【配套K12】[学习]2019年高考数学一轮复习 第十五单元 点、线、面的位置关系单元B卷 文
2019版高考数学文一轮复习课时跟踪检测三十九 空间点、线、面之间的位置关系普通高中 含解析 精品
课时跟踪检测（三十九）空间点、线、面之间的位置关系(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．a，b是两条异面直线，a⊂平面α，b⊂平面β.若α∩β＝c，则直线c必定() A．与a，b均相交B．与a，b都不相交C．至少与a，b中的一条相交D．至多与a，b中的一条相交解析：选C假设直线c与直线a，b都不相交，则直线c与直线a，b都平行．根据公理4，直线a，b平行，与已知条件中的a，b是两条异面直线矛盾，所以直线c至少与a，b中的一条相交．故选C.2．在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的命题是()A．①③B．②④C．①④D．②③解析：选B①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，不正确；②由面面平行的判定定理知正确；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确．故选B.3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD 不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．6．到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为()A．1 B．4C．7 D．8解析：选C当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥．①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图 1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件．因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个．所以满足条件的平面共有7个，故选C.7．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．答案：1或4B1C1D1中，既与AB共面又与CC18.如图，平行六面体ABCD-A共面的棱有________条．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．答案：59.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则下列说法正确的是______(填序号)．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．解析：连接EH ，FG ，如图所示．依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ， 所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，∴点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④10．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面直线的有3对．答案：3B 级——中档题目练通抓牢1.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：选A 连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A 1，C 1，C ，A四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1，因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线．2．平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22 C.33 D.13解析：选A 如图，在正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的上方接一个同等大小的正方体ABCD -A 2B 2C 2D 2，则过A 与平面CB 1D 1平行的是平面AB 2D 2，即平面α就是平面AB 2D 2，平面AB 2D 2∩平面ABB 1A 1＝AB 2，即直线n 就是直线AB 2，由面面平行的性质定理知直线m 平行于直线B 2D 2，故m ，n 所成的角就等于AB 2与B 2D 2所成的角，在等边三角形AB 2D 2中，∠AB 2D 2＝60°，故其正弦值为32. 3．过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选D 如图，连接体对角线AC1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等，∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．4.如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ，∴∠KMC (或其补角)为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝ (2)2＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝(2)2＋(22)2－(3)22×2×22＝78， 所以异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是78. 答案：785.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于①，α，β可能平行，也可能相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．答案：②③6.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．问：(1)AM 与CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D 1B 与CC 1是否是异面直线？说明理由．解：(1)AM 与CN 不是异面直线．理由如下：如图，连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.又因为A 1A 綊C 1C ，所以四边形A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ，所以A ，M ，N ，C 在同一平面内，故AM 和CN 不是异面直线．(2)D 1B 与CC 1是异面直线．理由如下：因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面．假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α，所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾．所以假设不成立，即D 1B 与CC 1是异面直线．7.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P -ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 故三棱锥P -ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝12BC ＝12AB 2＋AC 2＝2， AE ＝AB 2－BE 2＝2，AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos 30°＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34. 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. C 级——重难题目自主选做1．如图是三棱锥D -ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )A.33B.12C. 3D.22解析：选A 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中，DE ＝2，由于O 是BC 的中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求异面直线DO 与AB 所成角的余弦值为33.2.如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC .又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥EC ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ， 所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩PQ＝P，PB⊂平面PBQ，PQ⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝OFEF＝35＝155，所以BM与EF所成的角的余弦值为15 5.。
2019年高考理科数学一轮单元卷：第十五单元点、线、面的位置关系A卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ） 第十五单元 点、线、面的位置关系注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线l ⊥平面，直线m ∥平面β，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，则l m ∥B ．若αβ∥，则l m ⊥C ．若l β∥，则m α⊥D ．若l m ⊥，则αβ∥3．如图，在正方体ABCD A B C D '-'''中，M ，N 分别是BB '，CD 中点，则异面直线AM 与D N '所成的角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，m β⊥，则αβ∥； ②若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥；③若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥；④若m ，n 是异面直线，m α⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥． 其中真命题是（ ） A ．①和④B ．①和③C ．③和④D ．①和②5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM 与BN 所成角的大小为（ ）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．已知直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥，那么2l 与平面α的关系是（ ） A ．1l α∥B ．2l α⊂C ．2l α∥或2l α⊂D ．2l 与α相交7．如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②EP BD ∥；③EP ∥面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④8．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（ ） A ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ B ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且下列结论错误．．的是 （ ）A ．AC BF ⊥B ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．三棱锥A BEF -的体积为定值10．如图，在直四棱柱1111A B C D A B C D -中，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，13AA =，AB BC CD ==120BCD ∠=︒，则直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．78 B ．58C D 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为棱1BB 、1CC 的中点，P 为棱BC 上的一点，且()01BP m m =<<，则点P 到平面AEF 的距离为（ ）A B C D 12．如图，已知四边形ABCD 是正方形，ABP △，BCQ △，CDR △，DAS △都是等边三角形，E 、F 、G 、H 分别是线段AP 、DS 、CQ 、BQ 的中点，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、Q 、R 、S 四点重合于一点P ，得到一个四棱锥．对于下面四个结论： ①EF 与GH 为异面直线； ②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒ ③EF ∥平面PBC ； ④平面EFGH ∥平面ABCD ；其中正确结论的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若αβ⊥，l β⊥，则l α∥； ②若l α⊥，l β⊥，则αβ∥； ③若αγ⊥，βγ∥，则αβ⊥；④若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥． 其中所有．．正确命题的序号是_____． 14．如图所示，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，图中互相垂直的平面共有______对．15．正四面体ABCD 中， E ，F 分别为边AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为__________．16．如图所示，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，请你补充一个条件__________，使平面MBD ⊥平面PCD ．①DM PC ⊥ ②DM BM ⊥③BM PC ⊥④PM MC =(填写你认为是正确的条件对应的序号)．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，M ，N 分别为AE ，CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ； （2）直线EA ⊥平面EBC ．18．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =，点F 为PC 的中点．（1）求证：平面PAC ⊥平面BDF ； （2）求三棱锥P BDF -的体积．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BD ==，AD ，12AA BC ==，AD BC ∥． （1）证明：平面1BDB ⊥平面11ABB A ；（2）比较四棱锥11D ABB A -与四棱锥1111D A B C D -的体积的大小．20．（12分）如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，GAD △为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，90GDC ∠=︒，点E 是线段GC 上除两端点外的一点，若点P 为线段GD 的中点．（1）求证：AP ⊥平面GCD ； （2）求证：平面ADG ∥平面FBC ．21．（12分）如图，三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，2BC BD ==，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ； （2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长．22．（12分）在如图如示的多面体中，平面AEFD ⊥平面BEFC ，四边形AEFD 是边长为2的正方形，BC（1）若M ，N 分别是AE ，CF 中点，求证：MN ∥平面ABCD （2）求此多面体ABCDEF 的体积一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）第十五单元点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【解析】对于B，易知AB MQ∥，∥，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB MQ则直线AB∥平面MNQ；对于D，易知AB NQ∥，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A．2．【答案】B【解析】A中l与m位置不确定，D中α与β可能相交，C中m与α的位置不确定，B正确，故选B．3．【答案】D【解析】如图，平移直线D N '到A H '，则直线A H '与直线AM 所成角，由于点M ，H 都是中点， 所以ABM A AH ≅'△△，则BAM AA H ∠=∠'，而90A HA AA H '∠+∠='︒， 所以90A HA BAM ∠+∠='︒，即A H AM '⊥，应选答案D ． 4．【答案】A【解析】由线面角的定义可知答案①中的直线m α⊥，m β⊥，则平面αβ∥是正确的； 因为答案②中的两个平面α，β也可能相交，故不正确；答案③中的两个平面m α⊂，n β⊂可以推出两个平面α，β相交，故也不正确；对于答案④，可将直线n 平移到到平面α内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知αβ∥，是正确命题，所以应选答案A ． 5．【答案】D【解析】AM 与BN 为正方体两相对平面的对角线，且不平行，所以AM 与BN 所成角的大小为90︒，故选D ． 6．【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AB l =，2CD l =，当取面11CDD C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2αl ⊂；当取面1111B A D C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2l α∥，∴当直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥时， 2l 与平面α的关系是2l α∥或2l α⊂，故选C ．7．【答案】A 【解析】连接AC ，BD 相交于点O ，连接EM ，EN ． 在①中，由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD AC BD ⊥，∴SO AC ⊥．∵SOBD O =，∴AC ⊥面SBD ．∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM BD ∥，MN SD ∥，EM MN N =，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC EP ⊥，故①正确;在②中，由异面直线的定义可知，EP 和BD 是异面直线，不可能EP BD ∥，因此不正确； 在③中，由①可知，平面EMN ∥平面SBD ，∴EP ∥平面SBD ，因此正确； 在④中，由①同理可得，EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则EP EM ∥， 与EPEM E =相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即不正确．故选A ． 8．【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A ．若m α⊥，n α⊂，由线面垂直的定义，则m n ⊥，B ．若m α∥，n α∥，不一定有m n ∥，如图所示的正方体中， 若取m ，n 为AB ，AD ，平面α为上底面1111A BCD 即为反例；C ．若m α⊥，m n ⊥，不一定有n α∥，如图所示的正方体中，若取m ，n 为1A A ，11AD ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；D ．若m α∥，m n ⊥，不一定有n α⊥如图所示的正方体中，若取m ，n 为AD ，BC ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；故选A ． 9．【答案】B【解析】在A 中，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点， 2EF =，∴AC BD ⊥，1AC BB ⊥， ∵1BDBB B =，∴AC ⊥平面11BDD B ，∵BF ⊂平面11BDD B ，∴AC BF ⊥，故A 正确；在B 中，异面直线AE 、BF 所成的角不为定值， 由图知，当F 与1B 重合时，令上底面顶点为O ，则此时两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合， 则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等， 故异面直线AE 、BF 所成的角不为定值．故B 错误；在C 中，∵EF BD ∥，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确； 在D 中，∵AC ⊥平面11BDD B ，∴A 到平面BEF 的距离不变，B 到EF 的距离为1，∴BEF △的面积不变， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 正确． 10．【答案】A 【解析】如图所示，过点C 作1CE BA ∥，连接1B E ，则1B CE ∠就是直线1A B 与1B C 所成的角或其补角， 由题得123B C CE =，13B E =1121237cos 2128B CE +-∠==⨯，故选A ．11．【答案】B【解析】由BC EF ∥可知BC ∥平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离即点B 到平面AEF 的距离， 直线EF ⊥平面11ABB A ，则平面AEF ⊥平面11ABB A ， 结合平面AEF平面11ABB A AE =可知原问题可转换为点B 到直线AE 的距离，利用面积相等可得点P 到平面AEF 的距离为：B 选项． 12．【答案】D【解析】①错误．所得四棱锥中，设AS 中点为I ，则E 、I 两点重合， ∵FI GH ∥，即EF GH ∥，即EF 与GH 不是异面直线；②正确．∵FI GH ∥，PB 与BQ 重合，且GH 与BQ 所成角为60︒， 说明EF 与PB 所成角为60︒；③正确．∵FI GH BC ∥∥，BC ⊂平面PBC ，FI ⊄平面PBC ，∴FI ∥平面PBC ，∴FE ∥平面PBC ；④正确．