离心率专项练习
双曲线离心率专题
双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。
2024年高考数学专题16 妙解离心率问题(12大题型)(练习)(原卷版)
专题16 妙解离心率问题目录01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 (2)02焦点三角形顶角范围与离心率 (2)03共焦点的椭圆与双曲线问题 (3)04椭圆与双曲线的4a通径体 (4)05椭圆与双曲线的4a直角体 (5)06椭圆与双曲线的等腰三角形问题 (6)07双曲线的4a底边等腰三角形 (7)08焦点到渐近线距离为b (8)09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 (9)10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 (10)11渐近线平行线与面积问题 (11)12数形结合转化长度角度 (11)01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,124p p a æöÎç÷èø，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23æöç÷èøB ．C ．D ．23ö÷÷ø2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,64p p a éùÎêúëû，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．ùúûB ．1ùúûC ．D ．3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,43p p a æöÎç÷èø，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．1ö÷÷øB ．ö÷÷øC ．D ．4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ^，设ABF q Ð=，且(,)124p pq Î，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．(12)，C ．(2,)+¥D ．)+¥02焦点三角形顶角范围与离心率5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且212PF PF c ×=uuu r uuu u r，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．1[3D ．6．（2024·黑龙江·校联考）已知0a b >>，1F ，2F ，是双曲线22122:1x y C a b -=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1x y C a b +=上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF Ð取最小值，则椭圆2C 离心率的取值范围为（ ）A．æçèB．ö÷÷øC．æççèD．ö÷÷ø7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ³使得1260PF F oÐ=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．ö÷÷øB．æçèC ．1,12éö÷êëøD ．10,2æùçúèû8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点00(,)P x y （00x ³）使得1230PF F Ð=°，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．10,2æöç÷èøB．æççèC ．1,12éö÷êëøD．ö÷÷ø03共焦点的椭圆与双曲线问题9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F D 是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1e 与2e 满足的关系是（）A ．12112e e +=B ．12112e e -=C ．122e e +=D ．212e e -=10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆1C ：2222111x y a b +=()110a b >>与双曲线2C ：2222221x y a b -=（20a >，20b >）有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，1C ，2C 的离心率分别为1e 和2e ，则（ ）A ．22221122a b a b -=+B ．12112e e +=C ．212e e -=D ．111,32e æöÎç÷èø11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F 、2F ，M 是它们的一个交点，且121cos 4F MF Ð=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则121e e 的最大值为 ．12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P Ð=o ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于 ．13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F 、2F ，P 是它们的一个交点，1260F PF Ð=o ，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则2212e e +的最小值是 .04椭圆与双曲线的4a 通径体14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的离心率为35，左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，若212NF F F =，则11MF NF =（ ）A ．25B ．35C ．12D ．2315．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F (如图)，过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，2213PF F Q =，则E 的离心率为（ ）AB ．12CD16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，229PF F Q =，则E 的离心率为（）A B ．12C D 17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，223PF F Q =，则E 的离心率为（ ）A B ．12C D05椭圆与双曲线的4a 直角体18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆C 的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 的直线交C 于A ，B 两点，若1123AF F B =，且22AF BF ^，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C D 19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =×uuu u r uuu u r uuuu r，且2PQF V 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，113AF BF =，若23cos 5AF B Ð=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C D 21．（2024·湖南·校联考）已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦F ，若BF AC ^，且3AF CF =，则该双曲线的离心率为A B ．52C D ．2322．（2024·湖北·高三开学考试）已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ^且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A ．53B C D ．9423．（2024·山东聊城·统考）已知A ，B ，C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ^，且32CF FA =uuu r uuu r，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．32D06椭圆与双曲线的等腰三角形问题24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ^，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =A B ．1C D 125．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C 1D 126．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，连接2AF ，2BF ，在2ABF △中，2AB BF =，231cos 32ABF Ð=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D07双曲线的4a 底边等腰三角形27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 28．（2024·江西九江·统考）设双曲线()2222100x y C a b a b -=：＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线分别交双曲线左、右两支于点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若P ，Q ，F 1都在以M 为圆心的圆上，且10PQ MF ×=uuu r uuuu r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．C D ．29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且222MN MF MN =×uuuu r uuuu r uuuu r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 30．（2024·河北石家庄·统考）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ^，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2C D 131．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A在C 的右支上，1AF 与C 交于点B ，若220F A F B ×=uuu u r uuu u r，且22F A F B =uuu u r uuu u r ，则C 的离心率为（ ）A B C D08焦点到渐近线距离为b32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F 1，F 2为双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，且与C 的右支交于点Q ，若1//OQ PF （O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．333．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F 1，F 2分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若|HF 1|=3|HF 2|，则双曲线的离心率为（ ）34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝3|OP |，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦点在1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ､N 两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且13MN F N =uuuu r uuuu r，又过点1F 作1F P OM ^于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（ ）A B C D09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形36．（2024·安徽宣城·统考）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =uuu r uuu r，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．537．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，交另一条渐近线于点A ，已知O 为原点，且4||3AH a =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O 为原点，且5||3OA a =，则双曲线离心率为（ ）339．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B C D10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uuu r，120F B F B ×=uuu r uuur，则C 的离心率为（ ）A ．2B C 1+D 141．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知F 是双曲线22221x y a b -=的左焦点，圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点为P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D 42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3p 的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若()112OA OB OF =+uuu v uuu v uuuv ，则该双曲线的离心率为A ．2BC ．2D 43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b -=(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A B ．2C D 44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A B C D11渐近线平行线与面积问题45．（2024·安徽芜湖·统考）设M 为双曲线()222:1016x y D a a -=>上任意一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点．若ABM V 的面积为4，则双曲线D 的离心率为（ ）A B ．2C D 46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M ，N ，若214OM ON b ׳uuuu v uuu v ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．ö+¥÷÷øB ．æççèC ．ö+¥÷÷øD ．æççè47．（2024·福建·）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ×=，12F F 等于3212x x æö-ç÷èø展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3CD ．12数形结合转化长度角度48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F Ð的角平分线，则椭圆C 的离心率为 .49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x a =交于点M ，PFB Ð的角平分线与直线x a =交于点N ，若PF AB ^，MAB △的面积是NFB V 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是 .50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，若过()1,0F c -的直线与圆2222c x y æö+=ç÷èø相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为 ．。
高中压轴选择题离心率专项
高中数学压轴选择题离心率专项一．选择题（共50小题）1．椭圆核心在x 轴上，A 为该椭圆右极点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，那么该椭圆的离心率e 的范围是（ ）A ．[12，1）B ．（√22，1）C ．[12，√63）D ．（0，√22）2．过椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左核心F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．假设向量xx →+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线，那么该椭圆的离心率为（ ） A ．√33 B ．√63C ．√34D ．√233．设椭圆C ：x 2x 2+x 2x 2=1（a ＞b ＞0）的左、右核心别离为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，x2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，那么椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（15，√22）B ．（14，√22）C ．（13，√22）D ．（25，√22）4．已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x＞x＞0)，点A （c ，b ），右核心F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得xx →⋅xx →=xx →⋅xx →，且xx →+xx →=xxx →(x ∈x )，那么该椭圆的离心率为（ ） A ．√22 B ．√32 C ．√33 D ．√235．已知点A 为椭圆E ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点，B ，C 两点在椭圆E 上，假设四边形OABC为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，那么椭圆E 的离心率为（ ）A ．2√23B ．√22C ．12D ．√246．已知椭圆x 2x 2+x2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点和上极点别离为A ，B ，左、右核心别离是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 知足PF 1⊥PF 2，那么椭圆的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√3−12C ．√53 D ．√327．已知F 1，F 2是椭圆x：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左、右核心，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，那么x 2+x 2x（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ）A ．√6B ．3√64 C ．√5 D ．3√54 8．已知双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右核心别离是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，假设|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．75 B ．43 C ．2 D ．1039．己知O 为坐标原点，双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线别离为l 1，l 2，右核心为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，假设点B 在l 2上，且xx →=2xx →，那么双曲线的离心率等于（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．310．设双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右核心为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，假设xx→=λxx →+u xx →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，那么双曲线的离心率为（ ）A ．2√33B ．3√55C ．3√22D ．9811．设A 、B 别离为双曲线C ：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右极点，P ，Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率别离为m 、n ，那么2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√6 D ．√6212．已知椭圆x 1：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)和圆x 2：x 2+x 2=x 2，假设椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且知足∠xxx =x3，那么椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．√33B ．√24C ．√32D ．√3413．设双曲线C ：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左右核心别离为F 1，F 2，假设在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，知足MG ∥F 1F 2，那么双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．√514．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：x2x2﹣x2x2=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右核心别离为F1、F2，假设C2的核心为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．1+√2D．2+√315．已知E，F为双曲线x：x2x2−x2x2=1(0＜x＜x)的左右核心，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的核心F，且与双曲线交于A、B不同两点，假设5|AF|=4|BE|，那么双曲线的离心率为（）A．4+√7B．4−√3C．4+√3D．4−√716．设A为椭圆x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右核心，且AF⊥BF．假设∠ABF∈[x4，5x12]，那么该椭圆离心率的取值范围是（）A．(0，√22]B．[√22，1)C．[0，√63] D．[√22，√63]17．已知椭圆x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）的左极点和上极点别离为A、B，左、右核心别离是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P知足PF1⊥PF2，那么椭圆的离心率的平方为（）A．√32B．√3−12C．3+√52D．3−√5218．已知双曲线x2x2−x2x2=1，（a，b＞0）的左、右核心别离为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，直线AF2与双曲线的另一个交点为C，假设S△ABC=3S△xxx2，那么双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．2 D．√519．已知A，B别离为椭圆C：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）的左、右极点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率别离为m，n，那么当2xx+xx+12xx+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．√33B．√23C．12D．√2220．设椭圆C：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=b2，假设椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O 的两条切线，切点别离为A、B，知足∠APB=60°，那么椭圆的离心率e的取值范围是（）A．0＜e≤√32B．12≤e＜1 C．√32＜e＜1 D．√32≤e＜121．已知椭圆和双曲线有一起的核心F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=x3，记椭圆和双曲线的离心率别离为e1，e2，那么当1x1x2取最大值时，e1，e2的值别离是（）A．√22，√62B．12，√52C．√33，√6D．√24，√322．如下图，A，B，C是双曲线x2x2−x2x2=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB通过原点O，AC通过右核心F，假设BF⊥AC且|BF|=|CF|，那么该双曲线的离心率是（）A．√102B．