离散数学第11章 平面图
离散数学 平面图
定义 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G 的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图. 例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入， (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.
1
平面图和平面嵌入(续)
今后称一个图是平面图,
4
极大平面图
定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图.
性质 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如 K1, K2, K3, K4都是极大平面图. 极大平面图必连通. 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥. 设G为n(n3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3. 任何n(n4)阶极大平面图G均有δ(G)3.
3
平面图的面与次数(续)
例1 右图有4个面, deg(R1)=1, deg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8. 请写各面的边界.
例2 左边2个图是同一个平面 图的平面嵌入. R1在(1)中是 外部面, 在(2)中是内部面; R2 在(1)中是内部面, 在(2)中是 外部面. 其实, 在平面嵌入中 可把任何面作为外部面.
K3,3
2
平面图的面与次数
设G是一个平面嵌入 G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域 无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示 有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组 面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回 路, 也可能是复杂回路, 还可能是非连通的回路之并. 定理 平面图各面的次数之和等于边数的2倍.
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点
第二章命题逻辑
1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；
2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；
3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；
4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；
5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；
6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；
7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；
8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；
9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)
10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则
①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；
第三章谓词逻辑
1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；
多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；
第四章集合
1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；
2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；
3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；
4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；
5.集合的分划：(等价关系)
①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；
《离散数学》考试大纲
《离散数学》课程考试大纲
一、考试对象
修完本课程规定内容的计算机科学与技术、网络工程、软件工程专业本科学生。
二、考试目的
考核学生对《离散数学》的基本概念、基本理论和基本方法的掌握和运用能力, 属水平测试。
三、考试的内容和要求
第一章集合
考试内容：
集合的概念、集合的表示、集合的基本运算、笛卡尔积。
考试要求：
1、理解集合概念的本质和内涵；
2、熟悉集合的各种表示方法；
3、掌握集合的四种基本运算。
第二章关系
考试内容：
关系及其表示、关系的运算、等价关系、划分、序关系。
考试要求：
1、理解关系的概念，会用关系表示对象之间的联系；
2、掌握关系的运算；
