课时跟踪检测(四十七) 双曲线(重点高中)

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课时跟踪检测(四十九) 双曲线

课时跟踪检测（四十九）双曲线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( ) A ．4 B.14 C ．－14D ．－4解析：选C 依题意得m ＜0，双曲线方程是x 2－y 2－1m ＝1，于是有－1m ＝2×1，m ＝－14. 2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：选B 由条件e ＝3，即c a ＝3，得c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选B.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1―→|＝3，|PF 2―→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5解析：选D 依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2＝5，因此该双曲线的离心率e ＝|F 1F 2||PF 2|－|PF 1|＝5.4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10. 因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13 B.12 C.23D.32解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q |，PQ ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2 B ． 3 C.102D.173解析：选D 设|F 2Q |＝m ，则|F 1Q |＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m . 因为 PQ ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2，解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q |＝83a .所以在△F 1F 2Q 中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫8a 32＝(2c )2，解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，52 B ．⎝⎛⎦⎤1，72 C.⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫72，＋∞解析：选C 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为 y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a b＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝2b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝c a ＝52.答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2138．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e ＝23＝233.答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6， ∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎨⎧x 23－y 26＝1，y ＝33(x －3)，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝⎛⎭⎫－652－4×⎝⎛⎭⎫－275＝1635.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A.3 B ．2 3 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－ba x ，则|FH |＝|bc |a 2＋b 2＝b . 因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a . 因为cos ∠PFF 2＝bc，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×bc ，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13. 所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k 2<0，x A x B＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. ∴k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1k x ＋m ，将点P 的坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．。

高中数学课时跟踪训练十双曲线的简单性质北师大版选修3

课时跟踪训练(十) 双曲线的简单性质1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4 D.143．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 4．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.335．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________． 6．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.7．根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积．答案1．选C 由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 2．选A 双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1， ∴a 2＝1，b 2＝－1m. 由题意b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14. 3．选B 由方程组⎩⎨⎧ a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.4．选B 由题意，得|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝233c ，|MF 1|＝433c . 由双曲线定义得|MF 1|－|MF 2|＝233c ＝2a ，所以e ＝c a＝ 3.5．解析：由题意知k <0，且a ＝2，c ＝4－k ，∴1<4－k 2<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)6．解析：设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，所以|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝－12|PF ′|＋|MF |－|FN |＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1. 答案：－17．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． ∵e ＝2，∴c 2a2＝2即a 2＝b 2.① 又过点P (3，－5)有：9a 2－5b2＝1，② 由①②得：a 2＝b 2＝4，双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有：a 2＝b 2，③5a 2－9b2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(不合题意，舍去)．综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1. (2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，半焦距c 1＝a 21－b 21＝5，所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)．因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设条件及双曲线的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1. 即双曲线方程为x 24－y 2＝1. 8．解：(1)∵e ＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23， kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23. ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴1MF ·2MF ＝0.法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，2MF ＝(23－3，－m )，∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴1MF ·2MF ＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。

