高中数学 第一章 三角函数 1.7.11.7.2 正切函数的定义、正切函数的图像与性质课件 北师大版必修4
高中数学第一章三角函数1.7.1_1.7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质课时素养评价含解析北
学习资料课时素养评价九正切函数的定义正切函数的图像与性质(15分钟30分）1.函数y=2tan的定义域是( )A.B。
C。
D.【解析】选 B.由2x-≠kπ+,k∈Z，得x≠+,k∈Z，所以定义域为。
2.函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一个对称中心是（）A。
(0，0） B. C.D。
（π，0)【解析】选 C.x+=（k∈Z)得x=—（k∈Z),所以当k=2时，x=，所以函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ，k∈Z的一个对称中心是.3.函数f（x）=tan ωx（ω>0)的图像的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f的值是( )A.0 B。
1 C.-1 D.【解析】选A.由题意得,T==,所以ω=4.所以f(x)=tan 4x，f=tan π=0。
【补偿训练】直线y=a（常数）与正切曲线y=tan ωx（ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )A.πB.2πC.D。
与a值有关【解析】选C.两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为。
4。
函数y=tan x的单调减区间为.【解析】因为y=x在其定义域上为减函数,所以此函数的减区间即为tan x>0的增区间,故为，k∈Z.答案：，k∈Z5.求函数y=tan 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性.【解析】由3x-≠kπ+,k∈Z，得x≠+，k∈Z.所以函数y=tan 的定义域为。
值域为R，周期T=，是非奇非偶函数.由kπ—〈3x-〈kπ+得-<x<+,k∈Z，故函数在区间(k∈Z)上单调递增.(20分钟40分)一、选择题（每小题5分,共20分）1.已知sin θ·tan θ<0，那么角θ是（)A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C。
第三或第四象限角 D。
第一或第四象限角【解析】选B。
若sin θ〉0,tan θ<0,则角θ在第二象限;若sin θ<0，tan θ〉0，则角θ在第三象限。
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的图像与性质课
π π π 解析：由 x＋4≠kπ＋2，k∈Z，得 x≠kπ＋4，k∈Z. 答案：D
4． 已知函数 π A.4
π f(x)＝tan2x＋3， 则函数
f(x)的最小正周期为(
)
π B.2
C．π
D．2π
π π π 解析：法一函数 y＝tan(ωx＋φ)的周期 T＝|ω|，可得 T＝|2|＝2. π 法二 由诱导公式可得 tan2x＋3 π π π ＝tan2x＋3＋π＝tan2x＋2＋3， π π 所以 f x＋2 ＝f(x)，所以周期为 T＝2. 答案：B
2．下列说法正确的是( ) A．y＝tanx 是增函数 B．y＝tanx 在第一象限是增函数 C．y＝tanx 在某一区间上是减函数 π π D．y＝tanx 在区间kπ－2，kπ＋2(k∈Z)上是增函数
解析：由正切函数的图象可知 D 正确． 答案：D
π 3．函数 y＝tanx＋4的定义域是( ) π π A. xx≠－4 B. xx≠4 π π C. x x≠kπ－4，k∈Z D. x x≠kπ＋4，k∈Z
y＝tanx
π x|x≠kπ＋ ，x∈R，(k∈Z) 2
R π 奇函数 π π kπ－ ，kπ＋ (k∈Z) 2 2 无
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( × ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( × ) (3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期 π.( √ )
跟踪训练 2 调区间．
本例(1)函数变为
高中数学 第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公
第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正切函数的图像与性质、7.3正切函数的诱导公式 训练案知能提升 新人教A 版必修4[A.基础达标]1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )． 2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角．3．函数y ＝|tan x |的周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．3π解析：选B.结合函数y ＝|tan x |的图像可知周期为π.4．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)，下列说法不正确的是( )A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B ．不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数C ．存在φ，使f (x )为奇函数D ．对任意的φ，f (x )都不是偶函数解析：选A.当φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝tan(x ＋k π)＝tan x 为奇函数．5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )(1)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递减的． (2)最小正周期为2π.(3)是奇函数．A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin(x ＋3π)D ．y ＝sin 2x解析：选C.y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，不满足条件(1)． B ．函数y ＝cos x 是偶函数，不满足条件(3)．C ．函数y ＝sin(x ＋3π)＝－sin x ，满足三个条件．D ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期T ＝π，不满足条件(2)．6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan x 2的图像相交，两相邻交点间的距离为________． 解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．答案：2π7．比较大小：tan 211°________tan 392°.解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，因为tan 31°<tan 32°，所以tan 211°<tan 392°.答案：<8．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1，故π4≤x ≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1 9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2. 解：原式＝tan （－α）·sin（－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α. 10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的值总不大于零，某某数k 的取值X 围． 解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ≤0， 得k ≤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 由正切函数的单调性，得0≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3恒成立，只要k ≤0即可． 所以k 的取值X 围为(－∞，0]．[B.能力提升]1．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( ) A.12B ．－22 C.22 D ．－12解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，所以f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3×15°)＝cos 45°＝22. 2．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是()A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．