3、了解等价关系与划分之间的联系；掌握序关系的性质。
第三章映射
考试内容：
映射的基本概念、单射、满射、双射、映射的运算。
考试要求：
1、理解映射的基本概念；
2、掌握单射、满射、双射之间的关系；
3、熟悉映射的运算。
第四章可数集与不可数集
考试内容：
集合的等势、集合的基数、可数集与不可数集。
考试要求：
1、掌握等势的概念；
2、了解基数之间大小比较；
3、理解可数集与不可数集之间的本质区别。
第五章图与子图
考试内容：
图的概念、图的同构、子图及图的运算、途径、链、通路、连通图、图的矩阵表示。
考试要求：
1、掌握图的基本概念，了解各种特殊的图；
2、熟悉图的同构，掌握途径、链、通路之间的关系；
3、了解连通图的各种性质。
第六章树
考试内容：
树的概念、树的几种等价定义、生成树及其应用。
考试要求：
1、掌握树的几种等价定义；
2、了解生成树的构造；
3、熟悉生成树应用。
第七章E图与H图
考试内容：
离散数学中的图的平面图与平面图的着色
图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。平面图的着色
是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。
平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。
对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。四色定理指出，任
何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就
能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。这个定理在
1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认
为是图论史上的一大突破。
对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。四色标号是指对于
任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点
之间的差值不超过3。这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。
平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际
的应用。比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，
以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。另外，平面图的着色
还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机
科学中用于处理图像等等。
离散数学第11章答案(刘玉珍 刘永梅)
习题11.1
1． 若n 个顶点的简单无向图G 中至少有2个孤立点，则结论自然成立；若G 中只有一个孤立点，而2n ≥，则G 中至少有3个顶点，其中至少有2个非孤立点，可不考虑孤立点；若G 中无孤立点，则G 中n 个顶点度数均不小于1.现设G 中n 个顶点的度数均不小于1，又G 为简单图，故所有顶点的度数均不大于n-1，即n 个顶点的度数的取值只能是1，2，…，n-1,由鸽舍原理知，结论成立。 2． 设G 有x 个顶点，则92)6(36)deg(122>⇒⨯-+⨯≤=⨯∑∈x x v V
v
3． m n k n k n n k n v m k k k V
v 2)1()1()()deg(2-+=⇒+⨯-+⨯==∑∈
4． ∑∈∈⨯≤=≤∈⨯V
v V v v n v m V v v n })max{deg()deg(2})deg(min{
故所证不等式成立。
5.（1）非同构的4个顶点的自补图只有一个；非同构的5个顶点的自补
图有2个
（2）G 为自补图⇒G 与G 的边数相同，设均为m ，又G 与G 的边数之和为n K 的
边数
2)1(-n n ，即2
)
1(-n n =2m ，亦即)1(-n n =4m ，故n 为4的倍数，即n=4k ，或n-1为4的倍数，即n=4k+1，+∈I k
6.（1）<0,1,1,2,3,3>,<3,3,3,3>均为可图解的，其对应图为
<1,3,3,3>非可图解，否则，设3)deg()deg()deg(,1)deg(4321====v v v v ，由于要构成无向简单图，故，1v ，2v ，3v ，4v 之间必定有边关联，这与1)deg(1=v 矛盾，< 2，3，4，4，5>,<2,2,4>非可图解，以为简单图中所有顶点的度数多为n-1。
离散数学平面图课件ppt
（2）是（1）的平面嵌入，（4）是（3）的平面嵌入。
2、 几点说明及一些简单结论
一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，但讨论某些性质时， 一定是指平面嵌入。
K5和K3,3都不是平面图。 定理17.1 设GG，若G为平面图，则G也是平面图。
设GG，若G为非平面图，则G也是非平面图。
一、欧拉公式相关定理
1、 欧拉公式 定理17.6 对于任意的连通的平面图G，有
n-m+r=2 其中，n、m、r分别为G的顶点数、边数和面数。
证明
对边数m作归纳法。 (1) m＝0时，由于G为连通图，所以G只能是由一个孤立顶
点组成的平凡图，即n=1，m=0，r=1，结论显然成立。 (2) m＝1时，由于G为连通图，所以n=2，m=1，r=1，结论
解答
