第二中学17—18学年下学期高一第一次月考数学试题(附答案)(2)

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高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．04．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．28．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=．15．已知tanα=2，则tan2α的值为．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）=．三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．22．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？2015-2016学年某某鄂尔多斯市准格尔旗世纪中学高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共60分）1．tan 300°+sin 450°的值为（）A．1+B．1﹣C．﹣1﹣ D．﹣1+【考点】诱导公式的作用．【分析】由诱导公式逐步化简可得原式等于﹣tan60°+sin90°，为可求值的特殊角，进而可得答案．【解答】解：由诱导公式可得：tan 300°+sin 450°=tan（360°﹣60°）+sin（360°+90°）=﹣tan60°+sin90°=﹣+1=1﹣，故选B2．以下命题正确的是（）A．小于90°的角是锐角B．A={α|α=k•180°，k∈Z}，B={β|β=k•90°，k∈Z}，则A⊆BC．﹣950°12′是第三象限角D．α，β终边相同，则α=β【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据角的X围以及终边相同角的关系分别进行判断即可．【解答】解：A．∵0°角满足小于90°，但0°角不是锐角，故A错误，B．当k=2n时，β=k•90°=n•180°，当k=2n+1时，β=k•90°=k•180°+90°，则A⊆B成立，C．﹣950°12′=﹣4×360°+129°48′，∵129°48′是第二象限角，∴﹣950°12′是第二象限角，故C错误，D．α，β终边相同，则α=β+k•360°，k∈Z，故D错误，故选：B3．在空间直角坐标系中的点P（a，b，c），有下列叙述：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴）的对称点是P1（a，﹣b，c）；②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称点为P2（a，﹣b，﹣c）；③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称点是P3（a，﹣b，c）；④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．其中正确叙述的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据空间点的对称性分别进行判断即可．【解答】解：①点P（a，b，c）关于横轴（x轴），则x不变，其余相反，即对称点是P1（a，﹣b，﹣c）；故①错误，②点P（a，b，c）关于yOz坐标平面的对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2（﹣a，b，c）；故②错误③点P（a，b，c）关于纵轴（y轴）的对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3（﹣a，b，﹣c）；故③错误，④点P（a，b，c）关于坐标原点的对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4（﹣a，﹣b，﹣c）．故④正确，故选：C4．已知α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，则sinα的值等于（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的大小建立方程求出a的值即可得到结论．【解答】解：∵α是第二象限的角，其终边上一点为P（a，），且cosα=a，∴a＜0，且cosα=a=，平方得a=﹣，则sinα===，故选：A．5．函数y=2sin（﹣2x）（x∈[0，π]）为增函数的区间是（）A．[0，] B．[] C．[，] D．[，π]【考点】复合三角函数的单调性．【分析】利用正弦函数的单调性，确定单调区间，结合x的X围，可得结论．【解答】解：由正弦函数的单调性可得≤﹣2x≤（k∈Z）∴﹣﹣kπ≤x≤﹣﹣kπk=﹣1，则故选C．6．已知，且，则tanφ=（）A．B．C．﹣D．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先由诱导公式化简cos（φ）=﹣sinφ=确定sinφ的值，再根据φ的X 围确定cosφ的值，最终得到答案．【解答】解：由，得，又，∴∴tanφ=﹣故选C．7．已知点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为（）A．2 B．4 C．2 D．2【考点】空间中的点的坐标．【分析】求出对称点的坐标，然后求解距离．【解答】解：点A（1，2，﹣1），点C与点A关于平面xoy对称，可得C（1，2，1），点B与点A关于x轴对称，B（1，﹣2，1），∴|BC|==4故选：B．8．直线y=a（a为常数）与y=tanωx（ω＞0）的相邻两支的交点距离为（）A．πB．C． D．与a有关的值【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的最小正周期．【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期，∵y=tanωx的周期是：，∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是：．故选：B．9．函数的图象（）A．关于原点成中心对称B．关于y轴成轴对称C．关于成中心对称D．关于直线成轴对称【考点】正弦函数的对称性．【分析】将x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，从而可判断A、B；将代入函数f（x）中得到f（）=0，即可判断C、D，从而可得到答案．【解答】解：令x=0代入函数得到f（0）=2sin（﹣）=﹣1，故A、B不对；将代入函数f（x）中得到f（）=0，故是函数f（x）的对称中心，故C 对，D不对．故选C．10．已知θ∈[0，2π），|cosθ|＜|sinθ|，且sinθ＜tanθ，则θ的取值X围是（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知的sinθ＜tanθ，移项并利用同角三角函数间的基本关系变形后得到tanθ（1﹣cosθ）大于0，由余弦函数的值域得到1﹣cosθ大于0，从而得到tanθ大于0，可得出θ为第一或第三象限，若θ为第一象限角，得到sinθ和cosθ都大于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围；若θ为第三象限角，得到sinθ和cosθ都小于0，化简|cosθ|＜|sinθ|，并利用同角三角函数间的基本关系得到tanθ大于1，利用正切函数的图象与性质可得出此时θ的X围，综上，得到满足题意的θ的X围．【解答】解：∵sinθ＜tanθ，即tanθ﹣sinθ＞0，∴tanθ（1﹣cosθ）＞0，由1﹣cosθ＞0，得到tanθ＞0，当θ属于第一象限时，sinθ＞0，cosθ＞0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为cosθ＜sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，）；当θ属于第三象限时，sinθ＜0，cosθ＜0，∴|cosθ|＜|sinθ|化为﹣cosθ＜﹣sinθ，即tanθ＞1，则θ∈（，），综上，θ的取值X围是．故选C11．化简cosα+sinα（π＜α＜）得（）A．sinα+cosα﹣2 B．2﹣sinα﹣cosαC．sinα﹣cosα D．cosα﹣sinα【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数基本关系式、三角函数值在各个象限的符号即可得出．【解答】解：∵π＜α＜，∴==，同理可得=，∴原式=﹣（1﹣sinα）﹣（1﹣cosα）=﹣2+cosα+sinα．故选：A．12．圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为（）A．2 B．C．1 D．【考点】圆的标准方程．【分析】设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由弧长公式可得2π=R，解得R．再利用3r=R=6即可求得扇形的内切圆的半径．【解答】解：设扇形和内切圆的半径分别为R，r．由2π=R，解得R=6．由题意可得3r=R=6，即r=2．∴扇形的内切圆的半径为2．故选：A．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．函数的定义域为．【考点】正切函数的定义域．【分析】根据正弦函数的定义域，我们构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值X围，即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：≠kπ+，k∈Z解得：故函数的定义域为故答案为14．函数y=2cos（ωx）的最小正周期是4π，则ω=±．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用周期公式列出关于ω的方程，求出方程的解即可得到ω的值．【解答】解：∵=4π，∴ω=±．故答案为：±15．已知tanα=2，则tan2α的值为﹣．【考点】二倍角的正切．【分析】由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．16．已知sin（﹣x）=，则cos（﹣x）= ﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣x）=，∴cos（﹣x）=cos[+（﹣x）]=﹣sin（﹣x）=﹣．故答案为：﹣三．解答题（共70分）17．已知sinα+cosα=，α∈（0，π），求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα﹣cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα﹣cosα的值，联立求出sinα与cosα的值，即可确定出的值．【解答】解：把sinα+cosα=①，两边平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则==﹣．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）当，求f（x）的值域．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入f（x）即可求得φ，把A，ω，φ代入f（x）即可得到函数的解析式．（2）根据x的X围进而可确定当的X围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【解答】解：（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T=π，由点在图象上的故∴又，∴（2）∵，∴当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值﹣1，故f（x）的值域为[﹣1，2]19．sin θ和cos θ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，求+．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用韦达定理可求得sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，利用同角三角函数基本关系式即可解得m，将所求的关系式化简为sinθ+cosθ，即可求得答案．【解答】解：∵sinθ和cosθ为方程2x2﹣mx+1=0的两根，∴sinθ+cosθ=，sinθ•cosθ=，∵（sinθ+cosθ）2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ，∴m2=1+2×，解得：m=±2，∴+=+=sinθ+cosθ=．20．已知函数y=2acos（2x﹣）+b的定义域是[0，]，值域是[﹣5，1]，求a、b的值．【考点】余弦函数的定义域和值域．【分析】由求出的X围，由余弦函数的性质求出cos（2x﹣）的值域，根据解析式对a分类讨论，由原函数的值域分别列出方程组，求出a、b的值．【解答】解：由得，，∴cos（2x﹣），当a＞0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，当a＜0时，∵函数的值域是[﹣5，1]，∴，解得，综上可得，或．21．函数f（x）=3sin（2x+）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，﹣]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角函数的性质可得最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π，可知y0为函数的最大值3，x0=；（Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]，∴2x+∈[﹣，0]，∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0，当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣322．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（1）由函数的解析式求得周期，由求得x的X围，即可得到函数的单调增区间（2）由条件可得，再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．由求得，故函数的递增区间是．（2）由条件可得．故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．。