b <a <c解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．3．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝________． 解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7， 所以a sin π5＋b tan π5＝6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝a sin 995π＋b tan 995π＋1＝ a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π5＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a sin π5＋b tan π5＋1 ＝－6＋1＝－5.答案：－54．给出下列命题：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称； ②函数f (x )＝sin |x |是最小正周期为π的周期函数； ③函数y ＝cos 2x ＋sin x 最小值为－1； ④设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2.其中正确的命题序号是________．解析：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称，正确；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x )＝sin|x |不是周期函数；③因为函数y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，即θ2为第一象限或第三象限的角，所以④不对． 答案：①③ 5．已知函数f (x )＝sin x |cos x |. (1)求函数的定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像；(4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x |cos x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π， 则f (x )在其定义域上的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )， 递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋2k π，－π2＋2k π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． 6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]， 所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233. (2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ，所以原函数的图像的对称轴方程为x ＝－tan θ.因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数，所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ<π2＋k π或－π2＋k π<θ≤－π3＋k π， k ∈Z .又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以θ的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
正切函数的图像与性质
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1．角 α 的终边经过点 P(－b,4)且 cos α＝－35，求 tan α 的值． [解] 由题意知 cos α＝ b－2＋b 42＝－35，∴b＝±3.又 cos α＝－35<0， ∴P 在第二象限，∴b＝3. ∴tan α＝－43.
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正切函数的图像
【例 2】 作出函数 y＝tan|x|的图像，判断函数的奇偶 性及周期性．
]
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正切函数的性质 [探究问题] 1．如何判断函数的奇偶性． [提示] 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关 于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f(－x) 与 f(x)的关系． 2．函数 y＝tan x 的周期是多少？y＝|tan x|的周期呢？ [提示] y＝tan x 的周期是 π，y＝|tan x|的周期也是 π.
C [y＝tan x 的图像与 x 轴的交点以及 x 轴上使 y＝tan x 无意义
的点都是对称中心．]
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3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
①
②
③
④
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(1)A (2)④ [(1)如图，函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－32π，32π 上的交点个数是 3.
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(2)函数 y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝2tan 2sin
高中数学第1章三角函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质高一数学
确；当点 P 在G︵H上时，tanα>0，sinα<0，cosα<0，故 D 选项错误．综
上，故选 C．
12/8/2021
第十二页，共十四页。
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内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
No Image
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D．xx∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z
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第九页，共十四页。
解析：选 D y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，
由 x－π4≠kπ＋π2(k∈Z)，得 x≠kπ＋34π(k∈Z)．所以函数的定
义域为x|
x∈R，x≠kπ＋34π，k∈Z.
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5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，
A︵B，C︵D，E︵F，G︵H是圆 x2＋y2＝1 上的四段弧
(如图)，点 P 在其中一段上，角 α 以 Ox 为始
边，OP 为终边，若 tanα<cosα<sinα，则 P 所
在的圆弧是( )
A．A︵B
B．C︵D
C．E︵F
D．G︵H
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解析：选 C 逐个分析 A、B、C、D 四个选项，利用三角函
数的定义可得正确结论．当点 P 在A︵B上时，cosα＝x，sinα＝y，
∴cosα>sinα，故 A 选项错误；当点 P 在C︵D上时，cosα＝x，sinα
＝y，tanα＝yx，∴tanα>sinα>cosα，故 B 选项错误；当点 P 在E︵F上
时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴sinα>cosα>tanα，故 C 选项正
高中数学 第一章 三角函数 1.7.1-1.7.2 正切函数的定义、正切函数的图像与性质课件 北师大版必修4
K12课件
7
做一做3 已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终 边( ) A.在x轴上 B.在y轴上 C.在直线y=x上 D.在直线y=x或y=-x上
解析:由题意可知tan α=±1,所以角α的终边在直线y=x或y=-x上.故
选D. 答案:D
K12课件
8
三、正切函数的图像
根据正切函数的定义域,我们可选择区间
+
3π 4
,������∈Z
解析:y=tan π -������ =-tan ������- π ,因此,应有 x-π≠kπ+π(k∈Z),即
4
4
4
2
x≠kπ+34π(k∈Z).
