湖南省株洲市醴陵二中2017-2018学年高三上学期第九次月考数学试卷(理科) Word版含解析

湖南省株洲市醴陵二中2017-2018学年高三上学期第九次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=i（1+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知P：∀x∈R，x2≥0；和q：∃x∈Q，x2=3，则下列为真的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（﹣q）D．（￢p）∧（﹣q）3．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a4．（5分）已知函数：y=a n x2（a n≠0，n∈N*）的图象在x=1处的切线斜率为2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*），且当n=1时其图象过点（2，8），则a7的值为（）A．B．7C．5D．65．（5分）函数f（x）=x﹣5+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3D．﹣17．（5分）在△ABC中，BC=1，∠B=，△ABC的面积S=，则AC=（）A．4B．C．D．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）若a＞0，b＞0，且点（a，b）在过点（1，﹣1）和（2，﹣3）的直线上，则S=2﹣4a2﹣b2的最大值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=；⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是F函数的序号是（）A．①②④B．①②⑤C．①③④D．①④⑤二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．前三题为选做题，只须选做二个，多做按前两题答案得分）11．（5分）不等式|﹣3x+1|﹣|2x+1|＜0的解集为．12．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ∈，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是．13．如图AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么AC•AD+BC•BE的值等于．14．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．15．（5分）四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有种．（用数字作答）16．（5分）若正整数N=（a i∈N*），称T=a i为N的一个“分解积”，（1）当N分别等于6，7，8时，它们的“分解积”的最大值分别为（2）当N=3m+1（m∈N*）时，它的“分解积”的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤．17．（12分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）如图，函数f（x）在上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求与的夹角的余弦．18．（12分）某某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品．（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？（2）质检人员从中随机抽出2听，设ξ为检测出不合格产品的听数，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=DB，点C为圆O上一点，且BC=AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：PA⊥CD；（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．20．（13分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价﹣每辆车的投入成本）×年销售量．（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？22．（13分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．23．（13分）已知函数f（x）=和图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5．（1）求实数b，c的值；（2）求函数f（x）在区间上的最小值；（3）若函数y=f（x）图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．湖南省株洲市醴陵二中2015届高三上学期第九次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，则复数z=i（1+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：按照多项式的乘法法则展开，将i2用﹣1代替化简复数z；以复数z的实部为横坐标，以虚部为纵坐标写出z对应的点的坐标；据横、纵坐标的符号判断出点所在的象限．解答：解：z=i（1+i）=i+i2=﹣1+i所以z对应的点为（﹣1，1）所以z对应的点位于第二象限故选B点评：本题考查复数的乘法运算法则、考查复数的几何意义：复数与复平面内的以复数的实部为横坐标，以虚部为纵坐标的点一一对应．2．（5分）已知P：∀x∈R，x2≥0；和q：∃x∈Q，x2=3，则下列为真的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（﹣q）D．（￢p）∧（﹣q）考点：的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：根据平方数的性质，可以判断出p的真假，根据二次函数的性质，可以判断出q真假，再由复合的真值表，对题目中的四个逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：P：∀x∈R，x2≥0；是一个真，q：∃x∈Q，x2=3，是一个假，∴p∧q是一个假，非pⅤq是一个假，pⅤ非q是一个真，非p∧非q是一个假，故选C．点评：本题考查的知识点是的真假判断与应用，其中判断出p的真假与q真假是解答本题的关键．3．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较；三角函数值的符号．专题：计算题．分析：首先根据所给的三个数字，按照对数函数和指数函数的性质进行比较，第一个数字第一个数字30.5＞30=1，第二个数字=log31＜log3 2＜log33=1，第三个数字求出结果小于0，最后总结最后结果．解答：解：∵在，三个数字中，第一个数字30.5＞30=1，第二个数字0=log31＜log3 2＜log33=1第三个数字cos=﹣＜0故选A．点评：本题考查对数值大小的比较，考查对数函数与指数函数对于底数不同时的单调性不同，比较三个数字与1，0 的关系，对于底数不同的对数或指数一般找一个中间量进行比较大小．4．