高中数学课时跟踪检测(十)双曲线的简单几何性质(含解析)11

课时跟踪检测(十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．下列双曲线中离心率为错误!的是( )A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1 C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析：选B 由e＝错误!得e2＝错误!，∴错误!＝错误!，则a2＋b2a2＝错误!,∴错误!＝错误!，即a2＝2b2．因此可知B正确．2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ）A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4解析：选A 令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0）,∴c＝4，a2＝错误!c2＝错误!×16＝8，故选A．3．双曲线错误!＋错误!＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是（)A．（－10,0) B．（－12,0）C．(－3,0) D．(－60,－12)解析:选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．∴e2＝错误!＝错误!＝1－错误!．又e∈(1,2），∴1<1－错误!<4，∴－12〈k<0．4．已知双曲线E的中心为原点，F（3，0)是E的焦点，过F 的直线l与E相交于A,B两点，且AB的中点为N(－12,－15）,则E 的方程为（）A．错误!－错误!＝1 B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!－错误!＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a>0，b>0）,由题意知c＝3,a2＋b2＝9，设A(x1,y1)，B（x2,y2）则有错误!两式作差得错误!＝错误!＝错误!＝错误!,又AB的斜率是错误!＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是错误!－错误!＝1．5．(全国卷Ⅱ）已知A，B为双曲线E的左,右顶点,点M在E 上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为( ）A．错误!B．2C ．错误!D ．错误!解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示,设双曲线方程为错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0），则|BM ｜＝｜AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为错误!．∵M 点在双曲线上，∴错误!－错误!＝1，a ＝b ，∴c ＝错误!a ，e ＝错误!＝错误!．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点（4，错误!）,且渐近线方程为y ＝±错误!x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ,∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ（λ≠0）．∵双曲线过点(4，错误!），∴λ＝16－4×（错误!）2＝4,∴双曲线的标准方程为错误!－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4，2），而3〈2，∴点（4，3）在渐近线y ＝错误!x 的下方,在y ＝－错误!x 的上方(如图）．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为错误!－错误!＝1（a>0,b〉0)．由已知条件可得错误!解得错误!∴双曲线的标准方程为错误!－y2＝1．答案：错误!－y2＝17．过双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________．解析：由题意知,a＋c＝错误!，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0,∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：28．双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为A,右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________．解析：双曲线错误!－错误!＝1的右顶点A（3,0），右焦点F（5,0)，渐近线方程为y＝±错误!x．不妨设直线FB 的方程为y ＝错误!(x －5），代入双曲线方程整理，得x 2－（x －5）2＝9,解得x ＝错误!，y ＝－错误!，所以B 错误!．所以S △AFB ＝12｜AF ｜｜y B |＝错误!(c －a )·｜y B |＝错误!×(5－3）×错误!＝错误!．答案：错误!9．（全国卷Ⅰ）已知F 是双曲线C :x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，6错误!）．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－错误!＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F （3，0)，F 1(－3，0）．当点P 在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF |－｜PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝｜AP ｜＋|PF ｜＋|AF |＝|AP |＋｜PF 1|＋2＋|AF |．因为|AF ｜＝错误!＝15为定值,所以当（｜AP ｜＋|PF 1|)最小时,△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y＝2错误!x＋6错误!，由错误!得y2＋66y－96＝0，解得y＝2错误!或y＝－8错误!(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝错误!×6×6错误!－错误!×6×2错误!＝12错误!．10．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a〉0,b>0)的离心率为错误!,且错误!＝错误!．(1）求双曲线C的方程；（2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．解：（1)由题意得错误!解得错误!所以b2＝c2－a2＝2．所以双曲线C的方程为x2－错误!＝1．（2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，（x2，y2)，线段AB的中点为M(x0,y0）．由错误!得x2－2mx－m2－2＝0（判别式Δ>0)．所以x0＝错误!＝m,y0＝x0＋m＝2m．因为点M(x0，y0）在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5．故m＝±1．层级二应试能力达标1．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( ）A．2错误!B．2C．错误!D．1解析：选A 不妨取焦点（4,0）和渐近线y＝错误!x，则所求距离d＝错误!＝2错误!．故选A．2．若双曲线与椭圆x216＋错误!＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为（0，±4错误!），所以λ<0，且－2λ＝（4错误!）2,得λ＝－24．故选D．3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,－2)，则它的离心率为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选D 设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)．由题意,知过点（4,－2）的渐近线方程为y＝－错误!x，所以－2＝－错误!×4，即a＝2b．设b＝k（k〉0)，则a＝2k,c＝错误!k，所以e＝错误!＝错误!＝错误!．故选D．4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E:错误!－错误!＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1＝错误!，则E的离心率为（)A．错误!B．错误!C．错误!D．2解析：选A 法一:作出示意图，如图，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，由正弦定理得e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．故选A．法二:因为MF1与x轴垂直，所以｜MF1|＝错误!．又sin∠MF2F1＝错误!，所以错误!＝错误!，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝｜MF2｜－|MF1｜＝2｜MF1|＝错误!，所以b2＝a2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝错误!＝错误!．5．