0108东北大学高等数学上期末考试试卷

东北大学高等数学(上)期末考试试卷2001.1.10一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共3小题, 每小题4分, 共12分）1．⎰=dx xe x3（ ）2．d （ ）=24)111(dx x x++ 3．与三点123(1,1,2),(3,3,1),(3,1,3)M M M -决定的平面垂直的单位向量=→a （ ）二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共3小题, 每小题4分, 共12分) 1．当0→x 时，)cos 3(cos 41x x -是2x 的（ ） （A ） 高阶无穷小；（B ）同阶无穷小；但不是等价无穷小； （C ） 低阶无穷小；（D ）等价无穷小2．若⎰+==xtx c dt t ex f e x x g 022213)(,)(，23)()(lim =''+∞→x g x f x 则必有（ ） （A ）0=c ；（B ）1-=c ； （C ）1=c ； （D ）2=c3．已知4),(,2,1π===→→→→b a b a ，则=+→→b a （ ）（A ）5； （B ）21+； （C ）2；（D ）1 三．试解下列各题（5⨯7=35分）1. 求极限 xx xx x sin tan lim20-→.2. 242arcsin x x x y -+=，求y '3. 设函数⎩⎨⎧+=+=),1ln(,22t y t t x 求22dx yd . 4. 求不定积分⎰+21xxdx .5. 计算⎰+a adx a x x 2)ln(.四、（9分）设⎩⎨⎧≤->=1,1,)(2x x x x x f 研究)(x f 的连续性与可导性.五、（9分）已知直线L ：⎩⎨⎧=+-=-,133z y x y x 及点)2,1,2(0-P ，求点0P 到直线L 的距离.六、（9分）已知曲边三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求：（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕0=y 旋转所成旋转体的体积.七、（8分）设可导函数)(x f y =由方程3223323=+-y xy x 所确定，试讨论并求出)(x f 的极值.八、（6分）设函数)(x f 在闭区间[]4,2上有连续导数，且0)4()2(==f f ，证明：⎰≥'≤≤4242)()(max dx x f x f x .东北大学高等数学(上)期末考试试卷2002.1.21一、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题共4小题, 每小题3分, 共12分）1. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=,1,01,11cos 1)(x x x x x f a 若在1x =连续, 则a = . 2.2(sincos )22x x dx -=⎰ . 3.若f (x )在(,)-∞+∞上连续, 则2sin 3()x x d f t dt dx=⎰ . 4.设{}{},3,5,8,1,1,,a b a b a b z +=-=-=-则z = .二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题4分, 共16分)1．方程x 3-3x +1=0再区间(0,1)内（ ）（A ）无实根；（B ）有唯一实根；（C ）有两个实根；（D ）有三个实根.2．已知222112,1t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩, 则dy dx 为（ ） （A ） 21;2t t - （B ）21;2t t - （C ）21;2x x - （D ）22.1tt - 3．半径为R 的半球水池已装满水, 要将水全部吸出水池, 需做功W 为（ ） （A ）22()RR y dy π-⎰； （B ）20Ry dy π⎰； （C ）220()R y R y dy π-⎰； （D ）2Ry ydy π⎰.4. 设向量0,0a b ≠≠, 指出以下结论中的正确结论( ). （A ）0a b a b ⨯=是与垂直的充要条件； （B ）0a b a b ⋅=是与平行的充要条件；（C ）a b 与的对应分量成正比是a b 与平行的充要条件； （D ）若a b λ=(λ是数), 则0.a b ⋅= 三．试解下列各题（7⨯5=30分）1．求极限lim 1)n n →∞. 2. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求(0)y ''. 3. y =x ln x , 求y (n ).4．求不定积分2arctan x xdx ⎰.5．计算π⎰.四．（6分）求过点(0,2,4)且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行的直线方程. 五．（6分）讨论函数sin 20()ln(1)0,xx f x x x <⎧=⎨+≥⎩ 在x =0处的连续性与可导性.六．（10分）求由22,y x x y x =-==-在上半平面围成图形的面积.七．（9分）在椭圆4x 2+y 2=4上任一点M (x , y ) (点M 在第一象限)处的切线与o x 轴, o y 轴分别交于A , B 两点. (1)试将该切线与两坐标轴围成的三角形的面积s 表示为x 的函数； (2) 问x 为何值时三角形面积s 最小, 并求出此最小面积.八．（6分）设函数f (x )是二次可导函数,x =a , x =b ( a < b ) 是方程f (x ) =0的相邻两个根, 又存在(,)c a b ∈, 使f (c ) < 0. 试证: (1)在(a , b )内f (x ) <0; (2) 在(a , b ) 内至少存在一点η, 使()0.f η''<东北大学高等数学(上)期末考试试卷2003.1.10一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题, 每小题3分, 共12分）1． 设)(x f 处处连续，且3)2(=f ，则=→)2sin (3sin lim0xxf x x x ( )2． 函数31292)(23-+-=x x x x f 在闭区间( )单调减. 3． ⎰=xdx 2tan ( )4． 已知,23→→→→--=k j i a →→→→-+=k j i b 2，则→→b a ,夹角的余弦是( ) 二、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题共4小题, 每小题4分, 共16分) 1．)()(xxee x xf --=在其定义域),(+∞-∞是（ ）.