√10 C．32D．323．过双曲线x2x2﹣x2x2=1（b＞0，a＞0）的左核心F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=x24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，假设xx→=12（xx→+xx→），那么双曲线的离心率为（）A．√102B．√105C．√10 D．√224．已知点P是双曲线x2x2−x2x2=1(x＞0，x＞0)左支上除极点外的一点，F1，F2别离是双曲线的左、右核心，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，双曲线离心率为e，那么xxx x2xxx x2=（）A．x−1x+1B．x+1x−1C．x2+1x2−1D．x2−1x2+125．设F是双曲线x2x2−x2x2=1(x＞0，x＞0)的右核心，双曲线两条渐近线别离为l1，l2，过F作直线l1的垂线，别离交l1，l2于A、B两点，且向量xx→与xx→同向．假设|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，那么双曲线离心率e的大小为（）A ．√52B ．√62C ．√72D ．226．已知点P 为双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、右核心，使 (xx →+xx 2→)⋅x 2x →=0（O 为坐标原点），且|xx 1→|=√3|xx 2→|，那么双曲线离心率为（ ）A ．√6+12B ．√6+1C ．√3+12D ．√3+127．已知椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左核心F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，假设xx →=2x 1x →，x 1x →=x (x 1x →|x 1x →|+x 1x →|x 1x →|)(x＞0)那么椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．√32C ．√5−12D ．√5+1428．设双曲线的﹣个核心为F ，虚轴的一个端点为B ，若是直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√3+12D ．√5+1229．已知双曲线E 的离心率为e ，左、右两核心别离为F 1、F 2，抛物线C 以F 2为极点，F 1为核心，点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，假设a|PF 2|+c|PF 1|=8a 2，那么e 的值为（ ） A ．√3 B ．3C ．√2D ．√630．已知双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，直线l 的方程为bx+ay ﹣ab=0，假设原点O 到直线l 的距离为√34x ，那么双曲线的离心率为（ ）A ．2√33或2B ．2√33C ．√2或2√33D ．231．若是以原点为圆心的圆通过双曲线x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的极点，而且被直线x =x 2x （c 为双曲线的半焦距）分为弧长为3：1的两段弧，那么该双曲线的离心等于…（ ）A ．2B ．√3C ．√2D ．√6232．过双曲线M ：x 2﹣x2x2=1的左极点A 作斜率为1的直线l ，假设l 与双曲线M 的两条渐近线别离相交于点B ，C ，且|AB|=|BC|，那么双曲线M 的离心率是（ ）A ．√10B ．√5C ．√103D ．√5233．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共核心，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=x3，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．4√33B ．2√33C ．3D ．234．已知椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左、右极点别离为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，那么C 的离心率为（ ） A ．√63 B ．√33 C ．√23 D ．1335．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左核心，A ，B 别离为C 的左，右极点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．假设直线BM 通过OE 的中点，那么C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3436．已知椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左核心F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，假设|AB|=10，|AF|=6，xxx∠xxx =45，那么C 的离心率为（ ）A ．35B ．57C ．45D ．6737．设双曲线C 的中心为点O ，假设有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2别离是这对直线与双曲线C 的交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(2√33，2] B ．[2√33，2) C ．(2√33，+∞) D ．[2√33，+∞)38．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左核心为在以AB 为直径的圆内，那么该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．（0，√2） B ．（1，√2） C ．（√22，1） D ．（√2，+∞）39．设圆锥曲线r 的两个核心别离为F 1，F 2，假设曲线r 上存在点P 知足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，那么曲线r 的离心率等于（ ）A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或3240．椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的右核心为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 知足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（0，√22] B ．（0，12] C ．[√2−1，1） D ．[12，1） 41．曲线x 210−x +x 26−x =1(x＜6)与曲线x 25−x +x 29−x=1(5＜x＜9)的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．核心相同D ．准线相同 42．已知双曲线x：x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的右核心为F ，过F 且斜率为√3的直线交C 于A 、B 两点，假设xx→=4xx →，那么C 的离心率为（ ）A ．65B ．75C ．58D ．9543．双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的两个核心为F 1、F 2，假设P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，那么双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（3，+∞）D ．[3，+∞]44．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC=120°，那么以A ，B 为核心且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．1+√22 B ．1+√32C ．1+√2D ．1+√3 45．双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上存在一点，它到右核心及左准线的距离相等，那么双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1，√2] B ．[√2，+∞) C ．(1，√2+1] D ．[√2+1，+∞)46．从椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左核心F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），那么该椭圆的离心率是（ ）A ．√24 B ．12C ．√22D ．√3247．已知双曲线x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的右核心为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，2] B ．（1，2） C ．[2，+∞） D ．（2，+∞）48．设F 1、F 2别离是椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左、右核心，P 是其右准线上纵坐标为√3x（c 为半焦距）的点，且|F 1F 2|=|F 2P|，那么椭圆的离心率是（ ）A ．√3−12B ．12C ．√5−12D ．√2249．设F 1，F 2别离是双曲线x 2x 2−x2x2=1的左、右核心．假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，那么双曲线离心率为（ ）A ．√52B ．√102C ．√152D ．√550．已知双曲线x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的左、右核心别离为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=4ab ，那么双曲线的离心率是（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2 D ．3高中压轴选择题离心率专项参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．椭圆核心在x 轴上，A 为该椭圆右极点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，那么该椭圆的离心率e 的范围是（ ）A ．[12，1）B ．（√22，1）C ．[12，√63）D ．（0，√22）【分析】可设椭圆的标准方程为：x 2x 2+x2x2=1（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），由于∠OPA=90°，可得点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：(x −x 2)2+x 2=(x2)2，化为x 2﹣ax+y 2=0．与椭圆的方程联立可得：（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，取得x =xx 2x 2，由于0＜x ＜a ，可得0＜xx 2x 2＜x ，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），∵∠OPA=90°，∴点P 在以OA 为直径的圆上． 该圆为：(x −x 2)2+x 2=(x2)2，化为x 2﹣ax+y 2=0． 联立{x 2−xx +x 2=0x 2x 2+x 2x 2=1化为（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，解得x =xx 2x 2，∵0＜x ＜a ，∴0＜xx 2x 2＜x ，化为c 2＞b 2=a 2﹣c 2，∴x 2＞12，又1＞e ＞0． 解得√22＜x＜1．∴该椭圆的离心率e 的范围是(√22，1)． 应选：B ．【点评】此题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．2．过椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左核心F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．假设向量xx →+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线，那么该椭圆的离心率为（ ） A ．√33 B ．√63 C ．√34 D ．√23 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x+c ，与椭圆方程联立化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x+a 2c 2﹣a 2b 2=0，依照向量xx→+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线，及其根与系数的关系即可得出．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x+c ，联立{x =x +xx 2x 2+x 2x 2=1，化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x+a 2c 2﹣a 2b 2=0，∴x 1+x 2=−2xx 2x 2+x 2，y 1+y 2=x 1+x 2+2c=2xx 2x 2+x 2，∴向量xx →+xx →=（−2xx 2x 2+x 2，2xx 2x 2+x 2），∵向量xx→+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线， ∴﹣−2xx 2x 2+x 2﹣3×2xx 2x 2+x 2=0，∴a 2=3b 2，∴x =x x =√1−x 2x 2=√63．应选：B ．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．设椭圆C ：x 2x 2+x 2x 2=1（a ＞b ＞0）的左、右核心别离为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，x2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，那么椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（15，√22）B ．（14，√22）C ．（13，√22）D ．（25，√22）【分析】点Q （c ，x 2）在椭圆的内部，x 2x ＞x2，|PF 1|+|PQ|=2a ﹣|PF 2|+|PQ|，由﹣|QF 2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=x 2，要|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ|≤2a+x2＜5×2c ．【解答】解：∵点Q （c ，x 2）在椭圆的内部，∴x 2x ＞x2，⇒2b 2＞a 2⇒a 2＞2c 2．x x ＜√22|PF 1|+|PQ|=2a ﹣|PF 2|+|PQ|又因为﹣|QF 2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=x2，要|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ|≤2a+x2＜5×2c5x 2＜10x ，x x ＞14，那么椭圆离心率的取值范围是（14，√22）． 应选：B【点评】此题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．4．已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x＞x＞0)，点A （c ，b ），右核心F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得xx →⋅xx →=xx →⋅xx →，且xx →+xx →=xxx →(x ∈x )，那么该椭圆的离心率为（ ）A ．√22B ．√32C ．√33D ．√23【分析】设M （x ，y ），由xx →⋅xx →=xx →⋅xx →⇒cx+by=c 2，…①，由xx→+xx →=xxx →(x ∈x )，cy ﹣bx=bc…②由①②得x=x 2x −2x 2x x 2，y=2xx 2x 2，…③把③代入椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3，⇒（c ﹣b ）（b 2+bc+2c 2）=0⇒b=c ．【解答】解：设M （x ，y ），∵xx →⋅xx →=xx →⋅xx →∴xx →⋅(xx →−xx )→=0，⇒xx→⋅xx →=0 ⇒即OA ⊥MF ⇒cx+by=c 2，…①.xx→+xx →=(x +x，x )，因为xx →+xx →=xxx →(x ∈x )，xx →+xx →与xx →共线，cy ﹣bx=bc…②由①②得x=x 2x −2x 2x x 2，y=2xx 2x 2，…③把③代入椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x＞x＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3，⇒（c ﹣b ）（b 2+bc+2c 2）=0⇒b=c ⇒a=√2x ，椭圆的离心率e=x x =√22．应选：A【点评】此题考查了向量与圆锥曲线的综合应用，及向量的线性运算、转化思想，属于难题．5．已知点A 为椭圆E ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点，B ，C 两点在椭圆E 上，假设四边形OABC为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，那么椭圆E 的离心率为（ ） A ．2√23 B ．√22 C ．12D ．√24【分析】如下图，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°，直线OC 的方程为：y=√33x ，联立{x =√33x x 2x 2+x 2x 2=1，解得：x C ．同理联立{x =√33(x +x )x 2x 2+x 2x 2=1，解得x B ．依照|OA|=|CB|=a ，即x C ﹣x B =a 化简即可得出．【解答】解：如下图，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°， ∴直线OC 的方程为：y=√33x ，联立{x =√33x x 2x 2+x 2x2=1，解得：x C =√3xx √22． 同理联立{x =√33(x +x )x 2x 2+x 2x 2=1，化为：（a 2+3b 2）x 2+2a 3x+a 4﹣3a 2b 2=0．解得x B =a −2x 3x 2+3x 2=3xx 2−x 3x 2+3x 2．∵|OA|=|CB|=a ，∴√3xx√22﹣3xx 2−x 3x 2+3x 2=a ．化为：a=3b ．∴椭圆的离心率e=x x=√1−x 2x 2=2√23．应选：A ．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点和上极点别离为A ，B ，左、右核心别离是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 知足PF 1⊥PF 2，那么椭圆的离心率为（ ） A ．√5−12B ．√3−12C ．√53 D ．√32【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得xx 1→•xx 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：依题意，作图如下∵A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：x −x +xx =1，整理得：bx ﹣ay+ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ，∴x=xx y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴xx 1→•xx 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2=（xx）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（x x ）2+y 2﹣c 2，则f′（y ）=2（x x y ﹣a ）×xx+2y ，∴由f′（y ）=0得：y=x 2x x 2+x 2，于是x=﹣xx 2x 2+x 2，∴xx 1→•xx 2→=（﹣xx 2x 2+x 2）2+（x 2x x 2+x2）2﹣c 2=0， 整理得：x 2x 2x 2+x 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=x 2x2，∴e 4﹣3e 2+1=0，∴e 2=3±√52，又椭圆的离心率e ∈（0，1），∴e 2=3−√52=（√5−12）2，∴椭圆的离心率为e=√5−12．应选A ．【点评】此题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．7．已知F 1，F 2是椭圆x：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左、右核心，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，那么x 2+x 2x（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ）A ．√6B ．3√64 C ．√5 D ．3√54【分析】如下图，由 切线的性质可得：OQ ⊥PF 2．又点O 为线段F 1F 2的中点，利用三角形中位线定理可得：OQ ∥PF 1，PF 1⊥PF 2．再利用椭圆的概念、勾股定理可得（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c）2，化为：b=2x3．c2=a2﹣b2=59x2．代入x2+x2x，利用大体不等式的性质即可得出．【解答】解：如下图，由切线的性质可得：OQ⊥PF2．又点O为线段F1F2的中点，Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，∴PF1⊥PF2．∴|PF1|=2|OQ|=2b，|PF2|=2a﹣2b．在Rt△PF1F2中，（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2，化为：b2+（a﹣b）2=c2=a2﹣b2，化为：b=2x 3．∴c2=a2﹣b2=x2−(2x3)2=59x2．∴x2+x2x=x2+x2x2x=x4+59x2x2×2x3=9x2+56x≥2√9x2⋅56x=√5，当且仅当a2=59时取等号．∴x2+x2x（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为√5．应选：C．【点评】此题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质、三角形中位线定理、勾股定理、大体不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．已知双曲线x2x2﹣x2x2=1（a＞0，b＞0）的左、右核心别离是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，假设|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，那么该双曲线的离心率为（）A．75B．43C．2 D．103【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，依照双曲线的第二概念即可求出Q到l的距离为32x．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有x−x2x−x12x=25，如此即可求得d=5x−5x2x6，依照已知条件及双曲线的概念能够求出|PF2|=2c﹣2a，因此依照双曲线的第二概念即可取得2x−2x5x−5x2x6=xx，进一步可整理成5(xx)2−12(xx)+7=0，如此解关于xx的方程即可．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，别离交l于P1，Q1；∵|xx2||xx1|=|xx2||xx1|，3|PF2|=2|QF2|；∴x|xx1|=23，|xx1|=32x；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，那么：|xx2||xx|=x−x2x−x12x=25；∴解得d=5x−5x2x6；∵依照双曲线的概念，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴依照双曲线的第二概念，2x−2x5x−5x2x6=xx；整理成：5(xx)2−12(x x)+7=0；∴解得xx=75，或xx=1（舍去）；即该双曲线的离心率为75．应选A．【点评】考查双曲线的第二概念，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、核心的概念，和对双曲线的概念的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．9．己知O 为坐标原点，双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线别离为l 1，l 2，右核心为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，假设点B 在l 2上，且xx →=2xx →，那么双曲线的离心率等于（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．3【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A ，B 的坐标，结合点B 在渐近线y=﹣xxx 上，成立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l 1，y=x x x ，l 2，y=﹣xx x ，F （c ，0），圆的方程为（x ﹣x 2）2+y 2=x 24，将y=x x x 代入（x ﹣x 2）2+y 2=x 24，得（x ﹣x 2）2+（x x x ）2=x 24，即x 2x 2x 2=cx ，那么x=0或x=x 2x ，当x=x 2x 时，y ═x x •x 2x =xx x ，即A （x 2x ，xx x）， 设B （m ，n ），那么n=﹣xx•m，则xx →=（m ﹣x 2x ，n ﹣xx x ），xx →=（x 2x ﹣c ，xxx），∵xx→=2xx →， ∴（m ﹣x 2x ，n ﹣xx x ）=2（x 2x ﹣c ，xxx ）则m ﹣x 2x =2（x 2x ﹣c ），n ﹣xx x =2•xx x ，即m=3x 2x ﹣2c ，n=3xx x ，即3xx x =﹣x x •（3x 2x ﹣2c ）=﹣3xx x +2xx x ，即6xx x =2xx x ，则c 2=3a 2， 则xx=√3， 应选：B ．