高考数学总复习2.6

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高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理

§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33，则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围．解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2，当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。

函数与方程-高考真题复习-高考复习

设m(x)=-x3+3xx2+a1x-a,x∈(0,1),1a>0x,
则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,
∴m(x)在(0,1)上有零点,
则h(x)在(0,1)上有零点.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 ( )
A.
0,
1 2
B.
1 2
,1
C.(1,2)
D.(2,+∞)
答案 B f(x)=
x 3
1, x,
x如图2,,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= x 2.
同时要满足
y
(x
2)在2 , x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令
y b2 x2
h(x)=x2-5x+8-b,需
h(2) 0,
即
h
5 2
0,
2 b 解 0得, <b<2.
8
25 4
b
0,
7 4
综上所述,满足条件的b的取值范围是 <b<2,故7选D.
4
y 2 x,
则
Δ1
Δ2Байду номын сангаас
a2 a2
4a 8a
∴04,<a<8. 0,
情况二:
则

2023版高考数学一轮总复习2-6函数与方程及函数的综合应用习题

2.6 函数与方程及函数的综合应用基础篇固本夯基考点一函数的零点1.(2021云南顶级名校检测,4)函数f(x)=lnx-3x 的零点所在的区间是( ) A.(1,2) B.(2,e) C.(e,3) D.(3,+∞) 答案 C2.(2022届湖北襄阳五中10月月考,3)下列函数在(0,+∞)上单调递增且存在零点的是( )A.y=x 2-x-3 B.y=-0.2xC.y=sin2xD.y=x-1x 答案 D3.(2020四川石室中学月考,7)已知函数f(x)=(13)x-log 2x,设0<a<b<c,且满足f(a)·f(b)·f(c)<0,若实数x 0是方程f(x)=0的一个解,那么下列不等式中不可能成立的是( )A.x 0<aB.x 0>cC.x 0<cD.x 0>b 答案 B4.(2018课标Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)={e x ,x ≤0,ln x ,x >0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案 C5.(2022届黑龙江八校期中联考,11)已知f(x)=e -x-lnx-2x,若x 0是函数f(x)的一个零点,则x 0+lnx 0的值为( )A.0B.1e -1 C.1 D.e+1 答案 A6.(2021辽宁铁岭一模,6)若关于x 的方程√2x -x 2-mx-3=0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,-43)B.(-∞,-32]∪(-43,+∞) C.(-32,-43]D.[-32,-43) 答案 D7.(2021河南焦作二模,15)若函数f(x)=|e x-a|-1有两个零点,则实数a 的取值范围是 . 答案 (1,+∞)8.(2020宁夏石嘴山三中三模,16)已知函数f(x)={x 2+2x -3,x ≤1,2x ,x >1,则函数y=f(f(x))的图象与直线y=4的交点个数为 . 答案 3考点二函数模型及应用1.(2021全国甲,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)( )A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6 答案 C2.(2021合肥质监,6)2019年1月1日起,我国个人所得税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数据确定,计算公式为:个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.应纳税所得额的计算公式为:应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.其中,“基本减除费用”(免征额)为每年60000元.部分税率与速算扣除数见下表:级数全年应纳税所得额所在区间税率(%)速算扣除数1 [0,36000] 3 02 (36000,144000] 10 25203 (144000,300000] 20 169204 (300000,420000] 25 319205 (420000,660000] 30 52920若某人全年综合所得收入额为249600元,专项扣除占综合所得收入额的20%,专项附加扣除是52800元,依法确定其他扣除是4560元,则他全年应缴纳的个人所得税应该是( ) A.5712元 B.8232元C.11712元D.33000元答案 A3.(2020课标Ⅲ,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=x1+e-0.23(x-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln19≈3)()A.60B.63C.66D.69答案 C4.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:x1 (x+x)2+x2x2=(R+r)x1x3.设α=xx .由于α的值很小,因此在近似计算中3x3+3x4+x5(1+x)2≈3α3,则r的近似值为( )A.√x 2x 1RB.√x22x 1R C.√3x 2x 13R D.√x23x 13R答案 D5.(2022届云南大理统测,4)牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:t=-1x ·lnx -x 0x 1-x 0(t 为时间,单位为分钟,θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ为冷却后温度),假设一杯开水温度θ1=90℃,环境温度θ0=10℃,常数k=16,大约经过分钟水温降为40℃(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)( ) A.8 B.7 C.6 D.7 答案 C6.(2020陕西咸阳二模,15)为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明,该药物释放量y(mg/m 3)与时间t(h)的函数关系为y={xx ,0<x <12,1xx,t ≥12,如图所示,实验表明,当药物释放量y<0.75(mg/m 3)时对人体无害. (1)k= ;(2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间. 答案 (1)2 (2)407.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W=f(t),用-x (x )-x (x )x -x的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论:①在[t 1,t 2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在t 2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在t 3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]这三段时间中,在[0,t 1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是 . 答案 ①②③综合篇知能转换考法一判断函数零点所在区间和零点的个数1.(2021山西吕梁一模,9)函数f(x)=2x+14x-5的零点x 0∈[a -1,a],a∈N *,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C2.(2021江西八所重点中学4月联考,6)定义在R 上的函数y=f(x)满足f(6-x)=f(x),(x-3)f'(x)>0(x≠3),若f(0)·f(1)<0,则函数f(x)在区间(5,6)内( ) A.没有零点 B.有且仅有1个零点 C.至少有2个零点 D.可能有无数个零点答案 B3.(2021东北三省四市教研联合体二模,11)若函数f(x)={|2x -1|,x <2,3x -1,x ≥2,则函数g(x)=f[f(x)]-2的零点个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B4.(2022届四川攀枝花统考一,7)方程f(x)=f'(x)的实数根叫做函数f(x)的“新驻点”.如果函数g(x)=lnx+2的“新驻点”为a,那么a 的取值范围是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.(1,32) D.(32,2) 答案 B5.(2022届兰州西北师大附中期中,12)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+2)=f(2-x),当x∈[-2,0]时,f(x)=(√22)x-1,则在区间(-2,6)上关于x 的方程f(x)-log 8(x+2)=0的解的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案 B6.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论:①当k=0时,f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 答案 ①②④考法二已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围) 1.(2017课标Ⅲ,11,5分)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12B.13C.12D.1答案 C2.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)={x 3,x ≥0,-x ,x <0.若函数g(x)=f(x)-|kx 2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k 的取值范围是( ) A.(-∞,-12)∪(2√2,+∞) B.(-∞,-12)∪(0,2√2) C.(-∞,0)∪(0,2√2) D.(-∞,0)∪(2√2,+∞) 答案 D3.(2022届山西长治第八中学阶段性测评,10)已知函数f(x)={e x -x,x ≤0,ln x -x ,x >0,函数y=f(x)+2x+a 有且只有两个零点,则a 的取值范围为( ) A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1] 答案 B4.(2022届河北衡水第一中学调研一,8)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),且当x∈[0,2]时,f(x)={e x -1,0≤x ≤1,x 2-4x +4,1<x ≤2.若关于x 的不等式m|x|≤f(x)的整数解有且仅有9个,则实数m 的取值范围为( ) A.(e -17,e -15] B.[e -17,e -15] C.(e -19,e -17] D.[e -19,e -17]答案 C5.(2020吉林延边自治州4月模拟,12)已知函数f(x)={|log2(x-1)|,1<x≤3,x2-8x+16,x>3,若方程f(x)=m有4个不同的实根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则(1x1+1x2)(x3+x4)=( )A.6B.7C.8D.9答案 C6.(2022届赣州十七校期中联考,15)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=e x(x+1),若关于x的方程f(x)=m有三个不同的实数根,则实数m的取值范围为.答案(-1e2,1 e2)7.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)={x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是______.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)8.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=√1−(x-1)2,g(x)={x(x+2),0<x≤1,-12,1<x≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案[13,√24)应用篇知行合一应用函数模型的实际应用1.(2020新高考Ⅰ,6,5分模型应用)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B2.(2021昆明质量检测二,11生活实践情境)饮酒驾车、醉酒驾车是严重危害《道路交通安全法》的违法行为,将受到法律处罚.检测标准:“饮酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 的驾驶行为;醉酒驾车:车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml 的驾驶行为.”据统计,停止饮酒后,血液中的酒精含量平均每小时比上一小时降低20%.某人饮酒后测得血液中的酒精含量为100mg/100ml,若经过n(n∈N *)小时,该人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,则n 的最小值为(参考数据:lg2≈0.3010)( )A.7B.8C.9D.10 答案 B3.(2021河北衡水五校模拟,4模型应用)要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性14C,动植物死亡后,停止新陈代谢,14C 不再产生,且原有的14C 会自动衰减.经科学测定,14C 的半衰期为5730年设14C 的原始量为1,经过x 年后,14C 的含量f(x)=a x,即f(5730)=12.现有一古物,测得14C 为原始量的79.37%,则该古物距今约年参考数据:√123≈0.7937,√125730≈0.9998( )A.1910B.3581C.9168D.17190 答案 A4.(2022届长春重点高中第一次月考,9生活实践情境)2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据:取ln0.6≈-0.511,ln0.9≈-0.105)( ) A.4 B.5 C.6 D.7答案 C5.(2022届山东潍坊安丘等三县10月测试,6生活实践情境)某投资机构从事一项投资,先投入本金a(a>0)元,得到的利润是b(b>0)元,收益率为xx (%),假设在第一次投资的基础上,此机构每次都定期追加投资x(x>0)元,得到的利润也增加了x 元,若使得该项投资的总收益率是增加的,则( )A.a≥bB.a≤bC.a>bD.a<b 答案 C6.(2022届山东德州期中,6生活实践情境)声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时,所产生的压力变化(简称声压,单位为N/m 2).已知声音大小y 与声压x 的关系式为y=10×lg (x2×10-5)2,且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定,在居民区内,户外白昼噪声容许标准为50分贝,夜间噪声容许标准为40分贝,则居民区内,户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的( )A.√10 倍B.2√10 倍C.10倍D.20倍答案 A7.(2021北京西城一模,15生活实践情境)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量÷水库总蓄水量×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:(1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100]; (2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; (3)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.记x 为调度前某水库的蓄满指数,y 为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y 关于x 的函数解析式:①y=-120x 2+6x;②y=10√x ;③y=10x50;④y=100sin π200x.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 . 答案 ②④8.(2022届河南期中联考,21生产生活)如图所示是一个长方体容器,长方体的上、下底面为正方形,容器顶部有一个圆形的盖子,圆与上底面四条边都相切,该容器除了盖子以外的部分均用铁皮制作,共使用铁皮的面积为16dm 2.假设圆形盖子的半径为rdm,该容器的容积为Vdm 3,铁皮厚度忽略不计. (1)求V 关于r 的函数关系式;(2)该容器的高AA 1为多少分米时,V 取最大值?解析 (1)设AA 1=adm.由题意得(2r)2-πr 2+(2r)2+8ar=16,可得a=16+(π-8)x 28x,所以V=(2r)2a=8r+(π2-4)r 3.由a>0,得16+(π-8)x 28x>0,解得0<r<√8−π.因此V=8r+(π2-4)r 3,r∈(0√8−π).(2)V'=8+3(π2-4)r 2,令V'>0,得0<r<√3(8−π);令V'<0,得√3(8−π)<r<√8−π,所以V 在(0√3(8−π))上单调递增,在(√3(8−π)√8−π)上单调递减,所以当r=√3(8−π)时,V 取最大值,此时a=√3(8−π)3,即该容器的高AA 1为√3(8−π)3dm 时,V 取最大值.9.(2022届山东鱼台一中月考,21生活实践情境)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为km 2),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m 2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m 2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m 2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=p x 12+k(p>0,k>0)可供选择. (1)试判断哪个函数模型更适合,并求出该模型的解析式;(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)11解析 (1)函数y=ka x (k>0,a>1)与y=p x 12+k(p>0,k>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x 的增加,函数y=ka x (k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p x 12+k 的值增加得越来越慢,由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,因此选择模型y=ka x (k>0,a>1)符合要求.根据题意可知当x=2时,y=24;当x=3时,y=36, 所以{xx 2=24,xx 3=36,解得{x =323,x =32.故该函数模型的解析式为y=323·(32)x ,1≤x≤12,x∈N *. (2)元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323m 2,由323·(32)x >10×323,得(32)x >10,∴x>log 3210=lg10lg 32=1lg3−lg2≈5.7,∵x∈N *,∴x≥6.即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.。

