复变函数与积分变换21.
复变函数与积分变换 第四版 课后习题答案
w.
2
案
网
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ Arg⎜ ⎟ = arg⎜ ⎟ + 2kπ ⎝ 3 + 2i ⎠ ⎝ 3 + 2i ⎠
co
1 1 1 13 ⎛3⎞ ⎛ 3⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜− ⎟ = = (3 + 2i ) ， ， 3 + 2i 13 3 + 2i 13 13 13 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 10
( )
( )
证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。 5．对任何 z ， z =| z | 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些
2 2
值才成立？ 解：设 z = x + iy ，则要使 z =| z | 成立有
2 2
x 2 − y 2 + 2ixy = x 2 + y 2 ，即 x 2 − y 2 = x 2 + y 2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。
⎛ 1 3i ⎞ ⎛ 1 3i ⎞ Arg⎜ − ⎟ = arg⎜ − ⎟ + 2kπ ⎝ i 1− i ⎠ ⎝ i 1− i ⎠
5 k = 0,±1,±2, " . = − arctan + 2kπ , 3 (3 + 4i )(2 − 5i ) = (3 + 4i )(2 − 5i )(− 2i ) = (26 − 7i )(− 2i ) （3） (2i )(− 2i ) 2i 4
后
课
案
2
2
= ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = 2( z1 z1 + z2 z2 ) = 2(| z1 |2 + | z2 |2 )
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin πi 3322=+=--z⑶33i +的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i 44ππ2π2π4433i 6e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第二章习题答案
(3)|sinz|2=sin2x+sh2y
证明：
(4)|cosz|2=cos2x+sh2y
证明：
21.证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大．
证明：
∴
而
当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞．
当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．
11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证 在区域D1内解析．
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．
所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即 ．
，得
故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件
所以f(z)为常数.
5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论.
若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C 0，则f(z) 0,但 ，即u2+v2=C2
则两边对x,y分别求偏导数，有
利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有
所以 所以
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
从而 在D1内解析
13.计算下列各值
(1) e2+i=e2∙ei=e2∙(cos1+isin1)
(2)
(3)
(4)
14.设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez的极限．
解：令z=reiθ，
对于 θ，z→∞时，r→∞．
故 ．
所以 ．
15.计算下列各值．
复变函数与积分变换课件
傅里叶级数具有唯一性，即一个周期函数对应一个唯一的傅 里叶级数；反之亦然。此外，傅里叶级数具有可加性和可分 离性，即对于任意的实数x，f(x)=f(x+T)=f(x−T)，其中T为 函数的周期。
傅里叶变换的定义与性质
傅里叶变换的定义
将一个可积分的函数f(x)变换为一系列无穷的三角函数之和，即 F(ω)=∫f(x)e−iωxdx，其中ω为角频率。
复数域上的微积分基本定理
01
微积分基本定理
根据微积分基本定理，复数域上的微积分可以按照实数域上的微积分进
行计算。
02
微分中值定理
微分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
，函数在区间上的值可以通过其端点的值和导数值来确定。
03
积分中值定理
积分中值定理是微积分基本定理的一种特殊形式，它表明在一定条件下
性质
拉普拉斯变换具有线性、时移、频移、微分、积分、尺度变换等性质。
拉普拉斯变换的逆变换与基本定理
逆变换
对于复数域上的函数$F(s)$，其拉普拉斯 逆变换定义为：$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{ci\infty}^{c+i\infty}F(s)e^{st}ds$
VS
基本定理
如果$F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换，那 么对于任意的常数$a,b,c,d$，有： $\int_{0}^{\infty}f(t)[a\cos bt+c\sin bt]dt=\int_{0}^{\infty}F(s)[as\cos btcs\sin bt]ds$
复变函数与积分变换课件
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的微积分 • 傅里叶级数与傅里叶变换 • 拉普拉斯变换及其应用 • 复变函数与积分变换的物理意义
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ①：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+=2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--===其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cos isin i 662=+=+z ． 2551cos πisin πi 662=+=z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件. 解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换课后习题答案
复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππe cos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()R e in=，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++ ①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈C ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈C ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.⑴i 的三次根． 解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=+z ．2551cos πisin πi 662=+=+z3991cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()132π+π2ππcos πisin πcosisin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z3551cos πisin π332=+=-z的平方根．πi 4e ⎫⎪⎪⎝⎭∴)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z=12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第二章习题答案
解：f(z)除 外处处可导，且 .
(4) .
解：因为
.所以f(z)除z=0外处处可导，且 .
6.试判断下列函数的可导性与解析性.
(1) ;
解： 在全平面上可微.
所以要使得
， ,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) .
解： 在全平面上可微.
只有当z=0时,即(0,0)处有 , .
它们分别为
∴
∴满足C-R条件．
(3)当z沿y=x趋向于零时，有
∴ 不存在．即f(z)在z=0处不可导．
11.设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证 在区域D1内解析．
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．
所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即 ．
15.计算下列各值．
(1)
(2)
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
16.试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．
解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续．
设z=x+iy，
在复平面内可微．
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．
所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) ;
解： 在全平面上可微.
所以只有当 时，才满足C-R方程.
从而f(z)在 处可导，在全平面不解析.
(4) .
