湖南省衡阳市衡阳县2017-2018学年高三数学模拟试卷(理科)(9月份) Word版含解析

2017-2018学年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（理科）一、选择题1．若集合A={x|3+2x﹣x2＞0}，集合B={x|2x＜2}，则A∩B等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）2．若复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是（）A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．23．已知，则cosx等于（）A．B． C．D．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．2 D．6．袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白，现从中有放回的随机摸球2此，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．7．如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4C．4D．89．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）在区间（﹣，]上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是（）A．[0，]B．[，]C．（，0]D．[，0]10．已知函数f（x）=log3（2x+1）+，给出如下两个：p1：若a=﹣2，则y=f（x）在（，+∞）上只有一个零点；p2：∀a∈[﹣2，﹣]，函数y=|f（x）|在[﹣，3]上单调递增；则下列正确的是（）A．￢p1B．（￢p1）∨p2C．p1∧p2D．p1∧（￢p2）11．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2C．D．12．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，a∈[1，2]，若函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，则（）A．p≥﹣，q B．p，q C．p≥﹣2，q≤﹣1 D．p≥﹣1，q≤0二、填空题13．（﹣）5的展开式中常数项为．14．已知向量，不共线，=2+m，=n﹣3，若∥，则mn=．15．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为，则正数a的值为．16．在数列{a n}中，a1=，=，n∈N+，且b n=，记P n=b1•b2•b3…b n，S n=b1+b2+b3+…+b n，则3n+1P n+S n=．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=．（1）若b=4，求a；（2）若c=3，△ABC的面积为3，求证：3sinC+4cosC=5．18．为了了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：微克），当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．已知该天甲厂生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品（2）用上述样本数据统计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件．求抽取的2件产品中优等品的件数X 的分布列及数学期望．19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）若EC=2，FD=3，求平面ADF与平面BEF所成角的正弦值．20．已知椭圆M：+=1（b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆M的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．21．已知函数f（x）=（3﹣a）x+a﹣2lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，）上无零点，求a的最小值．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a（Ⅰ）写出动点A的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．2016年湖南省衡阳市衡阳县高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题1．若集合A={x|3+2x﹣x2＞0}，集合B={x|2x＜2}，则A∩B等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于集合A、B中x的范围，取交集即可．【解答】解：∵集合A={x|3+2x﹣x2＞0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|2x＜2}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}，故选：C．2．若复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是（）A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，然后推出选项．【解答】解：复数z=+a=（3+a）﹣ai，复数z=+a在复平面上对应的点在第二象限，可得a＜﹣3．故选：A．3．已知，则cosx等于（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式，诱导公式即可化简求值．【解答】解：∵，∴sin（x﹣+）=sin（x﹣）=﹣cosx=，∴cosx=﹣．故选：B．4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（）A．6斤B．9斤C．9.5斤D．12斤【考点】等差数列的通项公式．【分析】此问题是一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5=4，可得中间3尺的重量为3a3=×3．【解答】解：此问题是一个等差数列{a n}，设首项为2，则a5=4，∴中间3尺的重量为3a3=×3==9斤．故选：B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，且直线AF与双曲线的一条渐近线关于直线y=b对称，则双曲线的离心率为（）A．B．3 C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得F（c，0），求出双曲线的一条渐近线方程，解得A（a，b），求得直线AF的斜率，由对称思想可得直线AF的斜率和渐近线的斜率互为相反数．再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得F（c，0），双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，令x=a，可得A（a，b），可得直线AF的方程为y=（x﹣c），由于直线y=b经过A，且斜率为0，由对称性可得直线AF的斜率和渐近线的斜率互为相反数．即有=﹣，即为a=c﹣a，可得c=2a，离心率e==2．故选：C．6．袋子中装有大小相同的6个小球，2红1黑3白，现从中有放回的随机摸球2此，每次摸出1个小球，则2次摸球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】2次摸球颜色不同的对立事件是2次摸球颜色相同，由此能求出2次摸球颜色不同的概率．【解答】解：2次摸球颜色不同的对立事件是2次摸球颜色相同，∴2次摸球颜色不同的概率：p=1﹣=．故选：C．7．如图是一个程序框图，若输出i的值为5，则实数m的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=23，i=5时满足条件23＞5m，退出循环，输出i的值为5，由此可得m＜，结合选项即可得解实数m的值．