均值不等式常见题型整理精编版

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均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式常考题型精编版

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式练习题目总结

均值不等式练习题目总结
本文总结了一些常见的均值不等式练题目。

均值不等式是数学中常用的工具，用于比较一组数的大小关系。

在解题过程中，我们可以使用不等式的性质和特点来帮助求解。

一、算术平均值和几何平均值
1. 题目：已知两个正数a和b，证明：(a + b) / 2 ≥ √(ab)
解析：这是算术平均值和几何平均值不等式的基本形式，根据不等式的性质，我们可以将等式两边平方，然后进行变形和推导，最终得到证明结果。

2. 题目：已知n个正数a1, a2, ..., an，证明：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
解析：这是n个正数的算术平均值和几何平均值不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。

先证明n=2的情况，然后假设n=k成立，再推导n=k+1的情况，最终得到证明结果。

二、均值不等式的应用
1. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)² / 4 ≥ ab
解析：这是均值不等式的应用题，我们可以使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。

根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。

2. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)³ / 8 ≥ a²b
解析：这是均值不等式的应用题，同样使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。

根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。

以上题目只是一部分均值不等式的练题目，通过练以上题目，可以加深对均值不等式的理解和运用能力，为解决更复杂的数学问题奠定基础。

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用之羊若含玉创作一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）0>ab ，则2≥+a bb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值规模、证明不等式、解决实际问题方面有普遍的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技能：技能一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.解：因450x -<，所以首先要“调剂”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调剂项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 技能二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值. 解析：由知，，应用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可. 当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8. 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可应用均值不等式求最大值.变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值.解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.技能三：分别例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.解析一：本题看似无法运用均值不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分别.当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.技能四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分别求最值.当,即t=时,4259y t t ≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）. 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子离开或将分母换元后将式子离开再应用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值.技能五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应联合函数()af x x x=+的单调性.例：求函数224y x =+的值域.24(2)x t t +=≥，则224y x +2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，斟酌单调性.因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 演习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y 的最大值.；3．203x <<，求函数y .条件求最值2=+b a ，则b a 33+的最小值是.剖析：“和”到“积”是一个缩小的进程，并且b a33⋅定值，因此斟酌应用均值定理求最小值，解：b a33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+ba b a当b a33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值技能六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，不然就会出错..2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值.错解：0,0x y >>，且191x y+=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故()min 12x y += .错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y=，在19x y +≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误.因此，在应用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的需要步调，并且是磨练转换是否有误的一种办法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式：（1）若+∈R y x ,且12=+yx ，求y x 11+的最小值(2)已知+∈Ry x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x+的最小值技能七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最大值.剖析：因条件和结论分别是二次和一次，故采取公式ab ≤a 2＋b 22 . 同时还应化简1＋y2 中y 2前面的系数为 12 ， x1＋y2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别算作两个因式：x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2＝34 即x 1＋y2 ＝2 ·x12 ＋y 22 ≤34 2技能八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.剖析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不克不及一步到位求出最值，斟酌用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行.法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t·16t ＝8∴ab ≤18 ∴y ≥118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥2 2 ab ∴ 30－ab ≥2 2 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0，－5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考核不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算才能；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的规模，症结是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的规模. a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值.2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.技能九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 解法一：若应用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b2 ≤a 2＋b 22 ，本题很简略3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件挨近.W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式: 求函数15()22y x =<<的最大值. 解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =评注：本题将解析式双方平方结构出“和为定值”，为应用均值不等式创造了条件.总之，我们应用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技能，积极创造条件应用均值不等式. 应用二：应用均值不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 1）正数a ，b ，c 知足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭剖析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥.解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴111a b c a a a -+-==≥.同理11b -≥，11c -上述三个不等式双方均为正，分别相乘，得111221118ac aba b c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13a b c ===时取等号. 应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模.解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y xk kx ky ∴++= 10312k k ∴-≥⋅ .16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是.剖析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg(∴R>Q>P.。

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)及常见题型

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式常见题型整理

均值不等式一、基本知识梳理1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b+≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤⎪⎝⎭≤；5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。

注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

二、常见题型：1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。

例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值。

解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y1212211)1(=-+≥-++++=a a a x ax a 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号成立，1min =∴y 2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

均值不等式常见题型及解析

均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。

比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。

这时候就可以直接用均值不等式啦。

由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。

这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。

就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。

这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。

二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。

比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。

这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。

那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。

因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。

根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式常见题型

均值不等式一．基础知识：1．重要不等式：如果，那么2．基本不等式：如果是正数，那么注意：（1）成立的条件是不同的：（2）取等号“=” 的条件是（3）可以变形为：，可以变形为：.（4）一正，二定，三相等。

题型一：a ，b 均为负项求)0(1)(.≠+=x x x x f 最值题型二：凑项已知45x > ，求函数14245y x x =-+-的最大值。

变式：1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

变式2. 设a ＞b ＞0，且ab =2，则a 2+)(1b a a -的最小值是3.设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4题型四：分离常数1.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

2. 152224+++=x x x y ,求最小值3. 求13++=x x y （x>0）的最小值变式：1.)1(11)(2>+--=x x x x x f ,求其最大值2.若对任意0x >，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是。