对K3,3加1～6条边所得图都含K3,3为子图，由库拉图斯基定理可 知，它们都是非平面图。 在加2条、加3条、加4条边时又各产生两个非同构的非平面图， 连同K3,3本身共有10个满足要求的非平面图。其中，绿线边表示 后加的新边。
小节结束
17.4 平面图的对偶图
一、对偶图的定义
定义17.6 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的对偶图 G*如下：
i 1
i 1
i 1
i 1
经整理得 n-m+r = k+1。
离散数学 第11章 特殊图
2015/12/25 110-15
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
定义11.2.2
设G = <V, E>，e∈E，如果
p(G-e)＞p(G) 称e为G的桥(Bridge)或割边(Cut edge)。 显然，所有的悬挂边都是桥。
对欧拉通路 L的任意非端点的结点 vik ，在 L中每出 现 vik 一次，都关联两条边 ejk和 ejk 1，而当 vik 重复 出现时，它又关联另外的两条边，由于在通路 L 中 边不可能重复出现，因而每出现一次都将使获得 2 度。若在L中重复出现p次，则deg(vik )= 2p。
2015/12/25
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
离散数学
电子科技大学计算机科学与工程学院
2015年12月25日星期五
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
第11章
特殊图
1
欧拉图 集合的表示方法 哈密顿图 偶图
2
3
4
平面图
110-2
2015/12/25
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程 双语示范课程
2015/12/25 110-20
离散数学-第11章
(G )分别为G 的最大度和最小度。在有向图D 中，类似可定义 称 (G ) ， 最大度 (G ) 和最小度 (G ) 。另外，令
(G) max{ d (v) | v V (G)} (G) min{ d (v) | v V (G)}
(G) max{ d (v) | v V (G)}
(G) min{ d (v) | v V (G)}
(G) max{ d (v) | v V (G)}
(G) min{ d (v) | v V (G)} 分别称为D的最大出度，最小出度，最大入度，最小入度。以上记号可以
12
Hale Waihona Puke Baidu
11.1.2 简单图、多重图和同构图
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
离散数学11
（1）否定（Negation） （一元联结词）
1.定义 定义1-2.1 设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记 作 ┐P。若P为T，┐P为F；若P为F，┐P为T。联结词“┐” 表示命题的否定，称为否定联结词或否定词，读作“非” 或“not”。否定联结词有时亦可记作“ˉ”。 2.真值表
表1-2.1
§1—2 联结词
在数理逻辑中，复合命题是由原子命题 与逻辑联结词组合而成，命题的连接方式叫 做命题联结词或命题运算符。联结词是复合 命题中的重要组成部分，为了便于书写和进 行推演，必须对联结词作出明确规定并符号 化。我们主要讨论下述五种联结词（亦称真 值联结词，逻辑联结词或逻辑运算符），借 助它们组成复合命题。
教学内容
§1—1 命题及其表示法 §1—2 联结词 §1—3 命题公式与翻译 §1—4 真值表与等价公式 §1—5 重言式与蕴含式 §1—6 其它连结词
学时
2 2
2 2
§1—7 对偶与范式
§1—8 推理理论
2
4
第一章 命题逻辑 第1讲 §1—1 命题及其表示法 §1—2 联结词 要求：深刻理解命题、真值、 原子命题 、 复合命题 、命题标识符、命题常量、 命题 变元、原子变元等概念， 熟练掌握命题的 联结词及其真值表。
练习：指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题， 指出它的真值。（见教材第8页习题（1）） a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 b）计算机有空吗？ c）明天我去看电影。 d）请勿随地吐痰！ e）不存在最大质数。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就 容易的多。 g）9+5≤12 h）x=3 i）我们要努力学习。
离散数学中的图的平面图与平面图的判断
离散数学是一门研究离散的数学结构的学科，其中图论是离散数学中的重要分支。图论研究的是图的性质及其应用，而平面图是图论中一个非常重要的概念。在离散数学中，平面图的概念以及平面图的判断是一个非常有趣且具有实际应
用的问题，本文将对平面图的概念以及如何判断图是否为平面图进行探讨。
首先，我们来定义平面图。在离散数学中，平面图是指可以画在平面上并且其
中不同边和不同顶点之间没有交叉的图。换句话说，如果将图的各个顶点用点
表示，将图的各个边用线段表示，那么这些点和线段在平面上的位置不会相互
交叉。
接下来，我们来看一下如何判断一个图是否为平面图。首先，我们需要了解一
个重要的定理，即欧拉定理。欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，它表明对于任何平面图都有一个重要的等式：顶点数减去边数再加上面（连通
分量的个数）等于2。这个定理为我们判断一个图是否为平面图提供了一个重
要的依据。