（A ）有界函数； （B ）单调函数； （C ）奇函数； （D ）偶函数 2．设)100()4)(3)(2)(1()(+⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x x f ，则)1(f '=（ ）. （A ）101！； （B ）-100！； （C ）100!101-； （D ）99!100-. 3．定积分⎰4302sin πdx x =（ ）（A ）21； （B ）23； （C ）21-； （D ）23- 4．直线37423zy x =-+=-+与平面3224=--z y x 的关系是（ ）（A ）平行，但直线不在平面上； （B ）直线在平面上； （C ）垂直相交； （D ）相交但不垂直. 三．试解下列各题（6⨯6=36分）1． 求极限)1(1lim2222---→x x x ex x e2.设222,ln cos dx yd x x y 求= 3．设dy y x xyy x x y y ），求，所确定（由方程00arctan ln)(22≠≠=+=4．⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰22sin cos 2200ππt dx y d udu e y udue x tu t u 。

其中，求设. 5．⎰dx e x x 2求6．⎰>-a a dx x a x 02220）（计算四、（6分）设)(01)1ln(0)(11x f x x x e x f x ，求⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-的间断点，并说明间断点的所属类型.五、（8分）求过点（2，0，-3）且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程.六、（8分0求由曲线232x x y x y -==与所围城的平面图形的面积. 七、（8分）曲线631x y =（x>0）上哪一点的法线在y 轴上的截距为最小. 八、（6分）设f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内二阶可导，且()()0f a f b =≥，又有()0f c <()a c b <<.试证：在内至少存在两点1212()0()0f f ξξξξ''''>>，使，.东北大学高等数学(上)期末考试试卷2004.1.一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题末的括号中）(本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)1．设)(x f 在a x =处可导, 则=')(a f （ ） （A ）h a f h a f h )()(lim--→； （B ）ha f h a f h )()2(lim 0-+→；（C ）h a f h a f h )()2(lim--→； （D ）hh a f h a f h 2)()(lim 0--+→.2．函数⎰=x adt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ） （A ） 有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点.3．若b ax x x x f --+=1)(2, 当∞→x 时为无穷小, 则（ ） （A ）11==b a ，；（B ）11-==b a ，；（C ）11-=-=b a ，；（D ）11=-=b a ，.4．设⎩⎨⎧<≥-=0201)(x x x e x f x 当，当，, 则)(x f 在0=x 处（ ）（A ）)(lim 0x f x →不存在；（B ）)(lim 0x f x →存在, 但在0=x 处不连续；（C ）)0(f '存在； （D ）)(x f 在0=x 处连续, 但不可导. 5．0=x 是函数||sin 12)(1x xe xf x++=的（ ）间断点. （A ）跳跃；（B ）可去；（C ）无穷；（D ）振荡.二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）1．mxnxx tan tan limπ→（其中m,n 为正整数）= .2．⎰=++dx xx x 221)(arctan . 3．=+→xx x cos ln 12)3sin1(lim .4．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,1arctan )(22x a x xx x f , 在0=x 处连续, 则a = . 5．为使曲线23bx ax y +=有拐点(1,3), 则系数a = , b = .三．试解下列各题（7⨯6=42分）1．求xx xx x sin tan lim20-→.2．设arcsin2xy x =求y '.3．求参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数)(x y y =的二阶导数22dx y d .4．设0)ln(cos=++x e y y, 求 dy .5．计算不定积分⎰+dx x x 1ln .6．计算定积分⎰--223cos cos ππdx x x .7．计算广义积分⎰+∞+12)1(x x dx. 四、应用题（本题16分, 每小题8分）1． 求星形线323232a y x =+所围成图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.2． 在曲线21xy =上求一点M , 使过该点的切线被两坐标轴所截得的长度最短, 并求出这最短的长度.五、证明题（本题12分, 每小题6分）1． 证明不等式），（1>>x ex e x2． 设)(x f 在[0, 1]上连续, 在（0,1）内可导, 且1)21(0)1()0(===f f f ，, 证明在（0,1）内有一点ξ, 使1)(='ξf .东北大学高等数学(上)期末考试试卷2005.1.一、填空题（本题20分，每小题4分）1．已知lim 9xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a = . 2．设函数221()11x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩，，，当a = ,b = 时，f (x )在x =1处可导.3．方程017=-+x x 共有 个正根.4．当=x 时，曲线c bx ax y ++=2的曲率最大.5．⎰=20sin πxdx x .二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）若a x n n =∞→2lim ，a x n n =+∞→12lim ，则a x n n =∞→lim ；（B ）发散数列必然无界；（C ）若a x n n =-∞→13lim ，a x n n =+∞→13lim ，则a x n n =∞→lim ；（D ）有界数列必然收敛.2．