高考北师大版数学总复习课件：2.6指数与指数函数

第六节
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号－ a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1，上递增，在， 2上递减．根据“同 2 2 1 的单调递增区间是， 2. 2

2022版新高考数学总复习真题专题--函数的零点与方程的根(解析版)

2022版新高考数学总复习--§2.6 函数的零点与方程的根— 五年高考 —考点函数的零点1.(2020天津,9,5分)已知函数f (x )={x 3,x ≥0,-x ,x <0.若函数g (x )=f (x )-|kx 2-2x |(k ∈R )恰有4个零点,则k 的取值范围是( )A.(-∞,-12)∪(2√2,+∞) B.(-∞,-12)∪(0,2√2) C.(-∞,0)∪(0,2√2) D.(-∞,0)∪(2√2,+∞) 答案 D2.(2019天津文,8,5分)已知函数f (x )={2√x ,0≤x ≤1,1x , x >1.若关于x 的方程f (x )=-14x +a (a ∈R )恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为 ( )A.[54,94] B.(54,94]C.(54,94]∪{1} D.[54,94]∪{1} 答案 D3.(2019浙江,9,4分)设a ,b ∈R ,函数f (x )={x , x <0,13x 3-12(a +1)x 2+ax , x ≥0.若函数y =f (x )-ax -b 恰有3个零点,则 ( )A.a <-1,b <0B.a <-1,b >0C.a >-1,b <0D.a >-1,b >0 答案 C4.(2017山东理,10,5分)已知当x ∈[0,1]时,函数y =(mx -1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是 ( )A.(0,1]∪[2√3,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,√2]∪[2√3,+∞)D.(0,√2]∪[3,+∞)答案B5.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ()A.-12B.13C.12D.1答案C6.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:①若k=0,则f(x)有两个零点;②∃k<0,使得f(x)有一个零点;③∃k<0,使得f(x)有三个零点;④∃k>0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案①②④7.(2019江苏,14,5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=√1-(x-1)2,g(x)={k(x+2),0<x≤1,-12,1<x≤2,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.答案[13,√2 4)以下为教师用书专用(1—8)1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)={2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案 A 由已知条件可得g (x )=3-f (2-x )={|x -2|+1,x ≥0,3-x 2, x <0.函数y =f (x )-g (x )的零点个数即为函数y =f (x )与y =g (x )图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y =f (x )与y =g (x )的图象如图所示.由图可知函数y =f (x )与y =g (x )的图象有2个交点,所以函数y =f (x )-g (x )的零点个数为2,选A . 2.(2014北京文,6,5分)已知函数f (x )=6x -log 2x.在下列区间中,包含f (x )零点的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)答案 C ∵f (1)=6-log 21=6>0, f (2)=3-log 22=2>0,f (4)=64-log 24=32-2<0,∴包含f (x )零点的区间是(2,4),故选C . 3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f (x )=e x+4x -3的零点所在的区间为 ( )A.(-14,0)B.(0,14)C.(14,12)D.(12,34)答案 C 显然f (x )为定义域R 上的连续函数.如图作出y =e x与y =3-4x 的图象,由图象知函数f (x )=e x+4x -3的零点一定落在区间(0,34)内,又f (14)=√e 4-2<0, f (12)=√e -1>0.故选C .评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题. 4.(2016山东文,15,5分)已知函数f (x )={|x |,x ≤m ,x 2-2mx +4m ,x >m ,其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是 .答案 (3,+∞)解析 f (x )的图象如图所示,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,只需4m -m 2<m ,解之得m >3或m <0,又m >0,所以m >3.方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决. 评析本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题. 5.(2016天津文,14,5分)已知函数f (x )= {x 2+(4a -3)x +3a ,x <0,log a (x +1)+1, x ≥0(a >0,且a ≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f (x )|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 . 答案 [13,23)解析 ∵函数f (x )在R 上单调递减,∴{-4a -32≥0,0<a <1,3a ≥1,解得13≤a ≤34.在同一直角坐标系下作出函数y =|f (x )|与y =2-x3的图象,如图所示.方程|f (x )|=2-x3恰有两个不相等的实数解等价于y =|f (x )|的图象与y =2-x3的图象恰有两个交点,则需满足3a <2,得a <23,综上可知,13≤a <23.易错警示 (1)f (x )在R 上单调递减,需满足{-4a -32≥0,0<a <1,3a ≥1,缺少条件是失分的一个原因;(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.评析本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.6.(2015湖南理,15,5分)已知函数f (x )={x 3,x ≤a ,x 2,x >a .若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,0)∪(1,+∞)解析当a <0时,若x ∈(a ,+∞),则f (x )=x 2,当b ∈(0,a 2)时,函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,分别是x 1=-√b ,x 2=√b .当0≤a ≤1时,f (x )的图象如图所示,易知函数y =f (x )-b 最多有一个零点. 当a >1时, f (x )的图象如图所示,当b ∈(a 2,a 3]时,函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,分别是x 1=√b 3,x 2=√b .综上,a ∈(-∞,0)∪(1,+∞).7.(2015北京理,14,5分)设函数f (x )={2x -a , x <1,4(x -a )(x -2a ), x ≥1.①若a =1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案 ①-1 ②[12,1)∪[2,+∞)解析 ①当a =1时, f (x )={2x -1,x <1,4(x -1)(x -2),x ≥1,其大致图象如图所示:由图可知f (x )的最小值为-1. ②当a ≤0时,显然函数f (x )无零点;当0<a <1时,易知f (x )在(-∞,1)上有一个零点,要使f (x )恰有2个零点,则当x ≥1时, f (x )有且只有一个零点,结合图象可知,2a ≥1,即a ≥12,则12≤a <1;当a ≥1时,2a >1,由二次函数的性质可知,当x ≥1时, f (x )有2个零点, 则要使f (x )恰有2个零点,则需要f (x )在(-∞,1)上无零点,则2-a ≤0,即a ≥2. 综上可知,满足条件的a 的取值范围是[12,1)∪[2,+∞).8.