7.1 定积分的微元法

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第一节_定积分的微元法(大专)

第一节_定积分的微元法(大专)定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础。

定积分的微元法是定积分的一种重要解法方法。

定积分的定义是：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内是有界的，那么将该区间分成许多小区间，每个小区间长度为 $ \triangle x $，并在每个小区间内任取一点 $x_i$，则当小区间宽度趋近于 0 时，Riemann和 $\sum f(x_i)\triangle x$ 的极限称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x) dx$。

定积分的微元法可以简化定积分的求解过程，实现求解和计算的快速精确。

定积分的微元法公式是：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\limits_{i=1}^{n} \triangle x_i \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \triangle x_i \approx \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x$$其中，$n$ 为区间 $[a,b]$ 被分成的小区间的数量，$\triangle x_i$ 为每个小区间的宽度，$\xi_i$ 为每个小区间中任意一个点的值，$x_i$ 是每个小区间的左端点。

根据定积分的微元法公式，我们可以将要求解的区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，记作$[x_0,x_1], [x_1,x_2], …, [x_{n-1},x_n]$。

在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中取一点 $x_i$，则定积分的值可以近似表示为：$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x_i$$其中，$\triangle x_i = x_i - x_{i-1}$，即小区间的宽度。

定积分的应用之微元法

定积分应用的微元法：定积分应用的微元法
) (一在区间 [a,b] 上任取一个微小区间 [x, x + dx] ，然后写出值，为在个这小区上的分 ∆F 的似，记 dF = f (x)dx (称 F 间部量近值为的微元) 的微元);
[ 上积分（无限累加） d ，即得（二）将微元 F 在a,b] 上积分（无限累加）即得，
各部分量之和，各部分量之和，即F = ∑F . i
上的分布是不均匀的， (2) 所求量 F 在区间 [a,b] 上的分布是不均匀的，比. 也是说 F 的与就，值区间 [a,b] 的不正 .（则长成比否的得，了）话 F使初方，用等法即求，勿可得而需用分法）积方了 .
y = x2 , 得交点（解方程组 2 得交点（0，0）及（1，1）. y = x,
选择积分变量，写出面积微元， (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可习惯上 x 均可，取竖条，取为积分变量，围为[0 [0，，取竖条即 x 为积分变量，变化范，围为， [0 1]， 1]，于是 2
n i=1
第三步：写出整体量 F 的近似值，F = ∑∆F ≈∑ f (ξi )∆xi ；的近似值，第三步： i
i=1
n
第四步：极限，第四步：取λ = max{∆xi } →0时的∑ f (ξi )∆xi 极限，则得
i=1
n
F = lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx .
b
a b
y
y = f ( x)
y y = f ( x)

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究
定积分是微积分中的一种重要概念，微元法是求解定积分的一种方法。

微元法的核心思想是将被积函数表示为微元的积分形式，并对微元进行求和，从而得到积分的结果。

微元法的应用广泛，涉及到面积、体积、质量、重心、平均数等多个问题。

本文将对微元法及其应用进行研究。

微元法的基本思想是将被积函数表示为微元的积分形式。

具体而言，对于一元函数
f(x)，可以将其表示为f(x)dx，其中dx表示微元。

以f(x)dx为被积函数，进行定积分，可以得到积分结果。

微元法的实质是将区间[a, b]分割成无穷多个小区间，然后对每个小区间内的微元进行求和。

具体而言，对于[a, b]区间的一个小区间[x, x+dx]，可以得到该小区间内的微元积分结果为f(x)dx。

然后对所有小区间的微元积分进行求和，即可得到整个区间[a, b]的定积分结果。

微元法广泛应用于求解面积、体积、质量、重心、平均数等问题。

以求解面积为例，考虑平面上的曲线y=f(x)与x轴之间的面积。

可以将该面积表示为∫f(x)dx的形式。

将区间[a, b]分割成无穷多个小区间，对每个小区间内的微元面积进行求和，即可得到整个曲线所围成的面积。

求定积分的方法总结

求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。

它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。

本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。

2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。

通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。

例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。

常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。

根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。

3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。

它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。

微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。

常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。

一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。

在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。

例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。

通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。

4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。

它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。

牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。

牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。

但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。

定积分求旋转体的体积

高等数学之——
7.1.3 定积分求旋转体的体积
第七章定积分的应用
第一节定积分在几何上的应用
第三讲定积分求旋转体的体积
主要内容：一、旋转体的概念
二、平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
三、平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
四、小结
引入：
一、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而
2
1
1 e4 e2 2
V b[ f (x)]2 dx a
y
y ex
1
o x=1 x=2 x
练习求由抛物线 y x2、直线 x 2 及 x 轴所围成平面图形绕 x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A: 32
5
B: 16
5
C: 8
5
解选A
D: 64
（3）V
Байду номын сангаас
b
[
f
(x)]2 dx