函数)(x f 在0x x =处取得极大值，则必有（ ）. （A ）0)(0='x f ； （B ）0)(0<''x f ；（C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在； （D ）0)(0='x f 且0)(0<''x f . 3．函数⎰=xa dt t f x F )()(在][b a ，上可导的充分条件是：)(x f 在][b a ，上（ ）（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点.4．设⎰-+=2242cos 1sin ππxdx x x M ，⎰-+=2243)cos (sin ππdx x x N ， ⎰--=22432)cos sin (ππdx x x x P ，则必有关系式（ ）（A ）M P N <<； （B ）P M N <<； （C ）N P M <<； （D ）N M P <<. 5．设)(x f y =在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)()(00=''='x f x f ，而0)(0≠'''x f ，则必有（ ）.（A ）0x 是极值点，))((00x f x ，不是拐点； （B ）0x 是极值点，))((00x f x ，不一定是拐点； （C ）0x 不是极值点，))((00x f x ，是拐点； （D ）0x 不是极值点，))((00x f x ，不是拐点. 6．直线37423zy x L =-+=-+：与平面3224=--z y x ：π的位置关系是（ ）（A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直.6*．微分方程xx e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ）(A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）xx e c x b ae y 32)(*++=；（C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) xx cxe e b ax y 32)(*++=三、计算下列各题（每小题7分，共28分）1．计算⎰++4.122dx x x2．求dx x x x⎰++5423．设⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2，求22dx y d . 4．求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)11ln(lim 2x x x x . 四、解答下列各题（每小题7分，共21分）1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值.2．计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积.3．在由平面0232=+-+z y x 和平面03455=+-+z y x 所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点)1,3,4(0-M .3*．在曲线上每一点),(y x M 处切线在y 轴上的截距为22xy ，且曲线过点)2,1(0M . 求此曲线方程.五、（7分）设函数)(x f 在[]30，上连续，在（0，3）内可导，且有⎰=10)3()(31f dx x xf . 试证：必有)3,0(∈ξ使ξξξ)()(f f -='.东北大学高等数学(上)期末考试试卷2006.1.一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）1．下列结论中，正确的是（ ）（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛； （C ）收敛数列必有界； （D ）收敛数列必单调.2.设函数内有定义在),()(0δx U x f ,对于下面三条性质: ①)(x f 在0x 点连续;②)(x f 在0x 点可导;③)(x f 在0x 点可微. 若用“Q P ⇒”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ]. (A)②⇒③⇒①; (B) ②⇒①⇒③; (C)③⇒①⇒②; (D) ①⇒②⇒③.3. 曲线3xy x=-（ ）.（A ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线； （B ）仅有水平渐近线； （C ）仅有垂直渐近线； （D ）无任何渐近线. 4．函数)(x f 在[,]a b 上有定义，则()()baf x f x dx =⎰存在的必要条件是（ ）（A ）)(x f 在[,]a b 上可导； （B ）)(x f 在[,]a b 上可导连续； （C ）)(x f 在[,]a b 上有界； （D ）)(x f 在[,]a b 上单调.5．()y y x =是微分方程23xy y e ''+=的解，且0()0y x '=. 则必有（ ） （A ）()y x 在0x 某邻域内单调增加； （B ）()y x 在0x 某邻域内单调减少； （C ）()y x 在0x 取极大值； （D ）()y x 在0x 取极小值. 6．若)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 有一个原函数是（ ）. （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x -； （D ）1cos x +. 二、填空题（本题36分，每小题4分）1．1lim 1xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 2．1()11f x x =+的可去间断点是x = .3．1arctan y x=，则dy = .4．1x xe dx ⎰的值是 .5．20tan limsin x x xx x→-= .6. 0x +→2x x α，则α= .7.(2)(3)dxx x +∞=++⎰.8. 设2323x t t y t t⎧=-⎨=-⎩，则22d y dx = . 9. 微分方程14dy y dx x-=-满足条件(1)1y =的特解是y = . 三、（8分）计算不定积分22arctan 1x xdx x +⎰. 四、（8分）求曲线326124y x x x =-++的升降区间，凹凸区间及拐点. 五、（8分）求微分方程323xy y y xe -'''++=的通解.