2016届高考数学第二轮复习限时训练题34.doc

合集下载

2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练规范练4Word版含解析

规范练四解析几何问题1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线l 1：3x ＋4y ＝0的距离为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点恰好在直线l 1上，求△OAB 的面积S 的最大值(其中O 为坐标原点)．解 (1)由题意，得e ＝c a ＝12.∴右焦点(c,0)到直线3x ＋4y ＝0的距离为35，∴3c5＝35，∴c ＝1，∴a ＝2. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 2：y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，因此x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3. ∴AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km4k 2＋3，3m 4k 2＋3，又点M 在直线l 1上，得3×－4km 4k 2＋3＋4×3m4k 2＋3＝0，∴k ＝1，故x 1＋x 2＝－8m 7，x 1x 2＝4m 2－127，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4677－m 2，原点O 到AB 的距离为d ＝|m |2＝22|m |，∴S ＝237m 2(7－m 2)≤237×m 2＋(7－m 2)2＝3，当且仅当m 2＝72时取到等号，经检验此时Δ>0成立．故△OAB 的面积S 的最大值为 3.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l ：x －y ＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝4，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(1)解 ∵等轴双曲线离心率为2，∴椭圆C 的离心率e ＝22.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵由x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得 b ＝1，∴a 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12.此时AB 方程为x ＝－12，显然过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由已知k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4，∴kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －kmm ＋1＝2，∴k ＝2(m ＋1)， ∴m ＝k 2－1.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k2－1，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1.∴直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.综上，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上两点，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m ·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)试问△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解 (1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32. ∴a ＝2，c ＝ 3.故椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)①当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由m ·n ＝0，得x 21－y 214＝0⇒y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1.②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b (其中b ≠0)，代入y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.有Δ＝(2kb )2－4(k 2＋4)(b 2－4)＝16(k 2－b 2＋4)>0，x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由已知m ·n ＝0得x 1x 2＋y 1y 24＝0⇔x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4，代入Δ中可得b 2>0满足题意，∴S ＝12|b |1＋k 2|AB |＝12|b | (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1.综上，所以△ABC 的面积为定值．4．如图，已知A 是圆x 2＋y 2＝4上的一个动点，过点A 作两条直线l 1，l 2.它们与椭圆x 23＋y 2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M ，N .(1)若A (－2,0)，求直线l 1，l 2的方程；(2)①求证：对于圆上的任一点A ，都有l 1⊥l 2成立； ②求△AMN 面积的取值范围．(1)解设过点A 的直线的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋12k 2x ＋12k 2－3＝0，由Δ＝0得，k 2－1＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，得k 1＝1，k 2＝－1. ∴直线l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2，y ＝－x －2.(2)①证明 (ⅰ)当l 1，l 2斜率都存在时，设点A (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4.设经过点A (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝k (x －x 0)＋y 0，代入x 23＋y 2＝1化简得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3(y 0－kx 0)2－3＝0，由Δ＝0化简整理得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0， ∵x 20＋y 20＝4，∴(3－x 20)k 2＋2x 0y 0＋x 20－3＝0.设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，∵l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，∴k 1，k 2是方程(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋x 20－3＝0的两个根，即k 1k 2＝－1，∴l 1，l 2垂直．(ⅱ)当l 1，l 2其中有一条直线斜率不存在时，设l 1斜率不存在． ∵l 1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x ＝±3，当l 1方程为x ＝3时，此时l 1与圆交于点(3，±1)， ∴l 2方程为y ＝1(或y ＝－1)；显然直线l 1，l 2垂直；同理可证l1方程为x＝－3时，直线l1，l2垂直．综上，对于圆上的任意一点A，都有l1⊥l2成立．②解记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则△AMN的面积S＝2d1d2＝2|y0－k1x0|1＋k21·|y0－k2x0|1＋k22＝2|y20－x20－(k1＋k2)x0y0|2＋k21＋k22＝(12－2x20)29－2x20＝9－2x20＋99－2x20＋6.∵9－2x20∈[1,9]，∴S∈[23，4]．∴△AMN面积的取值范围为[23，4]．。

2016.4数学(文科)试题参考答案

p 1, p 2 2 2 圆心 C 的轨迹的方程是： y 4 x ……………………………5 分 A P （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 x my 1 ， x my 1 y 2 4my 4 0 …………………6 分联立方程组 2 O F y 4x 2 B 则 y1 y2 4m, y1 y2 4 0, 16m 16 0 ……………8 分设 P(1, t ) ，则 y t y t y t t t 第 19 题图 …10 分 k1 1 1 , k3 2 ， k2 1 1 2 x1 (1) my1 2 my2 2 ( y t )(my2 2) ( y2 t )(my1 2) k1 k3 1 (my1 2)(my2 2) 2my1 y2 (2 tm)( y1 y2 ) 4t ………………………………………………12 分 m2 y1 y2 2m( y1 y2 ) 4 2m (4) (2 tm) 4m 4t m2 (4) 2m 4m 4
f (0) a b 1 ……………………………………………………………………4 分 M 1 f (2) 3a b 1
两式相加得 a 1 ，即 a 的最大值为 1 （此时 b 2 ）…………………………………………6 分（Ⅱ）问题等价于： x [0, 2] 时， f ( x) max f ( x) min 当
D
4 5 A B ……………………………7 分 9 1 2 5 2 （Ⅱ）由 S ab sin C a 8 5 2 9 得： a b 6 ………………………………………………………………………9 分 CD 3, BC 6 1 2 又 cos C cos( 2 A) cos 2 A (1 2sin A) ……………………11 分 9 △ BCD 中，由余弦定理得： BD2 CD2 BC 2 2CD BC cos C 1 32 62 2 3 6 41 9 BD 41 ……………………………………………………………………14 分 2sin A cos A

2016届高考数学第二轮复习限时训练题46

知识改变命运限时规范训练八(建议用时45分钟)1．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3. 所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.知识改变命运因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 2．已知向量m ＝(sin 2x ，－1)，向量n ＝(3cos 2x ，－0.5)，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a＝13，c ＝2，且f (A )恰是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值，求A 和b . 解：(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 22x ＋1＋3sin 2x cos 2x ＋12＝1－cos 4x 2＋1＋32sin 4x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2， ∴T ＝2π4＝π2.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，－π6≤4x －π6≤5π6， ∴当4x －π6＝π2时，f (x )取得最大值3，此时x ＝π6.∴由f (A )＝3得A ＝π6.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴(13)2＝b 2＋22－2×2b cos π6，∴b ＝3 3.3．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中知识改变命运ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，故λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－ 2. 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，知识改变命运得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]． 4．已知在平面直角坐标系中，角φ，2x 的终边分别与单位圆(以坐标原点O 为圆心)交于A ，B 两点，函数f (x )＝OA →·OB→. (1)若当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝12，求sin 2φ. 解：因为角φ，2x 的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，所以OA→＝(cos φ，sin φ)，OB →＝(cos 2x ，sin 2x )，所以f (x )＝OA →·OB→＝cos 2x cos φ＋sin 2x sin φ＝cos(2x －φ)． (1)因为当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－φ＝－1，所以φ－4π3＝2k π－π，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2k π－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝12知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－φ＝12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ＝12，知识改变命运所以sin 2φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2φ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ－1＝2×14－1＝－12.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2016届高考数学第二轮复习限时训练题40

