高级中学高中数学(北师大版)必修二：1.7.3球的表面积和体积导学案

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北师大版数学高一必修二球的表面积和体积

节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面
目
开
积问题．
关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一柱、锥、台体的体积公式
问题 1 我们已经学习了正方体、长方体的体积计算公式，
它们的体积公式是什么？
答 V 正方体＝a3，V 长方体＝abc.
本课
问题 2 取一摞纸张放在桌面上(如下图所示)，并改变它们的
V 柱体＝Sh—S′——＝→S V 台体＝13h(S＋ SS′＋S′)—S′——＝→0 V 锥体＝13Sh.
本课
2．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角
时栏
三角形，进行相关计算．
目开
3．解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体
关
的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
已知螺帽的底面六边形边长是 12 mm，高是
10 mm，内孔直径是 10 mm，这一堆螺帽约
有多少个(铁的密度是 7.8 g/cm3，π≈3.14)?
本解六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆
课时
柱的体积的差．
栏目
因为
V
正六棱柱＝6×12×12×(12×sin
60°)×10＝3×122×
和体积．
本解过 C 点作 CD⊥AB，垂足为 D.△ABC 以 AB 所
课时
在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面
栏目开关
重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥高的和为 AB＝5，底面半径 DC＝ACA·BBC＝152，故 S 表＝π·DC·(BC＋AC)＝854π.
V＝13π·DC2·AD＋13π·DC2·BD＝13π·DC2·(AD＋BD)＝458π.

北师大版必修二球的表面积和体积

四、巩固深化
1: 3 3 ，表面积之 1、正方体的内切球和外接球体积比为___ ___ 比为1：3。
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别 2 2 为49 cm 和400 cm ，求球的表面积。答案：2500 cm 2
3、若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍. ___ 4、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
例题
例4.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三分之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积相等.
O
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 4 V球 R 3 3 2 3 R O V圆柱 R 2R 2 R
S' 0
1 锥体V Sh 3
一、创设情境
1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体，那么如何进行计算呢？ 2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和表面积？
二、探究新知
思考：如何求球的体积？
五、课堂小结
1、了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用； 2、熟练掌握球的体积、表面积公式：
4 3 ①V R 3 2 ②S 4R
基本计算问题
2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的________倍. (2)把球的半径扩大到原来的2倍，则表面积扩大为原来的_______倍. (3)三个球的半径之比为1:2:3，则它们的表面积之比为 _________. (4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的半径之比为 ________.

数学必修2导学案1.3.2球的体积和表面积

研卷知古今；藏书教子孙。

1.3.2球的体积和表面积一、学习目标:知识与技能:⑴通过对球的体积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法，知道祖暅原理。

⑵能运用球的公式灵活解决实际问题。

培养空间想象能力。

过程与方法:通过球的体积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式的方法，情感与价值观:通过学习，使我们对球的表面积、体积公式的推导方法有了一定的了解，提高空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二、学习重难点:学习重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

学习难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三、使用说明及学法指导:1、限定45分钟完成，认真阅读教材内容，注意逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理在解题本，多复习记忆。

3、小班完成A,B,C 全部内容；实验班完成B 级以上；平行班完成A~B.（其中A 、B 级问题自主完成；C 级问题可由合作探究方式完成）四、知识链接:什么是球？球的半径？球的直观图怎样画？球的半径，截面圆的半径，球心与截面圆心的距离间有何关系？五、学习过程:B 问题1：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？（阅读32页了解球的体积的推导即可，球的表面积的推导不要求了解）B 问题2：球的表面积的公式怎样？球的体积怎样？A 例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。

求证：（1）球的体积等于圆柱的体积的32；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积；A 例2：已知：钢球直径是5cm,求它的体积.B (变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)六、达标训练一、选择题A1一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3π B. 4π C. 2π D. πB2．在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）A B C DB3正方体的全面积为a ,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.B4已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（）（A）（B（C（D二、填空题A5、球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的倍.B6、一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为cm3.B7、长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。