【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照条件成立方程组关系，求出交点坐标，转化为a ，c 的关系是解决此题的关键．考查学生的计算能力．10．设双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右核心为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，假设xx →=λxx →+u xx →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，那么双曲线的离心率为（ ）A ．2√33B ．3√55C ．3√22D ．98【分析】由方程可得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=xx，解之可得λμ的值，由λ2+u 2=58，可得a ，c 的关系，由离心率的概念可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±xxx ，设核心F （c ，0），那么当x=c 时，y ═±x x •c=±xxx，即A （c ，xx x ），B （c ，﹣xx x ），P （c ，x 2x ），因为xx→=λxx →+μxx →， 因此（c ，x 2x ）=（（λ+μ）c ，（λ﹣μ）xx x），因此λ+μ=1，λ﹣μ=xx，解得：λ=x +x 2x ，μ=x −x2x ，∵λ2+u 2=58，∴（x +x 2x ）2+（x −x 2x ）2=58，即2x 2+2x 24x 2=58，即c 2=4b 2． 则c 2=4（c 2﹣a 2）， 则3c 2=4a 2．√3c=2a ，则e=2√3=2√33，应选：A ．【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决此题的关键．11．设A 、B 别离为双曲线C ：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右极点，P ，Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率别离为m 、n ，那么2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√6 D ．√62【分析】设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02x 2﹣1）．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式取得：mn=﹣x 2x 2，那么2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n|=2x x +x x +x 22x 2+ln x 2x 2=f （xx），令x x =t ＞0，那么f （t ）=2x +t+12t 2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02x2﹣1），即有x 02x 02−x 2=x 2x 2，由双曲线的方程可得A （﹣a ，0），B （a ，0），则m=x 0x 0+x ，n=x 0x −x 0，∴mn=x 02x 2−x 02=﹣x 2x2，∴2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n| =2x x +x x +x 22x 2+ln x 2x 2 =f （x x ），令x x =t ＞0，那么 f （t ）=2x +t+12t 2﹣2lnt ． f′（t ）=﹣2x 2+1+t ﹣2x =(x +1)(x 2−2)x 2，可知：当t=√2时，函数f （t ）取得最小值 f （√2）=2√2+√2+12×2﹣2ln √2=2√2+1﹣ln2．∴xx =√2． ∴e=x x =√1+(x x )2=√1+12=√62． 应选：D ．【点评】此题考查了双曲线的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．已知椭圆x 1：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)和圆x 2：x 2+x 2=x 2，假设椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且知足∠xxx =x3，那么椭圆最圆的时离心率e=（ ）A．√33B．√24C．√32D．√34【分析】连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，可得∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，cos∠AOP=x|xx|=12，可得b＜|OP|≤a，可得椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，∴cos∠AOP=x|xx|=12，∴|OP|=2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2=b2+c2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即e≥√32，又0＜e＜1，∴√32≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是√32≤e＜1．∴椭圆最圆的时离心率e=√3 2．应选：C．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、四点共圆的性质、直角三角形的边角关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13．设双曲线C：x2x2﹣x2x2=1（a＞0，b＞0）的左右核心别离为F1，F2，假设在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，知足MG∥F1F2，那么双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2 D．√5【分析】设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a，再结合双曲线的概念和等积法，求得|PF2|=2c﹣a，再由双曲线的离心率公式和第二概念，可得s=2a，将P的坐标代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可取得所求值．【解答】解：设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得重心G（x−x+x3，x3）即（x3，x3），设△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N，与边PF1的切点为K，与边PF2上的切点为Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．由双曲线的概念，|PF1|﹣|PF2|=2a．①由圆的切线性质|PF1|﹣PF2|=|FIK|﹣|F2Q|=|F1N|﹣|F2N|=2a，∵|F1N|+|F2N|=|F1F2|=2c，∴|F2N|=c﹣a，|ON|=a，即有M（a，a），由MG∥F1F2，则△PF1F2的重心为G（x3，a），即t=3a，由△PF1F2的面积为12•2c•3a=12a（|PF1|+|PF2|+2c），可得|PF1|+|PF2|=4c②由①②可得|PF2|=2c﹣a，由右准线方程x=x2x，双曲线的第二概念可得e=xx=|xx2|x−x2x，解得s=2a，即有P （2a ，3a ），代入双曲线的方程可得 4x 2x 2﹣9x 2x 2=1，可得b=√3a ， c=√x 2+x 2=2a ，即e=xx =2．应选：C ．【点评】此题考查双曲线的概念、方程和性质，主若是离心率和准线方程，运用概念法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．14．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px上，设C 1的左，右核心别离为F 1、F 2，假设C 2的核心为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．1+√2D ．2+√3【分析】依照条件取得抛物线和双曲线的核心相同，依照双曲线和抛物线的概念取得△MF 1F 2为等腰直角三角形，利用概念成立方程进行求解即可．【解答】解∵设C 1的左，右核心别离为F 1、F 2，假设C 2的核心为F 2， ∴抛物线的准线方程为x=﹣c ，若△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形， 由于点M 也在抛物线上， ∴过M 作MA 垂直准线x=﹣c 则MA=MF 2=F 1F 2，那么四边形AMF 2F 1为正方形， 则△MF 1F 2为等腰直角三角形， 则MF 2=F 1F 2=2c ，MF 1=√2MF 2=2√2c ， ∵MF 1﹣MF 2=2a ， ∴2√2c ﹣2c=2a ，那么（√2﹣1）c=a ，那么离心率e=x x =1√2−1=1+√2，应选：C【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照双曲线和抛物线的概念取得△MF 1F 2为等腰直角三角形是解决此题的关键．考查学生的转化和推理能力．15．已知E ，F 为双曲线x：x 2x 2−x 2x 2=1(0＜x＜x )的左右核心，抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线有公共的核心F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，假设5|AF|=4|BE|，那么双曲线的离心率为（ ）A ．4+√7B ．4−√3C ．4+√3D ．4−√7【分析】依照双曲线的概念求出|BE|=10a ，|BF|=8a ，结合抛物线的概念求出交点B 的纵坐标，结合直角三角形的边角关系成立方程进行求解即可．【解答】解：依照双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=45|BE|，∵|BE|﹣|BF|=2a ， ∴|BE|﹣45|BE|=|BE|=2a，则|BE|=10a ，|BF|=8a ，∵抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线有公共的核心F ， ∴x2=c ，且x=﹣c 是抛物线的准线， 则|BD|=|BF|=8a ，设B （x ，y ），那么由抛物线的性质得x+c=8a ，即x=8a ﹣c ， 代入抛物线方程y 2=2px=4cx 得y 2=4c （8a ﹣c ）， 则|DE|2=y 2=4c （8a ﹣c ）， 在直角三角形BDE 中， BE 2=DE 2+BD 2，即100a 2=64a 2+4c （8a ﹣c ）， 即36a 2﹣32ac+4c 2=0， 即c 2﹣8ac+9a 2=0， 解e 2﹣8e+9=0，得e=8±√64−362=4±√7，∵0＜a ＜b ，∴e=x x =√1+x 2x 2＞√2，∴e=4+√7， 应选：A【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照抛物线和双曲线的概念成立方程关系，求出a ，c 的关系是解决此题的关键．综合性较强，有必然的难度．16．设A 为椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右核心，且AF ⊥BF ．假设∠ABF ∈[x 4，5x12]，那么该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0，√22]B ．[√22，1)C ．[0，√63]D ．[√22，√63]【分析】设左核心为：N ．连接AF ，AN ，AF ，BF ，可得：四边形AFNB 为矩形．根据椭圆的概念：|AF|+|AN|=2a ．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e=1xxxx +xxxx =1√2xxx (x +x 4)，依照α的取值范围即可得出．【解答】解：设左核心为：N ．连接AF ，AN ，AF ，BF ，可得：四边形AFNB 为矩形． 依照椭圆的概念：|AF|+|AN|=2a ． ∠ABF=α，那么：∠ANF=α． ∴2a=2ccosα+2csinα ∴e=2x 2x =1xxxx +xxxx =1√2xxx (x +x 4)， α=∠ABF ∈[x 4，5x 12]，∴(x +x 4)∈[x 2，2x3]，∴xxx (x +x4)∈[√32，1]．∴e ∈[√22，√63]．应选：D ．【点评】此题考查了椭圆的概念标准方程及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．已知椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点和上极点别离为A 、B ，左、右核心别离是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 知足PF 1⊥PF 2，那么椭圆的离心率的平方为（ ）A ．√32 B ．√3−12C ．3+√52D ．3−√52【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF2，得xx 1→•xx 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：椭圆x 2x 2+x 2x2=1整理得：bx ﹣ay+ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ，∴x=xx y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴xx 1→•xx 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2=（x x）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（xx ）2+y 2﹣c 2，则f′（y ）=2（x x y ﹣a ）×xx+2y ，∴由f′（y ）=0得：y=x 2x x 2+x ，于是x=﹣xx 2x 2+x 2，∴xx 1→=（﹣xx 2x 2+x 2）2+（x 2x x 2+x ）2﹣c 2=0，整理得：x 2x 2x 2+x 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=x 2x2，∴e 4﹣3e 2+1=0，∴e 2=3±√52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3−√52．椭圆的离心率的平方3−√52，应选D ．【点评】此题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．18．已知双曲线x 2x 2−x 2x 2=1，（a ，b ＞0）的左、右核心别离为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，假设S △ABC =3S △xxx 2，那么双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．√5【分析】如下图，S △ABC =3S △xxx 2，|AC|=3|F 2C|，求得A （﹣c ，x 2x），求得直线AF 2的方程，代入双曲线方程，运用韦达定明白得得x C ．依照xx 2→=4xx 2→，由向量的坐标运算，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得出所求值． 【解答】解：如下图： ∵S △ABC =3S△xxx 2，∴|AC|=3|F 2C|．由x=﹣c ，代入双曲线的方程，可得y=±x 2x ，取A （﹣c ，x 2x ），直线AF 2的方程为：y ﹣0=x 2x−0−x −x （x ﹣c ）， 化为：y=﹣x 22xx （x ﹣c ），代入双曲线x 2x 2−x 2x2=1，（a ，b ＞0），可得：（4c 2﹣b 2）x 2+2cb 2x ﹣b 2c 2﹣4a 2c 2=0，∴x C ×（﹣c ）=﹣x 2x 2+4x 2x 24x 2−x 2，解得x C =x 2x +4x 2x4x 2−x 2．∵xx 2→=4xx 2→，∴c ﹣（﹣c ）=4（c ﹣x 2x +4x 2x4x 2−x 2），化为：5a 2=c 2，解得e=xx =√5．应选：D ．【点评】此题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．已知A ，B 别离为椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左、右极点，不同两点P ，Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率别离为m ，n ，那么当2x x +x x +12xx+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A ．√33B ．√23C ．12D ．√22【分析】设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），y 02=x 2(x 2−x 02)x 2．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式确信：mn=x 2x 2，2x x +x x +12xx +ln|m|+ln|n|=2x x +x x +x 22x 2+ln x 2x 2=x (x x )，令x x=t＞1，那么f （t ）=2x +t+12x 2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），x 02=x 2(x 2−x 02)x 2． A （﹣a ，0），B （a ，0），则m=x 0x +x 0，n=x 0x −x 0，∴mn=x 02x 2−x 02=x 2x2，∴2x x +x x +12xx +xx |x |+xx |x |=2x x +x x +x 22x2+xx x 2x 2=x (x x )，令x x =t ＞1，那么f （t ）=2x +x +12x 2﹣2lnt ． f′（t ）=−2x 2+1+t ﹣2x =(x +1)(x 2−2)x 2，可知：当t=√2时，函数f （t ）取得最小值x (√2)=2√2+√2+12×(√2)2﹣2ln √2=2√2+1﹣ln2．∴xx=√2． ∴x =√1−(x x )2=√22．应选：D ．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．设椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，假设椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O的两条切线，切点别离为A 、B ，知足∠APB=60°，那么椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤√32 B ．12≤e ＜1 C ．√32＜e ＜1 D ．√32≤e ＜1【分析】由题意可知：由椭圆C ：x 2x 2+x 2x 2=1（a ＞b ＞0）核心在x 轴上，由图可知：O 、P 、A 、B四点共圆，∠APB=60°，那么∠APO=∠BPO=30°，cos ∠AOP=x 丨xx丨=12，|OP|=2b ，因此b ＜|OP|≤a ，即2b ≤a ，由a 2=b 2+c 2，可得3a 2≤4c 2，e ≥√32，又0＜e ＜1，即可求得椭圆的离心率e 的取值范围．【解答】解：由椭圆C：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）核心在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，∴cos∠AOP=x丨xx丨=12，∴|OP|=x12=2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2=b2+c2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即x2x2≥34，∴e≥√32，又0＜e＜1，∴√32≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是√32≤e＜1．应选D．【点评】此题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．21．已知椭圆和双曲线有一起的核心F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=x3，记椭圆和双曲线的离心率别离为e1，e2，那么当1x1x2取最大值时，e1，e2的值别离是（）A．√22，√62B．12，√52C．√33，√6D．√24，√3【分析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程别离为：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0），c=√x2−x2，x2x12−x2x12=1，c=√x12+x12．设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．利用概念可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解得m，n．利用余弦定理可得：xxxx3=x2+x2−(2x)22xx=12，化简整理可得：1x12+3x22=4，再利用大体不等式的性质即可得出．【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程别离为：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0），c=√x2−x2，x2x12−x2x12=1，c=√x12+x12．设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．则m+n=2a，m﹣n=2a1，∴m=a+a1，n=a﹣a1．xxxx3=x2+x2−(2x)22xx=12，化为：(x+x1)2+(x−x1)2﹣4c2=（a+a1）（a﹣a1）．∴x2+3x12﹣4c2=0，∴1x12+3x22=4，∴4≥2√1x12×3x22，化为：1x1x2≤2√3，当且仅当e1=√22，e2=√62时取等号．应选：A．【点评】此题考查了椭圆与双曲线的概念标准方程及其性质、余弦定理、大体不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
椭圆离心率专题
椭圆离心率专题1．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为2．F 1，F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为3．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为4．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是5．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是6．椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．7．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆2222x y +＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．8．已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
9．以1F 、2F 为焦点的椭圆2222x y a b +＝１（0a b >>）上一动点P ，当12F PF ∠最大时12PF F ∠的正切值为2，则此椭圆离心率e 的大小为 。
10．对于椭圆22221(0,x y a b c a b +=>>=，定义c e a=为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是(0,1)e ∈，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”．若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似．已知椭圆2214x y m +=与椭圆2219x y m +=相似，则m 的值为11．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于12．以等腰直角△ABC 的两个顶点作为焦点，且经过另一顶点的椭圆的离心率为 .13．直线022=-+y x 经过椭圆)(12222o b a by ax >>=+的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．14．已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（0122>>=+b a b ya x 上，AB ∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 15．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．16．已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为17．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 满足a ≤，离心率为e ，则2e 的最大值是_______．19．若椭圆221x my +=_______________.20．已知P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点,若021=⋅PF PF ,21tan 21=∠F PF ,则此椭圆的离心率为____________.23．如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；参考答案1．D【解析】由题意得：0tan 60a b==，∴b a =，∴2213b a =，∴22213a c a -=，即2113e -=，∴223e =，∴e =。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
离心率专题
