高中数学不等式及线性规划专项习题1

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高考数学专题练习：不等式与线性规划

高考数学专题练习：不等式与线性规划1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74 答案 D解析当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需1－a ＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321,解得a ＞12；当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立,只需a －1＜13×⎝ ⎛⎭⎪⎫322,解得a ＜74. 综上,12＜a ＜74,故选D.2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D解析取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D.3.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A.(－3,1)∪(3,＋∞)B.(－3,1)∪(2,＋∞)C.(－1,1)∪(3,＋∞)D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A解析 f (1)＝3.由题意得⎩⎨⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎨⎧x <0，x ＋6>3，解得－3<x <1或x >3.4. 若a ,b ,c 为实数,则下列命题为真命题的是( ) A.若a ＞b ,则ac 2>bc 2 B.若a ＜b ＜0,则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0,则1a ＜1b D.若a ＜b ＜0,则b a ＞ab 答案 B解析 B 中,∵a ＜b ＜0, ∴a 2－ab ＝a (a －b )＞0, ab －b 2＝b (a －b )＞0. 故a 2＞ab ＞b 2,B 正确.5.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB ＝60°,BC 的长度大于1米,且AC 比AB 长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC 越短越好,则AC 最短为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋32米B.2米C.(1＋3)米D.(2＋3)米答案 D6.已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最大值为( )9．已知a ,b ∈(0,＋∞),且a ＋b ＋1a ＋1b ＝5,则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1,4] B ．[2,＋∞) C ．(2,4) D ．(4,＋∞)解析：因为a＋b＋1a＋1b＝(a＋b)(1＋1ab)＝5,又a,b∈(0,＋∞),所以a＋b＝51＋1ab≤51＋⎝⎛⎭⎪⎫2a＋b2,当且仅当a＝b时,等号成立,即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0,解得1≤a＋b≤4,故选A.答案：A10．若x,y满足约束条件⎩⎨⎧x－y＋2≥0，y＋2≥0，x＋y＋2≥0，则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为()A．1 B.92C．5 D．9解析：可行域为如图所示的阴影部分,由题意可知点P(－2,－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32,所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫322＝92,故选B.答案：B11．已知变量x,y满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－3≥0，2x－y－9≤0，y≤2，若使z＝ax＋y取得最小值的最优解有无穷多个,则实数a的取值集合是()A．{－2,0} B．{1,－2}C．{0,1} D．{－2,0,1}解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .若a ＝0,则直线y ＝－ax ＋z ＝z ,此时z 取得最小值的最优解只有一个,不满足题意；若－a >0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线2x －y －9＝0平行时满足题意,此时－a ＝2,解得a ＝－2；若－a <0,则直线y ＝－ax ＋z 在y 轴上的截距取得最小值时,z 取得最小值,此时当直线y ＝－ax 与直线x ＋y －3＝0平行时满足题意,此时－a ＝－1,解得a ＝1. 综上可知,a ＝－2或a ＝1.故选B. 答案：B12．若不等式组⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－4]B ．[－4,＋∞)C ．[－4,20]D ．[－40,20)13．已知实数x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0,则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 解析：由题知可行域如图阴影部分所示,∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为[k MA,1),即⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1.答案：D14．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1),当x ＝a 时,y 取得最小值b ,则a ＋b 等于( ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5,因为x >－1,所以x ＋1>0,9x ＋1>0.所以由基本不等式,得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1·9x ＋1－5＝1,当且仅当x ＋1＝9x ＋1,即(x ＋1)2＝9,即x ＋1＝3,x ＝2时取等号,所以a ＝2,b ＝1,a ＋b ＝3. 答案：C15．若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2,且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2,从图中可看出,当－1<－a2<2,即－4<a <2时,仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B16．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1,＋∞)D ．(－∞,－1)解析：x 2＋ax －2>0,即ax >2－x 2. ∵x ∈[1,5],∴a >2x －x 成立．∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在[1,5]上是减函数,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x min ＝25－5＝－235,∴a >－235.故选A. 答案：A17．设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥x4x ＋3y ≤12,则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[2,10] D ．[3,11]解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋1x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1,设z ′＝y ＋1x ＋1,则z ′的几何意义为动点P (x ,y )到定点D (－1,－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示,则易得z ′∈[k DA ,k DB ],易得z ′∈[1,5],∴z ＝1＋2·z ′∈[3,11]．答案：D18．已知函数f (x )＝4x －14x ＋1,若x 1>0,x 2>0,且f (x 1)＋f (x 2)＝1,则f (x 1＋x 2)的最小值为( )A ．14B ．45C ．2D ．4解析：由题意得f (x )＝4x －14x ＋1＝1－24x ＋1,由f (x 1)＋f (x 2)＝1得2－241x ＋1－242x ＋1＝1,化简得412x x ＋－3＝41x ＋42x ≥2×212x x ＋,解得2x 1＋x 2≥3,所以f (x 1＋x 2)＝1－2412x x ＋＋1≥1－232＋1＝45.故选B. 答案：B19．已知a ,b 都是正实数,且2a ＋b ＝1,则1a ＋2b 的最小值是________．解析：1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋4a b ＋ba ≥4＋24a b ×b a ＝8,当且仅当4a b ＝b a ,即a ＝14,b ＝12时,“＝”成立,故1a ＋2b 的最小值是8. 答案：820．对于实数x ,当且仅当n ≤x <n ＋1,n ∈N *时,[x ]＝n ,则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集是________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0得32<[x ]<152,又当且仅当n ≤x <n ＋1,n ∈N *时,[x ]＝n ,所以所求解集是[2,8)．答案：[2,8)21．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≥0bx 2－3x ，x <0为奇函数,则不等式f (x )<4的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),可得a ＝－3,b ＝－1,所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时,由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时,由－x 2－3x <4解得x <0,所以不等式f (x )<4的解集为(－∞,4)．答案：(－∞,4)22．设不等式组⎩⎨⎧x ≥0x ＋2y ≥42x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ,则可行域D 的面积为________．解析：如图,画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43,B (0,2),C (0,4),∴可行域D 的面积为12×2×43＝43.答案：4 323.已知函数f(x)＝2xx2＋6.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3,或x＞－2},求k的值；(2)对任意x＞0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.24.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由.解(1)令y＝0,得kx－120(1＋k2)x2＝0,由实际意义和题设条件知x＞0,k＞0,故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10,当且仅当k＝1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a＞0,所以炮弹可击中目标存在k＞0,使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 a ≤6. 所以当a 不超过6千米时,可击中目标.25.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值,在x ＝x 2处取得极小值,且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ,求z 的取值范围. (1)证明求函数f (x )的导数 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值, 在x ＝x 2处取得极小值, 知x 1、x 2是f ′(x )＝0的两个根, 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2). 当x ＜x 1时,f (x )为增函数,f ′(x )＞0, 由x －x 1＜0,x －x 2＜0得a ＞0.(2)解在题设下,0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎨⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎨⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎨⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0,a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部,其三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫47，67,B (2,2),C (4,2).z 在这三点的值依次为167,6,8. 所以z 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫167，8.26．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1＜0对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围．27．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称,且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|.解析：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任意一点Q (x 0,y 0)关于原点的对称点为P (x ,y ),∵点Q (x 0,y 0)在函数y ＝f (x )的图象上,∴－y ＝x 2－2x ,即y ＝－x 2＋2x ,故g (x )＝－x 2＋2x . (2)由g (x )≥f (x )－|x －1|,可得2x 2－|x －1|≤0. 当x ≥1时,2x 2－x ＋1≤0,此时不等式无解．当x ＜1时,2x 2＋x －1≤0,解得－1≤x ≤12.因此原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.28．若对一切x ＞2均有不等式x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15成立,求实数m 的取值范围．解析：由x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15, 得x 2－4x ＋7≥m (x －1),∴对一切x ＞2均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． ∴m 应小于或等于f (x )＝x 2－4x ＋7x －1(x ＞2)的最小值．又f (x )＝x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥ 2（x －1）·4x －1－2＝2, 当且仅当x －1＝4x －1,即x ＝3时等号成立． ∴f (x )min ＝f (3)＝2.故m 的取值范围为(－∞,2]．29．某居民小区要建造一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的,是面积为200平方米的十字形地带．计划在正方MNPQ 上建一座花坛,造价是每平方米4 200元,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺上花岗岩地坪,造价是每平方米210元,再在四个空角上铺上草坪,造价是每平方米80元．(1)设总造价是S 元,AD 长为x 米,试建立S 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时,S 最小？并求出最小值．解析：(1)设AM ＝y ,则x 2＋4xy ＝200.∴y ＝50x －x 4.∴S ＝4 200x 2＋210×4×xy ＋80×4×12y 2＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000(x ＞0)．(2)S ＝4 000x 2＋4×105×1x 2＋38 000≥ 2 4 000x 2×400 000x 2＋38 000＝118 000,当且仅当x ＝10时等号成立,即x ＝10米时,S 有最小值118 000元．30．在平面直角坐标系中,不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2，(r 为常数)表示的平面区域的面积为π,若x ,y 满足上述约束条件,则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由题意,知14πr 2＝π,解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3,表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1,由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3),即kx －y ＋3k ＋2＝0,则有|3k ＋2|k 2＋1＝2,解得k ＝－125或k ＝0(舍去),所以z min ＝1－125＝－75.答案：－7531.不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，y ≤m ，m >1所表示的平面区域的面积为S ,则当不等式S ＋3m －1≥a 恒成立时,实数a 的取值范围是______________.答案 (－∞,6]。