解：设 ，则
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
复变函数与积分变换复变函数
复变函数的极限具有与实数函数类似的性质，如唯一性、局部有界性、局部保号性等。这些性质在研究复变函数 的性质和行为时非常重要。
复变函数的连续性
连续性的定义
如果对于复数域内的任意一点，其周围的函数值都存在且相等，则称复变函数 在该点连续。
连续性的性质
连续性在复变函数中具有一些重要性质，如闭区间上的连续函数一定存在最大 值和最小值，以及一致连续性等。这些性质在解决一些积分和微分问题时非常 有用。
积分与路径无关
如果函数$f(z)$在由$z_1$到$z_2$的曲线上是可积的，且在由 任意两点确定的直线上也是可积的，那么该函数在由这两点确
定的直线上也是可积的，且积分值相等。
柯西积分公式
柯西积分公式是复变函数中的一个基本公式，它给出了在单连通区域内的一个解析函数$f(z)$的积分表示。 具体来说，如果函数$f(z)$在区域D内解析，且在D的边界上除有限个点外均有定义，那么对于D内的任意 点$z_0$，有$int_{C} f(z)/(z-z_0) dz = f(z_0)$，其中C是围绕$z_0$的任意简单闭曲线。
复变函数与积分变换
目录
• 复数与复变函数 • 复变函数的极限与连续性 • 复变函数的积分 • 复变函数的级数与幂级数展开 • 积分变换 • 应用实例
01 复数与复变函数
复数的定义与性质
定义
复数是由实部和虚部组成的数，表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
电磁散射和辐射问题
通过复变函数中的积分方程方法和谱方法等，可以研究电磁散射和 辐射问题，应用于雷达散射截面计算和天线设计等领域。
THANKS FOR WATCHING
复变函数与积分变换试题
复变函数与积分变换试题本试题分两部分，第一部分为选择题，1 页至3 页，第二部分为非选择题，4 页至8 页，共 8 页；选择题 40 分，非选择题 60 分，满分 100 分，考试时间 150 分钟。
第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共20 小题，每小题2 分，共40 分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
复数z =16- 8 i 的辐角为( )25 25D ．2k+4,k =0,1,7．函数w =z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz,0| z | 2 映射成 W 平面上的区域( )2A ．0<argz,0|w | 4 B ． 0<argz ,0|w | 42C ． 0<argz,0|w | 2D ． 0<argz,0|w | 28．若函数 f(z)在正向简单闭曲线 C 所包围的区域 D 内解析，在 C 上连续，且 z=a 为 D 内任 一点，n 为正整数，则积分c (z -f (a z ))n +1等于(9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分c (z -d i z)n +1等于(2． 3．4．5． 6． A ． arctan 1 B ．-arctan 1 22 方程 Rez 2 =1所表示的平面曲线为( ) A ． 圆 B ．直线复数z = -3(cos ,-isin )的三角表示式为 44A ． - 3(cos ,＋isin ) 44C ． 3(cos ,＋isin ) 设 z=cosi ，则( ) A ．Imz=0 B ．Rez=π复数e 3+i 对应的点在( A ．第一象限 设 w=Ln(1-I),则 Imw 等于( A ．－4B ．第二象限)C ．π-arctan 1 2D ．π+arctan 1 2C ．椭圆D ．双曲线B ．D． C ．C ． 443(cos , －isin)55 44 - 3(cos, －isin)|z|=0 第三象限 D ．argz=πD ．第四象限B ．2k －4,k =0,1,1．C ．4 A ． 2i f (n +1) (a ) (n +1)!2i B ．2i f (a )n !C ．2if (n ) (a )D ． 2n!i f (n )(a )dz A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．12iz=-1是函数(z co +t 1)z 4 的( )（n + 1）!幂极数n =（1 n （2+n ）1!）!z n 的收敛半径为（B ．e z dz,其中C 为正向圆周｜z|= 5C ．z dz,其中C 为正向圆周｜z|=1 c sinzD ．coszdz,其中C 为正向圆周｜z|= 2cz-1映射w =z 2 + 2z 下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（下列映射中，把角形域0argz保角映射成单位圆内部|w|<1的为（10．11．12．13．14． 15． 16． 17． 18． 19．20．设 C 为正向圆周|z|=1，则积分 dz 等于（ ） c | z | A ．0 B ．2πi C ．2π设函数 f （z ）=z e d，则 f （z ）等于（ ）D ．－2πA ．ze z + e z +1B ．ze z +e z -1C ．- ze z + e z -1D ．ze z - e z +1设积分路线 C 是帖为 z=-1到 z=1 的上半单位圆周， A ．2 +i B ． 2- i C ． z + 1 则 z +21 c z 2 -2- idz 等于（ D ． -2 +i的收敛区域为（ ）A ．0|z| + B ． |z| + C ． 0 |z| -1 D ．|z| 1sin （z - ）z = 是函数 f （z ）= 3的（3 3z-A ． 一阶极点B ．可去奇点C ． 一阶零点D ．本性奇点A ． 3 阶极点B ．4 阶极点C ．5 阶极点D ．6 阶极点A ． 0B ．1C ．2D ． ＋设 Q (z )在点 z=0 处解析，f(z) = Q(z) z(z-1),则 Res[f(z),0]等于(A ． Q （0）B ．－Q （0）下列积分中，积分值不为零的是（ ） A ．（z 3 +2z +3）dz,其中C 为正向圆周｜z-1|=2 C ．Q ′（0） D ． －Q ′（0）A ．|z +1|12B ．|z +1|12 C ．| z | 12D ．|z|12z 4 + 1 A ．w = z z 4+-11z 4－1B ．w = B w = z 44z 4－i C ．w =C w =z 4＋iD ．4 z 4 + i w =44幂级数 n-1第二部分非选择题(共60 分)二、填空题(本大题共 10 空，每空 2 分，共 30 分) 不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
总复习题(复变)
《复变函数与积分变换》总复习题一、填空1. =+-4)i1i 1(。
2. 2z 1lim 1+z →∞= 。
3. 已知虚数8z 3=，则=+++22z z z 23 。
4. i 31z 1+-=，i 1z 2+-=，=21z argz 。
5. =+3)i 31( 。
6. 区域就是 。
7. 函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充分必要条件是：)y ,x (u 和)y ,x (v 在D 内任一点iy x z +=可微，而且满足柯西—黎曼方程即 。
8. 如果函数)z (f 在0z 及其邻域内处处可导，则称)z (f 在0z 。
9. 没有重点的连续曲线C ，称为 曲线（或若尔当曲线）。
10. 复平面加上无穷远点称为 。
11. 若()f z 在0z 不解析，则称0z 为()f z 的 。
12. 如果函数()f z 在单连通域D 内处处解析，那么()f z 沿D 内的任意一条封闭曲线C 的积分()Cf z dz =⎰Ñ 。
13.+=lnz Lnz 。
14. 如果二元实函数)y ,x (ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程0yx 2222=∂∂+∂∂ϕϕ，则称)y ,x (ϕ为区域D 内的 。
15. 复变函数)y ,x (iv )y ,x (u )z (f +=在区域D 内解析的充要条件为：在区域D内，)z (f 的虚部)y ,x (v 是实部)y ,x (u 的 。
16. 3i2e-的辐角主值为 。
17. 一个解析函数在圆心处的值等于它在 上的平均值。
18. 如果函数)z (f 在单连通域B 内处处解析，那么函数)z (f 沿B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为_____________________。