离心率专题1.已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知椭圆+=1（a＞b＞0）在左焦点为F1（-c，0），有顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT（O为坐标原点）的斜率为-，则该椭圆的离心率的值为（）A. B. C. D.3.已知两点F1（-1，0），F（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差数列中项，则动点P 所形成的轨迹的离心率是（）A. B.2 C. D.4. 已知椭圆若在椭圆C1上存在点P使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A.[，1）B.[，1）C.（0，]D.（0，]6.已知直线x=2a 与双曲线-=1（a＞0，b＞0）相交A，B两点，O为坐标原点，若△AOB是正三角形，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.7.已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知双曲线C ：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F和A（0，b）的连线与C的一条渐近线相交于点P ，且=2，则双曲线C的离心率为（）A.3B.C.4D.29.已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A. B.2 C.4 D.10.以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1高二数学补充材料（圆锥曲线2），共3页11.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△F1AB是顶角A为120°的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A.5-2B.C.D.13.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.14.已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1，F2它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，则椭圆C1的离心率为（）A. B. C. D.15.椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A.[，1]B.[，]C.[，1）D.[，]16.直角三角形ABC中，A=90°，B=60°，B，C为双曲线E的两个焦点，点A在双曲线E上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为-，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.18.设双曲线的渐近线方程是y=±3x，则其离心率是（）A.或B.C.D.或19.设F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，c =，若直线x =上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）A.（0，]B.（0，]C.[，1）D.[，1）20.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（）高中数学试卷第2页，共3页高二数学补充材料（圆锥曲线2），共3页A. B. C. D.21.已知F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A.（1，2）B.（2，1+）C.（，1） D.（1+，+∞） 22.设F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D.23.已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D.24.在R t △ABC 中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点F 在AB 上，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C.D. 25.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C.2 D.26.已知点F 是双曲线的右焦点，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.（1，2）B.（1，3）C.（1，1+）D.（2，1+）27.如图，已知双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为是双曲线的右焦点，且满足 AF⊥BF，设∠ABF=α，α∈[，]，则该双曲线离心率e的取值范围为 ______ ．28.已知直线y =kx （＜k ＜）与双曲线-=1（a ＞0，b ＞0） 交于不同的两点P ，Q ，若点P ，Q 在x 轴上的射影恰好为该双曲线的两个焦点，则该双曲线离心率e 的取值范围为 ______ ．29.双曲线C ：的右焦点为F ，其右支上总有点P ，使得|OM|=|PF|（M 为PF 的中点，O 为坐标原点），则C 的离心率的取值范围是 ______ ．30.已知A （1，2），B （-1，2），动点P 满足，若双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．。
高中压轴选择题离心率专项
高中数学压轴选择题离心率专项一．选择题（共50小题）1．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ） A ．[12，1） B ．（22，1） C ．[12，63） D ．（0，22）2．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．63C ．34D ．233．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，a2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（15，22） B ．（14，22） C ．（13，22） D ．（25，22）4．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，点A （c ，b ），右焦点F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得OM →⋅OA →=OF →⋅OA →，且OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．33D ．235．已知点A 为椭圆E ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左顶点，B ，C 两点在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．2 23B ．22 C ．12D ．246．已知椭圆x 2a 2+y2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．5−12B ． 3−12C ． 53D ．327．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2+e 2b（其中e为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） A ． 6 B ．3 64C ． 5D ．3 548．已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ） A ．75B ．43C ．2D ．1039．己知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．310．设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+u OB →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33B ．3 55C ．3 22D ．9811．设A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P ，Q是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，则2b a +a b +12|mn |+ln |m |+ln |n |取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ．6212．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2+y 2=b 2，若椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且满足∠APB =π3，则椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．33B ．24C ．32D ．3413．设双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG ∥F 1F 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ． 514．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px 上，设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．1+ 2D ．2+ 315．已知E ，F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px （p＞0）与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，若5|AF |=4|BE |，则双曲线的离心率为（ ）A ．4+ 7B ．4− 3C ．4+ 3D ．4− 716．设A 为椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ．若∠ABF ∈[π4，5π12]，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0， 22] B ．[ 22，1) C ．[0， 63] D ．[ 22， 63]17．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ） A ．32B ． 3−12C ．3+ 52D ．3− 5218．已知双曲线x 2a −y 2b =1，（a ，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，若S △ABC =3S△BCF 2，则双曲线的离心率为（）A ． 2B ． 3C ．2D ． 519．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a+ab +12mn+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．33B ． 23C ．12D ．2220．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足∠APB=60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤32B ．12≤e ＜1 C ．32＜e ＜1 D ．32≤e ＜121．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是（ ） A ．22，62B ．12，52C ．33， 6D ．24， 322．如图所示，A ，B ，C 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且|BF |=|CF |，则该双曲线的离心率是（ ）A ．102B ． 10C ．32D ．323．过双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（b ＞0，a ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →=12（OF →+OP →），则双曲线的离心率为（ ）A ．102B ．105C ． 10D ． 224．已知点P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左支上除顶点外的一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，双曲线离心率为e ，则tana2tanβ2=（ ） A ．e−1e +1B ．e +1e−1C ．e 2+1e 2−1D ．e 2−1e 2+125．设F 是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点，且向量BF →与FA →同向．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为（ ） A ．52B ．62C ．72D ．226．已知点P 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，使(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0（O 为坐标原点），且|PF 1→|= 3|PF 2→|，则双曲线离心率为（ ） A ．6+12B ． 6+1C ．3+12D ． 3+127．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若PQ →=2F 1O →，F 1Q →=λ(F 1P →|F 1P →|+F 1O →|F 1O →|)(λ＞0)则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．32C ．5−12D ．5+1428．设双曲线的﹣个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．3+12D ．5+1229．已知双曲线E 的离心率为e ，左、右两焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 以F 2为顶点，F 1为焦点，点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a |PF 2|+c |PF 1|=8a 2，则e 的值为（ ）A ． 3B ．3C ． 2D ． 630．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，直线l 的方程为bx +ay﹣ab=0，若原点O 到直线l 的距离为 34c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33或2 B ．2 33C ． 2或2 33D ．231．如果以原点为圆心的圆经过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的顶点，并且被直线x =a 2c （c 为双曲线的半焦距）分为弧长为3：1的两段弧，则该双曲线的离心等于…（ ） A ．2B ． 3C ． 2D ．6232．过双曲线M ：x 2﹣y 2b 2=1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |=|BC |，则双曲线M 的离心率是（ ） A ． 10 B ． 5 C ．103D ．5233．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．4 33B ．2 33C ．3D ．234．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，则C 的离心率为（ ） A ．63B ． 33C ． 23D ．1335．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3436．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若|AB |=10，|AF |=6，cos∠ABF =45，则C 的离心率为（ ）575737．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2 33，2]B ．[2 33，2)C ．(2 33，+∞)D ．[2 33，+∞)38．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点为在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， 2）B ．（1， 2）C ．（22，1） D ．（ 2，+∞）39．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，则曲线r 的离心率等于（ ） A ．12或32B ．23或2C ．12或2 D ．23或3240．椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（0， 22] B ．（0，12] C ．[ 2−1，1） D ．[12，1） 41．曲线x 210−m+y 26−m=1(m ＜6)与曲线x 25−m+y 29−m=1(5＜m ＜9)的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．准线相同42．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为 3的直线交C 于A 、B 两点，若AF →=4FB →，则C 的离心率为（ ）558543．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．（1，3） B ．（1，3] C ．（3，+∞） D ．[3，+∞]44．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．1+ 22B ．1+ 32C ．1+ 2D ．1+ 345．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1， 2]B ．[ 2，+∞)C ．(1， 2+1]D ．[ 2+1，+∞)46．从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A ．24B ．12C ．22D ．3247．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，2]B ．（1，2）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）48．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为 3c （c 为半焦距）的点，且|F 1F 2|=|F 2P |，则椭圆的离心率是（ ） A ．3−12B ．12C ． 5−12D ．2249．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A ．52B ． 102C ．152D ． 550．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=4ab，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2 D．3高中压轴选择题离心率专项参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ） A ．[12，1） B ．（22，1） C ．[12， 63） D ．（0，22）【分析】可设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），由于∠OPA=90°，可得点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：(x −a 2)2+y 2=(a2)2，化为x 2﹣ax +y 2=0．与椭圆的方程联立可得：（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，得到x =ab2c2，由于0＜x ＜a ，可得0＜ab2c2＜a ，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）． 设P （x ，y ），∵∠OPA=90°，∴点P 在以OA 为直径的圆上． 该圆为：(x −a2)2+y 2=(a2)2，化为x 2﹣ax +y 2=0．联立 x 2−ax +y 2=0x 2a 2+y 2b2=1化为（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，解得x =ab22，∵0＜x ＜a ，∴0＜ab2c2＜a ，化为c 2＞b 2=a 2﹣c 2， ∴e 2＞12，又1＞e ＞0． 解得22＜e ＜1．∴该椭圆的离心率e 的范围是( 22，1)． 故选：B ．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．2．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．63C ．34D ．23【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x +c ，与椭圆方程联立化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x +a 2c 2﹣a 2b 2=0，根据向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，及其根与系数的关系即可得出． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x +c ，联立 y =x +cx 2a 2+y 2b2=1，化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x +a 2c 2﹣a 2b 2=0，∴x 1+x 2=−2ca 2a 2+b 2，y 1+y 2=x 1+x 2+2c=2c b 2a 2+b 2，∴向量OA →+OB →=（−2ca 2a 2+b 2，2cb 2a 2+b 2），∵向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线， ∴﹣−2c a 2a 2+b 2﹣3×2cb 2a 2+b 2=0，∴a 2=3b 2，∴e =c a = 1−b 2a 2= 63．故选：B ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，a2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（15，22） B ．（14，22） C ．（13，22） D ．（25，22）【分析】点Q （c ，a2）在椭圆的内部，b 2a＞a2，|PF 1|+|PQ |=2a ﹣|PF 2|+|PQ |，由﹣|QF 2|+|PQ |≤|PQ |﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=a 2，要|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ |≤2a +a2＜5×2c ．【解答】解：∵点Q （c ，a2）在椭圆的内部，∴b 2a＞a2，⇒2b 2＞a 2⇒a 2＞2c 2．ca ＜ 22|PF 1|+|PQ |=2a ﹣|PF 2|+|PQ |又因为﹣|QF 2|+|PQ |≤|PQ |﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=a2，要|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ |≤2a +a2＜5×2c5a 2＜10c ，c a＞14，则椭圆离心率的取值范围是（14，22）．故选：B【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．4．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，点A （c ，b ），右焦点F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得OM →⋅OA →=OF →⋅OA →，且OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．33D ．23【分析】设M （x ，y ），由OM →⋅OA →=OF →⋅OA →⇒cx +by=c 2，…①，由OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，cy ﹣bx=bc…② 由①②得x=a 2c−2b 2ca ，y=2b c 2a ，…③把③代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3，⇒（c ﹣b ）（b 2+bc +2c 2）=0⇒b=c ．【解答】解：设M （x ，y ），∵OM →⋅OA →=OF →⋅OA →∴OA →⋅(OM →−OF )→=0，⇒OA →⋅FM →=0⇒即OA ⊥MF ⇒cx +by=c 2，…①.OM →+OF →=(x +c ，y )，因为OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，OM →+OF →与OA →共线，cy ﹣bx=bc…② 由①②得x=a 2c−2b 2c a 2，y=2b c 2a 2，…③把③代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3， ⇒（c ﹣b ）（b 2+bc +2c 2）=0⇒b=c ⇒a= 2c ，椭圆的离心率e=c a=22．故选：A【点评】本题考查了向量与圆锥曲线的综合应用，及向量的线性运算、转化思想，属于难题．5．已知点A 为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点，B ，C 两点在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．2 23B ．22C ．12D ．24【分析】如图所示，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°，直线OC 的方程为：y=33x ，联立 y =33xx 2a 2+y 2b 2=1，解得：x C ．同理联立 y =33(x +a )x 2a 2+y 2b 2=1，解得x B ．根据|OA |=|CB |=a ，即x C ﹣x B =a 化简即可得出．【解答】解：如图所示，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°， ∴直线OC 的方程为：y=33x ，联立 y =33xx 2a 2+y 2b2=1，解得：x C =3ab a 2+3b 2．