专题探究课六高考中概率与统计问题的热点题型

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。

对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。

下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。

一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。

它的特点是试验结果有限且等可能。

例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。

答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。

然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。

2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。

常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。

比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。

答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。

例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。

然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。

3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。

答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。

4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。

二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。

专题探究课六高考中概率与统计问题的热点题型

专题探究课六高考中概率与统计问题的热点题型1.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为E(X)＝0.85a＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.2.(2016·贵州模拟)为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：(1)试判断能否有90%附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）(2)随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X的分布列和数学期望.解(1)因为K2＝120×（15×40－35×30）250×70×45×75≈2.057，且2.057<2.706.所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关.(2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是645＝215，则抽取女生30×215＝4人，抽取男生15×215＝2人.依题意，X可能的取值为0，1，2.P(X＝0)＝C24C26＝615＝25；P(X＝1)＝C14C12C26＝815；P(X＝2)＝C22C26＝115.X的分布列为：X的数学期望E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝23.3.(2017·武汉调研)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择.若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E (ξ1)＝120ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0<p <1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2的关系如下表所示：(1)求m ，n 的值； (2)求ξ2的分布列；(3)若E (ξ1)<E (ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围. 解 (1)由题意得⎩⎨⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204， P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (ξ2＝204)＝p (1－p )，所以ξ2的分布列为(3)由(2)可得E (ξ2)＝41.2p (1－p )＋117.6[p 2＋(1－p )2]＋204p (1－p )＝－10p 2＋10p ＋117.6，由E (ξ1)<E (ξ2)，得120<－10p 2＋10p ＋117.6，解得0.4<p <0.6，即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6).4.(2017·长沙测试)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分.规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立. (1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列和数学期望；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.解 (1)根据题意知X 的可能取值为0，2，3，4，5，7， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝16，P (X ＝2)＝C 12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝13，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝112，P (X ＝4)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝16，P (X ＝5)＝C 12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13＝16，P (X ＝7)＝12×13×12＝112， ∴教师甲投篮得分X 的分布列为E (X )＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×112＝3.(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形.这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝1948.5.(2017·广州调研)如图，李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.解 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况，所以P (A )＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，X 的可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920. 所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，则随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (Y )＝3×12＝32，所以E(X)<E(Y)，所以应选择L2路线上班.6.(2017·成都诊断)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.解设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)·P(Y＝1)＋P(Y＝2)·P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2法二X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2。

高考数学总复习专题六概率与统计理

【互动探究】
2．(2014 年广东珠海二模)A，B 两个投资项目的利润率分
别为随机变量x1和x2.根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：
x1
5%
10%
P
0.8
0.2
x2
2%
8% 12%
P 0.2 0.5 0.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目A和B所获得的利润(单位：万元)，求方差D(y1)，D(y2)；
例2：(2014年山东)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部
分，如图6-3，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两
个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来
球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记
1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的
落点在C上的概率为
＝10402[x2＋3(100－x)2] ＝10402(4x2－600x＋3×1002)．当x＝26×004＝75时，f(x)＝3为最小值．
题型 3 线性回归分析
例 3：(2012 届广东珠海摸底)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
人数xi 10 15 20
件数yi
4
7 12
其中 i＝1,2,3,4,5,6,7.
25 30 35 40 15 20 23 27
(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，在
图 6-4 中画出其散点图；
(2)求回归直线方程(结果保留到小数点后两位)；
7
7
(参考数据： xi yi ＝3245， x ＝25， y ＝15.43， xi2 ＝
P(X＝3)＝CC313220＝5117. 故X的分布列为

2020版高考大题增分课6概率与统计中的高考热点问题

【例 1】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去
50 周的资料显示，该基地周光照量 X (单位：小时 )都
在 30 小时以上，其中不足 50 小时的有 5 周，不低于 50 小时且不超过 70 小时的有 35 周，超过 70 小时的有 10 周．根据统计，
该基地的西红柿增加量 y(单位：千克 )与使用某种液体肥料的质量 x(单位：千克 )之间的对应数据如图所示．
＝－ 1 2＋02＋ 02＋ 02＋ 12 ＝ 2 5× 2＝ 0.9≈0.95.
因为 |r |＞0.75，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
(2)由条件可得在过去 50 周里，当 X＞70 时，共有 10 周，此时只有 1 台光照控制仪运行，每周的周总利润为 1×3 000－2×1 000＝1 000(元 )．当 50≤ X≤70 时，共有 35 周，此时有 2 台光照控制仪运行，每周的周总利润为 2×3 000－1×1 000＝5 000(元 )．当 30＜ X＜50 时，共有 5 周，此时 3 台光照控制仪都运行，每周的周总利润为 3×3 000＝9 000(元 )．所以过去 50 周的周总利润的平均值为 1 000×10 ＋5 000 ×35＋9 000×5＝ 4 600(元 )，
3．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
统计与统计案例
以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率
分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．
2
(2)完成 2×2 列联表如下表所示：

高考解答题专项六概率与统计

高考解答
题专项六
概率与统计
考情分析
从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计
与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数
字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分
布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方
法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列
∑
i=1
2
2 -
,a=-b.

②线性相关系数 r=
∑ -
=1

.一般地,相关系数 r 的绝对值在 0.95
2 2
2
2
( ∑ - )( ∑ - )
=1
=1
以上(含 0.95)认为线性相关性较强;否则,线性相关性较弱.
5
5
=1
=1
2
=1
=
800
80×9 000
=
2 2
3
≈0.94.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分
层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正
相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数
量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的
=
1
10
×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3,
12
=
1
10
×[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10.0-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+

2024高考数学概率与统计历年题目大盘点

2024高考数学概率与统计历年题目大盘点概率与统计作为高中数学的重要内容之一，一直以来都是高考中的必考内容。

掌握好概率与统计的理论知识，并通过做题来加深对知识点的理解和应用能力的培养，对于顺利应对高考数学考试至关重要。

本文将通过对2024年高考数学概率与统计部分的历年题目进行大盘点，帮助同学们更好地掌握和复习这一知识点。

一、选择题1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = kx^2，其中0<x<1，求k的值。

2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) = cx(1-x)，其中0<x<1，求c的值。

3. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.4，事件B发生的概率为P(B) = 0.5，事件A与事件B独立，求事件A与事件B同时发生的概率P(A∩B)。

4. 写出使得事件A、B、C相互独立的随机试验的条件。

5. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.3，事件B发生的概率为P(B) = 0.4，事件A与事件B互斥，求事件"A或B发生"的概率P(A∪B)。

6. 已知事件A发生的概率为P(A) = 0.3，事件B发生的概率为P(B) = 0.4，且P(A∪B) = 0.6，求事件"A与B互斥"的概率P(A∩B)。

7. 一批产品共100个，其中有4个次品。

从中任意取出5个，求取出的样本中有2个次品的概率。

8. 已知事件A、B独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A∪B)与P(A∩B)。

二、计算题1. 某汽车4个月出事故的概率为0.01，问8个月中出事故至少2次的概率是多少？2. 某商品的销售量服从正态分布N(400,100)，求销售量大于380的概率。