题型五：若无去等条件，结合函数()a f x x x=+的单调性。

)4(11)(≥-+=x x x x f变式：1.24sin ,(0,)sin y x x x π=+∈（），求最小值2.求函数2y =的值域题型六: 1的巧用1.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

变式：1已知0,0x y >>且满足x y +=2,求y x 82+的最小值.2.已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

3.已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为4.若正实数a ，b ，c 满足a +b +c =1，则+的最小值为 ______题型七：和积共存的等式，求解和或积的最值若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是______a+b 的取值范围变式：1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.2.已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是（）A. 3B. 4C. 92D. 112 题型八：平方求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值。

均值不等式

均值不等式题型汇总一．均值不等式：（一正，二定，三相等，积定和最小，和定积最大）1.重要不等式：（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2) 若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. 基本不等式：(1)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(2)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）方法一：凑项或凑系数1. （Ⅰ）若x ＞0，求（）＋的最小值．（Ⅱ）已知0＜x ＜，求f （x ）=x （1-3x ）的最大值．2. （1）已知x ＞1，求f （x ）=x + 的最小值；（2）已知0＜x ＜，求y =2x -5x 2的最大值．变式训练：1. 求函数1x 16x 4)x (f 22++=的最小值。

2.设x<－1，求函数51x 4)1x (y ++++=的最值。

3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

4. 设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

方法二：整体代换求条件最值1. 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

2. 已知x ＞0，y ＞0，且x +8y -xy =0．（1）当x ，y 分别为何值时，xy 取得最小值？（2）当x ，y 分别为何值时，x +y 取得最小值？变式训练1. 若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值2..若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值.2. 若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值4..若21x y +=，则24x y +的最小值是.5.. 若a>0，b>0，且3b a ab ++=，求ab 的最小值。

方法三：分离1. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式常考题型

均值不等式常考题型(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

6-均值不等式及常考题型总结

1.设a,b∈R+，则下列各式中不一定成立的是()A.a+b≥2abB.b a+a b≥2C.a2+b2ab ≥2ab D.2aba+b≥ab2.(多选)下列结论中，所有正确的结论是()A.当x>1时，x+1x≥2B.当x<0时，x+1x的最大值是-2C.当x>-3时y=x+1x+3的最小值为-1D.当x<54时，y=4x-2+14x-5的最大值是13.已知x>0，y>0，且2x2+y2=3．(1)求xy的最大值；(2)求x1+y2的最大值．4.下列结论正确的是()A.若x<0，则y=x+1x的最大值为-2B.若a>0，b>0，则ab≤a+b22C.若x∈[0，2]，则y=x4-x2的最大值为2D.若a>0，b>0，且a+4b=1，则1a+1b的最大值为9第 6 讲：均值不等式及常考题型总结5.已知x>0，y>0，且2x+1y=1，若2x+y>m恒成立，则实数m的取值范围是()A.(-∞，9)B.[7，+∞)C.[9，+∞)D.(-∞，7)6.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.67.已知正实数a，b满足a+4b=1，则1a+b的最小值为()A.4B.6C.9D.108.若正实数a，b，满足a+b=1，则b3a+3b的最小值为()A.2B.26C.5D.439.若m>0，n>0，且3m+n=1，下列结论正确的是()A.mn的最大值为112B.1m+m n的最小值为5C.1m+1+2n+2的最小值为16(5+26)D.9m2+n2的最大值为1210.(多选)已知a >0，b >0，a +b =1，则下列结论正确的是()A.a 2b +ab 2的最大值为14B.a +b 的最大值为1C.a +2b +2ab的最小值为7+43D.12a +b +4a +2b的最小值为311.(多选)已知x >0，y >0，且x +y +xy -3=0，则下列结论正确的是()A.xy 的取值范围是(0，9]B.x +y 的取值范围是[2，3)C.x +2y 的最小值是42-3D.x +4y 的最小值是312.若实数a ，b 满足2a 2+2b 2-3ab =1，则()A.a +b ≥2B.a +b ≤2C.a 2+b 2≤1D.a 2+b 2≥213.若a >0，b >0，则ba2+4b +a 2的最小值为()A.2B.2C.22D.414.设x >0，y >0，下列不等式中等号能成立的有()A.x +1x y +1y≥4； B.x +y 1x +1y≥4；C.x 2+9x 2+5≥4；D.x +y +2xy ≥415.若a >0，b >0，且a +b =1，则a +1a b +1b的最小值为.16.若x ，y 是正数，则x +12y 2+y +12x 2的最小值是()A.3B.72C.4D.92巩固强化1.若a>0，b>0，a+2b=3，则3a+6b的最小值为()A.5B.6C.8D.92.已知a>0，b>0，3a+2b=ab，则2a+3b的最小值为()A.20B.24C.25D.283.若实数a，b满足1a+2b=ab，则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.44.下列结论正确的是()A.当x>0时，x+1x≥2B.当x>0时，x2+5x2+4的最小值是2C.当x<0时，2x-1+24x-5的最小值是5 2D.若x>0，y>0，且x+y=2，则1x+4y的最小值是92。