同理联立 y =33(x +a )x 2a 2+y 2b 2=1，化为：（a 2+3b 2）x 2+2a 3x +a 4﹣3a 2b 2=0．解得x B =a −2a 3a 2+3b 2=3ab 2−a 3a 2+3b2．∵|OA |=|CB |=a ， ∴3aba 2+3b 2﹣3ab 2−a 3a 2+3b 2=a ．化为：a=3b ．∴椭圆的离心率e=ca = 1−b 2a 2=2 23．故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．5−12B ． 3−12C ． 53D ．32【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→•PF 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：依题意，作图如下∵A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：x−a+y b=1，整理得：bx ﹣ay +ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ， ∴x=ab y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2 =（ab ）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（ab）2+y 2﹣c 2，则f ′（y ）=2（a by ﹣a ）×ab +2y ，∴由f ′（y ）=0得：y=a 2ba 2+b 2，于是x=﹣a b 2a 2+b 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣a b 2a +b ）2+（a 2ba +b ）2﹣c 2=0，整理得：a 2b 2a 2+b 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=c 2a2，∴e 4﹣3e 2+1=0， ∴e 2=3± 52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3− 52=（5−12）2，∴椭圆的离心率为e= 5−12．故选A ．【点评】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2+e 2b（其中e为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） A ． 6 B ．3 64C ． 5D ．3 54【分析】如图所示，由切线的性质可得：OQ ⊥PF 2．又点O 为线段F 1F 2的中点，利用三角形中位线定理可得：OQ ∥PF 1，PF 1⊥PF 2．再利用椭圆的定义、勾股定理可得（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c ）2，化为：b=2a 3．c 2=a 2﹣b 2=59a 2．代入a 2+e 2b，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，由切线的性质可得：OQ ⊥PF 2． 又点O 为线段F 1F 2的中点，Q 为线段PF 2的中点， ∴OQ ∥PF 1，∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|=2|OQ |=2b ，|PF 2|=2a ﹣2b ．在Rt △PF 1F 2中，（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c ）2， 化为：b 2+（a ﹣b ）2=c 2=a 2﹣b 2， 化为：b=2a 3．∴c 2=a 2﹣b 2=a 2−(2a 3)2=59a 2．∴a 2+e 2b =a 2+c 2a 2b =a 4+59a 2a 2×2a =9a 2+56a ≥2 9a 2⋅56a = 5，当且仅当a 2=59时取等号．∴a 2+e 2b（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为 5．故选：C ．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程与几何性质、三角形中位线定理、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ） A ．75B ．43C ．2D ．103【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l ，设P 到l 的距离为d ，根据双曲线的第二定义即可求出Q 到l 的距离为32d ．过Q 作l 的垂线QQ 1，而过P 作QQ 1的垂线PM ，交x 轴于N ，在△PMQ 中有c−a 2c−d12d =25，这样即可求得d=5c −5a 2c6，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF 2|=2c ﹣2a ，所以根据双曲线的第二定义即可得到2c−2a 5c−5a 2c6=ca ，进一步可整理成5(c a )2−12(ca )+7=0，这样解关于c a 的方程即可．【解答】解：如图，l 为该双曲线的右准线，设P 到右准线的距离为d ； 过P 作PP 1⊥l ，QQ 1⊥l ，分别交l 于P 1，Q 1；∵|PF 2||PP 1|=|QF 2||QQ 1|，3|PF 2|=2|QF 2|；∴d |QQ 1|=23，|QQ 1|=32d ；过P 作PM ⊥QQ 1，垂直为M ，交x 轴于N ，则：|NF 2||MQ |=c−a 2c −d12d =25；∴解得d=5c−5a 2c6；∵根据双曲线的定义，|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2c ﹣2a ； ∴根据双曲线的第二定义，2c−2a5c−5a 2c 6=c a；整理成：5(c a )2−12(c a)+7=0； ∴解得c a=75，或c a=1（舍去）；即该双曲线的离心率为75． 故选A ．【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．9．己知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．3【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A ，B 的坐标，结合点B 在渐近线y=﹣bax 上，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l 1，y=b ax ，l 2，y=﹣bax ，F （c ，0），圆的方程为（x ﹣c2）2+y 2=c 24，将y=b ax 代入（x ﹣c2）2+y 2=c 24，得（x ﹣c2）2+（bax ）2=c 24，即c 2a 2x 2=cx ，则x=0或x=a 2c ，当x=a 2c 时，y ═b a •a 2c =abc ，即A （a 2c ，abc ）， 设B （m ，n ），则n=﹣ba •m ， 则AB →=（m ﹣a 2c，n ﹣ab c），FA →=（a 2c﹣c ，ab c），∵AB →=2FA →， ∴（m ﹣a 2c，n ﹣ab c）=2（a 2c﹣c ，ab c）则m ﹣a 2c=2（a 2c﹣c ），n ﹣ab c=2•abc，即m=3a 2c﹣2c ，n=3ab c，即3abc =﹣ba •（3a 2c﹣2c ）=﹣3ab c+2bc a，即6ab c =2bc a，则c 2=3a 2， 则ca= 3，故选：B ．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为a ，c 的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．10．设双曲线x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+u OB →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33 B ．3 55C ．3 22D ．98【分析】由方程可得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=b c，解之可得λμ的值，由λ2+u 2=58，可得a ，c 的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±bax ，设焦点F （c ，0）， 则当x=c 时，y ═±ba •c=±bca，即A （c ，bc a），B （c ，﹣bc a），P （c ，b 2a），因为OP →=λOA →+μOB →， 所以（c ，b 2a）=（（λ+μ）c ，（λ﹣μ）bc a），所以λ+μ=1，λ﹣μ=b c， 解得：λ=c +b 2c，μ=c−b 2c，∵λ2+u 2=58， ∴（c +b 2c）2+（c −b 2c）2=58，即2c 2+2b 24c 2=58，即c 2=4b 2． 则c 2=4（c 2﹣a 2）， 则3c 2=4a 2．3c=2a ，则e=3=2 33，故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决本题的关键．11．设A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P ，Q是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，则2b a +a b +12|mn |+ln |m |+ln |n |取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ．62【分析】设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02a 2﹣1）．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式得到：mn=﹣b 2a ，则2b a +ab +12|mn |+ln |m |+ln |n |=2b a +a b +a 22b 2+ln b 2a 2=f （ab ），令ab =t ＞0，则f （t ）=2t +t +12t2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出． 【解答】解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02a﹣1），即有y 02x 02−a 2=b 2a 2，由双曲线的方程可得A （﹣a ，0），B （a ，0）， 则m=y 0x 0+a ，n=y 0a−x 0，∴mn=y 02a 2−x 02=﹣b 2a2，∴2b a +ab +12|mn |+ln |m |+ln |n |=2b a +a b +a 22b 2+ln b 2a2 =f （a b ），令a b=t ＞0，则 f （t ）=2t+t +12t 2﹣2lnt ． f ′（t ）=﹣2t 2+1+t ﹣2t=(t +1)(t 2−2)t 2，可知：当t= 2时，函数f （t ）取得最小值 f （ 2）=2 2+ 2+12×2﹣2ln 2=2 2+1﹣ln2．∴a b= 2．∴e=c a= 1+(b a )2= 1+12= 62．故选：D ．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2+y 2=b 2，若椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且满足∠APB =π3，则椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．33B ．24C ．32D ．34【分析】连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，可得∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP 中，∠AOP=60°，cos ∠AOP=b |OP |=12，可得b ＜|OP |≤a ，可得椭圆C 的离心率的取值范围．【解答】解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆， ∵∠APB=60°， ∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP 中，∠AOP=60°， ∴cos ∠AOP=b |OP |=12，∴|OP |=2b ， ∴b ＜|OP |≤a ， ∴2b ≤a ， ∴4b 2≤a 2，由a 2=b 2+c 2，即4（a 2﹣c 2）≤a 2， ∴3a 2≤4c 2， 即e ≥ 32，又0＜e ＜1，∴32≤e ＜1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是 32≤e ＜1．∴椭圆最圆的时离心率e= 32．故选：C ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、四点共圆的性质、直角三角形的边角关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13．设双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG ∥F 1F 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ． 5【分析】设P （s ，t ）（s ，t ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a ，再结合双曲线的定义和等积法，求得|PF 2|=2c﹣a ，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得s=2a ，将P 的坐标代入双曲线的方程，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：设P （s ，t ）（s ，t ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 可得重心G （s−c +c 3，t3）即（s3，t3），设△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点N ，与边PF 1的切点为K ， 与边PF 2上的切点为Q ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与N 的横坐标相同． 由双曲线的定义，|PF 1|﹣|PF 2|=2a ．①由圆的切线性质|PF 1|﹣PF 2|=|F I K |﹣|F 2Q |=|F 1N |﹣|F 2N |=2a ， ∵|F 1N |+|F 2N |=|F 1F 2|=2c ，∴|F 2N |=c ﹣a ，|ON |=a ， 即有M （a ，a ）， 由MG ∥F 1F 2，则△PF 1F 2的重心为G （s3，a ），即t=3a ，由△PF 1F 2的面积为12•2c•3a=12a （|PF 1|+|PF 2|+2c ），可得|PF 1|+|PF 2|=4c ② 由①②可得|PF 2|=2c ﹣a ， 由右准线方程x=a 2c，双曲线的第二定义可得e=c a =|PF 2|s−a 2，解得s=2a ，即有P （2a ，3a ），代入双曲线的方程可得4a 2a 2﹣9a 2b2=1，可得b= 3a ，c= a 2+b 2=2a ，即e=c a=2． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和准线方程，运用定义法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．14．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px 上，设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．1+ 2D ．2+ 3【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF 1F 2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可． 【解答】解∵设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2， ∴抛物线的准线方程为x=﹣c ，若△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形， 由于点M 也在抛物线上， ∴过M 作MA 垂直准线x=﹣c 则MA=MF 2=F 1F 2，则四边形AMF 2F 1为正方形， 则△MF 1F 2为等腰直角三角形， 则MF 2=F 1F 2=2c ，MF 1= 2MF 2=2 2c ， ∵MF 1﹣MF 2=2a ， ∴2 2c ﹣2c=2a ， 则（ 2﹣1）c=a ， 则离心率e=ca =1 2−1=1+ 2，故选：C【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF 1F 2为等腰直角三角形是解决本题的关键．考查学生的转化和推理能力．15．已知E ，F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px （p＞0）与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，若5|AF |=4|BE |，则双曲线的离心率为（ ）A ．4+ 7B ．4− 3C ．4+ 3D ．4− 7【分析】根据双曲线的定义求出|BE |=10a ，|BF |=8a ，结合抛物线的定义求出交点B 的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可． 【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF |=|AF |=45|BE |，∵|BE |﹣|BF |=2a ， ∴|BE |﹣45|BE |=|BE |=2a ，则|BE |=10a ，|BF |=8a ，∵抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线有公共的焦点F ， ∴p2=c ，且x=﹣c 是抛物线的准线，则|BD |=|BF |=8a ，设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），在直角三角形BDE中，BE2=DE2+BD2，即100a2=64a2+4c（8a﹣c），即36a2﹣32ac+4c2=0，即c2﹣8ac+9a2=0，解e2﹣8e+9=0，得e=8±64−362=4±7，∵0＜a＜b，∴e=ca=1+b2a2＞2，∴e=4+7，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．16．设A为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若∠ABF∈[π4，5π12]，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．(0，22] B．[22，1) C．[0，63] D．[22，63]【分析】设左焦点为：N．连接AF，AN，AF，BF，可得：四边形AFNB为矩形．根据椭圆的定义：|AF |+|AN |=2a ．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e=1sinα+cosα=12sin (α+π4)，根据α的取值范围即可得出．【解答】解：设左焦点为：N ．连接AF ，AN ，AF ，BF ，可得：四边形AFNB 为矩形．根据椭圆的定义：|AF |+|AN |=2a ． ∠ABF=α，则：∠ANF=α． ∴2a=2ccosα+2csinα ∴e=2c2a =1sinα+cosα=2sin (α+π4)，α=∠ABF ∈[π4，5π12]，∴(α+π4)∈[π2，2π3]， ∴sin (α+π4)∈[ 32，1]． ∴e ∈[ 22， 63]． 故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ） A ．32B ． 3−12C ．3+ 52D ．3− 52【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→•PF 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：椭圆x 2a 2+y 2b2=1整理得：bx ﹣ay +ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ， ∴x=ab y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2 =（ab ）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（ab）2+y 2﹣c 2，则f ′（y ）=2（a by ﹣a ）×a b+2y ，∴由f ′（y ）=0得：y=a 2b a 2+b ，于是x=﹣a b 2a 2+b 2，∴PF 1→=（﹣ab 2a 2+b 2）2+（a 2ba 2+b ）2﹣c 2=0，整理得：a 2b 2a 2+b 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=c 2a2， ∴e 4﹣3e 2+1=0， ∴e 2=3± 52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3− 52．椭圆的离心率的平方3− 52，故选D ．【点评】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．18．已知双曲线x 2a −y 2b =1，（a ，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，若S △ABC =3S△BCF 2，则双曲线的离心率为（）A ． 2B ． 3C ．2D ． 5【分析】如图所示，S △ABC =3S △BCF 2，|AC |=3|F 2C |，求得A （﹣c ，b 2a），求得直线AF 2的方程，代入双曲线方程，运用韦达定理解得x C ．根据AF 2→=4CF 2→，由向量的坐标运算，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得出所求值． 【解答】解：如图所示： ∵S △ABC =3S△BCF 2，∴|AC |=3|F 2C |．由x=﹣c ，代入双曲线的方程，可得y=±b 2a，取A （﹣c ，b 2a ），直线AF 2的方程为：y ﹣0=b 2a−0−c−c（x ﹣c ），化为：y=﹣b 22ac（x ﹣c ），代入双曲线x 2a 2−y 2b2=1，（a ，b ＞0），可得：（4c 2﹣b 2）x 2+2cb 2x ﹣b 2c 2﹣4a 2c 2=0， ∴x C ×（﹣c ）=﹣b 2c 2+4a 2c 24c 2−b 2，解得x C =b 2c +4a 2c 4c 2−b 2．∵AF 2→=4CF 2→， ∴c ﹣（﹣c ）=4（c ﹣b 2c +4a 2c 4c 2−b 2），化为：5a 2=c 2， 解得e=ca = 5．故选：D ．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a+ab +12mn+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．33B ． 23C ．12D ．22【分析】设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2(a 2−x 02)a 2．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式肯定：mn=b 2a 2，2b a +ab +12mn +ln |m |+ln |n |=2ba+a b +a 22b 2+ln b 2a 2=f (ab )，令a b =t ＞1，则f （t ）=2t +t +12t 2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2(a 2−x 02)a 2．A （﹣a ，0），B （a ，0）， 则m=y 0a +x 0，n=y 0a−x 0，∴mn=y 02a 2−x 02=b 2a2，∴2ba +ab +12mn +ln |m |+ln |n |=2ba +ab +a 22b2+ln b 2a 2=f (ab )，令a b=t ＞1，则f （t ）=2t+t +12t 2﹣2lnt ．f ′（t ）=−2t2+1+t ﹣2t =(t +1)(t 2−2)t 2，可知：当t= 2时，函数f （t ）取得最小值f ( 2)=2 2+ 2+12×( 2)2﹣2ln 2=2 2+1﹣ln2． ∴ab= 2．∴e = 1−(b a)2=22．故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足∠APB=60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤32B ．12≤e ＜1 C ．32＜e ＜1 D ．32≤e ＜1【分析】由题意可知：由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，由图可知：O 、P 、A 、B 四点共圆，∠APB=60°，则∠APO=∠BPO=30°，cos ∠AOP=b丨OP 丨=12，|OP|=2b，因此b＜|OP|≤a，即2b≤a，由a2=b2+c2，可得3a2≤4c2，e≥3 2，又0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率e的取值范围．【解答】解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，∴cos∠AOP=b丨OP丨=1 2，∴|OP|=b12=2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2=b2+c2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即c2a2≥3 4，∴e≥32，又0＜e＜1，∴32≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是32≤e＜1．故选D．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．21．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是（ ） A ．22，62B ．12，52C ．33， 6D ．24， 3【分析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），c= a 2−b 2，x 2a 12−y 2b12=1，c= a 12+b 12．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ．利用定义可得：m +n=2a ，m ﹣n=2a 1，解得m ，n ．利用余弦定理可得：cos π3=m 2+n 2−(2c )22mn =12，化简整理可得：1e 12+3e22=4，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），c= a 2−b 2，x 2a 12−y 2b12=1，c= a 12+b 12． 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ． 则m +n=2a ，m ﹣n=2a 1， ∴m=a +a 1，n=a ﹣a 1．cos π3=m 2+n 2−(2c )22mn =12，。