(2015湖北文,13,5分)函数f (x )=2sin x sin (x +π2)-x 2的零点个数为 .答案 2解析 f (x )=2sin x cos x -x 2=sin 2x -x 2,函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1=sin 2x 与y 2=x 2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y 1=sin 2x 与y 2=x 2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f (x )的零点个数为2.— 三年模拟 — A 组考点基础题组考点函数的零点1.(2019广东汕头达濠华侨中学,东厦中学第二次联考,12)设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒有f (x )-f (-x )=0.当x ∈[-1,0]时, f (x )=x 2,若g (x )=f (x )-log a x 在x ∈(0,+∞)上有且仅有三个零点,则a的取值范围为 ( )A.[3,5]B.[4,6]C.(3,5)D.(4,6) 答案 C2.(2020湖南长沙明德中学3月月考,10)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2-x )=f (2+x ),当x ≤2时, f (x )=x e x,若关于x 的方程f (x )=k (x -2)+2有三个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 ( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-e ,0)∪(0,e ) D.(-e ,0)∪(e ,+∞) 答案 A3.(多选题)(2021辽宁沈阳市郊联体一模,12)已知函数f (x )={2x +2,-2≤x ≤1,lnx -1,1<x ≤e ,若关于x 的方程f (x )=m 恰有两个不同解x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 2-x 1)f (x 2)的取值可能是 ( ) A.-3 B.-1 C.0 D.2 答案 BC4.(2021福建三明三模,15)函数f (x )=ln x +2x -6零点的一个近似值为 .(误差不超过0.25,自然对数的底数e ≈2.72)答案 2.45(可填(2.36,2.54)中的任一实数)5.(2021湖北九师联盟2月质量检测,15)若函数f (x )={x 3-3x +1-a ,x >0,x 3+3x 2-a ,x ≤0恰有3个零点,则实数a 的取值范围为 . 答案 (-1,0)∪[1,4)B 组综合应用题组时间:30分钟分值:35分一、单项选择题(每小题5分,共15分)1.(2020河北新时代NT 教育模拟自测)已知函数f (x )={|lnx |,x >0,x 2+2x +2,x ≤0,若f (x )=kx 有两个不等实根,则实数k 的取值范围是 ( )A.2-2√2<k <0或k =1e B.k <2-2√2C.2-2√2<k <0D.k <2-2√2或k =1e 答案 D2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数f (x )=2x ,函数g (x )与p (x )=1+ln (-2-x )的图象关于点(-1,0)对称,若f (x 1)=g (x 2),则x 1+x 2的最小值为 ( ) A.2 B.ln2-12C.12ln 2 D.ln 2答案 C3.(2019河北衡水中学第二次调研,12)已知函数f (x )={x 2+4x ,x ≤0,xlnx ,x >0,g (x )=kx -1,若方程f (x )-g (x )=0在x ∈(-2,e 2)上有3个实根,则k 的取值范围为 ( )A.(1,2]B.(1,32]∪{2} C.(1,32)∪(32,2) D.(1,32)∪(32,2+1e 2)答案 B二、多项选择题(每小题5分,共10分)4.(2021湖南衡阳联考(一),12)已知函数f (x )=e sin|x |+e|sin x |,以下结论正确的是 ( )A. f (x )是偶函数B. f (x )的最小值为2C. f (x )在区间(-π,-π2)上单调递减 D.g (x )=f (x )-2πx 的零点个数为5 答案 ABD5.(2021山东日照一模,11)已知函数f (x )对于任意x ∈R ,均满足f (x )=f (2-x ).当x ≤1时, f (x )={lnx ,0<x ≤1,e x,x ≤0,若函数g (x )=m |x |-2-f (x ),则下列结论正确的为 ( ) A.若m <0,则g (x )恰有两个零点 B.若32<m <e ,则g (x )有三个零点 C.若0<m ≤32,则g (x )恰有四个零点 D.不存在m 使得g (x )恰有四个零点答案 ABC三、填空题(每小题5分,共10分)6.(2021山东济南十一学校联考,16)如果两个函数存在零点,分别为α,β,且满足|α-β|<n ,则称两个函数互为“n 度零点函数”.若f (x )=ln (x -2),g (x )=ax 2-ln x 互为“2度零点函数”,则实数a 的取值范围为 .答案 (0,12e]7.(2020山东淄博实验中学模拟,16)已知函数f (x )=(2-a )·(x -1)-2ln x.若函数f (x )在(0,12)上无零点,则a 的最小值为 . 答案 2-4ln 2— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)已知x 0是函数f (x )=x 2e x -2+ln x -2的零点,则下列结论错误的是( )A.ln x 0=2-x 0B.e 2-x 0+ln x 0=2C.x 0∈(1,2)D.ln x 0-1x 0>0 答案 D2.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )={|x +2|,x ≤0,log 2x ,x >0.关于x 的方程[f (x )]2=mf (x )+1有4个不同的实数根,则实数m 的取值范围为( )A.(-32,1) B.(-∞,32] C.(1,32] D.(-∞,-32) 答案 B3.(2021 5·3原创题)已知f (x )={lnx ,x ≥1,x 2,x <1,若g (x )=f 2(x )+mf (x )+2有5个零点,则实数m 的取值范围为( )A.(-∞,-2√2)B.(-∞,-3)C.(-∞,-3]D.(-2√3,-3) 答案 B4.(2021 5·3原创题)已知函数F (x )=(x 3+x2)3+x 3+x2-2x ,设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数的两个非零零点,则函数y =2(x 1+2x 2)t +2(2x 1+x 2)t+1(t ∈R )的最小值为( )A .2√2B .0C .1D .4 答案 A5.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )=|x |(x +1),若函数g (x )=f (x )+2f (x )+m 有四个不同零点x 1,x 2,x 3,x 4,则实数m 的取值范围是 ;若x 1<x 2<x 3<x 4,则f (x 1)f (x 2)f (x 3)f 3(x 4)的值是 .答案 (-∞,-334);8 6.(2021 5·3原创题)函数f (x )=|cos x |-m sin x -3m 无零点,则m 的取值范围是 . 答案 (-∞,0)∪(√24,+∞)11 / 11 7.(2021 5·3原创题)已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x >0时,f (x )={3x -7,0<x ≤2,|x -5|-1,x >2.g (x )=f (x )-a. (1)若函数g (x )恰有三个不相同的零点,求实数a 的值;(2)记h (a )为函数g (x )的所有零点之和.当-1<a <1时,求h (a )的取值范围.解析 (1)作出函数f (x )的图象,如图,由图象可知,当且仅当a =2或a =-2时,直线y =a 与函数y =f (x )的图象有三个不同的交点,∴当且仅当a =2或a =-2时,函数g (x )恰有三个不相同的零点.(2)由f (x )的图象可知,当-1<a <1时,g (x )有6个不同的零点.设这6个零点从左到右依次为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6. 则x 1+x 2=-10,x 5+x 6=10,x 3是方程-3-x +7-a =0的解,x 4是方程3x-7-a =0的解. ∴h (a )=-10-log 3(7-a )+log 3(7+a )+10=log 37+a7-a .∵当-1<a <1时,7+a 7-a =147-a -1∈(34,43),∴h (a )∈(1-2log 32,2log 32-1).∴当-1<a <1时,h (a )的取值范围为(1-2log 32,2log 32-1).技巧点拨遇到函数零点求和时,往往要结合函数的图象,注意函数图象的对称性,理清零点间的关系再求和.。