高中数学第一章立体几何初步 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.7.3 球

7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积7.3 球的表面积和体积学习目标 1.理解柱体、锥体、台体的体积公式(重点)；2.理解球的表面积和体积公式(重点)；3.能运用体积公式求解有关的体积问题，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系(重、难点).知识点一柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱V 柱体＝ShS —柱体底面积 h —柱体的高棱柱锥体圆锥V 锥体＝13ShS —锥体底面积 h —锥体的高棱锥台体圆台V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·hS 上、S 下—台体的上、下底面面积，h —高棱台【预习评价】简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？提示表面积变大了，体积不变. 知识点二球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 为球的半径).2.球的表面积公式S ＝4πR 2. 【预习评价】球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示球没有底面，球的表面不能展开成平面.题型一柱体、锥体、台体的体积【例1】 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1 m ，圆锥的高为1 m ，圆柱的高为2 m ，因此该几何体的体积V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝83π(m 3). 答案 83π(2)在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E －ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M －EBC 的体积为多少？解如图，设点B 到平面EMC 的距离为h 1，点D 到平面EMC 的距离为h 2. 连接MD .因为M 是AE 的中点，所以V M －ABCD ＝12V .所以V E －MBC ＝12V －V E －MDC .而V E －MBC ＝V B －EMC ，V E －MDC ＝V D －EMC ，所以V E －MBC V E －MDC ＝V B －EMC V D －EMC ＝h 1h 2. 因为B ，D 到平面EMC 的距离即为到平面EAC 的距离，而AB ∥CD ，且2AB ＝3CD ，所以h 1h 2＝32.所以V E －MBC ＝V M －EBC ＝310V .规律方法 (1)求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解. (2)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.(3)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫作等积法.(4)台体的体积计算公式是V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ，其中S 上，S 下分别表示台体的上、下底面的面积.计算体积的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 【训练1】某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A【训练2】四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.解 ∵C (2，1)，D (0，3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2. ∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π. ∵B (1，0)，C (2，1)，∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1. ∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.【训练3】如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值. (1)证明由条件知PDAQ 为直角梯形. 因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D .所以PQ ⊥平面DCQ . (2)解设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高. 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.题型二球的表面积和体积【例2】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4，所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.规律方法 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.【训练4】 (1)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是________.(2)如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________.解析 (1)设圆锥的底面半径为R ，由题意知球的半径为R2， V 圆锥＝13πR 2h (h 为圆锥的高)，V 球＝43π(R 2)3＝16πR 3，∴13πR 2h ＝16πR 3，h ＝12R ，则圆锥的母线l ＝R 2＋h 2＝52R ，圆锥的侧面积为π×R ×52R ＝52πR 2. 球的表面积为4π×(R2)2＝πR 2. ∴圆锥的侧面积与球面面积之比为5∶2.(2)由三视图知该几何体由圆锥和半球组成，且球的半径和圆锥底面半径都等于3，圆锥的母线长等于5，所以该几何体的表面积为S ＝2π×32＋π×3×5＝33π. 答案 (1)52(2)33π【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的直径为( )A.3172B.210C.13D.310解析因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直.△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心，即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长，因为AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，BC 1＝52＋122＝13，所以球的直径为13.答案 C【迁移1】本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43，从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 【迁移2】本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 【迁移3】本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为（32）2－（12×6）2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.规律方法空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解(其R为球的半径).课堂达标1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) A.43π B.8π3C.43πD.323π解析由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则3a ＝2R ，∴R ＝3，∴V 球＝43πR 3＝43π.答案 C2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12 C.36D.34解析 S 底＝12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以V 三棱锥B 1－ABC ＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.答案 D3.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即12×4π＋π＝3π.答案 3π4.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________ m 3.解析由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V ＝43π×278×2＋1×3×6＝9π＋18(m 3).答案 9π＋185.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. 解如图，设球心为O ，半径为r ，则Rt△AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.课堂小结1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为2.在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3VS △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求.3.求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.4.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.5.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.基础过关1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1解析如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 答案 B2.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6B.12C.24D.48解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x (x >0)，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2，∴三条棱长分别为2、4、6，∴V 长方体＝2×4×6＝48. 答案 D3.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π＋2 3B.4π＋2 3C.2π＋233D.4π＋233解析该空间几何体由一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2，3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4 cm. 答案 45.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的体积为________.解析由三视图可知，该几何体是由一个正四棱柱挖掉一个半圆锥所得到的几何体，其直观图如图所示，其中正四棱柱的底面正方形的边长a ＝2，半圆锥的底面半径r ＝1，高h ＝3，所以正四棱柱的体积V 1＝a 2h ＝22×3＝12，半圆锥的体积V 2＝12×π3r 2h ＝π6×12×3＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1－V 2＝12－π2. 答案 12－π26.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，∴13×12a 2×a ＝13×12×2a ×32×2a ×d . ∴d ＝33a . 7.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.解作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝（6）2＋（3）2＝9＝3(cm)，r ＝ 3 (cm).故几何体的表面积为 S ＝πrl ＋πr 2＋2πrAD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝πr 2AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).能力提升8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4C.π2D.π4 解析如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12. ∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝πr 2h ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4. 答案 B9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析作出该球的轴截面图如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3). 答案 A10.若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.解析球的半径为R 时，球的体积为V 1＝43πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球的体积为V 2＝43π(2R )3＝323πR 3，表面积为S 2＝4π(2R )2＝16πR 2. 所以V 2V 1＝323πR 343πR 3＝8，S 2S 1＝16πR 24πR 2＝4，即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.答案 8 411.已知三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析如图，构造正方体ANDM －FBEC .因为三棱锥A －BCD 的所有棱长都为2，所以正方体ANDM －FBEC 的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为32. 易知三棱锥A －BCD 的外接球就是正方体ANDM －FBEC 的外接球，所以三棱锥A －BCD 的外接球的半径为32.所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为S 球＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π. 答案 3π12.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积.解 ∵AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.∵球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC 的外接圆的圆心，∴斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示).设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径R ，截面圆半径r ，在Rt△O ′CO 中，由题设知sin∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， ∴∠O ′CO ＝30°，∴rR ＝cos 30°＝32，即R ＝23r ，① 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入①得R ＝10 3.∴球的表面积为S ＝4πR 2＝4π(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. 13.(选做题)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面.根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ，则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .。

新课标高中数学必修二全册导学案及答案

1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、学习目标：1、知识与技能：（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。

（3）会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类。

2、过程与方法：（1）通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。

（2）观察、讨论、归纳、概括所学的知识。

3、情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象概括能力。

二、学习重点、难点：学习重点：感受大量空间实物及模型,概括出柱、锥、台的结构特征。

学习难点：柱、锥、台的结构特征的概括。

三、使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规*作答，不会的先绕过，做好记号。

2、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。

3、A 类是自主探究，B 类是合作交流。

四、知识:平行四边形：矩形：正方体：五、学习过程：A 问题1：什么是多面体、多面体的面、棱、顶点？A 问题2：什么是旋转体、旋转体的轴？B 问题3：什么是棱柱、锥、台？有何特征？如何表示？如何分类？C 问题4；探究一下各种四棱柱之间有何关系？C 问题5：质疑答辩，排难解惑1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？（举反例说明）2．棱柱的任何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？A 例1：如图，截面BCEF 把长方体分割成两部分，这两部分是否是棱柱？B 例2：一个三棱柱可以分成几个三棱锥？六、达标测试A1、下面没有对角线的一种几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱A2、若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（） A B CD A 1 B 1 C 1 D 1E FA ．正方体B ．正四棱锥C ．长方体D ．直平行六面体 B3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A ．3B ．23C ．33D ．43B4、正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A ．279cm 2B ．79cm 2C ．323cm 2D ．32cm 2B5、若长方体的三个不同的面的面积分别为2,4,8，则它的体积为（）A ．2B ．4C ．8D ．12C6、一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A ．必须都是直角三角形B ．至多只能有一个直角三角形C ．至多只能有两个直角三角形D ．可能都是直角三角形A7、长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为_______________.七、小结与反思：【励志良言】不为失败找理由，只为成功找方法。