不等式及线性规划及详细答案

不等式及线性规划1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45 2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 3设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15B ．－9C ．1D ．9 4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为______. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为______.6.下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0且a 0的解集为( ) A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln2<x <ln3}C ．{x |x <ln3}D ．{x |－ln2<x <ln3}8.已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >09．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为______. 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为______.【参考答案】1.[解析]画出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z 5. 设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z 5过点P (2,3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C ．2．[解析] 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x ＋y 得y ＝－x ＋z .作出直线y ＝－x ，并平移该直线，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，目标函数取最大值．由图知A (3,0)，故z max ＝3＋0＝3.故选D ．3．[解析] 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A ．4．[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2. 作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.5．[解析] 由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)， ∴ z max ＝5＋4＝9.6.[解析] 当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋m b ＋m－a b ＝m (b －a )b (b ＋m )，由a ，b ，m >0且a 0恒成立，故③恒成立． 7.[解析] 由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f (x )>0的解集为{x |12<x <3}，又因为f (e x )>0，所以12<e x <3，解得－ln2<x <ln3. 8.[解析] 因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．9．[解析] ∵ a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0时等号成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时取到等号．10．[解析]方法一：如图(1)，∵ S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴ 12ac ·sin120°＝12c ×1×sin60°＋12a ×1×sin60°， ∴ ac ＝a ＋c .∴ 1a ＋1c＝1. ∴ 4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＝c a ＋4a c ＋5≥2c a ·4a c＋5＝9. 当且仅当c a ＝4a c，即c ＝2a 时取等号．方法二：如图(2)，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，则D (1,0)， A ⎝⎛⎭⎫c 2，－32c ，C ⎝⎛⎭⎫a 2，32a . 又A ，D ，C 三点共线，∴ c 2－1－32c ＝a 2－132a ， ∴ ac ＝a ＋c .以下同方法一．。

一元二次不等式、均值不等式及线性规划习题训练

一元二次不等式、均值不等式及线性规规划训练1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（） A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-3、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a 4、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（） A ．14- B ．14 C ．10- D ．10二、填空题5、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为。

6、已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，若A B φ⋂=，则实数a 的取值范围是7、利用()()00x a x a x b x b -<⇔--<-，可以求得不等式12x x->的解集为。

8、使不等式2710124x x -+>成立的x 的取值范围是。

三、解答题9、已知函数()252f x x x =-+，为使()426f x -<<的x 的取值范围。

10、已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B ，求A B ⋂。

11、已知集合{}290x x A =-≤，{}2430x x x B =-+>，求A B ，A B ．均值不等式练习一、选择题1.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是（） A.18 B.6 C.32 D.4324.设0,0>>b a ，若3是a 3与b 3的等比中项，则b a 11+的最小值为（） A.8 B.4 C.1 D.415.若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +有（） A.最大值223+ B. 最小值223+ C. 最小值6 D.最小值6 9.已知正数b a ,满足304=+b a ，则使得ba 11+取得最小值的有序实数对),(b a 是（） A.)10,5( B. )6,6( C. )2,7( D. )5,10(10.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（）A.最小值1B. 最大值1C. 最小值-1D.最大值-111.在ABC ∆中，A,B,C 分别为边c b a ,,所对的角，若c b a ,,成等差数列，则B ∠的范围是（） A.40π≤>n m ，则nm 21+的最小值为 15.设12,0,022=+>>b a b a ，则21b a +的最大值为 1．若,20<<x 求)36(x x y -=的最大值。