高中数学新高考复习试卷讲义第2章 §2.6 二次函数与幂函数

1．已知p ：f (x )是幂函数，q ：f (x )的图象过点(0,0)，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 2．(2023·保定检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b3．(2023·厦门模拟)函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系内的图象可以是( )4．已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,3]C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．[3，＋∞) 5．(多选)幂函数f (x )＝()22657m m m x－－＋在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是( )A ．m ＝3B ．函数f (x )在(－∞，0)上单调递增C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )的图象关于原点对称6．(多选)若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 等于( )A ．－13 B.13C ．－5D ．5 7．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则1a ＋4c的最小值为________．9．已知幂函数f (x )＝(2m 2－m －2)242m x－(m ∈R )为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a 的值．10．设二次函数f (x )满足：①当x ∈R 时，总有f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与x轴的两个交点为A ，B ，且|AB |＝4；③f (0)＝－34. (1)求f (x )的解析式；(2)若存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1成立，求满足条件的实数m 的最大值．11.已知幂函数y ＝x a 与y ＝x b 的部分图象如图所示，直线x ＝m 2，x ＝m (0<m <1)与y ＝x a ，y ＝x b 的图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |＝|CD |，则m a ＋m b 等于( )A.12B ．1 C. 2 D ．212．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．13．已知函数f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023，对任意t ∈R ，在区间[t －1，t ＋1]上存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1]C ．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 14．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋1，设1≤x 1<x 2<x 3<…<x n ≤4，若|f (x 1)－f (x 2)|＋|f (x 2)－f (x 3)|＋…＋|f (x n －1)－f (x n )|≤M ，则M 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6。

高考数学一轮总复习专题2.6对数及对数函数练习(含解析)文(2021年整理)

专题2.6 对数及对数函数真题回放1. 【2017高考天津文第6题】已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【考点】1。

指数，对数；2.函数性质的应用【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题,属于基础题型,首先根据奇函数的性质和对数运算法则，，再比较比较大小。

2.【2017高考全国卷文第9题】已知函数,则 A ．在(0，2）单调递增B ．在（0，2）单调递减C ．y =的图像关于直线x =1对称D ．y =的图像关于点(1，0）对称【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，,所以的图象关于直线对称,C 正确，D 错误；又（),在上单调递增，在上单调递减，A ，B 错误，故选C ．【考点】函数性质【名师点睛】如果函数，，满足，恒有 ()f x R0.8221(l o g ),(l o g 4.1),(2)5a f b f cf =-==,,abca b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C()2l o g5a f =0.822l o g 5,l o g 4.1,2()l nl n (2)fx x x =+-()f x ()f x ()f x ()f x (2)l n (2)l n()fx x x f x -=-+=()f x 1x =112(1)'()2(2)x f x x x x x -=-=--02x <<(0,1)[1,2)()f x x D ∀∈x D ∀∈()()fa x fb x +=-，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．3。

【2017高考全国卷文第8题】函数的单调递增区间是 A 。

B. C 。

D.【答案】D4。

【2015高考上海卷文第8题】方程的解为。

【答案】2【解析】依题意,所以，令，所以,解得或，当时，，所以，而，所以不合题意，舍去；当时，，所以，，，所以满足条件，所以是原方程的解. 【考点定位】对数方程。