1.7.3球的表面积和体积学案(高中数学必修2北师版)

7．3 球的表面积和体积球是最常见的几何体之一．从小学到初中，教材就介绍了球的表面积和体积，而且关于球的表面积和体积的计算在社会生活中有着重要的作用．(1)球能象多面体和圆柱、圆锥、圆台一样展开在一个平面上吗？ (2)两个半径不相等的球，体积会相等吗？【提示】 (1)不能．(2)不相等．1．球的表面积公式：S 球面＝4πR 2(R为球半径)2．球的体积公式：V球＝43πR 3(R为球半径)12πcm 2，试求此球的表面积．【思路探究】利用球的截面性质求球的半径．【自主解答】如图，设截面圆的圆心为O 1，OA 为球的半径， ∵12π＝π·O 1A 2，∴O 1A 2＝12，在Rt △OO 1A 中，OA 2＝OO 21＋O 1A 2，即R 2＝(12R )2＋12，∴R ＝4(cm)，∴S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π(cm 2)．1．用一个平面去截球，截面总是圆面．2．球的截面圆的半径、圆心到球心的距离和球的半径构成直角三角形．此性质是解决球的表面积和体积问题的重要工具．本例中，若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．【解】如图，由题意可知： OO 1＝1.设截面圆的半径为r ，则π＝πr 2， ∴r ＝1，即O 1A ＝1. 在Rt △OO 1A 中，球半径R ＝OA ＝O 1O 2＋O 1A 2 ＝12＋12＝ 2.∴球的表面积S 球＝4πR 2＝8π，球的体积V 球＝43πR 3＝823π.一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？【思路探究】先设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，则水面下降，减少的体积就是球的体积，建立一个关系式来解决．【自主解答】设△P AB 所在平面为轴截面，AB 为水平面，设球未取出时，水面高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x ，如图所示．∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥的容积为 V 圆锥＝13πAC 2·PC＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3. 球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan 30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r .1．画出截面图是解答本题的关键．2．球的体积和表面积有着非常重要的应用．在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？【解】设取出小球后，容器中水面下降h cm ，两个小球的体积为V 球＝2×43π×(52)3＝125π3，此体积即等于它们在容器中排开水的体积V ＝π×52×h ，所以125π3＝π×52×h ，所以h ＝53(cm)．即若取出这两个小球，则容器的水面将下降53cm.【思路探究】欲求正四面体P —ABC 的内切球的体积，首先必须求出内切球的半径r ，显然半径在正四面体的高h 上，因由正四面体中心O 至各个顶点的连线与正四面体各面围成四个体积相等的正三棱锥，这些棱锥的底是正四面体的面，高是O 到各面的距离(即r )，它们的体积各为正四面体体积的14，于是可以求得r 与h 的关系，然后在正四面体中，由棱长a 求得高，进而得到内切球的半径．【自主解答】如图(1)所示，设O 为内切球的球心，连接OA 、OB 、OC 、OP ，则正四面体的体积可以化为四个三棱锥的体积之和．即V P —ABC ＝V O —ABC ＋V O —PBC ＋V O —P AB ＋V O —P AC ，设正四面体各面的面积为S ，正四面体的高为h ，则V P —ABC ＝13Sh ，又V O —ABC ＝V O —PBC ＝V O —P AB ＝V O —P AC ， ∴13Sh ＝4·13Sr ， ∴r ＝h 4，作PH ⊥平面ABC (如图(2))，连接CH ，延长后交AB 于D ，连接PD ，则CD ⊥AB ，PD ⊥AB ，因为正四面体的棱长为a ，所以PD ＝CD ＝32a ， DH ＝13CD ＝36a ，∴PH ＝PD 2－DH 2 ＝(32a )2－(36a )2＝63a ， ∴r ＝14h ＝14PH ＝612a ，故正四面体的内切球的体积为V ＝43πr 3＝43π(612a )3＝6216πa 3.1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，充分发挥空间想象能力，做到以下几点：(1)明确切点和接点的位置； (2)确定有关元素间的数量关系； (3)作出合适的截面图．2．一般地，作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素，能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系，于是将立体问题转化为平面问题解决．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．【解】设正方体棱长为a ，三个球的半径依次为R 1、R 2、R 3，则有2R 1＝a ，R 1＝a2，2a ＝2R 2，R 2＝22a ， 3a ＝2R 3，R 3＝32a ，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶ 3. ∴S 1∶S 2∶S 3＝R 21∶R 22∶R 23＝1∶2∶3.即这三个球的表面积之比为1∶2∶3.问题考虑不全致误一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求球的表面积．【错解】如图所示，设OD＝x，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，∴x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2 500π cm2.【错因分析】本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．【防范措施】遇到情况不确定，不唯一时要分类讨论，考虑到各种情况．【正解】(1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解．(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设OD＝x，则OC＝9－x，设球半径为R，可得x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上可知，球的表面积是2 500π cm2.1．球既是中心对称又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面都是轴。

1.7.3球球的表面积和体积

R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
�� = 3 ��底面积 ⋅ ℎ = 3 ��全面积 ⋅ ��
��底面积 ⋅ ℎ = ��全面积 ⋅ ��
��底面积 ��全面积
没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。如果一个长方体有内切球，
那么它一定是正方体
例1：一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2 �� ,
则球的表面积是( )
A.8π cm2
B.12 πcm2
C.16 πcm2
D.20 π cm2
解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线, ∴球的半径为
��
��
C
��
��
例 6．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是 1、 2、
3，则此三棱锥的外接球的表面积是( )
A．6π
B．12π
C．18π D．24π
解析：由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它的长、宽、高分别是 1、 2、 3，它的体对角线是球的直径，
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是_1_:_2__2_.
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是_1__: _3 _4_.
变式训练
(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的
_2_7_倍.
(2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大为原来的_2__2_倍.

