一类不确定非线性离散时滞2D系统的保性能控制_李艳辉

第 10 卷 第 12 期 2010 年 4月 1671- 1815( 2010) 12 - 2929- 04
科
学
技
术 与
工
程
Vol 1 10 N o 1 12 A pr 1 2010 2010 Sci 1 T ech1 Engng 1
Sc ience T echno logy and Eng inee ring
H ) Svx ( i , j - H)
v
= ( A + BK )
h
x ( i, j) x (i , j)
v v
h
+
沿着式 ( 8 ) 对 V ( x ( i, j) ) 做前向差分得 $V = V ( x c( i, j) ) - V ( x ( i, j) ) = 0 - S - K RK
T
Ad 1 x ( i - d 1, j ) + Ad2 x ( i, j - d 2 ) + f ( 8) 本文目的是针对系统式 ( 1 )和成本函数式 ( 6 ), 设计无记忆状态反馈保性能控制律, 使闭环系统式 ( 8 ) 渐近稳定 , 并且相应的闭环成本函数式 ( 6 ) 满足 J [ J , 其中 J 为某个确定的常数。
0 . 4] , S = R = U = I , H 1 = 0 . 01I 0 . 145 3 0 0 . 082 4 0 0 . 325 6 - 0g { - N I, - R , - S , -Q , - N I} 。 式 ( 9) 等价如不等式 ( 15)。
12 期
李艳辉 , 等 : 一类不确定非线性离散时滞 2D 系统的保性能控制
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A 0X + B Y A d10M h M 21 = H 1X 0 0 E 1X Y M 31 = X X 0 证明 Ed1M h 0 0 0 0 0 H h2M h 0 Ed2M v 0 0 0 0
Ad 20M v 0 0 H v 2M v 0 0 0 0 0 0 0 0
-1 T
求解相关的优化问题得次优解如下 : ( 15 ) Xc = Yc = - 0 . 104 7 0 . 201 3 , U= 3 . 702 3 ,
diag { K, Q, N I } + A P A < 0 A 式 ( 15 )中 : A = H1 0 0
-1
A d1 0 Hh 0
-1 T
[ 4]
1 问题描述
考虑如下 Roesser 状态空间模型 x (i+ 1 , j) x (i , j + 1)
v h h v
, 随后, Guan 等
[ 1]
首先将保性能控制方法
[ 2]
= A
x ( i, j) x ( i, j)
v
+ Ad1 x ( i - d 1, j ) +
h
引入到离散 2D 系统 , Dhaw an 和 K ar把确定系统的 保性能控制 的方法延伸到 时滞不确定 系统 和非线性时滞系统的保性能问题
*
P = d iag { P, N I, N I, N I } ; K = Q - P + S + K RK 。式 ( 15 )等价变换为 d iag { K, Q, N I } A
-1 -1 -1 -1
x ( i, j) x ( i, j)
T
N 0 0 0 ;
有解 , 则式 ( 7 )是系统式 ( 1) 的保性能控制器。
3 数值仿真
考虑系统式 ( 1 ), 系统参数如下: A = A d2 = 0 . 041 0 0 . 088 0 0 . 186 7 0 0 0 . 210 7 - 0 . 287 9 - 0 . 459 3 , D = , E d1 = E d 2 = 0 , 0 . 2 0 . 2
T - 1 h T
0 3 = P - N I ; x0 = [ x ( 0 , 0)
-1
x (0 , 0 ) ] )。
v
v
T
式 ( 4 )中 X 1 = [ x
h
x
v
xd1
h
xd2 ] ,
v
证明 式 ( 11) 中
选取如下 L yapunov 函数如下
h
H = d iag {H h1, H v 1, H h2, H v2 } 对系统式 ( 1 ) 选取成本函数为 J = 反馈控制律 u ( i, j) = Kx ( i, j) 得到如下的闭环系统 x ( i + 1, j) x ( i, j + 1)
] d
m
E Ex
j = 1 i= 1
]
d1
lT
Ml x = J
-1
l
*
( 14)
EEx
j = 1 i= 1
lT
Ql x = J
l
*
式 ( 14) 中 l = h, v ; m = 1 , 2; ( 10) M 11 = d iag { - X, - M h, - M v } ;