已知双曲线错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0）的一个焦点为F （2错误!,0），且离心率为e ＝错误!，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝错误!＝错误!,可得a ＝4,所以b ＝错误!＝2，则双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1．答案：错误!－错误!＝16．已知双曲线错误!－错误!＝1（a 〉0，b >0）的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知错误!≥错误!，则错误!≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2,所以e 2＝错误!≥4，所以e ≥2．答案:[2,＋∞）7．设双曲线x 2a 2－错误!＝1（0〈a <b )的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0,b )两点,已知原点到直线l 的距离为错误!c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为错误!＋错误!＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有错误!＝错误!c ，所以ab ＝错误!c 2，两边平方，得a 2b 2＝错误!c 4．又b2＝c2－a2,所以16a2(c2－a2）＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝4 3．又b>a，所以e2＝错误!＝1＋错误!>2,则e＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．（1）若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点,且△AOB的面积是2，求实数k的值．解:（1）由错误!消去y,得(1－k2）x2＋2kx－2＝0．①由直线l与双曲线C有两个不同的交点，得错误!解得－错误!〈k<错误!且k≠±1．即k的取值范围为（－错误!，－1)∪(－1，1）∪（1,错误!)．(2)设A（x1，y1)，B(x2,y2)，由方程①，得x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!．因为直线l:y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，则当x1x2<0时,S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝错误!|x1－x2｜＝错误!;当x1x2〉0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!．综上可知，｜x1－x2｜＝22，所以（x1－x2)2＝（x1＋x2)2－4x1x2＝（2错误!）2，即错误!2＋错误!＝8，解得k＝0或k＝±错误!．由(1），可知－2<k<错误!且k≠±1,故k＝0或k＝±错误!都符合题意．。

高考数学《双曲线》专题检测试卷(含答案)

高考数学《双曲线》专题检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．过点()1,2P -的直线与双曲线2214x y -=的公共点只有1个，则满足条件的直线有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．双曲线E ：2213y x -=的左，右顶点分别为,A B ，曲线E 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则mn =（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．双曲线222:1(0)y C x a a-=>的上焦点2F 到双曲线一条渐近线的距离为2a ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A ．4-B ．4C ．2-D ．24．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右焦点为F ，点E 的坐标为(,b c a b ，则直线OE （O 为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦为AB ，若190AF B ∠= ，则双曲线的离心率为（）A ．522B 1-C 1D ．2226．已知双曲线C ：221169x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且6AB =，则1F AB 的周长为（）A ．20B ．22C ．28D ．367．已知点P 是双曲线2211620x y -=右支上的一点，点A B 、分别是圆22(6)4x y ++=和圆22(6)1x y -+=上的点．则PA PB -的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．98．双曲线2222:1(0,0)y x a b a bΓ-=>>的两焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与其一支交于A ，B两点，点B 在第四象限.以1F 为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段11,AF BF 分别交于M ，N 两点，且12||3||,AM BN F B F B =⊥，则Γ的渐近线方程是（）A．y =B．y x =C．y x =D．y x=二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知双曲线C ：()2220mx y m -=>，左右焦点分别为12,F F ，若圆()2248x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的离心率e =B ．若1PF x ⊥轴，则1PF =C ．若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F的周长为4+D ．存在双曲线C 上一点P ，使得点P 到C10．已知双曲线2222 :1(0)x y M a b a b-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，则下列说法正确的是（）A ．MB ．M 的标准方程为2212x y -=C ．M的渐近线方程为y =D ．直线20x y +-=经过M 的一个焦点11．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且12π6MF F =∠，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π2F PF ∠=，则（）A．21e e =B．12e e =C ．221294e e +=D ．22211e e -=三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的标准方程为__________．13．已知双曲线1C ：()22210y x b b-=>与椭圆2C：(2221x y a a +=>有公共的焦点1F ，2F ，且1C 与2C 在第一象限的交点为M ，若12MF F △的面积为1，则a 的值为__________．14．设1F 、2F 为双曲线Γ：()222109x ya a -=>左、右焦点，且Γ，若点M 在Γ的右支上，直线1F M 与Γ的左支相交于点N ，且2MF MN =，则1F N =__________.四、解答题（共5小题，共77分）15．设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>，斜率为1的直线l 与Γ交于,A B 两点，当l 过Γ的右焦点F 时，l 与Γ的一条渐近线交于点(P -．（1）求Γ的方程；（2）若l 过点(1,0)-，求||AB ．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为2（1）求双曲线C 的方程；（2）直线():1,0l y k x k =+>与双曲线C 有唯一的公共点，求k 的值．17．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C 于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q ．（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB V 面积的取值范围．18．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45︒．机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒（注：信号每秒传播0v 米）．在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．已知离心率为72的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S参考答案15．（1）2214y x -=（2）82316．（1）22124x y -=（2）k =2．17．（1）2213y x -=（2）证明略（3）⎦18．（1）(4,0)（2）没有“被抓”风险19．（1）22143x y -=（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭。