19. 设函数)z (f 在区域D 内解析，且)z (f 不是常数，则在D 内)z (f 最大值。
20. 在区域D 内解析的函数，若其模在D 的内点达到最大值，则此函数必恒为 。
全国高等教育自学考试复变函数与积分变换真题与答案
全国2011年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设复数z 1cos i sin 33ππ=++，则arg z=（ ） A.-3π B.6πC.3πD.23π2.w=z 2将Z 平面上的实轴映射为W 平面的（ ）A.非负实轴B.实轴C.上半虚轴D.虚轴3.下列说法正确的是（ ）A.ln z 的定义域为 z>0B.|sin z|≤1C.e z ≠0D.z -3的定义域为全平面4.设C 为正向圆周|z|=1，n Csin zdz z ⎰=2π i ，则整数n 为（ ）A.-1B.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z|=2，则2Czdz z ⎰=（ ）A.-2πiB.0C.2πiD.4πi6.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=2C sin 6d (z)πςςς-⎰，则f′(1)=（ ）A.-3i 36π B.3i 36π7.设nn n 0a z∞=∑n n n 0b z ∞=∑和n n n n 0(a b )z ∞=+∑的收敛半径分别为R 1，R 2和R ，则（ ）A.R=R 1B.R=min{R 1,R 2}C.R=R 2D.R≥min{R 1,R 2}8.罗朗级数nn n 1n 0n 01z z 2∞∞-==+∑∑的收敛域为（ ） A.|z|<1 B.|z|<2C.1<|z|<2D.|z|>29.已知sinz=n 2n 1n 0(1)z (2n 1)!+∞=-+∑，则Res 4sin z,0z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（ ）A.1B.-13!C.13! D.15!10.整数k≠0，则Res[cot kz, π]=（ ） A.-1k B.0 C.1kD.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）请在每小题的空格中填上正确答案。
复变函数与积分变换自考试题
全国2008年7月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1．设z =i +-11，则z 为（ ） A ．21i +- B ．21i -- C ．21i - D ．21i + 2．下列集合为有界闭区域的是（ ） A ．0< arg (z+3)≤2π B ．Re (z -i )<1 C ．1≤Im z ≤2D ．1≤i z -≤4 3．Ln(-4+3i )的主值是（ ）A ．ln5+i (-π-arctg 34) B ．ln5+i (π-arctg 34) C ．ln5+i (-π-arctg 43) D ．ln5+i (π-arctg 43) 4．正弦函数sin z=（ ）A ．i e e iz iz 2--B ．2iz iz e e --C ．i e e iz iz 2-+D ．2iziz e e -+ 5．复积分⎰i iz dz e 0的值是（ ）A ．-（1-e -1）iB ．e -1iC ．（1-e -1）iD ．-e -1i6．复积分⎰=---21i z z iz e dz 的值是（ ）A ．e i B ．e -i C ．2πie i D ．2πie -i 7．z =0是函数2zcos 1z -的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一阶极点 D ．二阶极点 8．Res []1,ctg z π=（ ）A ．-π1 B ．π1 C ．-2i D ．2i 9．3z =ω把Z 平面上区域0<θ<π映射成W 平面上的区域（ ）A ．-3π<ϕ<0B ．-3π<ϕ<0 C ．0<ϕ<3π D ．0<ϕ<3π 10．函数f(t)=π2122t e -的傅氏变换[])(t f 为（ ） A ．2ω-e B ．22ω-e C ．22ωe D ．2ωe 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
拉普拉斯逆变换
21拉氏逆变换1、用留数方法求下列函数)(s F 的拉氏逆变换: (1) abs b a s ss F ++-=)()(2; 【解】 由于b s a s ==,是sts F e )(的一级极点, 且有ba a a sb a s s a s F atst st-==+-=e )(2e ],e )(Res[;ba b b s b a s s b s F btst st--==+-=e )(2e ],e )(Res[,故有)]([)(1s F t f -=L],e )(Res[],e )(Res[b s F a s F st st +=ab b a a b b b a a btat bt at --=---=e e e e . …………………………………………………………………………………………………………… (2) )9)(4()(22++=s s ss F ; 【解】 由于i s i s 3,2±=±=是sts F e )(的一级极点, 由Heaviside 展开式, 有)]([)(1s F t f -=Lis s s s i s s s s stst 2264e 2264e 33-=++=+=i s ss s i s s s s stst 3264e 3264e 33-=++=++)3cos 2(cos 51t t -=. ……………………………………………………………………………………………………………(3) 22)1(12)(+-+=s s s s s F ; 【解】 由于0=s 是st s F e )(的一级极点, 1-=s 是sts F e )(的二级极点, 且有1)1(12lim ]0,e )(Res[220-=+-+=→s s s s s s F s st; t t s st t s s s s s s F ---→+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=-e 2e 2)1(12)1(lim 1],e )(Res[2221, 故有)]([)(1s F t f -=L1e 2e 2-+=--t t t . (4)22)4(1)(s s s F -=.【解】 由于2±=s 是sts F e )(的一级极点, 0=s 是sts F e )(的二级极点, 且有16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F =--=→; 16e )4(e )2(lim ]2,e )(Res[2222tst s sts s s s F --→-=-+=-; 4)4(e lim ]0,e )(Res[2220ts s s s F sts st -='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→, 故有)]([)(1s F t f -=L42sh 81tt -=.……………………………………………………………………………………………………………2、利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏逆变换: (1) 221)(a s s F -=;【解】 因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=a s a s a a s s F 11211)(22, 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==--a s a s a s F t f 1121)]([)(11LL⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--a s a a s a 1211211 1 L L ()at at a--=e e 21. ……………………………………………………………………………………………………………(2) 22e 1)(ss F s-+=; 【解】 由于sss s F 222e 11)(-+=, 且有2e 1 ,]1[22121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---t s t ss L L, 所以22)]([)(1-==-t s F t f L .……………………………………………………………………………………………………………(3) 222e )(as s s F s+=-; 【解】 由于at as scos ][221=+-L,故利用延迟性质, 有)2(cos )]([)(1-==-t a s F t f L.……………………………………………………………………………………………………………(4) 221ln )(ss s F -=. 【解】 由于)1(21ln )(222-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='s s s s s F , 故有2e e )]([1-+='--t t s F L.根据微分性质, 有=-)(t tf 2e e )]([1-+='--t t s F L,因此, 有tt t s F t f tt ----==e e 2)]([)(1L. ……………………………………………………………………………………………………………。