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数学案文-人教版高三全册数学学案

2．6 对数与对数函数[知识梳理]1．对数2．对数函数的概念、图象与性质3．反函数概念：当一个函数的自变量和函数值成一一对应时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数．4．对数函数与指数函数的关系指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．(1)对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，而对数函数的函数值y恰好是指数函数的自变量x，即二者的定义域和值域互换．(2)由两函数的图象关于直线y＝x对称，易知两函数的单调性、奇偶性一致．特别提示：底数a对函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．(3)作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标为该对数函数的底数，由此可判断多个对数函数底数的大小关系．[诊断自测] 1．概念思辨(1)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.( ) (2)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 72例8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c答案 D解析解法一：由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c .故选D.解法二：由对数运算法则得a ＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，∵log 27>log 25>log 23>0，∴1log 27<1log 25<1log 23，即log 72<log 52<log 32，故a >b >c .故选D.(2)(必修A1P 75T 11)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________. 答案 1解析原式＝(lg 5)2＋lg 2·[lg (2×52)] ＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1. 3．小题热身(1)(2017·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9答案 C解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)(2018·郑州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝log 1bx ＝log a x (x >0)，∴函数f (x )与g (x )的单调性相同．故选B.题型1 对数的运算典例1 (2017·郑州二检)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a＋1b的值为( ) A ．36 B ．72 C ．108D.172对数式转化成指数式．答案 C解析设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k 2k －23k －3＝6k 2k 4×3k 27＝6k6k 108＝108.故选C.典例2 (2018·镇江模拟)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645.换底公式．解因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是 log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.方法技巧对数运算的一般思路1．对于指数式、对数式混合型条件的化简求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解．见典例2.2．在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算．对于连等式，注意设等式为k ，见典例1.冲关针对训练1．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2答案 C解析因为3a＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412， 1a＝log123，1b ＝log 124，所以1a ＋1b＝log12 3＋log124＝log1212＝2.故选C.2．(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 54解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23＝log 322·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3 12 ·3 13 ＝32lg 2lg 3·56lg 3lg 2＝54. 题型2 对数函数的图象及应用典例 (2018·长春模拟)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)数形结合法，排除法．答案 B解析解法一：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，a ＞22，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫22，1.故选B. 解法二：∵0＜x ≤12，∴1＜4x ≤2，∴log a x ＞4x＞1，∴0＜a ＜1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有4 12 ＝2，log 1212＝1，显然4x＜log a x 不成立，排除选项A.故选B.[条件探究] 若本典例变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a12，解得a ≥116，所以116≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1. 方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．冲关针对训练1．(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案 B解析由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.故选B. 2．(2017·青岛统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min ，由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图象(如图)可知，当x ＝12时，f (x )取最大值，f (x )max ＝14；因为g (x )＝|x －k |＋|x －1|≥|x －k －(x －1)|＝|k －1|，所以g (x )min ＝|k －1|，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54，故答案为k ≤34或k ≥54.题型3 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小典例 (2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a cb >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ， ∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a logbc <b log a c ，故C 正确．故选C.解法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．故选C.角度2 解对数不等式典例 (2017·江西名校联考)设函数f (x )＝log 12 (x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．[2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 利用函数的奇偶性、单调性，结合换元法解不等式．答案 B解析 ∵f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，则log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1.又∵f (1)＝log 12 2＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，∴－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1,1]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.故选B. 角度3 对数函数性质的综合应用典例已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．运用复合函数的单调性“同增异减”．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 方法技巧对数函数的性质及应用问题的常见题型与解题策略1．对数型函数定义域的求解列出对应的不等式(组)求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围．2．比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．3．解对数不等式，形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．4．对数函数性质的应用多用在复合函数的单调性上，即求形如y ＝log a f (x )的复合函数的单调区间，其一般步骤为：①求定义域，即满足f (x )>0的x 的取值集合；②将复合函数分解成基本初等函数y ＝log a u 及u ＝f (x )；③分别确定这两个函数的单调区间；④若这两个函数同增或同减，则y ＝log a f (x )为增函数，若一增一减，则y ＝log a f (x )为减函数，即“同增异减”．冲关针对训练1．(2018·河南模拟)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a 1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B.2．(2017·南昌调研)a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1 B ．a >1C.18≤a <14D.15≤a ≤14或a >1 答案 A解析 ∵a >0，a ≠1，令g (x )＝|ax 2－x |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠0，x ≠1a 作出其图象如右：∵函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,4]上是增函数，若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≥4，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧1a <3，a >1，解得a >1；若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧12a≤3，1a >4，解得16≤a <14.故选A.题型4 指数函数、对数函数的综合应用典例1(2018·西安模拟)设方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＝1B ．0<x 1x 2<1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2数形结合法．答案 B解析由方程log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，log 12 x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0得log 12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，分别画出左右两边函数的图象，如图所示．由指数与对数函数的图象知：x 1>1>x 2>0，于是有log 2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 1<⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x2<log 12x 2，得x 1<1x 2，所以0<x 1x 2<1.故选B.典例2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为________．分类讨论法．答案 2解析当x ≤0时，y ＝f [f (x )]－1＝f (2x)－1＝log 22x－1＝x －1，令x －1＝0，则x ＝1，表明此时y ＝f [f (x )]－1无零点．当x >0时，分两种情况：①当x >1时，log 2x >0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝log 2(log 2x )－1，令log 2(log 2x )－1＝0，即log 2(log 2x )＝1，log 2x ＝2，解得x ＝4；②当0<x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f [f (x )]－1＝f (log 2x )－1＝2log2x －1＝x －1，令x －1＝0，解得x ＝1，因此函数y ＝f [f (x )]－1的零点个数为2.方法技巧解指数函数与对数函数综合题的方法1．首先考虑函数的定义域，见典例2. 2．注意联想数形结合思想．见典例1. 冲关针对训练1．(2018·天津模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12答案 B解析 ∵f (x )＝ln (x 2＋1)在[0,3]上单调递增，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (0)＝0，g (x )min ＝g (2)＝14－m .又∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)， ∴f (x )min ≥g (x )min ，即14－m ≤0，∴m ≥14.故选B.2．设点P 在曲线y ＝12e x上，点Q 在曲线y ＝ln (2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2B ．2(1－ln 2)C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)答案 B解析根据函数y ＝12e x和函数y ＝ln 2x 的图象可知两函数图象关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即所求最小值．因为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e x ′＝12e x ，则12e m＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．故选B.1．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D.2．(2018·山西模拟)函数y ＝ln sin x (0<x <π)的大致图象是( )答案 C解析因为0<x <π，所以0<sin x ≤1，所以ln sin x ≤0.故选C.3．(2018·江西九江联考)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4]C ．(－∞，4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)答案 D解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)．故选D.4．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4，＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显然不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·安阳检测)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1a ，b B ．(10a,1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1D ．(a 2,2b )答案 D解析当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图象上．故选D.2．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.故选B.3．(2018·太原调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)( )A ．恒为负值B ．等于0C ．恒为正值D ．不大于0答案 C解析作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x和y ＝log 2x 的图象，如图．由图可知有0<x 1<x 0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1>log 2x 1.即⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x1－log 2x 1>0. ∴f (x 1)>0.故选C.4．(2017·河南二模)函数y ＝2xln |x |的图象大致为( )答案 B 解析函数y ＝2x ln |x |的定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，故排除A ；∵f (－x )＝－2xln |x |＝－2xln |x |＝－f (x )，∴排除C ；当x ＝2时，y ＝4ln 2>0，故排除D.故选B. 5．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析解法一：函数f (x )的定义域为(－1,1)，任取x ∈(－1,1)，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，则f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝11＋x ＋11－x ＝21－x 2>0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.解法二：同解法一知f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln 2－(1－x )1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1.∵y ＝21－x (x ∈(0,1))是增函数，y ＝ln x 也是增函数，∴f (x )在(0,1)上是增函数．综上，故选A.6．已知函数f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D ．(－∞，－1]答案 B解析 f (x )＝log 12 (x 2－ax －a )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是增函数，说明内层函数μ(x )＝x 2－ax －a 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数且μ(x )>0成立，只需对称轴x ＝a 2≥－12且μ(x )min ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，∴解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.故选B.7．(2017·安徽安庆二模)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 12 4)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∵b ＝f (log 12 4)＝f (－2)＝f (2)，1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B.8．(2017·广东模拟)若函数f (x )＝(e x－e －x)x ，f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，则x的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 答案 C解析 ∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )(x ∈R )，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x－e －x)＋x (e x ＋e －x)>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15 x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.9．(2017·河北五校质检)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52 D.92答案 D解析由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的解析式知：当x ＝－2时，y ＝－1，所以点A 的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，又m >0，n >0，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2＝92，当且仅当m＝n ＝23时等号成立，所以2m ＋1n 的最小值为92.故选D.10．(2017·江西红色七校二模)已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝504(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．12答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝lne x e －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴504(a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋…＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2015e 2017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2016e 2017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2017＝12×(2×2016)＝2016，∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8.故选B. 二、填空题11．(2018·禅城区月考)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a 1，∴－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴2a ＋b ≥22ab ＝2 2. 当2a ＝b 时等号成立， ∴2a ＋b ≥2 2.12．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案－14解析显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，取“＝”，故f (x )min＝－14.13．(2017·山西质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1，log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.14．(2017·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.答案 9解析 ∵f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，∴m <1<n ，－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，从而n ＝3，此时log 3n ＝1，符合题意，则n m ＝3÷13＝9.若log 3n ＝2，则n ＝9，从而m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不符合题意．三、解答题15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12 (－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．16．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a ＞0且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)·(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12⎝⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13 ，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13 )－32＝2∉[2,8]，舍去．若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32 ＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件理