∵FI ∥平面ABCD ， IH ∥平面ABCD ，FIHI I =点，∴平面FIHG ∥平面ABCD ，即平面EFGH ∥平面ABCD ，故选D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】②③【解析】若αβ⊥，l β⊥，则l α∥，l α⊂； 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥； 若αγ⊥，βγ，则αβ⊥；若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥或,αβ相交， 所以正确命题的序号是②③ 14．【答案】3【解析】由AB ⊥平面BCD ，又AB ⊂平面ABC 、平面ABD ， 所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ；由AB ⊥平面BCD 可得CD AB ⊥，又CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ， 又CD ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD ．故答案为3． 15．【解析】取BF 中点G ，连CG ，EG ，不妨设正四面体的棱长为2，EG =，CG =，异面直线AF，CE 16．【答案】①③【解析】由定理可知，BD PC ⊥，∴当DM PC ⊥（或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD ，则DM PC ⊥或BM PC ⊥正确， 故答案为①③．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明：（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB ∥，且12MF AB =，因为N 是矩形ABCD 的边CD 的中点，所以NC AB ∥，且12NC AB =． 所以MF NC ∥且MF NC =，所以四边形MNCF 是平行四边形．所以MN CF ∥．又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以直线MN ∥平面EBC ． （2）在矩形ABCD 中，BC AB ⊥． 又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面EAB AB ＝，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ．又EA ⊂平面EAB ，所以BC EA ⊥． 又EA EB ⊥，BCEB B ＝，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以直线EA ⊥平面EBC ．18．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）连接AC ，BC 与AC 交于点O ，连接OF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥， 因为点F 为PC 的中点，所以OF PA ∥．因为OF AC ⊥，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为OFBD O =，所以AC ⊥平面BDF ，因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BDF ．（2）由（1）可知PA ⊥平面ABCD ，OF PA ∥，所以11133P BCD BCD V OF S -=⋅⋅=⨯=△，所以11233P ABD ABD V PA S -=⋅⋅=⨯△，所以P BDF P ABCD F BCD A BDP V V V V ----=--．19．【答案】（1）见解析；（2）111111D A B C D D ABB A V V -->． 【解析】（1）证明：∵2222AB BD AD +==，∴AB BD ⊥， 又1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥， ∵1ABAA A =，∴BD ⊥平面11ABB A ．又BD ⊂平面1BDB ，∴平面1BDB ⊥平面11ABB A ． （2）解：∵AB BD =且AB BD ⊥，∴45ADB ∠=︒，又AD BC ∥，∴45CBD ADB ∠=∠=︒，∴1sin4522BCD S BD BC =⨯⨯︒=△∴四边形ABCD 的面积为12+∴111111232D A B C D V -⎛=⨯⨯= ⎝⎭又1111112112333D ABB A ABB A V BD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形，∵23>∴111111D A B C D D ABB A V V -->． 20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：因为GAD △是等边三角形，点P 为线段GD 的中点，故AP GD ⊥． 因为AD CD ⊥，GD CD ⊥，且AD GD D =，AD ，GD ⊂平面GAD ，故CD ⊥平面GAD ， 又AP ⊂平面GAD ，故CD AP ⊥，又CD GD D =，CD ，GD ⊂平面GCD ，故AP ⊥平面GCD ． （2）证明：∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF CD ⊥， ∵BC CD ⊥，BFBC B =，BF ，BC ⊂平面FBC ，∴CD ⊥平面FBC ，由（1）知CD ⊥平面GAD ，∴平面ADG ∥平面FBC ．21．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥， 又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B =，所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥， 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD ． （2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ， 所以MF CD ∥，又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点，因为2BE 122MF DE =所以四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯==12，则3BG =．在Rt ABE △中，26AB BG ==，AE ==在Rt CEM △中，12ME AE ==CM =．22．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：在平面CDF 中，作NH CF ⊥交DC 于H ，连接AH ． ∵M ，N 是AE ，CF 中点，且AEFD 是正方形，∴NH DF ∥又AM DF ∥，，∴NH AM =，NH AM ∥， ∴四边形AMNH 是平行四边形，∴MN AH ∥，又AH ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ． （2）解：如图，连BD ，BF ，过F 作FG EF ⊥，交BC 于点G ．∵四边形BEFC FG =． ∵平面AEFD ⊥平面BEFC ，平面AEFD 平面BEFC EF =，FG EF ⊥，DF EF ⊥，∴GF ⊥平面AEFD ， DF ⊥平面BEFC ． 1143。
2019版高考数学(文)一轮复习课时跟踪检测(三十九)+空间点、线、面之间的位置关系(普通高中)+.docx
课时跟踪检测（三十九）空间点、线、面之间的位置关系（一）普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1. （I, b是两条异面直线，“Ｕ平面么，bU平面0?若aQ0=c,则直线c必定（）A.与“，b均相交B.与a, b都不相交C.至少与°, 〃中的一条相交D.至多与“，b中的一条相交解析：选C 假设直线C与直线“，b都不相交,则直线C与直线4,方都平行?根据公理4,直线“，方平行，与已知条件中的°, 〃是两条异面直线矛盾，所以直线c至少与a, b中的一条相交.故选C?2.在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面么内有不共线的三点到平面"的距离相等，则④过平面么的一条斜线，有且只有一个平面与平面么垂直. 其中正确的命题是（）A.①③B.②④C.①④D.②③解析：选B ①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，不正确；②由面面平行的判定定理知正确；③若平面a内有不共线的三点到平面p的距离相等，则 a 与0可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确.故选B.厶丄/4,则下列结3.若空间中四条两两不同的直线/i，I"厶，厶，满足/i丄厶，厶丄厶,论一定正确的是（）/4A. /!±C.厶与人既不垂直也不平行D. A与人的位置关系不确定解析:选D 构造如图所示的正方体ABCD-AxB^Dx,取人为力0, ?2为AA lf厶为AM,当取人为BiCi时，71/7/4,当取人为时，人丄人, 故排除A、B、C,选D.4.在正方体ABCD-AiB.C.D,中，E, F分别是线段BC, CQ的中点，则直线力0与直线EF的位置关系是（）解析：选A 由BC 統AD, AD^A.D.知，BC 統力山】，从而四边形A X BCD X 是平行四边形，所以A\B//CD\,又EFU 平面AiBCDr, ￡FnPiC=F, 则A X B 与EF 相交.5?已知力，B, C, D 是空间四点，命题甲：A t B, C, D 四点不共面，命题乙：直线/C 和不相交，则甲是乙成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C ?充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 若力，B, C, Q 四点不共面，则直线力(7和〃。
2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：8.2空间点线面的位置关系
面的位置关 点 , 那么它们有且只有一条过该点的公共直
系
线.
公理 4: 平行于同一条直线的两条直线互相
平行 .
定理 : 空间中如果一个角的两边与另一个角
的两边分别平行 , 那么这两个角相等或互
补.
2. 理解两条异面直线所成角的概念 .
要求 理解
2013
10,5 分
4( 文 ) ,
5分
浙江省五年高考统计 2014 2015 2016
点 , 当正四面体以 AB为轴旋转时 , 线段 EF在平面 α上的射影长的取值范围是
.
答案 [3,3 ]
7.(2016 浙江高考冲刺卷 ( 三),13) 已知平面 α 和不重合的直线 m、n, 下列命题中真命题是 有真命题的序号 ).
( 写出所
①如果 m? α ,n ?α ,m、 n 是异面直线 , 那么 n∥ α . ②如果 m? α ,n 与 α相交 , 那么 m、 n 是异面直线 . ③如果 m? α ,n ∥ α,m、 n 共面 , 那么 m∥ n. ④如果 m⊥α ,n ⊥ m,那么 n∥α . 答案 ③
行翻折 , 将△ CDE沿 DE所在的直线进行翻折 , 则在翻折的过程中 ( ) A. 点 A 与点 C 在某一位置可能重合
B. 点 A 与点 C 的最大距离为 AB
C. 直线 AB与直线 CD可能垂直
D. 直线 AF 与直线 CE可能垂直
答案 D
5.(2017 浙江镇海中学第一学期期中 ,7) 如图 , 四边形 ABCD中 ,AB=BD=DA=2,BC=CD= , 现将△ ABD沿 BD折起 ,
C. 若 m⊥ α,m⊥ n, 则 n∥ α
D. 若 m∥ α,m⊥ n, 则 n⊥ α
【配套K12】[学习](福建专用)2019高考数学一轮复习 课时规范练33 基本不等式及其应用 理
2019高考数学一轮复习 课时规范练33 基本不等式及其应用 理](https://img.taocdn.com/s3/m/add19e3b14791711cc7917f5.png)
课时规范练33 基本不等式及其应用一、基础巩固组1.设0<a<b,则下列不等式正确的是()A.a<b<B.a<<bC.a<<b<D.<a<<b2.(2017山东枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.263.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)5.(2017山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为()A.8B.9C.16D.186.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则的最大值为()A.2B.C.1D.9.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.10.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心,则的最小值为.11.(2017山西临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠).(在横线上填甲或乙即可) 〚导学号21500548〛12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.二、综合提升组13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.414.(2017天津河东区一模,理13)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是.15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号21500549〛三、创新应用组17.若正实数x,y满足x+y+=5,则x+y的最大值是()A.2B.3C.4D.518.(2017山东德州一模,理8)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()A.1B.3C.4D.5 〚导学号21500550〛课时规范练33基本不等式及其应用1.B∵0<a<b,∴a<<b,故A,C错误;-a=)>0,即>a,D错误,故选B.2.C∵正数x,y满足=1,∴3x+4y=(3x+4y)=13+13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.3.B由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.D∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b)=5+5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B. 6.C设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.D x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y=4时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.8.C由a x=b y=3,因为a>1,b>1,所以ab=3,所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.9.8∵直线=1过点(1,2),=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+4+2=8.当且仅当b=2a时等号成立.10.3+2由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.则(a+b)=3+3+2=3+2,当且仅当,即a=-1,b=2-时等号成立,此时的最小值为3+211.乙甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为0,且两次购买的单价不同,∴a≠b,>0,∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明因为a,b均为正实数,所以2,当且仅当,即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以+ab+ab≥2,当且仅当即a=b=时等号成立.13.D令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.14.2+4x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.+4≥2+4=2+4.当且仅当x=y,x+3y=1,即y=,x=时等号成立.的最小值是2+4.15.(-∞,1)∪(9,+∞)∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-,则L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元.17.C∵x>0,y>0,xy,,即,∴x+y+x+y+即x+y+5.设x+y=t,则t>0,∴t+5,得到t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4,∴x+y的最大值是4.18.A由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,(a2+4b2)=(8+8)=1,当且仅当,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.。
【中小学资料】备战2019年高考数学一轮复习 第十五单元 点、线、面的位置关系单元A卷 理
中小学最新教育资料第十五单元 点、线、面的位置关系注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则下列命题正确的是（ ） A ．若αβ⊥，则l m ∥ B ．若αβ∥，则l m ⊥ C ．若l β∥，则m α⊥D ．若l m ⊥，则αβ∥3．如图，在正方体ABCD A B C D '-'''中，M ，N 分别是BB '，CD 中点，则异面直线AM 与D N '所成的角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒4．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，m β⊥，则αβ∥；②若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥；③若m α⊂，n β⊂，m n ∥，则αβ∥；④若m ，n 是异面直线，m α⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥． 其中真命题是（ ） A ．①和④B ．①和③C ．③和④D ．①和②5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM 与BN 所成角的大小为（ ）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒6．已知直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥，那么2l 与平面α的关系是（ ） A ．1l α∥B ．2l α⊂C ．2l α∥或2l α⊂D ．2l 与α相交7．如图，在正四棱锥S ABCD -中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP AC ⊥；②EP BD ∥；③EP ∥面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为（ ）A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④8．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是（ ） A ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥B ．若m α∥，n α∥，则m n ∥中小学最新教育资料C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α∥，m n ⊥，则n α⊥9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且下列结论错误．．的是 （ ）A ．AC BF ⊥B ．直线AE 、BF 所成的角为定值C ．EF ∥平面ABCDD ．三棱锥A BEF -的体积为定值10．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，13AA =，AB BC CD ===120BCD ∠=︒，则直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．78B ．58CD11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为棱1BB 、1CC 的中点，P 为棱BC 上的一点，且()01BP m m =<<，则点P 到平面AEF 的距离为（ ）ABCD12．如图，已知四边形ABCD 是正方形，ABP △，BCQ △，CDR △，DAS △都是等边三角形，E 、F 、G 、H 分别是线段AP 、DS 、CQ 、BQ 的中点，分别以AB 、BC 、CD 、DA 为折痕将四个等边三角形折起，使得P 、Q 、R 、S 四点重合于一点P ，得到一个四棱锥．对于下面四个结论： ①EF 与GH 为异面直线； ②直线EF 与直线PB 所成的角为60︒ ③EF ∥平面PBC ； ④平面EFGH ∥平面ABCD ；其中正确结论的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若αβ⊥，l β⊥，则l α∥； ②若l α⊥，l β⊥，则αβ∥； ③若αγ⊥，βγ∥，则αβ⊥；④若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥． 其中所有．．正确命题的序号是_____． 14．如图所示，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，图中互相垂直的平面共有______对．15．正四面体ABCD 中， E ，F 分别为边AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为__________．16．如图所示，在四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，请你补充一个条件__________，使平面MBD ⊥平面PCD ．①DM PC ⊥②DM BM ⊥③BM PC ⊥④PM MC =(填写你认为是正确的条件对应的序号)．中小学最新教育资料三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，M ，N 分别为AE ，CD 的中点．求证： （1）直线MN ∥平面EBC ； （2）直线EA ⊥平面EBC ．18．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =，点F 为PC 的中点． （1）求证：平面PAC ⊥平面BDF ； （2）求三棱锥P BDF -的体积．