高中数学_空间几何体的表面积与体积单元复习教学设计学情分析教材分析课后反思

空间几何体的表面积与体积单元复习教学设计授课人教材分析本单元复习课选自数学必修二（人教A版）第一章第三单元，本单元是学生接触空间几何知识的量化阶段。

在已经学习《空间几何体结构》的基础上运用简单几何体的表面积与体积公式定量地刻画空间几何体的大小，有利于更好的培养学生转化空间与图形的能力，能“定量”地理解人类生存的几何空间，培养学生的积极探索精神。

这在整个模块学习中起到承上启下的作用，充分体现了数形结合的思想。

学情分析学生在前两节认识了空间几何体的结构，以及几何体的三视图与直观图的基础上，本单元将由认知拓展到运算。

这是引导学生由形到数再到数形结合的过程。

一教学目标1、知识、能力目标：掌握并熟练运用空间简单几何体的表面积与体积的计算公式2、过程方法目标：通过运用空间几何体的表面积与体积公式提高分析解决问题的能力3、情感态度、价值目标：通过应用表面积与体积公式巩固提高学生的空间思维能力，引导他们树立正确的人生观和价值观二教学重点、难点1、重点：能够准确运用公式计算一些组合体空间简单几何体的表面积与体积2、难点：用转化与化归的思想解决空间几何体的表面积与体积问题三教学内容及过程（一）空间几何体的表面积【复习引入】空间几何体的侧面积与表面积的数学概念，注意二者的区分，导出空间简单几何体的表面积的计算公式：2S+=圆柱2S+=圆锥底侧柱表SSS+=底侧锥表SSS+=底侧台表SSS+=）（下上下上圆台22)rlrS++=ππ注意以上公式采取学生默写，老师公布结果，学生通过互批互改强化对公式的记忆【合作交流设计】已知由一个正四棱锥与一个圆柱构成的空间几何体的尺寸如图所示，求其表面积。

222生：审题并思考问题师：提问学生阐述解题思路并总结公式依据生：根据总结思路运算师：公布师点拨学生注意求有接触面的几何体表面积时，应正确处理接触面，做到不重不漏【自我检测设计】如图所示求四边形ABCD 绕轴AD 旋转一周所得几何体的表面积生：审题思考，想象几何体的结构师：引入几何体的结构24rSπ=球表276-2π+答案：锥底柱表锥表表S S S S 2-+=442 24ACD生：板书展示运算过程师：公布答案生：改正并反思做题过程（二）空间几何体的体积【复习引入】体积的概念以及空间简单几何体体积公式，引导学生体会由台体到柱体与锥体的公式记忆过程，并熟练计算简单几何体的体积。

高中数学必修二教案-球的表面积和体积

双峰一中高一数学必修二教案
科目：数学
（
（
思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？
思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么？
思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何
大小关系？
等．
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？
思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？
思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等
于什么？
思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗？
球的表面积等于球的大圆面积的4倍
例1：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
例2：已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的表面积为
a2，求球O的表面积和体积.
将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？
已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.。

数学必修2——1.3.2《球的体积与表面积》导学导练

高中数学必修2个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码第1页解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11高中数学必修二1.3.2《球的体积与表面积》导学导练【知识要点】1、球的体积（重点）2、球的表面积（重点）【范例析考点】考点一．球的体积公式的应用例1：若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加倍；【针对练习】1、三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的倍；2、正方体全面积是24，它的外接球的体积是，内切球的体积是．3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，求球的体积考点二．球的表面积公式的应用例2：表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积【针对练习】1、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，他们位于球心同一侧，且相距为1，求这个球的表面积2、用相距为9cm 的两个平行截面去截一个球，所得的截面面积分别为49πcm 2和400πcm 2求球的表面积3、已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积4、长方体一个顶点上三条棱长分别为3,4,5，且它的顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积考点三．球的切、接问题例3：半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面，求球的表面积和体积个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码第1页解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11 第2页【针对练习】1、求体积为V 的正方体的外接球与内切球的表面积与体积2、棱长为a 的正方体内接于球，求球的表面积3、正方体的内切球与外接球的半径之比为多少？4、若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为多少？5、半球内有一内接正方体，求这个半球的表面积与正方体的表面积之比6、正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球的四个面都相切，求棱锥的全面积与球的表面积【课后练习】1、把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是；2、球O 1、O 2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．3、三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的表面积是其余两球的表面积之和的多少倍？4、已知一个球的截面面积为9π，且此截面到球心的距离为4，求球的表面积5、球的大圆面积扩大为原来的4倍，求球的表面积和体积分别过大原来的多少倍？6、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，求所得截面面积与球的表面积的比7、若两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π求这两个球的半径之差8、三个球的半径之比为1：2:3，求证：最大球的体积等于其他两球体积和的三倍9、将直径分别为3,4,5的三个锡球熔成一个大球，求这个大球的体积10、若果球的体积增大8倍，求半径增大了多少倍11、若一个球的体积为43π，求其表面积。

高中数学必修二§1.3.2 球的体积和表面积公开课教案课件教案课件

§1.3.2 球的体积和表面积一. 教学目标１．知识与技能⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

２．过程与方法通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

３．情感与价值观通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

二. 教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

三. 学法和教学用具１．学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２．教学用具：投影仪四. 教学设计（一）创设情景⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