7月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析试卷及答案解析
1全国2018年7月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共30分)1.已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为( )。
A. 2+iB. -2+iC. 2-iD. -2-i2.方程Re(z+2)=1所代表的曲线是( )。
A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线3.复数z=-(cos 3π+isin 3π)的三角形式是( )。
A. (cos 32π+isin 32π) B. (cos 3π+isin 3π) C. (cos 32π+isin 32π-) D. (cos 3π-+isin 3π-)4.设z=cos(π+5i)，则Rez 等于( )。
A. 2e e 55+-- B. 2e e 55+- C. 2e e 55-- D. 05.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是( )。
A. u,v 在点z 0处有偏导数B. u,v 在点z 0处可微C. u,v 在点z 0处满足C-R 条件D. u,v 在点z 0处可微，且满足C -R 条件6.复数e 3-2i 所对应的点( )。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.设函数f(z)和g(z)均在点z 0处解析，且f(z 0)=g(z 0)=0,g '(z 0)≠0，则)z (g )z (f lim 0z z →等于()。
A. 0 B. )z (g )z (f 00''2 C. 200)]z (g [)z (f '' D. 不存在8.设C ：｜z+3｜=1的正向，则dz i z dz c ⎰-等于( )。
A. 1B. 0C. 2πiD. 12πi 9.级数=∑∞=1n in e是( )。
A. 收敛B. 发散C. 绝对收敛D. 条件收敛10.设C ：｜z ｜=1的正向，则⎰c dz z z cos =( )。
复变函数与积分变换自考题汇总
094 复变函数一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设z =1-i ,则Im(21z )=（ ） A ．-1 B ．-21 C ．21D ．12．复数z =ii-+23的幅角主值是（ ）A ．0B ．4πC ．2πD ．43π 3．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（ ） A ．1-2πI B ．)22(πn π-I C ．1+)i π(n π22- D ．1+i π(n π)22+4．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（ ） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =1 5．积分⎰=2i iπzdz e （ ）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π2 6．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（ ）A ．i π23-B ．i π3-C ．i π43 D ．i π23 7．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（ ） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π8．点z =0是函数)1(sin )1()(2--=z z ze zf z 的（ ）A ．可去奇点B ．一阶极点C ．二阶极点D ．本性奇点9．函数)3)(2()(-+=z z zz f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为（ ）A ．z ＜2B ．1-z ＜2C ．z ＜3D ．1-z ＜310．设)1(sin )(2z z zz f -=,则Res[f (z ),0]=（ ）A ．-1B ．-21 C ．21 D ．1二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11．复数-1-i 的指数形式为__________.12．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 13．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________. 14．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-Czdz z e 12__________. 15．函数)1(1)(2z z z f -=在圆环域0<z <1内的罗朗展开式为__________. 16．设)1()(1-=ze z zf ,则Res[f (z ),0]=__________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17．（本题6分）将曲线的参数方程z =3e it +e -it（t 为实参数）化为直角坐标方程.18．（本题6分）设C 是正向圆周⎰+-=-C zdz z z e z .23,2112计算19．（本题6分）求0)2)(1()(=-+=z z z zz f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域.20．（本题6分）求)2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<z <2内的罗朗展开式.21．（本题7分）计算z =(1+i )2i的值. 22．（本题7分）设v (x ,y )=arctan)(),0(z f x xy>是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ).23．（本题7分）设C 是正向圆周2=z ，计算.)1(2dz z z e I C z⎰-=24．（本题7分）设C 是正向圆周1=z ，计算⎰+=C dz zz I .2sin )1(2四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
复变函数及积分变换重要知识点归纳
复变函数复习要点(一)复数的观点 1.复数的观点：z x iy ， x, y 是实数 , x Re z , yIm z .i 21.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 .2.复数的表示 1）模： zx 2 y 2 ；2）幅角 ：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
3） arg z 当 x与 arctan y之间的关系以下：xy0, arg z arctan；y 0,arg z arctany当 x 0, x ；yy 0,arg zarctanx4）三角表示 ： z z cosi sin，此中arg z ；注：中间必定是“ + ”号。
5）指数表示 ： z z e i ，此中arg z 。