（5分）已知函数：y=a n x2（a n≠0，n∈N*）的图象在x=1处的切线斜率为2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*），且当n=1时其图象过点（2，8），则a7的值为（）A．B．7C．5D．6考点：数列递推式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题．分析：求导函数，利用y=a n x2（a n≠0，n∈N*）的图象在x=1处的切线斜率为2a n﹣1+1，可得数列相邻项的关系，进而利用等差数列的通项公式可求a7的值．解答：解：求导函数，可得y′=2a n x，∵函数：y=a n x2（a n≠0，n∈N*）的图象在x=1处的切线斜率为2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*），∴2a n=2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2，n∈N*），∵当n=1时其图象过点（2，8），∴8=4a1，∴a1=2∴数列{a n}是以2为首项，为公差的等差数列∴a7=a1+6×=5故选C．点评：本题考查导数知识的运用，考查等差数列，解题的关键是确定数列为等差数列．5．（5分）函数f（x）=x﹣5+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（2）f（3）＜0，再根据函数零点的判定定理可得故函数的零点所在的区间．解答：解：由于函数f（x）=x﹣5+2x﹣1，可得f（2）=﹣3+2=﹣1＜0，f（3）=﹣2+4=2＞0，故有f（2）f（3）＜0，故函数f（x）=x﹣5+2x﹣1的零点所在的区间是（2，3），故选：C．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，求函数的值，属于基础题．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3D．﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11故选B点评：本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题7．（5分）在△ABC中，BC=1，∠B=，△ABC的面积S=，则AC=（）A．4B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用面积公式和已知条件求得BA，然后利用余弦定理即可求得AC．解答：解：∵S=BC•BA•sinB=•1•BA•=，∴BA=4，∴AC===．故选：B．点评：本题主要考查了三角形面积公式和余弦定理在解三角形中的应用．正弦定理和余弦定理主要解决问题三角形问题中边角问题的转化，属于基础题．8．（5分）已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题；数形结合．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．解答：解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．9．（5分）若a＞0，b＞0，且点（a，b）在过点（1，﹣1）和（2，﹣3）的直线上，则S=2﹣4a2﹣b2的最大值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由点（a，b）在过点（1，﹣1）和（2，﹣3）的直线上得2a+b=1，所以S=2﹣4a2﹣b2=4ab+2﹣1，再令=t＞0，则S化为关于t的二次函数形式，再由二次函数的性质结合t的取值范围可得S的最大值．解答：解：∵点（a，b）在过点（1，﹣1）和（2，﹣3）的直线上∴即2a+b=1∴S=2﹣4a2﹣b2=4ab+2﹣（2a+b）2=4ab+2﹣1令=t，则0＜t，则S=4t2+2t﹣1，在（0，+∞）上为增函数故当t=时，S 有最大值，故选A．点评：本题考查了函数的最值及其几何意义，属于中档题．注意利用等价转换，结合基本不等式和二次函数的单调来求这个最值问题．运用换元的思想得到S=4t2+2t﹣1，是解决本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称f（x）为F函数．给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x2；③f（x）=sinx+cosx；④f（x）=；⑤f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是F函数的序号是（）A．①②④B．①②⑤C．①③④D．①④⑤考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：本题是一个新定义的题目，故依照定义的所给的规则对所四个函数进行逐一验证，选出正确的即可．解答：解：对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为F函数；对于②，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数；对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函数；对于④，f（x）=，|f（x）|=•|x|≤•|x|，故对任意的m＞，都有|f（x）|＜m|x|，故其是F函数；对于④，f（x）是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|，令x1=x，x2=0，由奇函数的性质知，f（0）=0，故有|f（x）|＜2|x|．显然是F函数故是F函数的序号是①④⑤，故选：D．点评：本题考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明．二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡中对应题号后的横线上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．前三题为选做题，只须选做二个，多做按前两题答案得分）11．（5分）不等式|﹣3x+1|﹣|2x+1|＜0的解集为{x|0＜x＜2}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由不等式|﹣3x+1|﹣|2x+1|＜0，可化为|3x﹣1|＜|2x+1|，两边平方得（3x﹣1）2＜（2x+1）2，化简解出即可．解答：解：由不等式|﹣3x+1|﹣|2x+1|＜0，可化为|3x﹣1|＜|2x+1|，两边平方得（3x﹣1）2＜（2x+1）2，化为x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2．∴原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查平方法解题，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ∈，θ为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由得，两式平方后相加得（x﹣2）2+y2=4，…（4分）∴曲线C是以（2，0）为圆心，半径等于的圆．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ=4cosθ．即曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．