2019-2020年高中数学课时跟踪训练十双曲线的几何性质新人教B版选修

2019-2020年高中数学课时跟踪训练十双曲线的几何性质新人教B 版选修1.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( ) A ．－14B ．－4C ．4D.142．(新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝124．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝15．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．6．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．7．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2.8．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求该双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．答案1．选A 双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍， ∴ m <0，且双曲线方程为－x 24＋y 2＝1，∴m ＝－14.2．选C 由双曲线的离心率e ＝c a ＝52可知，b a ＝12，而双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，故选C.3．选B 由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)，则c ＝2a ，一条渐近线为y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2.4．选A 已知c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax 经过点(2,1)，所以a ＝2b ，所以25＝4b 2＋b 2，由此得b 2＝5，a 2＝20，故所求的双曲线方程是x 220－y 25＝1.5．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：26．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线，设其方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．解：(1)∵离心率e ＝c a＝2，∴a ＝b . 设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)， ∵(4，－10)在双曲线上， ∴n ＝42－(－10)2＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵M (3，m )在双曲线上，则m 2＝3. 又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴MF 1⊥MF 2.8．解：(1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1， ∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝PF 1|－|PF 22＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.2019-2020年高中数学课时跟踪训练十双曲线的标准方程苏教版选修1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.3．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．4．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.5．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是__________．6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．8．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 2，且三内角A，B，C满足2sinA＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．答案课时跟踪训练(十)1．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设PF1＝11，根据双曲线的定义知|PF1－PF2|＝2a＝10，∴PF2＝1或PF2＝21，而F1F2＝14，∴当PF2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF2＝21.答案：212．解析：设△PF1F2内切圆的半径为r，则由S△IPF2＝S△IPF1－λS△IF1F2⇒12×PF2×r＝12×PF1×r－12λ×F1F2×r⇒PF1－PF2＝λF1F2，根据双曲线的标准方程知2a＝λ·2c，∴λ＝a c ＝45. 答案：453．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．解析：∵·＝0，∴⊥.∴||2＋||2＝40.∴(||－||)2＝||2－2||·||＋||2＝40－2×2＝36.∴|||－|||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|＋2＋94－2－－2＋94－2|＝|4142－942|＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9. 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. (2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5，由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33.8．解：以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。

高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十一)双曲线理(重点高中)