(二) 复数的运算1.加减法 ：若 z 1 x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则 z 1 z 2x 1 x 2 i y 1 y 22.乘除法 ：1）若 z 1x 1 iy 1, z 2 x 2 iy 2 ，则z 1z 2 x 1 x 2 y 1 y 2 i x 2 y 1 x 1 y 2 ；z 1x 1 iy 1x 1iy 1 x 2 iy 2x 1x 2 y 1 y 2 y 1 x 2y 2x 1 。
z 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2 x 2 iy 2x 22 y 22iy 22x 22）若 z 1 z 1 e i 1 , z 2 z 2 e i 2 , 则2i12； z 1 z 1i 12z 1z 2 z 1 z 2 ez 2z 2 e3.乘幂与方根1） 若 zz (cos i sin )z e i ，则 z n ni sin n )nz (cosnz e in 。
2） 若 zz (cosi sin )z e i，则n12k2k（有 n 个相异的值）nz zcosni sinn( k 0,1,2n 1)（三）复变函数1．复变函数： w f z ，在几何上能够看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G 的映照 .2．复初等函数1）指数函数 ： e ze x cos y isin y ，在 z 平面到处可导，到处分析；且 e ze z 。
复变函数与积分变换
复变函数与积分变换2002年4月21.复数z=4+48i 的模|z|= . 22.设z=(1+i)100，则Imz= .23.设z=e 2+i ，则argz= . 24.f(z)=z 2的可导处为 . 25.方程lnz=π3i 的解为 . 26.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C+=? . 27.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分ez z i dz zCπ()-=2.28.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sin πζζζ3-?z d C，其中|z|<2，则'=f ()1 .29.幂级数n nznnn !=∞∑1的收敛半径为 .30.函数f(z)=1111115zz z [()]+++++在点z=0处的留数为 .31.求u=x 2+2xy -y 2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 32.计算积分I=z z z dz C+?||的值，其中C 为正向圆周|z|=2.33.试求函数f(z)=ed z-?ζζ2在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.34.计算积分I=ez i z i dzzCπ()()-+?223的值，其中C为正向圆周|z -1|=3. 35.利用留数求积分I=co s x xxdx 42109+++∞的值.2002 071. (5分)复数Z 满足|Z|=2及|Z-2|=2,求Z.2. (4分)解方程Z 4+i=0.3. (8分)已知解析函数f(Z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=x 3-3xy 2,并且f ′(i)=0,求f(Z).4. (6分)将函数f(Z)=1)-Z(Z 1在下列圆环域内展开为罗朗级数：(1) 0<|Z-1|<1, (2) 1<|Z|<∞ 5. (7分)求函数f(Z)=42Z Z1-在各个奇点处的留数.1. (6分)计算积分?C2sinZ1)-(Z 1，C 为正向圆周|Z|=2.2. (7分)计算积分dxx1ax cos 2+∞∞-+. (a>0)6用拉氏变换解微分方程：y ″+2y ′+2y=e -t ,y(0)=0, y ′(0)=0 2003 04 22. 设z cos 2z1z)z (f 22+-=. (1)求f(z)的解析区域，（2）求).z (f '23.设f(z)=x 2-2xy-y 2-i(x 2-y 2).求出使f(z)可导的点, (2)求f(z)的解析区域. 24.设z=x+iy,L 为从原点到1+i 的直线段.求.dz )iyy x (L 2++25.计算积分?+-i30.dz )3z 2( 26.设C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分I=?2z.dz )2z (z e27.将函数f(z)=)i z (z i 2+在圆环0<|z|<1内展开成罗朗级数.28.将函数f(z)=ln(3-2z)在点z=0处展开为泰勒级数，并求其收敛半径29．利用留数定理计算积分I=?∞+∞->+).0a ()a x(dx x 222230.试求一函数w=f(z),它将Z 平面上的区域0<argz<< p="">2π保角映射成W 平面上的单位圆域|w|<1，且使z=1+i ，0分别映射成w=0,1. 31.已知f(t)=??≤<其他1t 0,0,1,试求下列函数的付氏变换： (1)e -2t f(t),(2)sin2t ，(3)g(t)=e -2tf(t)+3sin2t.2003 072.(5分)求z 4+3-i=0的根.3.(7分)解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=3x 2y-y 3,求f(z). 4.(6分) 将函数f(z)=3z 12z 13)2)(z -(z 5+--=+.在2<|z|<3内展开成罗朗级数. 5.(7分)求函数f(z)= z)-(z2)-(z 122在各孤立奇点处的留数.1.(8分)给定积分?-C2xdz)2z (z e.试就下列不同情形，写出此积分的值：(1)C 为正向圆周|z|=1， (2)C 为正向圆周|z-2|=1, (3)C 为正向圆周|z|=3. 2.(6分)计算积分 J=dx ) 9x)(1x(x cos 22+∞∞-++.3.(6分)函数W=1z 1-z +将右半平面Rez>0映射为W平面上的什么区域?4.(4分)设F 〔f(t)〕=F(ω)，(1)F 〔f(t-t 0)〕=__________.t 0∈R.(2)F 〔f(at)〕=__________.a ∈R,a ≠0 (3)若F 〔f(t)〕=e -ω2,问F 〔f(2t-3)〕=__________. 5.(6分)用拉氏变换解下列微分方程：y ″+3y ′+2y=2e -3t ,y(0)=0, y ′(0)=12004 0419．若C为正向圆周|z -3|=2，则=+?dz iz 1C.21．求出复数z=4)i 31(+-的模和辐角.22．设z=x+iy ，满足Re(z 2+3)=4，求x 与y 的关系式24．求积分I=dzz3z 2C-的值，其中C 为从-2到2的上半圆周. 25．设C 为正向圆周|z|=R(R ≠1)，计算积分I=dz ) 1z (zeC3z-.26．求幂级数∑∞=1n n3n zn2的收敛半径.27．将函数f(z)=2z11+在区域2<|z-i|<+∞内展开成为罗朗级数. 28．讨论f(z)=3zz sin 的孤立奇点. 若为极点，求极点的阶数.29．利用留数计算积分I=?+∞∞-+dx)1x(x cos 2.31．（1）求sint 的拉氏变换 [sint]；（2）设F(p)= [y(t)]，若函数y(t)可导，而且y(0)=0，求 [)t (y ']；（3）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题==+'0)0(y t sin y y 2004 0721.设复数z 满足arg(z+2)=3π，arg(z -2)=65π,试求z. 22.设f(z)=2z1z ++2e z cosz ，(1)求f(z)解析区域；(2)求)z (f '.23.已知u(x,y)=x 2-y 2,求v(x,y)使f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在复平面解析.24.计算积分dz |z |z z c-的值，其中C 为｜z ｜=1正向圆周. 26.求积分dzaze c22z+,其中c:｜z ｜=b 正向，且b>｜a ｜.27.在z=0邻域将函数f(z)=z1ez-展为泰勒级数，并求收敛半径. 28.将函数f(z)=)2z )(1z (1--在圆环1<｜z ｜<2内展开成罗朗级数. 29.利用留数定理计算积分I=θθ+θπd cos b a sin202(a>b>0).30.设Z 平面上的区域为D ：Im(z)>1,|z|<2；试求下列保角映射:(1)ω1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上区域D 1：0<<="">3π;(2)ω=f 2(ω1)把 D 1映射成W 平面上上半平面G ：Im(ω)>0;(3)ω=f(z)把D 映射成G .2005 0421．