（二）探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。

步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR ，底面是“小圆片”的底面。

高中数学学案北师大版必修2 球的表面积和体积教案

教学设计7.3 球的表面积和体积导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨,有一座新异奇秀的半球形建筑．由香港好世界饮食服务(中国)有限公司等三方合资兴建,1996年9月正式开业,既是岛城饮食服务业的“特一级”店,又是新增加的一处景点．酒店的总建筑面积11 380平方米,现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店,那么,需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面,也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题:球的表面积和体积．推进新课新知探究球的半径为R ,它的体积和表面积只与半径R 有关,是以R 为自变量的函数．事实上,如果球的半径为R ,那么S ＝4πR 2,V ＝43πR 3. 注意:球的体积和表面积公式的证明以后证明．应用示例思路1例1 如图1,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗？(假设冰淇淋融化前后体积不变)图1解:因为V 半球＝12×43πR 3＝12×4π3×43≈134(cm 3), V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π×42×12≈201(cm 3), 所以,冰淇淋融化了,不会溢出杯子．点评:本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算．解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征.变式训练如图2所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:图2(1)球的体积等于圆柱体积的23； (2)球的表面积等于圆柱的侧面积．活动:学生思考圆柱和球的结构特征,并展开空间想象．教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形．证明:(1)设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ,高为2R .则有V 球＝43πR 3,V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3, 所以V 球＝23V 圆柱． (2)因为S 球＝4πR 2,S 圆柱侧＝2πR ·2R ＝4πR 2,所以S 球＝S 圆柱侧.例2 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5 cm,求钢球的半径．解:如图3,设钢球半径为R ,则由题意,有图3π×32×8＋43πR 3＝π×32×8.5, 解得R ＝1.5(cm)．答:钢球的半径为1.5 cm.点评:本题主要考查圆柱、球的体积.变式训练有一种空心钢球,质量为142 g,测得外径(直径)等于5 cm,求它的内径．(钢的密度为7.9 g/cm 3,精确到0.1 cm)解:设空心球内径(直径)为2x cm,则钢球质量为7．9·⎣⎡⎦⎤4π3·⎝⎛⎭⎫523－4π3x 3＝142, ∴x 3＝⎝⎛⎭⎫523－142×37.9×4×3.14≈11.3.∴x ≈2.24.∴直径2x ≈4.5.答:空心钢球的内径约为4.5 cm.思路2例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________．活动:学生思考长方体和球的结构特征．教师可以借助于信息技术画出图形．分析:画出球的轴截面可得,球的直径是正方体的对角线,所以球的半径R ＝332,则该球的表面积为S ＝4πR 2＝27π.答案:27π点评:本题主要考查简单的组合体和球的表面积．球的表面积和体积都是半径R 的函数．对于和球有关的问题,通常可以在轴截面中建立关系．画出轴截面是正确解题的关键．变式训练1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π分析:由V ＝Sh ,得S ＝4,得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得,该正四棱柱的对角线即为球的直径,所以球的半径为R ＝1222＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝24π.答案:C2．一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a ,则这个球的体积为__________．分析:把正四面体补成正方体的内接正四面体,此时正方体的棱长为22a ,于是球的半径为24a ,V ＝2π24a 3. 答案:2π24a 3 3．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为__________．分析:长方体的对角线为12＋22＋32＝14,则球的半径为142,则球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫1422＝14π.答案:14π例2 图4是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为6 cm,高为20 cm 的一个圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米？图4活动:学生思考杯里的水将下降的原因,通过交流和讨论得出解题思路．因为玻璃杯是圆柱形的,所以铅锤取出后,水面下降部分实际是一个小圆柱,这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样,是一直径为20 cm 的圆,它的体积正好等于圆锥形铅锤的体积,这个小圆柱的高就是水面下降的高度．解:因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π( cm 3), 设水面下降的高度为x ,则小圆柱的体积为π⎝⎛⎭⎫2022x ＝100πx ( cm 3)．所以有60π＝100πx ,解此方程得x ＝0.6( cm)．答:杯里的水将下降0.6 cm.点评:本题主要考查几何体的体积问题,以及应用体积解决实际问题的能力．明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键．解实际应用题的关键是建立数学模型．本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积．明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键.变式训练1．一个空心钢球,外直径为12 cm,壁厚0.2 cm,问它在水中能浮起来吗？(钢的密度为7.9 g/cm 3)和它一样尺寸的空心铅球呢？(铅的密度为11.4 g/cm 3)分析:本题的关键在于如何判断球浮起和沉没,因此很自然要先算出空心钢球的体积,而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差,根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积,从而算出空心钢球的质量,然后把它与水的质量相比较即可得出结论,同理可以判断铅球会沉没．解:空心钢球的体积为V 钢＝4π3×63－4π3×5.83＝4π3×20.888≈87.45(cm 3), ∴钢的质量为m 钢＝87.45×7.9＝690.86(g)．∵水的体积为V 水＝4π3×63＝904.32(cm 3), ∴水的质量为m 水＝904.32×1＝904.32(g)＞m 钢．∴钢球能浮起来,而铅球的质量为m 铅＝87.45×11.4＝996.93(g)＞m 水．∴同样大小的铅球会沉没．答:钢球能浮起来,同样大小的铅球会沉没．2．底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水__________cm 3.分析:设四个实心铁球的球心为O 1,O 2,O 3,O 4,其中O 1,O 2为下层两球的球心,A ,B ,C ,D 分别为四个球心在底面的射影,则ABCD 是一个边长为22 cm 的正方形,所以注水高为⎝⎛⎭⎫1＋22 cm.故应注水π⎝⎛⎭⎫1＋22－4×4π3⎝⎛⎭⎫123＝⎝⎛⎭⎫13＋22π cm 3. 答案:⎝⎛⎭⎫13＋22π 知能训练1．三个球的半径之比为1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．1倍B ．2倍 C.95倍 D.74倍分析:根据球的表面积等于其大圆面积的4倍,可设最小的一个半径为r ,则另两个为2r,3r ,所以各球的表面积分别为4πr 2,16πr 2,36πr 2,36πr 24πr 2＋16πr 2＝95(倍)．答案:C2．表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 …( )A.2π3B.