湖南师大附中2021届高三月考试题(七)数学(理)

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湖南师大附中2025届高三月考数学(三)试卷及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学时量:120分钟满分:150分一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合{}0,1,2,3的真子集个数是()A .7B .8C .15D .162.“11x -<”是“240x x -<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知角α的终边上有一点P 的坐标是)4,3(a a ,其中0a ≠,则sin2α=()A .43B .725C .2425D .2425-4.设向量a,b 满足+=-=a b a b ,则⋅a b 等于()A .B .2C .5D .85.若无论θ为何值,直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x y m -=总有公共点,则m的取值范围是()A.1m ≥B .01m <≤C .05m <<,且1m ≠D .1m ≥,且5m ≠6.已知函数()2f x 的图象关于原点对称,且满足()()130f x f x ++-=,且当()2,4x ∈时,()()12log 2f x x m =--+,若()()2025112f f -=-,则m 等于()A .13B .23C .23-D .13-7.已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上,且AB =11A B =()A .1B .4C .7D .1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天,他走进一家酒馆,看见一层层垒起的酒坛,不禁想到:“怎么求这些酒坛的总数呢?”经过反复尝试,沈括提出对于上底有ab 个,下底有cd 个,共n 层的堆积物(如图所示),可以用公式()()()2266n nS b d a b d c c a ⎡⎤=++++-⎣⎦求出物体的总数,这就是所谓的“隙积术”,相当于求数列()()(),11,2ab a b a +++.()()()2,,11b a n b n cd ++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层,小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为()A .2B .6C .12D .20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,则下列正确的是()A .02024a =B .20240120243a a a +++= C .012320241a a a a a -+-++= D .12320242320242024a a a a -+--=- 10.对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值点C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点,抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ,作NM AP ⊥交AB 于点M ,则()A .5OA OB ⋅=-B .直线MN 恒过定点C .点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠D .AB MN选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数12,z z 的模长为1,且21111z z +=,则12z z +=_____.13.在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知5,4a b ==,()31cos 32A B -=,则sin B =_____.14.若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点,2x 是函数()g x =()()3e ln 1e x x ---的一个大于e 的零点,则()122e ex x -的值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)现有某企业计划用10年的时间进行技术革新,有两种方案:贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元,以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年,贷款10年后一次性还本付息(年末结息),若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后,A 方案到期一次性需要付银行多少本息?(2)试比较A B 、两方案的优劣.(结果精确到万元,参考数据:10101.1 2.594,1.259.313≈≈)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为等腰梯形,22AD AB BC ==2=.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段,H 为垂足,并给出严谨的作图过程;(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.已知函数()()e sin cos ,x f x x x f x =+-'为()f x 的导数.(1)证明:当0x ≥时,()2f x '≥;(2)设()()21g x f x x =--,证明:()g x 有且仅有2个零点.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点为12,F F P、为椭圆C 上一动点,设12F PF ∠θ=,当23πθ=时,12F PF ∆.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点(M N M 、在,B N 之间),若Q 为椭圆C上一点,且OQ OM ON =+,①求OBM OBNSS ∆∆的取值范围;②求四边形OMQN 的面积.飞行棋是大家熟悉的棋类游戏,玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时,飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子,直至显示点数不是6点.飞机起飞后,飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中,投掷次数X 的均值()()1(k E X kP k ∞===∑()1lim n n k kP k ∞→=⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎭∑;(2)对于两个离散型随机变量,ξη,我们将其可能出现的结果作为一个有序数对,类似于离散型随机变量的分布列,我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布:(记()()()()()(1211,,mni i i j j j i j i p x p x p x y p y p y p x ξη========∑∑,)j y .)ξη1x 2x ...n X 1y ()11,p x y ()21,p x y ...()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y ...()2,n p x y ()22p y ...⋯⋯...⋯...my ()1,m p x y ()2,m p x y ...(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x ...()1n p x 1若已知i x ξ=,则事件{}j y η=的条件概率为{}j i P y x ηξ===∣{}{}()()1,,j i i j i i P y x p x y P x p x ηξξ====.可以发现i x ηξ=∣依然是一个随机变量,可以对其求期望{}{}()111mi j j i j i E x y P y x p x ηξηξ===⋅===∑∣∣.()1,mj i j j y p x y =∑(i )上述期望依旧是一个随机变量(ξ取值不同时,期望也不同),不妨记为{}E ηξ∣,求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣;(ii )若修改游戏规则,需连续掷出两次6点飞机才能起飞,记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”,1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”,2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”,η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数,求E η.炎德・英才大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷(三)数学参考答案题号1234567891011答案C A C B B D A B BC ACD BC一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合{}0,1,2,3共有42115-=(个)真子集.故选C .2.A 【解析】解不等式240x x -<,得04x <<,解不等式11x -<,得02x <<,所以“11x -<”是“240x x -<”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念,2442sin cos 2tan 24tan ,sin23311tan 25y a x a αααααα======+,故选C .4.B 【解析】()()()22111911244⎡⎤⋅=+--=-=⎣⎦a b a b a b .5.B 【解析】易得原点到直线的距离1d ==,故直线为单位圆的切线,由于直线与双曲线2215x y m -=总有公共点,所以点()1,0±必在双曲线内或双曲线上,则01m <≤.6.D 【解析】依题意函数()f x 的图象关于原点对称,所以()f x 为奇函数,因为()()()133f x f x f x +=--=-,故函数()f x 的周期为4,则()()20251f f =,而()()11f f -=-,所以由()()2025112f f -=-可得()113f =,而()()13f f =-,所以()121log 323m --=,解得13m =-.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为123,4r r ==,过点112,,,A A O O 的截面如图:22222121534,543,1OO OO h OO OO =-==-∴=-=,故选A .8.B 【解析】由题意,得6,6c a d b =+=+,则由()()()772223866b d a b d c c a ⎡⎤++++-=⎣⎦得()()7[26212(6b b a b b a ++++++6)]()762386a a ++-=,整理得()321ab a b ++=,所以773aba b +=-<.因为,a b 为正整数,所以3ab =或6.因此有6,3a b ab +=⎧⎨=⎩或5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩而63a b ab +=⎧⎨=⎩无整数解,因此6ab =.故选B .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A :令0x =,则01a =,故A 错误;对于B :令1x =,则20240120243a a a +++= ,故B 正确;对于C :令1x =-,则012320241a a a a a -+-++= ,故C 正确;对于D ,由()202422024012202412x a a x a x a x +=++++ ,两边同时求导得()20232202312320242024212232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ ,令1x =-,则12320242320244048a a a a -++-=- ,故D 错误.故选BC .10.ACD 【解析】()()32sin ,2sin 2sin 4244f x x g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()0f x =,则,4x k k ππ=-+∈Z ;令()0g x =,则3,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的零点是相同的,故选项A 正确.()f x 的最大值点是()2,,4k k g x ππ+∈Z 的最大值点是32,4k k ππ-+∈Z ,两个函数的最大值虽然是相同的,但最大值点是不同的,故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为2πω可知()f x 与()g x 有相同的最小正周期2π,故选项C 正确.曲线()y f x =的对称轴为,4x k k ππ=+∈Z ,曲线()y g x =的对称轴为5,4x k k ππ=+∈Z ,两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D 正确.故选ACD.设直线AB 的方程为2y tx =+(斜率显然存在),221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩消去x 整理可得2480x tx --=,由韦达定理得12124,8x x t x x +==-,A .22121212124,84444x x y y OA OB x x y y =⋅=⋅=+=-+=- ,故A 错误;B .抛物线C 在点A 处的切线为21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,当2y =-时,11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-,即()2,2N t -,直线MN 的方程为()122y x t t +=--,整理得xy t=-,直线MN 恒过定点(0,0),故B 正确;C .由选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上,点O 除外,故点M 的轨迹方程是()()22110y x y -+=≠,故C 正确;D.222t MN +==,AB =则()2221412222t AB MNt +⎫==+,,m m =≥则12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,设()1,f m m m m =-≥,则()2110f m m=+>',当m ≥,()f m 单调递增,所以()min f m f==,故D 错误.故选BC .三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.1【解析】设()()12i ,,i ,z a b a b z c d c d =+∈=+∈R R ,因为21111z z +=,所以2122111z zz z z z +=.因为11221,1z z z z ==,所以121z z +=,所以()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=,所以1,0a c b d +=+=,所以()()12i 1z z a c b d +=+++=.13.74【解析】在ABC 中,因为a b >,所以A B >.又()31cos 32A B -=,可知A B-为锐角且()sin 32A B -=.由正弦定理,sin 5sin 4A aB b ==,于是()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦.将()cos A B -及()sin AB -的值代入可得3sin B B =,平方得2229sin 7cos 77sin B B B ==-,故7sin 4B =.14.e 【解析】依题意得,1211e e 0x x x --=,即()()12311122e e ,0,e ln 1e 0x x x x x x -=>---=,即()()3222e ln 1e ,e x x x --=>,()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--,()()()()()()211ln 111112212e e ln 1e ,e e ln 1e e x x x x x x x x -+++⎡⎤∴-=--∴-=--⎣⎦,又22ln 1,ln 10,x x >->∴ 同构函数:()()1e e ,0x F x x x +=->,则()()312ln 1e F x F x =-=,又()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+=-+',00,e e 1,e 10x x x >∴>=∴-> ,又()()1e 0,0,x x F x F x +>'>∴单调递增,()()()3122212222e ln 1e e ln 1,e e e ex x x x x x ---∴=-∴===.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】(1)A 方案到期时银行贷款本息为()1010110%26⨯+≈(万元).……(3分)(2)A 方案10年共获利:()()1091.2511125%125%33.31.251-+++++=≈- (万元),……(5分)到期时银行贷款本息为()1010110%25.9⨯+≈(万元),所以A 方案净收益为:33.325.97-≈(万元),……(7分)B 方案10年共获利:()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= (万元),……(9分)到期时银行贷款本息为()()()()101091.11.11110%110%110%17.51.11-++++++=≈- (万元),……(11分)所以B 方案净收益为:23.517.56-≈(万元),……(12分)由比较知A 方案比B 方案更优.……(13分)16.【解析】(1)连接PQ ,有PQ ⊥平面ABCD ,所以PQ CD ⊥.在ACD 中,2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC ∠∠=+-⋅⋅=-.同理,在ABC 中,有222cos AC ABC ∠=-.又因为180ABC ADC ∠∠+= ,所以()1cos ,0,1802ADC ADC ∠∠=∈ ,所以60ADC ∠= ,3AC =故222AC CD AD +=,即AC CD ⊥.又因为,,PQ AC Q PQ AC ⋂=⊂平面PAC ,所以CD ⊥平面PAC .CD ⊂平面PCD ,所以平面PCD ⊥平面PAC .……(5分)过A 作AH 垂直PC 于点H ,因为平面PCD ⊥平面PAC ,平面PCD ⋂平面PAC PC =,且AH ⊂平面PAC ,有AH ⊥平面PCD .……(7分)(2)依题意,22AQ PA PQ DQ =-=.故Q 为,AC BD 的交点,且2AQ ADCQ BC==.所以2222326,333AQ AC PQ PA AQ ===-.过C 作直线PQ 的平行线l ,则,,l AC CD 两两垂直,以C 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则:()()36131,0,0,0,,0,3,0,,,03322D P A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()326232613261,0,0,0,,0,,,,,3333263CD CP AP BP ⎛⎛⎛===-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .设平面PCD 的法向量为(),,x y z =m ,则()0,0,3CD x CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩m m取()0,=-m .同理,平面PAB的法向量)1=-n ,1cos<,3⋅>==m n m n m n ……(14分)故所求锐二面角余弦值为13.……(15分)17.【解析】(1)由()e cos sin x f x x x =++',设()e cos sin x h x x x =++,则()e sin cos x h x x x '=-+,当0x ≥时,设()()e 1,sin x p x x q x x x =--=-,()()e 10,1cos 0x p x q x x ''=-≥=-≥ ,()p x ∴和()q x 在[)0,∞+上单调递增,()()()()00,00p x p q x q ∴≥=≥=,∴当0x ≥时,e 1,sin x x x x ≥+≥,则()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0x h x x x x x x x x x '=-+≥+-+=-++≥,∴函数()e cos sin x h x x x =++在[)0,∞+上单调递增,()()02h x h ∴≥=,即当0x ≥时,()2f x '≥.……(7分)(2)由已知得()e sin cos 21x g x x x x =+---.①当0x ≥时,()()()e cos sin 220,x g x x x f x g x ≥''=++-=-∴ 在[)0,∞+上单调递增,又()()010,e 20g g πππ=-<=->∴ 由零点存在定理可知,()g x 在[)0,∞+上仅有一个零点.……(10分)②当0x <时,设()()2sin cos 0e x x xm x x --=<,则()()2sin 10exx m x '-=≤,()m x ∴在(),0∞-上单调递减,()()01m x m ∴>=,()e cos sin 20,e cos sin 20x x x x g x x x '∴++-<∴=++-<,()g x ∴在(),0∞-上单调递减,又()()010,e 20g g πππ-=-<-=+> ,∴由零点存在定理可知()g x 在(),0∞-上仅有一个零点,综上所述,()g x 有且仅有2个零点.……(15分)18.【解析】(1)设()00,,P x y c 为椭圆C 的焦半距,12122F PF p S c y ∆=⋅⋅,00y b <≤ ,当0y b =时,12F PF S 最大,此时()0,P b 或()0,P b -,不妨设()0,P b ,当23πθ=时,得213OPF OPF π∠∠==,所以c =,又因为12F PF S bc ∆==,所以1,b c ==从而2,a =∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.……(3分)(2)由题意,直线l 的斜率显然存在.设()()1122: 2.,,,l y kx M x y N x y =+.……(4分)1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=,同理,2OBN S x ∆=.12OBM OBN S xS x ∆∆∴= (6))联立()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩,……(8分)()()()22223164121416430,4k k k k ∴∆=-⨯⨯+=->∴>.……(9分)又121212221612,0,,1414k x x x x x x k k-+==>∴++ 同号.()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x kk-⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===+++.()22212122364641616,4,,42143331434x x k k x x k k ⎛⎫>∴=∈∴<++< ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭ .令()120x x λλ=≠,则116423λλ<++<,解得()()11,11,3,,11,333OBM OBN S S λ∆∆⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .……(12分)(3)()1212,,OQ OM ON Q x x y y =+∴++.且四边形OMQN 为平行四边形.由(2)知()12121222164,41414k x x y y k x x k k-+=∴+=++=++,22164,1414kQ k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭.而Q 在椭圆C 上,2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得2154k =.……(14分)∴线段161219357115224MN ==⋅+,……(15分)O到直线MN的距离d == (16))OMQN 574S MN d ∴=⋅=四边形.……(17分)19.【解析】(1)()115,1,2,3,66k P X k k -⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭ ,所以()()215111,1,2,3,,5126666nk n k k k P X k k kP k n =⎛⎫⋅====⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭∑ ,记211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ ,则2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ .作差得:1211111511111111661666666556616nn n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ,所以()16111661,555566556n nn n n k n S kP k S n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+==-+⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑.故()()()116616lim lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞∞∞→→==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑.……(6分)(2)(i ){}E ηξ∣所有可能的取值为:{},1,2,,i E x i n ηξ== ∣.且对应的概率{}{}()()()1,1,2,,i i i p E E x p x p x i n ηξηξξ====== ∣∣.所以{}{}()()()()()111111111,,,nnmn m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫⎡⎤==⋅=⋅= ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣又()()()()21111111,,,nmmnmn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑,所以{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣.……(12分)(ii ){}{}{}12355101,;12,;22,63636E E p E E p E p ηξηηξηη==+===+====∣∣,{}()()5513542122636363636E E E E E ηηξηηη⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣,故42E η=.……(17分)。