六、（10分）在[]0,1上给定函数2y x =，问t 为何值时，如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.t七、（6分）设)(x f 在[],a b 上连续，且不恒为常数. 又)(x f 在(,)a b 内可微，且()()f a f b =.试证：(,)a b ξ∃∈使()0f ξ'>.东北大学高等数学(上)期末考试试卷2007.1.10一．单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分） 1、设数列}{n x 收敛，}{n y 发散，则必有[ ]成立． (A) n n n y x ∞→lim 存在；(B) n n n x y ∞→lim存在；(C) )(lim n n n y x +∞→不存在； (D) nn n y x∞→lim 存在． .2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=,0,1sin 1,0,2,0,1)(1x x x x x e x f x 则0=x 是)(x f 的[ ]．(A)可去间断点； (B)跳跃间断点； (C)无穷间断点； (D)连续点．3．设x 在点0x 处有增量x ∆，函数)(x f y =在0x 处有增量y ∆．又0)(0≠'x f ， 则当0→∆x 时，y ∆是该点微分dy 的[ ]．(A)高阶无穷小； (B)等价无穷小；(C)低阶无穷小； (D) 同阶但不是等价无穷小．4、设)(x f 在),(+∞-∞上二阶可导且为奇函数，又在),0(+∞上,0)(,0)(>''>'x f x f则在)0,(-∞上必有[ ]．(A) 0)(,0)(<''<'x f x f ； (B) 0)(,0)(>''>'x f x f ； (C) 0)(,0)(>''<'x f x f ； (D) 0)(,0)(<''>'x f x f ． 5、设dx x ⎰=10α，dx x ⎰=102β，dx x x ⎰-=1022γ，则有关系式[ ]成立．(A) βαγ>>； (B) βγα>>；(C) αβγ>>； (D) γαβ>>． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1．xx x 210)3sin 1(lim +→=______．2．方程0155=--x x 在(1,2)内共有______个根．3．_____sin )1(2227=+⎰-xdx x ππ． 4．=+⎰dx x x x )1(arctan =__________________．5．球体半径的增长率为s m 02.0，当半径为m 2时，球体体积的增长率为________s m 3．6．微分方程032=-'+''y y y 的通解为=y ________________． 三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共计24分）1. 设⎩⎨⎧==3ln t y t x ，求122=t dx y d ．2．求)tan 11(lim 2x x xx -→． 3．求dx xx ⎰-224．4．求微分方程0)(2=--dy x ydx y x 的通解．四．（10分）设)0(+∞<≤=-x xe y x 求函数的极大值，函数曲线的拐点．并求曲线与直线0,1,0===y x x 所围成曲边梯形的面积及此平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积．五．（8分）在曲线上任一点),(y x M 处切线在y 轴上的截距为22xy ，且曲线经过点)2,1(0M ，求此曲线的方程．六．（8分）设⎩⎨⎧>+≤≤=110)(2x b ax x x x f ，适当选取b a ,值，使)(x f 成为可导函数．令⎰=xdt t f x 0)()(ϕ，并求出)(x ϕ的表达式．.七．（6分）设)(x f 具有二阶连续导数，且)()(b f a f =，,0)(,0)(>'>'b f a f .试证：),(b a ∈∃ξ，使0)(=''ξf ．东北大学高等数学(上)期末考试试卷2008.1.10一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1．数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n nn n nn n f 1 2)(，当∞→n 时，)(n f 是 [ ]．(A) 无穷大；(B) 无界但非无穷大；(C) 无穷小； (D) 有界但非无穷小． 2．设cos(2)4y x π=+，则()n y = [ ]．(A) 2n 21cos[2]4n x π++； (B) 2cos[2]4n n x π+； (C) cos[2]2n x π+； (D) 21cos[2]4n x π++．3．设2sin ()sin d x t xF x e t t π+=⎰，则()F x 为 [ ]．(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 恒为零 (D) 不为常数． 4．设y =()y x 是方程23x y y e '''+=的解，且0()0y x '=，则()y x 在 [ ]． (A) 0x 的某个邻域内单调增加； (B) 0x 的某个邻域内单调减少；(C) 0x 处取极小值； (D) 0x 处取极大值．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）1. 32sin()0x y e xy -+=在0x =处的切线方程是 ．2. 一个圆锥形容器，深度为10m ，上面的顶圆半径为4m ，则灌入水时水的体积V 对水面高度h 的变化率为 ． 3．曲线326124y x x x =-++的拐点为 ．4．满足微分方程初值问题20d (1)d 1 x x y y ex y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．三、（7分）设 23, 01;2()1, 1 2.x x f x x x⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 试研究函数()f x 在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1.x →.2. 10sin lim xx x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3.设arctanx y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩， 计算22d d y x4. 计算积分ln(x x +⎰5.计算积分12d x x6. 