人教版八年级下册数学菱形.
菱形的性质人教版八年级数学下册
D 1更,化2数AD1能菱R、2.BBt第高你、学运形△=等平在一C的 学 综 思 用 的 A腰分平DO阶角的合想菱两=三∠B行段A度往化和形条A角四D≌D,,往,方的对=形C边R即B对是侧法性角(的t形C△第旧零重的质线三顶中B一知碎点考定互线角O,轮识的在查理相合C平如复≌产、于必进垂一分果习生散各然行直R)线内t,全乱个要简,△、角也新的知与单并C底大O称认知识数的且边小D“识识点学计每知上保≌的点之知算一识的持R重,间识与条篇中t不△要而的的证对”线,变D过在融考明角和O大仅程第会查线.A底致改。一贯结平边就变因轮通合分上是边为复。进一的高的在习行组高三长高时,对互第度一,在角相一,、老平。重学能高师时合期否二的的。得时主做在到,线题这一老索中一个师是必阶特是知须段殊以识提,的知的炼老平识纵出师行点向其将四为联中带边主系的领形线与数同?索 横 学学,向思们依联想重次系方温传,法高授以,一讲章并、解节以高的为之二,单指所由位导学于,自课后将己程面那的,的些解但相零题这关碎。绝知的不识、只还散是没乱以有的前学知所到识学,点知不串识能联的进起简行来单纵,重向并复联将,系他而,们是所系站以统在
2
O
D
C
1个定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
2个公式 3个特性
:S菱形=底×高 S菱形= 对角线乘积的一半
:特在“边、对角线、对称性”
=4×
1 2
B OA·OB
O
D
=
1 2
AC·BD
C
随堂练习
1.若菱形的边长等于一条对角线的长,则它 的一组邻角的度数分别为___6_0_°__和_1_2_0_°_.
2.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6,8,
则这个菱形的周长为(A )
18.2.2菱形 菱形的判定课件(共29张PPT) 人教版数学八年级下册
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形.
新知探究
猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证:
小山整把济南围了个圈儿,只有北边缺着点口儿。这一圈
已知:如小图山,在冬在天特▱A别可B爱C,D好中像是,把对济南角放在线一A个小C摇,B篮里D,相交于点O, 它们全安静不动地低声地说:“你们放心吧,这儿准保暖
G
C
和。”真的,济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看
∴∠A=∠B=∠C那=些∠小D山,=心9中0°便觉, 得A有D了=着B落C,,有A了B依=靠C。D他.们由天上
看到山上,便不知不觉地想起:“明天也许就是春天了H吧?
F
∵E,F,G,H分这点样幻别的想温不是暖能A,一B今时,天实夜现B里,C山他,草们C也也D许并就不,绿着A起急来,D了因的吧为中?有”这点就样,是慈这善
这样的温暖,今天夜里山草也许就绿起来了吧?”就是这
四点条幻边想不都能相一时等实现,他们也并不着急,因为有这样慈善
的冬天,干啥还希望别的呢!
两条对角线互相垂 直,并且每一条对
?
角线平分一组对角
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一
小山整把济南围了个圈儿,只有北边缺着点口儿。这一圈
也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 看到山上,便不知不觉地想起:“明天也许就是春天了吧? 这样的温暖,今天夜里山草也许就绿起来了吧?”就是这
我们大家
点幻想不能一时实现,他们也并不着急,因为有这样慈善
一起来尝试的一冬天下,干吧啥还!希望别的呢!
类比导入
图形 性质定理
18.2.2菱形 菱形的性质(教学课件)-人教版数学八年级下册
解:如图,过点A作AH⊥BC于点H.
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=2.
A
∵∠B=60°,∴∠BAH=90°-∠B=30°,
△ABC 是等边三角形. B 60°
D
∴BH= 1AB=1.
H C
2
由勾股定理易得AH= 3 ,
∴菱形ABCD的面积为BC·AH=2× 3 =2 3 .
例题精析
例2 如图,在菱形ABCD中, 过点B分别作BM⊥ AD 于点M, BN⊥CD于点N , BM , BN分别交AC于点 E, F. 求证: AE=CF. B
解:∵四边形ABCD是菱形,
B
∴AB∥CD,CB=CD,CA平分∠BCD.
F
∴∠BCE=∠DCE.