b y2dx
a
a
xx x dx
例1 求由曲线 y ex，直线 x 1, x 2以及 x 轴所围成的平面图
形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解
V

2

1

f
x2dx

2

ex
2
dx
1
1 e2x 2
D: 1 e2 1 2
解选C
四、小结
1. 平面图形绕 x轴旋转所得旋转体的体积
V b [ f (x)]2 dx b y2dx
a
a
2. 平面图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积

微元法与定积分的应用

如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA

( x2
-
x1 )dy

( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y

4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的平均速度．
解因为自由落体的速度为 v = gt，所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解因为图形关于 x 轴、y

7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积

面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
O
a 1 x1 2 x2
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A
b
a
f
x dx
y = f(x)

7.1 微元法的基本思想

4
7.1 微元法的基本思想
按定义建立积分式有四步曲:
“分割、取近似、求和、取极限 ”, 得到
I f ( x )dx lim f ( i )xi 0
a
i 1
b
n
(1)
有了牛顿-莱布尼茨公式后, 这个复杂的极限运算问题得到了解决. 对应用问题来说关键就在于如何写出被积表达式.
f ( x )dx , 即
I f ( x )dx .
( 2) I a f ( x ) dx
这种简化了的建立积分式的方法称为微元法
b
或元素法.
6
7.1 微元法的基本思想
曲边梯形面积的积分式也可以用微元法建立如下.
设曲边梯形是由y = f (x), 直线x = a, x = b与x
轴围成. 在[a, b]上任取一小区间
8
7.1 微元法的基本思想
思考题
何为定积分的微元法？微元法使用的条件和程序是怎样的?
9
xxfd?ba简化步骤求出或1即dxxfdxxfi??在ab上任取一小区间xxdxxxdx上所求量i的近似值也是它的微分微元法71微元法的基本思想7oxyabxfy??xxxd??这个小区间上所对应的小曲边梯形面积得曲边梯形面积的积分式也可以用微元法建立如下
第7章
y
定积分的应用
y f ( x)
O a
y
y f ( x)
[ x, x dx], 这个小区间上所
对应的小曲边梯形面积近似地等于长为f (x)、宽为dx 的小矩形面积, 故有
O
a
x x dx b
b

x
面积微元 dA f ( x )dx 得

定积分的基本公式和运算法则

定积分的基本公式和运算法则定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际应用中都有着广泛的用途。

那咱们就来好好聊聊定积分的基本公式和运算法则。

先来说说定积分的基本公式。

这就好比是我们在数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开很多难题的大门。

比如，牛顿-莱布尼茨公式，这可是个相当重要的家伙。

它告诉我们，如果函数 F(x) 是函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么定积分∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a) 。

这就像是找到了一个直接通往答案的捷径，让复杂的计算变得简单了许多。

再谈谈定积分的运算法则。

加法法则就像是搭积木，两个函数的定积分之和等于它们分别定积分的和。

比如说，∫[a,b] [f(x) + g(x)]dx =∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx 。