圆锥曲线离心率专题 历年真题
圆锥曲线离心率专题历年真题1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？答案：D.(2,+∞)改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。
过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。
答案为D.(2,+∞)。
2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？答案：$\frac{10}{3}$改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。
作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。
答案为$\frac{10}{3}$。
3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率答案：无法确定改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？答案无法确定。
4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为？答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。
答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。
离心率题型专练
1．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） A.31+ B.312+ C.512+ D.51- 【答案】A.【解析】试题分析：由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=，又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=，2160PF F ∠=， ∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==+. .考点：双曲线的性质.2．已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（ ） A.332 B.315 C.2 D.210【答案】A 【解析】试题分析：因为直线AB 过原点，且在双曲线上，所以,A B 两点关于原点对称，则可设111122,,,,,A x y Bx y P x y ，所以2121PAy y k x x ，2121PB y y k x x ，由题意得222121212221212113PA PBy y y y y y k k x x x x x x ，又由2211221x y a b ，2222221x y a b ，相减得2222212122x x y y a b ，即222212222113y y b a x x ，2213b a ，所以2222242333a c ab eaa a .故正确答案为A. 考点：1.直线与双曲线；2.双曲线的离心率.3．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是A ．21 B ． 22 C ．23 D ．41【答案】A【解析】试题分析：如下图所示设21F PF ∆的内切圆半径为r ，根据内心的性质，有111||2IPF S PF r ∆=⋅，221||2IPF S PF r ∆=⋅，12121||2PF F S F F r ∆=⋅． 12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，即1212111||||2||222PF r PF r F F r ⋅+⋅=⨯⋅1211||||2||PF PF F F ∴+=故椭圆的离心率1212||212||||2F F c c e a a PF PF ====+，所以正确选项为A ． 考点：①三角形内切圆的性质；②椭圆的定义和性质．4．已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b -=的离心率，则12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定【答案】B 【解析】试题分析：由题意，,0>>b a ab a e a b a e 222221,+=-=，1)(1421<-=a b e e12lg lg e e +)lg(21e e =01lg =<，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.5．过椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）． A.25 B.33 C.21 D.31【答案】B 【解析】试题分析：由题意得点P 的坐标为),(),(22ab c a b c ---或，因为02160=∠PF F所以322=ab c ，即)(332222c a b ac -==，所以03232=-+e e 解得333-==e e 或（舍去），答案为B 考点：椭圆的简单性质6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A.0,2⎛⎝⎭ B.⎛ ⎝⎭C.[,1)2D.[2 【答案】A【解析】试题分析：如图所示，若椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，由于自椭圆长轴端点（顶点）所做圆的切线形成的角最小，所以045APO ∠>,0sin sin 45APO ∠>，即2b a >，所以22212b e a =-<，选A .考点：1.椭圆的几何意义；2.直线与圆的位置关系.7．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 【答案】A 【解析】 试题分析：：∵B 和A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为F ′根据椭圆定义：a F A AF 2||||='+又∵=||AF ||BF ∴+||AF ||BF a 2= ①o 是ABF Rt ∆的斜边中点，∴c AB 2||=又αsin 2||c AF = ②αcos 2||a BF = ③②③代入①αsin 2c +αcos 2a a 2= ∴)4sin(21cos sin 1πααα+=+=a c即)4sin(21πα+=e⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα∴125π24ππα≤+≤,1)4sin(426≤+≤+πα 所以1322-≤≤e . 考点：椭圆的性质．8F ，过F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A 、210B 、5C 、2D 、5 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线的右焦点为F ',||,||,||b EF a OE c OF =∴== 因为E 为PF 的中点， ∴a F P b PF 2||,2||='=， ∵a F P PF 2||||='- ∴a b 2=，所以，5122=+=ab e .考点：双曲线的性质和应用.9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ）A B D 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得：A 点坐标为（a ，0），直线AB 的方程为0=-+a y x ，双曲线的渐进线的方程为x a by ±=，联立方程可的B 、C 两点的坐标分别为),(2b a ab b a a ++，),(2ba abb a a ---，由12AB BC =得ab 2=，所以离心率5)2(222222=+=+==aa a ab a ac e ，答案选 C. 考点：10．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 【答案】A【解析】试题分析：由题意得双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的一条渐近线方程是x aby =，则H F 2方程为)(0c x b a y --=-代入渐近线方程x aby =可得),(2c ab c a ，故H F 2的中点)2,2(2c ab c a c M +中点在双曲线上，所以,144)(2222222=-+cb b a ac a c 所以222=a c ，所以2=ac，所以双曲线C 的离心率2. 考点：双曲线的标准方程及简单性质的应用.11．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：结合图形，得出a 、b 之间的关系，再根据a 2=b 2+c 2推导出a 、c 之间的关系，根据e=求解即可．解：∵从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，∴tan60°==，∴a 2=3b 2=3（a 2﹣c 2）⇒2a 2=3c 2⇒=，∴e==．故选D点评：本题考查椭圆的离心率．12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．解：由题意可知，|F1F2|=2c，∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．13．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x ym+=的离心率为（）A．22B3 C．223．226【答案】C【解析】试题分析：由2，m，8构成一个等比数列，可得m＝4或m＝－4当m＝4时，2212x ym+=表示椭圆，其中a＝2，b2，故c2离心率为e＝22 ca=当m ＝－4时，2212x y m +=表示双曲线，其中a，b ＝2，故c离心率为e＝ca=考点：等比数列，椭圆与双曲线的离心率14．从一块短轴长为b 2的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[]224,3b b ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35C.⎥⎦⎤ ⎝⎛35,0D.⎥⎦⎤⎝⎛23,0【答案】B【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为2222x y a b+=1，在第一象限内取点（x ，y ），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜2π）， 则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab ，由已知得：3b 2≤2ab≤4b 2，3b≤2a≤4b ，平方得：9b 2≤4a 2≤16b 2， 即，9（a 2-c 2）≤4a 2≤16（a 2-c 2），整理得5a 2≤9c 2且12 a 2 ≥16 c 2，∴32c a ≤≤，即e ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35，故选B. 考点：椭圆的基本性质，离心率.15．已知二次曲线224x y m+=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A．22 B．[22 C．,22 D．22【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且m b a -==22,4，所以m c -=42，因为[]1,2--∈m ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==26,2524m a c e ，所以选C ． 考点：双曲线性质的应用．16．已知双曲线方程224312x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A.73B.3【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程224312x y -=，即22134x y -=，则2a b ==，c ==3c e a ===.故正确答案为B. 考点：双曲线方程、离心率.17．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y =，则双曲线的离心率是( )B.322 【答案】D【解析】试题分析：由题意b a =，∴22)14(be a=+= ，∴2e =，故选：D ． 考点：双曲线的简单性质．18．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．16 B ．13C．6 D．3【答案】D【解析】试题分析：∵线段1PF 的中点在y 轴上设P 的横坐标为x ，()0,1c F -，∴c x x c =⇒=+-0； ∴P 与2F 的横坐标相等，∴x PF ⊥2轴，考点：椭圆的性质.19．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．45 B ．2 C ．2 D ．35【答案】D【解析】试题分析：由已知得，在12PF F ∆中，212PF F F ==2c ，由双曲线定义得，122PF a c =+，过点2F 作21F M PF ⊥，垂足为M ，则在2Rt PF M ∆中有222()(2)(2)a c a c ++=，化简得2252ac 3c 0a +-=，23e 2e 50--=，得5e 3=．考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质．20．已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当12PF F 的面积等于2a 时，双曲线的离心率为 （ ） A ．2 B ．3 C ．26D ．2 【答案】A【解析】试题分析：设c F F x PF x PF 2,,212211===，由于三角形21F PF 为直角三角形，()22222142c c x x ==+∴由双曲线的定义得a x x 221=-，两边平方得222212142a x x x x =+-，得()22212a c x x -=，由三角形的面积得22121a x x =，得2212a x x =，222a a c =-∴，即222a c =，离心率222===a c a c e ，故答案为A ．考点：双曲线的性质．21．．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点A 作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M ,N 两点，F 为该双曲线的右焦点，若△FMN 的内切圆恰好是222x y a +=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0=±ay bx ，直线ax -=与渐近线的交点()()b a N b a M ---,,,，由于()0,c F ，()22b c a FN ++=，根据FON ∆面积公式得()bc a b c a ⋅=⋅++⋅212122，()bb c a ac e 22++==∴，1222222222-+=-+=∴e ee a c ac c e 化简得0233=--e e ，解得2=e 考点：双曲线的离心率．22．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）B.1223【答案】C【解析】试题分析：直线220x y -+=与两坐标轴的交点为()()0120，，， ，而椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点一定在x轴上，所以，1,2b c a ==⇒===，所以5c e a ===故选C.考点：椭圆的标准方程与简单几何性质.23．已知2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为1k ，2k （1k 2k ≠0），若｜1k ｜＋｜2k ｜的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．3试题分析：设()ααsin ,cos b a P ()()aa b k a a b k a N a M +=-=∴-ααααcos sin ,cos sin 0,,0,21则 =+∴21k k ()()()()aba b a b b a a b a a b 2sin 2cos 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos sin cos sin ≥=+--++=++-ααααααααααα，由题意可得：12=ab所以23=e . 考点：椭圆的性质. 24．双曲线12222=-b x a y 与抛物线y x 82=有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实 轴的弦长为332，则双曲线的离心率等于 （ ） A.2 B.332 C.223 D.3 【答案】B【解析】试题分析：在双曲线12222=-bx a y 中，令22b a y +=，得到a b x 2=，所以双曲线上过点f 且垂直轴的弦长为2a b 2∴2ab 2=332又因为抛物线y x 82=的焦点为(0,2) 所以a²+b²=4两式联立，得到3a =，得b=1，所以离心率e=332，故选B. 考点：圆锥曲线性质.25．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A C试题分析：设)0,(),0,(21c F c F -，易求M 坐标为),(2a b c M ，在三角形21F MF 中，3330tan tan 212021===∠F F MF F MF 即3322222=-=ac a c ac b ，由a c e =得3=e ，答案选B.考点：双曲线的性质26．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．),23(+∞B ．)23,1( C ．),2(+∞ D ．)2,1( 【答案】C 【解析】将222a c b -=，并化简整理，得0222<-+c ac a ，两边都除以2a ，整理得022>--e e ，解之得2>e （舍负）故选：C . 考点：双曲线的简单性质 .27．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为02=±y x 的双曲线有相同的焦点21,F F ,P 为它们的一个公共点,且 9021=∠PF F ,则椭圆的离心率为（ )（A ）6（B)6 （C ）6 （D)6【答案】C【解析】试题分析：解：设F 1F 2=2c ，在双曲线中，=，a 2+b 2=c 2，得a 2=．不妨设p 在第一象限，则由椭圆的定义得PF 1+PF 2=，由双曲线的定义得PF 1-PF 2=2a=又∠F1PF2=90°∴PF 12+PF 22=4c 2∴48+=8c 2，解c=，∴e===．故选C考点：椭圆及其性质．28．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为 （A ）324 （B ）233 （C ）305 （D ）52【答案】B 【解析】试题分析：双曲线22221(x y a b a b -=>>的渐近线方程为x aby ±=，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴2222212b a abab a bk OA-=-=，∴直线l 的方程为)(222c x b a aby --=，与x a b y ±=联立，可得2232b a abc y --=或222ba abcy +=， ∵FB AF 2=， ∴)32(222222b a abc b a abc -⋅=+，∴c=2b ，考点：双曲线的简单性质.29．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且||5PF =，则双曲线的离心率为A ．2 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()()0,2,0,21F F -，且两曲线的一个公共点为P 在y 轴右侧，因为||5PF =，因此可设点()62,3P ,所以71=PF ,所以221=-=PF PF a ， 所以双曲线的离心率为2==ace ． 考点：双曲线、抛物线的定义及性质．30．对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点则，双曲线的离心率等于A ．2B ．2C ．3D ．10 【答案】D【解析】试题分析：由条件可得：双曲线的渐近线方程为x aby ±=，又因为直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，所以直线03=+-m y x 与渐近线方程x aby ±=平行，所以3=a b ，所以双曲线的离心率1010===a a a c e ． 考点：双曲线的性质．31．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于A ．13 B ．12C ．22D ．32【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的方程为：()012222>>=+b a by a x ，则由题意可得c b =，所以椭圆的离心率22==a c e ． 考点：椭圆的离心率．32．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,∵ 过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ , 2222,,2c a b c a b b e a ∴=∴=-=∴== .故选A. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 33．设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：将双曲线的渐进线方程x aby =代如抛物线方程y=x 2+1中化简得02=+-b ax bx ，由只有一公共点可知0422=-=∆b a 即224b a =，所以，答案选D.考点：1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系 34．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12 B. 23 C.34 D.45【答案】C 【解析】试题分析：∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|=|F 2F 1|∵P 为直线32ax =上一点332()224a c c c e a ∴-=⇒==,故选C ．考点：椭圆的几何性质．35．已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） 36 【答案】B 【解析】试题分析：抛物线24y x =的准线为1x =-，它与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B两点，则坐标为211,1a ⎛-- ⎝，抛物线的焦点(1,0)F ，因为FAB ∆为直角三角形，2112a -=，从而有5a =65c =，因此6ce a == B. 考点：圆锥曲线的性质.36．已知F 2、F 1是双曲线22y a -22x b=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 BC ．2 D【答案】C 【解析】试题分析：设2F 关于渐近线的对称点为P ，P F 2的中点为M ，连接1,PF OM ，则1//PF OM21PF PF ⊥∴，又c F F 221= ，c PF =1，点2F 到渐近线的距离b ba bc d =+=22()()22222b c c +=∴，即224a c =，2=e考点：双曲线性质的应用.37．已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）【答案】B 【解析】试题分析：由题意知圆的圆心()0,a 半径a r =∴圆的方程()222a y a x =+-，渐近线方程x aby =即0=-ay bx 渐近线分弧长为1：2，劣弧所对角为32π由余弦定理得弦长2222332cos 2a a a a a l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+=πa l 3=∴，圆心()0,a 到直线0=-ay bx 的距离22322aa d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222aba ab =+∴化简得223b a =3323422222==+===∴a b a a c a c e 考点：双曲线性质的综合应用.38．斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B.)3,1(C.)5,1(D.),5(+∞ 【答案】D【解析】试题分析：如图,要使斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需2>ab即可,从而有5442222222>⇔>-⇔>ac a a c a b 所以有离心率5>e ,故选D.考点：双曲线的离心率.39．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ） 2 B.123 D.13【答案】B 【解析】试题分析：抛物线22y px =（0p >）的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，它也是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的一个焦点，所以有2pc =①，由两曲线交点的直线恰过点F ，可知它们在第一象限的交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，此点也在双曲线上，故有222214p p a b -=②，由①②消去p ，得222241c c a b-=，即422460c a c a -+=，即42610e e -+=，因为1e >，所以12e =+选择B ，求离心率的值关键是寻找到关于,,a b c 的等式，然后转化到e 的方程，从而解出e .考点：圆锥曲线的性质40．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5B 175214【答案】C 【解析】试题分析：由已知，|OA|＝a 11设OA 所在渐近线的方程为y ＝kx(k ＞0)，于是A 点坐标可表示为A(x 0，kx 0)(x 0＞0) 于是20111k x +，即A(221111,11k k k ++)，进而AB 的一个三分点坐标为221111,3131k k k ++)该点在椭圆C 1上，有222119(1)111119(1)k k k ++=+，即2211119(1)k k +=+，得k ＝2 即b a ＝2，于是225c a b a +，所以离心率5c e a=，选C考点：圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.。