高考数学专题：不等式及线性规划问题

第3讲不等式及线性规划问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·枣庄二模)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为 ( )． A.14 B ．4C ．12D ．2解析由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．答案 C2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪12x≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁RB 等于( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2，或x >4}D ．{x |0<x ≤2，或x ≥4}解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}． ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4，或x <2}，＝{x |0≤x <2，或x >4}．答案 C3．(2013·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )． A ．－7 B ．－4 C ．1 D ．2解析可行域如图阴影部分(含边界)，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，经平移可知z ＝y －2x ，在点A (5,3)处取得最小值，最小值为－7.选A. 答案 A4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .答案 A5．(2014·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝ ( )． A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析用图解法求出线性目标函数的最大值和最小值，再作差求解．画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z min ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6. 答案 B6．(2014·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )．A ．2B ．－2C ．12D ．－12解析作出可行域，平移直线y ＝x ，由z 的最小值为－4求参数k 的值．作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k ，0.∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k＝－12，故选D.答案 D 二、填空题7．(2013·广东卷)不等式x 2＋x －2<0的解集为________．解析由x 2＋x －2<0得－2<x <1，故其解集为{x |－2<x <1}．答案 {x |－2<x <1}8．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案 {x |－7<x <3}9．(2014·浙江卷)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．解析利用不等式求解．因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝63. 答案6310．(2014·湖南卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解析作出不等式组表示的平面区域，结合线性目标函数的最值求k .作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2. 答案－211．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．解析因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b≥a 4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 取得最小值时，a ＝－2. 答案－212．(2013·浙江卷)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC ，其中点A (4,4)，B (0,2)，C (2,0)．目标函数z ＝kx ＋y ，化为y ＝－kx ＋z .当－k ≤12即k ≥－12时，目标函数z ＝kx ＋y ，在点A (4,4)取得最大值12，故4k ＋4＝12，k ＝2，满足题意；当－k >12即k <－12时，目标函数z ＝kx ＋y 在点B (0,2)取得最大值12，故k ·0＋2＝12，无解，综上可知，k ＝2. 答案 213．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析本题是实际问题，建立函数关系即可．设矩形场地的宽为x m ，则矩形场地的长为(200－4x )m ，面积S ＝x (200－4x )＝－4(x－25)2＋2 500.故当x ＝25时，S 取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m 2. 答案 2 500 m 2 三、解答题14．已知函数f (x )＝x 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )>k ⇔k x 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2xx 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫66，＋∞.15．(2014·南京、盐城高三期末)近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝20x ＋100(x ≥0，k 为常数)．记F (x )为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和． (1)试解释C (0)的实际意义，并建立F (x )关于x 的函数关系式； (2)当x 为多少平方米时，F (x )取得最小值？最小值是多少万元？解 (1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C (0)＝k 100＝24，得k ＝2 400，所以F (x )＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5＋0.5x (x ≥0)．(2)因为F (x )＝1 800x ＋5＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5，当且仅当1 800x ＋5＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号，所以当x 为55平方米时，F (x )取得最小值，最小值为57.5万元．。

高中数学不等式及线性规划测试题

不等式及线性规划测试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：1．若011<；③a b <；④2>+ba ab ，其中正确的不等式有（）Ａ．①② Ｂ．②③Ｃ．①④Ｄ． ③④2．下列命题中正确的是（）Ａ．若,,a b c R ∈,且a b >,则 22ac bc > Ｂ．若,a b R ∈且0a b ⋅≠则2a bb a +≥ Ｃ．若,a b R ∈且a b >，则()n n a b n N +>∈ Ｄ．若,,a bcd >> 则a bd c>3．不等式032>+-x x 的解集是（） A ．()3,2- B ．()2,+∞ C ．()(),32,-∞-⋃+∞ D ．()(),23,-∞-⋃+∞ 4．不等式2320x x -+<的解集是（）A ．{}21x x x <->-或B ．{}12x x x <>或 C ．{}21x x -<<- D ．{}12x x <<（） 5．已知实系数一元二次方程01)1(2=+++++b a x a x 的两根分别为10,121<<x x x ，且， abx ，则12>的取值范围是（） A ．)21,2(-- B ．]21,2(-- C ．]21,1(-- D ． )21,1(--6．在平面直角坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域面积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．97．已知14xy =，01x y <<<，1122t log x log y =⋅，则有（） A ．01t <≤ B ．01t << C ．1t > D ．1t ≥8．某学校拟建一块周长为400m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，则矩形的长应为（）A ．100B ．90C ．85D ．635.9．若函数1233f (x )min log x,log x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，其中{}min p,q 表示p,q 两者中的较小者，则()2f x <的解集为（）A .()04,B .()0,+∞C . ()()044,,+∞D 14,⎛⎫+∞⎪⎝⎭10．已知关于x 的不等式()()230a b x a b ++-<的解集为()3,-+∞，则26b log a 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8 11．若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点()04A ,和()32B ,-，则当不等式3|1)(|<-+t x f 的解集为()12,-时，实数t 的值为（ C ）A ．1-B ．0C ．1D ．212．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >，则12m n+的最小值为（）A ．4+B ．4-C ．8D ．6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：13．某人10点10分离家赶11点整的火车，已知他家离车站10公里,他离家后先以3公里/小时的速度走了5分钟，然后乘公共浩气去车站，设公共汽车每小时至少走x 公里才能不误当次火车，则x 所满足的条件是 (不用求解)．14．若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．15．已知函数2|1|(0)()1(0)x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩ 那么不等式()0f x <的解集为．16．给出下列四个命题： ① 函数xx x f 9)(+=的最小值为6； ② 不等式112<+x x的解集是}11{<<-x x ； ③ 若1a b >>-，则11a ba b>++； ④ 若1,2<，求()123f x x x =+的最小值； ⑵已知3x <，求()43f x x x =+-的最大值.18．解关于x 的不等式a xax -≥-22．19．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长28.m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小05.m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？20．北京市某中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小中巴、4辆大中巴，其中小中巴能载16人、大中巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小中巴为5次、大中巴为3次，每次运输成本小中巴为48元，大中巴为60元．请问每天应派出小中巴、大中巴各多少辆，能使总费用最少？21．已知()02,2>>+-=a b c bx ax x f ，试问在区间[]1,1-上是否存在一个x ，使得BDCA地面()b x f ≥成立，请证明你结论．22．已知数列{}n a 满足12n n a a +=+，n S 是其前n 项和，且39S =，二次函数2()2n n f x S x a x =+-的图象与x 轴有两个交点()()12,0,0x x 和，且12312x x -<<-<<，试求n 的值．不等式的基本性质及简单的线性规划答案解析一．选择题1．C 提示：由011<<ba 可知0b a <<，则有b a >，易得②③错，①④正确． 2．C 提示：当0c =时，A 不成立；当0ab <时，有2a bb a+≤-，B 不成立；由,a b R ∈且a b >知0a b >≥，由不等式性质知()n n a b n N +>∈成立．3．C 提示：由分式不等式()()203203x x x x ->⇒+->+，解集为()(),32,-∞-⋃+∞. 4．D 提示：由2320(1)(2)012x x x x x -+<⇒--<⇒<<．5．A 提示：由101x <<，21x >可得001010230f ()a b f ()a b >++>⎧⎧⇒⎨⎨<++<⎩⎩，在坐标系中作出满足条件的可行域，b a 即表示可行域内的点与原点连线的斜率，即知122b (,)a ∈--． 6．D 提示：作出满足条件的可行域为一个三角形，且三个顶点的坐标分别为221115(,),(,),(,)--，易得其面积为9．7．B 提示：由01x y <<<得1122t (log x )(log y )=⋅>0，又111222221122122log x log ylog xy t (log x )(log y )()()+=⋅<==．8．A 提示：设矩形的长为xm ，半圆的直径是d ，中间的矩形区域面积为2sm ．由题知：s dx =，且2400x d π+=，∴1()(2)2s d x ππ=⋅⋅21220000()22d x πππ+≤=．当且仅当2200x d π==，即100x =时等号成立．即设计矩形的长为100m 宽约为637.m 时，矩形面积最大．9．C 提示：21223 (04313 (42log x x )f (x )min{log x,log x }log x x )<≤⎧⎪=+=⎨->⎪⎩，分别解2f (x )<可得04x <<或4x >．10．A 提示：当0a b +>时，其解集为32b a(,)a b --∞+，若0a b +<时，其解集为32b a ,a b -⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭，由不等式的解集为3(,)-+∞知，06323a b a b b a a b+<⎧⎪⇒=--⎨=-⎪+⎩， ∴()226662b b log a log b =-=．11．C 提示：)(x f 的图象经过点04A(,)和32B(,)-，即有0432f (),f ()==-，3|1)(|<-+t x f 可得24f (x t )-<+<，即3003f()f(x t)f()x t <+<⇒<+<，3t x t ⇒-<<-因其解集为12(,)-，所以有3211t t t-=⎧⇒=⎨-=-⎩．12．C 提示：令2x =-可得2log (23)11y =-+-=-，即得函数log (3)1a y x =+-恒过定点A(2,1--)∴210m n --+=，即21m n +=，∴1212124()1()(2)4()48n m m n m n m n m n m n +=+⨯=++=++≥+, 当且仅当4,1421,10,2n mm n m m n n mn ⎧=⎧⎪=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=>⎪⎪⎩⎩时不等式取等号．故12m n +的最小值为8．二．填空题 13．答案：5453106060x ⨯+≥．提示：由题意中的条件，找出速度与时间、路程的关系,抓住关键术语“至少”可以列出不等式，由题意得5453106060x ⨯+≥． 14．答案：6a ≤-或2a ≥．提示：设()2f x x ax a =--.则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在(),-∞+∞上能成立()3min f x ⇔≤-，即()2434min a a f x +=-≤-，解得6a ≤-或2a ≥．15．答案：(,1)(1,1)-∞--提示：当|1|0|1|01x x x -+<⇒+>⇒≠-，又0x ≤，∴0x ≤且1x ≠-．当21011x x -<⇒-<<，又0x >，∴01x <<，∴解集为(,1)(1,1)-∞-- ．16．答案：②③．提示：当0x >，函数x x x f 9)(+=的最小值为6，∴①错；解不等式112<+x x知其解集为}11{<<-x x ，∴②正确；由1a b >>-可得110a b +>+>，∴a b a ab b ab >⇒+>+11a(a )b(b )⇒+>+11a ba b⇒>++，③正确；211a b a b ->-=-=，∴④错．三．解答题17．解析：⑴由题意知，∵0x >，∴()12312f x x x =+≥=，当且仅当123x x =，即2x =时等号成立，所以()123f x x x =+的最小值为12. ⑵由题意知，3x <，∴30x -<，∴()()443333f x x x x x =+=+-+--()433313x x ⎡⎤=-+-+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当433x x=--，即1x =时等号，∴()f x 的最大值为1-. 18．解：原不等式等价于()02)(1≥-+xax x ．当0=a 时，解集为)0,1[-；当0>a 时，解集为[)⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,20,1a ；当02<<-a 时，解集为[)⎥⎦⎤ ⎝⎛∞--a 2,0,1 ；当2-=a 时，解集为()0,∞-；当2-<a 时，解集为(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-0,21,a ． 19．解：设(1,4),BC am a CD bm =≥=，连结BD ，则在CDB ∆中，2221()2cos602b b a ab -=+- ．∴2141a b a -=-，∴214221a b a a a -+=+-．设 2.81,10.42t a t =-≥-=，则21(1)3422(1)3474t b a t t t t+-+=++=++≥，等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建造这个支架的成本最低．20516332480704,x y x y x y N⋅+⋅≥⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为：240180z x y =+．其可行域如下图：由网格法可得：2x =，4y =时，min 1200z ．答：派4辆小中巴、2辆大中巴费用最少．21．假设存在一个x ，使得()b x f ≥成立，即()b x f ≥或()b x f -≤．于是只需()b x f ≥max 或()b x f -≤min ．因为02>>a b ，所以12>a b ，于是[]⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-⊆-a b 2,1,1，()x f 在[]1,1-上是减函数．因此，()x f 在[]1,1-上的最大值为()1-f ，最小值为()1f ，有()1f a b c b -=++≥ 或()1f a b c b =-+≤-．即0≥+c a 或0≤+c a ．因为上面两个不等式必定有一个成立．所以在区间[]1,1-上必定存在一个x ,使得()b x f ≥成立．22．解：∵数列{}n a 满足12n n a a +=+，∴数列{}n a 是等差数列，且公差2d =，又∵39S =，∴1339,a d +=又d=2，∴11a =，从而21n a n =-，21()2n n n a a S n +==． ∴22()(21)2f x n x n x =+--，由于,1n N n ∈≥，又()222214(2)12410n n n n ∆=--⋅-=-+>，∴22()(21)2f x n x n x =+--的图象的开口向上，与x 轴有两个交点()()12,0,0x x 和，依题意有(3)0(1)0(2)0f f f ->⎧⎪-<⇒⎨⎪>⎩22293(21)20(21)2042(21)20n n n n n n ⎧--->⎪---<⎨⎪+-->⎩13111122n n n n ⎧≠⎪⎪⎪⇒-<<+⎨⎪-+--⎪><⎪⎩，由于,1n N n ∈≥，故12n n ==或．。