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BD ==，AD =，12AA BC ==，AD BC ∥． （1）证明：平面1BDB ⊥平面11ABB A ；（2）比较四棱锥11D ABB A -与四棱锥1111D A B C D -的体积的大小．20．（12分）如图所示的多面体中，底面ABCD 为正方形，GAD △为等边三角形，BF ⊥平面ABCD ，90GDC ∠=︒，点E 是线段GC 上除两端点外的一点，若点P 为线段GD 的中点．（1）求证：AP ⊥平面GCD ； （2）求证：平面ADG ∥平面FBC ．中小学最新教育资料21．（12分）如图，三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，2BC BD ==，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ； （2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长．22．（12分）在如图如示的多面体中，平面AEFD ⊥平面BEFC ，四边形AEFD 是边长为2的正方形，BC ，且（1）若M ，N 分别是AE ，CF 中点，求证：MN ∥平面ABCD （2）求此多面体ABCDEF 的体积中小学最新教育资料单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ） 第十五单元 点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】对于B ，易知AB MQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C ，易知AB MQ ∥， 则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB NQ ∥，则直线AB ∥平面MNQ ． 故排除B ，C ，D ，选A ． 2．【答案】B【解析】A 中l 与m 位置不确定，D 中α与β可能相交，C 中m 与α的位置不确定，B 正确，故选B ． 3．【答案】D 【解析】如图，平移直线D N '到A H '，则直线A H '与直线AM 所成角，由于点M ，H 都是中点， 所以ABM A AH ≅'△△，则BAM AA H ∠=∠'，而90A HA AA H '∠+∠='︒， 所以90A HA BAM ∠+∠='︒，即A H AM '⊥，应选答案D ． 4．【答案】A【解析】由线面角的定义可知答案①中的直线m α⊥，m β⊥，则平面αβ∥是正确的； 因为答案②中的两个平面α，β也可能相交，故不正确；答案③中的两个平面m α⊂，n β⊂可以推出两个平面α，β相交，故也不正确；对于答案④，可将直线n 平移到到平面α内，借助异面直线平移后不相交的结论及面面平行的判定定理可知αβ∥，是正确命题，所以应选答案A ． 5．【答案】D【解析】AM 与BN 为正方体两相对平面的对角线，且不平行，所以AM 与BN 所成角的大小为90︒，故选D ． 6．【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AB l =，2CD l =，当取面11CDD C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2αl ⊂；当取面1111B A D C 为平面α时，∴满足12l l ∥，1l α∥，此时2l α∥，∴当直线1l 、2l ，平面α，12l l ∥，1l α∥时， 2l 与平面α的关系是2l α∥或2l α⊂，故选C ．7．【答案】A 【解析】连接AC ，BD 相交于点O ，连接EM ，EN ． 在①中，由正四棱锥S ABCD -，可得SO ⊥底面ABCD AC BD ⊥，∴SO AC ⊥．∵SOBD O =，∴AC ⊥面SBD ．∵E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，∴EM BD ∥，MN SD ∥，EM MN N =，∴平面EMN ∥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN ，∴AC EP ⊥，故①正确;在②中，由异面直线的定义可知，EP 和BD 是异面直线，不可能EP BD ∥，因此不正确； 在③中，由①可知，平面EMN ∥平面SBD ，∴EP ∥平面SBD ，因此正确； 在④中，由①同理可得，EM ⊥平面SAC ，若EP ⊥平面SAC ，则EP EM ∥，中小学最新教育资料与EPEM E =相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直，即不正确．故选A ． 8．【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A ．若m α⊥，n α⊂，由线面垂直的定义，则m n ⊥，B ．若m α∥，n α∥，不一定有m n ∥，如图所示的正方体中， 若取m ，n 为AB ，AD ，平面α为上底面1111A BCD 即为反例；C ．若m α⊥，m n ⊥，不一定有n α∥，如图所示的正方体中，若取m ，n 为1A A ，11AD ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；D ．若m α∥，m n ⊥，不一定有n α⊥如图所示的正方体中，若取m ，n 为AD ，BC ，平面α为上底面1111A B C D 即为反例；故选A ． 9．【答案】B【解析】在A 中，∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，AC BD ⊥，1AC BB ⊥，∵1BDBB B =，∴AC ⊥平面11BDD B ，∵BF ⊂平面11BDD B ，∴AC BF⊥，故A 正确；在B 中，异面直线AE 、BF 所成的角不为定值， 由图知，当F 与1B 重合时，令上底面顶点为O ，则此时两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合， 则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等， 故异面直线AE 、BF 所成的角不为定值．故B 错误；在C 中，∵EF BD ∥，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ，故C 正确；在D 中，∵AC ⊥平面11BDD B ，∴A 到平面BEF 的距离不变，B 到EF 的距离为1，∴BEF △的面积不变， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 正确．10．【答案】A 【解析】如图所示，过点C 作1CE BA ∥，连接1B E ，则1B CE ∠就是直线1A B 与1B C 所成的角或其补角，由题得1B C CE =，1B E =1121237cos 2128B CE +-∠==⨯，故选A ．11．【答案】B【解析】由BC EF ∥可知BC ∥平面AEF ，则点P 到平面AEF 的距离即点B 到平面AEF 的距离， 直线EF ⊥平面11ABB A ，则平面AEF ⊥平面11ABB A ， 结合平面AEF平面11ABB A AE =可知原问题可转换为点B 到直线AE 的距离，利用面积相等可得点P 到平面AEF 的距离为：B 选项． 12．【答案】D【解析】①错误．所得四棱锥中，设AS 中点为I ，则E 、I 两点重合，∵FI GH ∥，即EF GH ∥，即EF 与GH 不是异面直线；②正确．∵FI GH ∥，PB 与BQ 重合，且GH 与BQ 所成角为60︒， 说明EF 与PB 所成角为60︒；③正确．∵FI GH BC ∥∥，BC ⊂平面PBC ，FI ⊄平面PBC ， ∴FI ∥平面PBC ，∴FE ∥平面PBC ；④正确．∵FI ∥平面ABCD ， IH ∥平面ABCD ，FIHI I =点，∴平面FIHG ∥平面ABCD ，即平面EFGH ∥平面ABCD ，故选D ．中小学最新教育资料二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】②③【解析】若αβ⊥，l β⊥，则l α∥，l α⊂； 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥； 若αγ⊥，βγ，则αβ⊥；若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥或,αβ相交， 所以正确命题的序号是②③ 14．【答案】3【解析】由AB ⊥平面BCD ，又AB ⊂平面ABC 、平面ABD ， 所以平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABD ⊥平面BCD ；由AB ⊥平面BCD 可得CD AB ⊥，又CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ， 又CD ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD ．故答案为3． 15．【解析】取BF 中点G ，连CG ，EG ，不妨设正四面体的棱长为2，EG =，CG异面直线AF ，CE16．【答案】①③【解析】由定理可知，BD PC ⊥，∴当DM PC ⊥（或BM PC ⊥）时，即有PC ⊥平面M BD ， 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD ，则DM PC ⊥或BM PC ⊥正确， 故答案为①③．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】证明：（1）取BE 中点F ，连结CF ，MF ，又M 是AE 的中点，所以12MF AB ∥，且12MF AB =，因为N 是矩形ABCD 的边CD 的中点，所以NC AB ∥，且12NC AB =． 所以MF NC ∥且MF NC =，所以四边形MNCF 是平行四边形．所以MN CF ∥．又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以直线MN ∥平面EBC ． （2）在矩形ABCD 中，BC AB ⊥． 又平面EAB ⊥平面ABCD ，平面ABCD 平面EAB AB ＝，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面EAB ．又EA ⊂平面EAB ，所以BC EA ⊥． 又EA EB ⊥，BCEB B ＝，EB ，BC ⊂平面EBC ，所以直线EA ⊥平面EBC ． 18．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）连接AC ，BC 与AC 交于点O ，连接OF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥， 因为点F 为PC 的中点，所以OF PA ∥．因为OF AC ⊥，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为OFBD O =，所以AC ⊥平面BDF ，因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BDF ． （2）由（1）可知PA ⊥平面ABCD ，OF PA ∥，所以11133P BCD BCD V OF S -=⋅⋅=⨯=△，所以11233P ABD ABD V PA S -=⋅⋅=⨯△，所以P BDF P ABCD F BCD A BDP V V V V ----=--==．19．【答案】（1）见解析；（2）111111D A B C D D ABB A V V -->．【解析】（1）证明：∵2222AB BD AD +==，∴AB BD ⊥，中小学最新教育资料又1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥， ∵1ABAA A =，∴BD ⊥平面11ABB A ．又BD ⊂平面1BDB ，∴平面1BDB ⊥平面11ABB A ． （2）解：∵AB BD =且AB BD ⊥，∴45ADB ∠=︒， 又AD BC ∥，∴45CBD ADB ∠=∠=︒，∴1sin452BCD S BD BC =⨯⨯︒△ ∴四边形ABCD的面积为12，∴111111232D A B C D V -⎛=⨯⨯+= ⎝⎭又1111112112333D ABB A ABB A V BD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形，∵1233>∴111111D A B C D D ABB A V V -->．20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：因为GAD △是等边三角形，点P 为线段GD 的中点，故AP GD ⊥． 因为AD CD ⊥，GD CD ⊥，且AD GD D =，AD ，GD ⊂平面GAD ，故CD ⊥平面GAD ， 又AP ⊂平面GAD ，故CD AP ⊥，又CD GD D =，CD ，GD ⊂平面GCD ，故AP ⊥平面GCD ． （2）证明：∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF CD ⊥， ∵BC CD ⊥，BFBC B =，BF ，BC ⊂平面FBC ，∴CD ⊥平面FBC ，由（1）知CD ⊥平面GAD ，∴平面ADG ∥平面FBC ． 21．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥， 又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B =，所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥， 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD ． （2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ， 所以MF CD ∥，又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点，因为BE =12MF DE ==， 所以四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯==12，则3BG =．在Rt ABE △中，26AB BG ==，AE == 在Rt CEM △中，12ME AE =，CM =． 22．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）证明：在平面CDF 中，作NH CF ⊥交DC 于H ，连接AH ． ∵M ，N 是AE ，CF 中点，且AEFD 是正方形，∴NH DF ∥又AM DF ∥，，∴NH AM =，NH AM ∥， ∴四边形AMNH 是平行四边形，∴MN AH ∥，又AH ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD ． （2）解：如图，连BD ，BF ，过F 作FG EF ⊥，交BC 于点G ．∵四边形BEFCFG =． ∵平面AEFD ⊥平面BEFC ，平面AEFD 平面BEFC EF =，FG EF ⊥，DF EF ⊥，∴GF ⊥平面AEFD ， DF ⊥平面BEFC ．。
【新】2019年高考数学一轮复习第十五单元点、线、面的位置关系单元B卷理
小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 第十五单元 点、线、面的位置关系注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在四面体P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB PBC ，PCA 的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥B ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥C ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥D ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么⊥l 平面γD ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．已知α，β，γ为互不重合的平面，命题p ：若βα⊥，γβ⊥，则αγ∥；命题q ：若α上不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．q p ∨ C ．q p ∧⌝)( D ．)(q p ⌝∨ 6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂ C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥ D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥ 7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论： ①BM ED ∥； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 8．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，沿DE 、DF 及EF 把ADE △、CDF △和BEF △折起，使A 、B 、C 三点重合，设重合后的点为P ，则四面体DEF P -中必有（ ）A ．DP ⊥平面PEFB ．DF ⊥平面PEFC ．PE ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF 9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αβ∥，l α⊂，则l β∥ ②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥ ③若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ ④若m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ 其中真命题的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②③ C ．①③ D ．②④ 10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 则三棱锥EDF D -1的体积为（ ）A ．31B ．41C ．61D ．12111．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F，且EF ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值12．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 、BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）A． B ．C ．D ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且6=PA ，9=AC ，8=AB ，则CD 的长为________． 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 、BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则满足条件_____时，有MN ∥平面11BDD B ．15．如图是一体积为31的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_____．16．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是 ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，三棱柱111C B A ABC -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． （1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE ．（1）求证：BE AE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点，求证：MN ∥平面DAE ．19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，⊥BE 平面ABCD ．（1）证明：平面⊥AEC 平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，EC AE ⊥，三棱锥ACD E -的体积为36，求该三棱锥的侧面积．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABC D ，3cm PD DC ==，E 为PC 的中点； （1）证明：PA ∥平面BDE ； （2）在棱PC 上是否存在点F ，使三棱锥C BDF -的体积为33cm ？并说明理由．小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载21．（12分）已知ABCD 是边长为a ，60BAD ∠=︒的菱形，点P 为ABCD 所在平面外一点， PAD △为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD ．（1）若G 为AD 边的中点，求证:⊥BG 平面PAD ；（2）求证：PB AD ⊥；（3）若E 为BC 的中点，能否在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．（1）求证：AC GN ⊥； （2）求三棱锥MCE F -的体积； （3）当GD FG =时，证明AG ∥平面FMC ．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第十五单元 点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【解析】由题目的条件可知，M 到P 的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线， ∴M 到P7=，故选A ．2．【答案】D【解析】对于A ，B ，C 选项均有可能出现平面α与平面β相交的情况，故选D ．3．【答案】C【解析】“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”；反之，能推出．故条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件，选C ．4．【答案】D【解析】平面α与平面β垂直时，平面α内所有与交线不垂直的直线都与平面β不垂直， 故D 错误，答案为D ．5．【答案】D【解析】易知p 、q 均为假命题，从而p ⌝、q ⌝均为真命题，所以)(q p ⌝∨为真命题，故选D ．6．【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现l β∥，根据面面平行的性质可知选项C 是正确的．7．【答案】D【解析】展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D ．8．