3. 某座城市的某个月的降水量服从正态分布N(150,25)，求该月降水量大于200的概率。

4. 某厂生产的电视机寿命服从正态分布N(1000,100^2)，求电视机寿命小于900的概率。

高考大题专项六高考中的概率、统计与统计案例

高考大题专项六高考中的概率、统计与统计案例从近五年的高考试题来看,在高考的解答题中,对概率、统计与统计案例的考查主要有三个方面:一是统计与统计案例,以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计、判断,其中回归分析、独立性检验、用样本的数据特征估计总体的数据特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查,考查学生的数据处理能力;二是统计与概率综合,以现实生活为背景,利用频率估计概率,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;三是古典概型的综合应用,以现实生活为背景,求某些事件发生的概率,常与抽样方法、茎叶图等统计知识交汇考查.1.统计图表(1)在频率分布直方图中:①各小矩形的面积表示相应各组的频率,各小矩形的高=频率组距;②各小矩形面积之和等于1.(2)茎叶图:当数据是两位数时,用中间的数字表示十位数,两边的数字表示个位数;当数据是三位数,前两位相对比较集中时,常以前两位为茎,第三位(个位)为叶(其余类推).2.样本的数字特征(1)众数:是指出现次数最多的数,体现在频率分布直方图中,是指高度最高的小矩形的宽的中点的横坐标;(2)中位数是指从左往右小矩形的面积之和为0.5处的横坐标;(3)平均数x=1n (x1+x2+…+x n),体现在频率分布直方图中是由各小矩形的宽的中点的横坐标乘相应小矩形的面积,然后求和得到;(4)方差s2=1n [(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2]=1n∑i=1nx i2-nx2.4.独立性检验:对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X 和Y,其样本频数列联表是:5.概率的基本性质(1)随机事件的概率:0≤P(A)≤1;必然事件的概率是1;不可能事件的概率是0.(2)若事件A,B 互斥,则P(A ∪B)=P(A)+P(B). (3)若事件A,B 对立,则P(A ∪B)=P(A)+P(B)=1. 6.两种常见的概率模型 (1)古典概型;(2)几何概型.3.变量间的相关关系(1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那么我们说变量x 和y 具有线性相关关系.(2)线性回归方程:若变量x 与y 具有线性相关关系,有n 个样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),则回归方程为y ^=b ^x+a ^,其中b ^=∑i =1nx i y i -nx y ∑i =1nx i 2-nx2,a ^=y −b ^x .(3)相关系数:r=∑i =1n(x i -x )(y i -y )∑i =1(x i -x )2∑i =1(y i -y )2,当r>0时,表示两个变量正相关;当r<0时,表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量相关性越强;当|r|接近0时,表明两个变量几乎不存在相关性.y 1 y 2 总计 x 1 a b a+b x 2 c d c+d 总计a+cb+dn随机变量K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ),其中n=a+b+c+d.1.(2019届河北唐山摸底考试,18)某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件,尺寸在[223,228]内(单位:mm)的零件为一等品,其余为二等品.在两种工艺生产的零件中,各随机抽取10个,其尺寸的茎叶图如图所示:(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数;(2)已知甲工艺每天可生产300个零件,乙工艺每天可生产280个零件,一等品利润为30元/个,二等品利润为20元/个.视频率为概率,试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高?2.我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(单位:吨),用水量不超过x 的部分按平价收费,超过x 的部分按议价收费,为了了解全市市民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值;(2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(单位:吨),估计x 的值,并说明理由.3.(2019:(1)根据表中数据,建立y 关于t 的线性回归方程y ^=b ^t+a ^; (2)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.附:对于一组数据(t 1,y 1),(t 2,y 2),…,(t n ,y n ),其回归直线y=bt+a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(t i -t )(y i -y )∑i=1n(t i-t )2,a ^=y −b ^t .(参考数据:∑i=16(t i -t )(y i -y )=2.8,计算结果保留小数点后两位)4.为响应阳光体育运动的号召,某县中学生足球活动正如火如荼地开展,该县为了解本县中学生的足球运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全县24 000名中学生(其中男生14 000人,女生10 000人)中抽取120名,统计他们平均每天足球运动的时间,如下表:(平均每天足球运动的时间单位为小时,该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0,3])(1)请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间(结果精确到0.1);(2)若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”.低于2小时的学生为“非足球健将”.①请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表,并通过计算判断,能否在犯错误的概率不超过0.01②若在足球活动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况,求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率. 参考公式:K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d.5.(2019届湖南长沙雅礼中学一模,19)某校决定为本校上学所需时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务.为了解学生上学所需时间,从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位:分钟),将600人随机编号为001,002,…,600,抽取的50名学生上学所需时间均不超过60分钟,将上学所需时间按如下方式分成六组,第一组上学所需时间在[0,10),第二组上学所需时间在[10,20),…,第六组上学所需时间在[50,60],得到各组人数的频率分布直方图,如下图:(1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到,且第一个抽取的号码为006,则第五个抽取的号码是多少?(2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人,设他们上学所需时间分别为a 、b,求满足|a-b|>10的事件的概率;(3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生,请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车?6.在国际风帆比赛中,成绩以低分为优胜,比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.在一次(1)根据表中的比赛数据,比较A与B的成绩及稳定情况;(2)从前7场平均分低于6.5的运动员中,随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查,求至少1个运动员平均分不低于5分的概率;(3)请依据前7场比赛的数据,预测冠亚军选手,并说明理由.7.(2019届四川成都石室中学入学考试,19)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计,制成频率分布直方图如下:(1)若将上述频率视为概率,已知该服装店过去100天的销售中,实体店和网店销售量都不低于50件的概率为0.24,求过去100天的销售中,实体店和网店至少有一边销售量不低于50件的天数;(2)若将上述频率视为概率,已知该服装店实体店每天的人工成本为500元,门市成本为1 200元,每售出一件利润为50元,求该门市一天获利不低于800元的概率;(3)根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量中位数的估计值(精确到0.01).8.(2019届贵州铜仁一中一联,19)贵州省铜仁第一中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动.现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者中选拔出节目主持人,现按身高分组,得到的频率分布表如图所示.(1)请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;(2)为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?(3)在(2)的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率.9.(2018宁夏银川一中二模,19)某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每千克20元,成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每千克损失3元.根据以往的销售情况,按[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500]进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数x(同一组中的数据用该组区间中点值代表);(2)该经销商某天购进了300千克这种鲜鱼,假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500),利润为Y元.求Y 关于x的函数关系式,并结合频率分布直方图估计利润Y不小于700元的概率.高考大题专项六高考中的概率、统计与统计案例1.解 (1)x 甲=110(217+218+222+225+226+227+228+231+233+234)=226.1;x 乙=110(218+219+221+224+224+225+226+228+230+232)=224.7. (2)由抽取的样本可知,应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25,二等品的概率为35,故采用甲工艺生产该零件每天获得的利润:w 甲=300×25×30+300×35×20=7 200元;应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12,故采用乙工艺生产该零件每天获得的利润:w 乙=280×12×30+280×12×20=7 000元. 因为w 甲>w 乙,所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高.2.解 (1)由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30.(2)由频率分布直方图可知,100位居民每人月用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,由以上样本频率分布,可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 000×0.12=96 000.(3)∵前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85, 而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,∴2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9,因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准. 3.解 (1)由题意可知:t =1+2+3+4+5+66=3.5, y =6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.46=7,∑i=16(t i -t )2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.5,∴b ^=∑i=16(t i -t )(y i -y )∑i=16(t i -t )2=2.817.5=0.16. 又a ^=y −b ^t =7-0.16×3.5=6.44,∴y 关于t 的线性回归方程为y ^=0.16t+6.44.(2)由(1)可得,当年份为2019年时,年份代码t=8,此时y ^=0.16×8+6.44=7.72,所以可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨.4.解 (1)∵男生抽取的人数为120×14 00014 000+10 000=70,女生抽取人数为120-70=50, ∴x=5,y=2,∴该校男生平均每天足球运动的时间约为0.25×2+0.75×3+1.25×28+1.75×22+2.25×10+2.75×570≈1.6(小时).(2)①由表格可知∴K 2的观测值k=120×(15×45-5×55)220×100×50×70≈2.743>2.706,∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否为“足球健将”与性别有关;②记不足半小时的两人为a,b,足球运动时间在[0.5,1)内的3人为1,2,3,则总的基本事件有10个,取2名代表都是足球运动时间不足半小时的是(ab),故所求概率为110.5.解 (1)600÷50=12,第一段的号码为006,第五段抽取的数是6+(5-1)×12=54,即第五段抽取的号码是054. (2)第四组人数=0.008×10×50=4,设这4人分别为A 、B 、C 、D, 第六组人数=0.004×10×50=2,设这2人分别为x,y, 随机抽取2人的可能情况是:AB AC AD BC BD CD xy Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy, 一共有15种情况,其中他们上学所需时间满足|a-b|>10的情况有8种,所以满足|a-b|>10的事件的概率为815.(3)全校上学所需时间不少于30分钟的学生约有: 600×(0.008+0.008+0.004)×10=120人, 所以估计全校需要3辆校车.6.解 (1)由表格中的数据,我们可以分别求出运动员A 和B 前7场比赛积分的平均数和方差,作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据.运动员A 的平均分x 1=17×21=3,方差s 12=17[(3-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(6-3)2]=2;运动员B 的平均分x 2=17×28=4,方差s 22=17[(1-4)2+(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(10-4)2+(4-4)2+(4-4)2]=8,从平均分和积分的方差来看,运动员A 的平均积分及积分的方差都比运动员B 的小, 也就是说,在前7场比赛过程中,运动员A 的成绩较为优秀,且表现也较为稳定.(2)表中平均分低于6.5分的运动员共有5个,其中平均分低于5分的运动员有3个, 平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有2个,从这5个数据中任取2个,基本事件总数n=10,从3个运动员中任取2人的事件数为3,至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分,所以至少1个运动员平均分不低于5分的概率P=1-310=710.(3)尽管此时还有4场比赛没有进行,但这里我们可以假设每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同,因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本,并由此估计每位运动员最后的成绩,从已结束的7场比赛的积分来看,运动员A 的成绩最为出色,而且表现最为稳定,故预测A 运动员获得最后的冠军,而运动员B 和C 平均分相同,但运动员C 得分整体呈下降趋势,所以预测运动员C 将获得亚军.7.解 (1)由题意,网店销售量不低于50件共有(0.068+0.046+0.010+0.008)×5×100=66(天),实体店销售量不低于50件的天数为(0.032+0.020+0.012×2)×5×100=38(天),实体店和网店销售量都不低于50件的天数为100×0.24=24(天),故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+38-24=80(天).(2)由题意,设该实体店一天售出x 件,则获利为50x-1 700≥800⇒x ≥50. 设该实体店一天获利不低于800元为事件A,则P(A)=P(x ≥50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)×5=0.38. 故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.(3)因为网店销售量频率分布直方图中,销售量低于50件的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,销售量低于55件的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5, 故网店销售量的中位数的估计值为 50+0.5-0.340.34×5≈52.35(件). 8.解 (1)第二组的频数为100×0.35=35,故第三组的频数为100-5-35-20-10=30,故第三组的频率为0.3,第五组的频率为0.1,补全后的频率分布表为:频率分布直方图为:频率分布直方图(2)第3组、第4组、第5组的频率之比为3∶2∶1,故第3组、第4组、第5组抽取的人数分别为3,2,1.(3)设第3组中抽取的三人为A 1,A 2,A 3,第4组中抽取的两人为B 1,B 2,第5组中抽取的一人为C,则6人中任意抽取2人,所有的基本事件如下:A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,A 3B 1,A 3B 2,B 1B 2,A 1C,A 2C,A 3C,B 1C,B 2C,故第3组中至少有1人被抽取的概率为1215=45. 9.解 (1)x=50×0.001 0×100+150×0.002 0×100+250×0.003 0×100+350×0.002 5×100+450×0.001 5×100=265.(2)当日需求量不低于300千克时,利润Y=(20-15)×300=1 500(元); 当日需求量不足300千克时,利润Y=(20-15)x-(300-x)×3=8x-900(元);故Y={8x -900,0≤x <300,1 500,300≤x <500.由Y ≥700,得200≤x ≤500,所以P(Y ≥700)=P(200≤x ≤500) =0.003 0×100+0.002 5×100+0.001 5×100=0.7.。