π3C.2π3D.22π3 分析:此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形,所以由8×3a 24＝23,知a ＝1,则此球的直径为 2.答案:A3．若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π,则球的表面积是______．分析:画出球的轴截面,则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形．又由题意得截面圆的半径是3,则球的半径为42＋32＝5.所以球的表面积是4π×52＝100π.答案:100π4．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上,球心O 在AB 上,SO ⊥底面ABC ,AC ＝2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π分析:由题意得SO ＝r 为三棱锥的高,△ABC 是等腰直角三角形,所以其面积是12×2r ×r ＝r 2.所以三棱锥体积是13×r 2×r ＝r 33.又球的体积为4πr 33,则球的体积与三棱锥体积之比是4π. 答案:D点评:面积和体积往往涉及空间距离,而新课标对空间距离不作要求,因此在高考试题中其难度很低,属于容易题,2007年新课标高考试题就体现了这一点．高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算．我们应高度重视这方面的应用．拓展提升问题:如图5,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O ,且与BC ,DC 分别截于E ,F ,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别是S 1,S 2,则必有( )图5A ．S 1＜S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1,S 2的大小关系不能确定探究:如图6,连接OA ,OB ,OC ,OD ,则V A —BEFD ＝V O —ABD ＋V O —ABE ＋V O —BEFD ＋V O —ADF ,V A —EFC ＝V O —AFC ＋V O —AEC ＋V O —EFC .又V A —BEFD ＝V A —EFC ,而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故S △ABD ＋S △ABE ＋S BEFD ＋S △ADF ＝S △AFC ＋S △AEC ＋S △EFC .又面AEF 是公共面,故选C.图6答案:C课堂小结本节课学习了:1．球的表面积和体积．2．计算组合体的体积时,通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积．3．空间几何体的表面积与体积的规律总结:(1)表面积是各个面的面积之和,求多面体表面积时,只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积．求旋转体的表面积时,可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手,将其展开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系,注意球面不可展开．(2)在体积公式中出现了几何体的高,其含义是:柱体的高:从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线,这点和垂足间的距离称为柱体的高．锥体的高:从锥体的顶点向底面作垂线,这点和垂足间的距离称为锥体的高．台体的高:从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线,这点和垂足间的距离称为台体的高．注意:球没有高的结构特征．(3)利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题的常用手段．(4)与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一,常以选择题或填空题的形式出现,属于低档题．作业课本本节练习第1,2题．设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积．值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题(新课标对球的截面不要求)，在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担．备课资料一、知识拓展利用体积法求简单多面体的内切球半径求简单多面体的内切球的半径常用的方法是作轴截面，把空间问题转化为多边形内切圆问题，如果简单多面体是不规则的，要作轴截面就很困难，因此这种方法用起来很烦琐．我们可以利用另一种既简便又快速的方法——体积法，即把多面体进行分割，且分割成以内切球球心为公共顶点的若干个棱锥，这些棱锥的高都是内切球的半径，然后根据这些棱锥的体积之和等于多面体体积，从而求出半径．现举例说明如下：图7如图7，在三棱锥S—ABC中，SA＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，SA⊥面ABC，求三棱锥S—ABC的内切球的半径．解：设内切球的球心为O，球的半径为r，则V S—ABC＝V O—SAB＋V O—SAC＋V O—SBC＋V O—ABC.又∵V O—SAB，V O—SAC，V O—SBC，V O—ABC的高都是r，SA⊥面ABC，∴V S—ABC＝V O—SAB＋V O—SAC＋V O—SBC＋V O—ABC＝13r(S△SAB＋S△SAC＋S△SBC＋S△ABC)＝13r⎝⎛⎭⎫12·1·1＋12·1·1＋34·2＋12·1·1＝13·1·12.∴r＝13＋3＝3－36.点评：若一个简单n面体有内切球，且简单n面体的各个面的面积分别为S1，S2，S3，…，S n，简单n面体的体积为V，则此简单n面体的内切球的半径为r＝3VS1＋S2＋S3＋…＋S n.用体积法求简单多面体的内切球半径的优点是不用作轴截面，对空间想象能力要求高，但并不是意味着遇到这种类型的问题都用体积法，体积法的缺点是计算量较大，而且要考虑多面体是否是规则的，因此在解题时要注意选择方法．二、数学建模法数学模型方法不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法．我国从1992年开始的一年一度的大学生数学建模竞赛，正得到各大专院校的广泛支持和广大学生的积极参与，全国上下掀起了学数学建模、应用数学建模解决实际问题的高潮，这一切表明数学建模方法在理论上和应用上的重要性．数学建模的过程大概可表示如下：实际问题；抽象、简化、假设，确定变量和参数；建立数学模型并求解，确定参数；用实测数据等来检验该数学模型；回到实际问题．下面介绍数学模型法解决问题的一个例子：怎样使饮料罐制造用材最省的问题．首先，把饮料罐假设为正圆柱体(实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的)．在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：V ——罐装饮料的体积，r ——半径，h ——圆柱高，b ——制罐铝材的厚度，k ——制造中工艺上必须要求的折边长度．上面的诸多因素中，我们先不考虑k 这个因素．于是V ＝πr 2h ，由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍．因而制罐用材的总面积为A ＝3πr 2b ＋πr 2b ＋2πrhb ＝(4πr 2＋2πrh )b .每罐饮料的体积是一样的，因而V 可以看成是一个常数(参数)，解出h ＝V πr 2代入A ，得A ＝A (r )＝2πb ⎝⎛⎭⎫2r 2＋V πr ，从而知道，用材最省的问题是求半径r 使A (r )达到最小．A (r )的表达式就是一个数学模型．可以用多种精确或近似方法求A (r )的极小值及相应的r .易求得h ＝Vπ3⎝⎛⎭⎫4πV 2＝3(4π)2V 3π3V 2＝4r ，即罐高h 应为半径r 的4倍．当你拿起可口可乐、百事可乐、健力宝等饮料罐测量一下时，高h 和半径r 的比几乎与上述计算完全一致！其实这一点也不奇怪，这些大饮料公司年生产的罐装饮料都高达几百万罐，甚至更多，因而从降低成本和获取利润的角度，这些大公司的设计部门一定会考虑在同样工艺条件、保证质量前提下用材最省的问题．大家还可以把折边k 这一因素考虑进去，然后得到相应的数学模型，并求解之，最后看看与实际符合的程度如何．这个问题的解答可以给我们很多启发，我们会发现现实生活中有许多的类似问题．例如，当你到民航售票处去买国际机票时，你在机票上会看到像“免费交运的行李为两件，每件最大体积(三边之和)不得超过62英寸(158 cm)，但两件之和不得超过107英寸(273 cm)，每件重量不得超过32 kg ”的说明．试计算一下三边之和为158 cm 的长方体(我们通常用的箱子、装货的纸箱都是这种形状的)要使之体积最大的长、宽、高应是多少？(试证明为正方体)再到市场上去调查一下有多少箱子是这样的，为什么？在马路上见到的油罐车上的油罐为什么不是正圆柱形而是椭圆圆柱形？体积一定、用材最少的油罐的尺寸应是什么形状？这些问题都会激起我们的思考和应用数学的兴趣．(设计者：国建群)。