知识改变命运限时规范训练十四(建议用时45分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝b ，a 3＝c ，a ，b ，c 分别为△ABC的三个内角A ，B ，C 的对边，且cos B ＝34.(1)求数列{a n }的公比q ；(2)设集合A ＝{x ∈N |x 2<2|x |}，且a 1∈A ，求数列{a n }的通项公式．解：(1)依题意知b 2＝ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a －12＝34，而c a ＝q 2，代入上式得q 2＝2或q 2＝12， ∵在三角形ABC 中，a ，b ，c >0，∴q ＝2或q ＝22.(2)∵x 2<2|x |，∴x 4－4x 2<0，即x 2(x 2－4)<0，∴－2<x <2且x ≠0，又x ∈N ，∴A ＝{1}，∴a 1＝1，∴a n ＝(2)n －1或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1. 2．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n知识改变命运∈N *，都有T n <564. (1)解：由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2＋1n 2－1(n ＋2)2 ＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564. 3．已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋5n ，且满足a 4＝b 14，a 6＝b 126，令c n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{b n }及{c n }的通项公式；(2)设P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n ，Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ，试比较P n 与Q n 的大小，并说明理由．解：(1)b n ＝⎩⎨⎧ S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)＝⎩⎨⎧ 6(n ＝1)2n ＋4(n ≥2)＝2n ＋4(n ∈N *)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝b 14＝32，a 6＝b 126＝256，得q 2＝a 6a 4＝8，即q ＝22(负值舍去)．知识改变命运所以a n ＝a 4·q n －4＝32·(2)3n －12＝(2)3n －2，所以c n ＝log 2a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)知，cb n ＝3(2n ＋4)－2＝6n ＋10，所以{c bn }是以16为首项，6为公差的等差数列．同理，cc n ＝3(3n －2)－2＝9n －8，{cc n }是以1为首项，9为公差的等差数列．所以P n ＝cb 1＋cb 2＋…＋cb n ＝n (16＋6n ＋10)2＝3n 2＋13n ， Q n ＝cc 1＋cc 2＋…＋cc n ＝n (1＋9n －8)2＝92n 2－72n . 所以P n －Q n ＝－32n (n －11)．故当1≤n ≤10时，P n >Q n ；当n ＝11时，P n ＝Q n ；当n ≥12时，P n <Q n .4．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2；(3)设b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．(1)解：令x ＝y ＝1，∴f (2)＝f (1)2＝14 令x ＝n ，y ＝1，∴f (n ＋1)＝f (n )f (1)知识改变命运∴f (n ＋1)f (n )＝12 ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (2)证明：设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴T n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <2. (3)解：∵f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时， b n <0.∴当n ＝8或9时，S n 取得最大值．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2016届高考数学(理)二轮专题复习演练：专题三+第4讲+数列真题体验(人教版含答案)(浙江专用)

2
2
＝2 或 q ＝－ 3( 舍 ) ．于是 a3＋ a5＋ a7＝ q ( a1＋ a3＋ a5) ＝ 2× 21＝ 42.]
2．D [ ∵ S1，S2，S4 成等比数列， ∴ S22＝ S1·S4，又 Sn 为公差为－ 1 的等差数列的前 n 项和．从
而( a1＋ a1－ 1) 2＝a1
1 4a1－ 2×4×３，解得
所以 { an} 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，
通项公式为 an＝ 2n＋ 1.
(2) 由 an＝ 2n＋ 1 可知
1
1
11
1
bn＝
anan＋
＝
1
（
2
n＋
1）（
2
n＋
3）
＝
2
2n＋ 1－ 2n＋ 3
.
设数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn，则
Tn＝b1＋ b2＋…＋ bn
11 1 11
1
m（ a1＋ am）
＝am＋ 1－ am＝1. 由 Sm＝
2
＝0，得 m( a1＋ 2) ＝ 0，则 a1＝－ 2. 又 am＝a1＋ ( m－ 1) d＝ 2，
解得 m＝ 5.]
6．A [ 依题意知， a＋ b＝ p>0，ab＝ q>0. 则 a，b，－ 2 这三个数的 6 种排序中成等差数列的情况有： a， b，－ 2；－ 2， b， a； b， a，－ 2；－ 2， a， b. 三个数成等比数列的情况有： a，－ 2， b； b，－ 2， a.
1－ 2 ＝126，解得 n＝ 6.] 8． 3n－ 1 [ 由于 3S1， 2S2，S3 成等差数列．所以 4S2＝ 3S1＋ S3，即 3( S2－ S1) ＝ S3－ S2. ∴ 3a2＝ a3，则等比数列 { an} 的公比 q＝ 3. 故数列 { an} 的通项公式 an＝ a1qn－1＝ 3n－1 .]