18版：[专题探究课六]　高考中概率与统计问题的热点题型（创新设计）

解依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i＝0，1，2， 3，4).则 P(Ai)＝Ci413i234－i. (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C24132232＝287.
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.10 分
故 X 的分布列为
X2
3
4
5
P
5 9
2 9
10
8
81 81
11分
E(X)＝2×59＋3×29＋4×1801＋5×881＝28214.12 分
❶得步骤分：这是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步为“赢”，求得满分. 如第(1)问，引进字母表示事件，用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，计算概率值正确，得1分.第(2)问求出X的四个值的概率，每对一个得1分；列出随机变量X的分布列得1分.
满分解答解用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”， Ak 表示“第 k 局甲获胜”，Bk 表示“第 k 局乙获胜”，则 P(Ak) ＝23，P(Bk)＝13，k＝1，2，3，4，5.2 分 (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)· P(A3)P(A4) ＝232＋13×232＋23×13×232＝5861.5 分
【例 2】 (满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率； (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值 (数学期望).

热点探究课概率与统计中的高考热点问题精讲附配套练习

热点探究课(六)概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力．近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：【导学号：01772430】(1)人群中抽9人，其中女性抽多少人？(2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．下面的临界值表供参考：(参考公式K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：4分在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人).6分 (2)根据2×2列联表，则K 2的观测值 k ＝60×(24×18－6×12)230×30×36×24＝10＞7.879.10分所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分[规律方法] 1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．[对点训练1] 柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i－n x －2，a ^＝y ^－b ^x － [解] (1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x ＝4＋5＋7＋84＝6，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋52＋72＋82＝154，6分则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝106－4×6×4154－4×62＝1，a ^＝y －b ^x －＝4－6＝－2，故线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝x －2.8分(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分热点2 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．【导学号：01772431】[解](1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.[规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P(A)求解．[对点训练2]现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.2分设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)．则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .4分(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.6分 (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，7分所以P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4) ＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.8分 (3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥．则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.10分所以ξ的分布列是12分热点3 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．(本小题满分12分)(2017·河北名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． [规范解答] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.4分 (2)X 的可能取值为2,3,4,5，5分 P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，7分 P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，8分 P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1081，10分 P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为11分E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.12分[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求第一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得比赛的含义，进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．(2)第(2)问中利用对立事件求P (X ＝5)的概率． 2．步骤要规范，善于进行文字符号转化．如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A ＝A 1A 2＋B 1A 2A 3＋A 1B 2A 3A 4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X 的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X 的分布列得1分．3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证．如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分．图1[对点训练3] 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列、均值与方差．【导学号：01772432】[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极安全”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极安全”记为事件A ，则A ＝A 0＋A 1，2分所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140.4分(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率 P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3.6分所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.8分X 的分布列为10分E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 或E (X )＝np ＝34.D (X )＝np (1－p )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.12分热点4 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2017·济南调研)2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；(2)在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E (X )；(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.⎝ ⎛⎭⎪⎫注：满意指数＝满意程度的平均分100 【导学号：01772433】图2[解] (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a ＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a ＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝14.2分又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率P ＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫140⎝ ⎛⎭⎪⎫344－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝1－189256＝67256.4分 (2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C 315，由题知X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 310C 315＝2491，P (X ＝1)＝C 15C 210C 315＝4591，P (X ＝2)＝C 25C 110C 315＝2091，P (X ＝3)＝C 35C 315＝291，6分X 分布列为所以E (X )＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1.8分 (3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7. 因此市民满意度指数为80.7100＝0.807＞0.8，所以该项目能够通过验收.12分[规律方法] 1.本题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思巧妙．考查学生的识图能力和数据处理能力．2．求解时注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成，活用公式，本题X服从超几何分布，利用其概率公式代入计算．[对点训练4]某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解](1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝12.2分又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，则P(80≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2.3分P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2.4分故所求事件的概率P＝0.2×0.2×0.1·A33＝0.024.5分(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，6分P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.12分课时分层训练(七)二次函数与幂函数A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a－12≤1，即a≥－12时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13满足题意；8分②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知a＝－13或－1. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足f(x1)－f(x2)x1－x2＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值()【导学号：01772043】A．恒大于0 B.恒小于0C．等于0 D.无法判断A[∵f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f(x)＝x2 015.∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，又ab＜0，不妨设b＜0，则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0，又f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A.]2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分第三节基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3C ．3 D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2 C ．2 2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，3分 ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分 (2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).5分 (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10，当且仅当130×18x＝2×130360x ，即x＝1810，等号成立.8分故当x＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3]某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)． (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分。