2021-2022学年江西省抚州市临川第二中学高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

2021-2022学年江西省抚州市临川第二中学高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．()sin 600-︒的值为（）A B ．C ．12D ．12-【答案】A【分析】根据任意角的周期性，结合诱导公式求()sin 600-︒的值.【详解】由题设，()sin 600sin(2360120)sin120-︒=-⨯︒-︒=︒=故选：A2．已知扇形OAB 的圆心角为4rad ，其面积是28cm ，则该扇形的弧长是（）A ．8cmB ．4cmC ．D ．【答案】A【分析】根据圆心角和面积可求半径和弧长.【详解】设扇形的半径为R ，则21482R ⨯⨯=，故2R =，故弧长为428l cm =⨯=. 故选：A.3．设0a <，角α的终边经过点()3,4P a a -，那么sin 2cos αα+=（） A ．25B ．23-C ．23D ．25-【答案】A【详解】依题意有5OP a =-,所以43sin ,cos 55αα=-=,所以462sin 2cos 555αα+=-+=,故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，三角函数的正负.对于给定角的终边上一点,求出角的正弦值,余弦值和正切值的题目,首先根据三角函数的定义求得r 然后利用三角函数的定义,可直接计算得sin ,cos ,tan y x yr r xααα===.本题由于点的坐标含有参数,要注意三角函数的正负. 4．已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由cos cos 22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．5．化简()()()()()3πcos πsin 2πcos 2sin πcos πsin 2παααααα⎛⎫++-- ⎪⎝⎭=-----（）A ．1B ．1-C ．tan αD ．tan α-【答案】B【分析】直接利用诱导公式化简即可【详解】()()()()()3πcos πsin 2πcos 2sin πcos πsin 2παααααα⎛⎫++-- ⎪⎝⎭-----()()()3πcos sin cos 2sin π+cos π+sin αααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-- cos sin sin sin cos (sin )ααααα-=--cos sin sin 1sin cos sin ααααα==--故选：B6．已知函数πsin()(0,0,||)2y A x B A ωϕωϕ=++>><的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）A ．3,2πA T ==B ．1,2B ω=-=C ．π4π,6T ϕ==-D ．π3,6A ϕ==【答案】C【分析】首先由函数的最大值和最小值，列式求,A B ，再根据23π-和43π之间的距离求ω，最后根据“五点法”中的一个特殊点求ϕ.【详解】由题图得2,4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩得3,1,A B =⎧⎨=-⎩2π4π2π2()4π33T ω==+=，所以12ω=. 又14ππ2π,Z 232k k ϕ⋅+=+∈，得π2π,Z 6k k ϕ=-+∈.又π||2ϕ<，所以π6ϕ=-. 故选：C【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数的解析式，属于基础题型，本题的关键是根据图象，明确每个参数的求解方法.7．函数()3sin 4cos f x x x =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别代入0，45°，90°，求得函数值，与图像作比较，即可排除BCD. 【详解】解：由()03sin04cos04f =+=，可排除选项B ，由3sin 4cos 3222f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可排除选项D ，由723sin 4cos 44442f πππ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，可排除选项C ，故选：A ．8．已知函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A ．19π27π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9π13π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．17π25π,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4π,6π【答案】C【分析】根据在[0,)+∞上，从左到右第3个最大值点小于等于1，第4个最大值点大于1可解.【详解】由π2,42x k k πωπ+=+∈Z 得，2,4k x k ππωω=+∈Z ，则由题知414614ππωωππωω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得172544ππω≤<. 故选：C 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角.B ．如果α，β是第一象限的角，且αβ<，则sin sin αβ<.C ．若角α为锐角，则角2α为钝角.D ．若角2rad α=，则角α为第二象限角. 【答案】AD【分析】由任意角的定义可判断A ；由周期性可判断B ；取特例可判断C ；由弧度制与角度制的关系可判断D.【详解】α与α-一个逆时针旋转，一个顺时针旋转，旋转角度都为α，故如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角，故A 正确；取9,34ππαβ==，易知B 错误；取6πα=，23πα=为锐角，故C 错误；2rad 114.6≈︒，故α为第二象限角，D 正确.故选：AD10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论中正确的是（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在区间()0,π上递减 C ．()f x 为周期函数 D ．()f x 的值域为[]1,1-【答案】AC【解析】根据奇偶性的定义判断出()f x 为偶函数，A 正确；通过,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 解析式，可知不满足单调递减定义，B 错误；通过分类讨论的方式去掉解析式的绝对值，得到分段函数的性质，可确定函数最小正周期，知C 正确；根据余弦函数值域可确定()f x 值域，知D 错误.【详解】()()()()cos cos cos cos f x x x x x f x -=-+-=+=()f x ∴为偶函数，A 正确；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos cos 0f x x x =-=，不满足单调递减定义，B 错误；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()2cos f x x =；当32,222x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()0f x = ()f x ∴是以2π为最小正周期的周期函数，C 正确；当2,222x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，()[]2,2f x ∈-，故()f x 值域为[]22-,，D 错误. 故选：AC【点睛】本题考查与余弦型函数有关的函数的性质及值域的相关命题的辨析，涉及到函数奇偶性、单调性、周期性和值域的求解；关键是能够通过分类讨论的方式确定函数在不同区间内的解析式，进而研究函数性质.11．已知函数()1212()tan ,,,22f x x x x x x ππ⎛⎫=∈-≠ ⎪⎝⎭,则下列结论中正确的是A ．()()11f x f x π+=B ．()()11f x f x -=C ．()()12120f x f x x x ->-D ．()()()121212022f x f x x x f x x ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】根据正切函数的周期性可得A 正确，根据奇偶性判断B 错误，根据单调性判断C 正确，结合函数图象即可判断D 错误. 【详解】()tan f x x =的周期为π,故A 正确；函数()tan f x x =为奇函数,故B 不正确；C 表明函数为增函数，而()tan f x x =为区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的增函数,故C 正确；由函数()tan f x x =的图像可知，函数在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭,在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭,故D 不正确.故选：AC【点睛】此题考查正切函数图象性质的辨析，涉及单调性，奇偶性周期性，结合图象理解凹凸性.12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,0A ωϕπ>><<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列判断正确的是（） A ．函数()sin()f x A x ωϕ=+中,2T πω== B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心D ．函数1y =与35()1212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π【答案】ACD【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】解：函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0)ϕπ<<的图象关于点5(,0)12M π成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3N π-，则2543124T πππ=-=， T π∴=，进一步解得22πωπ==，3A =，故A 正确．由于函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0)ϕπ<<的图象关于点5(,0)12M π成中心对称，52()12k k Z πϕπ∴⨯+=∈，解得56k ϕπ=π-，由于0ϕπ<<，∴当1k =时，6π=ϕ． ()3sin(2)6f x x π∴=+．对于B ：当2x π=时，3()3sin262f ππ=-=-，故B 不正确；对于C ：由26x k ππ+=，k Z ∈，解得212k x ππ=-，k Z ∈，当0k =时，对称中心为：,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ：由于：351212xππ-，则：0266x ππ+，∴函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标从左到右分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，由2262x k πππ+=+，k Z ∈，解得6x k ππ=+，k Z ∈，所以12263x x ππ+=⨯=，432263x x ππππ⎛⎫+=⨯+=+ ⎪⎝⎭，5622463ππx x ππ⎛⎫+=⨯+=+ ⎪⎝⎭，所以156423247333x x x x x x ππππππ+++++=++++=所以函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π，故D 正确．∴正确的判断是ACD ．故选：ACD ．三、填空题13．已知tan 3α=，则sin 2cos sin cos αααα+=-______.【答案】522.5【分析】根据齐次式弦化切即可求解. 【详解】因为tan 3α=，所以sin 2cos tan 2325sin cos tan 1312αααααα+++===---，故答案为：5214．将函数()()()sin 0f x x φφπ=+<<的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移6π个单位后，所得图象关于原点对称，则φ的值为______．【答案】12π 【详解】将函数()()()sin 0f x x φφπ=+<<的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到1sin 2y x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象向右平移6π个单位，得到1sin 26y x πφ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即1sin 212y x πφ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其图象关于原点对称.∴k πk Z 12πφ-=∈，，k π12πφ=+，又0φπ<< ∴12πφ=故答案为12π15．方程2sin 2103x a π⎛⎫++-= ⎪⎝⎭在[0,]π上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.【答案】113,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】画出函数图像，根据图像知2sin [3,2]3x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，计算3122a ≤-<得到答案.【详解】2sin 210,2sin 1233x a x a ππ⎛⎫⎛⎫++-=∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵[0,]x π∈，∴4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin [3,2]3x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当3122a ≤-<时，原方程有两个不相等的实数根，故11322a --<≤. 故答案为：113,22⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了根据方程根的个数求参数，画出三角函数图像是解题的关键. 16．汽车正常行驶中，轮胎上与道路接触的部分叫轮胎道路接触面.如图，一辆小汽车前左轮胎道路接触面上有一个标记P ，标记P 到该轮轴中心的距离为0.3m .若该小汽车启动时，标记P 离地面的距离为0.45m ，汽车以64.8km/h 的速度在水平地面匀速行驶，标记P 离地面的高度()f x （单位：m ）与小汽车行驶时间x （单位：s ）的函数关系式是()()sin f x A x b ωϕ=++，其中0A >，0>ω，2πϕ<，则()f x =_______________________.【答案】0.3sin 600.36x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭【分析】根据速度、车轮直径，计算出周期，利用三角函数的图像和性质进行求解. 【详解】由题意，汽车的速度64.8km/h=18m/s v =，轮胎的半径0.3m r =，所以周长20.6l r ππ==所以10.61830l T v ππ==⋅=，又2T w π=，所以230w ππ=，60w =.因为P 到该轮轴中心的距离为0.3m ，所以0.3A =，0.3b =，即()()0.3sin 600.3f x x ϕ=++，∵刚开始启动时，P 离地面的距离为0.45m ，∴0x =时，()00.45f =，即0.3sin 0.30.45ϕ+=，得sin 0.5ϕ=， ∵2πϕ<，∴6π=ϕ，即()0.3sin 600.36f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故答案为：()0.3sin 600.36f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.四、解答题17．求下列函数的定义域：（1）2sin 3y x =-（2）lg(12)12cos y x x =+.【答案】（1）22/,2cot ()33x k πππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）3572,22,2()4444x k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z . 【分析】（1）由题可得2sin 30x ，即3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案；（2）由题可得12cos 012cos 0x x ⎧->⎪⎨+⎪⎩即22cos 22x -<，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案.【详解】（1）∵2sin 30x -≥，∴3sin 2x，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得22,2()33x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .①（2）∵12cos 012cos 0x x ⎧->⎪⎨+⎪⎩∴22cos 22x -<，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可得3572,22,2()4444x k k k k k ππππππππ⎛⎤⎡⎫∈++⋃++∈ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭Z .②【点睛】本题考查借助三角函数线解三角不等式问题，属于基础题.18．已知函数()()πsin 204f x a x a b a ⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)若函数()f x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，求常数a ，b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间. 【答案】(1)2a =，2b =-(2)单调递增区间：π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间：ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据x 的范围先求24x π+的范围，从而得πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，结合已知列方程组可解；(2)利用正弦函数的单调区间直接求解可得.【详解】(1)因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以πsin 214x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，因为0a >，由题可得22(12a b a b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩2a =，2b =- (2)由(1)知()π2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2442x πππ≤+≤得08x π≤≤，由52244x πππ≤+≤得82x ππ≤≤，则函数()f x 的单调增区间为π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19．已知函数f （x ）＝（3ωx 3π+），其中ω＞0．（1）若f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若f （x ）在（0，3π]上是增函数，求ω的最大值．【答案】（1）ω13=，θ＝kπ6π+，k ∈Z ．（2）最大值为16．【解析】（1）先求得()f x θ+的表达式，根据()f x θ+的最小正周期和奇偶性，求得,ωϕ的值，（2）先有0,3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求得3,333x πππωωπ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，由32ππωπ+≤求得ω的最大值.【详解】（1）由f （x ）＝（3ωx 3π+），其中ω＞0， ∴f （x +θ）＝（3ωx +3ωθ3π+）， ∵f （x +θ）是最小周期为2π的偶函数， ∴23πω=2π，∴ω13=，∵3ωθ33ππθ+=+=kπ2π+，k ∈Z ，即 θ＝kπ6π+，k ∈Z ．综上可得，ω13=，θ＝kπ6π+，k ∈Z ．（2）（x ）＝（3ωx 3π+）在（0，3π]上是增函数，在（0，3π]上，3ωx 3π+∈（3π，ωπ3π+]，∴ωπ32ππ+≤，∴ω16≤，即ω的最大值为16．【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期性和奇偶性求参数值，考查根据三角函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.20．设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -≤.【答案】(1)单调递增区间：3πππ,π8282k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无递减区间(2)ππππ,42242k kx x k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式. 【详解】(1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2π，即2ππω=，因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)，因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋4π，k ∈Z .因为0<φ<2π，所以φ＝4π，故f (x )＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令－2π＋k π<2x ＋4π<2π＋k π，k ∈Z ，得3244k x k k Z ππππ-+<<+∈，，即38282k k x k Z ππππ-+<<+∈，所以函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间． (2)由（1）知，f (x )＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由－1≤tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭得2443k x k k πππππ-+≤+≤+∈，Z ，即42242k k x k ππππ-+≤≤+∈，Z 所以不等式－1≤f (x42242k k xx k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，. 21．已知函数()253sin cos 82f x x a x a =++-.(1)当0a =时，求()f x 的最小值；(2)是否存在实数a ，使得函数()f x 在闭区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1？若存在，求出对应a 的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)32-(2)存在，32a =【分析】（1）首先求出函数解析式，再根据二次函数的性质计算可得；（2）利用同角三角函数的基本关系对函数解析式化简整理，进而利用x 的范围确定cos x 的范围，根据二次函数的性质对a 的范围进行分类讨论，求得函数的最大值．【详解】(1)解：当0a =时()23sin 2f x x =-，因为[]sin 1,1x ∈-，所以当sin 0x =，即,x k k Z π=∈时()min 32f x =-；(2)解：因为()253sin cos 82f x x a x a =++-，所以()2253511cos cos cos cos 8282f x x a x a x a x a =-++-=-++-所以()2251cos 2482f a a a x x ⎛⎫=--++- ⎪⎝⎭ 当02x π时，0cos 1x ，若12a >，即2a >，则当cos 1x =时53182max y a a =+-=，20213a ∴=<（舍去）若012a 即02a ，则当cos 2a x =时，2511482max a y a =+-=， 32a ∴=或4a =-（舍去）．若02a <，即0a <时，则当cos 0x =时，51182max y a =-=，1205a ∴=>（舍去）．综上所述，存在32a =符合题设． 22．已知函数()2sin(2)16f x x πω=++．(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=，求()f x 的对称中心； (2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，π3x =是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[,]m n （,m n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；(3)已知函数π()cos(2)23(0)6h x a x a a =--+>，在第（2）问条件下，若对任意1π[0,]4x ∈，存在2π[0,]4x ∈，使得12()()h x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,或()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,; (2)13π9; (3)80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）由()()()12f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=可求得函数()f x 的最小正周期，进而确定参数ω的值，再由整体代换即可求得对称中心；（2）由三角函数的平移变换求得()g x 的解析式，再由零点的定义确定参数ω的值，结合图象可得n m -的最小值；（3）将所给条件转化为()h x 和()g x 的值域的包含关系，即可求得参数a 的取值范围．【详解】(1)∵()2sin(2)16f x x πω=++的最小正周期为2π2T ω=，又∵()()()12f x f x f x ≤≤，12min π2x x -=，∴()f x 的最小正周期是π，故2ππ2T ω==，解得1ω=±，当1ω=时，()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()()πππ2πZ Z 6122k x k k x k +=∈⇒=-+∈，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，；当1ω=-时，()π2sin 216f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由()()πππ2πZ Z 6122k x k k x k -+=∈⇒=-∈，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，；综上所述，()f x 的对称中心为()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,或()ππ1Z 122k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,. (2)∵函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象， ∴ππ2sin 216)3(x g x ωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.又∵π3x =是()g x 的一个零点，π2ππ(π2sin 1=03363)g ωω⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=，即ππ1sin =362ω⎛⎫+- ⎪⎝⎭， ∴ππ7π2π366k ω+=+或ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈，，解得()36Z k k ω=+∈或()56Z k k ω=+∈，由05ω<<可得3ω=∴5π2)6(sin 61g x x ⎛⎫-⎝=+ ⎪⎭，最小正周期π3T =.令()0g x =，则5π1sin 662x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即15ππ62π66x k -=-+或25π5π62πZ 66x k k -=-+∈，，解得1ππ39k x =+或2π3k x =，12,Z k k ∈；若函数()g x 在[,]m n （,m n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，故46T n m T <-<要使n m -最小，须m 、n 恰好为()g x 的零点，故()min ππ13π4+=399n m -=⨯. (3)由（2）知5π2)6(sin 61g x x ⎛⎫-⎝=+ ⎪⎭，对任意1π[0,]4x ∈，存在2π[0,]4x ∈，使得12()()h x g x =成立，则{|()}{|()}y y h x y y g x =⊆=，当2π[0,]4x ∈时，[]()[]25π5π2π5π6,,sin 61,1,1,36636x x g x ⎡⎤⎛⎫-∈--∈-∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当1π[0,]4x ∈时，()1ππππ132,,cos 2,1,3,3663622x x h x a a ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤-∈--∈∈-+-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦，由{|()}{|()}y y h x y y g x =⊆=可得0331233a a a >⎧⎪⎪-+≥-⎨⎪-+≤⎪⎩，解得80,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故实数a 的取值范围为80,3⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。