湖南省湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期月考卷(七)英语试题(无答案)

湖南师大附中2023届高三月考试卷（七）英语注意事项：1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。

回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效。

3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分听力（共两节, 满分30分）做题时, 先将答案标在试卷上。

录音内容结束后, 你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1. 5分, 满分7. 5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题, 从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后, 你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. £19. 15.B. £ 9. 18.C. £ 9. 15.答案是C。

1. What will the woman do for the man?A. Teach him cleaning skills.B. Find him a new apartment.C. Help him clean his apartment.2. Why does the woman want the man to sign the form?A. To join a club.B. To organize a charity event.C. To go on a trip to the theater.3. When was the show due to start?A. At 8:00 p. m.B. At 9:00 p. m.C. At 11:00 p. m.4. How many courses did Helen take last term?A. Two.B. Four.C. Six.5. What makes the man in good shape?A. Regular exercise.B. A healthy eating habit.C. A strict plan for running.第二节（共15小题；每小题1. 5分, 满分22. 5分）听下面5段对话或独白, 每段对话或独白后有几个小题, 从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣D. {12}x x <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1ab ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（） A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人 B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（） A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x=+，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围． 17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑ （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选选选：本选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A. {}32xx −≤≤∣ B. {32}x x −≤<∣ C. {12}x x <≤∣ D. {12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（）A. ()6,3−B. ()4,2−C. ()2,1−D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（） A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a == 故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤ ()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（） A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⋅+⋅=⋅ =⋅ ，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈， 2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（） A. ()0,1 B. ()(),00,1−∞∪C. [)1,+∞D. ()()0,11,+∞【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．�当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；�当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．��BD ．10. 已知函数()5π24f x x=+，则（）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象 C. ()f x 在区间5π7π,88上单调递增 D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得： 3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ， ()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4， 5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=，所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +−的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞ 【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论. 【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>. 构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞. 故答案为：()()1,01,−∪+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =． 16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ , 【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′ �若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． �若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．�若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17. 已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b = 所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ . 【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=. 直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=. 由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=. 所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解， 22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−− 代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=， 220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t + （2）433774n n P =+⋅−（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新， 12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×，所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−. 【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考历史试题+答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）历史时量：75分钟满分：100分第I卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题意的）1．岭南石峡遗址已发掘64座大小不一的墓葬，出土遗物三千余件。

有出七成套的木作工具石锛和石凿，数百件实战用的石镞、石钺；还有礼器如琮、璧等，玉琮与良渚一带相近。

据此可推断，该遗址A.已出现掌握贵重礼器的祭司阶层B.处于石器时代向国家迈进的阶段C.有直接或间接远距离的商品交换D.农业生产水平得到一定程度发展2．图1、2所示文物均被学界命名为“蜻蜓眼玻璃器”。

据此可知图1古埃及玻璃器（前＋4世纪）图2曾侯乙墓玻璃器（战国）A.社会分工发生了进一步细化B.战国手工制造水平超过古埃及C.玻璃器的生产中心发生转移D.玻璃器是中外文明交流的物证3．《史记·儒林列传》记载，“家人子”（宫侍女）出身的窦太后喜好黄老之学，召辕固生问老子书，辕固生答“家人言耳”太后大怒，命他去刺野猪，幸得景帝帮助才脱困。

这一记载最能印证汉初A.无为而治思想发生动摇B.弃道崇儒思想开始抬头C.社会等级意识仍然强烈D.皇权独尊遭受外戚挑战4．王莽改制，根据周朝办法造大钱，后又相继发行契刀、错刀、宝货等货币，民间仍用五铢钱。

王莽下诏：“敢非井田、挟五铢钱者为惑众，投诸四裔以御魑魅。

”可见当时A.制度变革获得法律保障B.币制由复杂走向简单C.托古改制重视民众基础D.政府的货币信用不足5．《公羊传》记载：“桓何以贵？母贵也。

母贵则子何以贵？子以母贵，母以子贵。

”然而汉武帝却在立幼子为太子后杀其生母，北魏时期道武帝将子贵母死立为定制。

这一转变的目的在于A.提高三纲五常的地位B.促进华夏认同C.推动少数民族封建化D.加强集权统治6．唐太宗审查《氏族志》时，认为山东崔氏“世代衰微，全无冠盖”，不配第一等。

他指示“不须论数世以前，止取今日官爵高下作等级”，新修订的《氏族志》以皇族为首，外戚次之，崔干被降为第三等。

湖南师大附中2021-2022学年高三下学期月考生物试卷(七)

湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）生物一、选择题（本题共12小题，每小题2分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．幽门螺杆菌是一种螺旋形、微厌氧、对生长条件要求十分苛刻的细菌，是导致慢性胃炎、胃溃疡病变的主要元凶。

下列有关该菌的叙述，错误的是（）A．没有内质网，细胞器只有核糖体B．染色体主要集中分布在拟核区域C．没有线粒体，但是能进行呼吸作用D．遗传物质为DNA2．“DNA酶”（DNAzymes）往往由几十个脱氧核苷酸组成，两端的序列经过设计作为“结合臂”。

在关键因子金属镁的辅助下，DNAzymes能与RNA链上的特定位置相匹配，中间的固定序列则作为“催化核心”切割RNA分子（如右图），切割下来的RNA片段在细胞中被迅速降解。

科学家们设想将其用于精确破坏细胞中不需要的RNA分子，具有治疗疾病的巨大潜力。

下列有关说法正确的是（）A．上述“DNA酶”（DNAzymes）的化学本质为RNAB．若将DNAzymes用于破坏癌细胞增殖所需的RNA，①②应与健康细胞mRNA序列相同C．目标RNA被DNAzymes切割后，最终降解产物包括磷酸、脱氧核糖和含氮碱基D．若细胞内存在与镁更有亲和力的其他物质，则细胞内DNAzymes作用效果可能不佳3．如图为细胞物质运输方式的示意图。

下列相关叙述中不正确的是（）A．①过程为自由扩散，运输速率受环境温度影响B．麦芽糖水解产物通过途径②进入小肠上皮细胞时，ATPase仅承担载体的功能C．方式③依赖于细胞膜的结构特性，并需要消耗能量D．除图中三种方式外，细胞还能通过协助扩散的方式顺浓度梯度进行物质运输4．细胞内的某些特异蛋白与细胞死亡信号有关，对细胞的死亡与否起决定性作用。

如BCL −2蛋白家族，通过形成同源二聚体抑制细胞凋亡。

而免疫细胞产生的FAS配体（Fasl）与T 细胞表面的受体FAS结合时，也启动了死亡程序。

这种FAS−Fasl介导的凋亡在清除免疫反应（如自身免疫病）中被激活的淋巴细胞时非常重要。

2020届湖南省长沙市湖南师大附中高三月考(七)理综生物试题(解析版)

湖南师大附中2020届高三月考试卷（七）理科综合生物部分一、选择题1.下列有关生命现象的解释，错误的是（）A. 鱼在夏季的黎明时分常常浮头，原因是黎明时分水中溶解氧不足B. 细菌难以在腌制的肉上繁殖，原因是细菌不能独立生活，只能寄生在活细胞中C. 带芽插条比无芽插条容易生根，原因是插条上的芽能够产生生长素D. 红细胞在1．9%的与血浆等渗的尿素溶液中吸水涨破，原因是尿素分子可以通过红细胞膜【答案】B【解析】【分析】生长素是在幼嫩的芽、叶和发育的着的种子部位合成较多，生长素类具有促进植物生长的作用，在生产上的应用有促进扦插的枝条生根、促进果实发育、防治落花落果等。

【详解】A、鱼在夏季的黎明时分常常浮头，是因为黎明时水中溶解氧不足引起的，A正确；B、细菌难以在腌制的肉上繁殖，原因是细菌高浓度的盐溶液中失水过多，无法正常生活生长死亡，B错误；C、带芽插条比无芽插条容易生根，原因是插条上的芽能够产生生长素，生长素促进插条生根的缘故，C正确；D、红细胞在1.9%的与血浆等渗的尿素溶液中吸水涨破，原因是尿素分子可以通过红细胞膜，导致红细胞浓度升高而吸水过多导致涨破，D正确。

故选B。

2.在黑藻叶肉细胞的叶绿体中，不会都发生的生理过程是（）A. 氧气的生成与利用B. 遗传信息的转录与翻译C. NADPH的生成与利用D. ATP的合成与水解【答案】A【解析】【分析】本题考查叶绿体的功能，意在考生对所学知识的理解能力。

【详解】A、氧气在叶绿体的类囊体薄膜上产生，但氧气的利用在线粒体的内膜上，A错误；B、叶绿体是半自主复制的细胞器，含有少量的DNA和RNA，可进行转录和翻译，B正确；C、叶绿体的类囊体薄膜上进行的光反应可生成NADPH，叶绿体的基质中进行的暗反应可消耗NADPH，C正确；D、叶绿体的类囊体薄膜上进行的光反应可生成ATP，叶绿体的基质中进行的暗反应可消耗ATP，D正确。

故选A。

3.下图为某生物的细胞分裂示意图，①~④为常染色体，下列叙述正确的是（）A. 图中的变异属于基因突变或基因重组B. 该细胞可能为雄蜂的体细胞C. 图中①上的DNA分子，其两条脱氧核苷酸链分别来自于父方与母方D. 若该细胞取自某二倍体动物的卵巢，则为次级卵母细胞【答案】B【解析】【分析】题意分析，图中①~④为常染色体，根据形态分析，①与②应为非同源染色体，而两条染色体均含有A基因，说明含有A基因的染色体片段发生了易位，易位是染色体结构变异的一种类型。

2023届湖南省湖南师范大学附属中学高三下学期月考物理试题(七)试题含答案

湖南师大附中2023届高三月考试卷（七）物理注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.下列叙述中符合物理学史的有（）A.汤姆孙通过研究阴极射线实验，发现了电子和质子的存在B.普朗克为了解释黑体辐射现象，第一次提出了能量量子化理论C.法拉第发现了电磁感应现象，并得出了法拉第电磁感应定律D.玻尔提出的原子模型，彻底否定了卢瑟福的原子核式结构学说2.a 、b 两车在平直公路上行驶，a 车以2v 0的初速度做匀减速运动，b 车做初速度为零的匀加速运动。

在t =0时，两车间距为0且a 车在b 车后方。

在t =t 1时两车速度相同，均为v 0，且在0～t 1时间内，a 车的位移大小为s 。

下列说法正确的是（）A.0～t 1时间内a 、b 两车相向而行B.0～t 1时间内a 车平均速度大小是b 车平均速度大小的2倍C.若a 、b 在t 1时刻相遇，则s 0=23s D.若a 、b 在12t 时刻相遇，则下次相遇时刻为2t 13.如图，斜面体放置在水平地面上，粗糙的小物块放在斜面上。

甲图中给小物块施加一个沿斜面向上的力1F ，使它沿斜面向上匀速运动；乙图中给小物块施加一水平向右的力2F ，小物块静止在斜面上。

甲、乙图中斜面体始终保持静止。

下列判断正确的是（）A.1F 增大，斜面对小物块的摩擦力一定增大B.1F 增大，地面对斜面体的摩擦力不变C.2F 增大，斜面对物块的摩擦力一定增大D.2F 增大，物块最终一定能沿斜面向上滑动4.如图所示，某电动工具置于水平地面上。

湖南省湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考物理试题(二)及参考答案

炎德·英才大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（二）物理得分：________本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共10页。

时量75分钟，满分100分。

第I 卷一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．在力学发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了物理学的进步。

对以下几位物理学家所作科学贡献的表述中，与事实不相符的是（）A ．伽利略首先建立平均速度、瞬时速度和加速度等描述运动的概念B ．胡克提出如果行星的轨道是圆形，太阳与行星间的引力与距离的平方成反比C ．卡文迪什是测量地球质量的第一人D ．伽利略根据理想斜面实验，直接得出自由落体运动是匀变速直线运动2．甲、乙两个物体初始时刻在同一位置，运动图像分别为图中实线和虚线，两个图像均为14圆弧，圆弧的半径均为a ，横纵坐标表示的物理意义未知，下列说法正确的是（）A ．若实线和虚线分别为甲、乙的运动轨迹，则甲、乙的速率相同B ．若y 表示速度，x 表示时间，则x a =时甲、乙间的距离为22a πC ．若y 表示加速度，x 表示时间，则x a =时甲、乙间的距离为22a πD ．若y 表示位移，x 表示时间，则甲、乙的平均速度相同 3．如图所示，质量为m 、长为L 的均匀杆AB 一端靠在墙上，用细绳CD 拴杆于D 点，图中AD 等于13L ，37DCA α∠==°，53CAD β∠==°，此时杆处于平衡状态，sin 370.6°=，cos370.8°=。

那么以下说法正确的是（）A ．在图中杆A 端所受摩擦力的方向可能沿墙面向下B ．在图中杆与墙壁间的最小动摩擦因数min 118µ= C ．在图中杆A 端所受墙壁对杆的力一定沿杆方向D ．如果改变细线的位置而不改变夹角α和β，杆A 端所受的摩擦力不可能为零4．如图所示，在粗糙的斜面上用一个滑块将轻质弹簧压缩后由静止释放，滑块沿斜面上滑的距离为1x 时脱离弹簧，上滑的距离为2x 时速度变为0且不再下滑，用k E 表示滑块的动能，1p E 表示滑块的重力势能（以斜面底端为零势能参考面），2p E 表示弹簧的弹性势能，E 表示滑块的机械能，则以上各种能量随滑块上滑的距离x 的图像中，可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．在信息技术迅猛发展的今天，光盘是存储信息的一种重要媒介。

2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。

湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(一)数学试题

A． an 为等差数列
B．an 为等比数列
C．Sn 为等差数列
D．Sn 为等比数列
6．为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精
含量不得超过 0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量
迅速上升到 0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末
D． 1 108
二、多选题 9．下列命题为真命题的是（）
A．若 a b ，且 1 1 ，则 ab 0 ab
C．若 c a b 0 ，则 a b ca cb
B．若 a b 0 ，则 a2 ab b2 D．若 a b c 0 ，则 a a c
b bc
10．设正方体 ABCD A1B1C1D1 中，A1B1 ，BB1 ，BC 的中点分别为 E ，F ，G ，则（）
与 x 轴的交点为 E ，求VABE 的面积的最大值.
22．已知函数 f x x aex 1 ，g x ax ln x x e2 a R ，设 max ,m n 表示 m ，
n 的最大值，设 F x max f x, g x .
(1)讨论 f x 在 0, 上的零点个数；
(2)当 x 0 时 F x 0 ，求 a 的取值范围.
术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数 m ，满足以上两个条件，若
存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由．
21．已知椭圆
C
的中心在坐标原点，两焦点
F1
，F2
在
x
轴上，离心率为
1 2
，点
P
在
C
上，
且△PF1F2 的周长为 6.
(1)求椭圆 C 的标准方程；