这就好像你有两堆糖果，要算它们加起来的总数，分别算出每一堆的数量再相加就好啦。

还有乘法法则，这个稍微有点复杂，但也不难理解。

就像是做乘法运算一样，只不过是在定积分的世界里。

给大家讲个我曾经遇到的事儿吧。

有一次我给学生们讲定积分的运算，有个学生怎么都搞不明白。

我就拿分糖果打比方，假如有一堆糖果，我们要按照不同的规则来分配，这就好比是不同函数的定积分运算。

然后我一步一步地带着他分析，最终他恍然大悟，那种开心的表情让我也特别有成就感。

在实际应用中，定积分的这些公式和法则用处可大了。

比如计算图形的面积、计算物体的体积、求解物理问题等等。

就拿计算图形面积来说吧，通过定积分，我们可以把不规则的图形分割成很多小的部分，然后利用公式和法则算出每一部分的面积，最后加起来就得到了整个图形的面积。

这就像是拼图，一块一块地拼起来，最终呈现出完整的画面。

再比如在物理中，计算变力做功的问题。

力不是恒定的，而是随着位置或者时间变化的，这时候定积分就派上用场啦。

通过对力函数进行积分，就能算出力在一段距离或者一段时间内所做的功。

总之，定积分的基本公式和运算法则是我们解决各种数学和实际问题的有力工具。

高数增长速度口诀

高数增长速度口诀一天晚上，我碰到一个学生在散步，感觉时间过得真快。

学生们说，如果舒高有一个公式，他们应该已经去了研究生院，并成为成功的学徒。

互笑两声。

经过一些时间的整理，赶在开学前夕，助力挺过疫情的千万学子，莫挂在那棵数（树）上。

1.1 函数有理稠密且有序，全体实数连续性，邻域概念用的多，各种表示需谨记，函数概念已扩充，三种表示均等价，若有界、不唯一，单调性、分区间，奇偶注意定义域，函数周期不唯一。

1.2 初等函数反解莫忘定义域，单调区间方可反，基本初等有五类，幂指对和两三角，一层一层又一层，复合注意定义域，定义了双曲函数，三角函数也差不多。

1.3 数列的极限大学数列无穷项，任意存在来定义，结论倒推反解 n，中间插入以放缩，收敛数列必有界，反之不一定成立，极限存在则唯一，同时具有保号性，原收敛、子列同，子列散、原发散。

1.4 函数的极限无穷极限分正负，倒推反解再梳理，左右等、极限有，唯一有界且保号，子序列，收敛，往往被证明没有极限。

1.5 无穷大与无穷小动态理解无穷小，条件状语莫忽视，相乘相加需有限，有界乘之等于零，无穷大、则无界，无界未必无穷大，两个量相互纠缠，相互转化有神奇的效果。

1.6 极限运算法则若有意义直接代，加减乘除有定理，遇到分式最麻烦，上下同除巧转化，分子有理经常用，高中公式常看看。

1.7 极限存在准则，两个重要极限夹逼准则靠放缩，具体尺度需拿捏，单调有界有极限，转化方程求极限，重要极限凑结构，一步一步慢慢来。

1.8 无穷小的比较高低阶数各不同，只因速度有差异，齐头并进等价量，代换计算效率高，若要两者来相减，十有八九两泪流。

1.9 函数的连续与间断定义连续用极限，左右连续与连续，左右均连第一类，不等跳跃等可去，至少一侧不存在，无穷震荡第二类。

1.10 连续函数的运算与性质加减乘除仍连续，反函数、需单调，复合注意定义域，作用仍是求极限，函数闭区间连续，有最值、且有界，端点异号有零点，天地之间皆可取，一致连续必连续，反之不一定成立。

定积分微元法讲解

其中 ( ) 在[ , ]上具有连续导数.
x
y
( (
) cos ) s in
( )
ds (dx)2 (dy)2 2( ) '2 ( )d ,
弧长 s 2( ) '2 ( )d .
x
例求 y costdt 的全弧长. 2
解
y=y(x)的定义域为
[
2
,
2
即 du f (x)dx
3）以所求量U 的微元 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
微元法求面积
一、直角坐标系情形
的面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
A 2 1 a2 (1 cos )2 d 20 3 a2. 2
例 6 求双纽线 r 2 a2 cos 2 所围平面图形的面积.
解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
A 4A1
A 4 4 0
1 a2 cos 2d
0
a [2 1 4 2 ln(2 1 4 2 )]
2
微元法求体积
一、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.
oa
bx
设立体介于x=a,x=b之间,
A( x) 表示过点 x且垂直于 x轴
个端点，在弧上插入分点

定积分的应用之微元法

(3)将 A 表示成定积分，并计算
A
1
(
0
x

x2
)dx

2 3
3
x2

1 3
x3

1
1 3.
0
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
在区间 [a,b] 上点 x 处垂直 x 轴的截面面积为
A(x) πf 2 (x).
在 x的变化区间[a,b] 内积分，得旋转体体积为
V π b f 2 (x)dx. a
y
类似地，由曲线 x (y) ，直线
y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积（如下
dA 1 r 2 ( )d ,
2
将dA在[ , ]上积分,便得曲边
扇形面积为