D．①②④
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第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2，即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
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第十四页，共四十五页。
2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
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第十一页，共四十五页。
2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
12
第十二页，共四十五页。
「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
23
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对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典例导引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．

高考数学一轮复习总教案：2.6 对数与对数函数

2.6 对数与对数函数典例精析题型一对数的运算【例1】计算下列各题： (1)2(lg 2)2＋lg 2•lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1；(2)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40. 【解析】(1)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2lg 5＋(lg 2－1)2 ＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2＝1. (2)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1. 【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形.【变式训练1】已知log89＝a ，log25＝b ，用a ，b 表示lg 3为 .【解析】由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=b a 2 lg 2 lg 1,2 lg 33 lg 2⇒lg 3＝3a 2＋2b. 题型二对数函数性质的应用【例2】设函数f(x)＝loga(x －2) (a ＞0，且a≠1).(1)求函数f(x)经过的定点坐标；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)解不等式log3(x －2)＜1.【解析】(1)当x ＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0).(2)当a ＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a ＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数.(3)不等式log3(x －2)＜1等价于不等式组⎩⎨⎧<->-,32,02x x解得2＜x ＜5，所以原不等式的解集为(2,5).【变式训练2】已知函数f(x)＝⎩⎨⎧>≤--1,log ,1,1)2(x x x x a a 若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 .【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2.若f(x)＝logax 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a 的取值范围为2＜a≤3.题型三对数函数综合应用【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x ∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题设知3－ax ＞0对一切x ∈[0,2]恒成立，a ＞0，且a≠1.因为a ＞0，所以g(x)＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a ＞0，所以a ＜32，所以a 的取值范围为(0,1)∪(1，32). (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，所以a ＝32，此时f(x)＝23log (3－32x). 当x ＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立.【变式训练3】给出下列四个命题：①函数f(x)＝ln x －2＋x 在区间(1，e)上存在零点；②若f′(x0)＝0，则函数y ＝f(x)在x ＝x0处取得极值；③若m ≥－1，则函数y ＝21log (x2－2x －m)的值域为R ；④“a ＝1”是“函数f(x)＝a －ex 1＋aex在定义域上是奇函数”的充分不必要条件. 则其中正确的序号是 (把全部正确命题的序号都填上).【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e －2＋e ＝e －1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x ＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t ＝x2－2x －m ，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t ＝x2－2x －m 可以取遍所有的正数，所以函数y ＝21log (x2－2x －m)的值域为R ，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得a －e －x 1＋ae －x ＝－a －ex 1＋aex，解得a ＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a ＝±1，故 “a ＝1”是“函数f(x)＝a －ex 1＋aex为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④.总结提高1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来.2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件.3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论.4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章 §2.6 二次函数与幂函数

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6　二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一　幂函数的图象与性质例1　(1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1　(1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二　二次函数的解析式例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一　(利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二　(利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三　(利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2　已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三　二次函数的图象与性质命题点1　二次函数的图象例3　(多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2　二次函数的单调性与最值例4　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3　(1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。

高考数学 2.6 一次函数二次函数与幂函数复习课件

且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数．思维启迪确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．
解方法一设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
4a＋2b＋c＝－1，依题意有a4－ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
解之，得ba＝＝4－，4， c＝7，
∴所求二次函数为 y＝－4x2＋4x＋7.
内有一个最大值－5，求 a 的值．
思维启迪二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论
对称轴与给定区间的关系．
解 f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为 x＝a2，顶点为
a2，－4a. (1)当a2≥1，即 a≥2 时，f(x)在区间[0,1]上递增．
∴ymax＝f(1)＝－4－a2.令－4－a2＝－5，
学生解答展示
解
当a 0时, f (x) a(x 1)2 2 1
a
a
1a f
1 (1)
a
2
2
或1
1 a
0
f
(4)
4 2
1 a
0
或1a4 f (4)16a820
a
a
1 0
或
1
4
a
a
1 2
1
或
a
a
1 4 3 8
a 1或 1 a 1或 .即 a 1
2
2
当
a
0时
,
§2.6 一次函数、二次函数与幂函数
基础知识自主学习
要点梳理 1．一次函数、二次函数的图象及性质
(1)一次函数 y＝kx＋b，当 k>0 时，在实数集 R 上是增函数，当 k<0 时在实数集 R 上是减函数．b 叫纵截距，当 b＝0 时图象过原点，且此时函数是奇函数；当 b≠0 时函数为非奇非偶函数．