求方程cosz=5在复平面上的全部解. 22．讨论函数w=xy-x+iy 2的可导性，并在可导点处求其导数.23．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=?-C33dz )2z (ze.24．设C 为从0到1+2i 的直线段，计算积分I=?C zdz Re .25．(1)将函数z1在点z=-1处展开为泰勒级数；(2)利用以上结果，将函数f(z)=2z1在点z=-1处展开为泰勒级数. 26．求函数f(z)=)1e ()1z (1z2--的全部孤立奇点.若为极点，则指出其阶数. 27．将函数f(z)=)2z )(1z (1--在圆环域1<|z|<2内展开为罗朗级数. 28．设f(z)=5z 2ze.(1)计算Res[f(z),0] (2)利用以上结果，计算积分I=?Cdz )z (f , 其中C 为正向圆周|z|=1.29．(1)求f(z)=16zz 42+在上半平面内所有的孤立奇点，并说明它们的类型；(2)计算f(z)在上半平面内各个孤立奇点的留数；(3)利用以上结果计算广义积分I=?+∞+042dx 16xx .30．设D 为Z 平面上的带形域0<imz<="">(1)w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面上的带形域0<π；<="" p="">(2)w 2=f 2(w 1)把带形域0<="" p="">(3)w=f 3(w 2)把W 2平面的上半平面映射成单位圆盘|w|<1；(4)综合以上三步，求保角映射w=f(z)把D 映射成单位圆盘|w|<1. 31．(1)求cost 的拉氏变换F [cost](2)设F(p)=F [[y(t)], 其中函数y(t)可导，而且y(0)=0.求F [[)t (y '].(3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题==-'0)0(y tcos 2y y 2005 0721.设复数.z )i 19991998)(i 20001999()i 20001999)(i 19991998(z ，求-+-+=22.讨论yix xy 22+=ω的可导性与解析性. 23.计算复积分?=++1|z |23z 2zdz .24.设)2(f }2z ||z {z d zcos )z (f 23π''<∈ξ-ξξ+ξ==ξ，求，.25.求函数6z 5z1)z (f 2+-=在z=1处的泰勒展开式.26.将+∞<<--=|z |2)2z )(1z (1)z (f 在内展开为罗朗级数.27.求函数)e 1(z z cos )z (f z2-=的所有孤立奇点，并指出类型（对于极点要指出阶数）. 28.用留数计算实积分?πθθ+=.d cos 31I29.设f (z)在区域D 内解析，且Ref(z)=Imf(z)，证明f (z)在D 内必为常数.30.设D 为z 平面上的带形区域0<rez<π，试求以下保角映射：< p="">（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域0<π；<=""> （2）ω2=f 2(ω1)把带形区域0<π映射成ω2平面的上半平面；<="">（3）ω=f 3(ω2)把上半平面0<π映射成|ω|<2；<="">（4）综合以上三步，求保角映射ω=f(z)把D 映射成圆域|ω|<2.31.利用拉氏变换解常微分方程的初值问题：='==+'+''-1)0(y )0(y e y 3y 4y t2006 0421.求方程z 3+8=0的所有复根.22.设u=x 2-y 2+xy 是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f ′(z)并将它表示成z 的函数形式. 23.设v=e axsiny ，求常数a 使v 成为调和函数.24.设C 为正向圆周|z|=1，计算积分+-=C2.dz )2z )(21z (z sin I25.计算积分?-=C3zdz )a z (eI ，其中C 为正向圆周|z|=1，|a|≠1.26.(1)求z1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； (2)求2z1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式.27.求f(z)=ln z 在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径. 28.计算积分?+-=C2dzz)i 1(z1I ，其中C 为正向圆周|z|=2. 29.（1）求)4z)(1z(1)z (f 22++=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分+∞∞-++=)4x)(1x(dxI 22.30.设D 是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射：（1）w 1=f(z)把D 映射为第Ⅱ象限D 1，且f(1)=0；（2）w 2=g(w 1)把D 1映射为第Ⅰ象限D 2；（3）w=h(w 2)把D 2映射为上半平面D 3；（4）求把D 映射为D 3的保角映射w=F(z). 31.求函数)t (f 3)t (2-δ的傅氏变换，其中≤>=-.0t ,00t ,te )t (f t2006 0722.已知调和函数u=(x-y)(x 2+4xy+y 2)，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.23.设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值. 24.求积分?++-Cdziz 22z 3I ）（＝的值，其中C:|z|=4为正向. 25.求积分?-C4zdzz3eI ＝的值，其中C:|z|=1为正向.26.利用留数计算积分?=+-=2|z |4zdz)4z )(1z (eI .27.将函数0z )2z )(1z (1)z (f =++=在展开为泰勒级数.28.将函数)1z (z 1)z (f -=在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数. 29.（1）求2z2i z4e)z (f +=在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分?+∞∞-+=.dx 4xx 2cos I 230.设D 是Z 平面上的带形区域：10<imz<10+π，< p="">试求下列保角映射：（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<π；<="">（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的上半平面D 2：Im ω2>0；（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的单位圆域D 3：|ω|<1，且f 3(i)=0；（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D 映射成单位圆域D 3.31.(1)求e -t 的拉氏变换F [e -t ]；(2)设F(p)=F [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F [y ′(t)]、F [y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=1，求F [y ′(t)]、F [y ″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：='==-'+''-1)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t2007 0417求z =（-1+i ）6的共轭复数z 及共轭复数的模|z |. 18．设t 为实参数，求曲线z=re it +3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程. 19．设C 为正向圆周|z|=1，求I=dz ze cz ?21. 20．求)2)(1(1)(--=z z z f 在z =0处泰勒展开式.21 求方程sin z +cos z =0 的全部根. 22设u=e 2xcos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z).23．