广东省佛山市2020届高三上学期第一次模拟考试数学理试题及答案

2019～2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)

数 学(理科) 2020 年 1 月7 日

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：

1. 答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目．

2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，

先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．

4. 请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在复平面内，复数

对应的点位于（ ） i i 215+A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 2.已知集合A = {x| x 2 - x - 2 < 0}，B = {x| | x |> 1}，则A∩B = （ ）

A ．(-2, -1)

B ．(-1,1)

C ．(0,1)

D ．(1, 2)

3.已知x , y ∈ R ，且x > y > 0 ，则（ ）

A. cos x - cos y > 0

B. cos x + cos y > 0 C ．ln x - ln y > 0 D ．ln x + ln y > 0

4.函数 f (x )的图像向左平移一个单位长度，所得图像与 y = e x 关于 y 轴对称，则 f (x ) = （

）

A. B. C. D.

1+-x e 1--x e 1-x e 1+x e 5.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶

点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个

“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么

黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯

基三角形）．在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 531691675

26.已知等比数列满足，则使得取得最大值的n 为（}{n a 24,363121=-=-a a a a n a a a 21 ）

A ．3

B ．4 C

． 5 D ．6 7.已知为锐角，则（ ） α53cos =

α=-)4

tan(απ

8.已知双曲线C:，O 为坐标原点，直线与双曲线C 的两条渐近线交于A, B 12

222=-b y a x a x =两点，若△OAB 是边长为2的等边三角形，则双曲线C 的方程为（ ）

9.地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各国致力

于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，在

2014 年累计装机容量就突破了 100GW ，达到 114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．

根据以上信息，正确的统计结论是（ ）

A ．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值

B ．10 年来全球新增装机容量连年攀升

C ．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW

D ．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过

3110.已知函数，且，则的取值范围是（ ） 121

21)(+++=x x f x 3)2()(2>+a f a f a

11.已知函数 f (x ) = sin x + sin(πx )，现给出如下结论：

① f (x )是奇函数 ② f (x )是周期函数

③ f (x )在区间(0, π) 上有三个零点 ④f (x ) 的最大值为 2

其中正确结论的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ． 3

D ．4

12.已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的侧棱长为4 ，底面边长为 2 ，用一个平面截此棱柱，与侧棱AA 1 , BB 1 ,CC 1分别交于点 M , N , Q ，若△ MNQ 为直角三角形，则△ MNQ 面积的最大值为（ ）

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22～23 为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种．（用数字作答）

14.在△ ABC 中， AB = 2 ， AC = 3 ， P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 AP ⋅ BC = 。

函数 f (x ) = ln x 和 g (x ) = a - x 的图象有公共点 P ，且在点 P 处的切线相同，则这2x 条切线方程

为 .

16.在平面直角坐标系xOy 中，对曲线C 上任意一点P ，P 到直线x +1 = 0的距离与该点到点O 的距离之和等于2，则曲线C 与 y 轴的交点坐标是 ；设点A ，则)0,45(-|PO|+|PA|的最小值为 .

三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展。景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁。该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立。

（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？

（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？

18.（本小题满分12分）

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin B = b sin .

)3(π-

A （1）求A;

（2）D 是线段 BC 上的点，若 AD = BD = 2 ， CD = 3 ，求△ ADC 的面积.

19.（本小题满分12分） 已知椭圆 C :的离心率为，点A 在椭圆C 上，直线过椭)0(12222>>=+b a b y a x 21)2

3,1(1l 圆C 的有交点与上顶点，动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，交于P 点.

kx y l =:21l （1）求椭圆C 的方程；

（2）已知O 为坐标原点，若点P 满足|OP|=|MN|，求此时|MN|的长度. 4

1

20.（本小题满分12分）

如图，三棱锥 P - ABC 中，平面 PAB ⊥ 平面 ABC ， PA = PB ，∠APB = ∠ACB = 90 ，点 E , F 分别是棱 AB , PB 的中点，点G 是△ BCE 的重心．

（1）证明： GF / / 平面 PAC ；

（2）若GF 与平面 ABC 所成的角为60 ，求二面角B -AP -C 的余弦值.