高考数学第 2.6 幂函数与二次函数

幂函数与二次函数(45分钟 100分)一、选择题(每题5分,共40分)1.(2021·襄阳模拟)已知幂函数f(x)的图象通过点(9,3),那么f(2)-f(1)=( )√2√22.以下函数f(x)中,知足“对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)”的是( ) (x)=1x(x)=x 2-4x+4 (x)=2x(x)=lo g 12x3.(2014·孝感模拟)函数f(x)=(m 2-m-1)x m 是幂函数,且在x ∈(0,+∞)上为增函数,那么实数m 的值是( )B.2或24.(2021·黄石模拟)设函数f(x)=ax 2+bx+c(a,b,c ∈R),假设a=c,那么函数f(x)的图象不可能是( )5.(2021·济南模拟)函数y=x-x13的图象大致为( )6.函数f(x)=ax 2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是递减的,那么实数a 的取值范围是 ( ) A.[-3,0) B.(-∞,-3] C.[-2,0]D.[-3,0]7.(2021·哈尔滨模拟)已知函数f(x)={x ,x ≤0,x 2−x ,x >0,假设函数g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,那么实数m 的取值范围为( ) A.[−12,1]B.[−12,1)C.(−14,0)D.(−14,0]8.(能力挑战题)假设不等式x 2+ax+1≥0关于一切x ∈(0,12]恒成立,那么a 的最小值是( )B.252二、填空题(每题5分,共20分) 9.(2021·大同模拟)已知二次函数f(x)=cx 2-4x+a+1的值域是[1,+∞),那么1a +9c的最小值是 .10.设f(x)与g(x)是概念在同一区间[a,b]上的两个函数,假设函数y=f(x)-g(x)在x ∈[a,b]上有两个不同的零点,那么称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.假设f(x)=x 2-3x+4与g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,那么m 的取值范围为 .11.(2021·黄冈模拟)假设函数f(x)=x 2-3x-4的概念域为[0,m],值域为[−254,−4],那么实数m 的取值范围是________.12.(能力挑战题)设函数f(x)=lgax 2+x+(b 2−b +12)(a ≠0),假设对任意实数b,函数f(x)的概念域为R,那么a 的取值范围为 .三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2021·武汉模拟)二次函数f(x)知足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式.(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m 的图象上方,试确信实数m 的范围. 14.(2021·南阳模拟)已知函数f(x)=ax 2+2x+c(a,c ∈N)知足①f(1)=5; ②6<f(2)<11. (1)求f(x)的解析式. (2)假设对任意实数x ∈[12,32],都有f(x)-2mx ≤1成立,求实数m 的取值范围.15.(能力挑战题)设a 为实数,记函数f(x)=a √1−x 2+√1+x +√1−x 的最大值为g(a).(1)设t=√1+x +√1−x ,求t 的取值范围,并把f(x )表示为t 的函数m(t).(2)求g(a).(3)试求知足g(a)=g (1a)的所有实数a.答案解析1.【解析】选C.设幂函数为f(x)=x α,由f(9)=9α=3,即32α=3,因此2α=1,α=12,因此f(x)=x 12=√x ,因此f(2)-f(1)=√2-1.2.【解析】选C.由条件可知函数f(x)在(0,+∞)上递增,选项A,f(x)=1x 在(0,+∞)上递减.选项B,f(x)=x 2-4x+4在(0,+∞)上先减后增.选项D,f(x)=lo g 12x 在(0,+∞)上递减,只有选项C 符合要求.3.【解析】选(x)=(m 2-m-1)x m 是幂函数⇒m 2-m-1=1⇒m=-1或m=2.又函数在x ∈(0,+∞)上是增函数,因此m=2.4.【解析】选D.由A,B,C,D 四个选项知,图象与x 轴均有交点,记两个交点的横坐标别离为x 1,x 2,假设只有一个交点,那么x 1=x 2,由于a=c,因此x 1x 2=ca =1,比较四个选项,可知选项D 的x 1<-1,x 2<-1,因此D 不知足.5.【解析】选 A.函数为奇函数,图象关于原点对称,因此排除C,D.当x=1时,y=0,当x=8时,y=8-√83=8-2=6>0,排除B,应选A.6.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a ≠0时,需{a <0,−a −32a≤−1,解得-3≤a<0,综上可得-3≤a ≤0.【误区警示】此题易轻忽a=0这一情形而误选A,失误的缘故是将关于x 的函数误以为是二次函数. 【加固训练】设二次函数f(x)=ax 2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),那么实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,0]B.[2,+∞)C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]【解析】选D.二次函数f(x)=ax 2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,那么a ≠0, f ′(x)=2a(x-1)≤0,x ∈[0,1],因此a>0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1.因此f(0)=f(2),那么当f(m)≤f(0)时,有0≤m ≤2.7.【思路点拨】在座标系中作出f(x)的图象,数形结合求解.【解析】选C.由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m,作出函数y=f(x)的图象, 当x>0时,f(x)=x 2-x=(x−12)2-14≥-14,因此要使函数g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,那么-14<m<0,即(−14,0).8.【解析】选C.由x 2+ax+1≥0得a ≥-(x +1x)在x ∈(0,12]上恒成立,令g(x)=-(x+1x),那么知g(x)在(0,12]为增函数,因此g(x)max =g (12)=-52,因此a ≥-52.9.【解析】由已知得{4c (a +1)−164c=1,c >0,得ac=4,且a>0,c>0,因此1a +9c ≥2√9ac =2·√94=3.答案:310.【解析】由题意知,y=f(x)-g(x)=x 2-5x+4-m 在[0,3]上有两个不同的零点.在同一坐标系下作出函数y=m 与y=x 2-5x+4(x ∈[0,3])的图象如下图, 结合图象可知,当x ∈[2,3]时,y=x 2-5x+4∈[−94,−2],故当m ∈(−94,−2]时,函数y=m 与y=x 2-5x+4(x ∈[0,3])的图象有两个交点. 答案:(−94,−2]11.【解析】函数f(x)=x 2-3x-4的图象的对称轴为直线x=32,且f (32)=-254,又f(x)=-4, 即x 2-3x-4=-4,即x 2-3x=0,解得x=0或x=3,由于函数f(x)=x 2-3x-4的值域为[−254,−4],故32∈[0,m],那么有m ≥32,结合图象知,m ≤3,故实数m 的取值范围是[32,3]. 答案：[32,3]12.【解析】函数f(x)的概念域为R,那么知足{a >0,Δ=1−4a (b 2−b +12)<0,即{a >0,4a >1b 2−b +12=1(b −12)2+14,对任意实数b 恒成立,只要4a 比1(b −12)2+14的最大值大即可,而1(b −12)2+14的最大值为4,即4a>4,a>1. 答案:(1,+∞)13.【解析】(1)设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax 2+bx+1. 因为f(x+1)-f(x)=2x,因此a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax 2+bx+1)=2x.即2ax+a+b=2x,因此{2a =2,a +b =0,因此{a =1,b =−1,因此f(x)=x 2-x+1.(2)由题意得x 2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立,即x 2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立. 设g(x)=x 2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=32,因此g(x)在[-1,1]上递减.故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1. 14.【解析】(1)f(1)=a+2+c=5,因此c=3-a. 又6<f(2)<11,即6<4a+c+4<11, 那么-13<a<43,故a=1,c=2.f(x)的解析式为f(x)=x 2+2x+2. (2)由(1)知f(x)=x 2+2x+2,由题意得2(1-m)≤-(x+1x)在[12,32]上恒成立,易求[−(x +1x )]min =-52,故2(1-m)≤-52,解得m ≥94.15.【解析】(1)因为t=√1+x +√1−x ,因此要使t 成心义,必需1+x ≥0且1-x ≥0,即-1≤x ≤1.因为t 2=2+2√1−x 2∈[2,4],且t ≥0,①因此t 的取值范围是[√2,2].由①得:√1−x 2=12t 2-1, 因此m(t)=a (12t2−1)+t=12at 2+t-a,t ∈[√2,2].(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=12at 2+t-a,t ∈[√2,2]的最大值,因为直线t=-1a 是抛物线m(t)=12at 2+t-a 的对称轴,因此可分以下几种情形进行讨论:①当a>0时,函数y=m(t),t ∈[√2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段, 由t=-1a <0知m(t)在t ∈[√2,2]上单调递增,故g(a)=m(2)=a+2;②当a=0时,m(t)=t,t ∈[√2,2],有g(a)=2;③当a<0时,函数y=m (t),t ∈[√2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,假设t=-1a ∈(0,√2]即a ≤-√22时,g(a)=m(√2)=√2,假设t=-1a ∈(√2,2],即a ∈(−√22,−12]时,g(a)=m (−1a )=-a-12a ,假设t=-1a ∈(2,+∞)即a ∈(−12,0)时,g(a)=m(2)=a+2.综上所述,有g(a)={a +2,a >−12,−a −12a ,−√22<a ≤−12,√2,a ≤−√22.(3)当-12<a<0时,1a ∈(-∞,-2),g(a)=a+2>32>√2;g (1a )=√2,显然无解.当-√22<a ≤-12时,1a ∈[-2,-√2),-a ∈[12,√22),-12a ∈(√22,1],因此-a ≠-12a,g(a)=-a-12a >2√(−a )·(−12a)=√2;g (1a)=√2,显然无解.当a>0时,1a >0,由g(a)=g (1a )知:a+2=1a+2,故a=1.当a ≤-√22时,1a ∈[-√2,0),a ·1a =1,故a ≤-1或1a ≤-1,从而有g(a)=√2或g (1a)=√2,要使g(a)=g (1a ),必需有a ≤-√22,1a ≤-√22,即-√2≤a ≤-√22,现在,g(a)=√2=g (1a ).综上可知a ∈[−√2,−√22]或a=1.。

