高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求

∑=-n

k k

1

2

142

的值; (2)求证:

3

51

1

2

<

∑=n

k k

. 解析:(1)因为121121)12)(12(21

422+--=+-=

-n n n n n ,所以12212111

4212

+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-

<1211212144

4

11

1

222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k n

k 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<

=1211212144

4412

2

2n n n n

n

(2))

1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1

11)1(1!11)!(!!11

≥--=-<<⋅-=⋅

=+r r r r r r n r n r n n

C T

r r

r

n r (4)2

5

)1(12311

2111)11(<-++⨯+

⨯++<+n n n n (5)

n

n n

n 2

1121)12(21--=- (6)

n n n -+<+22

1

(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n

n n n n n n 2)32(12)12(12

13211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1

(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)

2

1

2121

21222)1212(21

-++

=

-++=

--+

(11)

)2(1

21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n

n n n n n n n n n n n n

(12) 1

11)1(1)1(1)1)(1(111

2

3

--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-

-=+-<

⋅=

n n n n n n n n n n n n

1

1112111111

+--<-++⋅

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n

(13) 3

212132122)12(332)13(2221n n n

n n n n n n <-⇒

>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+

(14)

!

)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-

+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1

≥--<+n n n n n

(15)

11

1)

11)((1122222

222<++++=

++

+--=

-+-+j i j

i j i j i j i j i j i

例2.(1)求证:)2()12(2167)

12(1513112

22≥-->-++++n n n (2)求证:n

n 412141361161412

-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<

⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n

n

(4) 求证：)112(213

12

11)11(2-+<++++<-+n n

n

解析:(1)因为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)

12(12

n n n n n ,所以 )

1

2131(211)12131(211)

12(1

1

2

--+>+-+>-∑=n n i n

i

(2))111(41)1211(4141361161412

22n

n n -+<+++=++++

(3)先运用分式放缩法证明出1

212642)12(531+<

⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n

n ,再结合

n

n n -+<+22

1进行裂项,最后就可以得到答案

(4)首先n

n n n n

++=

-+>12)1(21

,所以容易经过裂项得到

n

n 13

12

11)11(2+

++

+

<-+

再证

2

12121

21222)1212(21-++

=

-++=

--+

而由均值不等式知道这是显然成立的，所以

)112(213

12

11-+<+

++

+

n n

例3.求证:

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<121121

2144

4

11

1

222

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k

n

k 另一方面:1

111)1(143132111914112

+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)

12)(1(61

++>

+n n n n n

,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,

21

91411)12)(1(6n

n n n ++++<++ ,所以综上有

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b

-≥.证

明:1k a b +>.

解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则

b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤

0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a

1

11

ln ln ,因为)ln (ln 11

b a k a a k

m m m <∑=,

于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111

例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .

解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(

∑

=++++++++--=-++---+--=n

k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证

1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:

∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n

k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1

11111111111

1

11])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故

只要证

∑∑∑=++==++-+<+<--n

k m m n k m n k m m k k k m k k 1

111

1

11])1[()1(])1([,即等价于