…（10分）故答案为：ρ=4cosθ．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=．13．如图AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么AC•AD+BC•BE的值等于36．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接AE，BD，过C作CF⊥AB，与AB交于F，得出A，F，C，E四点共圆，BC•BE=BF•BA，同理可证F，B，D，C四点共圆，AC•AD=AF•AB，两式相加，转化为直径BA表达式求解即可．解答：解：连接AE，BD，过C作CF⊥AB，与AB交于F，∵AB是圆的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵∠AFC=90°，∴A，F，C，E四点共圆．∴BC•BE=BF•BA（1）同理可证F，B，D，C四点共圆∴AC•AD=AF•AB（2）（1）+（2）得AC•AD+BC•BE=（BF+AF）•BA=BA2圆O的半径是3，直径BA=6所以AC•AD+BC•BE=62=36故答案为：36点评：本题考查与圆有关的线段，割线定理的应用，根据所求的不等式，构造四点共圆是本题的关键．14．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意利用导数可求得过点（1，2）处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积．解答：解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2﹣2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB﹣S=4﹣=．故答案为：．点评：本题考查导数的几何意义，考查定积分在求面积中的应用，求得题意中过点（1，2）处的切线方程是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．15．（5分）四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有480种．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：7个座位，四人就座恰有两个座位相邻．也就是说，有两个空座位是连在一起，还有一个空座位没和其他空座位连一起，所以，可以把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的．然后把四个人排好，把座位插空到四个人产生的5个空档里，求出满足要求的不同坐法的种数即可．解答：解：可以把这三个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的．而：四个人的坐法（不考虑空座位）共有A44=4×3×2×1=24 种，再把两组不同的空座位插入到四个人产生的5个空档里，有A52=5×4=20种所以满足题意的不同坐法有24×20=480 种．故答案为：480．点评：此题主要考查用排列组合及简单的计数原理问题，用插空法求解是题目的关键，有一定的灵活性，需要同学们很好的理解．16．（5分）若正整数N=（a i∈N*），称T=a i为N的一个“分解积”，（1）当N分别等于6，7，8时，它们的“分解积”的最大值分别为9，12，18（2）当N=3m+1（m∈N*）时，它的“分解积”的最大值为4×3m﹣1．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）N=6=3+3，分解积的最大值为3×3=9，N=7=3+2+2，分解积的最大值为3×2×2=12，N=8=3+3+2，分解值的最大值为3×3×2=18．（2）由已知推导出a k（k=1，2，…）中，只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超大型过1个，由此能求出当N=3m+1（m∈N*）时，它的“分解积”的最大值为4×3m﹣1．解答：解：（1）∵正整数N=（a i∈N*），T=a i为N的一个“分解积”，6=3+3，∴N=6时，分解积的最大值为3×3=9，∵7=3+2+2，∴N=7时，分解积的最大值为3×2×2=12，∵8=3+3+2，∴N=8时，分解值的最大值为3×3×2=18．（2）由（1）知a k（k=1，2，…）中可以有2个2，当a k（k=1，2，…）有3个或3个以上的2时，∵2+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，∴此时分解积不是最大的，∴a k（k∈N*）中最多有2个2；当a k（k=1，2，…）中有1时，∵1+a i=（a i+1），且1×a i＜a i+1，∴此时分解积不是最大，可以将1加到其他数中，使得分解积变大；当a k（k=1，2，…）中有4时，若将4分解为1+3，分解值不会最大，若将4分解为2+2，则分解积相同；若有两个4，∵4+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，∴将4+4改写为3+3+2，使得分解积更大．故a k（k=1，2，…）中至多有1个4，而且可写成2+2，综上所述，a k（k=1，2，…）中，只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超大型过1个，∴当N=3m+1（m∈N*）时，它的“分解积”的最大值为4×3m﹣1．故答案为：9，12，18；4×3m﹣1．点评：本题考查分解积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤．17．（12分）已知函数，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）如图，函数f（x）在上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为P，求与的夹角的余弦．考点：三角函数的最值；数量积表示两个向量的夹角；正弦函数的图象．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅱ）解法一：通过函数为0，求出M，N的坐标，确定P的位置，求出与，求出与的夹角的余弦．解法二：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，求出|PM|，|PN|在三角形中利用余弦定理求出与的夹角的余弦．解法三：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，在Rt△PAM中，求出，通过二倍角公式求出与的夹角的余弦．解答：解：（Ⅰ）∵=（2分）∵x∈R∴，∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1，﹣1．（4分）（Ⅱ）解法1：令得，∵x∈∴或∴，（6分）由，且x∈得∴，（8分）∴，（10分）∴=．（12分）解法2：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，由三角函数的性质知，（6分），（8分）由余弦定理得（10分）=．（12分）解法3：过点P作PA⊥x轴于A，则|PA|=1，由三角函数的性质知，（6分）（8分）在Rt△PAM中，（10分）∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA﹣1=．