精选新版2019高考数学《导数及其应用》专题模拟考核题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π,则点P 横坐标的取值范围是( )A.1[1,]2--B.[1,0]-C.[0,1]D.1[,1]2(2008辽宁理)2．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是D3．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-(2008全国1理)D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==---- 二、填空题4．若函数2tan 0()log ()0x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，≥，，，则()()3π24f f = ▲ .5．函数)(x f 的定义域为R. 2)1(=-f ，对任意的R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为 ．6．()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则实数a = ．7．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲ ．xyO(2,0)P()y f x =()y f x '=1 （第10题8．已知三次函数32()()32a b f x x x cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-的最小 值为 ▲ ．关键字：多项式函数；含多参；已知单调性；求最值；整体换元；分式函数9． 函数()x f x e =在1x =处的切线方程是 ▲ .10．已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？12．已知函数x bx x a y ++=2ln 在1=x 和2=x 处有极值，求a ，b 的值。

13．已知f (x )=ax -ln x ，x ∈[0, e ]，g (x )=ln xx ，a ∈R ，(1)若a =1，求f (x )的极小值； (2)在(1)条件下证明f (x )＞g (x )+12 ；(3)是否存在实数a 使f (x )的最小值为3。

14．已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->，讨论()f x 的单调性. 本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

本小题满分12分。

解析 ()f x 的定义域是(0,+∞),22222()1.a x ax f x x x x -+'=+-=设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-.当280a ∆=-<，即0a <<0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上是增函数。

①当280a ∆=-=,即a =x =()0f x '=,对其余的0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数。

① 当280a ∆=->，即a >方程()0g x =有两个不同的实根1x =,2x =,120x x <<.单调递增单调递减此时()f x 在上单调递增, 在是上单调递减, 在()2a ++∞上单调递增.15．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为，求a 的值；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．16．设函数2()(1)f x x x =-，0x >． ⑴求()f x 的极值；⑵设0a <≤1，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，求函数()()F a G a a=的最小值； ⑶设函数2()ln 24g x x x x t =-++（t 为常数），若使()g x ≤x m +≤()f x 在(0,)+∞上恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．17．已知a ，b 是实数，函数,)(,)(23bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是)(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I上单调性一致（1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围；（2）设,0<a 且b a ≠，若函数)(x f 和)(x g 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a -b |的最大值。

关键字：求导；新定义；单调性一致；求参数的取值范围；求最值18．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－2bx (a ，b ∈R ），g (x )＝2x －2x ＋1－c ln x ．（1）当c ＝1时，求函数g (x )在[1，e]上的最小值；（2）当a ＝12时，f (x )与g (x )在定义域上单调性相反，求｜b ｜＋c 的最小值；*（3）当b ＞2a ＞0时，求证：存在m ∈R ，使f (x )＝m 的三个不同的实数解t 1，t 2，t 3．且 对任意i ，j ∈{1，2，3}且i ≠j ，都有2t i ＋t j ＜2b －a (t i ＋t j )．19．设5221)(23+--=x x x x f ，当[2,2]x ∈-时，0)(<-m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数()()1ln f x x a x =--，()(),ag x a R x=-∈ ⑴ 若2a =，求函数()f x 的极值；⑵ 设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； ⑵若在[]()1, 2.718e e =上存在一点0x ，使得()()00f xg x <成立，求a 的取值范围. （本题满分16分）21．设函数1()=ln .f x x x a-其中a 为常数，0a > (1)当1a =时，求()f x 的最小值；(2) 若(0,)x ∀∈+∞，恒有()1f x ≥成立，求实数a 的取值集合；（3）设常数b 、()0,c ∈+∞且<b c ，点(,())A b f b 、(,())B c f c 在函数()f x 的图像上，直线AB 的斜率为k .问：是否存在0(,)x b c ∈，使f '0()x >k 成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解（1）当1a =时，'1()101f x x x=-=⇒= 列表如下()=(1)1f x f ∴=最小值（4分）（2）'111()10ax f x x ax ax a-=-==⇒= 列表如下：由题意，ln 1,ln 1a a a a a-≥∴-≤，（6分），由（1），当0a >，ln 1a a -≥，ln 1a a ∴-=（8分）又由①知当且仅当1x =时()1f x =，1a ∴=，∴a 的取值的集合为{1}（10分）（3）()()1ln ln 1f b f c b c k b c a b c--==-⋅--，而()'0011f x ax =-， 由()'0f x k >得0ln ln b cx b c ->-（13分），由（1）知当0t >且1t ≠时，ln 1,t t ->0,ln 1,ln 1,b b c c b c c c b b <<∴->->从而ln ln b cb c b c-<<-（15分）0ln ln b c x c b c-∴<<-为所求（16分） （二）分离参数法22．已知函数32()(,,0)f x mx nx m n R m n m =+∈>≠且的图象在(2,(2))f 处的切线与x 轴平行.（1）求m 与n 的关系式；（2）若函数()y f x =在区间[,]n m 上有最大值为2m n -，试求m 的值.23．已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值. （本题满分14分）24．已知函数()()2f x x x a =- （R a ∈）。

（1）若34=x 是函数的极大值点，求a 的值; （2）若)31,32(--∈x 时，函数单调递减，求a 的取值范围; （3）设当]4,(-∞∈x 时，函数的最大值为M ，证明4≥M 恒成立. （本小题满分16分）25．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<. （1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值； （2）在（1）的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程； （3）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．（文）26．如图为河岸一段的示意图，一游泳者站在河岸的A 点处，欲前往河对岸的C 点处．若河宽BC 为100m ，A 、B 相距100m ，他希望尽快到达C ，准备从A 步行到E （E 为河岸AB 上的点），再从E 游到C ．已知此人步行速度为v ，游泳速度为0.5v ，⑴ 设BEC θ∠=，试将此人按上述路线从A 到C 所需时间T 表示为θ的函数；并求自变量θ的取值范围；⑵ 当θ为何值时，此人从A 经E 游到C 所需时间T 最小，其最小值是多少？（本题满分16分）27．已知函数2()f x xλ=，，()()f x g x =+，其中R λ∈， 且0λ≠.⑴当1λ=-时，求函数()g x 的最大值； ⑵求函数()h x 的单调区间；⑶设函数(),0,()(),0.f x x x g x x ϕ≤⎧=⎨>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.28．已知函数()ln f x x x a x =--.(1)若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．29．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln ,f x x a x a x =-++其中常数0a >．（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）当4a =时，给出两组直线：60x y m ++=与30x y n -+=，其中,m n 为常数．判断这两组直线中是否存在y =()f x 的切线，若存在，求出该切线方程；（3）设定义在D 上的函数y =()h x 在点P （00,()x h x ）处的切线方程为l :()y g x =，若()()h x g x x x -->0在D 内恒成立，则P 称为函数y =()h x 的“类对称点"．当4a =时，试问y =()f x 是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．30．某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x ＋a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)。