2016届高考数学第二轮复习限时训练题33

知识改变命运限时速解训练二十一(建议用时45分钟)1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：选C.本题主要考查抛物线的标准方程和焦点坐标．将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.2．(2016·陕西省高三检测)已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( ) A.12 B.32 C ．1D ．2解析：选 B.因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.3．(2014·高考新课标卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )知识改变命运A ．4B ．2C ．1D ．8解析：选C.利用抛物线的定义．如图，F ⎝⎛⎭⎪⎫14.0，过A 作AA ′⊥准线l ，∴|AF |＝|AA ′|，∴54x 0＝x 0＋p2＝x 0＋14，∴x 0＝1.4．(2015·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y23＝1解析：选D.利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝± ba x 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知知识改变命运⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y23＝1.5．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选B.设抛物线的准线方程为x ＝－p2(p >0)，则根据抛物线的性质有p2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8，故选B.6．(2014·高考新课标卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3mD ．3m解析：选 A.首先将双曲线方程化为标准方程，再利用点到直线的距离公式求解．双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±知识改变命运33m x ＝±m m x ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.7．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析：选A.由双曲线方程可求出F 1，F 2的坐标，再求出向量MF 1→，MF 2→，然后利用向量的数量积公式求解．由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→＜0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20＜0，∴－33＜y 0＜33.故选A.8．(2015·高考重庆卷)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，知识改变命运左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12 B ．±22 C ．±1D ．±2解析：选C.根据两条直线垂直的条件，求出a ，b 之间的关系，进一步求出渐近线的斜率．由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b . ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ， ∴渐近线的斜率为±1.9．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316 B.38 C.233D.433解析 (基本法)知识改变命运∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x . 拋物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2. 设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20. ∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p 2－2.①又∵y ′＝1p x .∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.② 由①②得p ＝433. 答案 D(速解法) 由题意F (2,0)，不妨设渐近线为y ＝33x ， C 1焦点为F ′⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴F ′F 的方程为y ＝－p4(x －2)，对y ＝12p x 2求导，设M (x 0，y 0)， ∴k ＝x 0p ＝33，又y 0＝12p x 20，∴x 202p ＝－p 4(x 0－2)，∴x 20p 2＝－12(x 0－2)，∴－12(x 0－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，∴x 0＝43，知识改变命运∴p ＝433. 答案 D10．(2014·高考山东卷)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选A.设C 1的离心率e 1＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2， C 2的离心率e 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. e 1e 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝32. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝1－34＝14， ∴b a ＝22.∴渐近线y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.11．(2016·唐山市高三模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( ) A.12B.3－12知识改变命运C.32D.3－1 解析：选D.设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋c×(－3)＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，代入椭圆方程中，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∴e ＝3－1.12．(2016·贵阳市高三模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( ) A ．1＋2 2 B ．4－2 2 C ．5－2 2 D ．3＋2 2解析：选C.如图，设|AF 2|＝x ，则|AF 1|＝|AF 2|＋2a ＝2a ＋x . 又∵△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴|AB |＝|AF 1|＝2a ＋x ，∴|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＋2a ＝4a ，∴4a ＝2(2a知识改变命运＋x )，x ＝2(2－1)a ，又∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(2a ＋x )2＋x 2＝4c 2，即8a 2＋4(3－22)a 2＝4c 2，e 2＝c2a 2＝5－2 2.13．双曲线x 24－y 212＝1的两条渐近线与直线x ＝1围成的三角形的面积为__________．解析：由题知，双曲线的渐近线为y ＝±3x ，故所求三角形的面积为12×23×1＝ 3. 答案： 314．(2015·高考北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a ＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33. 答案：3315.(2016·兰州市高三模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是__________．解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝32，∴抛物线的方程是y2＝3x.答案：y2＝3x16．(2015·高考山东卷)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．解析：先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率．如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦知识改变命运精品文档你我共享知识改变命运点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a ＝2＋ 3.答案：2＋ 3薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练补偿练6Word版含解析

补偿练六不等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R |2x ＋1<0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －2)<0}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 D ．(2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－12，B ＝{}x |－1<x <2，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <－12. 答案 B2．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：①若a >b ，则1a <1b ；②若a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若ac 2>bc 2，则a >b ；④若c >a >b >0，则a c －a >bc －a.其中正确的命题的序号是 ( )．A ．①④B ．①②④C ．③④D ．②③解析当a >0>b 时，1a >1b ，故命题①错误；当a >0，b <0，且a <|b |，k 是偶数时，命题②错误；当ac 2>bc 2时，因为c 2>0，所以a >b ，即命题③正确；对于命题④，因为c >a ，所以c －a >0，从而1c －a >0，又a >b >0，所以a c －a >b c －a，故命题④正确．答案 C3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )．A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析由题意知f (1)＝3，故原不等式可化为⎩⎨⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎨⎧x <0，x ＋6>3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案 A4．已知正数x ，y 满足4x ＋9y ＝1，则xy 有( )．A ．最小值12B ．最大值12C ．最小值144D ．最大值144解析 ∵x ，y 是正数， ∴1＝4x ＋9y ≥236xy ＝121xy ，∴xy ≥144，等号在4x ＝9y ＝12，即x ＝8，y ＝18时成立．答案 C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤8，则目标函数z ＝x －y 的最小值为( )．A ．－2B ．5C ．6D ．7解析由z ＝x －y ，得y ＝x －z .作出不等式对应的平面区域BCD ，平移直线y ＝x －z ，由平移可知，当直线y ＝x －z 经过点C 时，直线的截距最大，此时z 最小．由⎩⎨⎧ y ＝2x －1，x ＋y ＝8，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝5，即C (3,5)，代入z ＝x －y 得最小值为z ＝3－5＝－2. 答案 A6．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( )．A ．－16B ．－6C ．－83 D ．6解析由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z3，先作出⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 的图象，如图所示，因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.答案 B7．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )．A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k的区域BOC ，如图所示，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝－x ＋6，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，所以k ＝3 ，解得B (－6,3)代入z ＝x ＋y 的最小值为z ＝－6＋3＝－3. 答案 A8．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )．A ．1 B.12 C.14 D.16解析由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－a b x ＋z b ，可知斜率为－ab <0，作出可行域如图，由图象可知当直线y ＝－a b x ＋z b 经过点D 时，直线y ＝－a b x ＋zb 的截距最小，此时z 最小为2，由⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即D (2,3)，代入直线ax ＋by ＝2得2a ＋3b ＝2，又2＝2a ＋3b ≥26ab ，所以ab ≤16，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时取等号，所以ab 的最大值为16.答案 D 二、填空题9．若点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为________．解析因为点A (1,1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n2＝1，所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝12＋12＋n 2m ＋m2n ≥1＋2n 2m ·m 2n ＝2，当且仅当n 2m ＝m2n ，即m 2＝n 2时取等号．所以1m ＋1n 的最小值为2. 答案 210．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值为________．解析 lg 2x ＋lg 8y ＝x lg 2＋3y lg 2＝lg 2，∴x ＋3y ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ·(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号．答案 411．已知P (x ，y )满足⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤x ＋y ≤2.则点Q (x ＋y ，y )构成的图形的面积为________．解析令x ＋y ＝u ，y ＝v ，则点Q (u ，v )满足⎩⎨⎧0≤u －v ≤1，0≤u ≤2，在uO v 平面内画出点Q (u ，v )所构成的平面区域如上图，易得其面积为2. 答案 212．已知x ，y满足约束条件⎩⎨⎧x 2＋y 2≤4，x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是________．解析由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出不等式对应的区域，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知，当直线y ＝－2x ＋z 与圆在第一象限相切时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 最大．直线与圆的距离d ＝|z |22＋1＝2，即z ＝±25，所以目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是2 5.答案 2 513．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x ，上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是________．解析 OM →·ON →＝2x ＋y ，设z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，不等式组对应的区域为BCD .平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点C 时，直线y＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 最大，由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即C (1,1)，代入z ＝2x ＋y 得z ＝2x ＋y ＝3，所以OM →·ON→的最大值为3.答案 314．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0表示的平面区域为D .若圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是________．解析不等式对应的区域为ABE .圆心为(－1，－1)，在区域中，A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域D ，则有0<r <|AC |或r >|BC |.由⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝x ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1，即A (1,1)．由⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－x ＋4，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即B (1,3)．所以|AC |＝22，|BC |＝25，所以0<r <22或r >25，即r 的取值范围是(0,22)∪(25，＋∞)．答案 (0,22)∪(25，＋∞)15．已知f (x )＝a (x ＋2a )(x －a －3)，g (x )＝2－x －2，同时满足以下两个条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(1，＋∞)，f (x )·g (x )<0成立，则实数a 的取值范围是________．解析根据①∀x ∈R ，f (x )<0，或g (x )<0，即函数f (x )和函数g (x )不能同时取非负值，由g (x )<0⇒x >－1，要使对于任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立，则x ≤－1时，f (x )＝a (x ＋2a )(x －a －3)≤0恒成立，故a <0，且两根－2a 与a ＋3均不比－1小，得－4≤a ≤0①.根据②∃x ∈(1，＋∞)，f (x )·g (x )<0成立，而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，故应存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)>0，只要1>－2a 或1>a ＋3即可，所以a >－12或a <－2②，由①，② 求交集，得－4<a <－2或－12<a <0，即实数a 的取值范围是(－4，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.答案 (－4，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0。