课时跟踪检测（五十一）双曲线(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )A.13 B.12C.23D.32解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.2．(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：选D 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，b a＝tan 60°＝ 3.又c 2＝a 2＋b 2，联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A.52B.102C.152D. 5解析：选B 因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102(负值舍去)．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若|MF 1|－|MF 2|＝2b ，该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A ．2 B.2＋12 C.3＋222D.5＋12解析：选D 由题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝bax ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a 2，y 2＝b 2，即点M (a ，b )，则|MF 1|－|MF 2|＝c ＋a2＋b 2－c －a2＋b 2＝2b ，即2c 2＋2ca －2c 2－2ca ＝2c 2－a 2，2e 2＋2e －2e 2－2e ＝2e 2－1，化简得，e 4－e 2－1＝0，解得e 2＝5＋12. 5．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)设F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，若线段OF 的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为12|OF |，则双曲线的离心率为( )A ．2 2 B.233C ．2 3D ．3解析：选B 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，线段OF 的垂直平分线为直线x ＝c 2，将x ＝c 2代入y ＝b a x ，则y ＝bc 2a ，则交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，bc 2a 到直线y ＝－b a x (即bx ＋ay ＝0)的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪bc 2＋bc 2a 2＋b2＝12|OF |＝c2，得c ＝2b ＝2c 2－a 2，即4a 2＝3c 2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝233，故选B.6．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25，① 又|PA |2＋|PB |2＝36，②联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213. 答案：2137．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又已知|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2，要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∵cos ∠F 1PF 2≥－1，∴cos ∠F 1PF 2＝178－98e 2≥－1，解得e ≤53，即e 的最大值为53.答案：538．已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为________．解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.答案：29．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·石家庄二中月考)已知直线l 1，l 2是双曲线C ：x 24－y 2＝1的两条渐近线，点P 是双曲线C 上一点，若点P 到渐近线l 1距离的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则点P 到渐近线l 2距离的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，85B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，85 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，83 解析：选A 设点P (x 0，y 0)，由题可设渐近线l 1：x －2y ＝0，渐近线l 2：x ＋2y ＝0，由点P 到直线l 1的距离d 1＝|x 0－2y 0|5，点P 到直线l 2的距离d 2＝|x 0＋2y 0|5，有d 1d 2＝|x 0－2y 0|5·|x 0＋2y 0|5＝|x 20－4y 20|5，又x 204－y 20＝1，即x 20－4y 20＝4，则d 1d 2＝45，则d 2＝45d 1，由d 2与d 1成反比，且d 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以d 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，85.故选A.2．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长为|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当|AP |＋|PF 1|最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 答案：12 63．(2018·石家庄质量检测)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于M ，N 两点，且MF ―→·NF ―→＝0，△MNF 的面积为ab ，则该双曲线的离心率为________．解析：因为MF ―→·NF ―→＝0，所以MF ―→⊥NF ―→. 设双曲线的左焦点为F ′，则由双曲线的对称性知四边形F ′MFN 为矩形，则有|MF |＝|NF ′|，|MN |＝2c . 不妨设点N 在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF ′|－|NF |＝2a ，所以|MF |－|NF |＝2a .因为S △MNF ＝12|MF |·|NF |＝ab ，所以|MF ||NF |＝2ab .在Rt △MNF 中，|MF |2＋|NF |2＝|MN |2，即(|MF |－|NF |)2＋2|MF ||NF |＝|MN |2，所以(2a )2＋2·2ab ＝(2c )2，把c 2＝a 2＋b 2代入，并整理，得b a＝1，所以e ＝c a＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.答案： 24．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，在圆O 中，F 1F 2为直径，P 是圆O 上一点，所以PF 1⊥PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M ，且圆M 与直线PF 2相切于点Q ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，0，MQ ⊥PF 2，所以PF 1∥MQ ，所以|MQ ||PF 1|＝|MF 2||F 1F 2|，即c2|PF 1|＝3c22c ，可得|PF 1|＝2c 3，所以|PF 2|＝2c 3＋2a ，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 29＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3＋2a 2＝4c 2，即7e 2－6e －9＝0，解得e ＝3＋627，e ＝3－627(舍去)．答案：3＋6275．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－1322×10×4＝45.6．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝－k 2，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. 所以当l 与双曲线左支有两个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k2.所以AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k1－3k 2，21－3k 2.设直线l 0的方程为y ＝－1kx ＋m ，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.因为33<k<1，所以－2<1－3k2<0.所以m<－2 2.所以m的取值范围为(－∞，－22)．。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.已知抛物线的准线与双曲线交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是A．B．C．2D．3【答案】B【解析】抛物线的准线方程，设，焦点，由于为直角三角形，，，所以得，，.【考点】双曲线的离心率.2.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.【答案】【解析】由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.【考点】直线与双曲线的位置关系.3.已知F是双曲线的左焦点,A为右顶点，上下虚轴端点B、C，若FB交CA于D，且，则此双曲线的离心率为（）.A ． B． C． D．【答案】B.【解析】如图，由已知可得直线FB的方程为：，直线AC的方程为：，联立前两方程可得D点坐标为：，因此有，又，所以有，整理得，又，所以有：即，故.【考点】直线方程的交点问题，两点间的距离公式（或向量的模长公式），双曲线的性质（含离心率公式）.4.在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为．【答案】．【解析】由于抛物线的焦点坐标为：，由已知得：双曲线Ｃ的右焦点Ｆ的坐标为，又因为双曲线Ｃ的中心在坐标原点，所以可设所求双曲线Ｃ的方程为：且，从而有：，故设所求双曲线Ｃ的方程为：．【考点】双曲线．5.已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( )．A．双曲线的焦点到渐近线的距离为; B．若，则e的最大值为;C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a ;D．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则．【答案】C【解析】的焦点坐标为，渐近线方程为，对于选项A, 焦点到渐近线的距离，故A错；对于选项B,设,若，令所以即解得．故B错；对于选项C:如图，设切点A，由切线长定理得：，即，所以，故△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a,所以选项C正确对于选项D:由外角平分线定理得：，故选项D错误，故选项为C．．【考点】渐近线方程；点到直线的距离公式；焦半径公式；外角平分线定理；合比定理．6.若双曲线的渐近线与方程为的圆相切，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得和的关系，进而利用求得和的关系，则双曲线的离心率可求．【考点】双曲线的简单性质．7.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的右焦点坐标为(2,0),而抛物线的焦点坐标为(,0)，∴=2，p=4.【考点】抛物线与双曲线的焦点坐标.8.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）A．2B．4C．8D．【答案】C【解析】抛物线的焦点F为（，0），双曲线的右焦点F2（4，0），由已知得=4，∴p=8．故选C．【考点】圆锥曲线的共同特征．9.设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是【答案】1【解析】由题意可得a=1，b=2，c=，得F2（0，），F1（0，-），又F1F22=20，|PF1-PF2|=4，由勾股定理可得：F1F22=PF12+PF22=（PF1-PF2）2+2PF1•PF2=16+2PF1•PF2，∴PF1•PF2=2,所以=1．故选B．.【考点】双曲线的简单性质．10.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】因为焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，所以【考点】双曲线渐近线方程11.双曲线的焦点到它的渐近线的距离为_________________；【答案】1【解析】由双曲线方程可知，则，即，所以焦点为，渐近线为。

高中数学双曲线习题及答案解析

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==．在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为（） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =，由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=，即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅，化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确；在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确；若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±，故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误，将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =，由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±，故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ，因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧，又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长，因为，所以的周长，因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为，当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去），故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ，所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____，双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝．其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2，焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-，所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

高中数学课时跟踪检测十双曲线的简单几何性质含解析新人教A版选修1

课时跟踪检测（十）双曲线的简单几何性质层级一学业水平达标1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2．因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A ．3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k ．∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4．又e ∈(1,2)，∴1<1－k4<4，∴－12<k <0．4．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A ．x 23－y 26＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 26－y 23＝1D ．x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 1＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1．5．(全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a ．∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝2．故选D ．6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝17．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ．不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫175，－3215．所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215．答案：32159．(全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，求该三角形的面积．解：设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3,0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |．因为|AF |＝32＋62＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝126． 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2．所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1．(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ．因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5．故m ＝±1．层级二应试能力达标1．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2 3B ．2C ． 3D ．1解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝|43－0|3＋1＝23．故选A ．2．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24．故选D ．3．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b ．设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52．故选D ．4．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ． 2B ．32C ． 3D ．2解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝2．故选A ．法二：因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a＝2．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1．答案：x 216－y 24＝16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2．答案：[2，＋∞)7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0．于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4．又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43．又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2．于是双曲线的离心率为2．8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0．①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1．即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2．因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝2．综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62．由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。