高考数学一轮复习第二章函数2.6对数与对数函数教学案理

2.6 对数与对数函数考纲要求1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．3(1)对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (M ·N )＝__________；②log a M N ＝__________；③log a M n＝______(n ∈R )．(2)换底公式log a b ＝______________________. 4．对数函数的图象和性质 (1)对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．_________ 过定点______时，y ＝______单调性：在(0，＋∞)上是单调性：在(0，＋∞)上是x ＜1时，y ∈______＜1时，y ∈______；当5．指数函数与对数函数的关系函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与函数__________互为反函数．1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式：_①(log a x )n＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x；④nlog a x ＝1nlog a x ；⑤log a x n＝log a n x ；⑥log ax －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y. 其中正确的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )．A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ≤2}3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．b ＞a ＞1 D ．a ＞b ＞14．(2012安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( )． A ．14 B ．12C ．2D ．4 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过一定点是__________．一、对数式的化简与求值【例1－1】若x log 32＝1，则4x ＋4－x＝__________.【例1－2】(2012北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.方法提炼对数式化简求值的基本思路：(1)利用换底公式及log m na N ＝n mlog a N 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．请做演练巩固提升1二、对数函数的图象与性质【例2－1】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为__________．【例2－2】已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．方法提炼1．利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法： (1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的； (2)当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； (3)分别求出两函数的单调区间；(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间．提醒：研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行．2．图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系可按下列规律进行记忆：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ，在x 轴上方由左到右底数逐渐增大，在x 轴下方由左到右底数逐渐减小．请做演练巩固提升2三、对数函数性质的综合应用【例3－1】(2012上海高考改编)已知f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式．【例3－2】已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．方法提炼1．求f (a )＋f (－a )的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值．2．求形如f (2 014)，f (2 013)的值往往与函数的周期有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性．3．已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性．请做演练巩固提升5幂值、对数值大小比较问题不能准确作出图象而致误【典例】已知2log 3.45a ＝，4log 3.65b ＝，3log 0.315c ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：333log 0.310log log 0.3315=55c -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝，log 2 3.4＞log 2 2＝1，log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3103＞log 3 3＝1，又log 2 3.4＞log 2103＞log 3103，∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6.又∵y ＝5x是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案：C答题指导：通过高考阅卷的数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示及备考建议： 1．本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较问题的命题思路，而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查．易错误区有：(1)不能准确地作出图象，利用图象进行大小比较． (2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较．2．通过对该题的解答过程来看，我们在备考中要注意： (1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练．(2)重视指数函数、对数函数图象、性质的学习，提高图象、性质的应用能力．(3)强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法，即引入中间量分组比较法的训练．1．(2012重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c2．函数f (x )＝2log 2x的图象大致是( )．3．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为__________． 4．已知：lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则32log xy的值为__________．5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．a b＝N (a ＞0，且a ≠1) b ＝log a N a N (1)负数和零 (2)0 (3)1 (4)N 2．log a N 10 lg N e ln N3．(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M (2)log c blog c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)4．(1)log a x (a ＞0，且a ≠1) (2)(0，＋∞)R (1,0) 0 增函数减函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0) 5．y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) 基础自测1．B 解析：由对数运算性质可知③⑤⑥正确． 2．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x >0，x ≠1，得0＜x ＜1或1＜x ≤2.3．D 解析：由0＜log a 2＜log b 2知，a ，b 均大于1. 又log 2a ＞log 2b ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1.4．D 解析：原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg 3lg 2·lg 2lg 3＝4.5．(2,2)考点探究突破【例1－1】 829解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－x ＝22log 3log 344-+＝9＋19＝829.【例1－2】 2 解析：由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.【例2－1】 4 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.【例2－2】解：(1)由a x －1＞0，得a x＞1. 当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，则121<xxa a <，故0＜1xa －1＜2xa －1，∴log a (1xa －1)＜log a (2xa －1)． ∴f (x 1)＜f (x 2)．故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．【例3－1】解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2xx ＋1＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，－23＜x ＜13.由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23＜x ＜13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x ) ＝f (2－x )＝lg(3－x )．【例3－2】解：(1)f (x )的定义域是(－1,1)，f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，f (－x )＝x ＋log 21＋x1－x，＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )．即f (x )＋f (－x )＝0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x在(－1,1)内单调递减，y ＝log 2t 在t ＞0上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1,1)内单调递减．所以当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，函数f (x )存在最小值f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a.演练巩固提升1．B 解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.2．C 解析：∵f (x )＝2log 2x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.3．0 解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f (2014)＝a log 212 014＋b log 312 014＋2＋a log 22 014＋b log 32 014＋2＝4，∴f (2 014)＝0.4．2 解析：依题意，可得lg(xy )＝lg (2x －3y )2，即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.∵x ＞0，y ＞0,2x －3y ＞0，∴x y ＝94，∴32log x y＝2. 5．解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1＜x ＜1.故所求定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且 f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1.解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}．。

高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.6 对数及对数函数(原卷版)

第六讲对数及对数函数一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质定义域：(0，＋∞)3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．考向一对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝ . （2）若3a=5b=225，则1a +1b= 。

（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。

【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为．2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝ .3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝ .4.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．考向二对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38【举一反三】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y =log 3(x +1)B ．y =log a (2x) (a >0,a ≠1)C ．y =lnxD ．y =log a x 2 (a >0,a ≠1) 2．下列函数，是对数函数的是A ．y=lg10xB ．y=log 3x 2C ．y=lnxD ．y=log13（x –1）3．在M=log （x –3）（x+1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为A ．（–∞，3]B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）考向三对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为。

高考数学第二章 2.6

§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中__a __叫作对数的底数，__N __叫作真数． 2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝nm log a M .(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b >0，a ，b ≠1，N >0)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的定义我们把函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫作对数函数，函数定义域为(0，＋∞)． 4．对数函数的图像与性质(1)定义域：(0，＋∞)4．指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图像关于直线__y ＝x __对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5. ( √ ) (2)2log 510＋log 50.25＝5.( × ) (3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2. ( √ ) (4)log 2x 2＝2log 2x .( × ) (5)当x >1时，log a x >0.( × ) (6)当x >1时，若log a x >log b x ，则a b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23， b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .3． (2013·浙江)已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y 答案 D解析 2lg x ·2lg y ＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数， t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝⎛⎭⎫13＝0，则不等式f (log 81x )>0的解集为________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图像关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝⎛⎭⎫13＝0，得f ⎝⎛⎭⎫－13＝0. ∴f (log 81x )>0⇒log 81x <－13或log 81x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)．题型一对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))； f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2.因为log 312<0，所以f (log 312)＝321log 3-＋1＝32log 3＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3log 32+＝18×(12)3log 2＝18×13＝124. 题型二对数函数的图像和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图像大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图像；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝⎛⎭⎫1553-＝5125>532＝2>log 49，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图像可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图像解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c 0且a ≠1)的图像过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图像过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2. 题型三对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数， x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x －1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x －1>0，解得x >0，因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<41x－1<42x －1，因此log 4(41x－1)<log 4(42x －1)，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b >a >c B ．c >a >b C ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)c ＝(15)3.0log 3＝53.0log 3 ＝5310log 3.方法一在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ， y ＝log 4x 的图像，如图所示．由图像知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴54.3log 2>5310log 3>56.3log 4.即54.3log 2>(15)3.0log 3 >56.3log 4，故a >c >b . (3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2，所以0<log π3<20.2<log 39，所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过图像与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2} 答案 D解析要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}．2．函数y ＝lg|x －1|的图像是 ( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C解析 f (a )>f (－a )⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a 或 ⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1<a <0 ⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫0，13D ．(3，＋∞) 答案 D解析由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3>0，即a >3，故选D.二、填空题6．计算(lg 14－lg 25)÷10021-＝________. 答案－20解析 (lg 14－lg 25)÷10021-＝(lg 1100)÷10－1 ＝－2×10＝－20.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ，∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝231-，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)23- ＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)23-＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12. B 组专项能力提升(时间：30分钟)1．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图像关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明结合函数图像，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解函数y ＝log 21(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，故函数y ＝log 21(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增．又因为函数y ＝log 21(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a≤2(2＋1)．。