2017届高三数学-不等式与线性规划-专题练习-答案

不等式与线性规划解析一、选择题1．解析：由a⊥b可得a·b=0，即1×2+(-2)×m=0，解得m=1．所以|b|==。

故选D．2．解析：由已知可得a·b=1×2cos 60°=1．所以b·(b-a)=b2-a·b=22-1=3．故选B．3．解析：根据程序框图，知当i=4时，输出S，因为第一次循环得到：S=S0-2，i=2；第二次循环得到：S=S0-2-4，i=3；第三次循环得到：S=S0-2-4-8，i=4；所以S0-2-4-8=-4．解得S0=10.故选D．4．解析：将这列数分布为：1，2，3，3，2，1；2，3，4，4，3，2；3，4，5，5，4，3；4，5，6，6，5，4；…，发现如果每6个数成一组，每组的第一个数(或最后一个数)依次为1，2，3，4，…，每组的数都是先按1递增两次，再相等一次，最后按1递减两次；因为2016=336×6，所以第2016个数是336．故选B．5．解析：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=45，m=90，n=45；第三次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件。

故输出的m值为45．故选C．6．解析：由题设得3+4=-5，9+24·+16=25，所以·=0，∠AOB=90°，所以S△OAB=|OA||OB|=，同理S△OAC=，S△OBC=，所以S△ABC=S△OBC+S△AOC+S△ABO=。

故选C．7．解析：由已知归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数字等于上一行该数字“肩膀”上的两个数字的和，故A(15，2)=++++…+=+2（-）=，故选C．8．解析：第一次循环：n=2，x=2t，a=1；n=2<4，第二次循环：n=4，x=4t，a=3；第三次循环：n=6，x=8t，a=3；n=6>4，终止循环，输出38t。

