大学物理(上) 3—4

W ＋W
外
非保内
＝ 0条件下， E 0 或 E E0
§3－4 角动量与角动量守恒定律 d dL d 转动定律 M J J M ( J ) dt dt dt t p

t
一、角冲量和角动量 t 1、角冲量（冲量矩）定义： t Mdt
对m0： Mdt TRt J 0 2h 且 v R，便可解出结果 t
t
方法4：用机械能守恒定律求解 将m0、m1、绳子及地球等选作研究系统，则
1 1 2 即 : J m1v 2 m1 gh 0 2 2
A ＋ A
外
非保内
＝ 0 ，E E0
且
2h v R，便可解出结果 t
二、角动量定理
t L d Mdt dL M J J t0 L0 dt t Mdt J J0 L L0 L
t0
该结果称为角动量定理，它说明： 合外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量. 注意点： ★角冲量是过程量，角动量是状态量 ★角动量定理说明：外力矩持续（时间累积）作 用的结果是刚体的角动量发生改变 ★角冲量、角动量的概念和角动量定理对质点和 质点系的运动同样适用
由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后 系统的动能不变，即
1 1 1 1 2 2 2 2 mu mv Ml 2 2 2 12
联立以上两式，可得小球的速度为
3m M v u 3m M 棒的角速度为
6m u 3m M l
讨论:
要保证小球回跳 v 0，则必须保证 M 3m .
§ 3－5 碰
撞
碰撞——物体在短时间内发生相互作用的过程。 特点：1、各个物体的动量明显改变。 2、系统的总动量(总角动量)守恒。 一、碰撞的分类 完全弹性碰撞 Ek=0
按碰撞过程中
E <0且 分类完全非弹性碰撞 绝对值最大 有无能量损失 非弹性碰撞 E <0 k
k
正碰 按碰撞方向 分类 斜碰
2
m
r
F
L
v
x
L
O
p r m
即L J
2、质点系的角动量 n 个质点构成的一个质点系，对同一固定点的角 动量等于各质点对该点角动量的矢量和
n n n L ri pi mi ri v i mi ri ( i ri ) i 1 i 1 i 1
方法2：用动能定理求解
1 2 对m0： Md TR Th J 0 2 0 2h 且 v ，便可解出结果 t 方法3：用动量定理和角动量定理求解
t 0
1 对m1 : (m1 g T )dh (m1 g T )h m1v 2 2 0

h
对m1 : (m1 g T )dt (m1 g T )t m1v
2h 1 2 R h at v at 2 t
2h a R 2 t
从动力学角度分析，可以找出5种方法求解
方法1：用转动定律和牛二律求解
对m1 : m1 g T m1a a 对m0：M TR J 0 J 0 R 2h 且 a 2 ，便可解出结果 t 2 2 m1 R ( gt 2h) J0 2h
二、研究碰撞问题的一般方法
例题分析
1、如图，已知： M , m , l , a， max 30 子弹射入并嵌入棒内，求子弹的初速。 解：过程分两步

o a
30
⑴、子弹与棒发生完全非弹性碰撞过程 v 角动量守恒 0 1
l
M
⑵、子弹与棒一起摆动过程，机械能守恒。 1 1 l 2 2 2 0 ( Ml ma ) mga (1 cos 30 ) Mg (1 cos 300 ) 2 3 2 1 g ( 2 3 )( Ml 2)( Ml 2 3ma 2 ) 求解，得 v0 ma 6
★角动量的计算 y 1、质点的角动量 假定质点m在力 F 的作 L 用下沿轨道 L运动。 dv dp 0 根据牛二律 F ma m dt dt 该力对0点的力矩 dp d ( r p) M r F r dt dt 显然： L r p — —角动量(动量矩) 其大小： L rp sin mrv sin 其方向： r 与p的矢量积的方向 时，L rmv mr 2 J
上节回顾
d d d d J J 转动定律 M J J d dt d dt Md Jd
W dW Md
1
2

2
1
1 1 2 Jd J 2 J12 2 2
1 1 2 2 W J 2 J1 Ek 2 2 刚体的重力势能 E p mgyc mghc 1 1 2 2 E E k E p mvc J c E p 2 2
mv 0a ( Ml 2 ma 2 ) 3
2、 如图所示，一根质量为M 、长为l 的均匀 细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平 轴转动，开始时细棒静止于水平位置. 今有一质量 垂直向下落到了棒的端点， 为m 的小球，以速度 u 设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞 . 试求碰撞后小 球的回跳速度 v 及棒绕轴转动的角速度ω. m u M o
t0

t
Mdt J J 0 L L0 L
该结论称为角动量守恒定律 注意点：1、守恒的条件 2、守恒的内涵
M 0 J J 0 0 L 0或L L0 J 0 0 J 0 0
3、是力学中的三大守恒定律之一 4、角动量守恒定律具有广泛的应用 角动量定恒2.AVI
实际中的一些现象
Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作
艺术美、人体美、物理美相互结合
Ⅱ当滑冰、跳水、体操运动 员在空中为了迅速翻转也总 是曲体、减小转动惯量、增 加角速度。当落地时则总是 伸直身体、增大转动惯量、 使身体平稳地。
角动量 定恒2.AVI
四、守恒定律与时空对称性 1、空间的平移对称性（空间的均匀性） →→动量守恒定律 2、时间的平移对称性（时间的均匀性） →→机械能守恒定律 3、空间的转动对称性（空间的各向同性） →→角动量守恒定律
方法5：用系统的角动量定理求解 视 m0、m1 及绳子为一系统，则外力矩 M m1 gR
Mdt m1 gRdt m1 gRt
0 0
t
t
m1 gRt J 0 m1 R2
且
2h v R，便可解出结果 t
3、测飞轮的转动惯量 已知：m1和R,测出t 时间内 下落的距离h,证明飞轮的转 2 2 动惯量 . m R ( gt 2h)
T
J0
1
2h
0
m0 g
R
T’
1
解：受力分析如图所示， 在重力的作用下，m由静 止向下作匀加速直线运动； M由静止开始作匀角加速 转动。 其运动学关系：
T1 m1 m1g h
3、刚体的角动量 对质量连续分布的刚体 n n L lim Li lim ri m i v i
n i 1 n i 1
z
lim
n i 1 n
n
m i ri ( ri )
n 2 2 m i ri (lim m i ri )
vi m i ri
lim
n i 1 2 m
( r dm ) J zk
n
i 1
即：
其大小L J z L J z 其方向与 方向相同

三、角动量守恒定律及其应用 由角动量定理
可以看出：当 M 0时，L 0或L L0
z 对于绕固定轴oz转动的刚性质点系: n n m j L Li ri mi vi vi i 1 i 1 m i vj r n j ri mi ri ( ri )
i 1 n
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i 1
n 2 2 mi ri ( mi ri ) J z i 1
l
解： 分析可知,忽略小球所受的重力，则以棒和 小球组成的系统的角动量守恒.
由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统 1 的角动量就是小球的角动量 mlu； 2 设碰撞后小球回跳速度为v ，棒获得的角速度为ω， 所以碰撞后系统的角动量为 l 1 mv Ml 2 2 12 由角动量守恒定律得
l l 1 mu mv Ml 2 2 2 12
0
t0
Mdt dL (与t Fdt p
0
L L0
dp对比)
0
是描写力矩对时间累积 作用的物理量 称为t0 到 t 时间内合外力矩的角冲量或冲量矩
2、角动量（动量矩） 定义：L J
是描写刚体转动状态的 重要物理量之一 称为角动量或动量矩，其单位：kg.m2.s-1