湖南师大附中2021-2022学年高三下学期月考数学试卷(七)

湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，2，3}，则A (ðU B )=（А．{-1，0}）B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}2．已知sin⎛33πα+⎫⎭⎪= ⎝，则sin ⎛2α+6π⎫⎭⎪的值为（ ⎝）A ．79B ．-79C．9D ．-93．某种活性细胞的存活率y （%）与存放温度x （℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度x （℃）104-2-8存活率y （％）20445680经计算，回归直线的斜率为-3.2．若这种活性细胞的存放温度为6℃，则其存活率的预报值为（A ．32％）B ．33％C ．34％D ．35％4．已知双曲线C ：x 2y 2=1（k >0），若对任意实数m ，直线4x +3y +m =0与C 至16k -多有一个交点，则C 的离心率为（）A ．45B ．53C ．43D ．95．已知函数f (x )=⎨⎪⎛⎪f (x -1),x >21⎫,x ≤2⎝2x⎧ ⎭⎪⎩，则f (log 212)=（）A ．31B ．-6C ．61D ．-36．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中AA 1⊥底面ABCD ，底面扇环所对的圆心角为2π，A D 的长度为B C 的长度的3倍，AA 1=3，CD=2，则该曲池的体积为（）C ．A ．9π2B ．6π11π2D ．5π第6题图7．考察下列两个问题：①已知随机变量X~B （第9题图n ，p ），且E （X ）=4，D （X ）=2，记P （X=1）=a ；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记P （A|B ）=b ，则（）A ．a =b 3B ．a =b 4C ．a =b 5D ．a =b 68．在△ABC 中，角B ，C 的对边长分别为b ，c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO 的取值范围是（）A ．⎡1,0⎫⎭⎪4-⎢⎣B ．(0,2)C ．⎡1,+∞⎫⎭⎪4-⎢⎣D ．⎡1,2⎫⎭⎪4-⎢⎣二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0<θ<2）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若）π圆柱的底面圆半径为2，θ=A ．椭圆的长轴长等于4，则（3πB ．椭圆的离心率为32C ．椭圆的标准方程可以是x 2y 2=1164+D ．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2+x -2，则（A ．f (x )是以4为周期的周期函数B ．f (2021)+f (2022)=-2）C ．函数y =f (x )-log 2(x +1)有3个零点D ．当x ∈[3,4]时，f (x )=x 2-9x +1811．已知函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（A >0，ω>0，-π<ϕ<-2）的部分图象如图π所示，把函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y =g (x )的图象，则（）A ．g ⎛3x +π⎫⎭⎪为偶函数 ⎝B ．g (x )的最小正周期是πC ．g (x )的图象关于直线x =23π对称D ．g (x )在区间（71π2，π）上单调递减第11题图第12题图12．如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球球心为O ，E 、F 分别是棱AB 、CC 1的中点，G 在棱BC 上移动，则（A ．对于任意点G ，OA ∥平面EFGB ．存在点G ，使OD ⊥平面EFGC ．直线EF 的被球O）D ．过直线EF 的平面截球O 所得截面圆面积的最小值为2π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足z (1-i )=4+2i ，则z =________（用代数式表示）．14．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著．该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有________种．15．已知直线l过点P（0，1），且与圆O：x2+y2=3相交于A，B两点，设OC=OA+OB，若点C在圆O上，则直线l的倾斜角为________．16．已知函数f(x)=x-ae x+2．（1）若对任意实数x，f(x)<0恒成立，则a的取值范围是________；（2）若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f(x1)=f(x2)=0，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，已知sin2A-sin2B=sin C(sin B+sin C)．（1）求角A的值；（2）设∠BAC的平分线交BC边于D，若AD=1，BC=，求△ABC的面积．在数列{a n}中，已知a1=2，n(a n+1-a n)=a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；S n（2）设b n=(-1)n a n，S n为数列{b n}的前n项和，求满足>100的正整数n的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P−ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是边长为2的正三角形，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l．（1）证明：直线l⊥平面PAC；（2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的π角为θ，求当AQ为何值时，α+θ=．2某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内（单位：千元），按[0，5），（5，10]，（10，15]，（15，20]，（20，25]，[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将一年来网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K 2=(a ()())(d )()(d )．2a b c +d ad bc b c +a c b ++-+++临界值表：P (K 2≥k 0)0.100.050.0250.0100.0050.001k 0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828已知抛物线E ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，直线x=4分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =．（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点A ，B ，C 都在抛物线E 上，若△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB ⋅AC 的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=x 3+a ln x ，其中a ≥-3为常数．（1）设f '(x )为f (x )的导函数，当a=6时，求函数g (x )=f (x )-f '(x )+x9的极值；（2）设点A （x 1，f (x 1)），B （x 2，f (x 2)）（x 1>x 2≥1），曲线y =f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1，k 2，直线AB 的斜率为k ，证明k 1+k 2>2k ．。

湖南师大附中2021届高三月考(七)英语试卷

湖南师大附中2021届高三月考试卷(七)英语本试题卷分为听力、阅读、语言运用和写作四个部分,共14页。

时量120分钟。

满分150分。

第一部分听力技能(共两节,满分30分)做题时,先将答案标在试题卷上。

录音内容结束后,你将有两分钟的时间将试题卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节(共5小题,每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A.B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下- -小题。

每段对话仅读一遍。

例: How much is the shirt?A.₤19.15.B. ₤9. 18.C. ₤9. 15.答案是C。

1. What is the relationship between the speakers?A. Colleagues.B. Classmates.C. Strangers.2. When will the conference begin?A. At 7:30.B. At 8:00.C. At 9:00.3. How often does the man work out now?A. Once a week .B. Twice a week.C. Every other day. .4. What is the woman going to do soon?A. Take a taxi.B. Travel by plane.C. Go to the railway station.5. Why is Emily mentioned in the conversation?A. She might want a ticket.B. She is looking for the man.C. She has an extra ticket.第二节(共15小题,每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。

2024届湖南师范大学附属中学高三上学期月考卷(四)数学及答案

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学审题人：高三备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12i z =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.(4,5)- B.(4,3)C.(3,4)- D.(5,4)）2.若随机事件A ，B 满足1()3P A =，1()2P B =，3()4P A B = ，则(|)P A B =（）A.29B.23C.14D.168.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1tan tan cos αβα+=，则（）A.22παβ+=B.22παβ-=C.22πβα-=D.22πβα+=5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=6.函数1()2cos[(2023)]|1|f x x x π=++-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.点M 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM △是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.⎛ ⎝C.⎫⎪⎪⎭D.(2-8.已知函数22,0,()4|1|4,0,x x f x x x ⎧=⎨-++<⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（）A.{2,1,0,1}-- B.{2,1,0}-- C.{1,0,1}- D.{2,1}-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已.知双曲线C过点且渐近线为y x =，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线2e1x y -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点10.已知向量a ，b满足|2|||a b a += ，20a b a ⋅+= 且||2a = ，则（）A.||8b = B.0a b += C.|2|6a b -=D.4a b ⋅= 11.如图、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P 是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点P ，M ，使得二面角M DC P --大小为23πB.存在点P ，M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD -12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +…和()G x kx b +…恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数2()f x x =（x ∈R ），1()g x x=（0x <），()2eln h x x =（e 2.718≈），则下列选项正确的是（）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为–4C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4,1]-D.()f x 和()h x之间存在唯一的“隔离直线”ey =-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f +'=___________.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，sin ACF ∠=，则DEF △的面积为___________.15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+.若123111181n a a a a ++++< ，则n 的最大值为___________.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数2()2cos 2xf x x m ωω=++（0ω>）的最小值为–2.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位长度，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的最大值.18.（12分）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。

湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题(五)含答案解析

大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五）数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2,,1,9A a a B =-=-，若{}1,1,9A B ⋃=-，则=a （）A .3B.1C.-1D.-32.已知复数231ii 2i iz -=--，则z 的虚部为（）A.-1B.12-C.12D.13.二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A .7- B.21- C.7D.214.已知函数()()()321222xxa x a x f x --+-=+为偶函数，则=a （）A.2B.1C.1- D.2-5.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线33y x a =+与C 交于,A B 两点，且BF x ⊥轴，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.36.已知函数()cos ln f x x a x =+在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的最小值为（）A.π8 B.π4 C.π2D.π7.已知31sin cos ,cos sin 33αβαβ+=-=-，则()cos 22αβ-=（）A.4781B.4781-C.1781D.1781-8.在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n -，公差为1n-的等差数列的前n项，记构成的新数列为{}n b ，若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（）A.252-B.-13C.272- D.-14二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知S 为圆锥的顶点，AB 为该圆锥的底面圆O 的直径，45,SAB C ∠= 为底面圆周上一点，60,BAC SC ∠==，则（）A.该圆锥的体积为π3B.AC =C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180D.二面角A BC S --10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y x =+经过C 的一个焦点和一个顶点，且与C 交于,A B 两点（点A 在第三象限），则（）A.2a b =B.2ABF △的周长为8C.83AB =D.以2AF 为直径的圆过点B11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点12.今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,1a =- ，向量b 满足22b a b -= ，则⋅= a b __________.14.已知正三棱台的上､和为__________.15.已知直线10x y -+=与圆()22:8C x m y -+=交于,A B 两点，则满足“ABC的面积为”的m 的一个值为__________.16.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示，且32MN =，则不等式()1f x ≥+[]0,4上的解集为__________.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1tan tan 3B C =.（1）求222c b a-的值；（2）若a =，且ABC的周长为3，求边b 上的高.18.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且113a =，()231nn n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n a b a S ++=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：38n T ≥.19.为检验预防某种疾病的A B ､两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A B ､疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[]0,100)，统计如下：该项医学指标[)0,25[)25,50[)50,75[]75,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B 疫苗人数10m-304020m+个别数据模糊不清，用含字母()m m ∈N 的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在[)0,50内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B ､疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22⨯列联表，若根据小概率0.025α=的独立性检验，认为接种A B ､疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗B 疫苗合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.250.0250.005x α1.3235.0247.87920.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，点D 为11B C 上一点，且1CD BC ⊥.（1）证明：1AC 平面1A BD ；（2）若AC AB =，求直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值.21.已知抛物线E 的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过()()12312,1,2,2,1,4A A A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三点中的两点.（1）求抛物线E 的方程；（2）设O 为坐标原点，E 的焦点为F ，过F 的直线BC 与E 交于,B C 两点，过F 的直线PQ 与E 交于,P Q 两点，点,P B 都在第二象限，记直线,BC PQ 的倾斜角分别为,αβ，且90αβ-=.若直线PB 与直线CQ 交于点M ，不同于点M 的点N 满足MN y ⊥轴，当ON PQ 时，设,NBC OBC 的面积分别为,m n ，求m nmn-的取值范围.22.已知函数()()2ln 2f x a x x a x =---.（1）求函数()f x 的极值；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，证明：()()211f x f x ''>-.大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五）数学一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2,,1,9A a a B =-=-，若{}1,1,9A B ⋃=-，则=a （）A.3 B.1C.-1D.-3【答案】B 【解析】【分析】由{}{}1,1,9,1,9A B B ⋃=-=-，得到1A ∈求解.【详解】解：因为{}{}1,1,9,1,9A B B ⋃=-=-，所以1A ∈，当21a =时，1a =±，根据元素的互异性可知，1a =；当1a -=时，1a =-，不满足元素的互异性，舍去，故选：B.2.已知复数231ii 2i iz -=--，则z 的虚部为（）A.-1 B.12-C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为()()()2231i 1i 1i 12i 11ii 2i i i 2i 21i 1i 42z -----=====---+++-所以1i 2z =，所以z 的虚部为12，故选：C.3.二项式741x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（）A.7- B.21- C.7D.21【答案】A 【解析】【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.【详解】二项式741x ⎫-⎪⎭的通项公式为()14147317741C C 1rrrr rrr T x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令1414013rr -=⇒=，所以常数项为()17C 17⋅-=-，故选：A4.已知函数()()()321222xxa x a x f x --+-=+为偶函数，则=a （）A.2B.1C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数定义与指数幂的运算计算即可得.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即()()()()323212122222xx xxa x a x a x a x ----+--+-=++，整理得()3210a x -=恒成立，所以()210a -=，则1a =.故选：B.5.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，直线33y x a =+与C 交于,A B 两点，且BF x ⊥轴，则C 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据题意直线过双曲线的左顶点得(),0A a -，再由BF x ⊥求出2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后利用点B 也在直线上得到2c a =，从而求解.【详解】易知直线33y x a =+经过C 的左顶点(),0A a -，设(),0F c -，因为BF x ⊥轴，所以22221c y a b -=，解得2b y a =-，或2b y a =（舍去），所以点B 坐标为2,b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则233b c a a -=-+，整理得2233ac a b -=，所以22233ac a c a -=-，即22320c ac a -+=，解得c a =（舍去），或2c a =，所以C 的离心率为2ce a==，故C 正确.故选：C.6.已知函数()cos ln f x x a x =+在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的最小值为（）A.π8 B.π4 C.π2D.π【答案】C 【解析】【分析】由题意可得()0f x '≥在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即sin ≥a x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，设()πsin ,0,2g x x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，利用导数求出max ()g x 可得答案.【详解】()sin sin 0-'=-+=≥a a x x f x x x x在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，即sin ≥a x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，设()πsin ,0,2g x x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()sin cos 0'=+>g x x x x ，所以()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()max π()2g x g x <=，所以π2a ≥，则a 的最小值为π2.故选：C.7.已知31sin cos ,cos sin 33αβαβ+=-=-，则()cos 22αβ-=（）A.4781 B.4781-C.1781D.1781-【答案】D 【解析】【分析】分别将3sin cos 3αβ+=和1cos sin 3αβ-=-分别平方相加求出sin cos cos sin αβαβ-，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解.【详解】由sin cos 3αβ+=得，221sin cos 2sin cos 3αβαβ++=，由1cos sin 3αβ-=-得，221cos sin 2cos sin 9αβαβ+-=，两式相加得，()422sin cos cos sin 9αβαβ+-=，则()7sin 9αβ-=-，所以()()22717cos 2212sin 12981αβαβ⎛⎫-=--=-⨯-=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D.8.在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1nan -，公差为1n-的等差数列的前n 项，记构成的新数列为{}n b ，若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（）A.252-B.-13C.272-D.-14【答案】A 【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ，()()1112n n n n S n a n+=+-求解.【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n------- ，1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n n n+----- ，设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=-，所以数列{}n S 是以1为首项，公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-，故选：A.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知S 为圆锥的顶点，AB 为该圆锥的底面圆O 的直径，45,SAB C ∠=为底面圆周上一点，60,BAC SC ∠== ，则（）A.该圆锥的体积为π3B.AC =C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180D.二面角A BC S --【答案】AC 【解析】【分析】求得该圆锥的体积判断选项A ，求得AC 的长度判断选项B ，求得该圆锥的侧面展开图的圆心角判断选项C ，求得二面角A BC S --的正切值判断选项D.【详解】如图，因为45SAB ∠= ，所以SAB △为等腰直角三角形，又SC =，则SA SB ==，所以2AB ==，则1r AO SO ===，所以该圆锥的体积为21ππ,A 33V r SO =⋅=正确；易知ABC 为直角三角形，且90ACB ∠= ，又60BAC ∠= ，则30ABC ∠= ，所以11,B 2AC AB ==错误；该圆锥的侧面展开图为一扇形，其弧长为2πl =，扇形半径为R SA ==，设扇形圆心角为α，所以πlRα==>，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于180,C 正确；取BC 的中点D ，连接,SD OD ，则,SD BC OD ⊥为ABC 的中位线，所以11,22OD BC OD AC ⊥==，所以ODS ∠为二面角A BC S --的平面角，易知SOD 为直角三角形，所以tan 2,D SOODS OD∠==错误.故选：AC .10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y x =+经过C 的一个焦点和一个顶点，且与C 交于,A B 两点（点A 在第三象限），则（）A.2a b =B.2ABF △的周长为8C.83AB =D.以2AF 为直径的圆过点B【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件求出,,a b c 的值，判定A 错误；由椭圆定义可得2ABF △的周长为8，判定B 正确；联立方程组求出(2,3A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，可得83AB =，判定C 正确；2221212BF BF F F +=，所以1290F BF ∠= ，判定D 正确.【详解】易知直线y x =+经过C的焦点()1F和顶点(B ，所以b c ==，则a ==2，所以,A a =错误；由椭圆的定义可知，2ABF △的周长为48,B a =正确；由上可知C 的方程为22142x y +=，由221,42x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得120,x x ==，则(,3A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以8,C 3AB ==正确；由12122,BF BF F F ===得，2221212BF BF F F +=，所以1290F BF ∠= ，则以2AF 为直径的圆过点,D B 正确.故选：BCD .11.若函数()()ln 0cf x ax b x a x=+-≠在x c =处取得极值，则（）A.240b ac ->B.ac b +为定值C.当0<a 时，()f x 有且仅有一个极大值D.若()f x 有两个极值点，则1x a=是()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】【分析】求导()22ax bx cf x x++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则Δ0>，即可判断A ；由20ac bc c ++=判断B ；当a<0时，可得，当()0,x c ∈时()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时()0f x '<，即可判断C ；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，则0x c =>，()222b c ax bx cf x a x x x++=++='，由题意可知，x c =是方程20ax bx c ++=的一个变号实数根，则2Δ40b ac =->，故A 正确；由20ac bc c ++=得，1ac b +=-，故B 正确；当a<0时，因为0c >，所以函数2y ax bx c =++开口向下，且与x 轴正半轴只有一个交点，当()0,x c ∈时，()0f x ¢>，当(),x c ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在()0,c 上单调递增，在(),c +∞上单调递减，则()f x 有且仅有一个极大值，故C 正确；将1b ac =--代入20ax bx c ++=整理得()10x x c a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则方程有不相等的实数根1a 与c ，即1c a≠，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()10,,f x x c a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭'时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则1x a=是()f x 的极大值点，x c =是()f x 的极小值点，当10c a <<时，()10,,x c a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 时，()0f x ¢>；当1,x c a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在()10,,,c a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则x c =是()f x 的极大值点，1x a=是()f x 的极小值点，故D 错误，故选：ABC.12.今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.【详解】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：()()()24477277P B A P B A P A ⨯===红黄红黄黄∣，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：()()()()()()23211377724287P A B P A B P A B P B A P A P A ⨯+⨯+====红红红红绿黄红红红红∣，故B 错误；由题意可知，()()()()()32234,,,,77777P A P A P A P B A P B A =====红红红红绿黄黄∣∣，()12P B A =红绿∣，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A +⋅+⋅红红红红红绿绿黄黄∣∣∣3324212477777249=⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则()()()()3349377248P A P B A P A B P B ⋅==⨯⨯=红红红红红红∣∣，()()()()2449177243P A P B A P A B P B ⋅===红黄黄红黄红∣∣，()()()()21497722424P A P B A P A B P B ⋅===红绿绿红绿红∣∣，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小，故D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量()1,1a =- ，向量b 满足22b a b -= ，则⋅= a b __________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由22b a b -=平方求解.【详解】解：由()1,1a =- ，得a = 由22b a b -= ，得222444b a b a b -⋅+= ，则242a b a ⋅== ，所以12a b ⋅= .故答案为：1214.已知正三棱台的上､和为__________.