设C 为正向圆周|z-i |=21,求I =?+c z z dz)1(2.24设C 为正向圆周|z|=1，求I=?Cz dz ze 5.25．（1）求f(z)=12+z z 在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求f(z)e iz 在以上奇点的留数；（3）利用以上结果，求I=?+∞∞-+dx x x x 1sin 2.26．设D 为Z 平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射：（1）w 1=f 1(z)把D 映射成W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）w=f 2(w 1)把D 1映射成W 平面的第一象限；（3）w=f(z)把D 映射成W 平面的第一象限. 27．求函数3f(t)+2sint 的付氏变换，其中 f(t)=??>≤1||,01||,1t t .2007 0722.已知调和函数v=arctg xy ,x>0，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.23.设f(z)=x 2+axy+by 2+i(-x 2+2xy+y 2)为解析函数，试确定a ，b 的值. 24.求积分I=?+Cdz zi 的22值，其中C ：|z|=4为正向.25.求积分I=?+Czdz )i z (e 的42值，其中C ：|z|=2为正向.26.利用留数计算积分I=?Czsinzdz ，其中C 为正向圆周|z|=1.27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z 的泰勒级数. 28.将函数f(z)=()22+z z 在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数. 29．（1）求f(z)=ize zz 21+在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分I=?+∞∞-+x d x1xsinx 2.30.设D 是Z 平面上的带形区域：1<rez<1+π，求下列保角映射：< p="">（1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<π；<="">（2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的带形区域D 2：0<π；<="">（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的上半平面D 3：Im ω>0；（4）综合以上三步，求把D 映射成D 3的保角映射ω=f(z).31.(1)求e t 的拉氏变换L [e t ];(2)设F （p ）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y ′(t)]、L[y ″(t)]存在，且y(0)=0，y ′(0)=0，求L [y ′(t)]、L [y ″(t)]; (3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：='==+'-''.)(y ,)(y e y y y t00002 2008 0417设)2)(1(--=i i i z （1）求z 的实部虚部；（2）求z 的模；（3）指出z 是第几象限的点. 18．设iy x z +=.将方程1Re ||=+z z 表示为关于x ,y 的二元方程，并说明它是何种曲线.19．设)()(2323y cx y i bxy ax z f +++=为解析函数，试确定a,b,c 的值.20．设),(),()(y x iv y x u z f +=是解析函数，其中xy x y y x u 2),(22--=，求),(y x v .21．求)2)(4(2)(---=z z z f 在圆环域3|1|1<-<="" p="" 内的罗朗级数展开式.="">z f -=11sin)(的幂级数展开式为∑∞=0n n n z a ，求它的收敛半径，并计算系数a 1,a 2.23．设C 为正向简单闭曲线，a 在C 的内部，计算I =.)(213dz a z zeiz C-?π24．求)(1)(3i z z z f -=在各个孤立奇点处的留数.25．利用留数计算积分?+∞∞-++=dxx x xI )9)(1(222.26．设D 为Z 平面上的扇形区域.1||,3a r g 0<<<="">（1）)(11z f w =把D 映射为W 1平面的上半单位圆盘D 1；（2）)(12w f w =把D 1映射为W 平面上的第一象限；（3）)(z f w =把D 映射为W 平面上的第一象限. 27．求函数2224(4)(-+=p p p F 的拉氏逆变换.2008 0717用θcos 与θsin 表示θ5cos ． 19．计算积分I=dzix y x c+-)(2，其中C 为从0到1+i 的直线段． 20．将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．21）函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？22．计算积分I=dzz z c+-)1()1(122，其中C 为正向圆周x2+y2-2x=0.23利用留数计算积分I=?-czdzz e21(，其中C 为正向圆周z=2．24将函数)1(1)(2-+=z z z z f 在圆环域0<z< p=""><1内展开为罗朗级数．25．（1）求1)(242++=z z zz f 在上半平面内的所有孤立奇点．（2）求)(z f 在以上各孤立奇点的留数（3）利用以上结果计算积分I=dxx x x+∞∞-++1242． 26．设Z 平面上区域D ：z<2且iz ->1．试求以下保角映射: （1）)(11z f =ω把D 映射成W1平面上的带形域D1：41<2<="">1;（2）)(122ωωf =把D1映射成W2平面上的带形域D2：0<="">)(23ωωf =把D2映射成W 平面上的区域D3：Im ω>0;（4）综合以上三步，求保角映射)(z f =ω把D 映射成Im ω>0.27.（1）求sint 的拉氏变换（sint ）；（2）设F （p ）=[])(t y ，其中函数)(t y 可导，且1)0(-=y ,求[])(t y '.（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：?-==+'1)0(sin y ty y2009 0417．将曲线的参数方程z =3e it +e -it （t 为实参数）化为直角坐标方程.18设C 是正向圆周?+-=-Czdz z z ez .23,2112计算19．）求0)2)(1()(=-+=z z z zz f 在处的泰勒展开式，并指出收敛圆域. 20．求)2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1<2内的罗<="" p=""> 朗展开式 .21．）计算z =(1+i )2i 的值. 22．设v (x ,y )=arctan)(),0(z f x xy >是在右半平面上以v (x ,y )为虚部的解析函数，求f (z ). 23．设C 是正向圆周2=z ，计算.)1(2dz z z eI Cz-=24设C是正向圆周1=z ，计算+=Cdz z z I .2sin)1(225．（1）求221)(2+-=z z z f 在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；（2）求出iz e z f )(在以上奇点处的留数；（3）利用以上结果，求积分+∞∞-+-=.22cos 2dx x x x I26．设D 为Z 平面上的带形区域：0<imz<π.求以下保角映射：< p="">（1）w 1=f 1(z )将D 映射成W 1平面的上半平面D 1；（2）w =f 2(w 1)将D 1映射成W 平面的单位圆盘D 2∶|w |<1;（3）w =f (z )将D 映射成W 平面的单位圆盘D 2∶|w |<1.27．求函数t e t t f t 3sin 5)1(3)(22-++=的拉普拉斯变换.2009 0717.)求解方程z 4+16=0。
复变函数与积分变换21
例如, 考察函数 w = z2.令 z = x+iy, w = u+iv , 则 u+iv = (x+iy)2 = x2-y2+i2xy ,
因而函数 w = z2 对应于两个二元函数: u = x2-y2, v = 2xy
在以后的讨论中, E常常是一个平面区域, 并且, 如无 特别声明, 所讨论的函数均为单值函数.