课时跟踪检测(五十二) 双曲线

课时跟踪检测(五十二) 双曲线[达标综合练]1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0) B.(－2,0)，(2,0) C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 3．(2020·南宁联考)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB.y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.4．(2019·青岛二模)若直线l ：x －2y －5＝0过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选A 根据题意，令y ＝0，则x ＝5，即c ＝5.又b a ＝12，所以a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线的方程为x 220－y 25＝1.5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则双曲线的离心率为( )A.52B. 5C.3＋12D.3＋1解析：选B 由已知得b a ＝2，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5a 2a 2＝5，故选B. 6．(2019·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率是 5，则a ＝( )A. 6B.4 C ．2D.12解析：选D 由双曲线方程x 2a2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.7．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A. 2B.2C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2，∴ba ＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 8．(2020·成都模拟)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则此双曲线的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 因为2c ＝|AB |＝6，所以c ＝3. 因为b 2a ＝|BC |＝52，所以5a ＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以9＝a 2＋5a 2，解得a ＝2或a ＝－92(舍去)，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32，故选B. 9．已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N两点，O 为坐标原点，则OM ―→·ON ―→＝( )A ．3 B.4C ．5D ．与P 的位置有关解析：选A 设切点P (x 0，y 0)，则x 204－y 20＝1，切线l 的方程为14x 0x －y 0y ＝1.由题意知该双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，不妨设M 为直线l 与渐近线y ＝12x 的交点，由⎩⎨⎧14x 0x －y 0y ＝1，y ＝12x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x 0－2y 0，y ＝2x 0－2y 0，即交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－2y 0，2x 0－2y 0，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0＋2y 0，－2x 0＋2y 0，所以OM ―→·ON ―→＝12x 20－4y 20＝124＝3，故选A. 10. (2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32B.3 C ．2 3D ．4解析：选B 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.11．设点P 在双曲线x 29－y 216＝1上，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，且|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，则△F 1PF 2的周长等于________．解析：由题意知|F 1F 2|＝29＋16＝10，||PF 2|－|PF 1||＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝1∶3，∴|PF 1|＝3，|PF 2|＝9，∴△F 1PF 2的周长为3＋9＋10＝22.答案：2212．已知曲线x 22＋y 2k 2－k ＝1，当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k 的取值范围是________．解析：当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时，k 2－k ＞2，所以k ＜－1或k ＞2；当曲线表示双曲线时，k 2－k ＜0，所以0＜k ＜1. 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) (0,1)13．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，其渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x14．(2020·南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝c a ，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2.答案：215．若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围； (2)若|AB |＝63，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.① ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2. 故k 的取值范围为(1, 2)．(2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54.又1＜k ＜2，∴k ＝52. 16．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP ―→＝PB ―→，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m >0，n >0，由AP ―→＝PB ―→得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.[素养强化练]1．[逻辑推理、数学抽象]若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．2．[逻辑推理、直观想象]已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1 B.2 C ．4D.12解析：选A 如图，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，所以|OH |＝1.故选A.3．[逻辑推理、数学运算]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB ―→＝12BC ―→，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.10解析：选C 直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A (a,0)，所以AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2，因为AB ―→＝12BC ―→，所以b ＝2a ，所以c 2－a 2＝4a 2，所以e 2＝c 2a 2＝5，所以e ＝5，故选C.4. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示．∵四边形OABC 为正方形，|OA |＝2， ∴c ＝|OB |＝22，∠AOB ＝π4.∵直线OA 是渐近线，方程为y ＝b a x ，∴ba ＝tan ∠AOB ＝1，即a ＝b .又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案：2。

高中数学复习-双曲线的定义、方程及性质

的离心率为（
）
解析：设｜ PF 2｜＝ m ，｜ PF 1｜＝3 m ，则｜ F 1 F 2｜＝
2 + 92 − 2 × 3 × × cos60° ＝ 7 m ，所以 C 的离心率 e
｜1 2 ｜

2
7
7
＝＝＝
＝
＝ .

2
2
2
｜1 |−|2 ｜
目录
高中总复习·数学
BE ｜＝1，｜ CD ｜＝｜ CF ｜，所以｜
CA ｜－｜ CB ｜＝5－1＝4.根据双曲线定
义，所求轨迹是以 A ， B 为焦点，实轴长为4
的双曲线的右支（右顶点除外），即 c ＝3，
a ＝2，又 c 2＝ a 2＋ b 2，所以 b 2＝5，所以顶
2
2
点 C 的轨迹方程为－＝1（ x ＞2）.
⁠
9 + 28 = 1，
经过点 P （3，2 7 ）， Q （－6 2 ，7），所以ቊ
72 + 49 = 1，
解得 ൞
＝ −
1
＝ .
25
1
，
75
2
2
故所求双曲线标准方程为－＝1.
25
75
目录
高中总复习·数学
双曲线的几何性质
考向1 双曲线的渐近线
【例3】
2
2
（1）已知双曲线 C ： 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为
PF 2｜＝4 a ，∴｜ PF 1｜＝3 a ，｜ PF 2｜＝ a .在△ PF 1 F 2中，由余弦定
｜1 ｜2 ＋｜2 ｜2 −|1 2 ｜2
1
理的推论可得 cos 60°＝
，即＝