【答案】4【解析】【分析】根据正三棱台的性质及题中条件分别求出侧面的高h 和正三棱台的高H ，然后利用棱台体积公式即可求解.【详解】设该正三棱台侧面的高为h ，由题意可知，12h +⋅=h =该正三棱台的上底面的面积为21322⨯⨯=下底面的面积为213273224⨯⨯=，设正三棱台的高为H ，则1H ==，故该正三棱台的体积为11344V =+⨯=⎝.故答案为：4.15.已知直线10x y -+=与圆()22:8C x m y -+=交于,A B 两点，则满足“ABC 的面积为”的m 的一个值为__________.【答案】1（或3-，或1-±）【解析】【分析】由ABC 的面积为，得到60ACB ∠= 或120ACB ∠= ，进而得到圆心C 到直线AB 的距离为d =d =.【详解】解：由ABC 的面积为(21sin 2ACB ⨯∠=，解得3sin 2ACB ∠=，则60ACB ∠= 或120ACB ∠= ，易知圆心C 到直线AB 的距离为d =或d ==，或=，解得1m =-±1m =或3m =-.故答案为：1(或3-，或1-±)16.已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示，且32MN =，则不等式()1f x ≥+[]0,4上的解集为__________.【答案】51,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数的最高点和最低点，结合函数的零点、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由图可知，3,1,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩解得2,1A B ==，由图可知，12sin +12sin 2ϕϕ=⇒=，又0πϕ<<，所以π6ϕ=或5π6ϕ=，当π6ϕ=时，()π2sin 16f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为0ω>，所以当0x >时，显然有ππ66x ω+>，因此函数先是增函数，显然不符合图象，当5π6ϕ=时，()5π2sin 16f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0ω>，所以当0x >时，显然有5π5π66x ω+>，因此函数先是减函数，符合图象特征，令()15π5π15π7π2sin 10sin 2π66266f x x x x k ωωω⎛⎫⎛⎫=++=⇒+=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或()25π11π2πZ 66x k k ω+=-∈，因为32MN =，所以212π32π4π3239x x ωωω-=⇒⋅=⇒=，即()4π5π2sin 196f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()4π5π4π5π12sin 11sin ,96962f x x x ≥⎛⎫⎛⎫≥+⇒++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有()()π4π5π3π921932π2πZ Z 4964216216m m m x m m x m +≤+≤+∈⇒-≤≤-∈，因为[]0,4x ∈，所以令1m =，则有9219351692162161616x x -≤≤-⇒≤≤，而[]0,4x ∈，所以51416x ≤≤，故答案为：51,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的单调性确定ϕ的值.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1tan tan 3B C =.（1）求222c b a -的值；（2）若a =，且ABC 的周长为3，求边b 上的高.【答案】（1）12（2）2【解析】【分析】（1）根据题意，得到3sin cos sin cos B C C B =，结合正弦、余弦定理，求得2224()2c b a -=，即可求解；（2）根据题意得到3b c +=，结合（1）得到1c b -=，联立方程组求得2,1c b ==，再由余弦定cos A 的值，利用sin h c A =，即可求解.【小问1详解】解：由1tan tan 3B C =，可得sin sin cos 3cos B CB C =，所以3sin cos sin cos B C C B =，又由正弦定理和余弦定理，可得222222322a b c a c b b c ab ac +-+-⋅=⋅，整理得2224()2c b a -=，所以22212c b a -=.【小问2详解】解：由a =，且ABC 的周长为3，可得3b c +=，又由（1）可知，222123c b a -==，即()()3c b c b +-=，所以1c b -=，联立方程组31b c c b +=⎧⎨-=⎩，解得2,1c b ==，所以22222212(6)1cos 22124b c a A bc +-+-===-⨯⨯，则15sin 4A ===，所以边b 上的高为1515sin 242h c A ==⨯=.18.记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且113a =，()231nn n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n a b a S ++=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：38n T ≥.【答案】（1）13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()231nn n S a =-退位相减可得13n n a a -=，又10,a ≠可得113n n a a -=，继而可知数列{}n a 为等比数列，则通项可求；（2）由（1）可得1n a +、1n S +继而可求n b ，并将其裂项再求和，即可证明不等式.【小问1详解】因为()231nn n S a =-，所以，当2n ≥时，()111231n n n S a ---=-，两式相减得，()()111223131nn n n n n S S a a ----=---，化简可得()()1133310nn n n a a -----=，所以130n n a a --=，即13n n a a -=，又110,3a =≠可得113n n a a -=，所以数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，可得1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由（1）可知，1113n n a ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，1113311112313nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以1111123n n S ++⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则()1111131********n n n n n n n a b a S ++++⎛⎫⎪⎝⎭==-⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111=111133nn +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，123n n T b b b b =++++ 12231111111111111111111333333n n +=-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，1312113n +=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为118139n +⎛⎫-≥⎪⎝⎭，所以1198113n +≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，则38n T ≥.19.为检验预防某种疾病的A B ､两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种A B ､疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为[]0,100)，统计如下：该项医学指标[)0,25[)25,50[)50,75[]75,100接种A 疫苗人数10m+105030m-接种B 疫苗人数10m-304020m+个别数据模糊不清，用含字母()m m ∈N 的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在[)0,50内的是否需要接种加强针，先从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B ､疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种B 疫苗的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的22⨯列联表，若根据小概率0.025α=的独立性检验，认为接种A B ､疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求m 的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗B 疫苗合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.250.0250.005x α1.3235.0247.879【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）列联表见解析，2【解析】【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种A B 、疫苗人数，计算出X 的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；（2）结合2χ的计算公式计算出对应m 的范围即可得.【小问1详解】从医学指标在[)25,50的志愿者中，按接种A B 、疫苗分层抽取8人中，接种A 疫苗有2人，接种B 疫苗有6人，由题意可知，X 可能取值为2,3,4，()()()221304262626444888C C C C C C 3432,34C 14C 7C 14P X P X P X =========，X 的分布列为：X234P31447314则()343234314714E X =⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】22⨯列联表如下：疫苗抗体合计抗体弱抗体强A 疫苗20m +80m -100B 疫苗40m-60m+100合计60140200则()()()()()222200804060202101001001406021m m m m m χ⎡⎤---++-⎣⎦==⨯⨯⨯，由题意可知，()20.025210 5.02421m x -≥=，整理得，()21052.752m -≥，解得2m ≤或18,m m ≥∈N ，又100,m m -≥∈N ，则10,m m ≤∈N ，所以2,m m ≤∈N ，故m 的最大值为2.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC =，点D 为11B C 上一点，且1CD BC ⊥.（1）证明：1AC 平面1A BD ；（2）若AC AB =，求直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）223【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算与数量积运算法则求得D 为1B C 的中点，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求出直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值，从而求解.【小问1详解】设()11101C D tC B t =≤≤ ，则11111CD CC C D CC tC B =+=+ ，1111111111C B C B B B C B C C C B CC =+=+=- ，所以()()()221111111111111··1·CD C B CC tC B C B CC t CC C B CC tC B =+-=--+ ，因为11111,,2CD BC CC C B BC ⊥⊥=，所以()()21210t AA -=，解得12t =，则点D 为1B C 的中点.连接1AB ，设11A B AB E = ，连接DE ，因为四边形11ABB A 为矩形，所以E 为1AB 的中点，在11AB C △中，DE 为中位线，所以DE 1AC ，又1AC ⊄平面1,A BD DE ⊂平面1A BD ，所以1AC 平面1A BD ..【小问2详解】取BC 的中点O ，连接,OD OA ，则DO 1BB ，所以OD BC ⊥，由AC AB =可知，AO BC ⊥，易知四边形1AA DO 为平行四边形，又1AA ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，所以DO OA ⊥.以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，如图，设1(0),(0)OA m m BC a =>==>，所以1,CC a BC ==，则()()1220,,,,0,0,0,0,,,0,022A m a B a D a C a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1220,,0,,0,,0,22DA m DB a a DC a a ⎛⎫⎛⎫==--=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =r，由10,0,DA n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,2my ax az =⎧⎪⎨--=⎪⎩取x =，则)1n =-r ，设直线CD 与平面1A BD 所成角为θ，则22sin cos ,3DC n θ===.故直线CD 与平面1A BD 所成角的正弦值为223.21.已知抛物线E 的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过()()12312,1,2,2,1,4A A A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭三点中的两点.（1）求抛物线E 的方程；（2）设O 为坐标原点，E 的焦点为F ，过F 的直线BC 与E 交于,B C 两点，过F 的直线PQ 与E 交于,P Q 两点，点,P B 都在第二象限，记直线,BC PQ 的倾斜角分别为,αβ，且90αβ-=.若直线PB 与直线CQ 交于点M ，不同于点M 的点N 满足MN y ⊥轴，当ON PQ 时，设,NBC OBC 的面积分别为,m n ，求m nmn-的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性，分类讨论进行求解即可；（2）根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为()12,1A 关于y 轴对称的点为()12,1A -，所以拋物线E 经过12,A A 两点中的一点，由题意可知，抛物线E 经过311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线E 的方程为22(0)y px p =->时，将点311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入E 的方程得，()21214p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，解得132p =，验证可知，抛物线21:16E y x =-不经过点12,A A ，不满足题意；当抛物线E 的方程为22(0)x py p =>时，将点311,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入E 的方程得，()21124p -=⨯，解得2p =，验证可知，抛物线2:4E x y =经过点1A ，不经过点2A ，满足题意，故抛物线E 的方程为24x y =.【小问2详解】由（1）可知，()0,1F ，设BC 的方程为()10y kx k =+≠，设()()1122,,,B x y C x y ，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx --=，12124,4x x k x x +==-，因为90αβ-=，所以BC PQ ⊥，设()()3344,,,P x y Q x y ，同理可知，34344,4x x x x k+=-=-.直线BP 的斜率为223131313131444BPx x y y x x k x x x x --+===--，其方程()2311144x x x y x x +-=-，即311344x x x x y x +=-①同理可知直线CQ 的方程422444x x x xy x +=-，即31311313134444444x x x x x x y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-=--②由①②解得，1y =-，所以点M 在直线1y =-上，由MN y ⊥轴可知，点N 在直线1y =-上，设()0,1N x -，由ON PQ 可知，ON BC ⊥，则1ON BCk k ⋅=-，所以011x k-=-，解得0x k =，由上可知，()212122444BC y y k x x k =++=++=+，原点O 到直线BC的距离为1d =，N 到直线BC的距离为2d =所以221112222m BC d k n BC d =⋅=+=⋅=则11m n mn n m -=-=2=()211111122422k ==⋅≤⋅+，=，即0k =取得等号，因为0k ≠，所以14m n mn -<，由0m n ->得，104m n mn -<<，故m n mn -的取值范围为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题的关键是对m nmn-的表达式进行变形，用基本不等式进行求解.22.已知函数()()2ln 2f x a x x a x =---.（1）求函数()f x 的极值；（2）设()f x 的导函数为()f x '，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，证明：()()211f x f x ''>-.【答案】（1）极大值为2ln 42a aa a +-.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数求得()f x 的单调区间，再利用极值定义即可求得函数()f x 的极值；（2）先将不等式()()211f x f x ''>-转化为2121212ln 0x x x x x x -->，再构造函数()12ln (1)g t t t t t=-->，并利用导数证得()()10g t g >=，进而证得原不等式成立.【小问1详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()2122x a x af x x a x x-+=---=-'，当0a ≤时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，此时()f x 无极值；当0a >时，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，当,2a x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 只存在极大值且为2ln 242a aa f a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()1212,x x x x ≠为()f x 的两个零点得，()()22111222ln 2ln 2a x x a x a x x a x ---=---，所以()()()2221212121ln ln 2a x x x x x x x x ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，则()()()()()()22212121212212121122ln ln lnx x x x x x x x a x x x x x x x x -+--++==-+-+-，又()()()()1212122222a af x f x x a x a x x +=---+--'-'()121211222a x x x x ⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭()()()()212112212211211222ln x x x x x x xx x x x x -++⎛⎫=++-++ ⎪⎝⎭+-.由（1）可知，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，若()1212,x x x x <为()f x 的两个零点，则120,,,22a a x x ∞⎛⎫⎛⎫∈∈+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()120,0f x f x >'<'.要证()()211f x f x ''>-，需证()()120f x f x ''+>，需证()()()()2121122122112112220ln x x x x x x xx x x x x -++⎛⎫++-++> ⎪⎝⎭+-，又12220x x ++>>，即证()2121221111220ln x x x x x x x x ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭+-，因为120x x <<，则211x x >，则()2211ln 0xx x x +->，所以需证()()221211211122ln 0x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤-++-+->⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即证2121212ln 0x x x x x x -->，令21(1)x t t x =>，需证12ln 0t t t-->，设()12ln (1)g t t t t t =-->，则()22212(1)10t g t t t t-=+-=>'，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=，则12ln 0t t t-->，故()()211f x f x ''>-.。