高考数学(文)新创一轮(实用课件)人教A版：第十章专题探究课六高考中概率与统计问题的热点题型

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热点一统计与统计案例(教材VS高考)
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x－3s，x＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ ②在( x －3s， x ＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到 0.01)．附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数 r＝ 0.008≈0.09.
∑ （ti－ t ）2
7
－
＝40.17－4× 9.32＝2.89， 2.89 r≈ ≈0.99. 2× 2.646× 0.55 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，
= ≈0.103 �� ^ a ＝y－^ b t≈1.331－0.103×4≈0.92.
��.��
从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 1 16 1 16 1 16 2 －－－2 2 经计算得 x ＝ i∑ x ＝ 9.97 ， s ＝ ∑ （xi－x）＝（ ∑ x －16x ） ≈0.212 ， 16 ＝1 i 16i＝1 16 i＝1 i ∑ （i－8.5） ≈18.439， ∑ (xi－x)(i－8.5)＝－2.78，其中 xi 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i＝ 1 i＝ 1 i＝1，2，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).

高三数学一轮复习：热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题

热点探究课(六)概率与统计中的高考热点问题[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力．近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：【导学号：01772430】(1)人群中抽9人，其中女性抽多少人？(2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．下面的临界值表供参考：(参考公式K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )[解] (1)完善补充列联表如下：4分在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应该抽取12×14＝3(人).6分 (2)根据2×2列联表，则K 2的观测值 k ＝60×(24×18－6×12)230×30×36×24＝10＞7.879.10分所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分[规律方法] 1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．[对点训练1] 柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i－n x －2，a ^＝y ^－b ^x － [解] (1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x ＝4＋5＋7＋84＝6，y ＝2＋3＋5＋64＝4， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋52＋72＋82＝154，6分则b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝106－4×6×4154－4×62＝1，a ^＝y －b ^x －＝4－6＝－2，故线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝x －2.8分(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分热点2 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．【导学号：01772431】[解](1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件A表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A)约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)约为1－0.7＝0.3.[规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P(A)求解．[对点训练2]现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.2分设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)．则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i .4分(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.6分 (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，7分所以P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4) ＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133·23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.8分 (3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥．则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.10分所以ξ的分布列是12分热点3 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．(本小题满分12分)(2017·河北名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)． [规范解答] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.4分 (2)X 的可能取值为2,3,4,5，5分 P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，7分 P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，8分 P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1081，10分 P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为11分E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.12分[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值．第二步：求第一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得比赛的含义，进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．(2)第(2)问中利用对立事件求P (X ＝5)的概率． 2．步骤要规范，善于进行文字符号转化．如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A ＝A 1A 2＋B 1A 2A 3＋A 1B 2A 3A 4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X 的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X 的分布列得1分．3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证．如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分．图1[对点训练3] 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列、均值与方差．【导学号：01772432】[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极安全”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极安全”记为事件A ，则A ＝A 0＋A 1，2分所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140.4分(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率 P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3.6分所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.8分X 的分布列为10分E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 或E (X )＝np ＝34.D (X )＝np (1－p )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.12分热点4 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2017·济南调研)2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；(2)在等级为不满意市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望E (X )；(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.⎝ ⎛⎭⎪⎫注：满意指数＝满意程度的平均分100 【导学号：01772433】图2[解] (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a ＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a ＝0.025，所以市民非常满意的概率为0.025×10＝14.2分又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率P ＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫140⎝ ⎛⎭⎪⎫344－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝1－189256＝67256.4分 (2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人，从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C 315，由题知X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 310C 315＝2491，P (X ＝1)＝C 15C 210C 315＝4591，P (X ＝2)＝C 25C 110C 315＝2091，P (X ＝3)＝C 35C 315＝291，6分X 分布列为所以E (X )＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1.8分 (3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7. 因此市民满意度指数为80.7100＝0.807＞0.8，所以该项目能够通过验收.12分[规律方法] 1.本题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思巧妙．考查学生的识图能力和数据处理能力．2．求解时注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成，活用公式，本题X服从超几何分布，利用其概率公式代入计算．[对点训练4]某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解](1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝12.2分又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，则P(80≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2.3分P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2.4分故所求事件的概率P＝0.2×0.2×0.1·A33＝0.024.5分(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，6分P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.12分11。