C
又CE=CE, ∴△BCE≌△DCE(SAS).
∴∠CBE=∠CDE.∵AB∥CD ,
EA D
∴∠AFD=∠CDE.∴∠AFD=∠CBE.
课堂总结
知识结构:
平行四边形
菱形
四条边都相等
两条对角线互相垂直,并且 每一条对角线平分一组对角
2
∴AO= 62 -32 =3 3 ,
∴AC=2AO=6 3 .
课后作业
2. 如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
DH⊥AB于点H,求DH的长.【选自教材P61,习题18.2第11题】
解:∵四边形ABCD是菱形
D
∴OA= 1 AC=4,OB= 1 BD=3 A
O
C
2
2
H
∴AB= OA2 OB2 5
C
∴∠BAD=∠BCD=60°.
B
又∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-60°=120°
八年级数学下册菱形知识点总结及典型例题解析(提高)
八年级数学下册菱形知识点总结及典型例题解析(提高)菱形是一种特殊的平行四边形,其定义为具有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质包括四条边相等、两条对角线互相垂直并平分一组对角、是轴对称图形且有两条对称轴。
菱形可以用来证明线段相等、角相等、直线平行、垂直及有关计算问题。
菱形的面积可以通过平行四边形的面积公式或者两条对角线乘积的一半计算。
菱形的判定方法有三种,包括定义、对角线互相垂直的平行四边形和四条边相等的四边形。
例题:已知菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°,求∠CEF的度数。
由已知∠B=60°,∠BAE=18°,可知∠AEC=78°。
欲求∠XXX的度数,只需求出∠AEF的度数。
由∠EAF=60°,易证△AEF为等边三角形,从而∠AEF=60°。
连接AC,由四边形ABCD 是菱形可知AB=BC,∠ACB=∠ACF。
又∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC。
∴∠ACF=∠B=60°,又∵∠EAF=∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAF,∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF。
因此,△AEF为等边三角形,∴∠AEF=60°。
2)利用菱形的性质,即对角线相等,结合EF的运动情况列出方程,解得t=2,代入验证即可.答案】(1)证明略.2)当t=2时,四边形ACFE是菱形.解析】1)略.2)设EF与AC的交点为点D,由题意可知:AG∥BC,∠BAC=60°,BC=6。
EF的速度为2cm/s,AE=l。
XXX的方程为:y=2x+l.XXX的中点为M,∴MC=MA=3。
AC的方程为:y=-√3x+3.D为AC的中点,∴D的坐标为(1.5,1.5√3)。
DE的方程为:y=-√3x+3√3.XXX≌CDF。
人教版八年级下册数学《菱形》平行四边形说课复习(菱形的性质)
已知:∵四边形ABCD是菱形
求证:∴AC⊥BD, AC平分∠BAD,∠BCD, BD平分∠ABC,∠ADC
已知:四边形ABCD是菱形
求证:AC⊥BD, AC平分∠BAD,∠BCD, BD平分∠ABC,∠ADC
证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
∴点A,点C在线段BD的垂直平分线上,
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=BC=CD=AD,
B
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
C
又AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
D
合作探究
你能用折纸的办法得到一个菱形吗?动手试一试!
先将一张长方形的纸对折、再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就
得到了一个菱形.
C.正方形
D.等腰梯形
解析:由题意知AC=AD=BD=BC,
∴四边形ADBC一定是菱形.
随堂练习
2.如图,AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交
AC于点F.求证:四边形AEDF是菱形.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠EDA=∠DAF.
∵AD是△ABC的一条角平分线,
∴四边形EFGH是菱形.
E
O
F
B
G
C
典例精析
例2
如图,在 □ ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,
AC⊥EF. 求证:四边形AECF是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
A
E
D
∴ AD=BC, AD//BC.
∵ DE=BF, ∴ AE=CF.
