空间谱估计基本原理

阵列模型的二阶统计特性
统计分析的假设条件：

信号源为窄带远场、零均值平稳随机信号，与阵元噪声相 互独立；


阵元为各向同性的，无互耦和通道不一致性；
噪声以零均值加性高斯分布，为平稳随机过程，各阵元间 噪声相互独立，空间平稳（各阵元噪声方差相等）； 信号源数小于阵元的数目N＜M，信号的快拍数大于阵元 数L ＞M。
i 1
N
将M个阵元在特定时刻的接收信号写成矩阵的形式，且假设各阵元是各 向同性的且通道一致、无互耦影响，gij =1
N N j01i g ( ) s t s ( t )e 1i 1i i i i i 1 i 1 x1 (t ) n1 (t ) N N x (t ) n (t ) s (t )e j0 2 i g ( ) s t 2i i i 2i 2 i 2 i 1 i 1 N xM (t ) nM (t ) N g ( ) s t s (t )e j0 Mi Mi i i Mi i 1 i i 1 e-j011 e-j012 e-j01 N s1 t n1 (t ) -j0 21 -j0 22 -j0 2 N s t n ( t ) e e e 2 2 -j0 M 1 -j0 M 2 -j0 MN n ( t ) e e e sN t M X (t ) AS (t ) N (t )
性，也影响了两个子空间的正交性。 实质上，整个问题变成了在有色噪声环境中，对相关信号源做目标参

数估计的问题。

常规波束形成器
a H ( ) Ra( ) PCBF = H a ( )a( )
三、多重信号分类算法 (MUSIC)及其性能
1. 经典MUSIC算法（独立信号）

数据协方差矩阵的最大似然估计及其特征矢量矩阵
空间谱估计基本原理 MUSIC，ESPRIT算法
提纲

空间谱估计概述
阵列的数学模型及其统计特性 多重信号分类算法（MUSIC）及其性能
旋转不变子空间算法（ESPRIT）及其性能
一、空间谱估计概述
阵列信号处理
将多个传感器布置在空间的特定位置组成传感器阵列，接收
空间信号场中的信号，利用各个信号在空间位置上的差异，最大 程度地增强所需要的信号，同时抑制干扰和噪声或不感兴趣的信



空间谱估计的研究现状

优化算法，减小运算量，提高精度
算法的实用化系统 模型有偏差时的DOA估计
多维空间谱估计
二、阵列的数学模型 及其统计特性
估计系统结构
信号的数学模型
假设N个远场窄带信号入射到空间某阵列上，该阵列由M个阵元组成， 信号的复包络形式为
si (t ) ui (t )e j(0t (t )) j(0 ( t ) ( t )) s ( t ) u ( t )e i i
理论上，利用信号子空间和噪声子空间估计参数是一致的，但实际应用 时两者估计性能有差别 ,90 ] ,180 ] 线阵的信号参数搜索范围为 [- 90鞍 ，而面阵的范围为 [- 180鞍

随着扫描角度的变化，当导向矢量属于信号子空间时，Q是一个趋于 零的值，而当导向矢量不属于信号子空间时， Q是一个不为零的值， 所以，P在信号源方向上会产生很尖的“谱峰”，而在其他方向上相 对平坦

阵列输出数据的协方差矩阵
R E{XX H} AE{SS H}AH E{NN H } ARS AH RN
RS， RN分别为信号协方差矩阵和噪声协方差矩阵。对于空间理想的白噪 声且噪声功率为σ 2，则上式变为
R ARS AH RN ARS AH 2 I
M
对R进行特征分解有
空间谱估计的发展及现状

时域谱估计的简单空域扩展，常规波束形成法（CBF）

时域的非线性谱估计方法推广为空间谱估计方法，谐波法, MEM,
Capon法，线性预测类算法。20世纪70年代 现代超分辨测向技术，特征分解类算法: MUSIC, ESPRIT 20世纪70年代末，转折点，基本算法。1986年3月IEEE Trans. AP专刊集中了研究成果 子空间拟合类算法，以最大似然参数估计为基础，ML, WSF， 1983年 相干源估计的预处理算法，空间平滑类, 矩阵重构类, 非降维处理

信号子空间与噪声子空间正交，且有
AH ei = 0
H H H H USUS + U NU N = I , U SU S = I , U NU N = I
具体实现中，数据协方差矩阵是用采样协方差矩阵的代替的
L 1 ˆ = å XX H R L i= 1

数据协方差矩阵的最大似然估计

实际采样数据是有限长度的，影响了模型的假设，改变了数据的相关


MNM算法，最小模算法
H T ˆ ˆ ˆ ˆH ˆ ˆH ˆ U ˆH ˆH - 1 W=U MNM = arg min a ( )U NU NWU NU N a ( ), N N u0 (u0 U NU N u0 )