【答案】A【解析】折叠前，AE DA ⊥，CF DC ⊥，FB EB ⊥，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，DP ⊥平面PEF ，故选A ． 9．【答案】C 【解析】②是假命题，∵m ，n 不一定相交，∴α，β不一定平行；④是假命题， ∵m ，n 不一定相交，∴l 与α不一定垂直，故选C ． 10．【答案】C 【解析】=-ED F D V 11F D ED V -，又112D ED S =△，点F 到面ED D 1的距离为1， ∴111111326D EDF F D ED V V --==⨯⨯=．故选C ． 11．【答案】D 【解析】∵AC ⊥平面11B BDD ，⊂BE 平面11B BDD ，∴AC BE ⊥，A 正确； 易知EF ∥平面ABCD ，B 正确； 设点A 到平面11B BDD 的距离为d，d =，112BEF S EF BB =⨯⨯=△ ∴11d 312A BEF BEF V S -=⋅=．所以三棱锥A BEF -的体积为定值．C 正确；故结论中错误的是D ． 12．【答案】C 【解析】如图，在平面1AB 内过P 点作PE 垂直于11A B 于E ，连接PB ，∵BC 垂直于侧面1AB ，∴PB BC ⊥，由题意PE PB =，故P 点在以1BB 的中点O 为顶点，以B 为焦点的抛物线上， 并且该抛物线过A 点，故选C ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4或20 【解析】若P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB CD ∥，则CD AB PC PA =， 可求得20=CD ；若P 在平面α，β之间，同理可求得4=CD ．小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 14．【答案】M ∈线段FH【解析】∵HN BD ∥，1HF DD ∥，∴平面N H F ∥平面11B D D B ，又平面NHF 平面E F G H FH =，故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面11BDD B ，故填M ∈线段FH ．15．【答案】32【解析】设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为a h 36=，体积231133V ===，∴223=a ，∴2=a，∴2132EF =⨯．16．【答案】90︒【解析】取BC 的中点N ，连结AN ，则AN ⊥平面11B BCC ，∴AN BM ⊥．∵正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，∴11B BCC 是正方形．连结N B 1则易证1B N BM ⊥， ∴BM ⊥平面N AB 1，∴1BM AB ⊥，异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是90︒．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D AC 为中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ． （2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A 又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）证明：∵⊥BC 平面ABE ，⊂AE 平面ABE ，∴BC AE ⊥， 又⊥BF 平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴BF AE ⊥． 又B BC BF = ，∴⊥AE 平面BCE ， 又⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥． （2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，∵点N 为线段CE 的中点，∴PN DC ∥，且DC PN 21=，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM DC ∥，且DC AM 21=， ∴PN AM ∥，且AM PN =，∴四边形AMNP 是平行四边形， ∴MN AP ∥，而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ．19．【答案】（1）见解析；（2）3+ 【解析】（1）证明：∵⊥BE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC BE ⊥． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵B BE BD = ， ∴⊥AC 平面BED ，∵⊂AC 平面AEC ，∴平面⊥AEC 平面BED ． （2）∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥， ∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ≅△△，∴CE AE =． 在Rt ACE △中，22222AE CE AE AC =+=， 又∵22222cos 3AC AB BC AB BC ABC AB =+-⋅∠=，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 ∴2232AB AE =，∴AB AE 26=，∴AB BE 22=， ∴111sin 332E ACD ACD V BE S BE AB BC ABC -=⋅=⋅⋅⋅∠△311sin12032AB AB AB AB =⋅⋅⋅︒=，3AB =2=AB ．∴12ABE CBE S S AB BE ==⨯=△△∵EC ED AE ==2CD AD ==，∴3ACE S =△，DAE CDE S S =△△所以该三棱锥的侧面积为3ACE DAE CDE S S S ++=+△△△．20．【答案】（1）见解析；（2）存在且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点，见解析．【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，在APC △中，O 、E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA ；∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ；（2）∵侧棱PD ⊥⊥底面ABCD ，∴PD CD ⊥，设F 为PC 上一点，过F 作FG CD ⊥于G ，则FG PD ∥，∴FG ⊥平面ABCD ．若11133333322C BDF F BDC BDC V V S FG FG FG --==⋅=⨯⨯⨯⨯==△，则2FG =，∴在棱PC 上存在点F 使三棱锥C BDF -的体积为33cm ．且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．【解析】（1）连结BD ，则在正三角形ABD 中，AD BG ⊥，又平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，所以⊥BG 平面PAD ．（2）连结PG ，在正三角形PAD 中，AD PG ⊥，又AD BG ⊥，∴⊥AD 平面PBG ．∵⊂PB 平面PBG ，∴PB AD ⊥．（3）能在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ，且F 为PC 中点． 证明如下：连结ED ，GC 交于点O ，易知O 为GC 的中点， 在平面PGC 内，作OF GP ∥，交PC 于点F ，则F 为PC 中点，⊥FO 平面ABCD ， ∴平面⊥DEF 平面ABCD ． 22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．【答案】（1）见解析；（2）316a ；（3）见解析． 【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱， 且底面是直角边为a 的等腰直角三角形， ∴侧面ABCD ，CDEF 是边长为a 的正方形． 连结DN ，因为CD FD ⊥，AD FD ⊥，所以⊥FD 平面ABCD ， ∴AC FD ⊥，又∵DN AC ⊥，∴⊥AC 平面GND ， ∵⊂GN 平面GND ，∴AC GN ⊥．（2）∵⊥AD 平面CEF ，∴2311113326F MCE M CEF CEF V V AD S a a a --==⋅=⨯⨯=△． （3）连结DE 交FC 于Q ，连结QG ， ∵Q ，G 分别是FD ，FC 的中点，∴GQ CD ∥，且12GQ CD =， ∵M 是AB 的中点，∴AM CD ∥，且CD AM 21=， ∴AM GQ ∥＝，∴AMQC 是平行四边形，∴AG QM ∥，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 ∵⊄AG 平面FMC ．⊂MQ 平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ．。
【新】2019年高考数学一轮复习第十五单元点、线、面的位置关系单元B卷文
小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 第十五单元 点、线、面的位置关系注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在四面体P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB PBC ，PCA 的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥B ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥C ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥D ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么⊥l 平面γD ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．已知α，β，γ为互不重合的平面，命题p ：若βα⊥，γβ⊥，则αγ∥；命题q ：若α上不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．q p ∨ C ．q p ∧⌝)( D ．)(q p ⌝∨ 6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂ C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥ D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥ 7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论： ①BM ED ∥； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 8．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，沿DE 、DF 及EF 把ADE △、CDF △和BEF △折起，使A 、B 、C 三点重合，设重合后的点为P ，则四面体DEF P -中必有（ ）A ．DP ⊥平面PEFB ．DF ⊥平面PEFC ．PE ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF 9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αβ∥，l α⊂，则l β∥ ②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥ ③若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ ④若m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥ 其中真命题的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②③ C ．①③ D ．②④ 10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 则三棱锥EDF D -1的体积为（ ）A ．31B ．41C ．61D ．12111．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F，且EF ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值12．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 、BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）A． B ．C ．D ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且6=PA ，9=AC ，8=AB ，则CD 的长为________． 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 、BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则满足条件_____时，有MN ∥平面11BDD B ．15．如图是一体积为31的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_____．16．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是 ． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，三棱柱111C B A ABC -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． （1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE ．（1）求证：BE AE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点，求证：MN ∥平面DAE ．19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，⊥BE 平面ABCD ．（1）证明：平面⊥AEC 平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，EC AE ⊥，三棱锥ACD E -的体积为36，求该三棱锥的侧面积．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABC D ，3cm PD DC ==，E 为PC 的中点； （1）证明：PA ∥平面BDE ； （2）在棱PC 上是否存在点F ，使三棱锥C BDF -的体积为33cm ？并说明理由．小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载21．（12分）已知ABCD 是边长为a ，60BAD ∠=︒的菱形，点P 为ABCD 所在平面外一点， PAD △为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD ．（1）若G 为AD 边的中点，求证:⊥BG 平面PAD ；（2）求证：PB AD ⊥；（3）若E 为BC 的中点，能否在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．（1）求证：AC GN ⊥； （2）求三棱锥MCE F -的体积； （3）当GD FG =时，证明AG ∥平面FMC ．小中高精品教案试卷制作不易推荐下载小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第十五单元 点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】A【解析】由题目的条件可知，M 到P 的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线， ∴M 到P7=，故选A ．2．【答案】D【解析】对于A ，B ，C 选项均有可能出现平面α与平面β相交的情况，故选D ．3．【答案】C【解析】“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”；反之，能推出．故条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件，选C ．4．【答案】D【解析】平面α与平面β垂直时，平面α内所有与交线不垂直的直线都与平面β不垂直， 故D 错误，答案为D ．5．【答案】D【解析】易知p 、q 均为假命题，从而p ⌝、q ⌝均为真命题，所以)(q p ⌝∨为真命题，故选D ．6．【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现l β∥，根据面面平行的性质可知选项C 是正确的．7．【答案】D【解析】展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D ．8．【答案】A【解析】折叠前，AE DA ⊥，CF DC ⊥，FB EB ⊥，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，DP ⊥平面PEF ，故选A ． 9．【答案】C 【解析】②是假命题，∵m ，n 不一定相交，∴α，β不一定平行；④是假命题， ∵m ，n 不一定相交，∴l 与α不一定垂直，故选C ． 10．【答案】C 【解析】=-ED F D V 11F D ED V -，又112D ED S =△，点F 到面ED D 1的距离为1， ∴111111326D EDF F D ED V V --==⨯⨯=．故选C ． 11．【答案】D 【解析】∵AC ⊥平面11B BDD ，⊂BE 平面11B BDD ，∴AC BE ⊥，A 正确； 易知EF ∥平面ABCD ，B 正确； 设点A 到平面11B BDD 的距离为d，d =，112BEF S EF BB =⨯⨯=△ ∴11d 312A BEF BEF V S -=⋅=．所以三棱锥A BEF -的体积为定值．C 正确；故结论中错误的是D ． 12．【答案】C 【解析】如图，在平面1AB 内过P 点作PE 垂直于11A B 于E ，连接PB ，∵BC 垂直于侧面1AB ，∴PB BC ⊥，由题意PE PB =，故P 点在以1BB 的中点O 为顶点，以B 为焦点的抛物线上， 并且该抛物线过A 点，故选C ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4或20 【解析】若P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB CD ∥，则CD AB PC PA =， 可求得20=CD ；若P 在平面α，β之间，同理可求得4=CD ．小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 14．【答案】M ∈线段FH【解析】∵HN BD ∥，1HF DD ∥，∴平面N H F ∥平面11B D D B ，又平面NHF 平面E F G H FH =，故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面11BDD B ，故填M ∈线段FH ．15．【答案】32【解析】设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为a h 36=，体积231133V ===，∴223=a ，∴2=a，∴2132EF =⨯．16．【答案】90︒【解析】取BC 的中点N ，连结AN ，则AN ⊥平面11B BCC ，∴AN BM ⊥．∵正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，∴11B BCC 是正方形．连结N B 1则易证1B N BM ⊥， ∴BM ⊥平面N AB 1，∴1BM AB ⊥，异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是90︒．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D AC 为中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ． （2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A 又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ． 18．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）证明：∵⊥BC 平面ABE ，⊂AE 平面ABE ，∴BC AE ⊥， 又⊥BF 平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴BF AE ⊥． 又B BC BF = ，∴⊥AE 平面BCE ， 又⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥． （2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，∵点N 为线段CE 的中点，∴PN DC ∥，且DC PN 21=，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM DC ∥，且DC AM 21=， ∴PN AM ∥，且AM PN =，∴四边形AMNP 是平行四边形， ∴MN AP ∥，而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ．19．【答案】（1）见解析；（2）3+ 【解析】（1）证明：∵⊥BE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC BE ⊥． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵B BE BD = ， ∴⊥AC 平面BED ，∵⊂AC 平面AEC ，∴平面⊥AEC 平面BED ． （2）∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥， ∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ≅△△，∴CE AE =． 在Rt ACE △中，22222AE CE AE AC =+=， 又∵22222cos 3AC AB BC AB BC ABC AB =+-⋅∠=，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 ∴2232AB AE =，∴AB AE 26=，∴AB BE 22=， ∴111sin 332E ACD ACD V BE S BE AB BC ABC -=⋅=⋅⋅⋅∠△311sin12032AB AB AB AB =⋅⋅⋅︒=，3AB =2=AB ．∴12ABE CBE S S AB BE ==⨯=△△∵EC ED AE ==2CD AD ==，∴3ACE S =△，DAE CDE S S =△△所以该三棱锥的侧面积为3ACE DAE CDE S S S ++=+△△△．20．【答案】（1）见解析；（2）存在且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点，见解析．【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，在APC △中，O 、E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA ；∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ；（2）∵侧棱PD ⊥⊥底面ABCD ，∴PD CD ⊥，设F 为PC 上一点，过F 作FG CD ⊥于G ，则FG PD ∥，∴FG ⊥平面ABCD ．若11133333322C BDF F BDC BDC V V S FG FG FG --==⋅=⨯⨯⨯⨯==△，则2FG =，∴在棱PC 上存在点F 使三棱锥C BDF -的体积为33cm ．且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析．【解析】（1）连结BD ，则在正三角形ABD 中，AD BG ⊥，又平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，所以⊥BG 平面PAD ．（2）连结PG ，在正三角形PAD 中，AD PG ⊥，又AD BG ⊥，∴⊥AD 平面PBG ．∵⊂PB 平面PBG ，∴PB AD ⊥．（3）能在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ，且F 为PC 中点． 证明如下：连结ED ，GC 交于点O ，易知O 为GC 的中点， 在平面PGC 内，作OF GP ∥，交PC 于点F ，则F 为PC 中点，⊥FO 平面ABCD ， ∴平面⊥DEF 平面ABCD ． 22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．【答案】（1）见解析；（2）316a ；（3）见解析． 【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱， 且底面是直角边为a 的等腰直角三角形， ∴侧面ABCD ，CDEF 是边长为a 的正方形． 连结DN ，因为CD FD ⊥，AD FD ⊥，所以⊥FD 平面ABCD ， ∴AC FD ⊥，又∵DN AC ⊥，∴⊥AC 平面GND ， ∵⊂GN 平面GND ，∴AC GN ⊥．（2）∵⊥AD 平面CEF ，∴2311113326F MCE M CEF CEF V V AD S a a a --==⋅=⨯⨯=△． （3）连结DE 交FC 于Q ，连结QG ， ∵Q ，G 分别是FD ，FC 的中点，∴GQ CD ∥，且12GQ CD =， ∵M 是AB 的中点，∴AM CD ∥，且CD AM 21=， ∴AM GQ ∥＝，∴AMQC 是平行四边形，∴AG QM ∥，小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 ∵⊄AG 平面FMC ．⊂MQ 平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ．。