北师大版数学高一必修二1.7.3 球的表面积和体积导学案

1.7.3 球的表面积和体积导学案【学习目标】了解并灵活运用球的表面积和体积公式，运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题【重点难点】灵活运用公式求球的表面积和体积，难点是与球有关的简单组合体的表面积和体积问题的综合应用【知识链接】S 圆柱侧=__________________________； V 柱体=__________________________S 圆锥侧=__________________________； V 锥体=__________________________S 圆台侧=__________________________； V 台体 =__________________________【学习过程】⑴ 球的表面积公式S 球面=__________________________⑵ 球的体积公式V 球=__________________________注：① 计算球的表面积和体积应把握的关键量是什么？② 通过学习球的表面积公式，分析球的表面积公式有何特点？仅与什么有关？若球的表面积变为原来的2倍，则半径变为原来的多少倍？若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的多少倍？例1、做课本习题1-7A 组1于导学案.例2、看课本例6、例7并做本节练习1、2 .例3、在球心同一侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49 π2cm 和400π2cm ，求球的表面积.拓展：若球的表面积膨胀为原来的2倍，则体积变为原来的多少倍？注：若一个球的体积为π，则它的表面积为__________________________.⑴ 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为____________________.⑵ 已知球的体积为36π，则过球的球心的截面圆周长为____________________.【教后反思】。

北师大版数学高一- (北师大)必修2学案 1.7.3球的表面积和体积

7.3 球的表面积和体积问题导学1．柱体的体积活动与探究1如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②.求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．迁移与应用1．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形，则这个圆柱的体积为__________．2．根据图中物体的三视图(单位：cm)，求此几何体体积．1．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的正投影组成直角三角形，进而求解．2．求组合体的体积应据其结构特征分析求解，如迁移与应用题2中为长方体上放一圆柱，故几何体体积为两体积之和．2．锥体的体积活动与探究2如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12 PD．求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．迁移与应用1．一个圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则其体积为__________．2．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，点P ，Q ，R 分别是棱AA 1，AB ，AD 的中点，则三棱锥A －PQR 的体积等于__________．(1)锥体的体积公式V ＝13Sh 既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥．(2)三棱锥的体积求解具有较多的灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，这一方法叫做等积法．3．台体的体积活动与探究3正四棱台的侧棱长为3 cm ，两底面边长分别为1 cm 和5 cm ，求体积．迁移与应用四边形ABCD 中，A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．1．求台体的体积的一般方法是求出台体的上、下底面的面积和高，然后套用公式V ＝13(S ′＋SS ′＋S )h 计算求解．2．由于台体可以看作是由一个平行于锥体底面的平面截去小锥体后剩余的部分，因此台体的体积也可以由大锥体的体积减去小锥体的体积来计算得到．4．球的表面积和体积活动与探究4(1)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2(2)如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )．A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍迁移与应用1．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A ．92π＋12B ．92π＋18C ．9π＋42D ．36π＋18计算球的表面积和体积时要注意的问题：(1)关键是计算球的半径，而计算半径的关键是寻找球心的位置．因此，在解题过程中要特别关注题目中所揭示的球心位置，球面上的点等信息．(2)当球的半径增加为原来的2倍时，球的表面积增加为原来的4倍，球的体积增加为原来的8倍．(3)注意公式的“双向”应用，也就是说当知道球的表面积或体积时，也可以求出球的半径．当堂检测1．已知高为3的直三棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B ′－ABC 的体积为( )．A ．14B ．12C ．36 D ．342．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )． A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶6 D ．1∶83．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )． A ．23π3 B ．23πC ．73π6D ．73π34．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )．A ．8 cmB ．80 cmC ．40 cmD ．165cm5．如图，一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？(π≈3.14)答案：课前预习导学预习导引预习交流1 提示：台体的体积公式中，如果S 上＝S 下，就得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ；如果S 上＝0，就得到锥体的体积公式V 锥体＝13Sh .因此，柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可表示如下．由上图可见，柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例．预习交流2 提示：体积相等，都等于13Sh .预习交流3 提示：V 圆柱＝πR 2h ，V 圆锥＝13πR 2h .预习交流4 提示：表面积扩大为原来的4倍，体积扩大为原来的8倍．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：由三视图可以得到正三棱柱的底面三角形的高和侧棱长，从而可求出正三棱柱的底面边长与高，然后套用体积公式计算．解：由三视图可知：在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在底面即等边△ABC 中，AB ＝AD sin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.迁移与应用 1．16π2 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，依题意有2πr ＝4π，h ＝4π，所以r ＝2，于是体积V ＝Sh ＝πr 2h ＝π·22·4π＝16π2.2．解：该几何体上方是底面半径为12，母线长为1的圆柱，下方是一个长、宽、高分别为4,1,1的长方体，从而V ＝4×1×1＋π·⎝⎛⎭⎫122·1＝π4＋4. 活动与探究2 思路分析：对于棱锥Q －ABCD ，其底面为正方形ABCD ，高即为QA ，易求体积；对于三棱锥P －DCQ ，若以△DCQ 为底面，则应证明PQ 是其高，然后再计算，也可将三角形CDP 作为底面，这时其高易证即为AD ，从而可求体积．解：设AB ＝a .由题意知AQ 即为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13Sh ＝13×a 2×a ＝13a 3.方法1：由于棱锥P－DCQ 与棱锥Q －CDP 是同一个棱锥，其体积相等，而其底面是Rt △CDP ，面积为S 1=12×a ×2a =a 2.取DP 中点N ，连接QN ，则QN ∥AD ，又AD ⊥DC ，AD ⊥DP ，所以AD ⊥平面CDP ，故QN ⊥平面CDP .因此QN 就是三棱锥Q －CDP 的高，且QN ＝AD ＝a . 于是棱锥P －DCQ 的体积V 2＝V Q －CDP ＝13×a ×a 2＝13a 3.于是V 1∶V 2＝1.方法2：因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ .于是得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中，可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD ，所以PQ ⊥平面DCQ . 即PQ 为三棱锥P －DCQ 的高，且PQ ＝2a ，而△DCQ 的面积为12·a ·2a ＝22a 2，所以三棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13·22a 2·2a ＝13a 3，于是V 1∶V 2＝1.迁移与应用 1．324π 解析：依题意，圆锥的底面半径为12，高为32，于是体积V ＝13π·⎝⎛⎭⎫122·32＝324π. 2．92 解析：V A －PQR ＝V Q －APR ＝13S △APR ·AQ ＝13×12×3×3×3＝92. 活动与探究3 思路分析：解答本题的关键是利用侧棱与高构成的直角梯形求出台体的高，进而求出正四棱台的体积．解：正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中O 1，O 分别是两底面的中心． ∵A 1C 1＝2，AC ＝52， ∴A 1O 1＝22，AO ＝522， ∴O 1O ＝32－⎝⎛⎭⎫522－222＝1， V ＝13×1×(12＋52＋12×52)＝13(1＋25＋5)＝313(cm 3)．迁移与应用解：∵C (2,1)，D (0,3)， ∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.∴V 圆锥=13πr 2h =13π×22×2=83π.∵B (1,0)，C (2,1)，∴圆台的两个底面半径R =2，R ′=1，高h ′=1. ∴V 圆台=13πh ′(R 2+R ′2+RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.活动与探究4 思路分析：(1)该球的直径等于长方体的体对角线长． (2)可设出球的半径，计算出三个球的体积，然后求得结论．(1)B (2)C 解析：(1)由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，则长方体的体对角线长为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a .∴S 球＝4πR 2＝6πa 2.(2)半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的半径为3x ，其体积为43π×(3x )3，其余两个球的体积之和为43πx 3＋43π×(2x )3，∴43π×(3x )3÷⎣⎡⎦⎤43πx 3＋43π×(2x )3＝3. 迁移与应用 1．12π 解析：设球的半径为 R ，由4π3R 3＝43π，得R ＝3，所以S ＝4πR 2＝12π.2．B 解析：由题意知该几何体上部为直径为3的球，下部为长、宽、高分别为3,3,2的长方体，∴该几何体的体积为V ＝43π×⎝⎛⎭⎫322＋3×3×2＝9π2＋18.当堂检测1．D 2．B 3．D 4．B5．解：设水面下降的高度为x cm ，因为圆锥形铅锤的体积为13×π×⎝⎛⎭⎫622×20＝60π(cm 3)，小圆柱的体积为π×(20÷2)2×x ＝100πx (cm 3)．所以60π＝100πx ，解得x ＝0.6(cm)．则铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.。