离心率专题练习题
离 心 率 专 题1．双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为 （ ）A B C D ．2 2．过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为( )A ．2B ．22C ．21D ．42 3．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为 π3， 则双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ． 3 C ．263 D ．2334．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是 （ ）A ．2B ．12C ．2D 1 5．若焦点在轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m= ( )A B ．32C ．83D ．236．已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若 边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+ 7．过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于 B 、C,且|AB|=|BC|, 则双曲线M 的离心率是 ( )A B C D 8．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是 正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．33 32 B ．32 C ．22 D ．23 9．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且 12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．7310．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交 双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D 11．若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线离心率是 （ ） A ．3 B ．5 C ．3 D ．512．双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e , 则双曲线方程为（ ） A ．22x a －224y a =1 B ．222215x y a a -=C ．222214x y b b -=D ．222215x y b b -= 13．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
离心率专题(学生版)(精编)2018.12.19
离心率专题（2018.12.12）题型一:分类讨论1．若椭圆2215x y m +=的离心率为e =，则m 的值为（ ） A ． 3 B ．C ．253或3 D ．题型二：共焦点的椭圆与双曲线：222212sin cos 1e e θθ+=2．设12,F F 分别为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10x y C a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ， 1290F MF ∠=︒，若椭圆的离心率134e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（ ） A ．92 B ．C ． 32D ． 54 3．已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则（ ） A ． 4 B ． C ． 2 D ． 34．已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则的最大值是（ ） A ． B ．C ．D ．46．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=_______. 47．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12π3F PF ∠=，则椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为__________．题型三：张角最值12P A PA ∠（当点位于短轴端点时，最大）） 5．已知椭圆，点 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 ，使得 ，则该椭圆的离心率的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．题型四：张角最值12P F PF ∠（当点位于短轴端点时，最大）） 6．已知 、 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 上不存在点 使 为钝角，则椭圆 的离心率的取值范围是 A ． ， B ．， C ． ，D ． ，41．已知椭圆的上动点 ,左、右焦点分别为 、 ，当P 点运动时，∠ 的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____． 题型五：非对称性问题（第二定义）(),,1,cos 01x C F C A B AB AF BF C e e λθλθλλ-==>+已知焦点在轴上的圆锥曲线经过其焦点的直线交曲线于两点，直线的倾斜角为，则曲线的离心率满足等式 7．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知焦点在x 轴的椭圆222:13x y C b+= (0)b >的左、右焦点分别为，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AF F B =， 0160F AB ∠=，则椭圆的标准方程为（ ） A ．22132x y += B ．223132x y += C ．22213x y += D ．2213x y += 9．设12F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过点()1,F c o -的直线交椭圆E 于,A B 两点，若113AF F B =，且2AB AF ⊥，则椭圆E 的离心率是（ ）A ．12 B ．C ．D ．2题型六：222221AB OMb ak k e b a ⎧-⎪⎪∙=-=⎨⎪⎪⎩椭圆双曲线45．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b +=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y = kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为___________. 11．已知椭圆的离心率为，直线 与椭圆 交于 两点，且线段 的中点为 ，则直线 的斜率为（ ） A ．B ．C ．D ．12,F F C题型七：()222221,AP BPb ak k e A B O b a ⎧-⎪⎪∙=-=⎨⎪⎪⎩椭圆关于原点对称双曲线10．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A ．1,23⎛ ⎝⎭ B ．32⎛ ⎝⎭ C ．1,43⎛ ⎝⎭D ． 11,43⎛⎫⎪⎝⎭12．已知O 为坐标原点，平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，点E ， F 分别为AB ， AD的中点，且OE ， OF 的斜率之积为34-，则椭圆Ω的离心率为（ ） A ．12 B ．C ． 34D ． 45 13．已知椭圆C ： 22221x y a b += （0a b >> ），点M ， N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使102MH NH k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭， ，则离心率e 的取值范围为（ ）A ．1⎫⎪⎪⎝⎭ B ．0⎛ ⎝⎭ C ．1⎫⎪⎪⎝⎭ D ．0⎛ ⎝⎭ 14．已知A ，B 是椭圆E ： 22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ． 23D ．题型八：[],PF a c a c ∈-+焦半径15．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心， b c -为半径作圆2F ，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且PT)a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ． 3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．35⎡⎢⎣⎭C ． 30,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭22．已知F 1，F 2分别是椭圆C : 22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ． 1,32⎡⎢⎣⎦ C ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 10,3⎛⎤⎥⎝⎦ 题型九：[],OP b a ∈16．椭圆M ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =M 的离心率e 的取值范围是A ． 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎢⎣⎦ C ． 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ． 1,12⎛⎫⎪⎝⎭17．椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是222,3b b ⎡⎤⎣⎦，椭圆M 的离心率为e ， 1e e-的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 题型十：第一定义与勾股定理18．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 在椭圆C 上，且1230PF F ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ． 19．已知P 是以1F ， 2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，若120PF PF ⋅=且121tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ）． A ．12 B ． 23 C ． 13 D ． 20．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和直线21:a l x c =-、22:a l x c =，且分别交x 轴于C 、D 两点，从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ，若AF BF ⊥，且75ABD ∠=︒，则椭圆的离心率等于（ ） A ．4B ．1 C ．2 D ．12题型十一：1PF PA A ±的最值（在椭圆内）21．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的外部，点P 是椭圆C 上的动点，且11253PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ． 30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．34⎫⎪⎪⎝⎭ C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ． 3,14⎛⎫⎪⎝⎭ 42．设椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点1F 、2F ，其焦距为2c ，点3,2c Q c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1124PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是__________．25．设椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，点()1,1A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ． 11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型十二：第一定义24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆C 上，点I 在12MF F ∆的内部，且满足121121112120MF MF F M F F IM IF F M MF MF F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及121212IMF IMF IF F S S S ∆∆∆-=，若恒有122MF MF >成立，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ． 20,3⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 2,13⎛⎫⎪⎝⎭ C ． 40,9⎛⎫⎪⎝⎭ D ． 4,19⎛⎫ ⎪⎝⎭26．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:5120l x y -=交椭圆E 于,A B 两点，若6AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于1213，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ． 0⎛⎝⎦ B ． 809⎛⎤⎥⎝⎦， C ． 1⎫⎪⎪⎣⎭D ． 819⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 29．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>， 12,F F 为其左、右焦点， P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点， 12F PF ∆的重心为G ，内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e =A ．13 B ． 12 C ． 23 D ． 31．（难）已知双曲线的左、右焦点分别为 , 是 右支上的一点， 与 轴交于点 ， 的内切圆在边 上的切点为 ，若 ，则 的离心率是( ) A ． B ． C ． D ． 题型十三：中位线与相似27．如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．12 B ． 13 C ． 23 D ． 1428．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ． C ． D ． 44．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为F ，过点F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，点M 是点A 关于原点的对称点.若AB FM ⊥， AB FM =，则椭圆C 的离心率为__________．30．设1F ， 2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（其中O 为坐标原点），且12PF =，则椭圆的离心率为（ ）A ． 1B ． 1C ．12 D ． 12题型十四：特殊值法（位置）32．如图所示，已知椭圆2222:1(0),x y C a b a b+=>>222:O x y b +=，点,A F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是O 上的动点，且PAPF为定值，则椭圆C 的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．题型十五：正、余弦定理33．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线()3y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ． 1C ．D ． 34．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 是椭圆上一点， 12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若120,3PF F π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ． 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ． 10,3⎛⎫⎪⎝⎭C ． 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ． 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭35．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， 1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 2,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ． 20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ． 10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ． 1,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭题型十六：横纵坐标的范围36．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上存在一点P 满足F 2π∠AP =， F 为椭圆的左焦点， A 为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）A ． 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ． 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ． ⎫⎪⎪⎝⎭37．中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上， A 为该椭圆右顶点， P 为椭圆上一点， 090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 （ ）A ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭ C ． 12⎡⎢⎣⎭ D ． ⎛ ⎝⎭题型十七：转化为函数问题 38．设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上一点,|PF 1|=λ|PF 2|,∠F 1PF 2=,则椭圆离心率的取值范围为( ) A ．B ．C ．D ．题型十八：角平分线定理43．双曲线22221x y a b-=的左右焦点分别为1F 、2F ， P 是双曲线右支上一点， I 为12PF F ∆的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为__________． 39．已知点()4,0M -，椭圆2221(02)4x y b b +=<<的左焦点为F ，过F 作直线l （l 的斜率存在）交椭圆于A ， B 两点，若直线MF 恰好平分AMB ∠，则椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ． 2 C ． 12 D ．23．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若在直线2x a =上存在点P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是()A ． 203⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ． 213⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ． 102⎛⎤⎥⎝⎦， D ． 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，参考答案1．C【解析】若05m <<，则c a ==，解得3m =，若5m >，则c a ==，解得253m =，所以3m =或253m =.故选C. 点睛：本题考查椭圆的标准方程和焦点坐标；在研究椭圆的标准方程时，要注意判定椭圆的方程是哪一种标准方程，221(0)x y m n m n +=>>表示焦点在x 轴上的椭圆， 221(0)x y n m m n+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆，因此本题中要注意讨论m 与5的大小关系. 2．B【解析】由椭圆与双曲线的定义，知| 121212|2MF MF a MF MF a +=-=，， 所以1121MF a a MF a a =+=-， ．因为1290F MF ∠=︒， 所以22212||4MF MF c +＝ ，即22212a a c +＝， 即221112e e ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝， 因为34e ＝，所以12e ＝ 故选B ． 3．A【解析】如图所示:设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，则根据椭圆及双曲线的定义：， ， ∴ ， ， 设 ，，则在 中由余弦定理得，，∴化简得，该式可变成．故选A ．4．D【解析】如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ， 则根据椭圆及双曲线的定义 ， ， 设， 则在 中由余弦定理得，化简 ，该式变成，，， 的最大值是，故选D.46．4【解析】如图，设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长2a ，由定义知1211222{2PF PF a PF PF a +=-=∴112PF a a =+， 212PF a a =-，设122F F c =，123F PF π∠=由余弦定理得： ()()()()2221212121242cos3c a a a a a a a a π=++--+-⋅，化简得： 2221234a a c +=，所以22112222123134,4a a c c e e +=+=，故填4.47．1+【解析】设椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为1a ， 2a ，焦半径为c ，设12PF PF >， 则有1212P F P F a +=， 1222PF PF a -=，解得112P F a a =+， 212PF a a =-，由余弦定理得222121212π2c o s 3F F P F P F P F P F=+-，整理得2221243c a a =+， 22222222121212222212123344a a a a c c e p a a a a +++=+=+22212212311442a a a a =++≥+，当2212a 时成立等号，即椭圆和双曲线的离心率的平方和的最小值为1+． 5．C【解析】设M 为椭圆短轴一端点，则由题意得 ,即 , 因为，所以，,选C.6．C【解析】设椭圆的上顶点为 ， ，∵椭圆上不存在点 使 为钝角，即 ， ， ， ， ， ＝， ，，故选C ．41．【解析】 点在上、下顶点处时 最大，若 最大角为钝角，所以，此时 的一半大于， 即 ，， 又， 离心率，故答案为. 7．B解析】设B 到右准线距离为d ，因为2AF FB =，所以 A 到右准线距离为2d ，从而2,3AF ed BF ed AB ed ==∴= 倾斜角为4π， cos 43d e ed π∴=∴=，选B. 8．A【解析】如图所示，设2,BF x =则23AF x =，由椭圆的定义，得13AF x =，1BF x =，在1AF B ∆中，由余弦定理得，2220)3)(4)23)(4)cos60x x x x x =+-⋅⋅，解得x =在12AF F ∆中，由余弦定理得，22204((2cos603333c =+-⋅，解得1c =，故2222b a c =-=，故椭圆方程为22132x y +=． 9．D【解析】设1122(0)3,423,2FB k k AF k AB k AF a k BF a k =>⇒==⇒=-=- ，再由22222212||||3BF AF AB AF k AF F =+⇒=⇒∆ 是等腰直角三角形22c a e ⇒=⇒=，故选D, 45．12【解析】设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,联立直线与椭圆方程,消去y可得()2222222222a k b a a kmx a m a b +++-=0,则1202x x x +==2222a km a k b -+所以0y =2222b m a k b +,由题意可得2222020222··b m y a k b k k a km x a k b +=-+=22b a -=34-,又a 2=b 2+c 2,所以椭圆的离心率为12.故答案为12 11．