全国通用近年高考数学一轮复习第十五单元计数原理双基过关检测理(2021年整理)
（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第十五单元计数原理双基过关检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第十五单元计数原理双基过关检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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“计数原理"双基过关检测一、选择题1．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去"或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )A．C25B．25C．52D．A错误!解析:选B 不妨设5名同学分别是A，B，C,D，E，对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种，同样对于B，C，D，E都是2种，由分步乘法计数原理可得,第二天可能出现的不同情况的种数为2×2×2×2×2＝25（种）.2.现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．24种B．30种C．36种D．48种解析：选D 按A→B→C→D顺序分四步涂色，共有4×3×2×2＝48（种)．3．(2018·云南师大附中适应性考试）在(a＋x）7展开式中x4的系数为280，则实数a的值为( )A．1 B．±1C．2 D．±2解析：选C 由题知，C47a3＝280，解得a＝2.4.如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2,B3为顶点的三角形个数为( ）A．30 B．42C．54 D．56解析：选B 用间接法．先从这8个点中任取3个点,最多构成三角形C错误!个，再减去三点共线的情形即可．共有C错误!－C错误!－C错误!＝42(个)．5．张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人入园顺序的排法种数为（)A．12 B．24C．36 D．48解析:选B 将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上,有2A错误!种排法,故总的排法有2×2×A错误!＝24(种)．6．已知（1＋ax）（1＋x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝( ）A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：选D 展开式中含x2的系数为C错误!＋a C错误!＝5，解得a＝－1.7．(2018·成都一中摸底）设（x2＋1）（2x＋1）9＝a0＋a1（x＋2)＋a2（x＋2）2＋…＋a11（x＋2）11,则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选A 令等式中令x＝－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2.8．从1,3,5，7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( ）A．9 B．10C．18 D．20解析：选C lg a－lg b＝lg 错误!，从1,3,5，7,9中任取两个数分别记为a,b,共有A错误!＝20个结果，其中lg 错误!＝lg 错误!，lg 错误!＝lg 错误!，故共可得到不同值的个数为20－2＝18.二、填空题9.错误!5的二项展开式中x项的系数为________．解析：错误!5的展开式的通项是T r＋1＝C错误!·(2x）5－r·错误!r＝C错误!·（－1）r·25－r·x5－2r。
全国通用近年高考数学一轮复习第十五单元计数原理学案理(2021年整理)
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第十五单元计数原理教材复习课“计数原理”相关基础知识一课过两个计数原理两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m×n种不同的方法[小题速通]1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数为( )A．50 B．26C．24 D．616解析：选A 由分类加法计数原理知不同的选法种数为26＋24＝50.2．从集合｛0,1，2，3,4,5，6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个B．42个C．36个D．35个解析:选C ∵a＋b i为虚数，∴b≠0，即b有6种取法,a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．3．已知集合P＝｛x,y，z｝，Q＝{1，2,3｝,映射f：P→Q中满足f(y）＝2的映射的个数为（）（全国通用版）2019版高考数学一轮复习第十五单元计数原理学案理A．2 B．4C．6 D．9解析：选D 集合P＝｛x，y，z｝，Q＝{1,2,3｝，要求映射f：P→Q中满足f(y）＝2，则要构成一个映射f：P→Q,只要再给集合P中的另外两个元素x，z在集合Q中都找到唯一确定的像即可。
【配套K12】[学习]2019年高考数学一轮复习 第十九单元 平面解析几何综合单元B卷 文
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精品K12教育教学资料第十九单元 平面解析几何综合注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线4=+ny mx 与圆22:4O x y +=没有交点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．0或12．已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与`双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( ) A．⎛ ⎝⎭B．⎡⎢⎣⎦C．(D．⎡⎣3．经过抛物线24x y =的焦点，倾斜角为120︒的直线交抛物线于A ，B 两点，则线段AB 的长为（ ） A ．2BCD ．164．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点， 则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．85．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( ) AB ．2CD ．36．已知椭圆()2221024x y b b +=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 BCD7．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点()2,1Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()1,2-8．过椭圆221164x y +=内一点()3,1P ，且被这点平分的弦所在直线的方程是（ ）A ．34130x y +-=B ．43130x y +-=C ．3450x y -+=D ．3450x y ++=9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>M 作直线MA ，MB ，分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为1k ，2k ，若点A ，B 关于原点对称，则21k k ⋅的值为( )A ．13B ．12 C ．12-D ．13-10．已知A ，B 为抛物线2:4C y x =上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若40FA FB +=， 则直线AB 的斜率为（ ）A ．23±B ．34±C ．43±D ．32±11．双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与 x 轴相切于点A ，则圆心I 到y 轴的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．抛物线22y x =上两点()11,A x y 、()22,B x y 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．32D ．3二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上） 13．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，6AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为 ．14．已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线250x y -+=平行，则双曲线的离心率为 ．15．已知焦点在x 轴上椭圆222125x y b+=，点124,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，过点P 作两条直线与椭圆分别交于A ，B 两点，若椭圆的右焦点F 恰是PAB △的重心，则直线AB 的方程为 ．精品K12教育教学资料16．过点3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线2ax y =的两条切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若0PA PB ⋅=，则a 的值为 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的A ，B 两点． （1）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（2）如果4OA OB ⋅=-，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点．18．(12分)已知圆22:20G x y x +-=经过椭圆22221x y a b +=()0a b >>的右焦点F 及上顶点B ．过椭圆外一点(),0M m ，()m a >作倾斜角为56π的直线l 交椭圆于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．精品K12教育教学资料19．（12分）如图所示，已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2AM AP =，0NP AM ⋅=，点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 且倾斜角是45︒的直线l 交曲线E 于两点H ,Q ，求HQ ．20．(12分)已知直线:l y x =圆22:5O x y +=，椭圆()2222:10y x E a b a b+=>>的离心率e =，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． （1）求椭圆E 的方程；（2）过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．精品K12教育教学资料21．(12分)如图，椭圆长轴端点为A ，B ，O 为椭圆中心，F 为椭圆的右焦点，且1AF FB ⋅=，1OF =． （1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为PQM △的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22．(12分)设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦点分别为()11,0F -，()1,0，点()2,0A a ，且122AF AF =． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN面积的最大值和最小值．精品K12教育教学资料教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ）第十九单元 平面解析几何综合一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】C【解析】∵直线4mx ny +=与圆22:4O x y +=2>，∴422<+n m ，∴22194m n +<，∴点(),m n 在椭圆内，故选C ．2．【答案】B【解析】由题意知，焦点为()4,0F，双曲线的两条渐近线方程为y =． 当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选B ． 3．【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知AB的方程为1y =+，由214y x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得240x +-=，12x x ∴+=-124x x =-，∴AB =16=，故选D ．4．【答案】C【解析】由椭圆的方程得()1,0F -，()0,0O ，设(),P x y ，()22x -≤≤为椭圆上任意一点，则()2222221131322444x OP FP x x y x x x x x ⎛⎫⋅=++=++-=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当2x =时，OP FP ⋅取得最大值6，故选C ． 5．【答案】D【解析】双曲线22221x ya b -=的一条渐近线方程为b y x a=，由方程组22⎧=⎪⎨⎪=+⎩b y x a y x ，消去y ， 得220b x x a -+=有唯一解，所以280b a ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以b a =3c e a ===，故选D ． 6．【答案】C【解析】由椭圆的方程可知2=a ，由椭圆的定义可知，2248AF BF AB a ++==，所以()2283AB AF BF =-+≥，由椭圆的性质可知，过椭圆焦点的弦中通径最短，且223b a =，∴23b =，b C ． 7．【答案】A 【解析】如图，∵点()2,1Q -在抛物线的内部，由抛物线的定义，PF 等于点P 到准线1x =-的距离， 过Q 作1x =-的垂线QH 交抛物线于点K ，则点K 为取最小值时所求的点．当1y =-时，由41x =得14x =，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选A ． 8．【答案】A【解析】设直线与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减得()()()()121212120164x x x x y y y y +⋅-+⋅-+=， ∵126x x +=，122y y +=，∴()()121212121344AB x x y y k x x y y +-==-⨯=--+，∴直线AB 的方程为()3134y x -=--，即34130x y +-=，故选A ． 9．【答案】D【解析】设点(),M x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，∴111211y y y y k k x x x x -+⋅=⋅-+ 2222122222221111113x x b b a a b c e x x a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==-=-=-=--，∴21k k ⋅的值为13-，故选D ． 10．【答案】 C【解析】∵40FA FB +=，∴4FA FB =-，∴4FA FB =，设FB t =，则4FA t =，设点A ，B 在抛物线C 准线上的射影分别为1A ，1B ，过A 作1BB 的垂线，交线段1BB 的延长线于点M ，精品K12教育教学资料则113BM AA BB AF BF t =-=-=，5AB AF BF t =+=， ∴4AM t =，∴34tan =∠ABM ，由对称性可得直线AB 的斜率为43±，故选C ．11．【答案】D故选D ． 12．【答案】C 【解析】∵21211AB y y k x x -==--，又()2221212y y x x -=-，∴2112x x +=-，由于212122x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,在直线y x m =+上，即212122y y x x m ++=+，21212y y x x m +=++， ∵2112y x =，2222y x =，∴()22212122x x x x m +=++，即()2212121222x x x x x x m ⎡⎤+-=++⎣⎦，∵2112x x +=-，2121-=⋅x x ，∴23m =，32m =．故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分． 请把答案填在题中横线上） 13．【答案】9【解析】设抛物线C 的方程为22y px =，则26AB p ==，∴3=p ，∴192ABP S AB p =⨯=△． 14．【解析】由双曲线221kx y -=知，它的渐近线方程为y =，∵一条渐近线与直线250x y -+=12=，则14k =，∴双曲线方程为2214x y -=， 则2a =，1b =，c =c e a ==． 15．【答案】2015680x y --=【解析】将点P 代人椭圆的方程可得216b =，所以椭圆的方程为2212516x y +=，椭圆的焦点225a =，216b =，22225169c a b =-=-=，(3,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的斜率为k ，由12121212435312125503x x x x y y y y ++⎧=⎪+=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=-++⎪⎪⎩=⎪⎩， 代人椭圆的方程可得22111212222214251602516312516x y x x y y k k x y ⎧+=⎪++⎪⇒+⨯=⇒=⎨⎪+=⎪⎩， ∴AB 的中点坐标为56,25⎛⎫- ⎪⎝⎭，所求的直线方程为2015680x y --=．16．【答案】14【解析】设切线方程为312y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由2312y a x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，联立并化简得01232=++-k kx ax ，由题意，234102k a k ∆⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即0462=--a ak k ，又两切线垂直，∴1241k k a =-=-，∴14a =． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）3-；（2）见解析．【解析】（1）由题意知，抛物线焦点为()1,0，设:1l x ty =+，代入抛物线24y x =， 消去x 得2440y ty --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，∴()()()212121212121212111OA OB x x y y ty ty y y t y y t y y y y ⋅=+=+++=++++2244143t t =-++-=-．