求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．五、（7分）由曲线0y =，8x =，2y x =围成曲边三角形OAB ，其中A 为0y =与8x =的交点，B 为2y x =与8x =的交点．在曲边OB 上求一点，过此点作2y x =的切线，使该切线与直线段OA ，AB 所围成的三角形面积为最大六、（7分）求心形线(1cos )r a θ=+与圆3cos r a θ=所围图形公共部分的面积．七、（7分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足1()()()d 01xf x f x f t t x '+-=+⎰， (0)1f =. 1. 求()f x '；2. 证明：当0x ≥时，()x f x e -≥．（4分）设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()0f x ''>，证明()d ()()2ba a bf x x b a f +≥-⎰．参考答案 2001.1.17一、1. 23e C +； 2. C x x ++2arctan 2；3.}3,2,2,()--仅有一个符号扣1分 二、1. B ； 2. C ； 3. A. 三、1.23200tan sec 1lim lim (3)3x x x x x x x →→--==原式分220tan 1lim (7)33x x x →==分2. arcsin (6)2x y '=+分arcsin (7)2x =分3. 21(3)2(1)dy dx t =+分2241(7)2(1)d y dx t =-+分4.2tan sec csc (3)tan sec x tt dt tdtt t===⎰⎰原式分ln csc cot (6)ln(7)t t C C =-+=+分分5.2221ln()(3)22a a a ax x x a dx 2x a+-+⎰=原式分22222212ln(3)ln(2)()(5)223ln(3)(7)24a a a a a a a x a dxx aa a a =---++=-⎰分分四、(1)1,(10)1,(10)1,()1,(2)f f f f x x -=--=-+==-故在处连续分(1)1,(10)1,(10)1,()1,1(5)f f f f x x x -=--=-+===故在处间断为第一类(跳跃)间断点分()f x ∞∞的连续区间为(-,1)(1,+)(6分)1,(),(1)2,(1) 1.()1()(8)f x f f f x x f x λ-+''=-=--=-=-∞∞不连续故不可导. 在不可导.可导区间(-,-1)(-1,1)(1,+)分五、{},3,22,1,1,2(2)L x x y x z x L ==-=---的参数方程方向向量分0270(5)P L x y z +--=过且与垂直相交的平面方程分1(1,2,4)(8)L P --与上述平面的交点为分0114(9)d P P ==分 六、211(1)(4)26y S dy==⎰分1222012011(2)1(9)24V dx x ππππ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰分七、()(2)0(2)x x x y x y yy '-+-=方程两边对求导得分3232220,(),10,20,,220,2(5)32321,0.241()2,(2)04,()(2)2,(8)x x x x y x y y f x dy x x y x y yy dx yy x dyx dx x xy y y xy y y y y f x x f y f x f =-=-=='-≠+-==+=-⎧==-⎨-+=⎩'-''''==>''==--=>=-=由于不满足原来方程又是可导函数所以得即令得得驻点分由于有唯一驻点且所以有极小值没有极大值分八、11222444342223223423[2,4)()(2)()(2),(2,)(4)()()(4),(,4)max (),()(2)()(4)(3)()()(2)(4)(2)(4)(6)2222x x f x f f x x f f x f x x M f x f x M x f x M x f x dx f x dx M x dx M x dxx x M MMM M ξξξξ≤≤∈'-=-∈'-=-∈'=≤-≤-≤≤-+----=+=+=⎰⎰⎰⎰设令则分分高等数学参考答案2002.1.21一. 1. a > 0; 2. x +cos x +c; 3. 2x cos x 2f (sin x 2)-3f (3x ); 4. 1. 二. 1. B; 2. A; 3. C; 4. C.三. 1.原式()113lim n n n →∞-⎛⎫- ⎪=分()23=-7分2. x =0, y =1, ()()1003,ye y xy y y e'''++==-分()()()221200,y ye y e y xy y y e ''''''''+++==7分3 ()13ln ,y x '=+分()()()()12!12,nn n n yn x--=-+≥7分4. 原式()332113331arctan x x x dx x =-+⎰分()()3221111366a r c t a n l n x x x x c=-+++7分5.x dx ππ=⎰⎰()24xdx xdxππ==⎰分()552224224555sin sin x x πππ=-=7分四. {}()122313013,,ij ks ==--分直线方程为: ()246231x y z --==-分五.f (0-0)=0, f (0+0)=0, f (0)=0, f (x )在x =0连续……(3分)()()0201,.f f -+''== f (x )在x =0不可导………….(6分)六.由22x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得交点(1,1), 由22y xy x =-⎧⎨=-⎩得交点(-1,1),由y x x =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 得交点(0,0) ……………(3分)()()()101221128S x dx x dx x dx--=----⎰⎰⎰分()011233001115223232x x x x -⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭10分七. 切线斜率为4xy-, 设(X ,Y )为切线上任一点, 切线方程为()4,xY y X x y-=--即yY +4xX =4,在两坐标轴上的截距为()143,A B X Y x y==分()152A BS X Y==分()()2322212,=0,21x xxS S xx x-''=-=-7分S的最小值为2 ……(9分)八. (1) 反证法: 因x=a, x=b是f(x)=0的相邻两根,故对一切()()0,,∈≠x a b f x, 假设有()()00,,,x a b f x∈>又知f(c)<0, 且f (x)在闭区间[c, x0] 或[x0, c]上连续, 由介值定理知必有界于c 与x0之间的使f()=0, 矛盾. 