双曲线的综合问题-高中数学复习

9
2
是双曲线－ y 2＝1上的任意一点，则｜ AP ｜＝
9
（ −
10
（
9
min＝
2

5）2 ＋
9
−
− 1＝
10 2
9
− 10 + 24 ＝
（ − 5）2 ＋ 2 ＝
10
（ 2
9
− 9） + 24 ＝
9
3
9
2
）＋，所以当 x ＝时，｜ AP ｜取得最小值，｜ AP ｜
2
2
2
3
=
3
100
300
x ，由൞
3
3
＝，
3
1，
可得
.
目录
PART
2
微专题 12
“三案”破解圆锥曲线中的离心率问题
目录
高中总复习·数学
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化直接导致曲线形状
甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率或范围问题是近几年高考的
热点，这类问题所涉及的知识点较多、综合性强，解法灵活，内涵丰
1
2
2
2
2
2
2
2
2
所以 b ＜ c ，即 b ＜ c ， a － c ＜ c ， a ＜2 c ，所以 e ＞，
2
即e＞
（
2
，又因为0＜ e ＜1，所以椭圆离心率的取值范围为
2
2
，1）.故选A.
2
目录
高中总复习·数学
）
目录
高中总复习·数学
解析：如图，以接报中心为原点 O ，正东、正北
方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立平面直角坐标

学年高中数学课时跟踪检测十七双曲线及其标准方程北师大版选修_

课时跟踪检测〔十七〕双曲线及其标准方程一、根本能力达标1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，那么它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．21解析：选D 设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1＜c －a ＝7－5＝2，故舍去|PF 2|＝1，所以点P 到另一个焦点的距离为21，应选D.2．双曲线过点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352和P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4，那么双曲线的标准方程为( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.y 216－x 29＝1 解析：选B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．因为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，1129m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，于是所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 3．k <2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A ∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2. 4．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1―→·PF 2―→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设点P (x 0，y 0)，依题意得|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6.∴PF 1―→·PF 2―→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，那么点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，那么点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在直线y ＝ba x 上，那么C 的方程为________．解析：点P (2,1)在直线y ＝b ax 上，那么1＝2ba，a ＝2b ①.双曲线的焦距为10，那么有a 2＋b 2＝52，将①代入上式可得b 2＝5，从而a 2＝20，故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：x 220－y 25＝17．双曲线C 1：x 2－y 24＝1.求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程．解：双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. 8．假设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|⊥|PF 2|，求此双曲线的方程．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5.。

辽宁省沈阳市第二十一中学13—14学年下学期高三数学课时作业49：双曲线(附答案)

课时作业49 双曲线时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( ) A ．必要但不充分条件 B ．充分但不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ax 2＋by 2＝c 表示双曲线，即x 2c a ＋y 2c b＝1表示双曲线，则c 2ab <0，这就是说“ab <0”是必要条件，然而若ab <0，c 可以等于0，即“ab <0”不是充分条件．答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－5y 24＝1B.x 25－y 24＝1 C.y 25－x 24＝1 D ．5y 2－5x 24＝1解析：因为圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心坐标为(1,0)，所以双曲线中c ＝1，又因为双曲线的离心率为c a ＝5，所以a ＝55，b 2＝45，因此，双曲线方程为5x 2－5y 24＝1. 答案：A3．已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由已知得|PF 1|＝|PM |，∴|PF 1|－|PF 2|＝|PM |－|PF 2|＝|F 2M |，又N 为F 1M 的中点，∴|F 2M |＝2|ON |＝2，即|PF 1|－|PF 2|＝2<|F 1F 2|，∴点P 的轨迹是双曲线．答案：B4．(2013·漳州检查)设双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆 (x －1) 2＋(y －1)2＝15相切，则该双曲线的离心率等于( )A.52或 5 B.54或53 C. 5D.53解析：双曲线的渐近线方程为ax ±by ＝0，由渐近线与圆相切得|a ±b |a 2＋b 2＝15，整理得ba ＝12或2，故e ＝ca＝1＋b 2a 2＝52或 5. 答案：A5．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|等于( )A.10 B ．210 C. 5D ．2 5解析：如图，由PF 1→·PF 2→＝0可得PF 1→⊥PF 2→，又由向量加法的平行四边形法则可知▱PF 1QF 2为矩形，因为矩形的对角线相等，故有|PF 1→＋PF 2→|＝|PQ →|＝2c ＝210，故选B.答案：B6．从双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定解析：如图，取双曲线的右焦点为F ′， M 为PF 的中点，∴|MF |＝12|PF |.Rt △OFT 中，OT ＝a ，OF ＝c ，∴|FT |＝b ，连接OM ，PF ′，则|OM |＝12|PF ′|∴|MO |－|MT |＝12|PF ′|－(|MF |－|FT |)＝12|PF ′|－12|PF |＋b ＝－a ＋b ＝b －a .故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)7．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B＝__________.解析：由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56.答案：568． (2013·吉林模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，设P 是双曲线右支上一点，F 1F 2→在F 1P →上的投影的大小恰好为|F 1P →|，且它们的夹角为π6，则双曲线的离心率e 是__________．解析：由题意得F 1P ⊥F 2P ，而且|PF 1|＝3c ，|PF 2|＝c ，根据双曲线的定义得2a ＝(3－1)c ，故离心率e ＝3＋1.答案：3＋19．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b 的最小值为__________．解析：由题意得b a ＝3，e ＝2，∴a 2＋e b ＝a 2＋23a ＝13(a ＋2a )≥263，当且仅当a ＝2时取“＝”．答案：263三、解答题(共55分)10．(15分)(2013·亳州模拟)已知双曲线与椭圆x 26＋y 23＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，其四个交点恰好是一个正方形的四个顶点，求此双曲线的方程．解：椭圆的焦点为(3，0)和(－3，0)由椭圆及双曲线的对称性可知，四个交点分别关于x 轴和y 轴对称，又是正方形的四个顶点，故可设第一象限中的交点为(m ，m )，代入椭圆方程，可得m ＝2(m ＝－2舍去)，于是第一象限中的交点为(2，2)，设双曲线方程为x 2a 2－y2b2＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝32a 2－2b 2＝1，解得a 2＝1，b 2＝2，可求得双曲线方程为x 2－y 22＝1.11．(20分)设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，一条渐近线为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴|bc |b 2＋a 2＝3， ∴b 2＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12，∴⎩⎨⎧x 0y 0＝433，x 2012－y203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．(20分)双曲线S 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝62，直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433.(1)求双曲线S 的方程；(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线与双曲线S 交于A ，B 两点，且以A ，B ，P (0,1)为顶点的△ABP 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．解：(1)根据已知设双曲线S 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝c a ＝62，∴c ＝62a ，b 2＝c 2－a 2＝a 22. ∴双曲线S 的方程可化为x 2－2y 2＝a 2，∵直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433，右焦点为(62a,0)， ∴|3×6a 2＋5|23＝433，解方程得a ＝ 2.∴双曲线S 的方程为x 2－2y 2＝2.(2)经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线的方程为y ＝k (x ＋2)．根据已知设A (x 1，kx 1＋2k )，B (x 2，kx 2＋2k )，则AB 的中点为M (x 1＋x 22，k x 1＋x 2＋4k2)，△ABP 是以AB 为底的等腰三角形⇔PM ⊥AB .①如果k ＝0，直线y ＝k (x ＋2)与双曲线S 交于(－2，0)，(2，0)两点，显然满足题目要求．②如果k ≠0，由PM ⊥AB 得k ×k PM ＝－1. ∵k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2，∴k ×k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2y 2＝2，y ＝k x ＋得(1－2k 2)x 2－8k 2x －8k 2－2＝0.根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0，Δ＝64k 4＋－2k 2k 2＋＝16k 2＋8>0，∴k ≠±22. ∵x 1＋x 2＝8k 21－2k 2，∴k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝2k 2＋2k －14k 2.∴k ×k PM ＝k ×2k 2＋2k －14k 2＝2k 2＋2k －14k ＝－1，即2k 2＋6k －1＝0，解方程得k 1＝－3－112，k 2＝－3＋112.综上，k ＝－3－112，或k ＝0，或k ＝－3＋112.。