高考数学练习题限时训练(34)

限时训练（三十四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}220,*A x x x x =--+∈N …，集合{}2,3B =，则AB 等于（）.（A ）{}2 （B ）{}1,2,3 （C ）{}1,0,1,2,3- （D ）{}0,1,2,3（2）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =-+，则复数z 的实部与虚部的和是（）. （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（3）已知向量()sin 2,1α=a ，()sin ,1α=b ，若a b ，则锐角α为（）.（A ）30︒（B ）60︒ （C ）45︒（D ）75︒（4）在“双11”促销活动中，某网店对11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为42万元，则9时到11时的销售额为（）.（A ）9万元（B ）18万元（C ）24万元（D ）30万元（5）运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）. （A ）0 （B ） 12-（C ）1- （D ）32-（6）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）.（A ）283π-（B ）83π- （C ）82-π（D ）32π（7）已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>，点()4,2-在它的一条渐近线上，则离心率等于（）. （A（B（C（D（8）函数()()sin f x x ωϕ=+（其中2ϕπ<）的图像如图所示，为了得到()sin f x x ω=的图像，只需把()y f x =的图像上所有点（）个单位长度．（A ）向右平移6π （B ）向右平移12π （C ）向左平移6π （D ）向左平移12π（9）已知等比数列{}n a 的各项都为正数，且3a ，512a ，4a 成等差数列，则3546a a a a ++的值是（）. （A（B（C（D俯视图左视图主视图（10）函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像的大致形状是（）.（11）四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，BCD △是边长为3的等边三角形．若2AB=，则球O 的表面积为（）（A ）8π （B ） 12π （C ） 16π （D ）32π（12）已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()()()e 2ln 1xxf x x f x x x x'+-=+-，则下列一定正确的是（）（A ）()1412f ⎛⎫<⎪⎝⎭（B ）()()42e 1f f < （C ）()()4e 293f f > （D ）()321e 1622f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分.（13）()()511x x +-展开式中含3x 项的系数为．（14）实数x ，y 满足10301x y x y x --⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则目标函数2z x y =-的最大值为．（15）已知点()0,0O ，()1,0M ，且圆()()()222:540C x y r r -+-=>上存在两个点P ，使得PO =，则r 的范围是．（16）在数列中{}n a ，它的前n 项和()1*n n S na n =-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和n S 为．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