2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)

（1）求的解析式；
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1）；（2）．
19.已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于的不等式．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为，函数既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数的部分图象如图所示.将图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】

湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题

湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知函数31()f x ax x=+，那么(2)f 等于（二、多选题利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题是（）A ．函数()D x 是奇函数B ．()()(),,x y D xy D x D y ∃∈=+RC ．函数()()D D x 是偶函数D ．()(),,x a D a x D a x∀∈∀∈+=-R Q 三、填空题14．函数+=+x y x 15．若函数()f x 为.16．设[]x 表示不超过四、解答题17．分别求满足下列条件的(1)已知()1f x +=(2)已知函数(f x (3)已知11f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭五、应用题20．当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电柱的历年总利润y （单位：万元）与营运年数x （x 是正整数）成二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元．(1)求出y 关于x 的函数关系式；(2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润/营运年数）．六、证明题七、解答题22．给定函数()()2222,,f x x x a a g x x x a a a R =+++=-+-∈．且,x R ∀∈用()M x 表示()f x ，()g x 的较大者，记为()()(){}=max ,M x f x g x ．（1）若1a =，试写出()M x 的解析式，并求()M x 的最小值；M x的最小值为3，试求实数a的值．（2）若函数()。

江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一上学期月考数学试题(一)

教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级，无论是否把我计算在内，
以上条件都成立"由队长的叙述可以推测出他的职称是
.
四、解答题
17．已知集合 A x 2 x 8 ， B x 1 x 6 ， C x x a ，全集U R ． (1)求 A B ； ðU A B ；
(2)如果 A C ，求 a 的取值范围．
所含的纯农药药液不超过桶的容积的 20% ，则桶的容积可能为（）
A．7
B．9
C．11
D．13
11．下列命题正确的是（） A．若 0 a b 3， 2 a b 1，则 1 2a b 4
B．命题“ a 1 ， a2 1 0 ”的否定是“ a0 1， a02 1 0 ”
C．若 ac2 bc2 ，则 a b
b
1
.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看
看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式 ab a b (a 0, b 0) ，当且仅当 a b 时等号成立，它是解 2
决最值问题的有力工具.
例如：在 x 0 的条件下，当 x 为何值时， x 1 有最小值，最小值是多少？ x
m，对于任意
x，y，使得
m
x
2y
恒成立，则 m 的最大值为
.
16．长沙市为了支援边远山区的教育事业.组织了一支由 13 名教师组成的队伍下乡支教，
记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“有中学高级教师，中学教师不
试卷第 2页，共 4页
多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，支

2023-2024学年安徽省合肥市高一下学期第一次月考质量检测数学试题(含解析)

2023-2024学年安徽省合肥市高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．下列五个结论：①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量a b ≠ ，则a 与b的方向必不相同；③a b > ，则a b > ；④向量a 是单位向量，向量b 也是单位向量，则向量a 与向量b共线；⑤方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A ．①⑤B ．④C ．⑤D ．②④【正确答案】C【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；a b ≠ ，但a 与b的方向可以相同，故②错；向量的长度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50︒的向量与方向为东偏南40︒的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||a b += ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||AC a b =+则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．3．已知a ，b 均为单位向量，(2)(2)2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【正确答案】A【分析】根据(2)(2)2a b a b +⋅-=-，求得a b ⋅=r r ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为22(2)(2)232232a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以2a b ⋅=r r ．设a与b 的夹角为θ，则cos .2||||a b a b θ⋅==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A.4．如果用,i j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，则AB可以表示为（）A ．23i j+ B ．42i j + C ．2i j - D ．2i j-+ 【正确答案】C【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2A B ，所以()2,1AB =-，所以2AB i j =- .故选：C.5．设平面向量()1,2a =r ，()2,b y =- ，若a b∥，则3a b + 等于（）A B C D【正确答案】A【分析】由两向量平行得出b坐标中的y ，即可求出3a b + 的值.【详解】由题意，∵()1,2a =r ，()2,b y =- ，a b∥，∴()1220y ⨯⨯--=，解得4y =-，∴()2,4b =--∴()()()33,62,41,2a b +=+--=== 故选：A.6．已知向量(2,3)u x =+ ，(,1)v x = ，当()f x u v =⋅取得最小值时，x 的值为（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【正确答案】B【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2f x x =++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2f x u v x x x x x =⋅=++=++=++，故当=1x -时，f (x )取得最小值2．故选：B.7．在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且30OCB ∠=︒，2AB = ，则AC等于（）A ．1B CD ．2【正确答案】A【分析】根据OC OB =，可得30ABC OCB ∠=∠=︒，进一步得出答案.【详解】如图，连接AC ，由OC OB =，得30ABC OCB ∠=∠=︒.因为C 为半圆上的点，所以90ACB ∠=︒，所以112AC AB ==．故选：A.8．如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【正确答案】C【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+ ，再将其用AM，AN 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值.【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、多选题9．在平面直角坐标系中，若点A (2，3)，B (-3，4)，如图所示，x 轴、y 轴同方向上的两个单位向量分别为i 和j，则下列说法正确的是（）A ．23OA i j=+ B ．34O i j B =+ C ．5AB i j =-+ D ．5BA i j=+ 【正确答案】AC【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OA i j =+ ，34OB i j =-+，故A 正确，B 不正确；5AB OB OA i j =-=-+ ，5A A i j B B =-=-，故C 正确，D 不正确．故选：AC10．在ABC 中，若3330b c B ===︒，，，则a 的值可以为（）A 3B ．23C ．33D ．43【正确答案】AB【分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cos b a c ac B =+-，得2339232a a =+-⨯⨯，即23360a a -+=，解得：3a =23a =故选：AB11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点2C ．当船行驶至B 处时，该船距观测点2D ．该船在由A 行驶至B 的这5min 6km【正确答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=sin sin CD ADCCAD∠∠=，故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确.故选：ABD ．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a c ≠，tan B =ABC 的面积为则2b a c-可能取到的值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】AC由tan B =sin 3B =，再利用ABC 的面积为6ac =，再利用余弦定理可得22()8b a c =-+，然后代入2||b ac -中利用基本不等式可求得其最小值.【详解】解：tan B = 1cos 3B ∴=，sin 3B =，又1sin 2==S ac B 6ac ∴=，由余弦定理可得2222222cos 4()8=+-=+-=-+b a c ac B a c a c ，22()88||||||||-+∴==-+≥---b a c a c a c a c a c ，当且仅8||||-=-a c a c 等号成立，故2b a c-的最小值为AC 选项．故选：AC.关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac =，再利用余弦定理得出22()8b a c =-+，结合基本不等式求解.三、填空题13．已知点()1,5A --和向量()2,3a =r，若3AB a =，则点B 的坐标为________．【正确答案】()5,4【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OA AB OB =+求向量OB 的坐标，由此可得点B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为()1,5OA =--，()36,9AB a == ，故()5,4O A B OA B =+=，故点B 的坐标为()5,4．故答案为.()5,414．若向量()()(),3,1,4,2,1a k b c === ，已知23a b - 与c的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．【正确答案】99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据23a b - 与c 的夹角为钝角，由()230a b c -⋅< ，且23a b - 与c 的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4a k b == ，得()2323,6a b k -=--．又23a b - 与c的夹角为钝角，∴()22360k --<，得3k <，若()23//a b c - ，则2312k -=-，即92k =-．当92k =-时，23a b - 与c 共线且反向，不合题意．综上，k 的取值范围为99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故99,,322⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．15．如图，设P 为ABC 内一点，且202PA PB PC ++=，则:ABP ABC S S =△△________．【正确答案】15##0.2【分析】设AB 的中点是D ，连接PD ，根据平面向量线性运算法则，得到14P C D P =-，即可得到面积比.【详解】设AB 的中点是D ，连接PD ，由202PA PB PC ++= ，可得12PA PB PC +=-，因为122PA PB PD PC +==- ，所以14P C D P =- ，所以P 为CD 的五等分点（靠近D 点），即15P D D C =，所以ABP 的面积为ABC 的面积的15．故答案为.1516．在ABC 中，3a =60A = ，求32b c +的最大值_________.【正确答案】219由正弦定理得2sin b B =，2sin c C =.代入，进行三角恒等变换可得326sin 4sin b c B C +=+219)B ϕ=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sin sin sin 32ab cA B C ===，得2sin b B =，2sin c C =.326sin 4sin b c B C+=+()316sin 4sin 1206sin 4sin 22B B B B B ⎫=+︒-=++⎪⎪⎝⎭6sin 32sin B B B=++8sin)B B Bϕ=+=+)Bϕ=+，其中tan4ϕ=，所以max(32)b c+=故答案为.本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化求关于边的最值，属于较难题.四、解答题17．已知向量12a e e=-，1243b e e=+，其中()()121,0,0,1e e==．(1)试计算a b⋅及a b+的值；(2)求向量a 与b 夹角的余弦值．【正确答案】(1)1a b⋅=，a b+(2)10【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【详解】（1）解：()()()1,00,11,1a=-=-，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311a b⋅=⨯+⨯-=，a b+（2）设a b，的夹角为θ，由cosa b a bθ⋅=⋅⋅，cos a ba bθ⋅=⋅．18．有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60︒角的方向向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为,u v，河水的流速为w，求,,u v w之间的关系式；(2)求这条河河水的流速．【正确答案】(1)u w v=+(2)河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30︒，则,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）结合图象，求出BC uu u r即可.【详解】（1）如图，u 是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60︒角的静水中的船速，则v 与u的夹角为30︒，由题意知，,,u v w三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O O O v u A BC w B C ==== ，由向量加法的三角形法则知，OC OA OB =+，即u w v =+ ；（2）因为10km /h OB v == ，而1sin 30105km /h 2BC OB =︒=⨯= ，所以这条河河水的流速为5km /h ，方向顺着河岸向下．19．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【正确答案】ac ＝【分析】由b sin Acos B 边化角求得B ，由sin C ＝2sin A 得c ＝2a ，再结合余弦定理即可求解.【详解】因为b sin Acos B ．所以由正弦定理，得sin sin cos .B A A B =sin 0,sin cos A B B ≠∴ ，即tan B =π0π,=3B B <<∴ ∵sinC ＝2sin A ，∴由正弦定理，得c ＝2a ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cosπ3，解得a c ＝2a ＝20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 4210CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【正确答案】（1）45；（2）7.【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=得出72sin 10ADB ∠=sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC =∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos 10ADB ∠=，所以2sin 10ADB ∠=.又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin 2522sin 7102AC C AD ADC ⨯⋅∠==∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=.1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．设两个向量,a b 满足()132,0,22a b ⎛== ⎝⎭，(1)求a b + 方向的单位向量；(2)若向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)57211414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)17,222⎛⎫⎛⎫-⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据()12,0,,22a b ⎛== ⎝⎭，求得a b + 的坐标和模后求解；（2）根据向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，由()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线求解.【详解】（1）由已知()152,0,,2222a b ⎛⎛+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b +=所以14a b +=⎪⎭，即a b +方向的单位向量为1414⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅= ，2,1a b == ，所以()()()22222722772157ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量27ta b + 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()270ta b a tb ++< ，且向量27ta b + 不与向量a tb + 反向共线，设()()270ta b k a tb k +=+< ，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得2t =-，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得17,,222t ⎛⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）4；（2）存在，且2a =.【分析】（1）由正弦定理可得出23c a =，结合已知条件求出a 的值，进一步可求得b 、c 的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sin B ，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C 为钝角，由cos 0C <结合三角形三边关系可求得整数a 的值.【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则sin 8C ==，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯△（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.。

2023-2024学年湖北省武汉市第二中学高一上学期10月月考数学试题+答案解析(附后)