高二数学不等式及线性规划单元测试题

高二数学不等式及线性规划单元测试题一选择题1. 若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1 2．不等式)2(2-x 0log 2>x 的解集是 ( )． A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)3．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )．A ．18B ．6C ．23D ．2434.下列函数中，最小值是4的函数是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 815.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)6.已知奇函数)(x f 在(0，＋∞)上是增函数，且)1(f ＝0，则不等式xx f x f )()(－－＜0的解集为( )．A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)7.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤+1011y x x y x ，则目标函数2-=x y z 的取值范围为（）A ．[]3,3-B ．[]2,2-C ．[]1,1-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32 8. 设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（）（A ）[13,1+3]- （Ｂ）(,13][1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[222,2+22]- （Ｄ）(,22][2+22,+)-∞-∞9..若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1210.已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈z ),且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为 ( )． A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)D ．(0,1)11. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为( )A ．223 B ．5 C ．29D ．512.已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3二填空题13.设0<x <2，函数f (x )＝)38(x x -•的最大值是____14题图14.已知平面区域如图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为( )． A ．－207 B ．207 C ．21D ．不存在15.设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为______16. 当实数x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．三解答题17.已知x ＞0,y ＞0且082=-+xy y x ,求：（1）xy 的最小值；（2）x +y 的最小值.18.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示：利润(万元)6 12问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨时，获得利润总额最大？19.解关于x 的不等式11>-x ax（R a ∈)20.选修4-5：不等式选讲求证：1＋12＋13＋…＋1n＞2(n －1)(n ∈N ＋)．21.选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．。

高中数学必考题型训练之不等式与线性规划 (1)

第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当zxy 取得最小值时,x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点P (1,12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点,A ,B 是C 上的两动点,且线段AB 的中点Q (m ,n )在直线OM 上.(1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m 2,求d 的最大值.整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0,1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a 2)在x ＝a 处取最小值,则a 等于( )A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.43.设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a ＋1b 的最小值为( )A.8B.4C.1D.144.已知m ＝a ＋1a －2(a >2),n ＝x －2(x ≥12),则m 与n 之间的大小关系为( )A.m <nB.m >nC.m ≥nD.m ≤n 5.已知正数x ,y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立,则实数λ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知a >0,b >0,若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立,则m 的最大值为( )A.4B.16C.9D.3 7.若正实数x ,y 满足2x ＋y ＋6＝xy ,则xy 的最小值是________.8.已知a >0,b >0,函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数,则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________.9.若对任意x >0,xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则a 的取值范围是________.10.(1)已知0<x <25,求y ＝2x －5x 2的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值.11.如图,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由.12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用100万元购得一块土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为800元.(1)若建筑第x层楼时,该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出y ＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当zxy 取得最小值时,x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.破题切入点 (1)利用基本不等式确定zxy 取得最小值时x ,y ,z 之间的关系,进而可求得x ＋2y －z的最大值.(2)可采用换元法,将函数解析式进行变形,利用基本不等式求解最值. 答案 (1)C (2)15解析 (1)z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx－3≥2x y ·4yx－3＝1, 当且仅当x ＝2y 时等号成立, 因此z ＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2,所以x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2.故选C. (2)令t ＝x －1≥0,则x ＝t 2＋1, 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0,即x ＝1时,y ＝0；当t >0,即x >1时,y ＝1t ＋4t＋1, 因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号),所以y ＝1t ＋4t＋1≤15,即y 的最大值为15(当t ＝2,即x ＝5时y 取得最大值).题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点P (1,12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点,A ,B 是C 上的两动点,且线段AB 的中点Q (m ,n )在直线OM 上.(1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m2,求d 的最大值. 破题切入点 (1)依条件,构建关于p ,t 的方程；(2)建立直线AB 的斜率k 与线段AB 中点坐标间的关系,并表示弦AB 的长度,运用函数的性质或基本不等式求d 的最大值. 解 (1)y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－p2,∴1－(－p 2)＝54,p ＝12,∴抛物线C 的方程为y 2＝x . 又点M (t,1)在曲线C 上,∴t ＝1.(2)由(1)知,点M (1,1),从而n ＝m ,即点Q (m ,m ), 依题意,直线AB 的斜率存在,且不为0, 设直线AB 的斜率为k (k ≠0). 且A (x 1,y 1),B (x 2.y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2, 故k ·2m ＝1,所以直线AB 的方程为y －m ＝12m(x －m ), 即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x , 整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0,所以Δ＝4m －4m 2>0,y 1＋y 2＝2m ,y 1y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2 ＝2(1＋4m 2)(m －m 2)∴d ＝|AB |1＋4m 2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1,当且仅当m ＝1－m ,即m ＝12时,上式等号成立.又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0,∴d 的最大值为1.总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时,注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点.在具体题目中,一般很少直接考查基本不等式的应用,而是需要将式子进行变形,寻求其中的内在关系,然后利用基本不等式求出最值.(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”,所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.若连续使用基本不等式求最值,必须保证两次等号成立的条件一致,否则最值就取不到.1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a 2－a 2a ＋b ＝0,∴v >a .2.若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值,则a 等于( )A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 ∵x >2,∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2 ≥2(x －2)×1x －2＋2＝4,当且仅当x －2＝1x －2,即x ＝3时等号成立,即a ＝3,f (x )min ＝4.3.设a >0,b >0,若3是3a 与3b 的等比中项,则1a ＋1b 的最小值为( )A.8B.4C.1D.14答案 B解析因为3a ·3b ＝3,所以a ＋b ＝1. 1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4,当且仅当b a ＝a b, 即a ＝b ＝12时等号成立.4.已知m ＝a ＋1a －2(a >2),n ＝x －2(x ≥12),则m 与n 之间的大小关系为( )A.m <nB.m >nC.m ≥nD.m ≤n 答案 C解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4(a >2),当且仅当a ＝3时,等号成立.由x ≥12得x 2≥14,∴n ＝x －2＝1x2≤4即n ∈(0,4],∴m ≥n .5.已知正数x ,y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立,则实数λ的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 ∵x >0,y >0,∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号). 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y, 而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y＝2, ∴当且仅当x ＝2y 时,⎝⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2.6.已知a >0,b >0,若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立,则m 的最大值为( )A.4B.16C.9D.3 答案 B解析因为a >0,b >0,所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3ab 恒成立.因为3b a ＋3ab≥23b a ·3ab＝6, 当且仅当a ＝b 时等号成立,所以10＋3b a ＋3ab ≥16,所以m ≤16,即m 的最大值为16,故选B.7.若正实数x ,y 满足2x ＋y ＋6＝xy ,则xy 的最小值是________. 答案 18解析 ∵x >0,y >0,2x ＋y ＋6＝xy ,∴22xy ＋6≤xy ,即xy －22xy －6≥0, 解得xy ≥18.∴xy 的最小值是18.8.已知a >0,b >0,函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数,则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________. 答案 16解析根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0,函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0,得ab ＝a ＋4b ≥4ab ,解得ab ≥16(当且仅当a ＝8,b ＝2时等号成立),即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.9.若对任意x >0,xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3对任意x >0恒成立,设u ＝x ＋1x ＋3,∴只需a ≥1u 恒成立即可.∵x >0,∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号). 由u ≥5知0<1u ≤15,∴a ≥15.10.(1)已知0<x <25,求y ＝2x －5x 2的最大值；(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值.解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x ).∵0<x <25,∴5x <2,2－5x >0,∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1,∴y ≤15,当且仅当5x ＝2－5x ,即x ＝15时,y max ＝15.(2)设x ＋1＝t ,则x ＝t －1(t >0), ∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t ,即t ＝2,且此时x ＝1时,取等号,∴y min ＝9.11.如图,建立平面直角坐标系xOy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k >0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0,得kx －120(1＋k 2)x 2＝0,由实际意义和题设条件知x >0,又k >0, 故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10, 当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a >0,所以炮弹可击中目标⇔存在k >0, 使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔0<a ≤6. 所以当a 不超过6千米时,可击中目标.12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用100万元购得一块土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为800元.(1)若建筑第x 层楼时,该楼房综合费用为y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出y ＝f (x )的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元, 建筑第1层楼房建筑费用为720×1000＝720000(元)＝72(万元), 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1000＝20000(元)＝2(万元), 建筑第x 层楼时,该楼房综合费用为y ＝f (x )＝72x ＋x (x －1)2×2＋100＝x 2＋71x ＋100,综上可知y ＝f (x )＝x 2＋71x ＋100(x ≥1,x ∈Z ). (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g (x ), 则g (x )＝f (x )×100001000x ＝10f (x )x＝10(x 2＋71x ＋100)x＝10x ＋1000x ＋710≥210x ·1000x＋710＝910.当且仅当10x ＝1000x ,即x ＝10时等号成立.综上,可知应把楼层建成10层,此时平均综合费用最低,为每平方米910元.。