【12份】2016版高考数学大二轮总复习(全国通用,理科)审题+解题+回扣配套Word版文档

【12份】2016版高考数学大二轮总复习（全国通用，理科）审题+解题+回扣配套Word 版文档审题是解题的基础，深入细致的审题是成功解题的前提，审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解法后的反思回顾．正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，攻克高考解答题．一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例 1 (2014·重庆)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．审题路线图(1)条件：f (x )图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征f (x )的周期为π↓T ＝2π|ω|，ω>0(已知)ω＝2条件：f (x )图象关于直线x ＝π3对称↓f (π3)取到最值2×π3＋φ＝k π＋π2(k ↔Z ) ↓－π2≤φ<π2(已知)φ＝－π6↓(2)条件：f (α2)＝34↓代入f (x )sin (α－π6)＝14↓条件π6<α<2π3cos (α－π6)＝154↓欲求cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]sin α＝3＋158↓cos (α＋3π2)＝3＋158解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期为T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ↔Z .由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.所以cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 跟踪演练1 (2014·四川)已知函数f (x )＝sin(3x ＋π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f (α3)＝45cos(α＋π4)cos 2α，求cos α－sin α的值．二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．例2 (2015·北京)已知函数f (x )＝ln1＋x1－x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ↔(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ↔(0,1)恒成立，求k 的最大值．审题路线图(2)x ↔(0，1)时f (x )>2(x ＋x 33)――→转化要证结论f (x )－2(x ＋x 33)>0在(0，1)上恒成立―――――――→构造函数g (x )＝f (x )－2(x ＋x 33)g (x )>0→研究函数g (x )的单调性求g (x )(3)求k 的最大值 ―――――――→构造函数h (x )＝f (x )－k (x ＋x 33)研究h (x )单调性――――――――――→讨论参数k结合(2)知k ≤2时符合题意k >2时h (x )的单调性解 (1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33，则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增．所以g (x )>g (0)＝0，x ↔(0,1)，即当x ↔(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ↔(0,1)恒成立．当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33，则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－(k －2)1－x 2.所以当0<x < 4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减．当0<x < 4k －2k 时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. 所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33并非对x ↔(0,1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.跟踪演练2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．例 3 如图(1)所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图(2)所示．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．审题路线图(1)(2)(1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面POA .(2)解设AO ∩BD ＝H . 因为∠DAB ＝60°，所以△BDC 为等边三角形．故BD ＝4，HB ＝2， HC ＝2 3.设PO ＝x (0<x <23)，则OH ＝23－x ，OA ＝43－x .连接OB ，由OH ⊥BD ，得OB 2＝(23－x )2＋22. 又由(1)知PO ⊥平面BFED ，则PO ⊥OB .所以PB ＝OB 2＋OP 2＝(23－x )2＋22＋x 2 ＝2(x －3)2＋10.当x ＝3时，PB min ＝10，此时PO ＝3＝OH ，所以V 四棱锥P －BDEF ＝13×S 梯形BDEF ×PO＝13×(34×42－34×22)×3＝3. 跟踪演练3 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，若O 为△ABC 的外心，则AO →·BC→的值为________．四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4 (2015·四川)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．审题路线图解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10. 跟踪演练4 (1)(2015·临川一中月考)已知数列{a n }满足a 1＝6，a n ＋1－a n ＝2n ，记c n ＝a nn，且存在正整数M ，使得对一切n ↔N *，c n ≥M 恒成立，则M 的最大值为________． (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sinA －sinB )＝(c －b )·sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．五审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．例5下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j (i ，j ↔N *)，则 (1)a 9,9＝________；(2)表中的数82共出现________次.审题路线图审视图表数据a i ，j ――→每行成等差数列a 1，9＝a 1，1＋8×1＝10 ――→每列成等差数列a 9，9＝a 1，9＋8×9＝72――→一般规律a i ，j ＝(i ＋1)＋(j －1)·i ＝ij ＋1――→82出现次数ij ＋1＝82解的个数【详细分析】(1)a 9,9表示第9行第9列，第1行的公差为1，第2行的公差为2，……，第9行的公差为9，第9行的首项b 1＝10，则b 9＝10＋8×9＝82；(2)第1行数组成的数列a 1，j (j ＝1,2，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a 1，j ＝2＋(j －1)·1＝j ＋1；第i 行数组成的数列a i ，j (j ＝1,2，…)是以i ＋1为首项，公差为i 的等差数列，所以a i ，j ＝(i ＋1)＋(j －1)i ＝ij ＋1，由题意得a i ，j ＝ij ＋1＝82，即ij ＝81，且i ，j ↔N *，所以81＝81×1＝27×3＝9×9＝1×81＝3×27，故表格中82共出现5次．答案 (1)82 (2)5跟踪演练 5为调查企业工人的身体情况，社保局从某企业800名男职工中随机抽取50名测量其身高，据测量，被测职工的身高全部在155cm 到195cm 之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195]，频率分布直方图的部分图象如图所示，频数统计表的一部分如下表，已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差，则x ＝________，y ＝________.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性．例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n＋12a n (n ↔N *)． (1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n， n 为奇数，b 2n ， n 为偶数，c n ＝b 24n ＋(n ↔N *)，求{c n }的前n 项和T n .审题路线图 (1)S n ＝14a 2n ＋12a n↓(注意n ↔N *，a n >0) a 1＝2↓(下面的变形是有条件的，条件是n ≥2) a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1 ↓(进行代数式变形) (a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0 ↓(a n ＋a n －1>0) a n －a n －1＝2↓(利用等差数列的定义) a n ＝2＋(n －1)×2＝2n↓(注意b n 与a n 的关系，n 是分奇偶的) (2)b 1＝a 1＝2；b 2＝a 1＝2；b 3＝a 3＝6； b 4＝b 2＝2↓(注意c n 与b n 的关系) c 1＝b 6＝b 3＝6 c 2＝b 8＝b 4＝2↓(注意下面变化的条件是n ≥3)12221242221n n n n n c b b b a －－－＋＋＋＋＝＝＝＝＝2n －1＋2.↓T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝6＋2＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2) ＝2n ＋2n↓(当n ＝1，n ＝2时，对T n 的表达式的验证)T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ↔N *. 解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1，所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即{a n }为等差数列，所以a n ＝2n (n ↔N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2， n ≥3时，12422n n n c b b －＋＋＝＝221212122n n n b a －－－＋＋＝＝＝＋，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n ＋2n ；当n ＝1时，2＋2＝4≠6，不符合上式，当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2，符合上式．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ↔N *. 跟踪演练6 (2015·惠州市调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ↔N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练A 组专题通关1．已知点A (－3,0)，B (0,3)，若点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上运动，则△P AB 面积的最小值为( ) A ．6 B ．6 2 C ．6＋322D ．6－3222．如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.70D ．0.5763．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C ．6D ．74．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？5．(2015·佛山市高三上学期期中试题)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x ，x ↔[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ↔[0，＋∞)，若f (t －13)＞－12，则实数t 的取值范围为________．6．(2015·福建)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 7．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin(3π2－A )cos(π2＋A )；(2)求tan A 值．8．数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝ln(1＋1n )，b n ＝1n －1n 2(n ↔N *)，证明：a n ＞b n .B 组能力提高9．已知a ↔R ，函数f (x )＝16x 3＋12(a －2)x 2＋b ，g (x )＝2a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处的切线互相垂直，求a ，b 的值； (2)设F (x )＝f ′(x )－g (x )，若对任意的x 1，x 2↔(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，求a 的取值范围．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．学生用书答案精析第一篇活用审题路线图，教你审题不再难跟踪演练1 解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ↔Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ↔Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ↔Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[－π4＋2k π3，π12＋2k π3]，k ↔Z .(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45(cos αcos π4－sin αsin π4)(cos 2α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ↔Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 跟踪演练2 (1)解由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ↔(0,1)时，函数f (x )单调递减，当x ↔(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.(2)解当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.(3)证明设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x，当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立．即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方．跟踪演练3 8【详细分析】方法一取边BC 的中点D ，由于O 为△ABC 的外心，所以DO →⊥BC →，所以DO →·BC →＝0，AO →＝AD →＋DO →＝12(AB →＋AC →)＋DO →，所以AO →·BC →＝[12(AB →＋AC →)＋DO →]·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8. 方法二取AB 的中点E ，AC 的中点F ，连接OE ，OF ，则OE ⊥AB ，OF ⊥AC .易知向量AO →在AB →上的投影为|AE →|，AO →在AC →上的投影为|AF →|，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB → ＝|AC →|·|AF →|－|AB →|·|AE →|＝5×52－3×32＝8.跟踪演练4 (1)4 (2) 3 【详细分析】(1)∵a n ＋1－a n ＝2n ， ∴a n －a n －1＝2n －2，……，a 2－a 1＝2， ∴a n －a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1] ＝n (n －1)， ∴a n ＝n (n －1)＋6，∴c n ＝a n n ＝n ＋6n －1≥5－1＝4，∵对一切n ↔N *，c n ≥M 恒成立， ∴M 的最大值为4. (2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∴△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.跟踪演练5 4 3【详细分析】由频率分布直方图可知前五组的频率之和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率之和为1－0.82－0.04＝0.14. 故第八组的人数为50×0.04＝2，第六、七组的人数之和为50×0.14＝7.由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝7，y －x ＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.跟踪演练6 (1)解依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4，当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝(na n ＋1－13n 3－n 2－23n )－[(n －1)·a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)]．整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，又a 22－a 11＝1，故数列{a nn }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋1×(n －1)＝n ，所以a n ＝n 2.(2)证明当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练1．D [由圆的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心G (1,0)，且圆的半径r ＝1，由A (－3,0)，B (0,3)，得k AB ＝33＝1，所以AB 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，所以点G (1,0)到AB 的距离d ＝|1－0＋3|2＝22＞1，所以AB 与给定的圆相离，圆上到AB 的距离的最小值t ＝d －r ＝22－1，又|AB |＝9＋9＝32，所以△P AB 面积的最小值为12×32×(22－1)＝6－322.]2．B [由题意可知K ，A 1，A 2三类元件正常工作相互独立．A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96.所以系统正常工作的概率为P K P ＝0.9×0.96＝0.864.] 3．A [由题意知，该多面体是由正方体挖去两个小三棱锥后所成的几何体，如图所示，所以该几何体的体积为V ＝2×2×2－2×13×(12×1×1)×1＝233]4．C [由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112？.]5．(0，＋∞)【详细分析】①当－1≤t －13＜0时，f (t －13)＝sin[π2(t －13)]＞－12，∴－π6＋2k π＜π2(t －13)＜7π6＋2k π(k ↔Z )．