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1，执行循环体后，S=2，i=2不满足条件2＞2m，再次执行循环体后，S=6，i=3不满足条件6＞3m，再次执行循环体后，S=13，i=4不满足条件13＞4m，再次执行循环体后，S=23，i=5由题意，此时满足条件23＞5m，退出循环，输出i的值为5，则m＜，实数m的值可以是4．故选：B．8．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（）A．4 B．4C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出．【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S△PCD＞S△ABC．由三视图特征可知PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=4，DB=2，∴BC=4，∴S△ABC==8，S△PAC==8，S△BCD==4．S==12．梯形PABD∴△BCD的面积最小．故选B．9．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）在区间（﹣，]上单调且最大值不大于，则φ的取值范围是（）A．[0，]B．[，]C．（，0]D．[，0]【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的单调性和最值，求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）在区间（﹣，]上单调，且最大值不大大于，∴2•+φ≤且2•（﹣）+φ≥﹣，求得﹣≤φ≤0，故选：D．10．已知函数f（x）=log3（2x+1）+，给出如下两个：p1：若a=﹣2，则y=f（x）在（，+∞）上只有一个零点；p2：∀a∈[﹣2，﹣]，函数y=|f（x）|在[﹣，3]上单调递增；则下列正确的是（）A．￢p1B．（￢p1）∨p2C．p1∧p2D．p1∧（￢p2）【考点】复合的真假．【分析】对于p1：令=t，则t＞∈（log32，1）．令g（t）=t﹣，利用导数研究其单调性即可判断出的真假．对于p2：令=t，由x∈[﹣，3]，可得t∈，∈．函数y=|f（x）|=，令h（t）=t+，利用导数研究其单调性，可得其值域，进而判断出函数y=|f（x）|在[﹣，3]上不单调．即可判断出真假．【解答】解：对于p1：令=t，则t＞∈（log32，1）．令g（t）=t﹣，则g′（t）=1+＞0，∴函数g（t）在（，+∞）上单调递增．令g（t）=0，解得t=，可知：=，解得x=为唯一一个零点，因此是真．对于p2：令=t，∵x∈[﹣，3]，∴t∈，∈．函数y=|f（x）|=，令h（t）=t+，h′（t）=1﹣＞0，∴函数h（t）在t∈内单调递增，∵a∈[﹣2，﹣]，∴=+＜0，而h（2）=≥1，因此函数y=|f（x）|在[﹣，3]上不单调，因此是假．综上可知：只有p1∧（￢p2）是真．故选：D．11．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C（0，4），F（，0），可得A（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=．故选：C．12．已知函数f（x）=ae x﹣2x﹣2a，a∈[1，2]，若函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，则（）A．p≥﹣，q B．p，q C．p≥﹣2，q≤﹣1 D．p≥﹣1，q≤0【考点】函数的值域．【分析】构造函数g（a）=（e x﹣2）a﹣2x，a∈[1，2]，由x∈[0，ln2]，可得e x∈[1，2]．看做关于a的因此函数可得：g（x）max=g（1）=e x﹣2﹣2x，g（x）min=g（2）=2e x﹣4﹣2x．x∈[0，ln2]．函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，利用q=e x﹣2﹣2x，p=2e x﹣4﹣2x．x∈[0，ln2]．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．【解答】解：构造函数g（a）=（e x﹣2）a﹣2x，a∈[1，2]，由x∈[0，ln2]，可得e x∈[1，2]．∴g（a）在a∈[1，2]上单调递减，∴g（a）max=g（1）=e x﹣2﹣2x，g（a）min=g（2）=2e x﹣4﹣2x．x∈[0，ln2]．函数f（x）在区间[0，ln2]上的值域为[p，q]，∴q=e x﹣2﹣2x，p=2e x﹣4﹣2x．x∈[0，ln2]．q′=e x﹣2≤0，∴函数q（x）单调递减，∴q（ln2）≤q≤q（0），∴﹣2ln2≤q≤﹣1．p′=2e x﹣2≥0，∴函数p（x）单调递增，∴p（ln2）≥p≥p（0），﹣2ln2≥p≥﹣2．．综上可得：p≥﹣2，q≤﹣1．故选：C．二、填空题13．（﹣）5的展开式中常数项为﹣4．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项式的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中常数项．【解答】解：（﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=••=（﹣1）r••5﹣r••，令=0，求得r=1，可得展开式中常数项为﹣•4•=﹣4，故答案为：﹣4．14．已知向量，不共线，=2+m，=n﹣3，若∥，则mn=﹣6．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程组，即可求出mn的值．【解答】解：∵向量，不共线，=2+m，=n﹣3，且∥，∴=λ，且λ∈R，即2+m=λ（n﹣3），∴，即2×（﹣3）λ=mnλ，∴mn=﹣6．故答案为：﹣6．15．如果实数x，y满足条件，则z=的最小值为，则正数a的值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，易知z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣a，0）连线的直线的斜率，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，z=的几何意义是点B（x，y）与点A（﹣a，0）连线的直线的斜率，由图象得直线过B（1，1）时，z有最小值，∴=，解得：a=1，故答案为：1．16．在数列{a n}中，a1=，=，n∈N+，且b n=，记P n=b1•b2•b3…b n，S n=b1+b2+b3+…+b n，则3n+1P n+S n=3．【考点】数列的求和．【分析】由已知数列递推式可得，，然后求出P n与S n，代入3n+1P n+S n得答案．【解答】解：∵=，b n=，∴，，∴P n=b1•b2•b3…b n =，S n=b1+b2+b3+…+b n=，则3n+1P n+S n=．故答案为：3．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=．（1）若b=4，求a；（2）若c=3，△ABC的面积为3，求证：3sinC+4cosC=5．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理化简已知，整理可得：b=2a，由b=4，即可求a的值．（2）利用三角形面积公式可求得：sinC=，由余弦定理可得cosC=，证明等式左边等于右边即可．【解答】解：（1）∵=．整理可得：2a﹣acosC=ccosA，∴由余弦定理可得：2a﹣a×=c×，整理可得：b=2a，∵b=4，∴解得：a=2．（2）证明：∵△ABC的面积为3，由（1）可得：b=2a，∴3=absinC=×a×2a×sinC，可得：sinC=，∵c=3，由余弦定理可得：cosC===，∴3sinC+4cosC=3×+4×==5．得证．18．为了了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：微克），当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．