式 ( 10)中 m = 1 , 2; l = h, v ; A = A0 + BK + DF ( i, j) E 1 ;
2 主要结果
这部分, 针对给定的不确定非线性离散时滞系统 式 ( 1)和性能指标式 ( 6), 设计无记忆状态反馈保性能 控制器, 利用 LM I技术得到控制器存在的充分条件。 定理 1 考虑系统式 ( 1) 和性能指标式 ( 6) , 如 果存在常数 N > 0 和矩阵 P = diag { Ph, Pv } > 0, Q = d iag { Q h, Q v } > 0, S > 0, 使 0 A d1 PA A PA PA 束。成本函数满足 J [ x Px0 +
T
M 22 = diag { - X. , - N I, - N I, - N I } ; M 32 = 0;
, A = 1,
;
Q = d iag { 1 . 5 E1 = [ 0 . 2 Ad 1 =
1 . 5} , Hv2 = Hh 2 = 0 . 1, 0 . 309 2 0 . 228 8 0 0
通信作者简介 : 周腊梅 ( 1983) ) , 黑龙江 省伊春人 , 硕士研究 生 ,
研究方向 : 鲁棒控制。
式 ( 2 ) 中 D , E 1, E d1, E d2 为适当维数的已知常量 矩
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阵, F ( i , j )是一个未知矩阵 , 满足 F (i , j) F ( i, j) [ I
。
2D 系统是指动态过程依赖于水平状态和垂直状态 进行变化的系统。 20 世纪 70 年代初 , Roesser 提出 了著名的离散 2D 系统状态空间模型, 即 Roesser模 型。文献 [ 3] 给出了基于 Roesser 模型的离散时滞 2D 系统的稳定性条件和 H ] 控制方法。 在许多实际物理系统中 , 人们希望建立的系统 在保证闭环系统鲁棒稳定的同时, 又使得由于系统 不确定性 而恶 化的性 能指标 小于 某个 确定 上界。 Chang 和 Peng 最早提出了不确定系统的保性能控 制问题
m @n
和 N > 0使 ( 13)
, 01 A PAd 1 PAd 1
, , 02 PA d2
, , , 0
3
M 11 < 0 ( 9)
,
, , < 0
M 21 M 22
M 31 M 32 M 33 则式 ( 7)是系统式 ( 1) 的一个保成本控制器, 且 J [ X0X X 0 +
T -1
成立, 则闭环系统式 ( 8) 渐近稳定且满足保性能约
A d2 0 0 H v2
-1
I 0 0 0 ;
0 . 120 6
0 . 090 3
0 . 090 3 - 0 . 034 4 保成本控制器为: u ( i, j) = 0 . 445 0
, N = 11 . 934 6 ,
J= 0 . 460 2, C = 0 . 191 7 。 0 . 173 3
近十几年来, 由于 2D 系统具有广泛的工业背 景 , 而逐渐成 为国内 外学 者研 究的 热点问 题
[ 1, 2]
究相关文献很少。 本文研究不确定非线性离散时滞 2D 系统的保 性能控制问题, 利用 LM I 技术设计基于 Roesser 模 型的状态反馈保性 能控制器。使带有非线性项 的 离散时滞 2D 系统渐近稳定, 且同时使性能 指标小 于一个确定的上界。数值仿真 验证了所提方法 的 有性。
T 0 T d2 T T d2
$V ( i, j) < - x ( S + K RK ) x < 0
由 L yapunov 稳定理论可知闭环系统式 ( 8) 渐近 稳定。对式 ( 12) 两侧求和可得式 ( 10), 则式 ( 7) 为 系统式 ( 1) 的保性能控制器。定理 1 得证。 以下定理将 给出一种选择 保成本控制器最 小 上界的设计方法。 定理 2 针对系统式 ( 1) 和性能指标式 ( 6) , 若 存在矩阵 R > 0, X > 0, Y I R
式 ( 6 )中 Q, R 是正定加权矩 阵。选取无记忆状态 ( 7)
Ex
H = 1 v d
2
d1
hT
( i- H , j )S h x ( i - H , j)
h vT v
Vv ( x ( i, j) ) = x ( i, j)P v x ( i , j) +
E x T ( i, j v H = 1
T
Ad i = Ad i0 + DF ( i , j ) Ed i, i = 1 , 2; ( 3) ( 4) ( 5) 0 = Q + K RK + S + A PA - P + N H 1H