∴－13＋4k ＜t －13＜73＋4k (k ↔Z )．∵－1≤t －13＜0，∴－13＜t －13＜0，∴0＜t ＜13.②当t －13≥0时，f (t －13)＝a (t －13)2＋a (t －13)＋1＞－12(a ＞0)恒成立，∴t ≥13.综上可知：实数t 的取值范围为(0，＋∞)． 6．7【详细分析】S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7. 7．解方法一 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，∴1＋2sin A ·cos A ＝125，∴sin 2A ＝－2425，sin(3π2－A )cos(π2＋A )＝－cos A ·(－sin A )＝sin A cos A ＝12sin 2A ＝－1225.(2)∵sin A ＋cos A ＝15，∴(sin A －cos A )2＝(sin A ＋cos A )2－4sin A cos A ＝125＋4825＝4925，又0＜A ＜π且sin A ＋cos A ＝15，∴π2＜A ＜π， ∴sin A ＞0，cos A ＜0， ∴sin A －cos A ＝75，∴sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝－43.方法二 (1)同方法一． (2)sin 2A ＝2sin A cos Acos 2A ＋sin 2A＝2tan A 1＋tan 2A＝－2425， ∴12tan 2A ＋25tan A ＋12＝0∴tan A ＝－43或tan A ＝－34又0＜A ＜π，sin A ＋cos A ＝15，∴π2＜A ＜3π4，∴tan A ＜－1，故tan A ＝－43.8．证明欲证原不等式成立，需证明ln(1＋1n )－1n ＋1n2＞0.构造函数F (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2(0＜x ≤1) 所以F ′(x )＝11＋x －1＋2x ＝x (2x ＋1)x ＋1.当0＜x ≤1时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1]上单调递增．所以函数F (x )＞F (0)＝0，即F (x )＞0. 所以∀x ↔(0,1]，ln(1＋x )－x ＋x 2＞0，即ln(1＋x )＞x －x 2. 令x ＝1n(n ↔N *)，则有ln(1＋1n )＞1n －1n 2，即a n ＞b n .9．解 (1)f ′(x )＝12x 2＋(a －2)x ，f ′(1)＝a －32.g ′(x )＝2ax ，g ′(1)＝2a .依题意有f ′(1)g ′(1)＝－1，且f (1)＝g (1)，可得⎩⎨⎧2a (a －32)＝－1，16＋12(a －2)＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝13，或a ＝12，b ＝712.(2)F (x )＝12x 2＋(a －2)x －2a ln x .不妨设x 1＜x 2，F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，等价于F (x 2)－ax 2＞F (x 1)－ax 1. 设G (x )＝F (x )－ax ，则对任意的x 1，x 2↔(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1＞a ，等价于G (x )＝F (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数． G (x )＝12x 2－2a ln x －2x ，可得G ′(x )＝x －2ax －2＝x 2－2x －2a x，依题意有，对任意x ＞0，有x 2－2x －2a ≥0恒成立．由2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1，可得a ≤－12.10．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 又因为椭圆C 过点(1，22)，所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)，得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ，直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ，整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )·(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又因为1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上所述，F 2P →·F 2Q →的取值范围为(－1，125232)．第1讲选择题的解法技巧题型概述选择题考查基础知识、基本技能，侧重于解题的严谨性和快捷性，以“小”“巧”著称．解选择题只要结果，不看过程，更能充分体现学生灵活应用知识的能力．解题策略：充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做．方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 (2)(2015·广雅中学高三一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，A ＝π3，cosB ＝55，则b 等于( ) A.855 B.255 C.455 D.1255【详细分析】(1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. (2)由题意可得，△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝255，再由正弦定理可得a sin A ＝bsin B，即3sinπ3＝b 255，解得b ＝455. 答案 (1)A (2)C思维升华涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错．跟踪演练1(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．2 (2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32B. 32C ．－12D.12方法二特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例 2 (1)(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2](2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋l og 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【详细分析】(1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x－1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确．(2)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32.结合选项可知只有C 符合要求．答案 (1)D (2)C思维升华特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．跟踪演练2(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos Bsin C·AB→＋cos C sin B·AC→＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12方法三排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案．例3 (1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(2)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【详细分析】(1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确； 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D. (2)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 (1)D (2)D思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．跟踪演练3 (1)已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )(2)(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0方法四数形结合法在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 设函数g (x )＝x 2－2(x ↔R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)【详细分析】由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ↔(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ↔[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．答案 D思维升华数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论．跟踪演练4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ↔R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 016f (－2 016)<f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．e 2 016f (－2 016)<f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) C ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) D ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 【详细分析】构造函数g (x )＝f (x )e x，则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，因为∀x ↔R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x >0，所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减，所以g (－2 016)>g (0)，g (2 016)<g (0)，即f (－2 016)e－2 016>f (0)，f (2 016)e 2 016<f (0)，也就是e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)．答案 D思维升华构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究．跟踪演练5 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ↔R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列五个命题：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5方法六估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1(2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6 D.152【详细分析】(1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3， x 2是方程x ＋10x ＝3的根，所以0<x 2<1，所以2<x 1＋x 2<4.(2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和，而V E －ABCD ＝13S ·h＝13×9×2＝6，所以只能选D. 答案 (1)B (2)D思维升华估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．跟踪演练6 (1)(2015·成都七中测试)设a ＝log 23，b ＝232，c ＝343，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b(2)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )知识方法总结快速破解选择题(一)直接法 (二)特例法 (三)排除法 (四)数形结合法 (五)构造法 (六)估算法选择题突破练A 组专题通关1．(2015·温州市联考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．[1,2) D ．[1,2]2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋13．(2015·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S 等于( )A.67B.37C.89D.494．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对任意x ↔R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ↔[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( ) A ．(0，π) B ．(－π，π) C ．(lg π，1)D ．(π，10)6．如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1 D.3∶17．(2015·湖北)设x ↔R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为( )9．(2015·成都新都区高三诊断测试)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＜0，且S2 015＝0，则当S n取得最小值时，n的取值为( )A．1 009 B．1 008C．1 007或1 008 D．1 008或1 00910．已知四面体P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC ＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为( )A．7π B．8π C．9π D．10π11．(2015·浙江省桐乡第一中学高三联考)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log222，则有( )A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a12．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恰好有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r的取值范围是( )A．[4,6]B．[4,6) C．(4,6]D．(4,6)B组能力提高13．(2015·杭州调研)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③ 14．(2015·广州联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的一个动点，则点P 到点M (2,0)的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B. 5 C ．2 2 D.9215．(2015·北京朝阳区测试)设a 、b 为两个非零的平面向量，下列说法正确的是( ) ①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |； ②|a ·b |＝|a ||b |；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |； ④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb . A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 16．(2015·浙江省桐乡四校联考)已知函数f (x )＝1－|2x －1|，x ↔[0,1]．定义：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝2,3,4，…，满足f n (x )＝x 的点x ↔[0,1]称为f (x )的n 阶不动点，则f (x )的n 阶不动点的个数是( )A ．2nB ．2n 2C ．2(2n －1)D ．2n学生用书答案精析第二篇掌握技巧，快速解答客观题第1讲选择题的解法技巧跟踪演练1 (1)A (2)D【详细分析】(1)对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13，故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13(1－13n )1－13＝12(1－13n )<12，由于S n <a 对任意n ↔N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12，选A.(2)每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4， ∴S ＝sin5π6＝12.选D. 跟踪演练2 (1)C (2)A【详细分析】(1)∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1， ∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1. ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. ∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.(2)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 跟踪演练3 (1)A (2)C【详细分析】(1)f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝(14x 2＋cos x )′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－(12x －sin x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cosx ，显然当x ↔(0，π3)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，π3)上单调递减，故排除C.选A.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错．跟踪演练4 C [由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ，令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1，－2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x ) ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.] 跟踪演练5 (1)A (2)C【详细分析】(1)因为f (x )(x ↔R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f (x )x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f (x )x ＜0⇔f (x )＞0.综上，得使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z . 对于①，需要满足x ＝y ＝z ，才能成立；。