2023-2024学年湖北省武汉市第二中学高一上学期10月月考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合\(A=\left\{ x\in Z\left|-4\leqslant x\leqslant 3\right.\right\}\)，\(B=\left\{ x\inN\left|x+1< 3\ right.\right\}\)，则\(A\cap B=(\quad)\)A. B. C. D.2.设，若，求实数a组成的集合的子集个数有( )A. 2B. 3C. 4D. 83.下列结论中正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A. 0B. 1C. 2D. 34.“”是“，是假命题”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知，则函数的定义域是( )A. B. C. D.6.已知，，且，那么的最小值为( )A. B. 2 C. D. 47.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )A. B. 或C. D. 或8.已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列函数在区间上单调递增的是( )A. B.C. D.10.已知函数在区间上的最小值为9，则a可能的取值为( )A. 2B. 1C.D.11.若，，且，则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D.12.公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型如图所示，以线段AB 为直径作半圆ADB，，垂足为C，以AB的中点O为圆心，OC为半径再作半圆，过O作，交半圆于E，连接ED，设，，则下列不等式一定正确的是 ( )A. B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年高一上第一次月考数学试卷附答案解析(9月份)

2024-2025学年高一上第一次月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x∈N|1＜x＜6}，B＝{x|4﹣x＞0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{2，3}C．{2}D．{3}2．（5分）下列说法正确的是（）A．∅∈{0}B．0⊆N C．D．{﹣1}⊆Z3．（5分）命题“∀x∈（0，1），x3＜x2”的否定是（）A．∀x∈（0，1），x3＞x2B．∀x∉（0，1），x3≥x2C．∃x0∈（0，1），D．∃x0∉（0，1），4．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若集合A＝{x|2mx﹣3＞0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）满足集合{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是（）A．6B．7C．8D．157．（5分）设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a＜1}B．{a|a≤1}C．{a|a＞2}D．{a|a≥2}8．（5分）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B 的所有元素之和为（）A．6B．3C．2D．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。

（多选）9．（6分）已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3（多选）10．（6分）集合A＝{x|ax2﹣x+a＝0}只有一个元素，则实数a的取值可以是（）A．0B．C．1D．（多选）11．（6分）设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S（a与b可以相等，也可以不相等），都有a+b∈S且a﹣b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（）A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集B．集合{x|x＝3k，k∈Z}是“和谐集”C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

安徽省蚌埠第二中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

蚌埠二中2018-2019学年度第二学期3月月考高一数学试题第Ⅰ卷 (选择题共60分)一.选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.）1.已知等差数列的前三项依次为,,，则此数列的通项公式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知条件确定出公差d,再由通项公式即可得到答案.【详解】等差数列中，，可得，由通项公式可得，故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.2.若为第一象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【详解】解：因为α为第二象限角，，所以．所以．故选：A．【点睛】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．3.《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( )A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺【答案】B【解析】设各节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则===85.5，所以=9.5，由题知==31.5，所以=10.5，所以公差=−1，所以==2.5，故选B．4.已知等差数列中，若，则它的前7项和为（）A. 105B. 110C. 115D. 120【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前7项和公式和性质计算即可得到答案.【详解】等差数列中，，,故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由确定cosα和sinα异号，从而可判断出选项.【详解】由即可确定cosα和sinα异号，则定有sin2α=2sinαcosα<0成立，故选：D.【点睛】本题考查三角函数值的符号，考查二倍角的正弦公式，是基础题．6.如果-1,a,b,c,-9依次成等比数列，那么()A. b＝3，ac＝9B. b＝3，ac＝-9C. b＝-3，ac＝-9D. b＝-3，ac＝9【解析】分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号.详解：由题意，又，∴，∴，故选D.点睛：本题考查等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.7.设的三个内角，向量，，若，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为向量，，若，解得为选C8.已知，则等于（）A. 8B. -8C.D.【答案】A【解析】由，可得，∴，，∴，故选．9.设等比数列的前n项和记为S n，若，则（）A. 3：4B. 2：3C. 1：2D. 1：3【解析】【分析】由为等比数列，再根据比例关系，即可求得结果.【详解】设，则，由为等比数列，则，将、代入可得：，所以.故选A.【点睛】本题考查等比数列的常见结论，已知数列为等比数列，则也为等比数列，若已知数列为等差数列也为等差数列.10.为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为S n，则点(n,S n)所在的抛物线可能为()A. B.C. D.【答案】D【解析】当n≥1时{a n}单调递增且各项之和大于零，当n＝0时S n等于零，结合选项只能是D.11.已知S n是等比数列的前n项和，若存在，满足，，则数列的公比为（）A. 2B. 3C.D.【答案】B【解析】【分析】运用等比数列的通项公式及前n项和公式，把问题中的两个相等关系转化为关于公比q与m的关系式，构成方程组求解即可。

湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题(B卷)(含解析)

株洲市二中2024年下学期高一年级开学考试试卷数学试题（B 卷）时量：120分钟分值：150分第I 卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A.或B.C.D.2.下列运算正确的是（）A.B.C. D.3.桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其三视图如图所示.则组成此几何体需要正方体的个数是（）A.7B.8C.9D.104.下列方程中两根之和为6的是（）A.B.C. D.5.设集合，若，则（）A.-3或-1或2B.-3或-1C.-3或2D.-1或26.函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A.B.{3xx ≤-∣3}x ≥{}33x x -≤≤∣{}3x x ≤-∣{}3x x ≥∣623a a a ÷=426a a a ⨯=()325a a =336a a a +=26150x x -+=21260x x -+=22630x x --=2318170x x -+={}22,1,2A a a a =--+4A ∈a =22y kx =-()0k y k x=≠C. D.7.关于的不等式组恰好有5个整数解，则的取值范围是（）A.B.C. D.8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，（为正整数）.若，当为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线.A.或B.或C.或D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A.B.C. D.10.如图，下列是国家统计局公布的数据，下列关于这组数据的说法正确的是（）A.众数是2.1B.中位数是1.6x 0723x m x +<⎧⎨-⎩...m 76m -<-...76m --......76m -<- (76)m -<<-1:3l y x b =+10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()1122331,,2,,3,B y B y B y (),n n B n y ⋯n x ()()1122,0,,0A x A x ()()3311,0,,0n n A x A x ++⋯n 1(01)x d d =<<d 51271251211127121112712,,x y z xyz x y z x y z xyz+++0M ∉2M ∈4M -∈4M ∈C.平均数是2.08D.方差大于111.已知二次函数的图像与轴有两个交点，则下面说法正确的是（）A.该二次函数的图像一定过定点；B.若该函数图像开口向下，则的取值范围为：；C.当，且时，的最大值为；D.当，且该函数图像与x 轴两交点的横坐标满足时，m 的取值范围为：第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则式子的值为__________.13.如图，一段抛物线记为，它与轴交于点；将绕点旋转得到，交轴于点；将绕点旋转得到，交轴于点如此进行下去，直至得到.若在第13段抛物线上，则__________.14.给定实数集合，定义运算.设，则中的所有元素之和为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.16.（本小题15分）甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A 和B ；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C ，D 和E ；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H 和I .从三个口袋中各随机取出1个小()2223y m x mx m =-++-x ()()12,0,,0x x ()1,5--m 625m <<2m >12x ……y 45m -2m >12,x x 1232,10x x -<<--<<21114m <<2,3a b ab +==-32232a b a b ab ++()()303y x x x =--≤≤1C x 1O A ､1C 1A 180 2C x 2A 2C 2A 180 3C x 3A 13C ()37,P m 13C m =,A B {},,A B xx ab a b a A b B ⊗==++∈∈∣{}{}0,2,4,,18,98,99,100A B == A B ⊗x 2640x x m -++=12,x x m 12,x x 1232x x =+m球.（1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，A ，E ，I 是元音字母；B ，C ，D ，H 是辅音字母）17.（本小题15分）对､定义一种新运算“”，规定：（其中､b 均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：.（1）已知.①求的值；②若关于x 的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t 的取值范围.（2）若运算“”满足加法的交换律，即对于我们所学过的任意数，m ，结论“”都成立，试探索a ､b 所应满足的关系式.18.（本小题17分）定义：若任意可以相等，都有，则集合称为集合A 的生成集；（1）求集合的生成集B ；（2）若集合的生成集为的子集个数为4个，求实数的值；（3）若集合，A 的生成集为B ，求证.19.（本小题17分）已知抛物线（为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1.（1）求的值；（2）点在抛物线上，点在抛物线上.（i ）若，且，求的值；（ii ）若，求的最大值.m n ◊5m n am bn ◊=-+a 56565a b ◊=-+()231,3110◊=◊-=a b ､()()23936x x x t ⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩◊m m n n m ◊=◊,(,m n A m n ∈10mn +≠,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭{}3,4A ={},2,A a A =,B B a 11A -≤≤A B =2y x bx =-+b 22y x x =-+b ()11,A x y 22y x x =-+()11,B x t y h ++2y x bx =-+3h t =10,0x t >…h 11x t =-h答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合即满足的的集合.本题考查了集合的表示方法，属于基础题.3x x【解答】解：在数轴上与原点距离不大于3的点的坐标的集合是满足的的集合，解绝对值不等式可得：，故选B.2.【答案】B【解析】略3.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图判断几何体，从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.【解答】解：根据俯视图可知该组合体共2行､4列，结合主视图和左视图知该几何体中小正方体的分布情况如图所示：则组成此几何体需要正方体的个数是8，故选B.4.【答案】D【解析】略5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，属于中档题.分别由，求出的值，再将值代入验证即可.【解答】解：若，则，满足；若，则或，时，；时，，不符合互异性，则或2.故选C.6.【答案】C【解析】解：分两种情况讨论：3x ≤x {}33xx -≤≤∣214,24a a a -=-+=a a 14a -={}23,214,2,4,14a a a A =-∴-+=∴=224a a -+=2a =1a =-2a ={}11,2,1,4a A -=-∴=-1a =-12a -=3a =-①当时，反比例函数，在一､三象限，而二次函数开口向上，与y 轴交点为，都不符；②当时，反比例函数，在二､四象限，而二次函数开口向下，与y 轴交点为，C 符合.故选：C.根据，结合两个函数的图象及其性质分类讨论.本题主要考查二次函数､反比例函数的图象特点.7.【答案】A【解析】略8.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键.由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1，据此解答即可.【解答】解：直线经过点，则；直线.由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；该等腰三角形的高等于斜边的一半.，该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；当时，，当时，，当时，，美丽抛物线的顶点只有.①若为顶点，由，则；0k >k y x =22y kx =-()0,2-0k <k y x=22y kx =-()0,1-0,0k k ><01d <<11:3y x b =+10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭14b =∴11:34l y x =+x ∴01d << ∴ 1x =1117113412y =⨯+=<2x =21111213412y =⨯+=<3x =311531344y =⨯+=>∴12B B ､1B 171,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭7511212d =-=②若为顶点，由，则，综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线.故选：B.9.【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合中元素的性质､集合与元素的关系，注意题意中的位置有对称性，即代数式的值只与中有几个为负数有关，与具体中谁为负无关.根据题意，分析可得代数式的值与的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论，分别求出代数式在各种情况下的值，即可得，分析选项可得答案.【解答】解：根据题意，分4种情况讨论；①全部为负数时，则xyz 也为负数，则，②中有一个为负数时，则xyz 为负数，则，③中有两个为负数时，则xyz 为正数，则，④全部为正数时，则xyz 也正数，则；则，分析选项可得CD 符合.故选CD.10.【答案】AC 【解析】解：A ､因为2.1出现了2次，出现的次数最多，所以众数数是2.1，故本选项正确，符合题意；B ､把这些数从小到大排列为：，中位数是2.1，故本选项错误，不符合题意；C ､平均数是：，故本选项正确，符合题意；D ､方差是：，故本选项错误，不符合题意；故选：AC.2B 2112,12B ⎛⎫ ⎪⎝⎭11111211212d ⎡⎤⎛⎫=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦d 5121112x y z ､､x y z ､､x y z ､､xyz x y z x y z xyz+++x y z ､､M x y z ､､4xyz x y z x y z xyz+++=-x y z ､､0xyz x y z x y z xyz+++=x y z ､､0xyz x y z x y z xyz +++=x y z ､､4xyz x y z x y z xyz+++={}4,4,0M =- 1.6,1.8,2.1,2.1,2.8()1 2.8 2.1 2.1 1.8 1.6 2.085⨯++++=22221(2.8 2.08)2(2.1 2.08)(1.6 2.08)(1.8 2.08)0.165615⎡⎤⨯-+⨯-+-+-=<⎣⎦根据平均数，众数，中位数以及方差的计算公式，分别对每一项进行分析，即可得出答案.本题考查了平均数，众数，中位数，方差的意义.平均数平均数表示一组数据的平均程度.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量.11.【答案】ABD【解析】略12.【答案】-12【解析】略13.【答案】2【解析】由题知图像与轴的交点坐标分别为，易知图像与轴的交点坐标分别为，，且图像在x 轴上方，的表达式为，当时，.14.【答案】29970【解析】【分析】本题考查了集合的新定义问题【解答】解：由，可知所有元素之和为.15.【答案】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，，解得：，的取值范围为.（2）：关于的一元二次方程有两个实数根，①，②.，当时，有③，联立①③解得：，当时，有④，联立①④解得：（不合题意，舍去）.符合条件的的值为4.【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系.1C x ()()0,0,3,01,5C x ()36,0()39,013C ∴()()133639y x x =---37x =()()373637392y =--⨯-=()()111x a b =++-()131930*********+++⨯-⨯= x 2640x x m -++=12,x x ()2(6)442040m m ∴∆=--+=-≥5m ≤m ∴5m ≤x 2640x x m -++=12,x x 126x x ∴+=124x x m =+1232x x =+ 20x ≥1232x x =+122,4x x ==84,4;m m ∴=+=20x <1232x x =-+122,8x x =-=∴m（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可得①､②，分和可找出③或④，联立①③或①④求出的值，进而可求出的值.16.【答案】【小题1】个元音个元音个元音【小题2】【解析】1.略2.略17.【答案】解：（1）①，，解得：；②，，，即，解得：关于x 的不等式组，有且只有一个整数解，，解得：，即字母t 的取值范围是；（2），，，，2040m ∆=-≥126x x +=124x x m =+20x ≥20x <1232x x =+1232x x =-+12x x ､m (1P 5)(212P =1)(33P =1)12=16()231,3110◊=◊-= 23513510a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩1,2a b ==()()239,1,236x x a b x t⎧◊-<⎪==⎨◊-≤⎪⎩ ()2353119xa x b x ∴--+=-+<()365317xa b x t --+=+≤3119317x x t-+<⎧⎨+≤⎩23173x t x ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩()()23936x x x t ⎧◊-<⎪⎨◊-≤⎪⎩17123t -∴≤<2023t ≤<2023t ≤<m n n m ◊=◊ 55ma nb na mb ∴-+=-+0ma nb na mb ∴--+=()()0m a b n a b ∴+-+=，为任意数，不一定等于0，，即所应满足的关系式是.【解析】略本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组､一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键.（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t 的不等式组，求出解集即可；（2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案.18.【答案】解：（1）由题可知①当时，，②当时，，③当或时，，所以；（2）①当时，，②当时，，③当或时，，的子集个数为4个，则中有2个元素，所以或或，解得或或舍去.（3）证明：，，，，即，()()0a b m n ∴+-=m n ､m n ∴-0a b ∴+=a b ､0a b +=3m n ==3331335x +==+⨯4m n ==44814417x +==+⨯3,4m n ==4,3m n ==34713413x +==+⨯387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭2m n ==2241225x +==+⨯m n a ==22211a a a x a a +==++2,m n a ==,2m a n ==212a x a+=+B B 24251a a =+222112a a a a +=++24125a a +=+1a =1a =-1(22a a ==[],1,1m n A ∀∈-=()()111011m n m n mn mn++++=++…()()111011m n m n mn mn---+-=++…111m n mn+∴-+……[]1,1B =-，又，所以A ，综上可得.【解析】本题考查集合的新定义问题，集合中子集的个数，作差法比较大小，属于较难题.（1）根据新定义算出的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；（3）求出B 的范围即可证明出结论.19.【答案】解：（1）：抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，，；（2）点在抛物线上，，在抛物线上，，，，（i ），，（ii ）将代入，，B A ∴⊆[]1,1A =-B ⊆A B =x B a 2y x bx =-+2,22b y x x =-+112b ∴-=4b ∴= ()11,A x y 22y x x =-+21112y x x ∴=-+()11,B x t y h ++ 24y x x =-+()()21114y h x t x t ∴+=-+++()()22111124x x h x t x t -++=-+++211224h t x t x t ∴=--++3h t = 2113224t t x t x t ∴=--++()1122t t x t x +=+10,0x t ≥>120t x +>1t =3h =11x t =-211224h t x t x t =--++2:382h t t =-+-，，：当，即时，取最大值.【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，掌握二次函数性质是解题的关键.（1）求出抛物线的顶点横坐标为的顶点横坐标为1，根据题意列方程，即可求出b 的值；（2）先求出，（i ）列方程即可求出h 的值；（ii ）求出关于的方程，配顶点式求出最大值.2410333h t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭30-<43t =113x =h 1032y x bx =-+2,22b y x x =-+211224h t x t x t =--++h h。