A 1 r2 ( )d . 2
O
r r(θ)
d
x
例 4 计算双纽线r 2 a2 cos 2 (a 0) 所围成的图形的面积（如下图所示）.
y
θ π4
ax O
解由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，
3

π 3
(1
2 cos
1
cos 2
)d

9
0
2
2
π
π2(1 cos 2 )d
3
π
π

3
2

定积分中微元法及其应用研究

定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法是微积分学中的一种重要的计算方法，也是学习定积分时必须掌握的
一种技巧。

定积分中微元法是将复杂的积分分解成许多微小的量求和，从而简化计算过程，得到准确的积分结果。

定积分中微元法的应用非常广泛，可以用于求解各种物理学和数学学科中的积分，如
物理学中的力学、统计学、微观世界和宏观世界等领域中的问题，以及数学学科中的微积分、概率论等领域中的问题。

在实际的应用中，人们通过适当的选择微元量，可以将问题
转化为更加简单的形式，从而得到更加准确的计算结果。

例如，在力学中，可以用微元法求解质点在一定距离的位移，并计算出它所受的位移
的功。

在物理学中，可以通过微元法来估计物体受到重力的作用力，并将其应用于天体力学、引力场和时间等领域。

在统计学中，可以利用微元法求解分布函数、概率密度函数和
概率质量函数中的积分等。

在微积分领域中，可以用微元法来帮助推导和证明很多公式和
定理，如柯西-瑟朗定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式等。

定积分中微元法的成功应用离不开数学分析的不断发展，尤其是微积分学的发展。

在
微积分学中，微元法被广泛运用于极限理论、导数和积分理论中，并且在不断推动它的发
展和应用。

微元法不仅极大地提高了求解积分的准确度，也使得用计算机来进行复杂的积
分计算成为可能。

最后，要注意的是，在应用定积分中微元法时，必须要注意选取合适的微元量，以确
保计算的准确性和可靠性。

同时，还要注意在计算过程中的误差和误差的传递，以得到更
加精确的答案。

微元法及定积分的几何应用

定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学问题，例如计算流体流动的速度场和压力场。
感谢您的观看
THANKS
微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过定积分建立描述自然现象和社会现象的数学模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)

《定积分的微元法》课件

THANK YOU
感谢各位观看
稳定性
对于某些函数，微元法的计算可能不稳定，而数值积分方法通常具有较好的稳定性。
与解析积分的比较
适用范围
解析积分方法适用于可以找到原函数的积分，而微元法适用于无法找到原函数的积分。
计算复杂度
解析积分方法通常需要找到原函数，这可能涉及到复杂的数学运算，而微元法的计算相对简单。
精度
对于可以找到原函数的积分，解析积分方法通常给出精确解，而微元法可能只给出近似解。
计算体积
总结词
利用微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出旋转体体积。
详细描述
在计算旋转体体积时，首先将旋转体进行分割，每个小区域近似为一个圆柱体。然后，根据微元法的思想，将每个小圆柱体的体积乘以相应的函数值，并求和得到总体积。
计算长度
总结词
通过微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出曲线长度。
解决物理、工程等领域中的复杂问题，如电磁场、流体动力学等。
微元法的计算步骤
确定积分区间和被积函数。
将所有小区间的贡献相加，得到整体的解。
将每个小区间的代表点上的函数值乘以小区间的长度$Delta x$，得到该小区间的贡献。
将积分区间划分为若干个小区间，每个小区间的长度为$Delta x$。
定积分的几何意义
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积。
02
当函数图像在x轴上方时，定积分为正；在x轴下方时，定积分为负；与x轴相交时，定积分为零。
02
微元法的基本思想
微元法的概念
微元法是一种将复杂问题简化的数学方法，通过将整体划分为若干个微小的单元，对每个单元进行单独处理，再求和得到整体解。