2022一轮北师大版(理)数学教案：热点探究课6 概率与统计中的高考热点题型 Word版含解析

热点探究课(六) 概率与统计中的高考热点题型[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，留意考查同学的应用意识及阅读理解力量、分类争辩与化归转化力量.2.概率问题的核心是概率计算，其中大事的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列与组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特殊是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．热点1统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估量、推断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等学问交汇考查，考查同学的数据处理力量．近几年消灭各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：患“三高”疾病不患“三高”疾病总计男630女总计36其中女性抽多少人？(2)为了争辩“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2的值，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．下面的临界值表供参考：P(χ2≥x0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式χ2＝n(a d－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)【导学号：57962479】[解](1)完善补充列联表如下：患“三高”疾病不患“三高”疾病总计男24630女121830总计3624604分在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为936＝14，所以女性应当抽取12×14＝3(人). 6分(2)依据2×2列联表，则χ2的值χ2＝60×(24×18－6×12)230×30×36×24＝10＞7.879. 10分所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分[规律方法] 1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．[对点训练1]柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的生疏，对于雾霾天气的争辩也渐渐活跃起来，某争辩机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据：x 4578y2 3 5 6(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供应的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)试依据(2)求出的线性回归方程，猜测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数． ⎝ ⎛⎭⎪⎫相关公式：b ＝∑ni ＝1x i y i－n x －y －∑n i ＝1x 2i－n x －2，a ＝y －b x －[解] (1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x ＝4＋5＋7＋84＝6，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑4i ＝1x 2i＝42＋52＋72＋82＝154，6分则b ＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝106－4×6×4154－4×62＝1，a ＝y －b x －＝4－6＝－2，故线性回归方程为y ＝bx ＋a ＝x －2.8分(3)由回归直线方程可以猜测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分热点2 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立大事与互斥大事的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立大事，互斥大事常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，精确判定概率模型，恰当选择概率公式．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060(2)试估量生活垃圾投放错误的概率． [解] (1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为大事A ，则大事A 表示生活垃圾投放正确．大事A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－ 0.7＝0.3. [规律方法] 1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P (A )求解．[对点训练2] 现有4个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个玩耍可供参与者选择．为增加趣味性，商定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子打算自己去参与哪个玩耍，掷出点数为1或2的人去参与甲玩耍，掷出点数大于2的人去参与乙玩耍．(1)求这4个人中恰有2人去参与甲玩耍的概率；(2)求这4个人中去参与甲玩耍的人数大于去参与乙玩耍的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参与甲、乙玩耍的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．[解] 依题意，这4个人中，每个人去参与甲玩耍的概率为13，去参与乙玩耍的概率为23. 2分设“这4个人中恰有i 人去参与甲玩耍”为大事A i (i ＝0,1,2,3,4)．则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i 4分(1)这4个人中恰有2人去参与甲玩耍的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. 6分(2)设“这4个人中去参与甲玩耍的人数大于去参与乙玩耍的人数”为大事B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，7分所以P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4) ＝C 34⎝⎛⎭⎪⎫133·23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.8分(3)依题设，ξ的全部可能取值为0,2,4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥．则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781. 10分所以ξ的分布列是ξ 0 2 4 P8274081178112分热点3 离散型随机变量的均值与方差(答题模板)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与把握，弄清随机变量的全部取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，精确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．(本小题满分12分)(2021·河北名校联考)甲、乙两人进行围棋竞赛，商定先连胜两局者直接赢得竞赛，若赛完5局仍未消灭连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局竞赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得竞赛的概率；(2)记X 为竞赛决出胜败时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).【导学号：57962480】[规范解答] 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得竞赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. 4分 (2)X 的可能取值为2,3,4,5， 5分P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59， 7分P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝ P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29， 8分P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝ P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1081， 10分P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P5929108188111分 EX ＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.12分[答题模板] 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的全部可能值．其次步：求第一个可能值所对应的概率．第三步：列出离散型随机变量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得竞赛的含义，进而将大事转化为“三个互斥大事”的概率和．(2)第(2)问中利用对立大事求P (X ＝5)的概率． 2．步骤要规范，擅进步行文字符号转化．如第(1)问，引进字母表示大事，或用文字叙述正确，得2分；把大事拆分成A ＝A 1A 2＋B 1A 2A 3＋A 1B 2A 3A 4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X 的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X 的分布列得1分．3．解题过程中计算精确，是得满分的根本保证．如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值消灭错误了，不得分．[对点训练3] 某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满足度．现从调查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满足度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．图1(1)若治安满足度不低于9.5分，则称该人的治安满足度为“极平安”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极平安”的概率；(2)以这16人的样本数据来估量整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X 表示抽到“极平安”的人数，求X 的分布列、均值与方差．[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极平安”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极平安”记为大事A ，则A ＝A 0＋A 1，2分所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140.4分(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极平安”的概率 P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3. 6分所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. 8分X 的分布列为X 0 1 2 3 P2764276496416410分EX ＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 或EX ＝np ＝34.D X ＝np (1－p )＝3×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝916.12分热点4 概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确生疏和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上把握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2021·济南调研)2022年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满足度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：满足度评分低于 60分 60分到79分 80分到89分不低于90分满足度等级不满足基本满足满足格外满足已知满足度等级为基本满足的有680人．(1)若市民的满足度评分相互独立，以满足度样本估量全市市民满足度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人格外满足的概率；(2)在等级为不满足市民中，老年人占13.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满足的缘由，并从中选取3人担当整改督导员，记X 为老年督导员的人数，求X 的分布列及数学期望EX ；(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满足指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，依据你所学的统计学问，推断该项目能否通过验收，并说明理由.⎝ ⎛⎭⎪⎫注：满足指数＝满足程度的平均分100图2[解] (1)由频率分布直方图可知则10×(0.035＋a ＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a ＝0.025，所以市民格外满足的概率为0.025×10＝14. 2分又市民的满足度评分相互独立，故所求大事的概率P ＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫140⎝ ⎛⎭⎪⎫344－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝1－189256＝67256. 4分(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×13＝5人，从15人中选取3名整改督导员的全部可能状况为C 315，由题知X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 310C 315＝2491，P (X ＝1)＝C 15C 210C 315＝4591，P (X ＝2)＝C 25C 110C 315＝2091，P (X ＝3)＝C 35C 315＝291，6分X分布列为所以EX＝0×2491＋1×4591＋2×2091＋3×291＝1. 8分(3)由频率分布直方图，得(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，所以估量市民满足度程度的平均得分为80.7.因此市民满足度指数为80.7100＝0.807＞0.8，所以该项目能够通过验收. 12分[规律方法] 1.本题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思奇妙．考查同学的识图力量和数据处理力量．2．求解时留意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本大事的构成，活用公式，本题X听从超几何分布，利用其概率公式代入计算．[对点训练4]某市训练局为了了解高三同学体育达标状况，对全市高三同学进行了体能测试，经分析，全市同学体能测试成果X听从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三同学中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成果在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成果在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．[解](1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝12. 2分又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，则P(80≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝0.2. 3分P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝0.2. 4分故所求大事的概率P＝0.2×0.2×0.1·A33＝0.024. 5分(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ听从二项分布B(3,0.4)，6分P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分所以随机变量ξ的分布列为Eξ＝3×0.4＝1.2. 12分。

2019年高考数学一轮复习热点探究训练6 概率与统计中的高考热点问题文北师大版

热点探究训练(六) 概率与统计中的高考热点问题A组基础达标(建议用时：30分钟)1．(2018·佛山模拟)为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如表所示：(1)估计这60(2)】[解](1)由题表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8.2分所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×815＝32(人).5分1,2.A，所得基本事件共有15种，即ab，ac，ad，，c2，d1，d2,12. 10分b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种．12分2x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －解] (1)散点图如图所示．4分(2)∑4i ＝1x i y i ＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106， x －＝4＋5＋7＋84＝6，y －＝2＋3＋5＋64＝4，∑4i ＝1x 2i ＝42＋52＋72＋82＝154，则b ＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝6分a ＝y －－b x －＝4－6 8分7.12分 3对名列2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．[解] (1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个.3分其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{B 1，B 2}，共1个．所以所求的概率P ＝1－110＝910.7分(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.12分4．(2018·沈阳模拟)甲、乙两位学生参加某项竞赛培训，在培训期间，他们参加的5项预赛成绩的茎叶图记录如下：图3(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率； (2)现要从中选派一人参加该项竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？并说明理由．【导学号：00090367】[解] (1)记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到的成绩为y ，用数对(x ，y )表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)， 3分基本事件总数n ＝25，记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A ，事件A 包含的基本事件如下：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，5分事件A 包含的基本事件数m ＝12，所以P (A )＝m n ＝1225.8分(2)派甲参赛比较合适．理由如下：x 甲＝85，x 乙＝85，s 2甲＝31.6，s 2乙＝50，10分因为x 甲＝x 乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲的成绩较稳定，故派甲参赛比较合适. 12分5．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．[解] (1)将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，共有6×6＝36个基本事件．由a·b ＝－1，得2x －y ＝1.2分∴a·b ＝－1包含的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)共3种情形，故P (a·b ＝－1)＝336＝112.5分(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}．画出图形如图，8分正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为－1×2×4＝分6“生育二胎放开”政策的支持度有差异；胎放开”的概率是多少？参考数据：χ2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[解] (1)由题设，列2×2的列联表如下：χ2＝＋＋＋＋≈6.27＜6.635，所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. (2)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的4人分别为a ，b ，c ，d ，不支持“生育二胎”的人记为M ，则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，M )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，M )，(c ，d )，(c ，M )，(d ，M ).8分设“恰好这两人都支持“生育二胎”为事件A ，则事件A 所有可能的结果有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，所以P (A )＝610＝35.10分所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为35.12分。