2023届安徽省阜阳市第二中学高三下学期第一次月考数学试题(解析版)

2023届安徽省阜阳市第二中学高三下学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}2023log 0A x x =<，{}2560B x x x =-++>，则A B =（）A ．(),6-∞B ．()6,1-C ．()()1,00,1-D ．(),1-∞【答案】C【分析】首先求得集合,A B 的范围，再求交集即可得解. 【详解】对集合:A 2023log 0x <可得20232023log log 1x <，所以01x <<，10x -<<或01x <<，所以{|10A x x =-<<或}01x <<，又{}|16B x x =-<<，所以A B ={|10x x -<<或}01x <<，故选：C2．i 是虚数单位，设复数z 满足()i 113i z -=+，则z 的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】先利用模长公式和复数除法计算z ，再根据共轭复数的定义即可知其对应的点所在象限.【详解】因为13i 2+=，所以23i (23i)(i 1)15i 15i i 1(i 1)(i 1)222z +++-+====---+-，所以15i 22z =+，所以z 的共轭复数对应的点位于第一象限，故选：A3．为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）A ．甲班众数小于乙班众数B ．乙班成绩的75百分位数为79C ．甲班的中位数为74D ．甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79，由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误；对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++⨯= ，故乙班成绩的75百分位数为80，B 错误；由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个，故甲班的中位数为79，C 错误；甲班平均数为57258596768269279687882899874.820x ⨯++++⨯+⨯+⨯++⨯++==甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =⨯+⨯+⨯⨯+⨯=<乙（），即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确，故选：D4．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()23f -=-，则()()()202220232024f f f ++=（）A ．2-B ．0C ．2D ．3【答案】B【分析】由()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且()f x 是奇函数可得3是()f x 的一个周期，根据已知条件利用周期性和奇偶性即可求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()223f f =--=，()00f =，且()3322f x fx f x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()332f x f x f x ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭，即()()3f x f x =-，所以3是()f x 的一个周期，所以()()()()()()202220232024036742367523674f f f f f f ++=+⨯+-+⨯++⨯()()()0220f f f =+-+=，故选：B5．如图1，四边形ABCD 中，2AB AD ==，2CB CD ==，AB AD ⊥，将ABD △沿BD 翻折至PBD △，使二面角P BD C --的正切值等于2，如图2，四面体PBCD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π【答案】B【分析】取BD 中点O ，连接,OC OP ，进而证明POC ∠是二面角P BD C --的平面角，再结合题意得3cos POC ∠=2PC =. 【详解】解：如图，取BD 中点O ，连接,OC OP ，因为，在图1中，2AB AD ==2CB CD ==，AB AD ⊥，所以2BD =，2DP BP ==BCD △为等边三角形，所以,OP BD OC BD ⊥⊥，所以，POC ∠是二面角P BD C --的平面角，因为二面角P BD C --2，即tan 2POC ∠= 所以3cos POC ∠=所以，在POC △中，1,3OP OC ==22232cos 13232PC OP OC OP OC POC =+-⋅⋅∠=+-=，即2PC =所以2DP BP PC ==2CB CD BD ===，所以,,PD PC PB 两两垂直且相等，所以，四面体PBCD 的外接球的半径即为以,,PD PC PB 为棱的正方体的外接球半径，所以四面体PBCD 的外接球的半径r 满足2326r =⨯=，所以，该球的表面积为24π6πr = 故选：B6．双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为1l ，2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l ，2l 于A ，B 两点.已知OA 、AB 、OB 成等差数列，且BF 与FA 反向.则双曲线的离心率为（） A 5B 7 C 5D 7【答案】A【分析】由题意OAB 为直角三角形，解出三边后再由渐近线斜率求离心率【详解】设 ,,OA m d AB m OB m d =-==+，由勾股定理可得：()()222m d m m d -+=+ 得：14d m = ， 14tan ,tan tan 223AB b AOF AOB AOB a OA ⎛⎫∠=∠=∠== ⎪⎝⎭，由倍角公式 22tan 43t 11212an AOB AOB ∠⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝∠⎭，解得11tan 22AOB ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭且1π22AOB AOF ∠+∠=，则tan 2AOF ∠=，即 2ba =，则离心率 215b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选:A7．已知97a =，88b =，79c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b << B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c b a <<【分析】先构造函数()()()16ln 79f x x x x =-≤≤，求导确定函数单调性，即可判断,,a b c 的大小. 【详解】令()()()16ln 79f x x x x =-≤≤，则()116()ln 16ln 1f x x x x x x'=-+-⋅=-+-，显然当79x ≤≤时，()f x '是减函数，又971697ln 7ln e ln 7(7)ln 71777f --'=-+-==， 9797977777e 737369363(92)0-<-<-=⋅-=-<，即97e 7<， 97ln e ln 70∴-<，即(7)0f '<，∴79x ≤≤时，()0f x '<，故()f x 是减函数，()()()987f f f ∴<<，即7ln98ln89ln7<<，789ln 9ln8ln 7∴<<，可得789987<<，即c b a <<.故选：D.8．已知向量,a b 的夹角为60°的单位向量，若对任意的1x ､2x (,)m ∈+∞，且12x x <，122112ln ln x x x x a b x x ->--，则m 的取值范围是（）A ．)2e ,⎡+∞⎣B ．[)e,+∞C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量,a b 的夹角为60的单位向量，则11cos601122a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯= 所以222()21a b a b a a b b -=-=-⋅+= 所以对任意的()12,x x m ∞∈+､，且12211212ln ln ,1x x x x x x x x -<>-，则122112ln ln x x x x x x -<-所以212121ln ln 11x x x x x x -<-，即2121ln 1ln 1x x x x --<，设()ln 1x f x x-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减，又()0,x ∈+∞时，()22ln 0xf x x'-==，解得2e x =，所以()()()20,e ,0,x f x f x '∈>在()20,e x ∈上单调递增；()()()2e ,,0,x f x f x ∞'∈+<在()2e ,x ∈+∞上单调递减，所以2e m ≥，二、多选题9．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是1BC 上一点（不包括端点），则（） A ．直线BP 与1B D 所成的角为90° B ．直线BP 与1CD 所成的角为90° C ．直线1A P 与1B D 所成的角为90° D ．直线1A P 与平面1ACD 所成的角为90°【答案】AC【分析】以D 为原点，以1,,DA DC DD 边分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，结合空间向量与法向量的坐标运算，逐一判断，即可得到结果.【详解】根据题意，以D 为原点，以1,,DA DC DD 边分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()()()()()()()()11111,1,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,0B C D D B C A A 即()11,0,1BC =-，设()1,0,BP BC λλλ==-，其中()0,1λ∈ 所以()1,1,P λλ-对于A ，因为(),0,BP λλ=-，()11,1,1B D =---，且10BP B D λλ⋅=-=，即1BP B D ⊥，故正确；对于B ，因为()10,1,1CD =-，则10BP CD λ⋅=≠，即BP 与1CD 不垂直，故错误；对于C ，因为()1,1,1A P λλ=--，()11,1,1B D =---，则11110A P B D λλ⋅=-+-=，即11A P B D ⊥，故正确；对于D ，因为()1,1,0AC =-，()0,1,1CD =-设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则100n AC x y n CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得x y z ==，令1x =，则1y z == 所以平面1ACD 的一个法向量为()1,1,1n = 且()1,1,1A P λλ=--，因为11111λλ≠≠--，即n 与1A P 不共线，故错误. 故选:AC10．下列命题正确的是（）A ．若{}{}n n a b ､均为等比数列且公比相等，则{}n n a b +也是等比数列B ．{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --也成等比数列C ．{}n a 为等差数列，则{}2n a为等比数列D ．{}n a 的前n 项和为n S ，则“()*0N n a n >∈”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件【答案】CD【分析】根据等比数列的概念及特例可判断AB ，根据等比数列的定义可判断C ，根据充分条件必要条件的概念及数列的增减性可判断D.【详解】对于A ，{}{}n n a b ､均为等比数列且公比相等，当110a b +=时,数列{}n n a b +不是等比数列，故选项A 错误；对于B ，当等比数列{}n a 为3,3,3,3,3,3,3,3,----时，当n 为偶数时，0n S =，则232,,n n n n nS S S S S --不能构成等比数列，故选项B 错误；对于C ，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112222n n n n a a a d a ++-==常数，所以{}n a 为等差数列，则{}2n a为等比数列，故选项C 正确；对于D ，数列{}n a 中，对任意N*n ∈,0n a >，则11,2n n n n S S a S n --=+>≥；所以数列{}n S 是递增数列，充分性成立；当数列{}n S 是递增数列时，1,2n n S S n ->≥，即11n n n S a S --+>，所以2n ≥时，0n a >，如数列1,2,2,2,-；不满足题意，所以必要性不成立，则“()*0N n a n >∈”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件，故选项D 正确，故选：CD .11．设函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则（）A ．()f x 在（0，2π）有且仅有3个极大值点B ．()f x 在（0，2π）有且仅有2个极小值点C ．()f x 在（0，10π）单调递增 D ．ω的取值范围是[73，176）【答案】AD【分析】由[0,2]π求得3x πω+的范围，结合正弦函数性质得ω的范围，判断D ，利用正弦函数的极大值、极小值判断ABC ．【详解】0ω>，02x π≤≤时，2333x πππωωπ≤+≤+，()f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则5263ππωππ≤+<，71736ω≤<，D 正确；此时32x ππω+=，52π，92π时，()f x 取得极大值，A 正确； 11232ππωπ+≥，3112ω≥，即3117126ω≤<时，3711,,3222x ππππω+=时，()f x 均取得极小值，B 错；(0,)10x π∈时，(,)33103x ππωππω+∈+，73ω≥，则17103302ωππππ+≥>，因此()f x 在(0,)10π上不递增，C 错．故选：AD ．12．已知函数()3e xf x x a =-⋅+，则下列选项正确的是（）A ．()y f x =在()2,3上单调递减B ．()y f x =恰有一个极大值和一个极小值C ．当0a ≥或2e a <-时，()0f x =有一个实数解D ．当0a =时，()()0f f x =有一个实数解【答案】AB【分析】按绝对值的定义分类讨论去掉绝对值称号后，求导确定函数的单调性、极值，在确定方程的根的个数时，注意函数值的变化趋势．【详解】3x <时，()(3)e x f x x a =-+，()(2)e x f x x '=-， 2x <时，()0f x '>，23x <<时，()0f x '<，()f x 在(,2)-∞上单调递增，在(2,3)上单调递减，A 正确；3x >时，()(3)e x f x x a =-+，()(2)e x f x x '=-0>，()f x 在(3,)+∞上单调递增，2(2)e f a =+，(3)f a =，2x <时，()3e xf x x a a =-+>，所以0a >时，()0f x =无实数解，C 错误；0a =时，()3e x f x x =-，由以上讨论知()03f t t =⇒=，()3f x =有3个实数解，所以(())0f f x =有3个实数解，D 错误．故选：AB ．【点睛】方法点睛：函数方程根的个数问题，可利用导数确定函数的单调性、极值，从而确定函数的变化趋势，然后结合函数图象，把根的个数转化为函数图象与直线的交点个数．三、填空题 13．在()()5435x y -+的展开式中，33x y 的系数为______．【答案】600-【分析】根据乘积形式分别求出3x 、3y 对应系数，然后相乘即可得33x y 的系数. 【详解】由()43x -中对应3x 系数为143C -⋅，由()55y +中对应3y 系数为355C ⋅，所以33x y 的系数为13453C 5C 600-⋅⨯⋅=-.故答案为：600-14．