定积分的几何应用

第一节定积分的几何应用⏹一、定积分的微元法⏹二、用定积分求平面图形的面积⏹㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积⏹㈡、在极坐标系下求平面图形的面积⏹三、用定积分求体积⏹㈡、旋转体的体积⏹四、平面曲线的弧长一、定积分的微元法微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法.定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积).采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值.其中第二步是关键.下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);ii i x f A ∆≈∆)(ξ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积)分为部分量(小曲边梯形面积）之和;A i A ∆求曲边梯形面积的四个步骤:∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);∑=→∆=n i i i x f A 10)(lim ξλ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累加”, 即从到的定积分.这个方法通常称为微元分析法,简称微元法.a b x 其中形式与积分式中的被积式具有相同的形式.如果把用替代, 用替代, 这样上述四个步骤简化为两步：x x f d )(i x ∆i i x f ∆⋅)(ξi ξx d 第二步找到面积微元求定积分.x x f d )(第一步选取积分变量并确定其范围；x [,]a b⏹概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题, 一般可通过微元法得到解决．⏹操作步骤：⑴建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间；⑵找到相应的微元；⑶以此微元作积分表达式,在积分区间上求定积分.由微元法分析：其中面积微元为，它表示高为、底为的一个矩形面积.x x f d )()(x f x d ㈠、在直角坐标系中求平面图形的面积⒈⑴由定积分几何意义可知,当时,由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形的面积为定积分即0)(≥x f )(x f y =()d ba A f x x =⎰b x a x ==,)(b a <x A 二、用定积分求平面图形的面积⑵由定积分几何意义可知,当时,由曲线，直线与轴所围成的曲边梯形的面积A为.()0f x ≤)(x f y =()d b aA f x x =-⎰b x a x ==,)(b a <x )(x f ⑶当在区间上的值有正有负时，则曲线，直线与轴围成的面积是在轴上方和下方曲边梯形面积的差.同样可由微元法分析x ],[b a )(x f y =b x a x ==,x )(b a <其中面积微元为.xx g x f A d )]()([d -=bx a x ==,))()((x g x f ≥),(),(x g y x f y ==⎰-=ba xx g x f A d )]()([⒉一般地，根据微元法由曲线及直线所围的图形（如图所示）的面积为[注意]：曲线的上下位置(),()y f x y g x ==[由微元法分析]：(1)在区间上任取小区间,在此小区间上的图形面积近似于高为,底为的小矩形面积,从而得面积微元为[,]a b ]d ,[x x x +d x xx g x f A d )]()([d -=[()()]f x g x -(2)以为被积表达式,在区间作定积分就是所求图形的面积.[()()]f x g x -[,]a b ⎰-=ba xx g x f A d )]()([类似地,由曲线及直线所围成的平面图形(如图所示)的面积为),(),(y x y x ϕφ==))()((y y ϕφ≥d y c y ==,⎰-=d cy y y A d )]()([φϕd [()()]d A y y yϕφ=-其中面积微元[注意]：曲线的左右位置.(),()x y x y φϕ==利用微元法求面积：例1计算由两条抛物线所围成图形的面积．yx x y ==22,解:⑴作出图形，确定积分变量，解方程组得两条抛物线的交点为(0,0)和(1,1)，则积分区间为[0,1]．（如右图所示）⎩⎨⎧==22xy xyx⑵在积分区间[0,1]上任取一小区间，与之相应的窄条的面积近似地等于高为、底为的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）,从而得面积微元]d ,[x x x +2x x -x d x x x A d )(d 2-=xx x A A d )(d 1210⎰⎰-==31013132323=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=xx求定积分得所求图形面积为解:(方法一)(1) 作图，选定为积分变量，解方程组得两曲线的交点为(1,1)，可知积分区间为[0,1].（如右图所示）⎩⎨⎧-==22)2(x y x yy 例２:求曲线与轴围成平面图形的面积．