热点探究课概率与统计中高考热点题型高考数学(文科)总复习专题讲义

概率与统计中的高考热门题型[高考导航]__________________________________1．概率与统计是高考取相对独立的一个内容，办理问题的方式、方法表现了较高的思想含量．该类问题以应用题为载体，着重考察学生的应意图识及阅读理解能力、分类议论与化归转变能力．2．概率问题的中心是概率计算，此中事件的互斥、对峙、独立是概率计算的中心．统计问题的中心是样本数据的获取及剖析方法，要点是频次散布直方图、茎叶图和样本的数字特点．统计与概率内容互浸透，背景新奇．[热门打破]__________________________________热门一统计与统计案例以实质生活中的案例为背景，经过对有关数据的统计剖析、抽象归纳，作出预计，判断．常与抽样方法、茎叶图、频次散布直方图、概率等知识交汇考察，考察学生数据办理能力．近几年出现各样食品问题，食品增添剂会惹起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为认识三高疾病能否与性别有关，医院随机对住院的60人进行了问卷检查，获取了以下的列联表：(1)请将如图的列联表增补完好；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽 9人，此中女性抽多少人？(2)为了研究三高疾病能否与性别有关，请计算出统计量 K 2的观测值k ，并说明能否能够在出错误的概率不超出的前提下以为三高疾病与性别有关.患三高疾病不患三高疾病总计男 630女总计36下边的临界值表供参照：2 ≥k 0P(K ) k 082 (参照公式 K 2＝n （ad －bc ），此中n ＝a （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＋b ＋c ＋d)解：(1)完美增补列联表以下：患三高疾不患三高疾总计病病男 24 6 30女 12 18 30总计3624609人，则抽取比率为 91在患三高疾病人群中抽36＝4，1所以女性应当抽取12×4＝3(人)．(2)依据2×2列联表，则K2的观察值60×（24×18－6×12）2k＝＝10>7.879.30×30×36×24所以在同意出错误的概率不超出的前提下以为能否患三高疾病与性别有关．1．将抽样方法与独立性查验交汇，背景新奇，求解得要点是抓住统计图表特点，完美样本数据．2．(1)此题常有的错误是对独立性查验思想理解不深刻，作出无关错误判断．(2)进行独立性查验时，提出的假定是二者没关．【变式训练】(2015·重庆卷)跟着我国经济的发展，居民的积蓄存款逐年增加．设某地域城乡居民人民币积蓄存款(年末余额)以下表：年份时间代号t积蓄存款y(千亿元)20102011201220132014 12345 567810求对于的回归方程^^^(1)y t y＝b＋；t a(2)用所求回归方程展望该地域2015年(t＝6)的人民币积蓄存款．^^^^附：回归方程y＝bt＋a中，b＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.－1解：(1)易求t＝5(1＋2＋3＋4＋5)＝3，(2)将t＝6代入回归方程可展望该地域2015年的人民币积蓄存款为^＝×＋＝千亿元．y 1.2 6 3.6 10.8()热门二古典概型与几何概型的概率计算几何概型与古典概型的实质差别在于试验结果的无穷性，几何概型常常波及的几何胸怀有长度、面积、体积等，解决几何概型的要点是找准几何测度；古典概型是命题的要点，对于较复杂的基本领件空间，列举时要依据必定的规律进行，做到不重不漏．某商场为吸引顾客花费，推出一项优惠活动．活动规则以下：花费每满100元能够转动以下图的圆盘一次，此中O为圆心，目标有20元，10元，0元的三部分地区面积相等．假定指针停在任一地点都是等可能的．当指针停在某地区时，返相应金额的优惠券．比如：某顾客花费了218元，第一次转动获取了20元，第二次获取了10元，则其共获取了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了花费，并依据规则参加了活动．(1)若顾客甲花费了128元，求他获取的优惠券面额大于0元的概率；(2)若顾客乙花费了280元，求他总合获取的优惠券金额不低于元的概率．解：(1)设“甲获取优惠券”为事件A.由于假定指针停在任一地点都是等可能的，而题中所给的三部分地区的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元地区内的概率都1是3.顾客甲获取优惠券，是指指针停在20元或10元地区，所以甲获1 1 2得优惠券面额大于0元的概率为P(A)＝3＋3＝3.(2)设“乙获取的优惠券金额不低于 20元”为事件B.由于顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获取优惠券的金额为x元，第二次获取优惠券的金额为y元，则基本领件空间为Ω＝{(20，20)，(20，10)，(20，0)，(10，20)，(10，10)，(10，0)，(0，20)，(0，10)，(0，0)}，即Ω中含有9个基本领件，每个基1本领件发生的概率都为9.而乙获取的优惠券金额不低于20元，是指x＋y≥20，所以事件B中包括的基本领件有6个．6 2所以乙获取的优惠券金额不低于20元的概率为P(B)＝9＝3.1．此题(1)中，指针连续地变化，是几何概型，第(2)问是顾客获得优惠券的各样可能，是能够一一列举的失散问题，知足古典概型．2．题目以“市场销售手段”为背景，仔细审题，实现知识迁徙，恰入选择概型是解题的要点．【变式训练】已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地平均的正方体骰子六个面的点数分别为1，2，3，4，5先后投掷两次时第一次、第二次出现的点数，求知足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，求知足a·b<0的概率．解：(1)将一枚质地平均的骰子先后投掷两次，共有6×6＝36个基本领件．由a·b＝－1，得2x－y＝1.∴a·b＝－1包括的基本领件为(1，1)，(2，3)，(3，5)共3种情况，3 1故P(a·b＝－1)＝36＝12.(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，则所有基本领件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}；知足a·b<0的基本领件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y<0}；画出图形如图，1正方形的面积为S正方形＝25，暗影部分的面积为S暗影＝25－2×2×4＝21，21故知足a·b<0的概率P＝25.热门三概率与统计的综合问题(满分现场)统计和概率知知趣联合命制概率统计解答题已经是一个新的命题趋势，概率统计初步综合解答题的主要依靠点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的要点，在此基础上掌握好样本数字特点及各种概率的计算．(经典母题)(2015·安徽卷)(此题满分12分)某公司为认识部下某部门对本公司员工的服务状况，随机接见50名员工，依据这50名员工对该部门的评分，绘制频次散布直方图(以下图)，此中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，，[80，90)，[90，100]．(1)求频次散布直方图中a的值；(2)预计该公司的员工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访员工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．规范解答：(1)由于＋a＋＋×2＋0.028)×10＝1，所以a＝分(2)由所给频次散布直方图知，50名受访员工评分不低于80的频率为＋0.018)×10＝，所以该公司员工对该部门评分不低于80的概率的预计值为分(3)受访员工中评分在[50，60)的有：50××10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访员工中评分在[40，50)的有：50××10＝2(人)，记为B1，B2.8分从这5名受访员工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．记“2人的评分都在[40，50)”为事件M，则事件M发生时，只含一个基本领件{B1，B2}11分1故所求事件的概率P(M)＝10.12分【满分规则】 1.此题的易失分点：(1)不可以利用频次散布直方图的频次求出a值．(2)求错评分落在[50，60)，[40，50)间的人数．(3)没有指出“基本领件总数”与“事件M”包括的基本领件个数，或许只指失事件个数，没有一一列举10个基本领件及事件M包含的基本领件，致使扣3分或2分．2．得分原则(1)得步骤分：如第(1)问求a，第(2)问中的频次预计概率，第(3)问中，列出基本领件并求出概率．(2)得要点分：如第(1)问中，正确求得a＝；第(3)问中列出个基本领件，错写或多写，少写均不得分．(3)得转变计算分：如第(1)问，第(2)问中的计算要正确，不然不得分；第(3)问中利用“频数、样本容量、频次之间的关系”求得各区间的人数，转变为古典概型的概率．【建立模板】第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值．第二步：由样本频次散布预计概率．第三步：设出字母，列出基本领件总数及所求事件M所包括的基本领件．第四步：利用古典概型概率公式计算．第五步：反省回首，查察要点点，易错点和答题规范．【变式训练】(2016·揭阳模拟)为检查乘客的候车状况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样安分红5组，如表所示：组别候车时间(分钟)人数一[0，5)2二[5，10)6三[10，15)4四[15，20)2五[20，25]1(1)预计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷检查，求抽到的两人恰巧来自不一样组的概率．解：(1)由题表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8.8所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大概为60×15＝32(人)．(2)设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为1，2.“抽到的两个人恰巧来自不一样的组”为事件A，所得基本领件共有15种，即ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12.此中事件A包括基本领件a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，共8种．8由古典概型可得P(A)＝15.1．(2015·川卷四)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5，他们依据座位号从小到大的次序先后上车．乘客P1因身体原由没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：假如自己的座位空着，就只好坐自己的座位；假如自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的节余空位中随意选择座位．(1)若乘客P1坐到了3号座位，其余乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了此中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P1坐到了2号座位，其余乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．解：(1)余下两种坐法以下表所示：乘客P1P2P3P4P532415座位号32541(2)若乘客P1坐到了2号座位，其余乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：乘客P1P2P3213231234234座位号235243243253于是，所有可能的坐法共8种．P4P5 45 45 15 51 41 15 11设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本领件的个数为4，1所以P(A)＝8＝2.1所以乘客P5坐到5号座位的概率是2.2．某学生对其家属30人的饮食习惯进行了一次检查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主． )(1)依据茎叶图，帮助这位学生说明其家属30人的饮食习惯；(2)依据以上数据达成以下2×2的列联表：主食蔬菜主食肉类总计岁以下岁以上总计(3)在出错误的概率不超出1%的前提下，你可否定为其家属的饮食习惯与年纪有关，并说明原由．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)k08解：(1)由茎叶图知，50岁以下的12人中饮食指数低于70的有4人，饮食指数高于70的有8人．50岁以上的18人中，饮食指数低于70的有16人，高于70的只有2人．在其30位家属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．(2)列2×2的列联表以下：主食蔬菜主食肉类总计50岁以下481250岁以上16218总计20103030×（8－128）2(3)由(2)知，由于K2＝12×18×20×10＝10>6.635.又P(K2≥6.635)＝0.010.∴在出错误的概率不超出1%的前提下，以为其家属的饮食习惯与年纪有关．3．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也逐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花鞭炮的天数x与雾霾天数y进行统计剖析，得出下表数据.x4578y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供给的数据，用最小二乘法求出y对于x的线性^^^回归方程y＝bx＋a；9(3)试依据(2)求出的线性回归方程，展望燃放烟花鞭炮的天数为的雾霾天数．4．(2014·庆卷重)某央企对2015年新聘任的20名研究生进行为期100天的岗前技术培训．现抽取这20名学生某次测试成绩(单位：分)作成频次散布直方图以下：(1)求频次散布直方图中a的值；(2)求成绩落在区间[50，70)中的人数；(3)从成绩在[50，70)区间段的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70)内的概率．解：(1)由频次散布直方图知，组距为10，∴(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝1.1所以a＝200＝0.005.(2)由(1)知，成绩在[50，70)中的人数为(2×＋3×0.005)×10×20＝5.(3)易知成绩落在[60，70)的人数为3××10×20＝3.记成绩在[60，70)内的3人为A1，A2，A3，其余两人记为B1，B2.从[50，70)的5人中任取2人的基本领件为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}共10种结果．此中2人的成绩在[60，70)的事件为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}共3种情况．3故所求事件的概率P＝10.。