答案:D
K12课件
12
做一做 6
函数 f(x)=tan
������ + π
4
的单调增区间为
A. ������π- π ,������π + π ,k∈Z
22
θ=
.
答案: 3 做一做 2 若角 α 的终边上有一点 P(2,x),且 tan α=-3,则 x 的值等于
()
A.6
B.-2
3
答案:D
C.2
D.-6
3
K12课件
6
二、正切线 如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意 角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边 或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第 三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位 于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终 边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为 角α的正切线.
2020-2021学年数学北师大版必修4课件：1-7-1、2 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
2．用三点两线法作正切函数图像 “三点”是指(－4π，－1)，(0,0)，(π4，1)； “两线”是指 x＝－2π与 x＝2π. 3．正切函数单调性的关注点 虽然正切函数有无数个单调区间，在(－2π，π2)，(π2，32π)，… 上都是增函数，但是不能说正切函数在(－2π，π2)∪(π2，32π)∪…上 是增函数．
1．用单位圆上的正切线画正切函数图像 (1)建立平面直角坐标系，在 x 轴的负半轴上任取一点 O1， 以 O1 为圆心作单位圆； (2)把单位圆中的右半圆分成 8 等份，分别在单位圆中作出 其相应的正切线； (3)将各正切线的终点用平滑的曲线连接起来，得到正切函 数在(－2π，π2)上的图像； (4)将该简图向左右扩展平移即得正切函数的图像．
[答一答] 2．如何作出正切函数的图像？
提示：(1)几何法 利用单位圆中的正切线作出正切函数图像，该方法作图较为 精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法 “三点”是指(－4π，－1)，(0,0)，(π4，1)；“两线”是指 x＝－2π 和 x＝2π.在“三点”、“两线”确定的情况下，类似于五点法作图， 可大致画出正切函数在(－2π，π2)上的简图，然后向右、向左延伸即 可得到正切曲线．
4 ∴tanα＝53＝43.
5
规律方法 利用定义求任意角的正切函数值的方法 由正切函数的定义知：若点 P 为角的终边(终边不与 y 轴重 合)与单位圆的交点，则该角的正切值为点 P 的纵坐标与横坐标 的比值；若点 P 为角的终边(终边不与 y 轴重合)上的任意一点(除 坐标原点)，由相似三角形的性质知，其正切值仍为点 P 的纵坐 标与横坐标的比值．
若 tanα＝12，利用三角函数定义，求 sinα 和 cosα. 解：因为 tanα＝12>0，
北师版高中数学必修第二册精品课件 第1章 三角函数 正切函数的定义--7.2 正切函数的诱导公式
一、正切函数的定义
【问题思考】
1.根据函数的定义,比值
是
x 的函数,称为 x 的正切函数,记作
y=tan x,其中定义域为 ∈ ≠ +
边上任取一点 Q(x,y)(x≠0),则 tan α= .
, ∈ .若角 α 的终
2.根据定义知,当角在第一和第三象限时,其正切函数值为正;
(-°+°)·[-(°+°)]
-°·°
-°
=
°·[-(°+°)] -°
= .
记不清诱导公式,导致结果错误
-
+ - ·
- - +√
(3)tan(α-2π)=-tan α.( × )
(4)tan(α-π)=-tan α.( × )
探究一 正切函数的概念
【例1】 如图1-7-1,设A是单位圆和x轴非负半轴的交点,P,Q
是单位圆上的两点,O是坐标原点,∠AOP= ,∠AOQ=α,
α∈[0,π).
(1)若 Q
,
,试求 tan α.
=
=-
(-)(-)
(-)
(°-)
(2)原式=
=
(-)
·
(°-)(°-) (-)
·tan x·tan x·-
-
·
=sin x.
=-tan α.