湖南师大附中2014届高三月考试卷(七)理科数学

湖南师大附中2014届高三月考试卷(七)数学(理科)总分:150分时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.已知i 为虚数单位,则31ii-=+( )A. 12i +B. 1i +C. 1i -D. 12i - 2.在ABC ∆中,若2cos a b C =,则ABC ∆是( )A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形 3.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为12,则该几何体的俯视图可以是( )4.已知,x y 满足,2,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩目标函数2z x y =+的最大值为M ,最小值为N ,且4M N =,则a 的值是( ) A. 13B. 14C. 15D. 165.若不等式[(1)]lg 0a n a a --<对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. 1a >B. 102a <<C. 102a <<或1a >D. 103a <<或1a >6.右图是某同学为求1007个偶数:2,4,6,…,2014的平均数而设计的程序框图的部分内容,则在该程序框图中的空白判断框和处理框中应填入的内容依次是( )A. 1007?1007x i x >=B. 1007?1007xi x ≥=C. 1007?1007x i x <=D. 1007?1007xi x ≤=7.已知22()|1|f x x x kx =-++,若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )A. (1,0)-B. 7(,)2-+∞C. 7(,)(1,)2-∞--+∞D. 7(,1)2--A 正视图侧视图B C D8.已知在等差数列{}n a 中,201320140,,d a a >是方程2350x x --=的两个根,那么使得前n 项和n S 为负值的最大的n 的值是( )A. 2013B. 2014C. 4025D. 40269.设,P Q是双曲线22x y -=上关于原点O 对称的两点,将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l 折成直二面角,则折叠后线段PQ 长的最小值为( )A.B.C. D. 410.已知满足条件221x y +≤的点(,)x y 构成的平面区域的面积为1S ,满足条件22[][]1x y +≤点(,)x y 构成的平面区域的面积为2S (其中[][]x y 、分别表示不大于,x y 的最大整数),则点12(,)S S 一定在( )A. 直线0x y -=上B. 直线210x y --=右下方的区域内C. 直线80x y +-=左下方的区域内D. 直线20x y -+=左上方的区域内二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题(请考生在11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)11.(极坐标与参数方程)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为,(1x t t y kt =⎧⎨=+⎩为参数),以O 为原点,Ox 轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为: 2sin 4cos ρθθ=,若直线l 和曲线C 相切,则实数k 的值为 .12.(几何证明选讲:2012•佛山一模)如图,P 为圆O 外一点,由P引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点,引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知,2,1AB AC PA PC ⊥==,则圆O 的面积为 . 13.(不等式选讲)若不等式|1|22a x y z -≥++,对满足2221x y z ++= 的一切实数,,x y z 恒成立,则实数a 的取值范围是 . （二）必做题(14 ～16题)14.如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线2y x =和曲线y (阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的), 则所投的点落在叶形图内部的概率是 .15.在ABC ∆中有如下结论:“若点M 为ABC ∆的重心,则MA MB MC ++=0”,设,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 的对边,点M 为ABC ∆的重心.如果aMA bMB cMC +=0,则内角A 的大小为 ;若3a =,则ABC ∆的面积为 .16.(03 年全国卷)设数列{}n a 是集合{22|0s t s t +≤<,且,}s t Z ∈中所有的数从小到大排列成的数列,即1233,5,6,a a a === 4569,10,12,a a a === ,将数列{}n a 各项按照“上小下大,左小右大”的原则写成如右的三角形数表:(1)这个三角形数表的第四行各数从左到右依次为 ; (2)100a = .B CP三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量(2cos ,cos ),,2cos )x x x x ==a b ,函数()3f x =⋅+a b .(Ⅰ)当(0,)2x π∈时,求函数()f x 的值域;(Ⅱ)若28()5f x =,且5(,)612x ππ∈,求cos(2)12x π-的值.18.(本小题满分12分)某高中社团进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“ 微博”的调查,若开通“微博”的称为“时尚族”,否则称为“非时尚族”.通过调查分别得到如图1所(Ⅱ)从[40,45)和[45,50)岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛,其中选取3人作为邻队,若选取的3名领队年龄在[40,45)岁的人数为X ,求X 的分布列和期望()E X .19.(本小题满分12分)(2013·盐城三模)如图,三棱锥P ABC -中,已知PA ⊥平面,ABCABC ∆是边长为2的正三角形,,D E 分别为,PB PC 中点. (Ⅰ)若2,PA =求直线AE 与PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)若平面ADE ⊥平面PBC ,求PA 的长.AD CB EP20.(本小题满分13分)由于澳大利亚只有一些袋类低级动物,兔子在这里称王称霸,无限制地繁殖,并与牛羊争草吃,使得全澳牧业损失掺重.澳大利亚政府为维持生态平衡,需从宏观上考察兔子的再生能力及捕杀强度对免子总量的影响,用n x 表示兔子在第*()n n N ∈年年初的总量,且10x >,不考虑其它因素,设在第n 年内兔子的繁殖量及被捕杀量都与n x 成正比,死亡量与2n x 成正比,这些比例系数依次为正常数,,.a b c (Ⅰ)求1n x +与n x 的关系式;(Ⅱ)若2,1a c ==,为保证对任意1(0,2)x ∈,都有*0,n x n N >∈,则捕杀强度b 的最大允许值是多少?证明你的结论. 21.(本小题满分13分) 如图,HIJK 是边长为2的正方形纸片,沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折后点I 都落在边HK 上,记为I ',折痕l 与HI 交于点E ,点M 满足关系式EM EI EI '=+ .若以 I 为原点,IJ 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图).(Ⅰ)求点M 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)若将轨迹C 的方程中的x 的范围扩充为全体实数R ,得到曲线L 的方程,再将曲线L 的图象先向下平移一个单位,然后沿直线y x =轴翻折,最后每个点的横坐标伸长为原来的两倍(纵坐标不变)得到曲线D 的图象,设Q 为曲线D 上的一个动点,点B C 、在y 轴上,若QBC ∆为圆22(1)1x y ++=的外切三角形,求QBC ∆面积的最小值.22.(本小题满分13分)已知函数3(),()2,x x f x e e g x x ax a -=+=+为实常数. (Ⅰ)求()f x 在区间[1,ln 2]-上的最大值;(Ⅱ)当1a =-时,证明:0x R ∃∈,使得()y f x =和()y g x =的图象在0x x =处的切线互相平行; (Ⅲ)若对任意x R ∈不等式()'()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.参考答案一、选择题D B C B C ;A D C D B 二、填空题11. 1. 12.94π. 13.4a ≥或2a ≤-. 14.13. 15.6π. 16.(1)17,18,20,24;(2)16640.三、解答题17.【解】(Ⅰ)由已知2()22cos 32cos24f x x x x x =++=++ 2sin(2)46x π=++…………………………………………………3分当(0,)2x π∈时,72(,)666x πππ+∈,故1sin(2)(,1]62x π+∈-.故函数()f x 的值域为(3,6]………………………………………………………………6分(Ⅱ)由28()5f x =,得282sin(2)465x π++=,即4sin(2)65x π+=. 因为5(,)612x ππ∈,则2(,)62x πππ+∈,所以3cos(2)5x π+=-…………………………8分故cos(2)cos[(2)]cos(2)sin(212646x x x x πππππ-=+-=+++=………12分 18.【解】(Ⅰ)依题分布直方图知第二组的频率为 21(0.040.040.030.020.0f =-++++⨯= 所以第二组的高为220.065f h ==,频率分布直方图如右所示:又结合表(1)知第一组的人数为1202000.6=,又10.0450.2f =⨯=,所以样本容量为1200n f == 又第二组的人数有221000300n f =⨯=,故1950.65300p ==……………………………4分同理第四组人数有41000(0.035)150n =⨯⨯=人,故1500.460a =⨯=………………5分 (Ⅱ)因为[40,45)岁和[45,50)岁年龄段的“时尚族”的人数比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人,[40,45)岁中有12人,[45,50)岁中有6人,…………6分故随机变量X 服从超几何分布.X 的所有可能值为0,1,2,3.且0312********1818515(0),(1),20468C C C C P X P X C C ====== 21301261263318183355(2),(3),68204C C C C P X P X C C ====== 所以随机变量X 的分布列为所以数学期望5153355()012322046868205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………12分 19.【解】(Ⅰ)如图,取AC 中点F ,连接BF ,则BF AC ⊥,以A 为坐标原点,过A 且与FB 平行的直线为x 轴,AC 为y 轴, AP 为z 轴,建立空间直角坐标系 (2)则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)A B C P E ,从而有 ,1,2),(0,1,1)P B A E =-=,设直线AE 与PB 所成的角为 θ,则||1cos 4||||PB AE PB AE θ⋅==⨯,即直线AE 与PB 所成角的余弦值为14.……………………………………………………6分(Ⅱ)设0PA a =>,则(0,0,)P a ,从而),PB a =-(0,2,)P C a =- ,设平面PBC 的法向量为1(,,)x y z =n ,则110,0PB PC ⋅=⋅=n n,即有 0,20y az y az +-=-=⎪⎩令2z =时,则,3x y a ==.