近年年高考数学一轮复习热点探究训练6概率与统计中的高考热点问题文北师大版(2021学年)

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热点探究训练(六）概率与统计中的高考热点问题A组基础达标（建议用时：３0分钟）1．（20１8·佛山模拟）为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的６0名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如表所示：（1)估计这60(2)若从表中第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【导学号:0009036６】[解] (1)由题表可知:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8。

2分ﻩ所以,这6０名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约为60×错误!=３2(人）。

5分ﻩ(2)设第三组的乘客为ａ,ｂ,ｃ，ｄ,第四组的乘客为1,2。

ﻩ“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A，所得基本事件共有15种,即aｂ,ac，ad，a １，a2，bc,bd，ｂ1，b２,cd,c1，ｃ２，d１，ｄ2,12.ﻩ１0分其中事件A包含基本事件a１,a2,b1，ｂ2，c1，c２，d１，d2,共８种.ﻩ由古典概型可得P(A)＝错误!。

ﻩ12分２．柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数ｘ与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据:（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于ｘ的线性回归方程y=ｂx+a;(３)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．错误!解］(1)散点图如图所示.ﻩ4分ﻩ（２)错误!xｉy i＝4×2+5×3+7×５+8×6=106，ﻩ错误!=错误!=６,错误!=错误!=4，ﻩ错误!ｘ错误!＝４2＋52+72+８2＝１54,则b＝错误!=错误!=1, 6分ﻩa＝错误!－b错误!=4-6＝-２，故线性回归方程为ｙ＝bx+a＝x－2.ﻩ8分(3)由回归直线方程可以预测,燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.1２分３．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播20１５年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台＂的融合指数进行分组统计,结果如表所示：组号分组频数１［４,5）22［5,6)83[6,7)74［7,8]3ﻩ(1）现从融合指数在［2家进行调研，求至少有1家的融合指数在［7,８］内的概率;ﻩ(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．[解] (1)融合指数在［7，8］内的“省级卫视新闻台"记为Ａ1,A2,A３;融合指数在[４,５）内的“省级卫视新闻台”记为B1,Ｂ2.从融合指数在［4,5）和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取２家的所有的基本事件是{Ａ1，A２｝，{A1,A3},{A２,A3｝，{A1,B1},{Ａ1，Ｂ2},{A2,B１}，{Ａ2,Ｂ2},{A３,B1｝,{A3，B2},{Ｂ1，B2},共１0个。