故对一切()()0,,.x a b f x∈<…(3分)(2).证明: f(x)在[a, c]上满足拉格朗日定理条件,[]()()()11,,,f c f aa c fc aηη-'∈=<-存在[]()()()22,,.f b f cc b fb cηη-'∈=>-同理f’(x)在[1,2]上应用拉格朗日中值定理[]()()()121221,,,f ffηηηηηηηη''-''∈=>-存在[]()0,,.a b fηη''∈>即存在……(6分)高等数学参考答案2003.1.10一、填空题, 每小题3分,共4小题,(1) 9; (2) []1,2; (3) tan x- x+C;(4) .二、选择题, 每小题4分,共4小题.(1) D; (2) C; (3) B; (4) A.三、每小题6分,共6小题.1. 原式=2241limxxe xx→--=2322lim4xxxe xx→-=2201lim 2x x e x →-2201lim 22x x x →==. 2. 2cos 2cos sin ln xy x x x x '=-+=2cos sin 2ln xy x x x'=-+.3. 22xdx ydy x y ++=22xdy ydx x y -+,.x ydy x y+=- 4.cos ,sin ,t t dx dy e t e t dt dt ==tan .dy t t dx= 5. 原式=22x x x e xe dx -⎰ =222.x x x x e xe e C -++6. 原式=222220sin cos a t a tdt π⎰=42242sin (1sin )16at t dt a ππ-=⎰.四、解 x =1是间断点，10lim ()x f x →-=1110lim 0,x x e-→-=10lim ()x f x →+=1110lim ,x x e-→+=+∞故x =1是第二类间断点x =0是间断点，00lim ()x f x →-=00lim ln(1)0,x x →++=00lim ()x f x →+=e -1.故x =0是跳跃间断点(或第一类间断点) .五、法向量n ={}12416,14,11352ijk-=--，所求平面方程为16(2)1411(3)xy z --+++=即 16141165x y z -+++=. 六、解 交点为 32,2,y x y x x ⎧=⎨=-⎩ 得到 0,2,1,x x x ==-= A =0322(2)x x x dx --+⎰+0322(2)x x x dx ----⎰=042321143x x x -⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦+124301143x x x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=8(44)3+++(111)43--=3712.七、解 设曲线上点为（61,3x x ）， 52y x '=.法线方程为 6511()32Y x X x x-=--，在y 轴上的截距为 641132b x x=+，5522db x dx x=-， 2424110()d b x dx x =+令0dbdx=，得到x =1，且正根只有一个，可微函数在定义域内只有一个驻点，是极小值点. 所以x =1为b (x )的最小值点，所求点为（1，13）.八、解 因为f (x )在[],a b 上连续，f (x )在[],a b 上取最小值，又f (a )=f (b )≥0, 且 f (c )<0(a<c<b),(a <c <b ),所以f (x )必在（a,b ）内某一点x 0取最大值，且f (x 0)<0,又因为f (x )在（a,b ）内可导，x 0为极小值点（a < x 0<b ）， 所以0()0,f x '= f (x )在[][]00,,,a x x b 上都满足Lagrange 中值定理条件，所以有 01100()()()0,f x f a f a x x a ηη-'=<<<-， 02020()()()0,f b f x f x b b x ηη-'=><<-，又 ()f x '在[][]1002,,,x x ηη上都满足Lagrange 中值定理条件，所以有 01101()()()f x f f x ηξη''-''=-101()0.f x ηη'-=>- 110x ηξ<<2020()()()f f x f x ηξη''-''=-=220()0.f x ηη'>- 022x ξη<<. 所以 1()0,f ξ''>2()0f ξ''>.1a b ξ<<2a b ξ<<.高等数学参考答案 2004.1一、 (1) D; (2) B; (3) B; (4) D; (5) B.二、(1)m n ; (2) 32)(arctan 31)1ln(21x x +++C; (3) e -18; (4) 0; (5) 23-,29.三、1. x x x x x sin tan lim 20-→=30tan lim xxx x -→=3131sec lim 220=-→x x x . 2. 2arcsin44122arcsin22x x x x x xy =---+='. 3. t x dy 1d -=,tt x y d )1(d 22'-=32111d t t t x dt =⋅=⋅. 4. 021cos sin e =⋅-+'+'xx x y y yd y =)1(2tan ye x x +d x.5.⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x 12ln 121ln 令1+x =t , 有dx x x ⎰+1=21+x +ln 1111++-+x x 所以原式=21+x ln x –41+x -2 ln1111++-+x x +C .6. 原式=⎰=20cos sin πdx x x 34cos cos 220⎰=-πx d x .7.⎰+∞+12)1(x x dx =+∞∞+⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-⎰1212)1ln(21ln )11(x x dx x x x =2ln 211ln 12=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞x x. 