2016届高考数学第二轮复习限时训练题26

限时速解训练二[单独成册](建议用时30分钟)1．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2zz －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选B.z 2－2z z －1＝(1＋i )2－2(1＋i )i ＝－2i ＝2i ，故选B. 2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：选C.因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.3．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i解析：选C.依题意得i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1＋(－i )＋11－i ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－12i ，故选C.4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选D.由题意作图，设AB→＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知∠ABD ＝∠CAB ＝π6，故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角为2π3，故选D.5．如图，若f (x )＝log 3x ，g (x )＝log 2x ，输入x ＝0.25，则输出的h (x )＝( )A ．0.25B ．2log 32C ．－12log 23D ．－2解析：选D.本题以程序框图的形式，考查了对数运算．当x ＝0.25时，f (x )＝log 314∈(－2，－1)，g (x )＝log 214＝－2，∴f (x )>g (x )，故选D.6．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.先计算，并化为最简形式，再利用复数的几何意义求解． i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限，故选A.7．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选D.执行该程序可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>312⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－1－2≤3，解得⎩⎨⎧x >8x ≤22，即8<x ≤22，∴输入x 的最大值是22，故选D.8．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，则BA →·AC →＝0，故BA ⊥AC ，故选C.9.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i解析：选D.将z ，z 看做两个未知数，利用方程思想求解．也可利用复数相等的条件求解．法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2， ∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.10．阅读如图所示的程序框图，若输入的k＝10，则该算法的功能是()A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和解析：选 A.先读出程序框图的功能，再结合等比数列的通项公式求解．S＝0，i＝1；S＝1＋2×0＝1＝20，i＝2；S＝1＋2×1＝1＋2＝20＋21，i＝3；S＝1＋2×3＝20＋21＋22，i＝4；……观察得到对应数列的通项公式为a n＝2n－1.k＝10时，i>10时输出，说明是求前10项的和．故选A.(速解法)逐一排除．当S＝0，i＝1，可得S1＝1＝a1，排除C、D，当i＝11时，则输出S 即输出的i＝10时的S值．故选A.11．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是()A．6 B．10C．91 D．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.12．已知向量OA →，OB →为单位向量，且OA →·OB →＝14，点C 是向量OA →，OB →的夹角内一点，|OC →|＝4，OB →·OC →＝72.若数列{a n }满足OC →＝3a n ＋1(a n ＋1)2a n OB →＋a 1OA →，则a 4＝( ) A.1516 B.1615 C ．16 D.87解析：选 B.因为OC →＝3a n ＋1(a n ＋1)2anOB →＋a 1OA →，所以OB →·OC →＝3a n ＋1(a n ＋1)2a n OB →·OB →＋a 1OA →·OB →，即72＝3a n ＋1(a n ＋1)2a n ＋14a 1 ①，设OA →，OB →的夹角为θ，OB →，OC →的夹角为α，OA →，OC →的夹角为β，则OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos θ＝14，所以cos θ＝14，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝154，同理可得cos α＝78，sin α＝158，所以cos β＝cos(θ－α)＝1116，所以OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos β＝114，又OA →·OC →＝3a n ＋1(a n ＋1)2anOA →·OB →＋a 1OA →·OA →，所以114＝3a n ＋1(a n ＋1)2an×14＋a 1 ②，联立①②，解得a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋1，所以a 2＝2a 1a 1＋1＝43，a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615.故选B.13．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎨⎧x ＝2λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－1214．(2016·合肥市模拟)下列命题中真命题的编号是________．(填上所有正确的编号)①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R ) ②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<θ≤π； ③向量AB→，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|－|BC →|，则AC →与BC →同向； ④若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .⑤a ＝(2,1)，b ＝(－1，t )，若〈a ，b 〉为钝角，则t <2.解析：当a ≠0，b ＝0时；a 与b 共线，但不存在实数λ，使a ＝λb ，所以①为假命题；由|a －b |>1可得a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵a ，b 为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，a ·b ＝1×1×cos θ＝cos θ，所以1－2cos θ＋1>1，∴cos θ<12，∵0≤θ≤π，∴π3<θ≤π，∴②为真命题．根据向量加法的几何意义知③为真命题；当b ＝0时，④为假命题；⑤中还需强调〈a ，b 〉≠180°，所以t <2且t ≠－12，所以⑤为假命题．答案：②③15．(2016·浙江丽水模拟)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是________________．解析：类比推理，找出规律．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，求其切点弦P 1P 2所在直线方程就是将x 2→x 0x ，y 2→y 0y 而得到的，据此类比可知过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点P 1，P 2所在直线方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案：x 0x a 2－y 0y b 2＝116．(2016·浙江温州模拟)已知cos π3＝12，cos π5cos 25π＝14，cos π7cos 27πcos 37π＝18……根据以上等式可猜想出的一般结论是________．解析：第n 个式子有n 个余弦相乘，角度的分母为奇数2n ＋1，分子分别为π、2π、3π，…，n π，结果为12n . ∴一般结论cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n .答案：cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

2016年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)周测训4 含解析

2016高三二轮精品【学易版】【周测训练篇】江苏版训练四总分：160分+40分（理）时间:120分钟+30分钟（理) 姓名：__________ 班级：__________得分：_________一、填空题：（每小题5分,共70分） 1。