x 22)2(,-==x y x y(2)在区间[0,1]上任取小区间，对应的窄条面积近似于高为底为的矩形面积，从而面积微元为y y --)2(y y y A d ])2[(d --=yy d )1(2-=[,dy]y y +d y 3201)342(d )1(2231=-=-=⎰y y y y A （3）所求图形的面积为在[0,1]上的微元为在[1,2]上的微元为xx A d d 21=xx A d )2(d 22-=解:(方法二)若选取作为积分变量，容易得出积分区间为[0,2]，但要注意，面积微元在[0,1]和[1,2]两部分区间上的表达式不同（如下图所示）x故所求面积为⎰⎰+=102121d d A A A 122201d (2)d 23x x x x=+-=⎰⎰这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可使问题简化．另外，还应注意利用图形的特点（如对称性），以简化分析、运算．解由右图所示选取为积分变量，记第一象限内阴影部分的面积为，利用函数图形的对称性，1A y 例3求与半圆所围图形的面积．)0(222>=+x y x x y =2⎰--==1221d )2(22yy y A A 3212(2arcsin )0232123y y y y π=⋅-+-=+可得图形的面积为:⏹[步骤]：⏹⑴作草图，确定积分变量和积分限；⏹⑵求出面积微元；⏹⑶计算定积分．⏹[注意]：⏹⑴积分变量选取要适当；⏹⑵合理利用图形的特点（如对称性）.)(βα<即曲边扇形的面积微元为曲边扇形的面积为⎰=βαθθd )]([212r A θθd )]([21d 2r A =㈡、在极坐标系下求平面图形的面积计算由曲线及射线围成的曲边扇形的面积（如下图所示）．βθαθ==,)(θr r =利用微元法，取极角为积分变量，它的变化区间为.在任意小区间上相应的小曲边扇形的面积可用半径为中心角为的圆扇形的面积近似代替，θ],[βα]d ,[θθθ+)(θr r =θd解:取为积分变量,面积微元为于是θ21d ()d 2A a θθ=3222220340232d )(21ππθθθπa a a A =⋅==⎰例４计算阿基米德螺线上对应于从０变到的一段曲线与极轴所围成图形的面积.（右图所示）θγa =)0(>aπ2θ例5计算双纽线所围成的平面图形的面积（下图所示）θ2cos 22a r =)0(>a 解因,故的变化范围是,图形关于极点和极轴均对称．面积微元为21d cos 2d 2A a θθ=02≥r θ]45,43[ππ-24024021cos 2d 4214sin 222a A a aππθθθ==⋅⋅=⎰故所求面积为•设一立体介于过点且垂直于轴的两平面之间，如果立体过且垂直于轴的截面面积为的已知连续函数，则称此立体为平行截面面积已知的立体，如右图所示．,x a x b ==x x[],x a b ∈()A x x ㈠、平行截面面积已知的立体体积．下面利用微元法计算它的体积．()d baV A x x=⎰于是所求立体的体积为d ()d V A x x=即体积微元为[],a b 取为积分变量,它的变化区间为,立体中相应于上任一小区间的薄片的体积近似等于底面积为,高为的扁柱体的体积(右图所示)，()A x d xx [],a b [],d x x x+解：(法一)取平面与圆柱体底面的交线为轴,底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴,建立坐标系.如右图所示此时,底圆的方程为立体中过点且垂直于轴的截面是一个直角三角形.xxxy 222x y R+=x例6一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角(如下图)，计算这个平面截圆柱所得立体的体积.R α它的两条直角边的长度分别是及即及于是截面面积为y 22R x -tan y α22tan R x α-221()()tan 2A x R x α=-故所求立体的体积为223231()t a n d212t a n t a n 233RRVRx xx R R xRRααα-=-⎛⎫=-=⎪-⎝⎭⎰(法二)取坐标系同上（下图所示），过轴上点作垂直于轴的截面,则截得矩形,其高为、底为,y y ytan y α222R y -22()2tan A y y R yα=⋅-从而截面面积为于是所求立体的体积为220222232223()d 2tan d tan d().2tan ()032tan 3RR RV A y yy R y yR y R y R R y R αααα==⋅-=---=-⋅-=⎰⎰⎰从而,所求的体积为㈡、旋转体的体积应用定积分计算由曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而形成的立体体积（下图所示）,x a x b==()yf x =x x x 取为积分变量,其变化区间为,由于过点且垂直于轴的平面截得旋转体的截面是半径为的圆,其面积为x x[],a b ()f x []2()()A x f x π=[]2()d ()d bbaaV A x x f x xπ==⎰⎰该旋转体的体积为类似地,若旋转体是由连续曲线,直线及轴所围成的图形,绕轴旋转一周而成(下图所示),()x y ϕ=,y c y d ==y y ()2d dc V y y πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰解：如右图所示,所求体积例７求由曲线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.