已知正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则PA PB ⋅的最大值为______. 【答案】1282+【分析】不妨设()()()1,0,1,0,,A B P x y - ，对PA PB 作几何解释即可求解. 【详解】如图：建立直角坐标系，设()()()1,0,1,0,,A B P x y -，则()()221,1,1PA PB x y x y x y =-----=+- ，即是求正八边形边上的点到原点的最大距离，显然当P 点与E 或F 点重合时最大，连接AF ，过H ，G 分别作AF 的垂线，垂足为N ，M ，则MFG 和ANH △ 都是等腰直角三角形，2AF ∴= ，在AFG 中，AGF ∠ 为钝角，AF AG ∴> ，显然E 和F 点到原点的距离最大，()()222max211313112OE PA PB=+=+⋅=+=+；故答案为：12+.15．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点（点A 位于第一象限），l 与C 的准线交于D 点，F 为线段AD 的中点，过抛物线上点M 的直线与抛物线相切，且与直线l 平行，则MAB △的面积是______.【分析】根据中点坐标公式，结合一元二次方程根与系数关系、抛物线的定义、平行线间距离公式进行求解即可.【详解】由题意可知：(1,0)F ，准线方程为=1x -，设2111(,)(0)4y A y y >，D 点的横坐标为1-，因为F 为线段AD的中点，所以21211141122y y y -=⇒=⇒=，即(3,A ，于是有l k =，因为过抛物线上点M 的直线与抛物线相切，且与直线l 平行，所以过M的切线方程为y b =+，代入方程24y x =中，得222234)04)120x x b b b +-+=⇒--=⇒=0y y ⇒-= 直线l的方程为1)y x =-，代入代入方程24y x =中，得 231030x x -+=，设22(,)B x y ，所以有221313x x ⋅=⇒=， 1163(1)(1)33AB =--+--=，由1)0y x y =-⇒-点M 到直线l 的距离为过M 的切线与直线l=因此MAB △的面积是11623故答案为：1639【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程根的判别式是解题的关键. 16．对任意正实数a ，记函数()lg f x x =在[),a +∞上的最小值为a m ，函数()sin 2xg x π=在[]0,a 上的最大值为a M ，若12a a M m -=，则a 的所有可能值______. 【答案】13或10【分析】根据()f x 和()g x 函数图像，对a 分类讨论求解即可. 【详解】()f x 和()g x 的图像如图：当01a << 时，0a m = ，sin2a a M π= ，1sin22a a a M m π∴-== ，13a = ；当1a ≥ 时，1lg lg ,1,1lg ,102a a a a m a a M M m a a ===∴-=-==；故答案为：1310.四、解答题17．已知ABC 中，A ∠，B ∠，C ∠的对边a ，b ，c 成等比数列，()2cos 2cos 1A C B --=，延长BC 至点D ，使5BD =.求：(1)B ∠的大小； (2)AC CD ⋅的取值范围. 【答案】(1)3π (2)250,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）首先根据三角形内角和180，()()1cos cos 2A C A C -++=，化简得1cos cos 4A C ⋅= ，又2b ac =，则2sin sin sinB AC =⋅，利用两角和公式即可得解；（2）根据（1）的结论()21cos 4sin 1C B A -=+=，A C ∠=∠，故ABC 为等边三角形，设ABC 的边长为x ， ()1cos6052AC CD AC CD x x ⋅=︒=-，结合x 的范围即可得解. 【详解】（1）()()()111cos cos cos cos cos cos 224A CB AC A C A C --=⇒-++=⇒⋅=.① 又2b ac =，则2sin sin sin B A C =⋅②故()21sin cos cos sin sin cos cos 4B A C A C A C B -=⋅-⋅=+=- 214cos 4cos 30cos 2B B B ⇒+-=⇒=或3cos 2B =-（舍去）.又02B π<∠<，从而，3B π∠=.（2）由（1）结论，①+②得()21cos 4sin 1C B A -=+= 则A C ∠=∠，故ABC 为等边三角形. 设ABC 的边长为x .则05x <<.故()211525cos 6052224AC CD AC CD x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=︒=-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭250,8⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当且仅当52x =时，上式等号成立.故AC CD ⋅的取值范围是250,8⎛⎤⎥⎝⎦.18．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，对任意*n ∈N ，11n n a +=，等差数列{}n b 及正整数()2m m ≥满足11b =，2m b =，且122311113m mb b b b b b -+++=. (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令1956n n C b b a =+-，求{}n C 前n 项和n S .【答案】(1)12n n a -=，56n n b +=(2)2213,721384,82n n n n S n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩．【分析】（1）数列{}n a 的递推关系变形得数列{}n a是等比数列，从而可得其通项公式，等差数列{}n b 的已知式用裂项相消法求和得公差d ，从而易得其通项公式；（2）求出n C ，根据绝对值的定义分类讨论求和．【详解】（1）由题意知0n a >，因为11n n a +=，所以0=.因为0n a >0==12n na a +=，所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以()12N*n n a n -=∈.设数列{}n b 公差为d ，则1111112*********1111113m m i i i i m m i i i i m b b b b b b b b dbb d b b d b b --+==-++⎛⎫⎛⎫-++==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑， ∴16d =，56n n b +=. （2）因为19567n n C b b a n =+-=-，所以7,7,7,7,n n n C n n -≤⎧=⎨->⎩ 所以当7n ≤时，数列{}n c 的前n 项和21365(7)2n n n S n -=++-=；当7n >时，数列{}n c 的前n 项和27(6)(7)1384[12(7)]2122n n n n n S S n ---+=++++-=+=. 所以2213,721384,82n n n n S n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩．19．袋中有大小形状完全相同的3个白球，2个黄球，1个红球.现从袋中有放回的取球，每次随机取一个，直到红球出现3次，则停止取球，用X 表示取球停止时取球的次数. (1)求()3P X =和()P X k =；(2)设{}{}min max ,4,5Y X =，求数学期望()E Y . 【答案】(1)1216；()()312526k kk k ---⋅⋅，3k ≥ (2)2153432【分析】（1）根据条件，结合概率的计算公式，代入计算即可得到结果；（2）根据条件，分别求得()4P Y =与()5P Y =，然后由期望的计算公式，即可得到结果.【详解】（1）()31136216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当k 次才停止时，必有第k 次取出的是红球，前1k -中有2次取出红球，3k -次取出的是其它颜色球.所以()()()23321125115C 66626k k k kk k P X k -----⋅⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，3k ≥.（2）当4Y =时，有3X =，4，故()()()157434216432432P Y P X P X ===+==+= 当5Y =时，有5X ≥，故()()()()()42555134432P Y P X P X P X ==≥=-=+== 于是可得()()()21534455432E Y P Y P Y ==+==. 20．在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，A ，E ，B ，F 四点共面，且ABE 和ABF △均为等腰直角三角形，90BAE AFB ∠=∠=︒.平面ABCD ⊥平面AEBF ，2AB =.(1)求多面体AEBFCD 体积；(2)若点P 在直线DE 上，求AP 与平面BCF 所成角的最大值. 【答案】(1)4 (2)4π【分析】（1）多面体分成两个四棱锥E ABCD -和F ABCD -，然后由体积公式计算（注意找到棱锥的高）；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求出线面的正弦值，利用函数性质得最大值．【详解】（1）在四边形AEBF 中，∵ABE 和ABF △均为等腰直角三角形，且90BAE AFB ∠=∠=︒， ∴45BAF ABE ∠=∠=︒，∴AF BE ∥，∵四边形ABCD 为正方形，∴DA AB ⊥，又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AEBF AB =， ∴DA ⊥平面AEBF ，同理⊥AE 平面ABCD ，取AB 中点G ，连接FG ，则FG AB ⊥，112FG AB ==，又同理可得FG ⊥平面ABCD ， 221111222143333E ABCDF ABCD ABCD ABCD V V V S EA S FG --=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=；（2）如图建立空间直角坐标系，设()0,,2P λλ-，则()2,0,0B ，()2,0,2C ，()1,1,0F -，()0,0,0A ，∴()0,0,2BC =，()1,1,0BF =--，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200z x y =⎧⎨--=⎩，令1x =，则()1,1,0n =-，设AP 与平面BCF 所成角为θ，又()0,,2AP λλ=-， ∴()2222sin 24422n AP n APλλθλλλλ-⋅===-++-，要使sin θ最大，0λ≠，∴22221212sin 441122442412λθλλλλλ==-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭（2λ=时等号成立）， ∴4πθ≤，即AP 与平面BCF 所成角的最大值为4π． 21．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>3以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为5(1)求椭圆的方程；(2)直线(0y kx m km =+≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ，O 为坐标原点，如果2MOP MNP ∠=∠，求k 的值. 【答案】(1)2214x y +=(2)k =【分析】（1）由题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知0k ≠，将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点M 的坐标，求出线段AB 的垂直平分线的方程，可求得点N 的坐标，分析可得=OM ON ，利用两点间的距离公式可求得k 的值.【详解】（1）由题设得222c e a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a =，1b =，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222418440k x kmx m +++-=，由()()()2228441440km k m ∆=-+->，得22410k m -+>.设()11,A x y 、()22,B x y ，则122841kmx x k +=-+，()121222241m y y k x x m k +=++=+，所以点M 的横坐标1224241M x x km x k +==-+，纵坐标241M m y k =+，所以直线MN 的方程为22144141mkm y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭. 令0x =，则点N 的纵坐标2341N m y k =-+，则230,41m N k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，因为()0,P m ，所以点N 、点P 在原点两侧.因为2MOP MNP ∠=∠，所以MNO OMN ∠=∠，所以=OM ON .又因为()2222222222416414141km m k m m OM k k k +⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，()222222394141m m ON k k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭+，所以()()222222221694141k m m m kk+=++，解得21619k +=，所以k =.22．若函数()()()()22ln 2322f x x x x a x a =++-+--+.(1)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若k a ，()1,2k b k n =均为正数，112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++.证明：12121n b b b n a a a ≤.【答案】(1)0a ≤ (2)证明见解析【分析】（1）由()0f x ≤恒成立，进行参变分离可得()1ln 2a x x ≤+-+，构造函数()()1ln 2h x x x =+-+，利用导数求出()min h x ，只要()min a h x ≤即可；（2）根据（1）的结论，知()ln 12x x +>+，则ln 1≤-x x ，即ln 1k k a a ≤-，ln k k k k k b a a b b ≤-，ln kb kk k k a a b b ≤-，111ln k n n nb kk k k k k k a a b b ===≤-∑∑∑，结合所给条件即可得解.【详解】（1）（1）()0f x ≤，∴()()()()2ln 212x x x a x ++≤+-+，∴()ln 21x x a +≤+-， ∴()1ln 2a x x ≤+-+设()()1ln 2h x x x =+-+，()12x h x x +'=+，当()2,1--时，()0h x '<，当()1,-+∞时，()0h x '>，()()min 10h x h =-=，∴0a ≤；（2）由（1），知()ln 12x x +>+，则ln 1≤-x x ，ln 1k k a a ≤-，ln k k k k k b a a b b ≤-，ln k b k k k k a a b b ≤-，累加可得111ln knnnb kk k k k k k a a b b ===≤-∑∑∑，又112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++所以1212ln 0n b bbn a a a ≤，即12121nb b b n a a a ≤.【点睛】本题考查了利用导数研究函数，考查了恒成立问题和数列的证明，计算量较大，属于难题. 本题的关键点有：（1）恒成立问题进行参变分离，构造函数后只需()min a h x ≤即可；（2）利用（1）的结论证明数列不等式.。