若本例(1)改为:
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)求
高中数学 第一章 三角函数 1.7 正切函数 锐角正弦线及正切线的一个结论及应用素材 北师大版必修
高中数学第一章三角函数1.7 正切函数锐角正弦线及正切线的一个结论及应用素材北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.7 正切函数锐角正弦线及正切线的一个结论及应用素材北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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锐角正弦线及正切线的一个结论及应用一、结论及其证明由三角函数正弦线与正切线，易得以下结论：若0＜x ＜2π,则sin x ＜x ＜tan x ． 证明：如图作单位圆,OP 为角x 的终边,图中MP ，AP ，AT 则分别表示sin x ,x ，tan x ． ∵ 扇形OAP OAT OAP S S S ∆∆<<， 即21OA •MP ＜21OA •AP ＜21OA •AT ． ∴ MP ＜AP ＜AT ．即sin x ＜x ＜tan x ．注：当x ＝0时，可得sin x ＝x ＝tan x ＝0；结合正弦函数的特点，知x ＞0时，有x ＞sin x ；当x ＜0时，有x ＜sin x ．二、应用举例1．求根的个数例1 在[0，2π)内,y ＝sin x 与y ＝tan x 的交点个数为( ) (A) 0个 (B ） 1个 （C) 2个 (D) 3个分析:用学过知识,本题似乎无法解决．由于y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象没学过,不知图象特点．若用sin x 与tan x 中x 是锐角特点，则能迎刃而解．解:∵ x 为锐角,则tan x ＞x ＞sin x ．∴ 此时y ＝sin x ,y ＝tan x 无交点．∴ 交点只能为（0，0）一个,故选（B ）．评注：求交点个数,常用数形结合来解决．2．比较大小例2 sin 25π,cos65π，tan25π从小到大的顺序是_________．分析：多个式子比较大小，可用介值法，发现cos 65π是负的,而其余两个是正．再比较tan 25π,sin25π的大小,可用结论法．解：由cos65π＜0．又∵当0＜x＜2π时，tan x＞x＞sin x＞0,即有tan25π＞sin25π＞0，∴ cos65π＜sin25π＜tan75π．评注：本题也可直接利用三角函数在单位圆中的函数线来解决的．。
高中数学 第一章 三角函数 7.1正切函数的定义、7.2正
7．1 正切函数的定义 7．2 正切函数的图像与性质 7．3 正切函数的诱导公式1．问题导航(1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？(2)正切函数的定义域能写成⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )吗？为什么？ (3)正切函数的诱导公式的实质是什么？ 2．例题导读P 39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法． 试一试：教材P 40习题1－7 A 组T 1、T 2你会吗？P 40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值． 试一试：教材P 41习题1－7 A 组T 7(1)你会吗？1．正切函数的定义在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，且角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，那么比值b a 叫作角α的正切函数，记作y ＝tan_α，其中 α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z ．根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tan α＝sin αcos α(比值ab叫作角α的余切函数，记作y ＝cot α，其中α∈R 且α≠k π，k ∈Z )．2．正切线 (1)定义：在直角坐标系中，设单位圆与x 轴的非负半轴的交点为A (1，0)，过点A (1，0)作x 轴的垂线，与角α的终边或其终边的延长线相交于T 点，则称线段AT 为角α的正切线．(2)画法：3．正切函数的图像与性质解析式 y ＝tan x图像定义域{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域 R 周期 k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期是π 奇偶性 奇函数单调性 在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数 对称性 正切曲线是中心对称图形，其对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) (1)tan(2π＋α)＝tan_α(1.16)； (2)tan(－α)＝－tan_α(1.17)； (3)tan(2π－α)＝－tan_α(1.18)； (4)tan(π－α)＝－tan_α(1.19)； (5)tan(π＋α)＝tan_α(1.20)；(6)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cot α(1.21)； (7)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cot α(1.22)．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期π.( )(4)函数y ＝tan x 为奇函数，故对任意x ∈R 都有tan(－x )＝－tan x ．( )解析：(1)错误．如x 1＝π4，x 2＝2π3，但tan π4>tan 2π3，不符合增函数的定义．(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．(3)错误．正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期π2，故此说法是错误的．(4)错误．当x ＝π2＋k π(k ∈Z )时，tan x 没有意义，此时式子tan(－x )＝－tan x 不成立．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A.因为y ＝tan(x ＋π)＝tan x ，所以y ＝tan(x ＋π)是奇函数．3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的定义域是________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．解析：由题意知x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠π3＋k π(k ∈Z )．故定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6＝ 3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 34．化简：tan （2π－θ）sin （－2π－θ）cos （6π－θ）cos （θ－π）sin （5π＋θ）＝________．解析：原式＝tan （－θ）sin （－θ）cos （－θ）（－cos θ）（－sin θ）＝（－tan θ）（－sin θ）cos θcos θsin θ＝tan θ. 答案：tan θ1．对正切函数图像的理解(1)正切函数的图像是由被互相平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和x ＝π2＋k π(k ∈Z )相交，与x 轴交于点(k π，0)(k ∈Z )．(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来，“三点”是指(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝π2和x ＝－π2.作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线x ＝－π2，x ＝π2，然后描出三点(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．注意：直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交．2．对正切函数的性质的理解(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意．(2)正切函数的图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，而不是(k π，0)(k ∈Z )，它没有对称轴．3．对正切函数的诱导公式的理解 (1)公式的特点与记忆2π±α，－α，π±α的正切函数值等于α的正切函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)利用“化切为弦”的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦”是指利用tan α＝sin αcos α，α∈R ，且α≠π2＋k π，k ∈Z ，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题．例如，tan(－α)＝sin （－α）cos （－α）＝－sin αcos α＝－tan α.(3)诱导公式的应用利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数．