已知该天甲厂生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品（）求乙厂该天生产的产品数量；（2）用上述样本数据统计乙厂该天生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件．求抽取的2件产品中优等品的件数X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意，利用频率=，能求出乙厂生产的产品总数．（2）由题意，先求出样品中优等品的概率，由此能求出乙厂生产的优等品数量．（3）由表可得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列为和数学期望．【解答】解：（1）由题意，乙厂生产的产品总数为5÷=35．（2）样品中优等品的概率为，乙厂生产的优等品数量为35×．（3）由表可得X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，EX==．19．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）若EC=2，FD=3，求平面ADF与平面BEF所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出四边形BCDM是正方形，从而BD⊥CM，又DF⊥CM，由此能证明CM⊥平面BDF．（2）建立以C为坐标原点，CB，CD，CE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD⊥BD，∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，连接DM，则DM⊥AB，∵AB∥CD，∠BCD=90°，∴四边形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．∵CM⊂平面CFM．∴平面CFM⊥平面BDF；（2）建立以C为坐标原点，CB，CD，CE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵EC=2，FD=3，BC=CD=2，∴B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（0，2，3），则=（﹣2，2，0），=（2，0，﹣2），=（0，2，1），设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则得，令x=1，则y=﹣，z=1，则=（1，﹣，1），由（1）知AD=BD，∠ABD=45°，则，∠ADB=90°，即AD⊥BD，∵DF⊥BD，∴BD⊥平面ADF，则=（﹣2，2，0）是平面ADF的一个法向量，则cos＜，＞==，则sin＜，＞=，即平面ADF与平面BEF所成角的正弦值是．20．已知椭圆M：+=1（b＞0）上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆M的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的定义可得，2a+2c=4+2，即a+c=2+，再由a=2b，c=b，求出b=1，可得椭圆的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出△OPQ面积，即可求出△OPQ面积的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2，可得2a+2c=4+2，即a+c=2+，由题意可得a=2b，c=b，解得b=1，则椭圆M的方程为+y2=1；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2=﹣，x1x2=．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，•==k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=±．由于直线OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=••|x1﹣x2|=|m|•=＜=1，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．21．已知函数f（x）=（3﹣a）x+a﹣2lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）在区间（1，3）上单调，求a的取值范围；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，）上无零点，求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=3﹣a﹣=，当a≥3时，有f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（1，3）上单调递减；当a＜3时，令f′（x）=0，得x=，若函数y=f（x）在区间（1，3）单调，则≤1或≥3，解得：a≤1或≤a＜3，综上，a的范围是（﹣∞，1]∪[，+∞）；（2）x→0时，g（x）→+∞，∴g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数g（x）在（0，）无零点，只需对任意的x∈（0，），g（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）上递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而，l′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增，∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只需a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB 以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos（θ﹣）=a（Ⅰ）写出动点A的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）将A的坐标写成参数方程，化成普通方程判断轨迹形状；（II）求出曲线C的直角坐标方程，根据有一个交点得出两曲线相切，列出方程解出a．【解答】解：（I）设动点A（x，y），则A的轨迹的参数方程为，（α为参数）．化成普通方程为（x﹣2）2+（y+2）2=9．∴A的轨迹为以（2，﹣2）为圆心，以3为半径的圆．（II）∵ρcos（θ﹣）=a，∴ρcosθ+=a，∴曲线C的直角坐标方程为．∵直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，∴=3，解得a=3或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|ab+9|．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求出不等式f（x）≤6的解集M．（2）用分析法证明此不等式，分析使此不等式成立的充分条件为（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，而由条件a，b∈M可得（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，从而证得要证的不等式．【解答】解：（1）不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6，而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，﹣3和3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式的解集为M=[﹣3，3]．（2）要证3|a+b|≤|ab+9|，只要证9（a+b）2≤（ab+9）2，即证：9（a+b）2﹣（ab+9）2=9（a2+b2+2ab）﹣（a2•b2+18ab+81）=9a2+9b2﹣a2•b2﹣81=（a2﹣9）（9﹣b2）≤0，而由a，b∈M，可得﹣3≤a≤3，﹣3≤b≤3，∴（a2﹣9）≤0，（9﹣b2）≥0，∴（a2﹣9）（9﹣b2）≤0成立，故要证的不等式3|a+b|≤|ab+9|成立．2016年7月25日。