暨南大学离散数学周密试卷数理逻辑与集合论—参考试卷

暨 南 大 学 考 试 试 卷
一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）
1. 设命题 p ：罗素悖论的真值为假，q ：暨南大学的校训是信敏廉毅，r ：离散数学是计算机科学不可分割的一门基础课程，则复合命题:
()()()()()
p q r q p r p ⌝∧⌝∨∧⌝↔⌝→∨的真值
为 ;
2. 下列各式中为永真式的有： (1) Q Q P P →→∧))(( (2) Q Q P →→)( (3) )(Q P P ∨→
(3) Q Q P P →∨∧⌝))((
(5) )(Q P Q ∧→
3. A 是个10元集合，B 是个2元集合，则集合A B 中元素的个数为
4. 设M(x)：x 是人，C(x)：x 很聪明，则命题：“尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。

”可符号化为：
5. 设R(x)：x 是实数；L(x, y)：x 小于y ，则谓词公式：
(()(()(,)))x R x y R y L x y ∀→∃∧用自然语言表述就是：
6. 设个体域为A={a, b, c}，消去公式()()xP x xQ x ∀→∃中的量词得到的与之等值的谓词公式为：
7. P(A)表示集合A 的幂集，则((()))P P P ∅ =
8. ())(B A B B A ⋃-⋂⋃=
9. 设D 为同一平面上直线的集合，并且 // 表示两直线的平行关系，⊥表示两直线间的垂直关系，则 20// ＝ ，21⊥＝ 10.设
{}c ,b ,a A =，{}
,,,A R a b b a I =<><>⋃是A 上的等价关系,
设自然映射,R /A A :g →,那么()=a g
二、简答题（共4小题，每小题6分，共24分）
1.(1)求公式()()⌝∨⌝→↔⌝P Q P Q 的主析取式（要有过程）；（4分） (2)根据主析取式直接写出该公式的主合取式；（2分）
2. 求与下面谓词公式等值的前束式（要有过程）：
∀→→∃→∃
(()())(()())
x F x G x xF x xG x
3. 设A ={1,2,3,4}，在A ⨯A 上定义二元关系R ：
< <x , y >, <u , v > >∈R ⇔ x+y = u+v ，
求R 导出的划分。

4. 下图是偏序集<≤>,X 的哈斯图，求 X 和 ≤ 的集合表达式，并指出该偏序集的极大元、极小元、最大元和最小元。

三、证明、推理题（共4小题，每小题10分，共40分）
1.
(1)用反证法证明
前提： (),→→∧P Q R P Q
结论： ∨R S （4分）
(2)
前提：()(()()),()()∃→∀→∃→∃xF x y G y H y xR x yG y
结论：(()())()∃∧→∃x F x R x xH x （6分）
2．根据推理理论证明：每个旅客或者坐头等舱或者坐二等舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。

因此，有些旅客坐二等舱。

论域为全总论域。

3. 设A,B 为任意集合，证明： （1）()()⊆⇒⊆A B P A P B （4分） （2）()()⊆⇒⊆P A P B A B
（4分）
（3）()()=⇔=A B P A P B （2分）
4. 设 R 是 A 上的关系
（1）若R 是自反的和传递的，证明
R R R =o
（5分）
（2）若R R R =o ，证明R 是传递的，但自反性不一定成立（举出反例）（5分）
四、计算题（共2小题，每小题8分，共16分）
1. 设A= {1, 2, 3}, R= {<x,y> | x, y∈A且x+2y≤6 }，S= {<1,2>, <1,3>,<2,2>}, 求
（1）R的集合表达式（1分）
（2）R-1 （1分）
（3）dom R, ran R, fld R （2分）
（4）R S, R3（2分）
（5）r(R), s(R), t(R) （2分）
2. 对给定的A, B和f, 判断是否构成函数f：A→B. 如果是, 说明f：A→B是否为单射、满射、双射. 并根据要求进行计算. （第1,2,3题各1分，第4题2分，第5题3分）
（1）A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f ={<1,8>,<3,9> ,<4,10>, <2,6>, <5,9>}.
（2）A, B同(1), f ={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}.
（3）A=B=R+, f(x)=x/(x2+1).
（4）A=B=R×R, f(<x,y>)=<x+y,x-y>, 令L={<x,y>|x,y∈R∧y=x+1}, 计算f(L).
（5）A=N×N, B=N, f(<x,y>)=|x2-y2|. 计算f(N×{0}), f -1({0}).。