即正切函数的图像求函数f (x )＝tan |x |的定义域与值域，并作其图像． (链接教材P 42习题1－7 B 组T 4) [解] f (x )＝tan |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0且x ≠k π＋π2，－tan x ，x <0且x ≠k π＋π2(k ∈Z )，可知，函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R .当x ≥0时，函数y ＝tan |x |在y 轴右侧的图像即为y ＝tan x 的图像不变；x <0时，y ＝tan |x |在y 轴左侧的图像为y ＝tan x 在y 轴右侧的图像关于y 轴对称的图像，如图所示(实线部分)．本例中“函数f (x )＝tan |x |”若换为“函数f (x )＝|tan x |”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：函数f (x )＝|tan x |的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．方法归纳(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1，两线是直线x ＝±π2. (2)如果由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (|x |)及y ＝|f (x )|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y ＝f (x )(x ≥0)的图像，令其关于y 轴对称便可以得到y ＝f (|x |)(x ≤0)的图像；同理只要做出y ＝f (x )的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y ＝|f (x )|的图像．1．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图像是如图中的________．解析：(1)如图，函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的交点个数是3.(2)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <32π.答案：(1)A (2)④正切函数的性质求函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域、最小正周期和单调区间． (链接教材P 40练习T 2)[解] 由题意，知2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，所以x ≠k π2＋5π12(k ∈Z )，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π2＋5π12，k ∈Z .由于f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π3＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2， 所以最小正周期T ＝π2.因为k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，所以k ·π2－π12<x <k ·π2＋512π(k ∈Z )，即函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．方法归纳求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)定义域、周期、单调区间的方法(1)定义域：由ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，求出x 的取值集合即为函数的定义域，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋π2－φω，k ∈Z .(2)周期性：利用周期函数的定义来求．(3)单调区间：在求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x 的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z )，求出x 的所在区间即可．提醒：注意A 的正负对函数单调性的影响．2．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)的图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中0<φ<π2，试求函数f (x )的单调区间．解：由于y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ， 故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4，由于0<φ<π2，所以当k ＝2时，φ＝π4.故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 由于正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2，解得k 3π－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z . 故该函数的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3＋π12(k ∈Z )．正切函数诱导公式的应用已知tan(3π－α)＝15，求sin （π＋α）·tan （π－α）·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值．(链接教材P 40例2)[解] 因为tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝15，所以tan α＝－15.原式＝－sin α（－tan α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin α＝－sin α·（－tan α）⎝ ⎛⎭⎪⎫－－cos αsin αcos α－sin α·sin α＝－tan α＝15.方法归纳解决条件求值问题的基本思路是分别将已知条件和所求问题进行化简，进而寻找已知条件和所求问题间的关系，从而求得结论．3．(1)已知tan(π＋α)＋1tan （3π＋α）＝2，则tan(π－α)＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________；(3)已知tan(π＋α)＝lg 1310，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π的值． 解：(1)选 D.tan(π＋α)＋1tan （3π＋α）＝tan α＋1tan α＝2，即tan 2α－2tan α＋1tan α＝0，解得tan α＝1.所以tan(π－α)＝－tan α＝－1.(2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，所以sin φ＝－32. 因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以tan φ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－tan π3＝－ 3.故填－ 3. (3)因为tan(π＋α)＝lg 1310＝－13，所以tan α＝－13.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos αsin α＝－1tan α＝3.思想方法 换元法的应用设函数y ＝tan 2x ＋2tan x ＋2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，求函数的值域．[解] 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，所以tan x ∈[－3，1]， 令tan x ＝t ，t ∈[－3，1]，则y ＝t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1.当t ＝－1时，y 取得最小值，为1； 当t ＝1时，y 取得最大值，为5.所以函数y ＝tan 2x ＋2tan x ＋2的值域为[1，5]．[感悟提高] (1)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题．(2)利用换元法时，要注意新变量的取值范围，把原变量的范围转化给新变量．1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：选B.由(tan α，cos α)在第三象限，知tan α<0，cos α<0，所以角α是第二象限角．2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝( ) A ．－5 B ．5 C ．±5 D ．不能确定解析：选B.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－4π3＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－5， 故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝5. 3．若tan x －3≥0，则x 的取值范围是________．解析：由题意，知tan x ≥ 3.由正切函数的图像，知k π＋π3≤x <k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π＋π3≤x <k π＋π2，k ∈Z4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域是________．