（2）设:l x ty b =+，代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()2212121212121212OA OB x x y y ty b ty b y y t y y tb y y b y y ⋅=+=+++=++++222244444bt bt b b b b =-++-=-=-，∴2b =．∴直线l 过定点()2,0．∴若4OA OB ⋅=-，则直线l 必过一定点()2,0．18．【答案】（1）22162x y +=；（2）)．【解析】（1）∵圆22:20G xy x +-=经过点F ，B ，∴()2,0F ，(B ，精品K12教育教学资料∴2c =，b =，∴2226a b c =+=，椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意知直线l的方程为)y x m =-，m >由)22162x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y ，整理得222260x mx m -+-=． 由()224860m m ∆=-->，解得m -<，∵m >m <<设()11,C x y ，()22,D x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴()()()()112212122,2,22FC FD x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-⋅-+ ()()21212234643333m m m m x x x x -+=-+++=． ∵点F 在圆E 内部，∴0FC FD ⋅<，即()2303m m -<，解得03m <<．m <3m <，故m的取值范围是)．19．【答案】（1）2212x y +=；（2．【解析】（1）2AM AP =，0NP AM ⋅=，∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =，又CN NM +=2CN AN ∴+=>，∴动点N 的轨迹是以点()1,0C -，()1,0A为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a =焦距22c =，a ∴=1c =，21b =．∴曲线E 的方程为2212x y +=．（2）直线l 的斜率tan 451k =︒=，∴直线l 的方程为1y x =-， 由22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x -=． 设()11,H x y ，()22,Q x y ，则1243x x +=，120x x =，∴12HQ x -=．20．【答案】（1）22132y x +=；（2）见解析． 【解析】（1）设随圆半焦距为c ，圆心O 到l的距离d ==则直线l被圆O 截得弦长为，所以b =．由题意得222c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，又b =，∴23a =，22b =． ∴椭圆E 的方程为22132y x +=．（2）设点()00,P x y ，过点P 的椭圆E 的切线0l 的方程为()00y y k x x -=-，联立直线0l 与椭圆E 的方程得：()0022132y k x x y y x ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：()()()2220000324260k x k y kx x kx y ++-+--=，∵0l 与椭圆E 相切．∴()()()22200004432260k y kx k kx y ∆⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦， 整理得：()()22200002230x k kx y y -+--=，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为1k ，2k ，则20122032y k k x -⋅=--，∵点P 在圆O 上，∴22005x y +=，∴2012205312x k k x --⋅=-=--．∴两条切线斜率之积为常数1-．21．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，43y x =-．【解析】（1）如图建系，设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则1c =，又∵1AF FB ⋅=，即()()221a c a c a c +⋅-==-，∴22a =．故椭圆方程为2212x y +=．（2）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为PQM △的垂心， 则设()11,P x y ，()22,Q x y ，∵()0,1M ，()1,0F ，故1PQ k =，于是设直线l 为y x m =+，由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，得2234220x mx m ++-=，∵()()1221011MP FQ x x y y ⋅==-+-，又()1,2i i y x m i =+=， 得()()()1221110x x x m x m -+++-=， 即()()21212210x x x x m m m ++-+-=，精品K12教育教学资料由韦达定理得()2222421033m mm m m -⋅--+-=，解得43m =-或1m =(舍去)，经检验43m =-符合条件．∴直线l 的方程为43y x =-．22．【答案】（1）22132x y +=；（2）最大值为4，最小值为9625． 【解析】（1）由题意，1222F F c ==，∵122AF AF =，∴2F 为1AF 的中点．∴23a =，22b =，所以椭圆方程为22132x y +=．（2）当直线DE 与x轴垂直时，22b DE a==，此时2MN a == 四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=． 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积142S DE MN =⋅=．当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设():1DE y k x =+，代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以12x x -，所以12DE x =-=，同理()22221113322k k MN k k⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==++，所以四边形的面积()()22221111223232k k S DE MN k k ++=⋅=⋅⋅++， ()242242221242242116136613k k k k k k k k ⎛⎫⋅++ ⎪⋅++⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 令221t k k =+，则()24244613136t S t t +==-++，∵2212t k k =+≥，()'224()0136S t t =>+， ∴()44136S t t=-+为[)2,t ∈+∞上的增函数，当2t =，即1k =±时，9625S =，∴96425S ≤<， 综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为9625．。
2019版高考数学(理科 课标版)一轮复习考点突破训练：第十五章 推理与证明
第十五章推理与证明考点1合情推理与演绎推理1.[2017宁夏银川市、吴忠市部分重点中学3月联考]“杨辉三角” 是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是杨辉三角数阵,记a n为图中第n行各个数之和,则a5+a11的值为()A.528B.1 020C.1 038D.1 0402.[2017太原市高三三模][数学文化题]我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+中“ ”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+=x(x>0)求得x=.类比上述过程,则=()A.3B.C.6D.23.甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时,甲说:我没有游览过;乙说:丙游览过;丙说:丁游览过;丁说:我没游览过.在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山.根据以上条件,可以判断游览过华山的人是.考点2直接证明与间接证明4.“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:-<a”,若用分析法证明,索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<05.[2014山东,4,5分]用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根6.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求证:f(x+)为偶函数.7.是否存在常数C,使不等式+≤C≤+对任意正数x,y恒成立?试证明你的结论. 考点3数学归纳法8.若用数学归纳法证明1+2+3+…+n3=,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上() A.k3+1 B.(k+1)3 C. D.(k3+1)+(k3+2)+(k3+3 +…+ k+1)3答案1.D a1=1,a2=2,a3=4=22,a4=8=23,a5=16=24, ,所以a n=2n-1,a5+a11=24+210=1 040,故选D.2.A令=x(x>0),两边平方,得3+2=x2,即3+2x=x2,解得x=3,x=-1(舍去),故=3,选A.3.甲假设甲游览过华山,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意.4.C-<a⇔b2-ac<3a2⇔(a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ⇔-2a2+ac+c2<0⇔2a2-ac-c2>0 ⇔(a-c)(2a+c)>0⇔(a-c)(a-b)>0.故选C.5.A至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选A.6.由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).将x换成x-代入上式可得f(x-+1)=f [-(x-)],即f(x+)=f(-x+),由偶函数的定义可知f(x+)为偶函数.7.令x=y=1,得≤C≤,∴若存在满足题意的常数C,则C=.下面证明当C=时,题设不等式恒成立.∵x>0,y>0,∴要证+≤,只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证x2+y2≥2xy,此式显然成立.∴+≤.再证+≥.同理,只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y),即证x2+y2≥2xy,此式显然成立.∴+≥.综上所述,存在常数C=,使得不等式+≤C≤+对任意正数x,y恒成立. 8.D当n=k时,等式左端=1+2+…+k3,当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3 +…+ k+1)3,增加了(k3+1)+(k3+2)+(k3+3 +…+ k+1)3.。
【配套K12】[学习]2019版高考数学一轮复习 第一部分 基础与考点过关 第八章 立体几何初步学案
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第八章 立体几何初步第1课时 空间点、直线、平面之间的 位置关系理解空间点、线、面的基本位置关系；会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系．了解公理1，2，3及公理3的推论1，2，3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理．理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成的角．1. (必修2P 24练习2改编)用集合符号表示“点P 在直线l 外，直线l 在平面α内”为________．答案：P ∉l ，l ⊂α解析：考查点、线、面之间的符号表示． 2. (必修2P 28练习2改编)已知AB∥PQ，BC ∥QR ，若∠ABC＝45°，则∠PQR＝________． 答案：45°或135°解析：由等角定理可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补，故答案为45°或135°. 3. (原创)若直线l 上有两个点在平面α外，则________．(填序号) ① 直线l 上至少有一个点在平面α内； ② 直线l 上有无穷多个点在平面α内； ③ 直线l 上所有点都在平面α外； ④ 直线l 上至多有一个点在平面α内． 答案：④解析：由已知得直线l ⊄α，故直线l 上至多有一个点在平面α内．4. (必修2P 31习题15改编)如图所示，设E ，F ，G ，H 依次是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上除端点外的点，AE AB ＝AH AD ＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，则下列结论中不正确的是________．(填序号)① 当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； ② 当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形；③ 当λ≠μ时，四边形EFGH 一定不是平行四边形； ④ 当λ＝μ时，四边形EFGH 是梯形． 答案：④解析：由AE AB ＝AH AD ＝λ，得EH∥BD，且EH BD ＝λ，同理得FG ∥BD 且 FGBD＝μ，当λ＝μ时，EH ∥FG 且EH ＝FG.当λ≠μ时，EH ∥FG ，但EH≠FG，只有④错误．5. (必修2P 30练习2改编)在正方体A 1B 1C 1D 1ABCD 中，与AB 异面的棱有______________________．答案：A 1D 1，DD 1，CC 1，C 1B 11. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2. 空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有(1) 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．4. 异面直线的判定(1) 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．(2) 符号表示：若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l ，则直线AB 与l 是异面直线． 5. 异面直线所成的角(1) 定义：设a ，b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a′∥a，b ′∥b ，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．(2) 范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.(3) 若异面直线a ，b 所成的角是直角，就称异面直线a ，b 互相垂直．记作a⊥b. [备课札记], 1平面的基本性质), 1) 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解：如图，在平面ADD1A1内延长D1F与DA交于一点P，则P∈平面BED1F.∵ DA⊂平面ABCD，∴ P∈平面ABCD，∴点P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点．又点B是两平面的一个公共点，∴ PB为两平面的交线．备选变式（教师专享）如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．解：显然点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵ E∈AC，AC⊂平面SAC，∴ E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD，∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．, 2共点、共线、共面问题), 2) 如图，在四边形ABCD 和四边形ABEF 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，BE∥FA ，BE ＝12FA ，点G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1) 求证：四边形BCHG 是平行四边形． (2) C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1) 证明：因为点G ，H 分别为FA ，FD 的中点，所以GH∥AD，GH ＝12AD.又BC∥AD，BC＝12AD ， 所以GH∥BC，且GH ＝BC ，所以四边形BCHG 为平行四边形．(2) 解：C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE∥FA，BE ＝12FA ，点G 为FA 的中点知，BE ∥FG ，BE ＝FG ，所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，BG ＝CH ，所以EF∥CH，所以EF 与CH 共面． 又D∈FH，所以C ，D ，F ，E 四点共面． 变式训练如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1与B 1D 1交于点O.求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面．证明：如图，连结AC ，因为点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC.由直棱柱知AA 1綊CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC∥A 1C 1. 所以EF∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．, 3 空间直线位置关系问题), 3) 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．求证：(1) AM 和CN 共面；(2) D 1B 和CC 1是异面直线．证明：(1) 如图，连结MN，A1C1，AC.∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴ MN∥A1C1.∵ A1A綊C1C，∴四边形A1ACC1为平行四边形，∴ A1C1∥AC，∴ MN∥AC，∴ A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．(2) ∵ ABCDA1B1C1D1是正方体，∴ B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴ D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．变式训练已知空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD 的中点．(1) 求证：BC与AD是异面直线；(2) 求证：EG与FH相交．证明：(1) 假设BC与AD不是异面直线，则BC与AD共面．不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α，所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．(2) 如图，连结AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG，FH是平行四边形EFGH的对角线，所以EG与FH相交．1. 在下列命题中，不是公理的是________．(填序号)①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；④平行于同一个平面的两个平面相互平行．答案：④解析：④不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；①②③是平面的基本性质公理．2. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：① AB⊥EF；② AB与CM所成的角为60°；③ EF与MN是异面直线；④ MN∥CD.以上结论中正确的是________．(填序号)答案：①③解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．答案：无数解析：在A1D1，C1D1上任取一点P，M，过点P，M与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD ＝Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性知，有无数条直线与直线A1D1，EF，CD都相交．4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点．求证：∠BGC＝∠FD1E.证明：∵ 点E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，∴ CE平行且等于GD1，BF平行且等于GD1，则四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．则GC∥D1E，GB∥D1F.∵∠BGC与∠FD1E对应两边的方向分别相同，∴∠BGC＝∠FD1E.5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，点E为AB的中点，点F为AA1的中点．求证：(1) C1，O，M三点共线；(2) E，C，D1，F四点共面；(3) CE，D1F，DA三线共点．证明：(1) ∵ C 1，O ，M ∈平面BDC 1，又C 1，O ，M ∈平面A 1ACC 1，由公理3知，点C 1，O ，M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上，∴ C 1，O ，M 三点共线．(2) ∵ 点E ，F 分别是AB ，A 1A 的中点，∴ EF ∥A 1B. ∵ A 1B ∥CD 1，∴ EF ∥CD 1.∴ E ，C ，D 1，F 四点共面．(3) 由(2)可知，E ，C ，D 1，F 四点共面．∵ EF∥A 1B ，EF ＝12A 1B ，∴ EF ＝12D 1C ，∴ D 1F ，CE 为相交直线，记交点为P.则P∈D 1F ⊂平面ADD 1A 1，P ∈CE ⊂平面ADCB ，∴ P ∈平面ADD 1A 1∩平面ADCB ＝AD ，∴ CE ，D 1F ，DA 三线共点．1. 