加权MUSIC各算法仿真
0 MVM-Music -20 -40
0 MNM-Music -20
ui (t ) ui (t ) (t ) (t )
si (t ) ui (t )e j(0 (t ) (t )) si (t )e j0
以阵列的某一阵元为参考阵元，则第l个阵元接收通道的信号为
xl (t ) gli si (t li ) nl (t ) l 1, 2,, M
自适应阵列处理(空域自适应滤波，自适应波束形成)
研究在控制主瓣方向的同时自适应地抑制干扰的方法。
空间谱估计(方向估计,
角度估计 , 测向, DOA估计)
研究空间阵列处理系统对感兴趣的空间信号的多种参数进行准确估
计的方法。表示信号在空间各个方向上的能量分布。
超(高)分辨谱估计
能分辨一个波束宽度内的空间不同来向的信号，突破了“瑞利限”。
1 yk sin i c
阵元的位置 ( xk , yk )(k 1, 2,, M )
信号入射方位角和俯仰角 (i ,i )(i 1, 2,, N )
1 ki ( xk cos i cos i yk sin i cos i ) c
r 为圆半径
骣 r骣 2π (k - 1) ÷ 琪 ç τ ki = çcos ç - θi ÷ cos υ i÷ ÷ ÷ ç cç 桫 桫 M
MUSIC算法仿真，线阵，三个信号源
平面阵两个信号源的MUSIC估计
俯视图
2. 加权MUSIC算法（独立信号），约束最优化问题

是MUSIC的推广形式
H ˆ ˆ U ˆ HWU ˆ U ˆ Ha( ) = arg min a ( ) U WMUSIC N N N N


MVM算法，最小方差算法
0 2 πf 2π
c

可见，一旦求得阵元间的延迟τ就会得到导向矢量阵A。
( x cos cos y sin cos z sin )
1 c
阵元的位置 xk (k 1, 2,, M )
信号入射方位角 i (i 1, 2,, N )
ki
R UΣU i ei eiH , U [e1 eM ], Σ diag{1 , 2 ,M }
H i 1
特征值满足关系
1 2 N N 1 M 2
定义 ΣS diag[1,, N ], ΣN diag[N 1,, M ] 2 I 相对应的特征向量矩阵为
-40
-60
-60
-80 -100 -120 -140 -160 -100
P/dB
-80 -100 -120
-80 -60 -40 -20 0 jiao du 20 40 60 80 100 -140 -100

H N
H ˆ U ˆ Ha( ) a ( ) U N N ˆ MUSIC = arg min a H ( )a( )
而定义MUSIC算法的空间谱为
1 PMUSIC = H ˆ U ˆ H a ( ) a ( )U N N
a H ( )a( ) PMUSIC = H ˆ U ˆ H a( ) a ( )U N N
n1 (t ) n (t ) 2 n ( t ) M
A为导向矢量阵（阵列流形矩阵），导向矢量为
exp( j0 1i ) exp( j ) 0 2i ai i 1, 2, , N exp( j ) 0 Mi
H - 1 - 1 ˆ ˆ U ˆ HWU ˆ U ˆH = arg min a ( ) R a ( ), R = U MVM N N N N


MEM算法，最大熵算法
H - 1 - 1 1/2 ˆ ˆ U ˆ H )- 1 R- 1u = arg min a ( ) R u ( R u ) a ( ), W = ( U MEM 0 0 N N 0
阵列信号处理的技术或算法
自适应阵列处理
通过一定布置的空间阵元对空间信号场进行采样，然后经加权相加 处理得到期望的输出结果。
空间谱估计
通过一定布置的空间阵元对空间信号场进行采样，利用阵列接收数 据的相关性对其进行数学分解，将其划分为相互正交的信号和噪声子空 间，利用两个子空间的正交性构造出空间谱函数。
H H U N ] = U S Σ SU S + U N Σ NU N
由US张成的信号子空间，由UN张成的噪声子空间
S = span{e1 e2 eN }, N = span{e1 e2 eN }

由入射信号的导向矢量张成空间与信号子空间为同一个空间
S = span{e1 e2 eN } = span{a1 a2 aN }
L 1 ˆ = å XX H , U ˆ , U ˆ R S N L i= 1
由于噪声的存在，导向矢量与噪声子空间不能完全正交，即
ˆ ? 0 Q = aH ( )U N
因此，实际DOA估计是以最小优化搜索实现的，即
ˆ ˆ ˆ MUSIC = arg min a ( )U NU a ( )
H
应用MUSIC算法应注意的问题

非理想情况下，协方差矩阵的特征值满足下式，不能判断信号源数
1 2 N N 1 M

H H 根据性质 USUS + UNUN = I ，有
1 PMUSIC = H ˆU ˆH a ( )( I - U S S )a ( )
号，达到提取各个空间信号源信号及其特征信息和参数的目的。
阵列信号处理实质上是提高阵列输出的信噪比。 特征信息和参数一般包括：空间信号源的方向、数目、信号 的频率、相位、调制形式及波形等。
阵列信号处理具有的优点

Hale Waihona Puke Baidu
灵活的波束控制 较高的信号增益


较强的干扰抑制能力
很好的空间分辨能力
阵列信号处理的两个主要研究方向
US [e1 e2 eN ], UN [eN 1 eN 2 eM ]
数据协方差矩阵可分为两部分
R=
邋 e e
i= 1
N
H i i i
M
+
j= N + 1
ee =
H j i i H
邋 e e
i= 1
N
H i i i
+
2
M j= N + 1
ei eiH
= [U S

U N ]Σ [U S