第11讲空间中的垂直关系doc高中数学

第11讲空间中的垂直关系doc 高中数学高三新数学第一轮复习教案〔讲座11〕—空间中的垂直关系一．课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为动身点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和明白得空间中线面垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

◆ 一个平面过另一个平面的垂线，那么两个平面垂直。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二．命题走向近年来，立体几何高考命题形式比较稳固，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依靠，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

推测2007年高考将以多面体为载体直截了当考察线面位置关系： 〔1〕考题将会显现一个选择题、一个填空题和一个解答题；〔2〕在考题上的特点为：热点咨询题为平面的差不多性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

〔3〕解答题多采纳一题多咨询的方式，如此既降低了起点又分散了难点。

三．要点精讲1．线线垂直判定线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，假如它和那个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，假如和那个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。

注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 事实上质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。

2．线面垂直定义：假如一条直线l和一个平面α相交，同时和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就讲直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。

直线l与平面α垂直记作：l⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于那个平面。

直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：〔线面垂直⇒面面垂直〕假如一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：〔面面垂直⇒线面垂直〕假设两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

四．典例解析题型1：线线垂直咨询题例1．如图1所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分不为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。

证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，那么GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。

在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分不为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF。

点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，表达了立体几何从考查、论证思想。

例2．〔2006全国Ⅱ，19〕如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分不为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。

证明：设O为AC中点，连接EO，BO，那么EO∥＝12C1C，ABCDEA1B1C1OF又C 1C ∥＝B 1B ，因此EO ∥＝DB ，EOBD 为平行四边形，ED ∥O B 。

∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，BO ⊂面ABC ，故BO ⊥平面ACC 1A 1， ∴ED ⊥平面ACC 1A 1，BD ⊥AC 1，ED ⊥CC 1，∴ED ⊥BB 1，ED 为异面直线AC 1与BB 1的公垂线。

点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐步加深，逻辑推理增强。

题型2：线面垂直咨询题例3．〔1〕〔2006北京文，17〕如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。

〔2〕〔2006天津文，19〕如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥。

〔I 〕证明FO ∥平面;CDE ；〔II〕设,BC =证明EO ⊥平面。

证明：〔1〕∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱， ∴CC 1⊥平面ADCD, ∴BD ⊥CC 1∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1, 且AC ∩CC 1=C,∴BD ⊥平面ACC 1A 1。

〔2〕证明：〔I 〕取CD 中点M ，连结OM 。

在矩形ABCD 中，1,2OM BC ∥又1,2EF BC ∥那么.EF OM ∥连结EM ，因此四边形EFOM 为平行四边形。

FO ∴∥EM.又FO ⊂平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ， FO ∴∥平面CDE 。

〔II 〕连结FM 。

由〔I 〕和条件，在等边CDE ∆中，,CM DM = EM CD ⊥1且31.2EM CD BC EF ===因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO FM ⊥。

,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥平面EOM ，从而.CD EO ⊥而,FM CD M =因此EO ⊥平面.CDF点评：此题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。

例4．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．〔1〕求证C 1D ⊥平面A 1B ；〔2〕当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。

分析：〔1〕由于C 1D 所在平面A 1B 1C 1 垂直平面A 1B ，只要证明C 1D 垂直交线A 1B 1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C 1D ⊥平面A 1B 。

〔2〕由〔1〕得C 1D ⊥AB 1 ，只要过D 作AB 1 的垂线，它与BB 1 的交点即为所求的F 点位置。

〔1〕证明：如图，∵ ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱， ∴ A 1C 1 ＝B 1C 1 ＝1，且∠A 1C 1B 1 ＝90°。

又 D 是A 1B 1 的中点，∴ C 1D ⊥A 1B 1 。

∵ AA 1 ⊥平面A 1B 1C 1 ，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1 ， ∴ AA 1 ⊥C 1D ，∴ C 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

〔2〕解：作DE ⊥AB 1 交AB 1 于E ，延长DE 交BB 1 于F ，连结C 1F ，那么AB 1 ⊥平面C 1DF ，点F 即为所求。

事实上，∵ C 1D ⊥平面AA 1BB ，AB 1 ⊂平面AA 1B 1B ， ∴ C 1D ⊥AB 1 ．又AB 1 ⊥DF ，DF C 1D ＝D ， ∴ AB 1 ⊥平面C 1DF 。

点评：此题〔1〕的证明中，证得C 1D ⊥A 1B 1 后，由ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱知DCABEOFM平面C 1A 1B 1 ⊥平面AA 1B 1B ，立得C 1D ⊥平面AA 1B 1B 。

〔2〕是开放性探究咨询题，注意采纳逆向思维的方法分析咨询题。

题型3：面面垂直咨询题例5．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：〔1〕DE ＝DA ；〔2〕平面BDM ⊥平面ECA ；〔3〕平面DEA ⊥平面ECA 。

分析：〔1〕证明DE ＝DA ，能够通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA 。

〔2〕证明面面垂直的关键在于查找平面内一直线垂直于另一平面。

由〔1〕知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。

从而证明DM ⊥平面ECA 。

证明：〔1〕如图，取EC 中点F ，连结DF 。

∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。

∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC 。

∵ BD ∥CE ，BD ＝21CE ＝21FC ，那么四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC 。

又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt △DEF ≌Rt △ABD ，因此DE ＝DA 。

〔2〕取AC 中点N ，连结MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中点， ∴ MN 21EC 。

由BD21EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，因此DM ⊥MN 。

∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点， ∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，∴ DM ⊥平面ECA ，而DM ⊂平面BDM ，那么平面ECA ⊥平面BDM 。

〔3〕∵ DM ⊥平面ECA ，DM ⊂平面DEA ， ∴ 平面DEA ⊥平面ECA 。

点评：面面垂直的咨询题常常转化为线面垂直、线线垂直的咨询题解决。

例6．〔2003京春理，19〕如下图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分不为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G 。

〔Ⅰ〕求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； 〔Ⅱ〕求点D 1到平面B 1EF 的距离d ；〔Ⅲ〕求三棱锥B 1—EFD 1的体积V 。

〔Ⅰ〕证法一：连接A C 。

∵正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是正方形。

∴AC ⊥BD ，又AC ⊥D 1D ，故AC ⊥平面BDD 1B 1∵E ，F 分不为AB ，BC 的中点，故EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BDD 1B 1 ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1。

证法二：∵BE =BF ，∠EBD =∠FBD =45°，∴EF ⊥B D. ∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1。

〔Ⅱ〕解：在对角面BDD 1B 1中，作D 1H ⊥B 1G ，垂足为H∵平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1，且平面B 1EF ∩平面BDD 1B 1=B 1G ，∴D 1H ⊥平面B 1EF ，且垂足为H ，∴点D 1到平面B 1EF 的距离d =D 1H 。