2018一轮北师大版理数学训练热点探究训练6概率与统计中的高考热点题型含解析

热点探究训练(六) 概率与统计中的高考热点题型1．(2017·邯郸质检)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑ni ＝1t i y i －n t －y －∑n i ＝1t 2i －n t －2，a ＝y －－b t －.[解] (1)易求t －＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3， y －＝15∑5i ＝1y i ＝7.2. 2分又∑5i ＝1t i y i －5t －y －＝120－5×3×＝12， ∑5i ＝1t 2i －5t －2＝55－5×32＝10. 4分从而b ＝∑5i ＝1t i y i－5t －y －∑5i ＝1t 2i －5t －2＝1210＝，∴a ＝y －－b t －＝－×3＝， 6分故所求回归方程为y ＝＋3.6.8分(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为y ＝×6＋＝(千亿元).12分2．(2015·北京卷节选)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．[解]设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2， (7)由题意可知P(A i)＝P(B i)＝17，i＝1,2，…，7. 2分(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝37. 5分(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，7分因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝1049. 12分3．某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n＞8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n的最大值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和期望．[解](1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝C1n－6C16C2n＝12(n－6)n(n－1). 2分依题意12(n －6)n (n －1)≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，∴9≤n ≤16，故n 的最大值为16.5分(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，则P (ξ＝k )＝C k 6C 2－k 6C 212(k ＝0,1,2)，∴P (ξ＝0)＝P (ξ＝2)＝C 06C 26C 212＝522，P (ξ＝1)＝C 16C 16C 212＝611.8分∴Eξ＝0×522＋1×611＋2×522＝1.12分4．(2017·武汉四校联考)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天的课外体育锻炼时间进行调查，如下表：(平均每天锻炼时间的单位：分钟)(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；(2)3名学生，记被抽取的3名学生中“课外体育达标”的学生人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望和方差.参考公式：χ2＝n (a d －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【导学号：】[解] (1)依题意，得2×2的列联表如下：χ2＝150×50×90×110＝20033≈＜，所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.6分(2)易得抽到“课外体育达标”学生的频率为. 因为将频率视为概率，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以EX ＝3×14＝34，D X ＝3×14×34＝916.12分 5．(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX . [解] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABC D ＋A BC D ＋A B C D ＋AB C D ＋ABC D ， 2分由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABC D)＋P (A BC D)＋P (A B C D)＋P (AB C D)＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D)＋P (A)P (B )P (C )P (D)＋P (A )P (B)P (C )P (D)＋P (A )P (B )P (C )P (D)＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. 5分(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝112， P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 10分可得随机变量X 的分布列为所以数学期望EX＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.12分6．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过两小时的人被定义为“非微信达人”．已知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2.使用微信时间(单位：小时)频数频率(0,]3,1]x p(1,]9,2]15(2,]18,3]y q合计60图3(1)确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；(2)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“非微信达人”和“微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X 的分布列和数学期望.【导学号：】[解](1)“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3∶2，所以3＋x＋9＋1518＋y＝32，2分又3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝60，解这个方程组得⎩⎨⎧ x ＝9，y ＝6，从而可得⎩⎨⎧p ＝，q ＝. 补全频率分布直方图如图所示：5分(2)选出的人中，“微信达人”有4人，“非微信达人”有6人，X 的可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 04·C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14·C 26C 310＝12，P (X ＝2)＝C 24·C 16C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34·C 06C 310＝130，10分所以X 的分布列是X 0 1 2 3 P1612310130所以X 的数学期望EX ＝0＋12＋35＋110＝65. 12分。

2019年高考数学一轮：专题探究课6 概率与统计中的高考热点问题理

六概率与统计中的高考热点问题(对应学生用书第193页)[命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题，解决问题的能力．(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图1所示：图1(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；0.01)．附：χ2＝.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)[解] (1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)．旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表≈15.705.χ2＝100×100×96×104由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和[跟踪训练(1)从600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ，并预测当特征量x 为570时，特征量y 的值．(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2，a ＝y －b x )[解] (1)记“至少有一个大于600”为事件A ． ∴P (A )＝1－C 23C 25＝710.(2)x ＝555＋559＋551＋563＋5525＝556，y ＝601＋605＋597＋599＋5985＝600.∴b ＝－1×1＋3×5＋(－5)×(－3)＋7×(－1)＋(－4)×(－2)(－1)2＋32＋(－5)2＋72＋(－4)2＝30100＝0.3. ∵a ＝y －b x ＝600－0.3×556＝433.2，∴线性回归方程为y ＝0.3x ＋433.2. 当x ＝570时，y ＝0.3×570＋433.2＝604.2. ∴当x ＝570时，特征量y 的估计值为604.2.几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及均值； (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率． [解] (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，P (X ＝k )＝C k6·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫136－k(k ＝0,1,2,3,4,5,6)．所以X 的分布列为故EX ＝1729(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2 916729＝4.或因为X ～B 6，23，所以EX ＝6×23＝4.(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则P (A )＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫236＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281. n ，，则其概率、均值与方差可直接利用公X ＝k ＝－n －kk ＝，2，…，n ，EX np －求得，因此，利用二项分布的相关公式，可以避免烦琐的运算过程，提高运算速度和准确度.[跟踪训练] 甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率． [解] (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B ．设乙队得分为η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23. P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14， P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29， P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11813＝16.离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.①现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面如图2所示的柱状图：②图2以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，③n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P X≤n，④确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？[审题指导]零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 1分由题意可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22.⑤从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04.4分所以X 的分布列为6分(2)由(1)知P X ＝0.44，P X＝0.68，⑥故n 的最小值为19.7分(3)记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n ＝19时，⑦EY ＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；9分当n ＝20时，⑧EY ＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.11分可知当n ＝19时所需费用的期望值小于当n ＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.12分[阅卷者说]明确随机变量可能取哪些值结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值根据分布列和期望、方差公式求解易错警示：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键[跟踪训练取16名，如图3茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．图3(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列、均值与方差.【导学号：79140382】[解] (1)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极安全”，且i ＝0,1,2,3.至多有1人是“极安全”记为事件A ，则A ＝A 0＋A 1，所以P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 212C 14C 316＝121140.(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率P ＝416＝14，依题意，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，14，则P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k，k ＝0,1,2,3.所以P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.X 的分布列为EX ＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.或EX ＝np ＝34.DX ＝np (1－p )＝3×14×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝916.概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑16i ＝1x i ＝9.97，s ＝116∑16i ＝1(x i －x )2＝116⎝⎛⎭⎫ ∑16i ＝1x 2i －16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.信息提取与突破策略(1)由P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974，得P (Z ≤μ－3σ或Z ≥μ＋3σ)＝0.0026，可知X ～B (16,0.0026)，利用对立事件的概率公式求出P (X ≥1)的值，再利用二项分布的期望公式求解．(2)根据第(1)问的结果，利用独立性检验的思想说明监控生产过程方法的合理性；确定μ^－3σ^，μ^＋3σ^的值，以剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，再利用剩下的数据估计μ和σ.[解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.正态分布：若变量μ2，其中线的对称轴为为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性二项分布：若变量B n ，，则－[跟踪训练(2018·郑州第二次质量预测某食品公司研发生产一种新的零售食品，中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图4频率分布直方图：图4(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (200,12.22)，试计算数据落在(187.8,212.2)上的概率；(3)设生产成本为y ，质量指标为x ，生产成本与质量指标之间满足函数关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.4x ， x ≤205，0.8x －80， x >205，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．参考数据：若Z ～N (μ，δ2)，则P (μ－δ<Z <μ＋δ)＝0.682 6， P (μ－2δ<Z <μ＋2δ)＝0.954 4.[解] (1)由10×(0.002＋0.009＋0.022＋a ＋0.024＋0.008＋0.002)＝1，得a ＝0.033.(2)由(1)知，Z ～N (200,12.22)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.(3)由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：70×0.02＋74×0.09＋78×0.22＋82×0.33＋92×0.24＋100×0.08＋108×0.02＝84.52.。

教材高考审题答题(六) 概率与统计热点问题

7
三年真题考情
审题答题指引
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
第一种生产方式第二种生产方式
超过m
不超过m
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三年真题考情
审题答题指引
(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？解 (1)第一种生产方式时间集中在区间[80，90]，且平均工作时间－x1＝84. 第二种生产方式的时间集中在区间[70，80)，且平均工作时间－x2＝74.7. ∴－x1>－x2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种， ∴第二种生产方式的效率更高.
21
三年真题考情
审题答题指引
满分答题示范——概率与统计的综合问题【例题】 (12分)(2018·全国Ⅰ卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单
位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
[0.1，日用水量 [0，0.1)
3
三年真题考情
审题答题指引
【教材拓展】甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，试分析甲乙两名同学哪个一个成绩较稳定.
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三年真题考情
审题答题指引
解根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，故甲同学成绩的平均数为78＋79＋80＋875＋85＋92＋96＝85，乙同学成绩的平均数为72＋81＋81＋873＋91＋91＋96＝85，故甲同学成绩的方差为17×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同学成绩的方差为17×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝3978>40，故成绩较稳定的是甲.

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