(0)xy a a =>,2x a x a==x x 22222d d 1212aa a a V y x a xx a a a x a ππππ=⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⎰⎰例8求底圆半径为高为的圆锥体的体积．h r 解以圆锥体的轴线为轴，顶点为原点建立直角坐标系（下图所示）过原点及点的直线方程为．此圆锥可看成由直线及轴所围成的三角形绕轴旋转而成，(,)P h r r y xh=x h =ry x h =x x x故其体积为220023220d d 133hhhr V y x x xh r x r h h ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭=⋅=⎰⎰设有一条光滑曲线弧,现在计算它的长度（称为弧长）．()()y f x a x b =≤≤s所谓光滑曲线是指曲线在上连续，在内各点存在不垂直于轴的切线，并且切线随切点的移动而连续转动；即在上连续，在内连续．()y f x =[],a b (,)a b x[],a b ()f x ()f x '(,)ab 四、平面曲线的弧长以为积分变量，相应于上任一小区间的一段弧长可用曲线在点处切线上相应小段直线的长度来近似代替（如上图所示）．x [],a b [,]x x dx +s MN ∆=MT (,())x f x 切线上小段直线的长度为因而弧长微元（也称为弧微分）为从到积分得()222(d )d 1()d x y y x'+=+2d 1()d s y x'=+[]221()d 1()d b b aas y x f x x''=+=+⎰⎰a b例9求曲线的长．233d x y t t -=-⎰解函数的定义域为，故于是23,3,3y x ⎡⎤'-=-⎣⎦且22d 1()d 4d s y x x x'=+=-332234d 24d s x x x x-=-=-⎰⎰233002sin 22cos 2cos d 8cos d x tt t t t tππ=⋅⋅=⎰⎰3144(sin 2)3.23t t ππ=+=+()t αβ≤≤若曲线弧由参数方程给出，其中在上具有连续导数，则弧微元为从而，所求弧长为{()()x t y t ϕψ==(),()t t ϕφ[,]a β[][]22d ()()d s t t tϕψ''=+()22[][()]d as t t tβϕψ''=+⎰AB例10求曲线上相应于从到一段的弧长（其中）．(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-0t =t π=0a >d at t=解因为，所以从而()cos ,()sin x t at t y t at t''==()()2222d [()][()]d cos sin d s x t y t t at t at t t''=+=+220d 22ta s at t aπππ===⎰第二节定积分在的物理学中的应用一、变力作功二、液体的压力设一物体受连续变力的作用,沿力的方向作直线运动,求物体从移动到,变力所作的功（如下图所示）.()F x a b ()F x 由于是变力,因此这是一个非均匀变化的问题.所求的功为一个整体量,在上具有可加性,可用定积分的微元法求解.()F x [,a b 、变作在上任一小区间.由于是连续变化的,当很小时变化不大可近似看作常力,因而在此小段上所作的功近似为在上的功微元.因此,从到变力所作的功为()F x [,]a b d ()d W F x x =a b ()d ba W F x x =⎰[,]ab [,d ]x x x +d x ()F x[析]：这个电场对周围的电荷有作用力，由库仑定律知，位于轴上距原点米处的单位正电荷受到的电场力大小为（牛顿），其中为常数．x x 2()q F x k x=k 例1把电量为+ （库仑）的点电荷放在轴原点处,形成一个电场,当这个单位正电荷在电场中从处沿轴至处时,求电场力对它所作的功（下图所示）．q x x a =(x b a =<x解取为积分变量，其变化区间为，功微元为于是功为x [,]a b 2d ()dd q W F x x k x x ==211d ()b b a q kq W k x kq x a b x==-=-⎰解建立坐标系，如右图所示.取深度为积分变量，其变化区间为[0,5]，x 例2一圆柱形的贮水桶高为５米，底圆半径为３米，桶内盛满了水．试问要把桶内的水全部吸出，需作多少功？功微元所求的功为d 98009d 88200d W x x x xπ=⋅=5025088200d 8820023462000W x x x ππ==⋅≈⎰二、液体的压力由物理学可知,在深为处液体的压强为,其中是液体的密度，（牛顿／千克）.如果有一面积为的平板，水平地放置在液体中深为处，则平板一侧所受的压力为h p g h ρ=⋅⋅h A F P A g h Aρ=⋅=⋅⋅⋅9.8g =ρ⏹如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上式计算平板一侧所受到的压力，须用定积分求解．下面举例说明．例3一个横放的半径为的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为．计算桶的圆形一侧所受的压力．R解建立坐标系，如右图所示取为积分变量，它的变化区间为．则压力微元为x [0,]R 22d 2d F g x R x x ρ=⋅-得所求压力()()2201222220322232d d()20323R R F gx R x x g R x R x R g R x gR ρρρρ=-=---=-⋅-=⎰⎰。