四川省广安市广安第二中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题含解析

2022年秋广安二中高2022级第一次月考试题数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班次、智学网号．．．．．．．．．．填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 给出下列关系：①πR ∈Q ；③3-∉Z ；④|3|-∉N ；⑤0∉Q ，其中正确的个数（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.【详解】π3-是整数，③错误；|3|3-=是自然数，④错误；0是有理数，⑤错误，所以正确的个数为1．故选：A ．2. 在下列函数中，函数y x =表示同一函数的（）A. 2y =B. yC. 00x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，D.2x y x=【答案】C 【解析】【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.【详解】由题意，函数y x =，其定义域为(),-∞+∞，其解析式为,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，对于A，函数2y =，其定义域为[)0,∞+，故A 错误；对于B，函数y x ==，其定义域为(),-∞+∞，对应法则不同，故B 错误；对于C ，与题目中的函数一致，故C 正确；对于D ，函数2x y x=，其定义域为{}0x x ≠，故D 错误，故选：C.3. 命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A. 01x ∃≤，2000x x -≤B. 1x ∀>，20x x -≤C. 01x ∃>，2000x x -≤D. 1x ∀≤，20x x ->【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是 “01x ∃>，2000x x -≤”故选：C.4. 设全集为{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3,5}UA =，{2,5,6}B =，则()UAB =（）A. {1,4}B. {2,5}C. {6}D.{1,3,4,6}【答案】A 【解析】【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】解：因为全集为{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3,5}UA =，所以{1,4,6}A =，又{2,5,6}B =，所以{}1,3,4UB =，所以()UAB ={1,4}，故选：A5. 已知函数()1,01100,0x x f x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则1100f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A. 0 B.110 C.1100D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为()1,01100,0x x f x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，所以1110001100100f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()10011100f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：D6. 已知0a b +>，0b <，那么a ，b ，a -，b -的大小关系为（） A. a b b a >>->- B. a b a b >->-> C. a b b a >->>- D. a b a b >>->-【答案】C 【解析】【分析】由不等式的性质可得0a b b a >->>>-，即可得解.【详解】因为0a b +>，0b <，所以0a b >->，0a b -<<，所以0a b b a >->>>-. 故选：C.7. 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为（） A. 202y x =-B. 202(010)y x x =-<<C. 202(510)y x x =-≤≤D. 202(510)y x x =-<< 【答案】D 【解析】【分析】由等腰三角形的周长为20，得到202y x =-，结合三角形的性质，求得510x <<，即可得到函数的解析式.【详解】由等腰三角形的周长为20，且底边长y 是关于腰长x ，可得220y x +=，所以202y x =-，又由2x y >，即2202x x >-，即5x >，因为0y >，即2020x ->，可得10x <，所以510x <<，所以解析式为202(510)y x x =-<<. 故选：D.8. 已知2(1)f x -的定义域为[0，3]，则(21)f x -的定义域是（） A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 3111,022⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， D. 9,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由2(1)f x -的定义域为[0]3，得2118-x ≤-≤，进而1218-x ≤-≤，求得x 即可. 【详解】∵2(1)f x -的定义域为[0]3，，∴03x ≤≤，∴2118x -≤-≤，在(21)f x -中1218x -≤-≤，解得902x ≤≤，所以函数(21)f x -的定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 21x ≤的一个充分不必要条件是（） A. 10x -≤<B. 1x ≥C. 01x <≤D.11x -≤≤【答案】AC 【解析】【分析】由不等式21x ≤，求得11x -≤≤，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式21x ≤，可得11x -≤≤，结合选项可得：选项A 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项B 为21x ≤的一个既不充分也不必要条件；选项C 为21x ≤的一个充分不必要条件；选项D 为21x ≤的一个充要条件, 故选：AC.10. 不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x -≤≤，则下列结论正确的是（） A. 0a b += B. 0a b c ++> C. 0c > D. 0b <【答案】ABC 【解析】【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.【详解】解：因为不等式20ax bx c ++≥的解集是{}12x x -≤≤，所以0a <，且121020bac a⎧-=-+=>⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩，所以0,,0,b b a c >⎧⎪=-⎨⎪>⎩所以0a b +=，0c >，0b >，故AC 正确，D 错误．因为二次函数2y ax bx c =++的两个零点为1-，2，且图像开口向下，所以当1x =时，0y a b c =++>，故B 正确．故选：ABC ．11. 下列说法正确的是（）A. “22ac bc >”是“a b >”的充分不必要条件B. “0xy >”是“0x y +>”的必要不充分条件C. “对任意一个无理数x ，2x 也是无理数”是真命题D. 若3x <-，则函数13y x x =++的最大值为5- 【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用特殊值法可判断C 选项；利用基本不等式求解判断D 选项.【详解】解：对于A 选项，若22>ac bc ，则2>0c ，由不等式的性质可得>a b ，即“22>ac bc ”⇒“>a b ”，若>a b ，取0c =，则22ac bc =，即“22>ac bc ”⇐/“>a b ”，故“22>ac bc ”是“>a b ”的充分不必要条件，A 对；对于B 选项，若>0xy ，不妨取=1x -，1y =-，则+<0x y ，即“>0xy ”⇒/“+>0x y ”，若+>0x y ，取=1x -，=2y ，则<0xy ，即“>0xy ”⇐/“+>0x y ”，所以，“>0xy ”是“+>0x y ”的既不充分也不必要条件，B 错；对于C选项，取x 为无理数，则22x =为有理数，C 错；对于D 选项，由<3x -得+3<0x ，故()()11333333y x x x x ⎡⎤⎛⎫=++-=---+- ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎣⎦3=5≤--，当且仅当133x x --=--，即=4x -时等号成立，故D 正确故选：AD.12. 设a >1，b >1且ab －(a ＋b )＝1，那么不成立的是（）A. a ＋b 有最小值＋1)B. a ＋b 有最大值＋1)2C. ab ＋1D. ab 有最小值＋1) 【答案】BCD 【解析】【分析】先根据基本不等式得不等式，解不等式得结果. 【详解】对于A ，B ，()()21,1,1,1()2a b a b ab a b ab a b +>>-+=∴=++≤,当且仅当a b =时取等号，()221(),()4()40,2,2222a b a b a b a b a b a b +++≤∴+-+-≥+>∴+≥+即a b +有最小值1)，（无最大值）当且仅当1a b ==时取得，故选项A 正确，B 不正确；对于C ，D ，1a >，1b >，a b ∴+≥a b =时取等号1()ab a b ab ∴=-+≤-210-≥1≥，21)3ab ∴≥=+∴ab 有最小值3+，故D 不正确；由于ab 有最小值为3+1，故C 不正确. 故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数()1xf x x =+-的定义域是___________．【答案】()1,+∞【解析】【分析】直接求解即可得答案.【详解】解：要使函数()1xf x x =-有意义，则需满足1010x x -≥-≠⎧⎨⎩，解得1x > .所以，函数()1xf x x =+-的定义域是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞14. 函数f x （）满足223f x x +=+（），则f x =（）________．【答案】247x x -+ 【解析】【分析】运用换元法即可求解.【详解】由223f x x +=+（），得到2f x +（）2223x =+-+（）22427x x =+-++（）（），令2t x =+ ，得()247f t t t =-+ ，247f x x x =-+（）；故答案为：247x x -+．15. 已知x ∀∈R ，使()230mx m x m -++>，则实数m 的取值范围为___________．【答案】(3,)+∞. 【解析】【分析】分0m =和0m ≠两种情况求解即可. 【详解】当0m =时，3>0x -，得<0x 不合题意，当0m ≠时，因为R x ∀∈，使()2+3+>0mxm x m -恒成立，所以()22>0Δ=+34<0m m m -⎧⎪⎨⎪⎩，即>0<1>3m m m -⎧⎨⎩或，解得>3m ，故答案为：(3,+)∞. 16. 已知,x y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为___________．【答案】20 【解析】【分析】根据式子结构，构造基本不等式中“1的代换”，利用基本不等式求最值. 【详解】∵,x y 均为正实数，且111226x y +=++，∴116()122x y +=++，则()()()()112222462246242222y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++⎡⎤+=+++-=++++-=++- ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭6(2420≥+-=，当且仅当10x y ==时取等号，则x y +的最小值为20. 故答案为：20.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 解下列不等式并写出解集. （1）22390x x -++>；（2）805xx-≥+. 【答案】（1）3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）(]5,8- 【解析】【分析】（1）原不等式等价于22390x x --<，由此可求得原不等式的解集；（2）原不等式等价于805x x-≤+，由此可求得不等式的解集. 【小问1详解】由22390x x -++>得22390x x --<，即()()3230x x -+<，解得332x -<<，故不等式22390x x -++>的解集为3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭；【小问2详解】（2）由805x x -≥+得805x x -≤+，∴()()85050x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得58x -<≤，故不等式805xx-≥+的解集为(]5,8-. 18. 已知()242f x x x =-+，()1x g x x =+．（1）求()2f ，()()2g f 的值；（2）求()f x 的值域及()g x 的值域．【答案】（1）()22f =-，()()22g f =，（2）()f x 的值域为[2,)-+∞，()g x 的值域为(,1)(1,)-∞+∞.【解析】【分析】（1）根据解析式直接求解即可，（2）对()f x 的解析式配方可求得其值域，对()g x 的解析式分离常数可求得结果. 【小问1详解】因为()242f x x x =-+，()1xg x x =+，所以()2224222f =-⨯+=-，所以()()()222221g f g -=-==-+ 【小问2详解】因为()2242(2)22f x x x x =-+=--≥-，所以()f x 的值域为[2,)-+∞，()g x 的定义域为{}1x x ≠-，()1111111x x g x x x x +-===-+++，因为101x ≠+，所以1111x -≠+，所以()g x 的值域为(,1)(1,)-∞+∞.19. 已知集合{}=14A x x -≤≤,{=<2B x x -或}>5x . （1）求RB ,()R A B ;（2）若集合{}=2<<+1C x m x m ,且A C ⋂=∅,求m 的取值范围．【答案】（1）{}R 25B x x =-≤≤,(){R 2A B x x ⋂=<-或}>5x（2）2m ≤-或m 1≥ 【解析】【分析】(1)根据补集和交集的运算即可得出结果;(2)分为两种情况C =∅和C ≠∅.若C =∅,则21m m ≥+;若C ≠∅,则2<+1+11m m m ⎧⎨≤-⎩或2<+124m m m ⎧⎨≥⎩,解不等式即可求出结果. 【小问1详解】{=<2B x x -或}>5x ,∴{}R 25B x x =-≤≤.{}=14A x x -≤≤,∴{R 1A x x =<-或}>4x , ∴(){R 2A B x x ⋂=<-或}>5x .【小问2详解】若C =∅,则21m m ≥+,即m 1≥;若C ≠∅,则2<+1+11m m m ⎧⎨≤-⎩或2<+124m m m ⎧⎨≥⎩,解得2m ≤-. ∴m 的取值范围为2m ≤-或m 1≥.20. 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油22216x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭升，司机的工资是每小时69元.（1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】（1）y ＝1308113036xx ⨯+， x ∈[50，100] （2）54千米/时，390元【解析】【分析】（1）求出所用时间为t ＝130x(h )，即可建立行车总费用y 关于x 的表达式；（2）利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】所用时间为t ＝130x(h )， y ＝130x ×6×22216x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋69×130x ， x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝1308113036x x ⨯+， x ∈[50，100] 【小问2详解】y ＝1308113039036x x ⨯+≥=，当且仅当1308113036x x ⨯=，即x ＝54时等号成立. 故当x ＝54千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为390元.21. 已知()f x 是二次函数，满足()()12f x f x x +=+且()01f =.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]1,1x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围.【答案】（1）()21f x x x =-+ （2）1m <-【解析】【分析】（1）设2()f x ax bx c =++，根据(0)1f =，求得1c =，再由()()12f x f x x +=+，列出方程组，求得,a b 的值，即可求解；（2）将已知转化为231x x m -+>在[]1,1-上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】设函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(0)1f =，可得(0)1f c ==，所以2()1f x ax bx =++，又()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，即22ax a b x ++=，对于任意的x 成立，则有22,0.a a b =⎧⎨+=⎩解得11a b =⎧⎨=-⎩∴()21f x x x =-+. 【小问2详解】当[]1,1x ∈-时，()2f x x m >+恒成立，即231x x m -+>恒成立；令()[]223531,1,124g x x x x x ⎛⎫=-+=--∈- ⎪⎝⎭， ∵开口方向向上，对称轴为312x =>， ∴()g x 在[]1,1x ∈-内单调递减，∴()()min 11g x g ==-，∴1m <-，即实数m 的取值范围是(),1-∞-.22. 已知函数()()2212f x kx k x =-++．（1）当1k =-时，画出函数()=y f x 的图像，并写出其值域；（2）当R k ∈时，解不等式()>0f x ．【答案】（1）图像见解析，值域为[)0,+∞（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题知()22f x x x =-++，再根据二次函数图像作图，结合图像求函数值域即可；（2）根据题意，分=0k ，<0k ，10<<2k ，12k =，1>2k 五种情况讨论求解即可. 【小问1详解】解：当1k =-时，()()()2221f x x x x x =-++=-+，函数()f x 是二次函数，开口向下，对称轴为1=2x ，与x 轴的交点坐标为()()2,0,1,0- 所以，画出函数()22y f x x x ==-++的图像如图.由图可知，函数的值域为[)0,∞+【小问2详解】解：()()()()221212f x kx k x kx x =-++=--，当=0k 时，()=+2>0f x x -，解得<2x ，故解集为(),2-∞ 当0k ≠时，()=0f x 得1212,x x k==，当<0k 时，211=<0<=2x x k ，不等式()>0f x 的解集为1,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当>0k 时，再分三种情况讨论：当1<2k 时，即1>2k 时，不等式()>0f x 的解集为()1,2,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当12k =时，即12k =时，不等式()>0f x 的解集为()(),22,-∞+∞；当1>2k 时，即10<<2k 时，不等式()>0f x 的解集为()1,2,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；综上，当=0k 时，()>0f x 的解集为(),2-∞；当<0k 时， ()>0f x 的解集为1,2k ⎛⎫⎪⎝⎭；当10<<2k 时， ()>0f x 的解集为()1,2,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当12k =时，()>0f x 的解集为()(),22,-∞+∞；当1>2k 时，()>0f x 的解集为()1,2,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.。