（12分）点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，向量的夹角的求法，可以通过向量的数量积解决，也可以通过三角形解决，考查计算能力，常考题型．18．（12分）某某种饮料每箱6听，如果其中有两听不合格产品．（1）质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率多大？（2）质检人员从中随机抽出2听，设ξ为检测出不合格产品的听数，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）在6听中随机抽出1听有6种方法，其中在2听不合格产品中随机抽出1听有2种方法，利用古典概型的概率计算公式即可得出；（2）ξ=0，1，2．利用超几何分布的计算公式P（ξ=k）=即可．解答：解：（1）在6听中随机抽出1听有6种方法，其中在2听不合格产品中随机抽出1听有2种方法．所以质检人员从中随机抽出1听，检测出不合格的概率，（2）ξ=0，1，2．当ξ=0时，，当ξ=1时，，当ξ=2时，．分布列为：=．点评：熟练掌握古典概型的概率计算公式、超几何分布的计算公式P（ξ=k）=（k=0，1，2）、数学期望计算公式是解题的关键．19．（12分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=DB，点C为圆O上一点，且BC=AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．（1）求证：PA⊥CD；（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）先利用平面几何知识与线面垂直的性质证线线垂直，由线线垂直⇒线面垂直，再由线面垂直⇒线线垂直；（2）通过作出二面角的平面角，证明符合定义，再在三角形中求解．解答：解析：（1）连接OC，由AD=BD知，点D为AO的中点，又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∵AC=BC，∴∠CAB=60°，∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，PD∩AO=D，∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD．（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，∴CE⊥PB，∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角．由（1）可知CD=，PD=BD=3，∴PB=3，则DE==，∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，∴cos∠DEC=，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及求法．二面角的求法：法1、作角（根据定义作二面角的平面角）﹣﹣证角（符合定义）﹣﹣求角（解三角形）；法2、空间向量法，求得两平面的法向量，再利用向量的数量积公式求夹角的余弦值．20．（13分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价﹣每辆车的投入成本）×年销售量．（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价﹣每辆车的投入成本）×年销售量可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．解答：解：（Ⅰ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），因此本年度的利润为y=×5000×（1+0.4x）=（3﹣0.9x）×5000×（1+0.4x）=﹣1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），由﹣1800x2+1500x+15000＞15000得（Ⅱ）本年度的利润为f（x）=（3﹣0.9x）×3240×（﹣x2+2x+）=3240×（0.9x3﹣4.8x2+4.5x+5）则f′（x）=3240×（2.7x2﹣9.6x+4.5）=972（9x﹣5）（x﹣3），由，当是增函数；当是减函数．∴当时，万元，因为f（x）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．点评：此题考查学生用数学解决实际问题的能力，以及运用导数求闭区间上的最值的解题思想．22．（13分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（6分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（12分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（14分）点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．23．（13分）已知函数f（x）=和图象过坐标原点O，且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5．（1）求实数b，c的值；（2）求函数f（x）在区间上的最小值；（3）若函数y=f（x）图象上存在两点P，Q，使得对任意给定的正实数a都满足△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上，求点P的横坐标的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）求导数，根据函数在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5，图象过坐标原点，即可求得实数b，c的值；（2）当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2，求导函数，确定函数的单调性，计算函数值，从而可得函数f（x）在区间上的最小值；（3）设P（x1，f（x1）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（﹣x1，f（﹣x1）），根据OP⊥OQ，可得=﹣1，分类讨论，确定函数的解析式，利用=﹣1，即可求得结论．解答：解：（1）当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2+bx+c，∴f′（x）=﹣3x2+2x+b∵函数在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率是﹣5，∴f′（﹣1）=﹣5∴﹣3﹣2+b=﹣5，∴b=0∵f（0）=0，∴c=0∴b=0，c=0（2）当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2，∴f′（x）=﹣3x2+2x令f′（x）=0有﹣3x2+2x=0，∴x=0或x=令f′（x）＞0，可得0＜x＜；令f′（x）＜0，∵﹣1≤x≤1，∴﹣1≤x＜0或∴函数在﹣1，0，，1出取得最值∵f（﹣1）=2，f（0）=0，f（）=，f（1）=0∴函数f（x）在区间上的最小值为0；（3）设P（x1，f（x1）），因为PQ中点在y轴上，所以Q（﹣x1，f（﹣x1）），∵OP⊥OQ，∴=﹣1①当x1=1时，f（x1）=0；当x1=﹣1时，f（﹣x1）=0，∴≠﹣1；②当﹣1＜x1＜1时，f（x1）=，f（﹣x1）=，代入=﹣1，可得，∴，无解；。