. 球的体积公式；
3. 球的表面积公式与
体积公式的应用.
例题讲解
例2 圆柱的底面直径与高都等于球
的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比；
(2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.

例题讲解
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 D A D1 A1 B C
例题讲解
例4.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．

2018年学习球的体积和表面积PPT教材课件

2 2 2 2 2 r2 ＝ R － x 且 πr ＝ π ( R － x )＝ 8π， 2 2 2 2 2 2 2 r2 ＝ R － ( x ＋ 1) 且 πr ＝ π [ R － ( x ＋ 1) ]＝ 5π， 1 1
于是 π(R2－ x2)－ π[R2－(x＋ 1)2]＝ 8π－ 5π，即 R2－ x2－ R2＋ x2＋ 2x＋ 1＝ 3，∴ 2x＝ 2，即 x＝ 1. 又∵ π(R2－ x2)＝ 8π，∴ R2－ 1＝ 8， R2＝ 9，∴ R＝3. 球的表面积为 S＝ 4πR2＝ 4π× 32＝ 36π(平方单位 )．
2 2
2 3 2 6 3 6 3 从而 V 半球＝ πR ＝ π( a) ＝ πa ， V 正方体＝a3. 3 3 2 2 6 3 因此 V 半球∶ V 正方体＝ πa ∶ a3＝ 6π∶ 2. 2
• 【规律方法】解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面来分析．例如，底面半径为r，高为h的圆锥内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切．过球心O 作球的截面，如图所示，则球心是等腰 △ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心．
【解】解法一：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为 R，正方体的棱长为 a，那么 CC′ 2a ＝a，OC＝ . 2
在 Rt△C′CO 中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2 ＝OC′2， 2a 2 6 2 即 a ＋( ) ＝R ，所以 R＝ a. 2 2
2
2 3 2 6 3 6 3 从而 V 半球＝ πR ＝ π( a) ＝ πa ，V 正方体＝a3. 3 3 2 2 6 3 因此 V 半球∶V 正方体＝ πa ∶a3＝ 6π∶2. 2
• 用同样的方法可得以下结论： • ①长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的 12 条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．

《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)

(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )

球的体积和表面积课件

截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截
面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)．设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25(cm)．
∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)． ∴球的表面积为2500π cm2.
(2)当截面在球心的两侧时，如图乙所示为球的轴截面，
由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1、O2分别为两截面圆
的圆心，则OO1⊥O1A，OO2⊥O2B. 设球的半径为R.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)． ∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)．设O1O＝x cm，则OO2＝(9－x)cm.
在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400. 在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49. ∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15(cm)，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2500π cm2.
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：由4πR2－4πr2＝48π，2πR＋2πr＝12π，得R－r ＝2.
答案：C
1．球的体积比等于半径的立方比，表面积之比等于半径的平方比．
2．球体与多面体的组合体的解决关键是作出以球的轴截面为主的球及多面体的轴截面图，实现空间几何向平面几何的转化.
练习2.一个球的半径是2，它的表面积是__1_6_π____．
练习3.一个球的表面积变为原来的一半，半径是原来的 __2_2_____倍．

人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)

3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.

课件4：1.3.2 球的体积和表面积

名师指导
1．在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等． 2．几个常用结论 (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；
名师指导 (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径； (3)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； (4)球与棱锥相切，则可利用 V 棱锥＝31S 底 h＝13S 表 R，求球的半径 R.
()
A. 92π＋12
B. 92π＋18
C．9π＋42
D．36π＋18
题型探究【解析】由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球，下面一个底面为正方形且边长为 3，高为 2 的长方体所构成的几何体，则其体积为： V＝V1＋V2＝43×π×323＋3×3×2＝92π＋18. 【答案】 B
【答案】 D
课堂检测
2．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
B．6πa2
C．12πa2
D．24πa2
课堂检测
【解析】设该球的半径为R， ∴(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2. ∴球的表面积为S＝4πR2＝6πa2. 【答案】 B
跟踪训练
1．球的体积是332π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
跟踪训练
【解析】设球的半径为 R，则由已知得 V＝34πR3＝323π，R＝2. ∴球的表面积 S＝4πR2＝16π. 【答案】 B

高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件

函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202，在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知，球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛，特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可先设出圆锥的高，再求其侧面积．

课件6：§1.3 第2课时球的体积和表面积

[归纳总结] 对球的表面积与体积公式的几点认识：
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有惟一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．
(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．
(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．
[答案] C
4．已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 AB＝ 18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积.
解 ∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5 ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°. 又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心也即是Rt△ABC的外接圆的圆心 ∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)．设O′C＝r，OC＝R，则球半径R，截面圆半径r
§1.3 第2课时球的体积和表面积
【自主预习学案】
[情景引入]
观察下面的几何体，你能求出它们的体积和表面积吗？
[新知导学]
1．球的体积球的半径为R，那么它的体积V＝____43_π_R_3___． 2．球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S＝____4_π_R_2____． 3．与球有关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为 R 的球，则 2R＝ a2＋b2＋c2(a、b、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则 2R＝ 3a(a 为正方体的棱长)； (2)半径为 R 的球内切于棱长为 a 的正方体的每个面，则 2R＝a．
3．若一个球的体积扩大到原来的 27 倍，则它的表面积扩大到原来的( )
A．3 倍
B．3 3倍

高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件

D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（）（ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示，设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心，正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表面积展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )

人教版必修二：1.3.2球体的体积和表面积课件

(
R
2
)
n
r3
R2

(
2R
2
)
n
1.分割
A
ri
O
h R (i 1)
n
R
O
第i层的“小圆片”的半径ri:
ri
R2
[
R
(i
2
1)] i

1.2.3....n
n
2.近似求和
ri
R2
[
R
2
(i1)] i
1.2.3....n
n
V
i

ri2 •
R n

R3 [1
n
(
i1)2]i n
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥
hi的值就趋近于半径R的值
化为准确和O
V
i

1 3

Si
R
Si
R
即V

1 3
( S1

S
2

S3 ....... S n)
•
R
Vi
而球的表面积S S1 S 2 S3 ....... S n
学科延伸：排液法测小球的体积
放入小球前
h
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:_3__4.
3
R3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3

高中数学：.2《球的表面积和体积》【新人教A版必修2】PPT完美课件

回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式．
高中数学：.2《球的表面积和体积》【新人教A版必修2】P PT完美课件
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球的表面积
第一步：分割
高中数学：.2《球的表面积和体积》【新人教A版必修2】P PT完美课件
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•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要组成部分，一个孩子如果在十多年的教育历程中没有养成阅读的习惯、兴趣和能力，一旦离开校园，很可能把书永远丢弃在一边，这样的结果一定是我们所有的教育工作者不想看到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神操守：自我献身的精神、坚定不移的信念、顽强坚韧的意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地融合为一体，充满诗情画意。如描写百草园的景致，绘声绘色，令人神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富有激情、幻想、反抗和坚持不懈的精神；对人间自由幸福的渴望和对更高精神境界的追求。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多边 C 圆形
p A3 A1 A2

课件8：§1.3 第2课时球的体积和表面积

球面上的动点．若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O
的表面积为( )
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
【解析】如图，设球的半径为 R，因为∠AOB＝90°，所以 S△AOB＝12R2. 因为 VO－ABC＝VC－AOB，而△AOB 面积为定值，所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VO－ABC 最大，所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体积 VO－ABC 最大为13×12R2×R＝36，所以 R＝6. 所以球 O 的表面积 S＝4πR2＝4π×62＝144π.故选 C. 【答案】 C
2．已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体
的所有顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
49
7
A. 9 π
B.3π
28
28
C. 3 π D. 9 π
解析：由三视图，知该几何体是一个正三棱柱，其底面是边长为 2
的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面中心连线的中点与三
棱柱的顶点的连线就是其外接球的半径，设其外接球的半径为 r，则
【题型探究】
类型一球的体积与表面积 [例 1] 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
解设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，球的半径为 R，
则由题意得 13πr2·h＝43πR3 r＝2R
，∴13π(2R)2·h＝43πR3，
∴R＝h，r＝2h，∴l＝ r2＋h2＝ 5h，
跟踪训练 2 某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π

课件9：§1.3 第2课时球的体积和表面积

[规律方法] 1．画出截面图是解答本题的关键． 2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．
[跟踪训练] 2．圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？ [解] 设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为 V 球＝ 2×43π×523＝1235π，此体积即等于它们在容器中排出水的体积 V＝π×52×h，所以1235π＝π×52×h，所以 h＝53(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53 cm.
[基础自测] 1．思考辨析 (1)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (2)长方体既有外接球又有内切球．( ) (3)球面展开一定是平面的圆面．( ) (4)球的三视图都是圆．( )
[提示] (1)× 体积比应为半径比的立方． (2)× 长方体不一定有内切球． (3)× 球面展不成平面． (4)√
[提示]
R＝
2 2 a.
例 2 (1)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为
2，则此球的体积为( )
A． 6π
B．4 3π
C．4 6π
D．6 3π
(2)长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的
表面积为________．
思路探究：(1)作出截面图，由图易求出半径 R，进而求出其体积．
§1.3 第2课时球的体积和表面积
学习目标： 1.了解并掌握球的体积和表面积公式. 2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点) 3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点)

课件7：§1.3 第2课时球的体积和表面积

面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器厚度，则
球的体积为( )
A．5030π cm3
B．8636π cm3
C．1
372π 3
cm3
D．2
048π 3
cm3
【解析】如图，作出球的一个截面，
则 MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，所以 R＝5，所以 V 球＝43π×53＝5030π (cm3)．【答案】 A
B．18π D．28π
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝332π，解得 R＝2．所以球的表面积 S＝4πR2＝16π． (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为 r，故78×43πr3＝238π，所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A．【答案】 (1)B (2)A
设球半径为 R，在 Rt△AEO 中， AE2＋OE2＝AO2，即(2 2)2＋(6－R)2＝R2，解得 R＝131，
则 S＝4πR2＝4π1312＝4894π．
答案：4894π
本课结束
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【互动探究】若将本例(2)中的三视图换为如图所示的图形，且圆的半径为 1，则如何求解？
解：由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为 R＝1，所以 S＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π．
【反思提升】球的体积与表面积的求法及注意事项 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． (3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．

课件3：1.3.2 球的体积和表面积

4π5hπ2h2＝
25．
跟踪训练4 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，求两球的体积之差．
解设两个球的半径分别为 R，r(R>r)，
则由题意得 4πR2－4πr2＝48π， R＋r＝6，
∴(R＋r)·(R－r)＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋r＝6，
R＋r＝6， r＝2.
两球的体积之差43π×43－43π×23＝43π(43－23)＝2234π.
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为4338ππrr33＝392.
答案：
9 32
跟踪训练2 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体．又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5， ∴S 球＝4πR2＝100π.
跟踪训练 1 如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为________．解析根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方． ∵两个球的体积之比为8∶27，∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
谢谢！
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h，水的体积恒定，则容器内水的体积是 V′＝13π·( 33h)2·h＝19πh3. 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即这时容器中水的深度为3 15r.
跟踪训练 3 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，