根据欧拉定理，我们可以得出一个结论：如果一个图的顶点数大于2且边数大
于等于3，并且满足顶点数减去边数再加上面（连通分量的个数）等于2的等式，那么这个图就是一个平面图。但这只是一个判断的充分条件，并不是必要
条件。
除了欧拉定理，我们还可以借助其他一些方法来判断图是否为平面图，例如柯
尼格斯堡七桥问题和柯辞定理。柯尼格斯堡七桥问题是一个历史上著名的问题，它可以用图论的方式进行描述：在柯尼格斯堡的一座岛屿上有7个桥，这些桥
将岛屿分为四个部分。问题是能否依次经过这7个桥恰好一次并且回到原点。
通过研究这个问题，柯辞定理得出了一个结论：如果一个图中的所有顶点的度
离散数学图
陕西师范大学计算机科学学院
欧拉是这样解决这个问题的：将四块陆
地表示成四个点，桥看成是对应结点之间的 连线。则哥尼斯堡七桥问题就变成了：从A， B ， C ， D 任一点出发，通过每边一次且仅一 次返回原出发点的路线（回路）是否存在？ 欧拉证明这样的回路是不存在的。
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第二阶段是从 19 世纪中叶到 1936 年。
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图论的产生和发展经历了二百多年的历
史，大体上可分为三个阶段： 第一阶段是从 1736 年到 19 世纪中叶。 当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问 题。最有代表性的工作是著名数学家欧拉于 1736年解决的哥尼斯堡七桥问题。
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东普鲁士的哥尼斯堡城（今俄罗斯的加里宁格
论应用于电网络研究。1857年英国的凯莱也
独立地提出了树的概念，并应用于有机化合 物分子结构即CnH2n+2的同分异构物数目的研 究中。 1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
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第三阶段是 1936 年以后。由于生产管
若边e与无序结点对 [u, v]对应，称e为无
向边（ Undirected edge ），简称边，记为
e=[u, v]，u、v称为边e的端点，也称u和v为
离散数学平面图
A
8
2、几点说明
若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需 要指出外部面。
回路组是指：边界可能是初级回路（圈），可能是简单回 路，也可能是复杂回路。特别地，还可能是非连通的回路 之并。
R1
Байду номын сангаасR0
R3
R2
平面图有4个面，deg(R1)=1, deAg(R2)=3, deg(R3)=2, deg(R0)=8。 9
若G不是树，则G中含圈。
设边e在G中某个圈上，令G'=G-e，则G'仍连通且m'=m-1=k ， n'=n，r'=r-1。
由假设有 n'-m'+r'=2。
于是 n-m+r=n'-(m'+1)-(r'+1)=An'-m'+r'=2
17
定理17.7 对于具有k(k≥2)个连通分支的平面图G，有
n-m+r = k+1
定理17.3 平面图G中所有面的次数之和等于边数m的两倍，即
r
deg(R i)2m 其 中 r为 G 的 面 数
证
i 1
明
本定理中所说平面图是指平面嵌入。
e∈E(G)，
当e为面Ri和Rj(i≠j)的公共边界上的边时，在计算Ri和Rj的次 数时，e各提供1。
离散数学平面图资料讲解
18
平面图的对偶图(续)
平面图与对偶图的阶数、边数与面数之间的关系: 设G*是平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别 为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n-p+1, 其中p是G的连通分支数 (4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中, 则d(vi*)=deg(Ri)
5
极大平面图
定义 若G是简单平面图, 并且在任意两个不相邻的顶点之 间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图.
性质
• 若简单平面图中已无不相邻顶点，则是极大平面图. 如
K1, K2, K3, K4都是极大平面图.
• 极大平面图必连通. • 阶数大于等于3的极大平面图中不可能有割点和桥. • 设G为n(n3)阶极大平面图, 则G每个面的次数均为3. • 任何n(n4)阶极大平面图G均有δ(G)3.
14
非平面图证明
例 证明下述2个图均为非平面图.
证
图中红色部分分别与K3,3和 K5 同胚
15
平面图的对偶图
定义 设平面图G, 有n个顶点, m条边和r个面, 构造G 的对偶图G*=<V*,E*>如下： 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点,
V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek为G中的桥且在 面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*).
离散数学屈婉玲第十一章
d(vi)+d(vj) n1
()
则G 中存在哈密顿通路.
推论 设G为n (n3) 阶无向简单图, 若对于G中任意两个不相
邻的顶点vi,vj, 均有
d(vi)+d(vj) n 则G中存在哈密顿回路.