如图，在正方体ABCDEFMN 中，①BM 与ED 平行；②CN 与BM 是异面直线；③CN 与BE 是异面直线；④DN 与BM 是异面直线．以上四个命题中，正确的命题是________．(填序号)答案： ②④解析：观察图形，根据异面直线的定义可知，BM 与ED 是异面直线，CN 与BM 是异面直线，CN 与BE 不是异面直线，DN 与BM 是异面直线，故①③错误，②④正确．即正确的命题是②④.2. 在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解：如图，取AC 的中点P.连结PM ，PN ，则PM∥AB，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN＝30°或∠MPN＝150°. 若∠MPN＝30°，因为PM∥AB，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN＝75°， 即直线AB 与MN 所成的角为75°.若∠MPN＝150°，易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN＝15°， 即直线AB 与MN 所成的角为15°.故直线AB 和MN 所成的角为75°或15°.3. 已知在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证： (1) 四边形MNA 1C 1是梯形； (2) ∠DNM＝∠D 1A 1C 1.证明：(1) 如图，连结AC ，在△ACD 中，∵ 点M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴ MN 是三角形ACD 的中位线，∴ MN ∥AC ，MN ＝12AC.由正方体的性质得AC∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1，∴ MN ∥A 1C 1且MN ＝12A 1C 1，即MN≠A 1C 1，∴ 四边形MNA 1C 1是梯形．(2) 由(1)知MN∥A 1C 1.又∵ ND∥A 1D 1， ∴ ∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形中的锐角， ∴ ∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.1. 证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给部分条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在平面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法．2. 证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是分别经过这两条直线的两个平面的一条交线．3. 异面直线的证明方法：一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线)；二是采用反证法．判定异面直线时通常采用排除法(既不相交也不平行)或判定定理．4. 对于异面直线所成的角，要注意角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2以及两条直线垂直的定义，平移法是解决此类问题的关键．[备课札记]第2课时 直线与平面的位置关系(1) (对应学生用书(文)109～110页、(理)111～112页)了解直线与平面的位置关系，了解线面平行的有关概念；除了能熟练运用线面平行的判定定理和性质定理外，还能运用定义判断位置关系．① 要熟练掌握线面平行的定义、判定及性质.② 要注意线线关系、线面关系以及面面关系的转化．对于直线与平面所成的角，点到面的距离了解即可．1. (必修2P 35练习2改编)给出下列条件：① l∥α；② l 与α至少有一个公共点；③ l 与α至多有一个公共点．则能确定直线l 在平面α外的条件为________．(填序号)答案：①③解析：直线l 在平面α外：l∥α或直线l 与平面α仅有一个交点． 2. (必修2P 35练习7改编)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系是________．答案：平行或异面解析：因为AB∥CD，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD 与平面α内的直线可能平行，也可能异面．3. (必修2P 35练习4改编)在正六棱柱ABCDEFA 1B 1C 1D 1E 1F 1的表面中，与A 1F 1平行的平面是________．答案：平面ABCDEF 、平面CC 1D 1D解析：在正六棱柱中，易知A 1F 1∥AF ，AF ⊂平面ABCDEF ，且A 1F 1⊄平面ABCDEF ，所以A 1F 1∥平面ABCDEF.同理，A 1F 1∥C 1D 1，C 1D 1⊂平面CC 1D 1D ，且A 1F 1⊄平面CC 1D 1D ，所以A 1F 1∥平面CC 1D 1D.其他各面与A 1F 1均不满足直线与平面平行的条件．故答案为平面ABCDEF 与平面CC 1D 1D.4. (原创)P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为O ，M 为PB 的中点，给出下列四个命题：① OM ∥平面PCD ；② OM∥平面PBC ；③ OM∥平面PDA ；④ OM∥平面PBA.其中正确命题的个数是________． 答案：2解析：由已知OM∥PD，得OM∥平面PCD 且OM∥平面PAD.故正确的只有①③.5. (必修2P 41习题5改编)在四面体ABCD 中，点M ，N 分别是△ACD，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案：平面ABC、平面ABD解析：如图，连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，由EMMA ＝ENNB＝12，得MN∥AB，因此，MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD.1. 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示判定定理性质定理文字如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号图形作用线线平行⇒线面平行线面平行⇒线线平行, 1基本概念辨析), 1) 下列命题中真命题的个数为Ｗ.①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.答案：1解析：∵ 直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴ l不一定平行于α.∴ ①是假命题.∵ 直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴ a和α不一定平行.∴ ②是假命题.∵ 直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴ a不一定平行于α.∴ ③是假命题.∵ a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴ a可以与平面α内的无数条直线平行.∴ ④是真命题.综上可知，真命题的个数为1.备选变式（教师专享）下列命题中正确的是Ｗ.（填序号）①若直线a不在平面α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交.答案：④⑤解析：如图①，a∩α＝A时，a⊄α，∴①错误；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，∴②错误；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，∴③错误；l∥α，l与α无公共点，∴ l与α内任一直线都无公共点，④正确；如图②，长方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑤正确., 2线面平行的判定), 2) 如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，点E是PC的中点.求证：PA∥平面BDE.证明：如图，连结AC交BD于点O，连结OE.在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，又E是PC的中点，∴ OE∥PA.∵ PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴ PA∥平面BDE.变式训练如图，在三棱柱A1B1C1ABC中， E，F分别是A1B，AC1的中点.求证：EF∥平面ABC.证明：如图，连结A1C，因为三棱柱A1B1C1ABC中，四边形AA1C1C是平行四边形，所以点F在A1C上，且为A1C的中点.在△A1BC中，因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC.因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC.备选变式（教师专享）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点.求证：AP∥平面C1MN.证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.又AM∥CD，PC 1∥CD ，故AM∥PC 1，所以四边形AMC 1P 为平行四边形.从而AP∥C 1M. 又AP ⊄ 平面C 1MN ，C 1M ⊂平面C 1MN ， 所以AP∥平面C 1MN., 3 线面平行的性质) , 3) 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，CC 1＝4，M 是棱CC 1上的一点.若点N 是AB 的中点，且CN∥平面AB 1M ，求CM 的长.解：（解法1）如图①，取AB 1的中点P ，连结NP ，PM.①因为点N 是AB 的中点，所以NP∥BB 1.因为CM∥BB 1，所以NP∥CM，所以NP 与CM 共面.因为CN∥平面AB 1M ，平面CNPM∩平面AB 1M ＝MP ，所以CN∥MP.所以四边形CNPM 为平行四边形，所以CM ＝NP ＝12CC 1＝2.（解法2）如图②，设NC 与CC 1确定的平面交AB 1于点P ，连结NP ，PM.②因为CN∥平面AB 1M ，CN ⊂平面CNPM ，平面AB 1M ∩平面CNPM ＝PM ，所以CN∥MP. 因为BB 1∥CM ，BB 1⊄平面CNPM ，CM ⊂平面CNPM ，所以BB 1∥平面CNPM. 又BB 1⊂平面ABB 1，平面ABB 1∩平面CNPM ＝NP ，所以BB 1∥NP ，所以CM∥NP，所以四边形CNPM 为平行四边形.因为点N 是AB 的中点，所以CM ＝NP ＝12BB 1＝12CC 1＝2.（解法3）如图③，取BB 1的中点Q ，连结NQ ，CQ.③因为点N 是AB 的中点，所以NQ∥AB 1. 因为NQ ⊄平面AB 1M ，AB 1⊂平面AB 1M ， 所以NQ∥平面AB 1M.因为CN∥平面AB 1M ，NQ ∩NC ＝N ，NQ ，NC ⊂平面NQC ， 所以平面NQC∥平面AB 1M.因为平面BCC 1B 1∩平面NQC ＝QC ，平面BCC 1B 1∩平面AB 1M ＝MB 1，所以CQ∥MB 1. 因为BB 1∥CC 1，所以四边形CQB 1M 是平行四边形，所以CM ＝B 1Q ＝12CC 1＝2.（解法4）如图④，分别延长BC ，B 1M ，设交点为S ，连结AS.④因为CN∥平面AB 1M ，CN ⊂平面ABS ， 平面ABS∩平面AB 1M ＝AS ，所以CN∥AS. 由于AN ＝NB ，所以BC ＝CS.又CM∥BB 1，同理可得SM ＝MB 1，所以CM ＝12BB 1＝12CC 1＝2.备选变式（教师专享） 如图，在斜三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC 1与A 1C 交于点O ，E 是棱AB 上一点，且OE∥平面BCC 1B 1.求证：点E 是AB 的中点.证明：连结BC 1，因为OE∥平面BCC 1B 1，OE ⊂平面ABC 1，平面BCC 1B 1∩平面ABC 1＝BC 1，所以OE∥BC 1.在斜三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 是平行四边形，AC 1∩A 1C ＝O ， 所以点O 是AC 1的中点，所以AE EB ＝AOOC 1＝1，即点E 是AB 的中点.1. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ，点M ，N ，P 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点.求证：A 1N ∥平面AMP.证明：取C 1B 1的中点D ，连结A 1D ，DN ，DM ，B 1C.由于点D ，M 分别为C 1B 1，CB 的中点，所以DM∥CC 1且DM ＝CC 1，故DM∥AA 1且DM ＝AA 1，则四边形A 1AMD 为平行四边形，所以A 1D ∥AM.又A 1D ⊄平面APM ，AM ⊂平面APM ，所以A 1D ∥平面APM.由于D ，N 分别为C 1B 1，CC 1的中点，所以DN∥B 1C.又点P ，M 分别为BB 1，CB 的中点，所以MP∥B 1C.所以DN∥MP.又DN ⊄平面APM ，MP ⊂平面APM ， 所以DN∥平面APM.由于A 1D ∩DN ＝D ，所以平面A 1DN∥平面APM. 由于A 1N ⊂平面A 1DN ，所以A 1N ∥平面APM.2. 如图，在四棱锥EABCD 中，四边形ABCD 为矩形，点M ，N 分别是AE ，CD 的中点.求证：直线MN∥平面EBC.证明：取BE 中点F ，连结CF ，MF.因为点M 是AE 的中点，所以MF 綊12AB.又点N 是矩形ABCD 边CD 的中点，所以NC 綊12AB ，所以MF 綊NC ，所以四边形MNCF 是平行四边形，所以MN∥CF.又MN ⊄平面EBC ，CF ⊂平面EBC ，所以MN∥平面EBC. 3. 如图，在正三棱柱ABCA′B′C′中，D 是AA′上的点，点E 是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D 点在AA′上的位置，并给出证明.解：点D 为AA′的中点.证明如下：如图，取BC 的中点F ，连结AF ，EF ，设EF 与BC′交于点O ，连结DO ，BE ，C ′F ，在正三棱柱ABCA′B′C′中，点E 是B′C′的中点，所以 EF ∥BB ′∥AA ′，且EF ＝BB′＝AA′， 所以四边形A′EFA 是平行四边形.因为A′E∥平面DBC′，A ′E ⊂平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO ， 所以A′E∥DO.在正三棱柱ABC －A′B′C′中，点E 是B′C′的中点， 所以EC ′∥BC 且EC′＝BF ，所以四边形BFC′E 是平行四边形，所以点O 是EF 的中点. 因为在平行四边形A′EFA 中， A ′E ∥DO ， 所以点D 为AA′的中点. 4. 如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点.求证：BE∥平面ACD 1.证明：如图，连结B 1D 1交A 1C 1于点E ，连结BD 交AC 于点O ，连结OD 1. ∵ 在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∴ D 1E ∥BO 且D 1E ＝BO ，∴ 四边形BED 1O 是平行四边形， ∴ BE ∥OD 1.∵ OD 1⊂平面ACD 1，BE ⊄平面ACD 1， ∴ BE ∥平面ACD 1.5. 如图，在四棱锥PABCD 中，PC ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝2BC ，点M ，N 分别是棱PA ，CD 的中点.求证：PC∥平面BMN.证明：设AC∩BN＝O ，连结MO ，AN.因为AB ＝12CD ，AB ∥CD ，点N 为CD 的中点，所以AB ＝CN ，AB ∥CN ，所以四边形ABCN 为平行四边形， 所以O 为AC 的中点.又点M 为PA 的中点，所以MO∥PC. 因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄ 平面BMN ， 所以PC∥平面BMN.1. 如图，在三棱锥PABC中，点M，N分别为AB，PA的中点.求证：PB∥平面MNC.证明：因为点M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.2. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AB的中点.求证：BC1∥平面A1CD.证明：连结AC1，设交A1C于点O，连结OD.∵四边形AA1C1C是矩形，∴ O是AC1的中点.∵在△ABC1中， O，D分别是AC1，AB的中点，∴OD∥BC1.∵ OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴ BC1∥平面A1CD.3. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合）.PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD.证明：连结AC，A1C1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1∥CC1，且AA1＝CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形.∴ AC∥A1C1.∵ AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，∴ AC∥平面A1BC1.∵ AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，∴ AC∥MN.∵ MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ MN∥平面ABCD.1. 判定或证明直线与平面平行的常用方法（1）利用直线与平面平行的定义（无公共点）.（2）利用直线与平面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）.（3）利用平面与平面平行的性质（α∥β，a⊂α⇒a∥β）.注意不管用哪种方法，都应将相应的条件写全，缺一不可.2. 直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行，应用时常常需构造辅助平面，和在平面几何中添加辅助线一样，在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性.3. 证明平行问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间的平行关系，实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化.[备课札记]第3课时直线与平面的位置关系（2）（对应学生用书（文）111～113页、（理）113～115页）1. （必修2P38练习2（3）改编）已知直线l，a，b，平面α.若l∥a，a⊥α，b⊥α，则l与b的位置关系是Ｗ.答案：平行解析：由线面垂直的性质可知，若a⊥α，b ⊥α，则a∥b.因为l ∥a ，所以l∥b. 2. 已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是 Ｗ.（填序号）① 平行；② 垂直；③ 斜交；④ 不能确定. 答案：② 解析：设a ，b 为异面直线，a ∥平面α，b ∥平面α，直线l⊥a，l ⊥b.过a 作平面β∩α＝a′，则a ∥a ′，∴ l ⊥a ′.同理过b 作平面γ∩α＝b′，则l ⊥b ′.∵ a ，b 异面，∴ a ′与b′相交，∴ l ⊥α.3. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的 条件.（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）答案：充要解析：由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内任意一条直线，则直线与平面垂直，说明是充分条件，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件.4. （必修2P 42习题9改编）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上不同于A ，B 的任一点，则图中直角三角形的个数为 Ｗ.答案：4解析：因为AB 是圆O 的直径，所以AC⊥BC，△ACB 是直角三角形；由PA⊥平面ABC 可得，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，所以△PAB 与△PAC 是直角三角形；因为PA⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA ∩AC ＝A ，所以BC⊥平面PAC.而PC ⊂平面PAC ，所以BC⊥PC，△PCB 是直角三角形.故直角三角形的个数为4.5. （必修2P 38练习3改编）在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝1，则点C 到平面B 1BDD 1.解析：连结AC ，则AC⊥BD，又BB 1⊥AC ，故AC⊥平面B 1BDD 1，所以点C 到平面B 1BDD 1的距离为12AC ＝22.1. 直线与平面垂直的定义：如果一条直线a 与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a 与平面α互相垂直，记作a ⊥α，直线a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足Ｗ.2. 结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.3. 直线与平面垂直从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.5. 直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.6. 直线与平面所成的角（1）斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.（2）射影过平面α外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的正投影（简称射影），线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影，如图.（3）直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.特别地，如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.[备课札记], 1直线与平面垂直的判定), 1) 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE.证明：连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1.