高中数学：1.3《球的体积和表面积》教案(苏教版必修2)

课题：球的体积和表面积教学目标：1.熟记球的体积公式和表面积公式；2.会用球的体积公式343V R π=和表面积公式24S R π=解决有关问题教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用教学过程：一、创设情景，引入新课：提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

二、探究新知： 1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。

构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)2. 探究球的表面积公式：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,i S S S ∆∆∆表示，则球的表面积:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积13i i i V h S =⋅∆，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+，又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆∴可得13V R S ≈⋅，又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=， ∴24S R π=即为球的表面积公式三、例题示范,巩固新知：例1已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， C BAO O'''在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+， ∴22214R R =+，∴43R =， ∴26449S R ππ==．例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为解：作轴截面如图所示，CC '=AC ==，设球半径为R ，则222R OC CC '=+ ∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球．例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =， ∴6423214576S =⨯+⨯=表．例4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的23；(2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。

北师大版高中必修27.3球的表面积和体积课程设计 (2)

北师大版高中必修27.3球的表面积和体积课程设计一、课程介绍本课程是为北师大版高中数学必修3中的第27章《空间几何基础》中第3节课《球的表面积和体积》而设计的。

本课程将通过运用数学知识和几何图形的分析来深入研究球的表面积和体积，并强调通过公式的推导和应用来训练学生分析问题和解决问题的能力。

二、课程目标•掌握球的表面积和体积的计算公式•了解球的表面积和体积的物理意义•培养学生分析和解决几何问题的能力•提高学生的数学思维水平三、教学内容3.1 球的表面积公式的推导•介绍球体及其几何性质•运用微积分的知识推导球的表面积公式•实例演示球面积的计算3.2 球的体积公式的推导•探讨球体积公式的来源•利用微积分知识推导球的体积公式•实例演示球体积计算的过程3.3 综合应用•提供几个有趣而又实用的球面积和体积计算问题•引导学生利用所掌握的公式分析和解决问题四、教学方法•讲解与演示相结合：讲解理论知识，演示实际例子加深理解•实践操作：学生通过实践应用掌握公式的运用•互动交流：带领学生探讨、解决实际问题，创设情境调动学生思维积极性五、教学工具•黑板•讲义•三维立体图形演示软件六、教学评估•个人笔记•小组讨论报告•课堂练习和考试七、教学进度•本课程共3个学时，按照以下进度安排：–第1学时：球的表面积公式的推导–第2学时：球的体积公式的推导–第3学时：综合应用八、教学反思•学生对于微积分知识的掌握程度和数学能力对于本课程的深入理解和应用至关重要，需要对学生的数学基础进行评估后再决定教师授课深度。

•球的表面积和体积公式的推导需要耗费较多时间，需要充分利用课堂时间进行演示与讲解。

九、总结本课程着重强调了对于高中数学必修3中球的表面积和体积计算知识点的深入分析与应用。

本课程尤其突出了对于学生分析解决问题的能力培养和对于微积分知识的掌握，让学生能够更好地运用所学知识解决实际问题，提升学生数学思维水平。