（）
判断是否为哈密顿图
判断是否为(半)哈密顿图至今还是一个难题. (1) 观察出一条哈密顿回路或哈密顿通路. (2) 证明满足充分条件. (3) 证明不满足必要条件.
S={v | vV1且v在从vx出发的交错路径上} T={v | vV2且v在从vx出发的交错路径上} 除vx外, S和T中的顶点都是饱和点, 且由匹配边给出两者之间 的一一对应, 因而|S|=|T|+1. 这说明V1中有|T|+1个顶点只与V2 中|T|个顶点相邻, 与相异性条件矛盾.
t条件
例
前两个满足相异性条件, 第3个不满足 定理11.7 设二部图G=<V1,V2,E>, 如果存在t使得, V1中每个顶 点至少关联t条边, 而V2中每个顶点至多关联 t 条边, 则G 中存 在V1到V2的完备匹配.(t条件) 证 V1中任意k(1k|V1|)个顶点至少关联kt条边, 而V2中每个顶 点至多关联t条边, 这kt条边至少关联V2中k个顶点. G满足相异 性条件． 第2个图不满足t条件, 但有完备匹配.
图论方法描述如下: 设G=<V,E,W>为一个n阶完全带权图Kn, 各边的权非负, 且可能为. 求G中的一条最短的哈密顿回路.
离散数学-图论-平面图
有对偶图的充要条件
定理:G有对偶图 iff G是平面图. 证:即性质1. 即不可平面图没有对偶图.由Kuratowski定 理,不可平面图G一定含有同胚于K5或K3,3的子 图. 因此若K5和K3,3没有对偶图,则G也没有对 偶图. 利用性质4易验证K5和K3,3没有对偶图.
平面图的着色
3
面
定义: 平面图G的某些边围成一个封闭区域, 该区域内 任意两点间都可作一曲线相连,且该曲线不与任何顶点 和边相交,这种区域称为面.
面的边界:界定一个面的所有边.
边界的边数称为面的度(或次).
规定:割边计算两次.
面与它边界上的边和顶点相关联.
面的周线:由边界构成且把面包含在内的圈. 两个面若有公共边,则称相邻. G有且只有一个无界面,即G外的区域,称为外部面;其余面都称 内部面.
13
例:对偶图
对偶图的性质
性质1:若G是平面图,则G必有对偶图G*,且G*是 唯一的.
可平面图的不同平面嵌入可有不同构的对偶图. 即使G不连通.
性质2: G*是连通图.
性质3:若G是连通平面图,那么(G*)* G. 性质4:对连通平面图G及其对偶图G*: m m*, n d *, d n*
例:面,边界,度,周线,相邻
【离散数学讲义】9.平面图54
⑴当r=1 时, G的每条边都是割边. 又G是连通的, 故G是树. (无圈连通),
所以总是 有
m =n-1,
于是
n-m+r=n-(n-1)+1=2 结论成立.
⑵假设当G有r≤k-1个面时, 结论成立.
⑶当G有r=k 个面且是连通图时, 当k≥2 时, 至少有一个
回路, 所以去掉此回路中的一条边后得到子图G’, G’中有
又
d(f ) 2m
fF
4r
d(f ) 2m 18.
fF
r≤4. 由Euler公式，有 2=n-m+r≤6-9+4=1 矛盾。
图的外可平面性(平面图的判断问题)
下面要介绍两个判定一个图是平面图的充分且必要条件, 即Kuratowski(库拉托斯基)定理. 在此之前先介绍两个 新运算----插入或消去2度点。
证明：设G是n≥3的简单连通平面图, 则对fF， d(f) ≥ 3成立,
所以 d(f ) 3r f F
又由于 d(f ) 2m，所以2m ≥ 3r,
由Euler公fF式n-m+r=2，得 m≤3n-6。 用此推论可以判定一个图不是平面图.
推论2. 若G是简单连通平面图, 则≤5.
例如右图.就是 可平面化的图.
下面是两个
v1
v2