四、(1) V=⎰adx x y 02)(2π=⎰-adx x a 03232)(2π=⎰-+-adx x x a x a a 02343232342)33(2π=310532a π. (2) 设点M(t,)1t即为所求的切点(也可设为(001,x x )),显然0≠t ,切线方程为 )(1132t x t t y --=-两截距分别为 23,23t t ,于是起线段长为 l =222323⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,于是问题等价于求f (t )=4214tt + 在(0, +∞)内的最小值点. 由542)(tt t f -='=0, 得唯一驻点为t =2, 且,0)2(>''f t =2是唯一的极小值点. 由实际问题可知, t =2是最小值点, 故点(21,2±)即为所求的点, 且最短距离为233. 五、证明:(1) 令f (x )=e x –e 1(≥x x ), 则=')(x f e x –e>0 (x >1),所以f (x )在1≥x 单调增加, 所以当x >1时, f (x )> f (1)=0, 即e x >e x (x >1). 证毕 (2) 设F (x )= f (x ) –x , 则F (x )在[0,1]闭区间上连续, 在(0,1)内可导,F (1)= f (1) –1<0, 0211)21()21(>=-=f F ,由介定理知存在),1,21(1∈ξ使0)(1=ξF .又F (0)=0,由罗尔定理知存在),1,0(),0(1⊂∈ξξ使即,0)(='ξF 1)(='ξf . 证毕高等数学试卷参考答案 2005.1一、填空题, 每小题4分,共5小题, 其中第2题 –1,2添对一个、错一个给2分.(1) ln3; (2) –1、3; (3) 1; (4) ab2-; (5) 1. 二、选择题, 每小题4分,共6小题.(1) A; (2) C; (3) B; (4) D; (5) C; (6) A..三、计算题, 每小题7分,共4小题. 1. 解法一：设12+x =t , 则)1(212-=t x ,dx=tdt,x=0时,t=1,x=4时,t=3, 原式=⎰=+-3122)1(21tdt t t ⎰=+312)3(21dt t 3223321313=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t , 解法二：原式=⎰++412)2(x d x=(x+2) 12+x )12(1221404++-⎰x d x =16–322)12(32214023=+⋅x 解法三：原式= dx x x ⎰+++40123)12(21 =)12(124140++⎰x d x +⎰++4012)12(43x x d =++⋅4023)12(3241x 32)12(2434021=+⋅x .2. 解法一：原式=⎰++-+dx x x x 542)42(212=-++54ln 212x x 2⎰+++2)2(1)2(x x d=-++54ln 212x x 2arctan(x+2)+C.(不加任意常数扣一分,不加绝对值符号不扣分,下同).解法二：设x+2=t, 则dx=dt,原式=⎰+-dt t t 122=)1(112122++⎰t d t –2⎰+dt t 112=t t arctan 2)1ln(212-++C=-++54ln 212x x 2arctan(x +2)+C.解法三：设x +2=tant, 则dx=sec 2tdt,原式=⎰+--=-C t t dt t 2cos ln )2(tan =1)2(1ln2++-x –2arctan(x +2)+C=-++54ln 212x x 2arctan(x+2)+C.3. 212111d 22t t t t x dy =++-=,)1(41121)2(d 222t t t t t xy d t+=+⋅'= 4. 解法一：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∞→)11ln(1lim 2x xx x=21)11ln(1lim x x xx +-∞→ =20)1ln(lim tt t t +-→(t x =1) =tt t 2111lim+-→=21)1(21lim 0=+→t t . 解法二：原式=21)11ln(1lim x x xx +-∞→ =3222)1(1111lim x x x xx --+--∞→=21)1(2)1(lim 2=+-+∞→x x x x .解法三：令t x=1, 则 原式=20)1ln(lim t t t t +-→=2220)(2limt t o t t t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--→ =21)(2lim 2220=-→tt o t t .四、1. 解法一：设圆柱体底半径为r , 高为2h , 体积为V , 则,222R r h =+ V=)(22222h R h h r -=⋅ππ=h dV d h R ππ622-, 令=hdV d 0,得 33Rh = 此时, r =R 32. 又,06d 22<-=h hVd π 故33Rh =为极大值点, 由于驻点唯一, 故该点为最大值点, 3max 334R V π=. 解法二：设圆柱体底半径为r , 高为h , 体积为V , 则,)2(222R r h =+ V=)4(322h h R h r -=⋅ππ=h dV d )43(22h R -π, 令=hdVd 0,得 332R h =, 此时, r =R 32. 又,023d 22<-=h h V d π 故33Rh =为极大值点, 由于驻点唯一, 故该点为最大值点, 3max 334R V π=. (不求22d hV d ,用一阶导数判定,或说明”由实际问题可知,唯一驻点就是最大值点也可”)2. 解法一：设所求面积为A , 体积为V , 则 A = 4dx x a a ba⎰-022 =ab a a b ππ=⋅⋅2414.V = 2π[]dx x a aba ⎰-0222=2πdx x a a b a⎰-02222)(=2π20322343ab x ax ab aπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅. 解法二：令 x =a ccost, y =b sint, 20π≤≤t , 则A = 4⎰-02)sin (sin πdt t t b=4⎰⋅⋅=2022214sin ππab tdt ab ab π.V = 2πdy y b ba y b⎰-⋅222 =4πb y b b a 02322)(32)21(-⋅-=234ab π. 3. 解法一：设曲线过M (x, y )的切线方程为)(x X y x Y -'=-,令X =0, 得y x y Y b '-=, 得bernoulli 方程为⎩⎨⎧=='-.2)1(,22y xy y x y令,1-=y z 得21=+z x dx dz , 解之得x C x z +=, 即,1-=y z 1-y =xC x +. 