所以1,,2)3a =n ………………8分又因为,D E 分别是,PB PC 的中点,所以1,),(0,1,),222a aD E 则1,),(0,1,).222a aAD AE == 设平面ADE 的法向量为2(,,)x y z =n ,则220,0AD AE ⋅=⋅=n n ,有10,220,2ax y z a y z ++=⎨⎪+=⎪⎩,令2z =时,有,x y a ==-,故2(,,2)a =-n ……………………………………………………………………10分又因为平面ADE ⊥平面PBC ,所以12120()()220a a ⊥⇔⋅=⇔⨯+⨯-+⨯=n n n n解得a =,即PA =分20.【解】(Ⅰ)从第n 年初到第1n +年初,兔子的繁殖量为n ax ,被捕杀量为n bx ,死亡量为2n cx ,因此2*1,n n n n nx x ax bx cx n N +-=--∈,即*1(1),n n n x x a b cx n N +=+--∈,……………4分 (Ⅱ)当2,1a c ==时,则*1(3),n n n x x b x n N +=--∈,若b 的值使得0n x >,则只需30n b x -->对*n N ∈恒成立,即03n x b <<-,于是令1n =时,必有103x b <<-也成立.而1(0,2)x ∈,于是23b ≤-,即(0,1]b ∈.由此猜想b 的最大允许值是1.……………………………………………………………8分下面用数学归纳法证明,当1(0,2),1x b ∈=时,都有(0,2)n x ∈ ①当1n =时,结论显然成立;②假设当*(,1)n k k N k =∈≥时,结论成立,即有(0,2)k x ∈,则当1n k =+时,由*1(3),n n n x x b x n N +=--∈得,212(2)()12k k k k k x x x x x ++-=-≤=(当1k x =时取到“=”)所以1(0,1](0,2)k x +∈⊆,即当1n k =+时,结论也成立.综上①②可知对一切*n N ∈,都有(0,2)n x ∈.故捕杀强度b 的最大允许值为1.………………………………………………………13分 21.【解】(Ⅰ)设(,)M x y ,由题可知(0,0)I ,设(0,),(0,2)E t t ∈,(,2)I s '，连结II EJ A ''= ,则,(,1)2s II EJ A ''⊥,又(,2),II s '= (,1)2s E A t =- ,所以22202s t +-=,即244s t =-………3分又EM EI EI '=+ 得,,2x s y t =⎧⎨=-⎩代入上式得214x y =-+, 又因为点I 都落在边HK 上,故0,2]x s =∈[,即21,024x y x =-+≤≤…………………5分(Ⅱ)依题意曲线D 的方程是22(0)y x x =-≤………………………………………………6分(参考:22222121244424y=x ,x x y x y y y x y x =-+=-=-=-⇔=-沿直线向下平移横坐标伸长为原来个单位的倍纵坐标不变轴翻折 )设200000(,),0,2Q x y x y x <=-,显然直线,QB QC 的斜率都存在,记(0,),(0,),B b C c b c ≠,又设直线00:,y b QB y kx b k x -=+=,1=, 即2210b kb --=,也所以200210y bb b x ---=, 可化为2000(2)20x b y b x +--=. 显然同理可得2000(2)20xc y c x +--=,所以,b c 是2000(2)20x x y x x +--=两根,且200044(2)y x x ∆=++=故00002,22y x b c bc x x -+==++,所以002|||||2|x b c x -=+, 所以20001||||2|2|QBCx S BC x x ∆=⨯=+,又注意到,B C 在原点两侧,故0002x bc x =-<+, 即020x +<,于是20001||||22QBCx S BC x x ∆=⨯=-+,令0(2)m x =-+,则0m >, 于是2(2)44QBC m S m m m∆--==++≥8(当2m =,即04x =-时取到等号).所以QBC ∆面积的最小值为8.…………………………………………………………13分 22.【解】(Ⅰ)21(1)(1)()'x x x xxx xe e ef x e e e e --+-=-==, 显然当(0,)x ∈+∞时,'()0,()f x f x >递增;当(,0)x ∈-∞时,'()f x 所以()f x 在区间[1,ln 2]-上的最大值为(1),(ln 2)f f - 因为1(1)(1)(ln 2)f e f f e -=+=>,所以()f x 在区间[1,ln 2]-上的最大值为1(1)f e e-=+.(Ⅱ)当1a =-时,2(),'()23'x x f x e e g x x -=-=-, 依题意0x R ∃∈,使得00'()'(),f x g x =且00()()f x g x ≠, 令2()'()'()32x x h x f x g x e e x -=-=-+- (结合函数2,32x x y e e y x -=-=-+草图如右)由1(0)20,(1)10h h e e=-<=-+>,所以0(0,1)x ∃∈,使得000()0'()'()h x f x g x =⇔=.又当(0,1)x ∈时,()2x x f x e e -=+≥=,而3()2,(0,1)g x x x x =-+∈,由222'()233()3(3g x x x x x =-=--=-可知,当)x ∈时,'()0g x >,当(3x ∈时,'()0g x <,所以当x =时,()g x 有极大值,也是最大值,此时2()(2))23g x g ≤-<所以当(0,1)x ∈时,()()g x f x <恒成立,即00()()f x g x ≠.所以当1a =-时,0x R ∃∈,使得()y f x =和()y g x =的图象在0x x =处的切线互相平行. (Ⅲ)令2()()()23'x x F x f x g x e e ax -=-=+--,显然()F x 为R 上偶函数,故()'()f x g x ≥恒成立()0F x ⇔≥对[0,)x ∈+∞恒成立. 又因为(0)0F =,可知此时函数min ()0F x =.则又'()()6,0x x F x e e ax x -=--≥,注意到000x x e e e e ---≥-=,所以 ①当0a ≤时,'()0F x ≥,则()F x 在[0,)+∞上递增,符合题意; ②当0a >时,()6"x x F x e e a -=+-,注意到2x x e e -+≥,所以1)当103a <≤时,则"()0,'()F x F x ≥在[0,)+∞上递增,于是'()'(0)0F x F ≥=, 也所以()F x 在[0,)+∞上递增,符合题意;……………………………………………11分2)当13a >时,令"()0F x =的零点为0x t =>,易知函数"()F x 为增函数(其导函数在[0,)+∞上恒大于0),故可知当[0,)x t ∈时,"()0F x <,也所以'()F x 在[0,)t 上递减,故有 ()'(0)0'F x F ≤=,从而()F x 在[0,)t 上递减,于是出现()(0)0F x F <=,这与min ()0F x =矛盾!舍去;综上可知a 的取值范围为1(,]3-∞为所求.………………………………………………13分。

湖南师大附中2021届高三(上)月考数学试题(二)(wd无答案)

湖南师大附中2021届高三（上）月考数学试题（二）一、单选题(★★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n边形等分成 n个等腰三角形(如图所示)，当 n变得很大时，这 n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 的展开式的常数项是（）A．B．C．D．(★★) 5. 对任意实数给出下列命题:①“ ”是“ ”的充要条件;②“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件;③“ ”是“ ”的充分条件;④“ ”是“ ”的必要条件.其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、未知(★★★) 6. 若，则 z=（） A ． B ． C ． D ．1(★★★) 7. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 8. 四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 甲､乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在内为优秀，则下列说法正确的有（）分组甲校频数3481515x32乙校频数 12891010y3A．计算得B．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C．估计甲校和乙校众数均为120D．估计乙校的数学平均成绩比甲校高(★★★) 10. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆 C与的图象交于 M， N两点，且 M在 y轴上，则下列说法中正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于点成中心对称C．函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称D．若圆半径为，则函数的解析式为(★★★) 11. 正方体中， E是棱的中点， F在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有（）A．侧面上存在点F，使得B．直线与直线所成角可能为C．平面与平面所成锐二面角的正切值为D．设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大为(★★★) 12. 如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和(其中位于 x轴上方)，直线交于点 Q.则下列说法正确的是（）A．两点的纵坐标之积为B．点Q在定直线上C．点P与抛物线上各点的连线中，最短D．无论旋转到什么位置，始终有(★★★) 13. 如图所示，在平面直角坐标系中，，则点 D的坐标为_________.(★★★) 14. 在① ，② ，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知的内角的对边分别为，，而且_____.（1）求；（2）求周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★★) 15. 如图1，在中，， D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角.（1）求证：平面平面；（2）设 E为的中点，，求二面角的余弦值.(★★★) 16. 设函数，其中.（1）若，证明：当时，；（2）若在区间内有两个不同的零点，求 a的取值范围.(★★★) 17. 已知点 P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线 l与半径相交于 M点， P在圆周上运动时，设点 M的运动轨迹为.（1）求点 M的轨迹的方程；（2）若点N在双曲线(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.三、填空题(★★) 18. 已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.(★★★)19. 过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．(★★★) 20. 已知函数，其中为自然对数的底数.若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是__________________.四、解答题(★★) 21. 已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得．(★) 22. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.。