高考数学(简单版)-1不等式与线性规划-简单难度-习题

不等式与线性规划一、选择题（共12小题；共60分）1. 设，，，且，则A. B. C. D.2. 如果，那么下列不等式成立的是A. B. C. D.3. 设，且，则A. B. C. D.4. 已知，，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.5. 下面给出的四个点中，位于所表示的平面区域内的点是A. B. C. D.6. 集合，，则A. B. C. D.7. 已知全集为，集合，，则为A. B.C. D.8. 不等式组的解集是A. B.C. D.9. 设，且，则A. B. C. D.10. 已知，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.11. 已知实数，满足不等式组则的最小值为A. B. C. D. 无最小值12. 若，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（共5小题；共25分）13. 不等式的解集是．14. 用反证法证明命题“若，且，则，中至少有一个小于”时，假设的内容应该是．15. 或型不等式的解法．16. 已知点是的重心，若，，则的最小值是．17. 地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如表：安全出口编号疏散乘客时间则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是．三、解答题（共5小题；共65分）18. 设是非负实数，求证：．19. 设，求证：．20. 已知，，是全不相等的正实数，求证：．21. 设函数．（1）求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．22. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?答案第一部分1. D2. B3. B4. C5. C6. B 【解析】因为，所以，，故．7. B 【解析】，，则．8. C 【解析】本题是考查含有绝对值不等式的解法，由，知，所以，又，所以，解原不等式组实为解不等式．解法一：不等式两边平方得：，所以，即，所以，又．所以，所以，故选C．解法二：因为，所以可分为两种情况讨论：（1）当时，不等式组化为；解得．（2）当时，原不等式组可化为，解得．综合（1）、（2）得，原不等式组的解为，选C．9. D 【解析】A选项，当时，，故A不正确；B选项，当时，显然不正确；C选项，当，时，，C不正确；D选项，因为是单调增函数，所以当时，，D正确．10. B11. C 【解析】不等式组表示的区域如图所示，则可知目标函数过点时，有最小值，由得，，则．12. C第二部分13.14. 假设，两者都大于或等于15. ，或，16.【解析】因为，，所以，因为是重心，所以，所以，所以．17. D第三部分18. 由是非负实数，作差得当时，，从而得当时，，从而得所以19.因为，所以，所以．20. 因为，，是全不相等的正实数，所以与，与，与全不相等，所以，，，三式相加得，，所以，即．21. （1）不等式等价于或或解得：或或．所以或，所以不等式的解集为或．（2）因为所以．若，恒成立，则只需，即．综上所述．22. 设供应空调机台，洗衣机台，由题意，得利润．作出上述不等式组对应的可行域，如图所示．由，解得则当，时，最大，且此时（百元），答：空调机台，洗衣机台，可获最大利润元．。

高考数学考点训练题：五、不等式与线性规划

五、不等式与线性规划【题组一】1、已知实数,x y 满足约束条件102022x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A .3-B .1-C .1D .322、已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．3、已知实数,x y 满足约束条件40240240x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A .1-B .2C .12D .21-或【题组二】 1、已知实数,x y 满足约束条件20302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22z x y =+的最小值为（）A .5B .92 C.2 D .1322、已知实数,x y 满足约束条件30200x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若当1,2x y =-=时，z ax y =+取得最小值，则实数a 的取值范围是 .3、已知实数,x y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（） A .5- B .3 C .53-或 D .53-或【题组三】1、已知实数,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则1y z x =+的最小值为（） A .12- B .16- C .0 D .252、已知实数,x y 满足约束条件211y x x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+-的最大值为（）A .2B .2C .32D .63、某旅行社租用,A B 两种型号的客车安排900名客人旅行，,A B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（）A .31200元B .36000元C .36800元D .38400元五、不等式与线性规划（答案解析）【题组一】1、已知实数,x y 满足约束条件102022x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（）A .3-B .1-C .1D .32【答案】B【解析】作出可行域如右图阴影部分所示，22z x y y x z =-⇒=-∴要使z 取得最大值，则直线2y x z =-在y 轴上的截距z -须达到最小．由图可知，当直线2y x =平移经过点A 时，直线2y x z =-的纵截距达到最小．由1022x y x y -+=⎧⎨+=⎩得(0,1)A ，则min 2011z =⨯-=-．故选B ．2、已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．【答案】2±【解析】作出可行域如右图阴影部分所示：2221(1)3(1)33(1)z z a x a y y x a =+-+⇒=-+．∴要使z 取得最小值，则直线2133(1)z y x a =-+在y 轴上的截距23(1)z a -+须达到最大．由图可知，当直线13y x =平移经过点A 时，直线2133(1)z y x a =-+的纵截距达到最大．由220220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得(2,2)A ，则22min 2(1)6(1)202z a a a =+-+=-⇒=±．3、已知实数,x y 满足约束条件40240240x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A .1-B .2C .12D .21-或【答案】C【解析】作出可行域如右图阴影部分所示，z ax y y ax z =-⇒=-．∴要使z 取得最大值，则直线y ax z =-在y 轴上的截距z -须达到最小．① 当0a =时，此时目标函数z y =-只在点A 处取得最大值，不符合题意；② 当0a >时，直线y ax z =-的斜率为0k a =>．要使z ax y =-取得最大值的最优解不唯一，则直线y ax z =-与直线240x y --=平行，此时12a =； ③ 当0a <时，显然不符合题意．综上所述，12a =．故选C ．【题组二】 1、已知实数,x y 满足约束条件20302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22z x y =+的最小值为（）A .5B .92 C .32 D .132 【答案】B【解析】作出可行域如右图阴影部分所示，22z x y =+所表示的几何意义为原点(0,0)O 到可行域内的点(,)x y 的距离的平方．由图可知，原点(0,0)O 到图中阴影部分中的直线30x y +-=的距离的平方时，此时22z x y =+取得最小值，最小值为2min 220039()211z +-==+，故选B ． 2、已知实数,x y 满足约束条件30200x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若当1,2x y =-=时，z ax y =+取得最小值，则实数a 的取值范围是 .【答案】[2,)+∞【解析】作出可行域如右图阴影部分所示，z ax y y ax z =+⇒=-+∴要使z 取得最小值，则直线y ax z =-+在y 轴上的截距z 须达到最小易知(1,2)A -，直线y ax z =-+的斜率为k a =-，1AB k =，2OA k =-① 当0a =时，此时目标函数z y =只在原点(0,0)O 处取得最小值，不符合题意；② 当0a >时，0k a =-<，要使z ax y =+在点(1,2)A -处取得最小值，则须满足2a -≤-，则2a ≥； ③ 当0a <时，0k a =->，显然z ax y =+只能在原点(0,0)O 处取得最小值，不符合题意．综上所述，2a ≥．3、已知实数,x y 满足约束条件1x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（） A .5- B .3 C .53-或 D .53-或【答案】B【解析】作出可行域如右图阴影部分所示，① 当0a =时，此时目标函数z x =无最小值，不符合题意；② 当0a >时，1z z x ay y x a a=+⇒=-+．则直线1z y x a a =-+的斜率为10k a=-<，直线x y a +=的斜率为1k =-．∴要使z 取得最小值，则直线1z y x a a =-+在y 轴上的截距z a须达到最小．由图可知，当11a -≥-，即1a ≥时，目标函数z x ay =+在点11(,)22a a A -+处取得最小值则min 11735()22a a z a a a -+=+⋅=⇒==-或舍去； ③ 当0a <时，1z z x ay y x a a=+⇒=-+．则直线1z y x a a =-+的斜率为10k a=->． ∴要使z 取得最小值，则直线1z y x a a =-+在y 轴上的截距z a须达到最大．由图可知，直线1z y x a a=-+的纵截距没有最大值，不符合题意．综上所述，3a =．故选B ．【题组三】1、已知实数,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则1y z x =+的最小值为（） A .12- B .16- C .0 D .25【答案】A 【解析】作出可行域如右图阴影部分所示，1y z x =+所表示的几何意义为(-1,0)D 与可行域内的点(,)x y 连线的斜率，由图可知，(-1,0)D 与可行域中的点A 的连线斜率达到最小．由21x y y -=⎧⎨=-⎩得(1,1)A -，则min 11112z -==-+．故选A ．2、已知实数,x y 满足约束条件211y x x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+-的最大值为（）A .2B .2C .32D .6【答案】D【解析】作出可行域如右图阴影部分所示，3z x y =+-所表示的几何意义为可行域内的点(,)x y 到直线30x y +-=的距离的2倍．由图可知，可行域内的点A 到直线30x y +-=的距离达到最大由21y x x y =⎧⎨-=⎩得(1,2)A --，则max 1(2)36z =-+--=．故选D ．3、某旅行社租用,A B 两种型号的客车安排900名客人旅行，,A B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（）A .31200元B .36000元C .36800元D .38400元【答案】C【解析】设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，租金为z 元．由已知条件可得3660900217,x y x y y x x y N+≥⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪∈⎩，目标函数为16002400z x y =+．作出可行域如右图阴影部分所示，21600240032400z z x y y x =+⇒=-+． ∴要使z 取得最小值，则直线232400z y x =-+在y 轴上的截距2400z 须达到最小．由图可知，当直线23y x =-平移经过点B 时，直线232400z y x =-+的纵截距达到最小．由36609007x y y x +=⎧⎨-=⎩得(5,12)B ，则min 1600524001236800()z =⨯+⨯=元，故选C ．。