人教版八年级数学下《菱形》知识全解
《菱形》知识全解课标要求探索并证明菱形的性质定理:菱形的四条边相等,对角线互相垂直;以及它的判定定理:四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.知识结构内容解析1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形首先是一个平行四边形,然后增加一个特殊条件:一组邻边相等.菱形的定义既可作为菱形的性质运用,又可作为菱形的判定运用.2.菱形的性质(1)具有平行四边形的所有性质.(2)特有的两条性质(定理):①菱形的四条边相等;②菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.(3)菱形是轴对称图形,对角线所在的直线就是它的对称轴.(4)菱形的面积计算:S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半.菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形,两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,所以有关菱形的问题可以转化为等腰三角形或直角三角形来解决.3.菱形的判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形.这是菱形的定义,可作为菱形的判定方法,它是菱形其他判定方法的基础.(2)定理①:四边都相等的四边形是菱形.运用该定理证明时,可以直接证明一个四边形是菱形.(3)定理②:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.运用该定理证明时,要先证明四边形是平行四边形,再证明它的对角线互相垂直.4.运用和菱形的性质与判定解决问题.重点难点本课的重点是菱形的性质定理和判定定理的探索与证明.性质和判定定理本身容易理解,但需要学生借助一定的活动去进行观察、归纳、推导与验证.让学生自己体验探究过程,从中收获感悟.在教师的引导下,对知识本身和思想方法上都有实质性的掌握.这个过程到位了,必将很好地为下一过程——“运用性质和判定定理解决问题”打下坚实的基础,达到运用自如.教学重点的解决方法:在探究实验活动以及旧知类比的基础上进行定理的概括的推导.通过观察实验,巧妙设问,发现规律,归纳结论,解决重点.本课的难点是运用菱形的性质和判定方法进行推理、计算和解决问题.在通过探索和证明得到了菱形的性质及判定定理后,直接利用定理解决问题就势在必行.但从主观上讲,学生对刚学会的知识会有生疏感,不会直接用,甚至不敢用,习惯一步推理,对多步推理不熟;从客观上讲,性质和定理本身的数量不止一项,因而问题的解决需要选择相应的性质和定理,特别是判定方法的选择性很强,而且题目的设置往往灵活多变,还综合之前的知识等.这都给问题解决带来了困难.教学难点的解决方法:问题设置从易到难,从单一到综合逐步递进.通过引导思维,结合图形一步一步体现思路,明确方法来解决难点、疑点.教法导引在数学教学过程中,基于学生思维的起点,为了突出教师为主导、学生为主体的教学原则,我们可以运用自主探究法和直观教学法,让学生在实践中学习、掌握知识,达到灵活运用,并对先后知识融会贯通.针对本节课的特点,可以采用“创设情境——探究实践——观察讨论——总结归纳——知识运用”为主线的教学模式,运用实践、观察、分析、讨论相结合的方法.教学中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识,形成技能.在教学过程中注意创设思维情境,在合作交流的气氛下进行师生互动,培养学生的自学能力和创新意识,让学生在教师的指导下自始至终处于一种积极思维,主动探究的学习状态.借助教具和课件演示,以增加教学的直观性,更好的理解菱形的性质与判别,解决教学重点与难点.根据本课内容的特点,建议教师在教学过程中注意以下问题:1.菱形的知识,学生在小学时接触过一些,教学要基于学生对菱形的已有认知上.在引入概念时,应让学生充分的理解到菱形是一个特殊的平行四边形,特殊在有一组邻边相等.教师设置情境,学生自己动手探究,体验到菱形可以由平行四边形平移或等角三角形、直角三角形拼接得到.2.菱形在现实中的实例较多,因而在讲解菱形的性质和判定时,教师可多准备一些生活实例,来对菱形的性质和判定进行应用.既增加了学生的参与感,又巩固了所学的知识.3.教学过程中,应特别重视探究活动,这样既增强了学生的动手能力和参与感,又在教学中有切实的实例,使学生对知识的掌握更轻松、具体.例如菱形性质的探索、判定定理的探索都需要通过具体的折纸、画图等实践来进行探究.4.教学过程中注意学生独立思考和合作交流的有机结合.例如在对性质的讲解中,教师可将学生分组,每组学生分别对菱形进行“边、角、对角线”等方面的研究,然后在组内进行整理、归纳.而在性质或判定的应用中,教师根据题目的层次安排,可引导学生独立分析思路,并独立进行具体的证明.5.注重将新知识与旧知识进行联系与类比.新旧知识的联系与类比有利于学生建立新的知识体系,同时也能在一定程度上培养学生的合情推理能力.菱形的判定方法可以通过类比已学过的矩形的判定方法,进行合情猜想,并加以验证,实现知识的正迁移.