解析：函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增加的 ，则tan 0≤y ≤tan π4，即0≤y ≤1.答案：[0，1], [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z 解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )．2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角． 3．函数y ＝|tan x |的周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．3π解析：选B.结合函数y ＝|tan x |的图像可知周期为π.4．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)，下列说法不正确的是( ) A ．对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B ．不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数C ．存在φ，使f (x )为奇函数D ．对任意的φ ，f (x )都不是偶函数 解析：选A.当φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝tan(x ＋k π)＝tan x 为奇函数．5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是( )(1)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递减的．(2)最小正周期为2π. (3)是奇函数． A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin(x ＋3π) D ．y ＝sin 2x解析：选C.y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是递增的，不满足条件(1)．B ．函数y ＝cos x 是偶函数，不满足条件(3)．C ．函数y ＝sin(x ＋3π)＝－sin x ，满足三个条件．D ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期T ＝π，不满足条件(2)．6．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan x2的图像相交，两相邻交点间的距离为________．解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期． 答案：2π7．比较大小：tan 211°________tan 392°. 解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°. tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°， 因为tan 31°<tan 32°， 所以tan 211°<tan 392°. 答案：<8．函数f (x )＝tan x －1＋1－x 2的定义域为________．解析：要使函数f (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥1，x 2≤1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π4≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－1≤x ≤1，故π4≤x ≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，1 9．化简：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2.解：原式＝tan （－α）·sin（－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α. 10．(1)求y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的值总不大于零，求实数k 的取值范围． 解：(1)设t ＝tan x ，则y ＝t 2＋4t －1＝(t ＋2)2－5≥－5，所以y ＝tan 2x ＋4tan x －1的值域为[－5，＋∞)．(2)由y ＝k ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ≤0， 得k ≤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.由正切函数的单调性，得0≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以要使k ≤tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3恒成立，只要k ≤0即可． 所以k 的取值范围为(－∞，0]．[B.能力提升] 1．已知f (tan x )＝cos 3x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (tan 375°)的值为( )A.12 B ．－22C.22 D ．－12解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，所以f (tan 375°)＝f (tan 15°)＝cos (3×15°)＝cos 45°＝22. 2．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b >a >c D ．b <a <c解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．3．已知f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝________． 解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝a sin π5＋b tan π5＋1＝7， 所以a sin π5＋b tan π5＝6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π＝a sin 995π＋b tan 995π＋1＝ a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π－20π＋1 ＝－a sin π5－b tan π5＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫a sin π5＋b tan π5＋1 ＝－6＋1＝－5. 答案：－54．给出下列命题：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称； ②函数f (x )＝sin |x |是最小正周期为π的周期函数；③函数y ＝cos 2x ＋sin x 最小值为－1；④设θ为第二象限的角，则tan θ2>cos θ2，且sin θ2>cos θ2.其中正确的命题序号是________．解析：①函数y ＝tan x 的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称，正确；②函数f (x )＝sin|x |是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f (x )＝sin|x |不是周期函数；③因为函数y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，即θ2为第一象限或第三象限的角，所以④不对．答案：①③5．已知函数f (x )＝sin x|cos x |.(1)求函数的定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性；(3)在[－π，π]上作出f (x )的图像； (4)写出f (x )的最小正周期及单调性．解：(1)因为由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．又因为f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π，则f (x )在其定义域上的图像如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )， 递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π＋2k π，－π2＋2k π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )． 6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1， 3 ]上是单调函数．解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43，x ∈[－1，3]，所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ， 所以原函数的图像的对称轴方程为x ＝－tan θ. 因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， 所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，所以π4＋k π≤θ<π2＋k π或－π2＋k π<θ≤－π3＋k π，k ∈Z .又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。