高三理科数学不等式及线性规划试题.doc

一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用1. (2011•陕西)设Ovavb,则下列不等式中正确的是()I — ci + b I — ci+b I a + b i — ci + bA. a<b<\]cib -B. ab< ? <bC. a<\]ab0, b>0,且两数几Y )=4x 3~ax 2~2bx+2在x=l 处有极值，则“的最大值等于()3. （2011•广东B ）不等式2?-x-l>0的解集是（）x+2y-5^04. （201b 山东）设变量x, y 满足约束条件y —2W0 ,则冃标函数z=2x+3y+l 的最Q05，9. （2011•湖南）设加>1,在约束条件｛yWmr, 下，日标函数z=x+5y 的最人值为4,则加、兀+応1A. 2B ・3 C- 6D. 9A (-1)B. (1, +呵C. (—8, 1)U(2, +8)D(-oo-£)U(1, +oo)大值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8.5x+2y —520,5. （201b 浙江）若实数兀，y 满足不等式组忖+y —720,则3x+4y 的最小值是（）.心0,心0, A. 13 B. 15 C. 20 D. 286. （2011-商丘市高三一模）定义在R 上的函数几灯满足斤3）= 1, f （朗为冗0的导函数，y=f （%）的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f （3a+b ）<\f 贝I#手的取值范围是（）A. （1,2）B. （2,5）C. （1,5）D. （—I 1）U （5, +8）7. （2011•陕西省高考全真模拟一）若方是正常数，aHb, x.2 2 2萨（0, +<-）,贝lf+『嚅L ，当且仅当兰时上式取等号.利用以上结论，可以得到心。

高一数学不等式直线线性规划练习题

高一数学不等式直线线性规划练习题一、选择题（本大题共10小题•每小题5分•共50分）1 •设直线/的方程为:x+y — l = 0,则下列说法不正确的是。

（）A. 点集｛（x,y ）lx + y — l = 0｝的图形与x 轴、y 轴围成的三角形的而积是定值B. 点集｛（x,y ） I x + y _ 1 > 0 ｝的图形是Z 右上方的平面区域C. 点集｛（圮y ）\-x -y + \<0 ｝的图形是/左下方的平面区域D.点集｛（x,y ）lx + y -〃 [ = 0,伽w/?）｝的图形与x 轴、y 轴圉成的三角形的而积有最小值2.已知x, y 满足约朿条件；；；“贝贬= 2x + y 的最大值为（）y>-lA. 3oB ・ -3C. loD.-23•如果函数y = ax'+bx + a 的图象与x 轴有两上交点，贝ij 点（ab ）在“Ob 平面上的区D ・ e D^P 2 e D6•已知点P （gy 。

）和点A （l, 2）在直线/:3x+2y-8 = 0的异侧贝（C ・ 3x 0 + 2)b < 8 ”D ・ 3x° + 2y 0 > 8D.4 •图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为。

A.0<x<2 C..v + 2v-2<0 5 •不等式组v 表示的区域为D,点Pi ( 0 , -2), P 2 (0,0)侧A. P x g D^P 2 g DB. P 、电 £)且* w DC. x>0A. 3x0 + 2凡 > 0oB. 3x（）+ 2儿 < 07.已知点P (0,0), Q(l,0), R(2,0), S(3.0),则在不等式3x+y-6>0表示的平而区域内的点是0 °()^A.P N Q B・ Q. R〉C・ R、S°D・S、PV - 1 < 0&在约束条件”+、七1一下，则目标函数Z = 10x+ y的最优解是2( )x> 0A.(0, 1), (1,0) oB.(0,1 ),(0,— 1)C. ( 0 , -1) , ( 0 ,0)°D. (0, -1), ( 1 , 0)9. 满足卜| +卜|52的整点的点(x, y)的个数是。