安徽省阜阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

安徽省阜阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3M =，{}3,4N =，全集{}1,2,3,4,5I =，则()I M N =U ð（） A ．{}1,2,4B ．{}1,2,3,5C ．{}1,2,4,5D ．I2．在矩形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，则CE BD -=u u u r u u u r（）A ．2AB AD -u u u r u u u rB ．12AB AD -u u u r u u u rC ．1322AB AD -u u u r u u u r D ．122AB AD -u u u r u u u r 3．若21m n -=n=（）A ．1BC ．12D 4．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a c =，且13c b =，则角A 的余弦值为（）A ．15B ．14C ．16D ．135．已知向量a b r r ，满足|||||2|a b a b ==-r r r r ⋅=r r a b （）A ．1-B ．0C ．1D ．26．若函数3()2x f x x a =++的零点所在的区间为(0,1)，则实数a 的取值范围是（） A ．[3,1]--B ．[2,1]--C ．(3,1)--D ．(2,1)--7．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3i n b B =，cos cos A C =，则ABC V 的形状为（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．已知O 是ABC V 的外心，4AB =uu u r ，2AC =u u u r ，则()AO AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r（）A ．10B ．9C ．8D ．6二、多选题9．若函数(210xy a b a =-->且)0a ≠的图象过第一、三、四象限，则（）A ．01a <<B ．1a >C ．0b >D ．0b <10．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A ．5,7,8a b c ===，有唯一解B ．18,20,60b c B ===°，无解C ．8,45a b B ===︒，有两解D ．30,25,150a b A ===︒，有唯一解11．设P 为ABC V 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A ．若0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，则点P 是ABC V 的重心B ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的垂心C ．若()||||AB ACAP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，,[)0λ∈+∞，则点P 是ABC V 的内心 D ．若()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的外心三、填空题12．设命题2:,p x x x ∃∈≥Z ，则命题p 的否定为． 13．已知0a >，0b >，())24ln 211961log 729ln24a bb ++++=，则2a b +的最小值为.14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在ABC V 中，已知30ACB ∠=︒，且1AB ，现以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '，则A B C '''V 的面积最大值为.四、解答题15．已知向量(1,0),(1,2)a b ==-r r． (1)若||1c =r ，且()c a b -r r r ∥，求c r；(2)若2ta b -r r与3a tb +r r 互相垂直，求实数t 的值．16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量)(),,3cos ,sin m b n A B ==rr 且mr P n r .(1)求角A ；(2)若2a c ==，求ABC V 内切圆的半径.17．如图，在平面四边形ABCD 中，3ABC ACD π∠=∠=，6AB =．(1)若ABC V ，求AC ；(2)在（1）的条件下，若AD =cos2D ．18．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =图象上的所有点向左平移12π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.(1)求函数()y g x =的单调递增区间；(2)设直线()x t t R =∈与()y f x =和()y g x =的图象分别交于,M N 两点，求MN 的最大值. 19．在ABC V 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知22cos b a c B =-，且三角（1）求C 的大小；（2）若ABC V 的面积为cos2cos2A B +的值；（3）设ABC V 的外接圆圆心为O ，且满足cos cos 2sin sin B A CB CA mCO A B+=u u u r u u u r u u u r ，求m 的值．。

广东省佛山市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

广东省佛山市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题一、单选题 1．与角4π3-终边相同的角是（） A ．π3B ．2π3C ．4π3 D ．π3-2．在单位圆中，已知角α的终边与单位圆的交点为3455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则3cos 2πα⎫⎛+ ⎪⎝⎭等于（）A ．45 B ．45- C ．35- D ．353．下列说法错误的是（）A ．CD DC =u u u r u u u rB ．1e u r 、2e uu r 是单位向量，则12e e =u r u u r C ．若AB DC >u u u r u u u r ，则AB CD >u u u r u u u rD ．任一非零向量都可以平行移动4．已知π1cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（）.A ．79- B ．79 C ．23D ．23-5=（）． A ．4 B ．2- C ．4- D ．26．设函数()()πsin R,0,0,2ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭f x A x x A 的部分图象如图所示，若12ππ,,63x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A ．12B C D ．17．若3ππ2α<<） A ．2tan α B ．2tan α- C ．2sin αD ．2cos α-8．给出下列各式的值：①sin 5②cos100sin100-o o ③()tan 10-④sin1cos1-其中符号为负的是（） A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④二、多选题9．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是（） A ．sin(－x )＝sin x B ．sin 32x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos x C ．cos 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x10．下列说法不正确的是（）A ．若=a b r r ，则a r、b r 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量a r ，b r 满足a b >r r ，且同向，则a r＞b r C ．若a b ≠r r ，则a r与b r 可能是共线向量D ．若非零向量AB u u u r与CD u u u r 平行，则A B C D 、、、四点共线11．下列等式正确的是（）A ．sin24cos6sin66sin61sin21cos39cos21sin39-=--o o o oo o o oB ．已知1cos22α=，则441sin cos 2αα-=C ．14sin10=oD ．tan23tan37tan37+=o o o o三、填空题12．在平行四边形ABCD 中，BC DC BA ++=u u u ru u u ru u u r． 13．已知π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，tanα=2，则cos(α−π4)=． 14．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，π2<ϕ）的图像如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图像，则需将()f x 的图象向右最小平移个长度单位．四、解答题15．已知,αβ为锐角，tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos 2α的值； (2)求β的值．16．已知函数()()22sin sin 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期πT =. (1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间.17．在ABC V 中，内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知1cos 2A =. (1)求角A 的大小； (2)求sin sinBC +的范围．18．如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角π4POQ ∠=.C 是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记POC α∠=.(1)将矩形ABCD 的面积S 表示成关于α的函数()f α的形式； (2)求()f α的最大值，及此时的角α.19．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.(1)根据以上数据，可以用函数()sin y A x h ωϕ=++来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式.(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.2m ，安全条例规定至少要有2m 的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？。

山西省晋城市城区晋城市第二中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(无答案)

晋城二中高一第二学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知集合，，，，，则（）A ．，，，B ．，，C ．，，D ．2．函数的零点一定位于区间（）A ．，B ．，C ．，D ．，3．设，，都是实数，则“”是“”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知，满足：，，，则（）ABCD5．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，则（）A ．2B ．1CD6．设平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（）A ．B ．C ．D ．7．设复数，是其共轭复数，若，则实数（）A ．4B ．3C ．2D ．18．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔{1M =-012}{|lg(2)}N x y x ==-M N = {1-012}{1-01}{012}{1.2}2()log 27f x x x =+-(12)(23)(34)(56)a b 0a b >>11a b b>-a b||3a = ||2b = ||4a b += a b -=i 10xe +=i cos isin e θθθ=+5i 66e eππ+=a b ||a = ||3b = 43a b a ⎛⎫+⊥ ⎪⎝⎭ a b 2b2b- 23b23b- z a i =+z 3455z i z =+a =都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用、、、、、等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得，，，，若点恰好在边上，请帮忙计算的值（）A．B ．CD二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．已知为复数，是的共为复数，则下列命题一定正确的是（）A ．若为纯虚数，则B ．若，则C ．若，则的最大值为2D ．10．对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（）A ．若，则与不是共线向量B ．C ．若，且，则D ．11．设正实数，满足，则下列说法正确的是（）A ．的最小值为4B ．的最大值为C的最大值为2D ．的最小值为12．在中，角，，所对的边分别是，，，则下列结论正确的是（）A ．若，，则的外接圆半径是4B ．若，则C ．若，则一定是钝角三角形D ．若，则30︒45︒60︒90︒120︒150︒ABD △5AB =6BD =4AC =3AD =C BD cos ACD ∠1259i(,)z a b a b =+∈R z z 2z 0a b =≠1z∈R z ∈R |i |1z -=||z 2||z z z ⋅=a b ca b ≠ a b()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ a b a c ⋅=⋅ 0a ≠b c= ()(,)a b c b c a⋅=x y 23x y +=3y x y+xy 98224x y +92ABC △A B C a b c 2a =30A =︒ABC △cos sin a bA B=45A =︒222a b c +<ABC △A B <cos cos A B<三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知幂函数的图象过点，则______．14．如图，，是半径为1的圆的两条直径，为直径上一点，且，则______．15．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是______三角形．16．设为的内心，，，，则______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知向量，，，（1）若，求的值；（2）若，求的值．18．（12分）如图，在四边形中，，，，且，．（1）求实数的值；（2）若，是线段上的动点，且，求的最小值．19．（12分）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足．（1）求角的大小；()f x (4,2)(9)f =BC DE O F BC 2BF FO =FD FE ⋅=ABC △A B C a b c 22222222a a cb b bc a +-=+-ABC △O ABC △5AB AC ==8BC =(,)AO mAB nAC m n =+∈Rm n +=(2,1)a =(1,2)b =(3,)c λ=c a∥||c()ka b a +⊥k ABCD 60B ∠=︒4AB =8BC =AD BC λ=4AD AB ⋅=-λM N BC ||2MN =DM DN ⋅ABC △a b c A B C 222a b c ab +-=C（2）设向量，向量，且，，求的面积．20．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，．（1）若，证明：；（2）若，求周长的最大值．21．（12分）设函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递减区间．22．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．33sin ,2a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1,2cos )b C =- a b ⊥ 2c =ABC △ABC △A B C a b c 3A π=2c b =(sin sin )(sin sin )sin sin A B A B B C +-=2a =ABC △22()sin cos 2cos cos 3f x x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()f x ()f x R 13()33xx n f x +-=+()y f x =428log log (42)0f x f a x ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭a。