高考数学复习课时跟踪检测-双曲线含解析

课时跟踪检测（五十）双曲线[A 级基础题——基稳才能楼高]1．(·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2,0),(2,0)B ．(－2,0),(2,0)C ．(0,－2),(0,2)D ．(0,－2),(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1,∴a 2＝3,b 2＝1,且双曲线的焦点在x 轴上, ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2,即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0),(2,0)．2．(南宁摸底联考)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：选D 在双曲线x 225－y 220＝1中,a ＝5,b ＝25,∴其渐近线方程为y ＝±255x ,故选D.3．(合肥调研)下列双曲线中,渐近线方程不是y ＝±34x 的是( )A.x 2144－y 281＝1 B.y 218－x 232＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选D 对于A,渐近线方程为y ＝±912x ＝±34x ；对于B,渐近线方程为y ＝±1832x ＝±34x ；对于C,渐近线方程为y ＝±34x ；对于D,渐近线方程为y ＝±32x ．故选D.4．(铜陵模拟)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ,P 为双曲线左支上一点,点A (0,2),则△APF 周长的最小值为( )A ．4(1＋2)B ．4＋ 2C ．2(2＋6)D.6＋3 2解析：选A 设双曲线的左焦点为F ′,易得点F (6,0),△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋2a ＋|PF ′|＋|AP |,要使△APF 的周长最小,只需|AP |＋|PF ′|最小,易知当A ,P ,F ′三点共线时取到,故l ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选A.5．(合肥一模)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝－2x ,则该双曲线的离心率是( )A ．52B ． 3C ． 5D ．2 3解析：选C 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ,且双曲线的一条渐近线方程为y＝－2x ,得b a ＝2,则b ＝2a ,则双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a ＝5aa＝ 5.故选C.6．(德州一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝16x 的准线上,且双曲线的一条渐近线过点(3,3),则双曲线的方程为( )A.x 24－y 220＝1B.x 212－y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D.x 220－y 24＝1 解析：选C 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ,由双曲线的一条渐近线过点(3,3),可得ba＝3,①由双曲线的一个焦点(－c,0)在抛物线y 2＝16x 的准线x ＝－4上,可得c ＝4, 即有a 2＋b 2＝16,②由①②解得a ＝2,b ＝23,则双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选C.[B 级保分题——准做快做达标]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( )A.13 B.12 C.23D.32解析：选D 法一：由题可知,双曲线的右焦点为F (2,0),当x ＝2时,代入双曲线C 的方程,得4－y 23＝1,解得y ＝±3,不妨取点P (2,3),因为点A (1,3),所以AP ∥x 轴,又PF ⊥x 轴,所以AP ⊥PF ,所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.法二：由题可知,双曲线的右焦点为F (2,0),当x ＝2时,代入双曲线C 的方程,得4－y 23＝1,解得y ＝±3,不妨取点P (2,3),因为点A (1,3),所以AP ―→＝(1,0),PF ―→＝(0,－3),所以AP ―→·PF ―→＝0,所以AP ⊥PF ,所以S △APF＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32. 2．(黄冈质检)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A 连接OM .由题意知OM ⊥PF ,且|FM |＝|PM |,∴|OP |＝|OF |, ∴∠OFP ＝45°,∴|OM |＝|OF |·sin 45°,即a ＝c ·22, ∴e ＝c a＝ 2.故选A.3．(银川模拟)已知双曲线x 2a 2－y 21－a 2＝1(0＜a ＜1)的离心率为2,则a 的值为( )A.12B.22 C.13D.33解析：选B ∵c 2＝a 2＋1－a 2＝1,∴c ＝1,又c a ＝2,∴a ＝22,故选B. 4．(辽宁五校联考)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率为5,从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线,垂足为A ,若△AFO 的面积为1,则双曲线C 的方程为( )A ．x 22－y 28＝1B ．x 24－y 2＝1C ．x 24－y 216＝1D ．x 2－y 24＝1解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ,|OA |＝a ,所以ab ＝2,又双曲线C 的离心率为5,所以1＋b 2a 2＝5,即b 2＝4a 2,解得a 2＝1,b 2＝4,所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1,故选D. 5．(黄山一诊)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,F 1,F 2为C 的焦点,A 为双曲线上一点,若|F 1A |＝2|F 2A |,则cos ∠AF 2F 1等于( )A.32B.54C.55 D.14解析：选C 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以b ＝2a .又|F 1A |＝2|F 2A |,且|F 1A |－|F 2A |＝2a ,所以|F 2A |＝2a ,|F 1A |＝4a ,而c 2＝5a 2,得2c ＝25a ,所以cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2||F 2A |＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55,故选C. 6．(天津和平一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率为32,过右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为M .若△FOM 的面积为5,其中O 为坐标原点,则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y25＝1B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 216－y 220＝1 解析：选C 由题意可知e ＝c a ＝32,可得b a ＝52,取一条渐近线为y ＝ba x , 可得F 到渐近线y ＝b ax 的距离d ＝bca 2＋b 2＝b , 在Rt △FOM 中,由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ,由题意可得12ab ＝5,联立⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.故选C.7．(湘中名校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,与双曲线的渐近线交于C ,D 两点,若|AB |≥35|CD |,则双曲线离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，54解析：选B 将x ＝c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝±b 2a ,不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ,B ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ,所以|AB |＝2b 2a .将x ＝c 代入双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ,得y ＝±bc a,不妨取C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a,所以|CD |＝2bc a.因为|AB |≥35|CD |,所以2b 2a ≥35×2bca ,即b ≥35c ,则b 2≥925c 2,即c 2－a 2≥925c 2,即1625c 2≥a 2,所以e 2≥2516,所以e ≥54. 8．(桂林模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点),则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析：选C 由条件得|OP |2＝2ab .又∵P 为双曲线上一点,∴|OP |≥a ,∴2ab ≥a 2,∴2b ≥a .又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2,∴e ＝c a ≥52.∴双曲线离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.9．(惠州调研)已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点,P 为双曲线左支上任一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D ．12解析：选A 如图,延长F 1H 交PF 2于点Q,由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q,可知|PF 1|＝|P Q|,根据双曲线的定义,得|PF 2|－|PF 1|＝2,从而|Q F 2|＝2,在△F 1Q F 2中,易知OH 为中位线,故|OH |＝1.故选A.10．(郑州模拟)设F 1,F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,P 是C 上一点,若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ,且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°,则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析：选B 假设点P 在双曲线的右支上,则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ,|PF 2|＝2a .∵|F 1F 2|＝2c ＞2a ,∴△PF 1F 2最短的边是PF 2, ∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2.在△PF 1F 2中,由余弦定理得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°, ∴c 2－23ac ＋3a 2＝0,∴e 2－23e ＋3＝0,∴e ＝3,∴c a＝3, ∴c 2＝3a 2,∴a 2＋b 2＝3a 2,∴b 2＝2a 2,∴b a＝2,∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0,故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ,则a ＝________.解析：∵双曲线的标准方程为x 2a 2－y 29＝1(a ＞0),∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ,∴a ＝5.答案：512．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ,B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2,|BF |＝y 2＋p 2,|OF |＝p2,由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ,得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ,得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0,所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2,所以2pb2a2＝p ,即b 2a 2＝12,故b a ＝22, 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 13．(成都毕业班摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点,则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0),所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的焦点为(2,0),则a 2＋2＝22,即a ＝2,所以双曲线的离心率e ＝c a＝22＝ 2.答案： 214．(南昌调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F ,过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线,若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直,则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝ba x ,由题意可知该切线方程为y ＝－a b(x －c ),即ax ＋by －ac ＝0.又圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0),半径为c4,则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b2＝ac －a 2c ＝c 4,又e ＝ca ,则e 2－4e ＋4＝0,解得e ＝2.答案：215．(西安铁一中模拟)已知点F 1,F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点,过F 2作垂直于x轴的直线,在x 轴上方交双曲线C 于点M ,∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P 1,P 2,求PP 1―→·PP 2―→的值．解：(1)由题易知F 2(1＋b 2,0),可设M (1＋b 2,y 1)．因为点M 在双曲线C 上且在x 轴上方,所以1＋b 2－y 21b2＝1,得y 1＝b 2,所以|F 2M |＝b 2.在Rt △MF 2F 1中,∠MF 1F 2＝30°,|MF 2|＝b 2,所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知,|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2,故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)易知两条渐近线方程分别为l 1：2x －y ＝0,l 2：2x ＋y ＝0. 设双曲线C 上的点P (x 0,y 0),两条渐近线的夹角为θ, 不妨设P 1在l 1上,P 2在l 2上,则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝|2x 0－y 0|3,|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P (x 0,y 0)在双曲线x 2－y 22＝1上,所以2x 20－y 20＝2, 又易知cos θ＝13,所以PP 1―→·PP 2―→＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.16．(湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2,求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A ,过A 作圆的切线,斜率为－3,求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ,所以a ＝b , 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4,所以a 2＝b 2＝2, 所以双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0,y 0),所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1, 所以x 0＝3y 0,①依题意,圆的方程为x 2＋y 2＝c 2,将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2,即y 0＝12c ,所以x 0＝32c ,所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c , 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1,即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2,② 又因为a 2＋b 2＝c 2,所以将b 2＝c 2－a 2代入②式,整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0,所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0, 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0, 因为e ＞1,所以e ＝2, 所以双曲线的离心率为 2.。