代入初始条件y (1)=2, 得C=21-, 即所求曲线为y =1222-x x.解法二. 设曲线过M (x, y )的切线方程为)(x X y x Y -'=-,令X =0, 得y x y Y b '-=, 得bernoulli 方程为⎩⎨⎧=='-.2)1(,22y xy y x y令x y u =,得22xu dx du -=, 解之得C x u+=21, 即C x y x +=2代入初始条件y (1)=2, 得C=21-, 即所求曲线为y =1222-x x. 3*. 解：平面束方程为(2x+ y -3z +2)+λ(5x +5 y -4 z+13)=0, 代入点(4, -3,1), 得λ=-1, 回代得过已知点的平面为 3x+ 4y -z +1=0.将平面束改写为 (2+5λ)x+(1+5λ)y -(3+4λ)z+(2 +3λ)=0,记 n 1=(3,4, -1), n 2=(2+5λ,1+5λ, -(3+4λ) ),令n 1. n 2=0, 得31-=λ, 回代得另一平面为x -2y -5z +3=0,其中λ为待定常数.该平面与x+y+z=0垂直的条件是 (1+λ).1+(1-λ).1+(-1+λ).1=0. 由此得λ=-1, 得平面方程为2y -2z -2=0, 即y -z -1=0.五、证明：设)(x ϕ=x f (x ), 则)(x ϕ在[0,3]上连续, 在(0,3)内可导, 由已知条件得ϕ(3)=3f (3)=⎰10)(dx x xf ,由积分中值定理, 必有∈η[0,1], (或∈η(0,1)), 使⎰1)(dx x xf =)(ηηf ,即存在∈η[0,1],使=)(ηϕ⎰1)(dx x xf , 于是=)(ηϕϕ(3), 所以)(x ϕ在[0,3]上满足Rolle 定理条件, 所以有)3,0()3,(⊂∈ηξ, 使,0)(='ξϕ 即 ξξξ)()(f f -=', )3,0(∈ξ.注：对)(x ϕ在[η,3]使用拉格朗日定理也可得到ξξξ)()(f f -='.高等数学答案及评分标准 2006.1.10一、单项选择题(本大题分6小题, 每小题4分, 共24分)1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)二、填空题（本大题分9小题, 每小题4分, 共36分）1.2e2.0=x3.dx x dy 211+-= 4.e 21- 5.31 6.52α=7.23ln 8.2234(1)d y dx t =- 9.)ln 41(x x y -= 9*.k j i b a 35--=⨯三、(8分)计算不定积分dx xxx ⎰+221arctan . 解：⎰⎰+-+=+dx x xx x dx x x x 22221arctan arctan )1(1arctan ------------2分 ⎰⎰-=x xd xdx arctan arctan arctan ------------4分C x dx xx x x +-+-=⎰22)(arctan 211arctan ------------6分 C x x x x +-+-=22)(arctan 21)1ln(21arctan -----------8分 四、(8分)求曲线412623++-=x x x y 的升降区间, 凹凸区间及拐点. 解：y '=3x 2-12x +12,令 y '=0，得x =2.2≠x , y '>0故在),(+∞-∞内为上升曲线. -----------2分 y ''=6(x -2).令y ''=0, 得. x =2. - -----------4分 因为当2<x 时, y ''<0; 当2>x 时, y ''>0, -----------6分 所以凸区间为]2,( -∞, 凹区间为),2[∞+ , 拐点为)12,2( .-----------8分 五、(8分)求微分方程x xe y y y -=+'+''323的通解. 解：微分方程的特征方程为r 2+3r +2=0特征根为r 1=-1r 2=-2------------2分齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x-----------4分因为f (x )=3xe -x=-1是特征方程的单根故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x -----------6分代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x比较系数得23=A B =-3 从而)323(*2x x e y x -=-因此原方程的通解为)323(2221x x e e C e C y x x x -++=---. -----------8分五*、(8分)求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程.解: 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为(x +y -z -1)+λ(x -y +z +1)=0,即 (1+λ)x +(1-λ)y +(-1+λ)z +(-1+λ)=0, ------------2分 其中λ为待定的常数. 这平面与平面 x + y + z = 0垂直的条件是 (1+λ)⋅1+(1-λ)⋅1+(-1+λ)⋅1=0,即 λ=-1. -----------4分 将λ = -1代入平面束方程得投影平面的方程为2y -2z -2=0, 即 y -z -1=0. ------------6分 所以投影直线的方程为⎩⎨⎧=++=--01z y x z y . -----------8分六、(10分)在[0，1]上给定函数2x y =，问t 为何值时,如图所示阴影部分的面积1S 与2S 的和最小，何时最大？并求此时两图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.解：点的坐标为),(2t t 故3022132t dx x t t S t=-⋅=⎰2321223231)1(t t t t dx x S t-+=--=⎰31342321+-=+=t t S S S ----------3分 )12(2)(-='t t t S 令0)(='t S 得21,0==t t ---------6分 比较31)0(=s ，41)21(=s ，32)1(=s 可知， )(,21,t S t =最小 ---------8分 此时，所求体积为21)41(21)41(2121421042⋅π-π+π-⋅π=⎰⎰dx x dx x V=316π -----------10分 七、设上连续在],[)(b a x f ,且不恒为常数.内可微在又),()(b a x f ,)()(b f a f =且. 试证:.0)(),(>ξ'∈ξ∃f b a 使证明：因为)()(b f a f =, ],[)(b a x f 在上不恒为常数。