山东省高考数学(理科)-不等式与线性规划-专题练习有答案

山东省高考数学（理科）专题练习不等式与线性规划【高考题、模拟题重组练】一、基本不等式1．（2016·日照一模）若实数x ，y 满足0xy >，则22x yx y x y+++的最大值为（）)()2,+∞1+∞)( 2,)15．（2016·滨州一模）已知x，y满足2,2,8,xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，(0)x yzba ba=≥>+的最大值为2，则a b+的最小值为________．＝A－2＋A－＋4 tan A－22)＋tan －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当故tan A tan B tan C 的最小值为8.] 二、线性规划问题5．C[作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.] 6．B[根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程7．C[作出线段AB ，如图所示.－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]9．216 000[设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0).y⎩⎪⎨＋x ，x ．故选D.] log 2ab ＋b －＋12b －32y ≤0，－－－－＝6z ＝x ＋1y ＋2的最小值为．由题意作出其平面区域如图，7．D[作出不等式组对应的平面区域如图，22．作出可行域，如图所示的阴影部分⎣⎦。

高考备考数学专项练习：不等式与线性规划

高考备考数学专项练习：不等式与线性规划学无止境，初中是人一辈子成长变化最快的时期，因此应该用心去想，去做好每件事，查字典数学网为大伙儿整理了2021年高考备考数学专项训练：不等式与线性规划,期望能够关心到更多学子。

一、选择题1.不等式ax2+bx+20的解集是，则a+b的值是()A.10B.-10C.14D.-14答案：D 命题立意：本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，难度中等.解题思路：由题意知ax2+bx+2=0的两个根为-，，-+=-，-=，a=-12，b=-2，a+b=-14.2.函数y=ax+3-2(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线+=-1上，且m0，n0，则3m+n的最小值为()A.13B.16C.11+6D.28答案：B 解题思路：函数y=ax+3-2的图象恒过A(-3，-1)，由点A在直线+=-1上可得，+=-1，即+=1，故3m+n=(3m+n)=10+3.因为m0，n0，因此+2=2，故3m+n=10+310+32=16，故选B.3.已知变量x，y满足约束条件则z=的取值范畴为()A.[1,2]B.C. D.答案：B 命题立意：本题是线性规划问题，第一准确作出可行域，然后明确目标函数的几何意义是可行域内的点与点(-1，-1)连线的斜率，最后通过运算求出z的取值范畴.解题思路：由已知约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (1,1)，B(1,2)，目标函数z=的几何意义为可行域内的点与点P(-1，-1)连线的斜率，kPA=1，kPB=，故选B.4.设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0，b0)的最大值为12，则+的最小值为()A. B.C. D.4答案：B 解题思路：画出不等式组表示的可行域，如图所示.当直线ax+by=z过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6.而+==++2=，故选B.5.若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值为()A.0B.1C.D.9答案：B 解题思路：可行域是由点，(0,1)，(0,0)为边界的三角形区域，z=3x+2y的最小值在m=x+2y取得最小值时取得，m=x+2y在通过(0,0)时取得最小值，即z=3x+2y最小值为30=1，故选B.6.已知函数f(x)=则不等式f(a2-4)f(3a)的解集为()A.(2,6)B.(-1,4)C.(1,4)D.(-3,5)答案：B 命题立意：本题以分段函数为载体，考查了函数的单调性以及不等式等知识，考查了数形结合的思想.解题时第一作出函数f(x)的图象，依照图象得到函数的单调性，进而得到不等式的解集.解题思路：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的.由f(a2-4)f(3a)，可得a2-43a，整理得a2-3a-40，即(a+1)(a-4)0，解得-17.(呼和浩特第一次统考)已知正项等比数列{an}满足S8=17S4，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为()A. B.C. D.答案：C 命题立意：本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式与均值不等式的综合应用，难度中等.解题思路：由已知S8=17S4=1+q4=17，又q0，解得q=2.因为各项均为正项，因此==a1=4a1，整理得2m+n-2=16m+n=6.由均值不等式得+===，当且仅当m=n=3时，取得最小值.8.定义区间(a，b)，[a，b)，(a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)[3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3.用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中xR.设f(x)=[x]{x}，g(x)=x-1，当0k时，不等式f(x)A.6B.7C.8D.9答案：B 命题立意：本题考查函数与不等式知识以及对已知信息的明白得和迁移能力，难度中等.解题思路：f(x)=[x]{x}=[x](x-[x])=[x]x-[x]2，由f(x)1，不合题意;当x[1, 2)时，[x]=1，不等式为00，无解，不合题意;当x2时，[x]1，因此不等式([x] -1)x[x]2-1等价于x[x]+1，现在恒成立，因此现在不等式的解为2k.因为不等式f(x)9.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为()A.1B.2C.3D.8答案：C 解题思路：作出约束条件的可行域，知(1,1)为所求最优解，zmin=21+1=3.10.设曲线x2-y2=0的两条渐近线与抛物线y2=-4x的准线围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y+5的最大值为()A.4B.5C.8D.12答案：C 解题思路：由x2-y2=0得曲线为y=x.抛物线的准线为x=1，因此它们围成的三角形区域为三角形BOC.由z=x-2y+5得y=x+(5-z)，作直线y=x，平移直线y=x，当直线y=x+(5-z)通过点C时，直线y=x+(5-z)的截距最小，现在z最大.由得x=1，y=-1，即C(1，-1)，代入z=x-2y+5得z=8.二、填空题11.已知变量x，y满足则u=log4(2x+y+4)+的最大值为________.答案：2 解题思路：满足的可行域如图中阴影所示，令z=2x+y+4，则y=-2x+(z-4).将虚线上移，得到y=-2x+(z-4)过直线2x-y=0与x-2y+3=0的交点时最大.又即过(1,2)时，zmax=2+2+4=8，故u=log4(2x+y+4)+的最大值是log48+=log2223+=+=2.12.已知向量a=(1，-2)，M是平面区域内的动点，O是坐标原点，则a 的最小值是________.答案：-3 命题立意：本题考查平面向量的数量积运算、简单的线性规划问题，考查学生的作图能力、运算能力，难度中等.解题思路：作出线性约束条件表示的可行域如图所示，设可行域内任意点M(x，y)，则=(x，y).因为a=(1，-2)，因此a=(1，-2) (x，y)=x-2y.令z=x-2y，则y=-，作出直线y=-，能够发觉当其过点(1,2)时，-有最大值，z有最小值.将x=1，y=2代入，得zmin=1-4=-3.13.设x，y满足约束条件则x2+y2的最大值与最小值之和为______.答案：命题立意：本题要紧考查二元一次不等式组表示的平面区域及数形结合思想，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.解题思路：作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.由图可知x2+y2的最大值在x-2y=-2与3x-2y=3的交点处取得，解得交点坐标为，因此x2+y2的最大值为，最小值是原点到直线x+y=1的距离的平方，即为，故所求的和为.14.若{(x，y)|x2+y225}，则实数b的取值范畴是________.答案：[0，+) 解题思路：如图，若(x，y)x-2y+50,3-x0，y-x+b非空，(x，y)x-2y+50,3-x0，y-x+b{(x，y)|x2+y225}，则直线y=-x+b在直线y=-x与直线y=-x+8之间平行移动，故0若(x，y)x-2y+50,3-x0，y-x+b为空集，则b8，故b的取值范畴是[0，+).15.若不等式组表示的平面区域的面积为3，则实数a的值是________.答案：要练说，得练看。