学法建议在日常生活中,学生经常会遇到各种几何图形也包括菱形,但学生对这一图形的认识是直观的、肤浅的,因此在教学中要以原有直观感和平行四边形、矩形的相关知识为基础,探索菱形的性质及判别方法,并尝试利用它们解题.新的教学理念要求在课堂中注重探究学习,在本课中,其实有许多内容可以进行这方面的尝试.如菱形的概念得到、菱形性质的发现和推导、菱形面积的算法、菱形判定方法的选择和思路的选取等都可以让学生进行探究和归纳.若能在探究的基础上归纳出方法,学习的效果会提高很多,学习的能力也能得到不断提高.在本节课的教学中,要帮助学生学会运用实践、观察、分析、比较、验证、归纳、概括等手段,得出解决问题的方法,使传授知识与培养能力融为一体,使学生不仅学到科学的探究方法,而且体验到探究的乐趣,领会到成功的喜悦.。
人教版八下数学课件第18章18.2.2第1课时菱形的性质
解 : 当 四 边 形 EDD′F 为 菱 形 时 , △A′DE 是 等 腰 三 角 形 , △A′DE≌△EFC′.理由:∵△BCA 是直角三角形,∠ACB=90°,AD=
DB,∴CD=DA=DB,∴∠DAC=∠DCA,∵A′C∥AC,∴∠DA′E=
∠A , ∠DEA′ = ∠DCA , ∴∠DA′E = ∠DEA′ , ∴DA′ = DE ,
7.如图,AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线,那么下列结论一定正确的是( B ) A.△ABD 与△ABC 的周长相等 B.△ABD 与△ABC 的面积相等 C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
灿若寒星
8.如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD=120°,AB=4.
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
八年级数学(下册)·人教版
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
灿若寒星
1.定义:四条边相等的四边形 叫做菱形.菱形是轴对称图形,它的对称 轴是 两条对角线所在的直线 . 2.性质:①菱形的四条边 相等 ;②菱形的对角线 互相垂直平分 ,并且 每条对角线 平分 一组对角. 3.菱形的面积等于两对角线长的乘积的 一半 .
解:∵四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD,OA=12AC=8cm,OD=21BD= 6cm.∴AD= 62+82=10,∴C 菱形=4AD=40cm.由 S 菱形=AB×DE=12 ×AC×BD,即 10×DE=12×16×12,∴DE=9.6cm.
灿若寒星
5.如图,将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开,得到 △ACD,再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置,若平移开始后 点 D′,未到达点 B 时,A′C′交 CD 于 E,D′C′交 CB 于点 F,连接 EF,当四边形 EDD′F 为菱形时,试探究△A′DE 的形状,并判断△A′DE 与△EFC′是否全等?请说明理由.
八年级数学人教版下册菱形的性质课件
角
菱形的两组对角分别相等
对角线
菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对 角线平分一组对角
对称性
菱形是轴对称图形
课堂总结
2.本节课你感受到了哪些数学思想方法? (1)从一般到特殊: 平行四边形 有一组邻边相等 菱形. (2)转化思想: 将四边形问题转化为三角形问题. (3)从特殊到一般:菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
求证:AC⊥BD.
分析:
菱形ABCD (从定义出发)
AB=AD □ABCD
等腰△ABD OB=OD
猜想2:菱形的对角线互相垂直.
已知:四边形ABCD是菱形,对角线AC和BD交于点O. 求证:AC⊥BD.
分析:等腰△ABD
OB=OD
三线合一
AO⊥BD,AO平分∠BAD AC⊥BD,AC平分∠BAD
猜想2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
∵点C在y轴负半轴上,∴点C的坐标为(0,-2).
=△ABD的面积+△CBD的面积
点D的坐标为( ,0).
2 解∴:OD∵=四OB边=形ABCD是菱形,AC=6,BD=8体, 会几何图形研究的一般步骤和方法
菱形的两组对角分别相等
= BD×AO + BD×CO
(1)菱形是轴对称图形.
猜想2:菱形的对角线互相垂直.
问题1:平行四边形的边特殊化得到什么图形呢?
∴AB=AD,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
菱形的两组对角分别相等
菱形性质定理1:菱形的四条边都相等.
例3 如图,平面直角坐标系中,菱形ABCD,∠ABC=60°,点A的坐标为(0,2).
求B,C,D各点的坐标.
猜想2:菱形的对角线互相垂直.