已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-,则A B =。

【答案】{1}- 【解析】试题分析：{2,1}{1,2,3}={1}AB =----考点：集合的表示方法和交集的运算。

2.复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位),则z = ．【答案】43i - 【解析】试题分析：34iz 43i i+==- 考点：复数运算 3.已知双曲线2241ax y -=的离心率为3，则实数a 的值为．【答案】8 【解析】考点:双曲线离心率4。

某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组,对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为。

【答案】3【解析】试题分析：乙组中应该抽取的城市数为126 3.24⨯= 考点：分层抽样5。

如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．【答案】7 【解析】试题分析:第一次循环:2,3,||1,x y y x ==-=第二次循环：3,7,||4,x y y x ==-=结束循环，输出7y =考点：循环结构流程图 6。

三棱锥P ABC 中，,D E 分别为,PB PC 的中点,记三棱锥DABE的体积为1V ，PABC的体积为2V ,则12VV【答案】14【解析】试题分析:121111122224DABEEABDE ABPA BEPABCPV V V V V V V 考点:三棱锥体积7。

设{1,1},{2,0,2}x y ∈-∈-，则以(,)x y 为坐标的点落在不等式21x y +≥所表示的平面区域内的概率为。

【答案】12【解析】考点：古典概型概率8。

2016.4温州市高三二模数学(理科)试题参考答案

3 5 2 4 ，…， 2n 1 2n 1 2 2n
2( 1 3 2n 1 2n 1) (1 2n 1) 2( 2 4 2n )
3 f min ( x) f max ( x) f (2) f (0) 3a b a b 2a a 2 b …………………………14 分 4 均符合题意 a b b 综上所述： 4 2 或 2 …………………………15 分 a a
2 3 3 x， 3 3
10. 2 ， 13．1
6
11. 3n 15 ， 30 14. [0, ]
12. 0 ， (
2 2 ,0) ( , ] 3 3
9 2
15.
5 4
三、解答题：本大题共 5 小题，共 7４分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本题 14 分）解：（Ⅰ）由 AB AC BA BC 得： AB ( AC BC ) 0 即 ( AC BC ) ( AC BC ) | AC |2 | BC |2 0
b 0 符合题意 a
………………………12 分
由
得： 2
③当 1
b b 2 即 4 2 时， 2a a b b f ( x) 在 [0, ] 上递减，在 [ , 2] 上递增且 f (0) f (2) 2a 2a
f min ( x) f max ( x) f ( b2 3 2a 2b a 4a 2
2 1 1 2 2
5 10 , ] 3 4
…………………………………14 分
cos
[2,3] cos [
…………………………………15 分

2016届高考数学第二轮复习限时训练题53

限时速解训练一(建议用时30分钟)1．已知集合P ＝{x |x ≥0}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＋1x －2≥0，则P ∩(∁R Q )＝( ) A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1]C ．(－1,0)D ．[0,2]解析：选D.由题意可知Q ＝{x |x ≤－1或x >2}，则∁R Q ＝{x |－1<x ≤2}，所以P ∩(∁R Q )＝{x |0≤x ≤2}．故选D.2．给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数；p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )．则下列命题中的真命题为( )A ．p 1∨p 2B ．p 2∧p 3C ．p 1∨┑p 3D ．┑p 2∧p 3解析：选D.对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以┑p 2∧p 3为真命题，故选D.3．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥ln 2”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2<ln 2B ．不存在x ∈R ，都有x 2<ln 2C．存在x∈R，使得x2≥ln 2D．存在x∈R，使得x2<ln 2解析：选 D.按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为“存在x∈R，使得x2<ln 2”．故选D.4．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选 B.ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．5．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，A⊆C⊆B，则集合C的个数为24－2＝22＝4，即C＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．故选D. 6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)为()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：选D.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x<1}＝{x|0<x<1}．7．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．┑p ∧┑qC ．┑p ∧qD ．p ∧┑q解析：选D.p 为真命题，q 为假命题，故┑p 为假命题，┑q 为真命题，从而p ∧q 为假，┑p ∧┑q 为假，┑p ∧q 为假，p ∧┑q 为真，故选D.8．若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞)B ．(－1,0)C ．[－1,0]D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：选C.(x －a )[x －(a ＋2)]≤0⇒a ≤x ≤a ＋2，由集合的包含关系知：⎩⎨⎧ a ≤0，a ＋2≥1，⇒a ∈[－1,0]．9．定义差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，则集合C －(A －B )可表示下列图中阴影部分的为( )解析：选A.如图所示，A －B 表示图中阴影部分，故C －(A －B )所含元素属于C ，但不属于图中阴影部分，故选A.10．设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：(1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S 或x ≠y ，则xz ≠yz 现给出如下论断：①a，b，c，d中必有一个为0；②a，b，c，d中必有一个为1；③若x∈S且xy＝1，则y∈S；④存在互不相等的x，y，z∈S，使得x2＝y，y2＝z.其中正确论断的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.取满足题设条件的集合S＝{1，－1，i，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断，故选C.11．一次函数y＝－mn x＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m>1，且n<1 B．mn<0 C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0解析：选B.因为y＝－mn x＋1n经过第一、三、四象限，故－mn>0，1n<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.12．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．┑p∧qC．p∧┑q D．┑p∧┑q解析：选B.用特值法判定p的真假，用数形结合法判定q 的真假，用直接法判断选项．先判断命题p ，q 的真假，再结合含有一个逻辑联结词命题真假的判断真值表求解．当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，∴p ：∀x ∈R,2x <3x 是假命题．如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解， ∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．∴p ∧q 为假命题，排除A.∵┑p 为真命题，∴┑p ∧q 是真命题．13．设集合A ＝{1，－1，a }，B ＝{1，a }，A ∩B ＝B ，则a ＝________. 解析：由A ∩B ＝B 得，a ＝a ，∴a ＝0，a ＝1(舍)．答案：014．下列命题中是假命题的是________．①“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆命题；②“若两个非零向量a 、b 的夹角为钝角，则“a ·b <0”的否命题；③若α＝π4，则tan α＝1的逆否命题；④若1<x <2，则x 2－3x ＋2<0.解析：①正确，②否命题，“若非零向量a 、b 的夹角不是钝角，则a ·b ≥0”，错．③正确，④1<x <2⇒(x －1)(x －2)<0，正确．答案：②15．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎨⎧ m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4) 16．(2016·河北衡水模拟)下列四个结论：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若p ∧q为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3＜0，则┑p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a ·b ＝|a |·|b |”是“a 与b 共线”的充分必要条件．其中正确结论的序号是________．解析：易知①③正确；p ∧q 为假命题等价于p 、q 中至少有一个为假命题，故②是错误的；对于④，若a ·b ＝|a |·|b |，则a 与b 方向相同，若a 与b 共线，则a 与b 方向相同或相反，不一定有a ·b ＝|a |·|b |，故④是错误的．答案：①③薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。