因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1.又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.因为OD⊂平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，所以OD⊥平面A1C1FE.变式训练如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.证明：因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.又因为PA⊥PB，所以PA⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以CM⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.又因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC., 2直线与平面垂直性质的应用), 2) 如图，在四棱锥PABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.证明：（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，所以AD⊥AP.因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD ①.因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AB⊥AD.因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD ②.由①②得CD∥AB，因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.变式训练如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：（1）EF⊥平面AB1C；（2）EF∥BD1.证明：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB∥CD，且A1B1＝AB＝CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C.因为EF⊥A1D，所以EF⊥B1C.又因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC⊂平面AB1C，B1C ⊂平面AB1C，所以EF⊥平面AB1C.（2）连结BD，则BD⊥AC.因为DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DD 1⊥AC.因为AC⊥BD，DD 1∩BD ＝D ，DD 1⊂平面BDD 1B 1，BD ⊂平面BDD 1B 1， 所以AC⊥平面BDD 1B 1.又BD 1⊂平面BDD 1B 1， 所以AC⊥BD 1.同理可证BD 1⊥B 1C ，又AC∩B 1C ＝C ，AC ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以BD 1⊥平面AB 1C. 又EF⊥平面AB 1C ， 所以EF∥BD 1., 3 直线与平面垂直的探索题), 3) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点，BC ＝BB 1. （1） 若P 是CC 1上任一点，求证：AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直； （2） 试在棱CC 1上找一点M ，使MB⊥AB 1.（1） 证明：（反证法）假设AP⊥平面BCC 1B 1， ∵ BC ⊂平面BCC 1B 1，∴ AP ⊥BC.又正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥BC ，AP ∩CC 1＝P ，AP ⊂平面ACC 1A 1，CC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1.而AC ⊂平面ACC 1A 1， ∴ BC ⊥AC ，这与△ABC 是正三角形矛盾， 故AP 不可能与平面BCC 1B 1垂直. （2） 解：M 为CC 1的中点.∵ 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝BB 1， ∴ 四边形BCC 1B 1是正方形.∵ 点M 为CC 1的中点，点D 是BC 的中点， ∴ △B 1BD ≌△BCM ，∴ ∠BB 1D ＝∠CBM，∠BDB 1＝∠CMB.∵ ∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，∴ ∠CBM ＋∠BDB 1＝π2，∴ BM ⊥B 1D.∵ △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴ AD ⊥BC.∵ 平面ABC⊥平面BB 1C 1C ，平面ABC∩平面BB 1C 1C ＝BC ，AD ⊂平面ABC ， ∴ AD ⊥平面BB 1C 1C.∵ BM⊂平面BB1C1C，∴ AD⊥BM.∵ AD∩B1D＝D，∴ BM⊥平面AB1D.∵ AB1⊂平面AB1D，∴ MB⊥AB1.备选变式（教师专享）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解：如图，连结A1B，CD1，则A1B⊥AB1.∵在正方体ABCDA1B1C1D1中，D1A1⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴ A1D1⊥AB1.又A1D1∩A1B＝A1，A1D1，A1B⊂平面A1BCD1，∴ AB1⊥平面A1BCD1.又D1E⊂平面A1BCD1，∴ AB1⊥D1E.于是使D1E⊥平面AB1F等价于使D1E⊥AF.连结DE，易知D1D⊥AF，若有AF⊥平面D1DE，只需证DE⊥AF.∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴当且仅当点F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a（a>0），PA⊥平面ABCD，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由.解：假设存在点Q，使得PQ⊥QD.连结AQ.∵ PA⊥平面ABCD，且DQ⊂平面ABCD，∴ PA⊥DQ.∵ PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ⊂平面PAQ，PA⊂平面PAQ，∴ DQ⊥平面PAQ.。
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精品K12教育教学资料第十五单元 点、线、面的位置关系注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在四面体P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB PBC ，PCA 的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥ B ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥C ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥D ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件 A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么⊥l 平面γD ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．已知α，β，γ为互不重合的平面，命题p ：若βα⊥，γβ⊥，则αγ∥；命题q ：若α上不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．q p ∨C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∨6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论： ①BM ED ∥；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④8．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，沿DE 、DF 及EF 把ADE △、CDF △和BEF △折起，使A 、B 、C 三点重合，设重合后的点为P ，则四面体DEF P -中必有（ ）A ．DP ⊥平面PEFB ．DF ⊥平面PEFC ．PE ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αβ∥，l α⊂，则l β∥ ②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥ ③若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ ④若m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥其中真命题的序号是（ ） A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．②④10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点， 则三棱锥EDF D -1的体积为（ ）精品K12教育教学资料A ．31B ．41C ．61D ．12111．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F，且EF ， 则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值12．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 、BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）A ．B ．C． D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且6=PA ，9=AC ，8=AB ，则CD 的长为________．14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 、BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则满足条件_____时，有MN ∥平面11BDD B ．15．如图是一体积为31的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_____．16．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，三棱柱111C B A ABC -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点．（1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ， （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；精品K12教育教学资料18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点， 且⊥BF 平面ACE ． （1）求证：BE AE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点，求证：MN ∥平面DAE ．19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，⊥BE 平面ABCD ． （1）证明：平面⊥AEC 平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，EC AE ⊥，三棱锥ACD E -的体积为36，求该三棱锥的侧面积．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，3cm PD DC ==，E 为PC 的中点；（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）在棱PC 上是否存在点F ，使三棱锥C BDF -的体积为33cm ？并说明理由．21．（12分）已知ABCD是边长为a，60BAD∠=︒的菱形，点P为ABCD所在平面外一点，PAD△为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD．（1）若G为AD边的中点，求证:⊥BG平面PAD；（2）求证：PBAD⊥；（3）若E为BC的中点，能否在PC上，找到一点F使平面⊥DEF平面ABCD．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a．M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．（1）求证：ACGN⊥；（2）求三棱锥MCEF-的体积；（3）当GDFG=时，证明AG∥平面FMC．精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B ） 第十五单元 点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】由题目的条件可知，M 到P 的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线， ∴M 到P7，故选A ． 2．【答案】D【解析】对于A ，B ，C 选项均有可能出现平面α与平面β相交的情况，故选D ．3．【答案】C【解析】“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”；反之，能推出．故条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件，选C ． 4．【答案】D【解析】平面α与平面β垂直时，平面α内所有与交线不垂直的直线都与平面β不垂直， 故D 错误，答案为D ． 5．【答案】D【解析】易知p 、q 均为假命题，从而p ⌝、q ⌝均为真命题，所以)(q p ⌝∨为真命题，故选D ． 6．【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现l β∥，根据面面平行的性质可知选项C 是正确的． 7．【答案】D 【解析】展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D ． 8．【答案】A【解析】折叠前，AE DA ⊥，CF DC ⊥，FB EB ⊥，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，DP ⊥平面PEF ，故选A ．9．【答案】C【解析】②是假命题，∵m ，n 不一定相交，∴α，β不一定平行；④是假命题， ∵m ，n 不一定相交，∴l 与α不一定垂直，故选C ． 10．【答案】C【解析】=-ED F D V 11F D ED V -，又112D ED S =△，点F 到面ED D 1的距离为1， ∴111111326D EDF F D ED V V --==⨯⨯=．故选C ．11．【答案】D【解析】∵AC ⊥平面11B BDD ，⊂BE 平面11B BDD ，∴AC BE ⊥，A 正确；易知EF ∥平面ABCD ，B 正确；设点A 到平面11B BDD 的距离为d，d =，112BEF S EF BB =⨯⨯=△ ∴11d 312A BEF BEF V S -=⋅=．所以三棱锥A BEF -的体积为定值．C 正确；故结论中错误的是D ．12．【答案】C 【解析】如图，在平面1AB 内过P 点作PE 垂直于11A B 于E ，连接PB ，∵BC 垂直于侧面1AB ，∴PB BC ⊥， 由题意PE PB =，故P 点在以1BB 的中点O 为顶点，以B 为焦点的抛物线上， 并且该抛物线过A 点，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4或20【解析】若P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB CD ∥，则CDABPC PA =， 可求得20=CD ；若P 在平面α，β之间，同理可求得4=CD ． 14．【答案】M ∈线段FH【解析】∵HN BD ∥，1HF DD ∥，∴平面NHF ∥平面11BDD B ，又平面NHF平面EFGH FH =，故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面11BDD B ，故填M ∈线段FH ．精品K12教育教学资料15．【答案】32【解析】设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为a h 36=，体积231133V ===，∴223=a ，∴2=a，∴2132EF =⨯． 16．【答案】90︒【解析】取BC 的中点N ，连结AN ，则AN ⊥平面11B BCC ，∴AN BM ⊥．∵正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，∴11B BCC 是正方形．连结N B 1则易证1B N BM ⊥， ∴BM ⊥平面N AB 1，∴1BM AB ⊥，异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是90︒．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D AC 为中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ． （2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵⊥BC 平面ABE ，⊂AE 平面ABE ，∴BC AE ⊥，又⊥BF 平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴BF AE ⊥．又B BC BF = ，∴⊥AE 平面BCE ， 又⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，∵点N 为线段CE 的中点，∴PN DC ∥，且DC PN 21=，又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM DC ∥，且DC AM 21=， ∴PN AM ∥，且AM PN =，∴四边形AMNP 是平行四边形，∴MN AP ∥，而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ．19．【答案】（1）见解析；（2）3+【解析】（1）证明：∵⊥BE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC BE ⊥． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵B BE BD = ， ∴⊥AC 平面BED ，∵⊂AC 平面AEC ，∴平面⊥AEC 平面BED ． （2）∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥， ∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ≅△△，∴CE AE =． 在Rt ACE △中，22222AE CE AE AC =+=， 又∵22222cos 3AC AB BC AB BC ABC AB =+-⋅∠=，∴2232AB AE =，∴AB AE 26=，∴AB BE 22=， ∴111sin 332E ACD ACD V BE S BE AB BC ABC -=⋅=⋅⋅⋅∠△311sin12032AB AB AB AB =⋅⋅⋅︒=，3=2=AB ．∴12ABE CBE S S AB BE ==⨯△△∵EC ED AE ===，2CD AD ==，精品K12教育教学资料∴3ACE S =△，DAE CDE S S ==△△所以该三棱锥的侧面积为3ACE DAE CDE S S S ++=+△△△．20．【答案】（1）见解析；（2）存在且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点，见解析． 【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，在APC △中，O 、E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA ； ∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ； （2）∵侧棱PD ⊥⊥底面ABCD ，∴PD CD ⊥，设F 为PC 上一点，过F 作FG CD ⊥于G ，则FG PD ∥，∴FG ⊥平面ABCD ．若11133333322C BDF F BDC BDC V V S FG FG FG --==⋅=⨯⨯⨯⨯==△，则2FG =，∴在棱PC 上存在点F 使三棱锥C BDF -的体积为33cm ． 且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析． 【解析】（1）连结BD ，则在正三角形ABD 中，AD BG ⊥， 又平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，所以⊥BG 平面PAD ．（2）连结PG ，在正三角形PAD 中，AD PG ⊥，又AD BG ⊥，∴⊥AD 平面PBG ． ∵⊂PB 平面PBG ，∴PB AD ⊥．（3）能在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ，且F 为PC 中点． 证明如下：连结ED ，GC 交于点O ，易知O 为GC 的中点，在平面PGC 内，作OF GP ∥，交PC 于点F ，则F 为PC 中点，⊥FO 平面ABCD ， ∴平面⊥DEF 平面ABCD ．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点． 【答案】（1）见解析；（2）316a ；（3）见解析．【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱， 且底面是直角边为a 的等腰直角三角形， ∴侧面ABCD ，CDEF 是边长为a 的正方形．连结DN ，因为CD FD ⊥，AD FD ⊥，所以⊥FD 平面ABCD ， ∴AC FD ⊥，又∵DN AC ⊥，∴⊥AC 平面GND ， ∵⊂GN 平面GND ，∴AC GN ⊥．（2）∵⊥AD 平面CEF ，∴2311113326F MCE M CEF CEF V V AD S a a a --==⋅=⨯⨯=△．（3）连结DE 交FC 于Q ，连结QG ，∵Q ，G 分别是FD ，FC 的中点，∴GQ CD ∥，且12GQ CD =，∵M 是AB 的中点，∴AM CD ∥，且CD AM 21=， ∴AM GQ ∥＝，∴AMQC 是平行四边形，∴AG QM ∥，∵⊄AG 平面FMC ．⊂MQ 平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ．。