菱形菱形的判定课件人教版数学八年级下册
所以CE=AE=AC.
又因为AF=CE,所以AF=AE=AC.
7.(丹东)如图,在▱ABCD中,O是AD的中点,连接CO并延长,交BA的延长线于 点E,连接AC,DE.
(1)求证:四边形ACDE是平行四边形. (2)若AB=AC,判断四边形ACDE的形状,并说明理由.
8.(滨州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC, AE∥BD.
第4题图
5.如图,过▱ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG,FH,
与AD,AB,BC,CD分别相交于点E,F,G,H.求证:四边形EFGH是
菱形.
证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD∥BC,OB=OD.
所以∠ODE=∠OBG,∠OED=∠OGB.
所以△EOD≌△GOB.
所以OE=OG.
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
菱形——菱形的判定
自主导学
菱形的判定方法: 方法1(定义法):有一组___邻__边___相等的平行四边形是菱形. 方法2:对角线__互__相__垂__直____的平行四边形是菱形. 方法3:四条边___相__等___的四边形是菱形.
探究学习
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【例1】如图,▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与 边AD,BC分别相交于点E,F.求证:四边形AFCE是菱 形.
(1)求证:AE=DF.
(2)四边形AEFD能成为菱形吗?若能,求出相应的t值;若不能,请说 明理由.
解:能. 因为∠B=∠DFC=90°, 所以DF∥AB. 又DF=AE, 所以四边形AEFD是平行四边形. 当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60-4t=2t,解得t=10. 所以当t=10时,四边形AEFD是菱形.
人教版数学八年级下册 菱形的判定
∴ AB=DF=8.
∴
S四边形ADCF=
1 2
DF ·AC= 1
2
×6×8=24.
F O
C
当堂小结
判
边
菱定
形定
理 对
角
线
菱形的定义 有一组邻 _边__相__等____的平行四边形是菱形
_四__条__边__都__相__等___的四边形是菱形
_对__角__线__互__相__垂__直_的四边形是菱形
当堂练习
1. 判断下列说法是否正确
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形;
╳
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形; √
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的
四边形是菱形;
╳
(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形.
╳
2.一边长为13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和10 cm,则平行四边形的面积是 120 cm2 .
E
∴ △AEF≌△DEB (ASA). ∴ AF=DB. B D C
∴ DC=AF. 又∵AF∥BC,
∴ 四边形 BCFБайду номын сангаас 是平行四边形
又∵ AF=AD,
A
∴ 四边形 ADCF 是菱形.
(2) 连接 DF,交 AC 于点 O.
E
由 (1) 可知,AF∥BD,AF=BD, B D
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形.
MD
∴∠DAO = ∠ECO,
∴ △ADO≌△CEO(ASA).∴ AD = CE.
OE N
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵∠AOD = 90°, ∴ 四边形 ADCE 是菱形.
人教版八年级下册数学菱形的判定1
知识回顾
1.菱形的定义是什么? 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
一组邻边相等
平行四边形
菱形
D
O
A
C
B
(1)菱形具有平行四边形的一切性质; (2)菱形的四条边都相等;
(3)菱形的两条对角线互相垂直, 并且每一条对角线平分一组对角;
(4)菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形;
A 1
ED
O
2
B
F
C
菱形的判定方法:
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.四条边都相等的四边形是菱形。 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
1.课本P58第2题.
2.如图,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,DF∥AB 交AC于F.求证:四边形AEDF是菱形.
3.如图,顺次连接矩形ABCD各边中点,得到四边
求证:EF⊥AD;
例4:把两张等宽的纸条交叉重叠在 一起,试探究重叠部分ABCD的形状, 并说明理由。
A D
BC
A
D
F B EC
思考:若例4中,已知∠ABC=600,
纸条宽为6厘米,试求出重叠部分
ABCD的面积。
1
2
例5:在四边形ABCD中,AD∥BC,对 角线AC的垂直平分线与边AD、BC相交 于点E、F.求证:四边形AFCE是菱形.
形EFGH,求证:四边形EFGH是菱形。
A
A
E 12 F
F
E
D
H
3
B
D
CB
G
C
A
D
B
C
判定2:四条边都相等的四边形是菱形.
探索二
⒉在平行四边形ABCD中,AC⊥BD, 垂足为点O, ABCD是菱形吗?为什 么?