解： w f (z z) - f (z) z z 2 - z 2
z
z
z
(z z)( z z) - z z z (z 0) f (0) 0
z
z 0:
取z x 0
w2
O
x
w1 w3
u
w1 -1
w2 -3 4i
w3 1
• 假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的 集合E, 函数值集合为w平面上的集合G, 则G中的每个点w必将对应着E中的一个 (或几个)点. 按照函数的定义, 在G上就确
定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称
为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z) 的逆映射.
而将 x 固定，将其看作 y 的函数，对 y 求导， 所获得的函数就叫 f(x,y)对 y 的偏导数，记作 f 。当然上面的说法必须是在相应的偏导数 y 存在的情况下。
例: 设二元函数f(x,y)=x2sin2y, 则
f 2xsin 2 y x f 2x2 cos 2 y y
iv)微分的概念 设函数w=f(z)在z0可导, 则有
定义2.3
如果 lim zz0
f
(z)
f (z0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
为映射 w f (z)的逆映射.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数的极限与连续
1.函数极限的定义: 设函数 w f (z) 定义在 z0 的去心邻域
0 z z0 内, 如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应地必有一正数 ( ) 使得当0 z z0 (0 )时,有 f (z) A
第一节 解析函数
一、复变函数的概念 二、复变函数的极限与连续 三、解析函数 四、小结与思考
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、复变函数的概念
1.复变函数: 设 G 是一个复数z x iy 的集合. 如果有一
个确定的法则存在, 按这个法则, 对于集合G 中的 每一个复数z, 就有一个或几个复数w u iv 与 之对应, 那末称复变数w 是复变数z 的函数(简称 复变函数), 记作 w f (z).
如果G中的点 z 被映射 w f (z)映射成G * 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
两个映射的实例:
(1) 函数 w z 构成的映射.
将 z 平面上的点z a ib 映射成 w 平面上
的点 w a ib.
而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
机动 目录 上页 下页 返回 结束
这个映射通常简称为由函数 w f (z) 所构成的映射.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5. 映射 对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v
和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
映射的定义: 如果用z 平面上的点表示自变量z 的值,
y
A
B z1 2 3i
Co
x
z2 1 2i
C A
v
w2 1 2i
o
u
B w1 2 3i
z1 w1, z2 w2 , ABC ABC.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)函数 w z2 构成的映射.
显然将 z 平面上的点z1 i, z2 1 2i, z3 1 映射成 w平面上的点w1 1, w2 3 4i, w3 1.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4. 复变函数与自变量之间的关系: 复变函数 w 与自变量 z 之间的关系w f (z) 相当于两个关系式:
u u( x, y), v v( x, y),
它们确定了自变量为 x 和 y 的两个二元实变函数. 例如, 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 :
以原点为焦点,开口向左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为 : v2 4 2( 2 u),
以原点为焦点,开口向右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6. 反函数的定义: 设 w f (z) 定义集合为z 平面上的集合G,
函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末G *中的 每一个点w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在G * 上就确定了一个单值(或多值)函数
那末称 A 为 f (z)当 z 趋向于 z0 时的极限. 记作 lim f (z) A. (或 f (z) zz0 A)
zz0
注意: 定义中 z z0 的方式是任意的.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 极限计算的定理
定理一
设 f (z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.单(多)值函数的定义: 如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末
我们称函数 f (z) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或两个以上
w 的值, 那末我们称函数 f (z) 是多值的.
3.定义集合和函数值集合: 集合 G 称为 f (z)的定义集合(定义域) ; 对应于G 中所有 z 的一切 w 值所成的集合G*, 称为函数值集合.
y
zz31o z2
x
w2
v
w1 o
w3
u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)函数 w z2 构成的映射.
根据复数的乘法公式可知,
映射 w z2 将 z 的辐角增大一倍.
y
v
o
x
2
o
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
u x2 y2, v 2xy.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1 求函数 f (z) x2 2i 在闭单位圆盘|z|1上的值域. 解 因为f (z)对应的两个二元实变函数为
u x2,
v 2.
当 z 在闭单位圆盘|z|1上变化时， u 在0与1之间变化，
v 为常数2. 因此值域为w =2i到 w =1+2i 之间的线段.
(如下页图)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)函数 w z2 构成的映射.
将第一图中两块阴影部分映射成第二图中
同一个长方形.
y
v
o
x
o
u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2)函数 w z2 构成的映射.
直线 x 的象的参数方程为: u 2 y2, v 2y. ( y 为参数) 消去参数 y 得 : v2 42(2 u),
z0
x0
iy0
,
那
末
lim
zz0
f
(z)
A的充要条件是
lim
(2)函数 w z2 构成的映射.
函数 w z2 对应于两个二元实变函数 :
u x2 y2, v 2xy.
它把 z 平面上的两族分别以直线 y x 和坐 标轴为渐近线的等轴双曲线
Hale Waihona Puke x2 y2 c1, 2 xy c2 ,
分别映射成w 平面上的两族平行直线
u c1, v c2 .