C【解析】由得∴a 2=4b 2，则椭圆方程为x 2+4y 2=4b 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-4，y 1+y 2=2，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得， 两式相减得：（x 1-x 2）（x 1+x 2）=-4（y 1-y 2）（y 1+y 2），则∴直线l 的斜率为故选C10．A【解析】由题意， ,D B 关于原点对称，设()()()0000,,,,,D x y B x y A x y --，AD ABk k ∴⋅= 22220222220002222000011x x b b a a y y y y y y b x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭⨯===--+--， 2222321,,43b c a a ⎛⎫∴-=-∈-- ⎪⎝⎭22111,,432c e a ⎛⎛⎫∴∈∴∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选A. 12．A【解析】根据平行四边形的几何特征，A 和C ，D 和B 关于原点对称， 所以//,//,AD EO AB FO O 为坐标原点，所以,AD EO AB FO k k k k ==， 设()()()0000D ,,B ,,A x,y x y x y --，所以222202222200022222000011AD ABx x b b a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭====--+--. 所以2234b a -=-，所以2214c a =，所以离心率为12.故选A.13．A【解析】()(),0,,0M a N a -，设()00,H x y ，则()222202,b y a x a =- 200022000MH NH y y y k k x a x a x a∴=⋅=+-- ()22220222201,02b a x b a x a a -⎛⎫==-∈- ⎪-⎝⎭，可得222211,0,22c a e e a ⎛⎫-⎛⎫=-∈-∴∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 14．D【解析】由题意方程可知，A （-a ，0），B （a ，0）， 设M （x 0，y 0），00AM y k x a ∴=+ ， 00BM y k x a =- 则000049y y x a x a ⋅=-+-, 整理得： 2022049y x a =--①()22222200002221x y b y a x a b a +=∴=- 即2202220y b x a a=--②联立①② 得222224499b a c e a a --=-∴=∴= 故选D 15．B【解析】依题意可知，圆心为(),0c ，半径为b c -，设(),P m n 在椭圆上，依题意有22222PT PF TF =-，当PT 取得最小值时， 2PF 取得最小值，此时P 点位于椭圆右顶点，即(),0P a ，即()()()22234a cbc a c ---≥-，化简得2a cb +≤，两边平方得222a c b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即222224a ac c a c ++-≤， 25230ee +-≥，解得35e ≥. 由于b c >，即2222222,,2,c b c a c c a c a >->><，故离心率的取值范围是35⎡⎢⎣⎭. 22．C【解析】如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c.∴a －c≤2c≤a ＋c.∴e ＝1,13c a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.选C. 16．B【解析】由题意可知F1（-c ，0），F2（c ，0），设点P 为（x ，y ）∵22221x y a b +=∴()22222a b y x b -= ∴()1,PF c x y =--- ， ()2,PF c x y =--， ∴12PF PF ⋅=x2-c2+y2=()2222a b y b --c2+y2=22222-c y a cb-当y=0时 12PF PF ⋅取到最大值22-a c ，即2222-3c a c c ≤≤，解得12e ≤≤.故选B ． 17．A【解析】由椭圆的定义可知122PF PF a +=，∴1PF ⋅212222PF PF PF a ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，∴22223b a b 剟，即222222233a c a a c --剟，∴2212,23c a剟√3.即23e令()1,f e e e=-则f (e )是增函数，∴当2e =时, 1e e -取得最小值22=-.故选A. 18．B详解：设122F F c =，结合1230PFF ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，可以求得21PF PF ==所以122PF PF a +==，从而求得c e a ==，故选B. 19．D【解析】∵点P 是以1F ， 2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥， 21tan 2PF F ∠=，∴122PF PF =，设2PF x =，则12PF x =．由椭圆定义可知23x x a +=，∴23a x =，∴223PF a =，则143PF a =． 由勾股定理知2222112||||PF PF F F +=，即222416494a a c +=，计算得出3c a =，∴3c e a ==．故选D ． 20．C【解析】因为22a b AC CF c c c ⎛⎫==---= ⎪⎝⎭， AF =， BF =︒=，∵2a BD DF c c ==+ ∴22a BF c c c ⎫=+=⎪⎭, 即()()2222222226a c a c c c +-=化简整理得： 42410e e -+=，解得： 22e =22e =∴e =或e =（舍去），故选C. 21．D【解析】∵点,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆的外部,则22a b a >，解得222c a >，∴2c a >，即2e >。
离心率练习(含答案)
一、填空题1. 过双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线,切点为E,延长FE 交抛物线24y cx =于点P ,若E 为线段FP 的中点,则双曲线的离心率为 .2. 已知双曲线22221x y ab-=()0,0a b >>的半焦距为c ，若240b ac -<，则它的离心率的取值的范围是______ ____.3. 设21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左,右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +=（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率是 .4. 双曲线1422=-kyx的离心率)2,1(∈e ，则实数k 的取值范围是．二、选择题 5. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左右焦点分别为21,F F , P 为双曲线右支上的任意一点，若||||221PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率的取值范围是( )A. (1，+)∞B.]2,1(C.]3,1(D.(1,3]6. 如果椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，那么双曲线22221x y ab-=的离心率为（ ）A．2B ．54CD ．27. 已知双曲线22221x y ab-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B．3C ．54D．28. 双曲线C 的方程为212222,),0,0(1l l b a by ax >>=-为其渐近线，F 为右焦点，过F 作2//l l 且l 交双曲线C 于R ，交1l 于M 。
若)32,21(,∈=λλ且FM FR ，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)5,3(D ．),5(+∞9. 设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B C 2D 10. 设点P 是双曲线22221(,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率A ．B ．2C D 211.线的离心率等于 （A ）22 （B ）2 （C ） 2 +1 （D ）312. 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为 A.2B. 21+C. 3D. 31+13. 若在双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. e >B. 1e <<C. 2e >D. 12e <<14. 已知点12F F 、分别是双曲线22221x y ab-=的左右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B、两点，若1ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．1,)+∞B ．C ．(1,1+D ．)+∞15. 已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B两点，若△ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．（1，+∞）B ．C ．(1,1+D ．(1)++∞16. F1和F2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．25D ．31+17. 直线L 经过双曲线2221xab2y －＝（a>0，b>0）右焦点F 与其一条渐近线垂直且垂足为A ，与另一条渐近线交于B 点，AF＝12FB ，则双曲线的离心率为（A）4 （B）3（C（D ）2 18. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：2221x ab2y －＝（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，且∠F 1MF 2＝90°，则双曲线的离心率为 （A）（B（C ）2 （D ）319. 已知双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为左支一点，P 到左准线的距离为d ，若12,||,||d PF PF 成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A．12⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭B．11,2⎛+⎝⎦C．)1⎡++∞⎣D．(1,1+20. 在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221x y ab+=（a >b > 0）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过点P （2ac，0）作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B2C4D21. 已知椭圆222:1(03)9xy C b b+=<<的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 为椭圆C 短轴的一个端点，直线AF 1与C 的另一个交点为B ，若|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B2C3D ．2322. 以椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（A）2（B）2（C）2（D）223. 椭圆的长轴为A 1A 2，B 为短轴的一个端点，若∠A 1BA 2=120°，则椭圆的离心率为A ．36 B ．21 C ．33 D ．2324. 椭圆M: )0(1a2222>>=+b a by x的左，右焦点分别为,,21F F 且1F P ·2F P 的最大值的取值范围是〔223,2C C 〕，则椭圆M 的离心率的取值范围是A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,23 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,22 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31 25. 如图所示，已知椭圆的方程为22221(0)x y a b ab+=>>，A 为椭圆的左顶点，B ，C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝45°，则椭圆的离心率等于()A2B3C3D326. 已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A3B．3C．2D227. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若32AFFB =，则椭圆的离心率等于（A ）25（B）3（C ）12（D ）23答案1.22. (1,2+3.1+ 4. （0，12 ）5. D 6. A 7. A 8. B . B 10. D 11. B 12. D 13. C 14. C 15. D 16. D 17.B 18.C 19.D 20. B 21. B 22. A 23. A 24. A 25. C 26. A 27. A。
(完整版)椭圆离心率高考练习题
椭圆的离心率专题训练一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．3．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F 为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则 C的离心率为（）A． B ．C．D．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．7．已知F（1﹣ c，0），F（2 c，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B． C ．D．8．椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为 M，若A． B．2﹣MF1垂直于x C．2（2﹣轴，则椭圆的离心率为（）D．）9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．或10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．P，使得12．设椭圆 C 的两个焦点为F1、 F2，过点 F1的直线与椭圆C交于点M，N，若 |MF2 |=|F 1F2| ，且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．13（．2015?高安市校级模拟）椭圆 C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若 F 关于直线x+y=0的对称点 A 是椭圆A．B．C 的离心率为（）C 上的点，则椭圆C． D ．一l14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．15．已知椭圆若 |PF2|=|F 1F2| ，且（ a＞ b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（F1的直线交椭圆于）P，Q两点，A．B．C．D．16．已知椭圆 C：轴正半轴上一点，直线MF2交C 于点的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为 yA，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．17．已知椭圆 C的中心为 O，两焦点为 F1、F2，M是椭圆 C上一点，且满足 ||=2||=2|| ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（，1）D．（，1）19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A．B． C ． D ．﹣120．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）22．设 F1、F2为椭圆 C： + =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线 l 过焦点 F2且与椭圆交于 A， B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2=（）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6 D．9﹣ 623．直线 y=kx 与椭圆 C： + =1（ a＞ b＞ 0）交于 A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0， ] B．（0， ] C． [ ， ] D． [ ， 1）24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[，]B．（0，]C． [，1）D． [，]25．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA= ，则椭圆 C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．参照答案与试题剖析一．选择题（共29 小题）1．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同样的点P，使得△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：①当点P 与短轴的极点重合时，答：△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有 2 个满足条件的等腰△F1F2 P；②当△F1F2 P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P 作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2 =F1 P，∴点 P 在以 F1为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰△F1F2P，在△F F P 中， F1F2+PF1＞ PF2，即 2c+2c＞ 2a﹣ 2c，1 2 1由此得知 3c＞a．因此离心率 e＞．当 e= 时，△F1 F2 P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当 F P 为等腰三角形的底边时，在 e 且 e≠时也存在 2 个1满足条件的等腰△F 1 F2P这样，总合有 6 个不同样的点P 使得△F1F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）2．在区间 [1 ， 5] 和[2 ， 4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．解解：∵表示焦点在x 轴上且离心率小于，答：∴a＞ b＞ 0， a＜2b它对应的平面地域如图中阴影部分所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P== ，应选 B．3．已知椭圆（ a＞ b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，若 AF⊥BF，设∠ ABF=α，且，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（）A．B．C． D ．解解：已知椭圆（ a＞b＞ 0）上一点 A 关于原点的对称点为点B，答：F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接 AF，AN， AF， BF因此：四边形AFNB为长方形．依照椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，则：∠ ANF=α．因此： 2a=2ccosα+2csin α利用 e==因此：则：即：椭圆离心率 e 的取值范围为 []应选： A4．斜率为的直线l与椭圆交于不同样的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B ．C． D ．解解：两个交点横坐标是﹣c，c答：因此两个交点分别为（﹣c，﹣c）（ c，c）代入椭圆=1两边乘 2a2 b2则c2（ 2b2+a2）=2a2b222 2∵b=a ﹣ cc2（ 3a2﹣ 2c2）=2a^4﹣ 2a2 c22a^4﹣ 5a2c2+2c^4=0（2a2﹣ c2）（a2﹣ 2c2）=0 =2，或∵0＜ e＜ 1因此 e= =应选 A5．设椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1、 F2， P 是 C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B ．C．D．解解：设|PF2|=x ，答：∵PF2⊥F1F2，∠ PF1F2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F2|=x，又|PF1|+|PF 2|=2a ， |F 1F2|=2c∴2a=3x， 2c= x，∴C的离心率为： e= =．应选 A．6．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P 为椭圆 C上除长轴端点外的任一点，△F 1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中λ 为实数），椭圆C的离心率 e=（）A．B．C．D．解解：设 P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，答：∴G点坐标为 G（，），∵，∴ IG∥x轴，∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2 中，|PF 1|+|PF2|=2a，|F 1F2|=2c∴= ?|F 1F2|?|y 0|又∵I为△F1PF2 的内心，∴I 的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形∴= （|PF1|+|F 1F2|+|PF 2 | ） | |∴?|F 1F2|?|y 0|=（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||即 ×2c?|y 0|= （ 2a+2c ）|| ，∴2c=a ，∴椭圆 C 的离心率 e= =应选 A7．已知 F （1 ﹣ c ，0），F （2 c ，0）为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且 ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解 解：设 P （m ，n ），=（﹣ c ﹣m ，﹣ n ）?（ c ﹣ m ，﹣ n ）222，答： =m ﹣c +n222222①．∴m +n =2c ， n =2c ﹣m把 P （m ， n ）代入椭圆2 22 22 2②，得 b m+a n =a b把①代入②得 22 22 2， m=≥0，∴a b ≤2a cb 2≤2c 2， a 2 ﹣c 2≤2c 2，∴≥ ．2222﹣ 2c 2≥0，又 m ≤a，∴≤a，∴≤0，故 a∴ ≤ ．综上，≤ ≤ ，应选： C ．8．椭圆+ =1（ a ＞ b ＞ 0）的左、右焦点分别是 F 1， F 2，过 F 2 作倾斜角为 120°的直线与椭圆的一个交点为 M ，若 MF 1垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（）A ．B ．2﹣C ．2（2﹣ ）D ．解解：如图，答：在 Rt△MF1F2中，∠ MF2F1=60°， F1F2=2c∴MF2=4c，MF1=2 cMF1+MF2=4c+2 c=2a? e= =2﹣，应选 B．9．椭圆 C 的两个焦点分别是F1， F2，若 C上的点 P 满足，则椭圆C的离心率 e 的取值范围是（）A．B． C ．D．或解解：∵椭圆 C 上的点 P 满足，∴ |PF1|==3c，答：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF 2|=2a ，∴ |PF 2|=2a ﹣3c ．利用三角形的三边的关系可得：2c+（ 2a﹣ 3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣ 3c ，化为．∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是．应选： C．10．设 F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解： F1（﹣ c，0），F2（c， 0），c＞0，设 P（ x1，y1），答：则 |PF1|=a+ex 1，|PF 2|=a ﹣ex1．在△ PF1F2中，由余弦定理得cos120°= =，解得 x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e= ≥．故椭圆离心率的取范围是 e ∈．应选 A．P，使得11．设 A1，A2分别为椭圆=1（a＞b＞ 0）的左、右极点，若在椭圆上存在点＞﹣，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．D．解解：设 P（asin α， bcosα），A1（﹣ a， 0）， A2（a， 0）；答：∴，；∴；∴；∴，a，c＞ 0；∴解得；∴该椭圆的离心率的范围是（）．应选： C．12．设椭圆 C 的两个焦点为 F 、 F ，过点 F 的直线与椭圆 C交于点 M，N，若 |MF |=|F F | ，1 2 1 2 1 2 且 |MF1|=4 ， |NF1|=3 ，则椭圆Г的离心率为（）A．B．C．D．解解：设椭圆（ a＞b＞0），答：F1（﹣ c，0），F2（ c， 0），|MF2|=|F 1F2|=2c ，由椭圆的定义可得|NF2|=2a ﹣ |NF1 |=2a ﹣3，|MF2|+|MF 1 |=2a ，即有 2c+4=2a，即a﹣c=2，①取MF1的中点 K，连接 KF2，则 KF2⊥MN，由勾股定理可得 |MF2 | 2﹣ |MK| 2=|NF2| 2﹣ |NK| 2，即为 4c2﹣ 4=（2a﹣3）2﹣25，化简即为 a+c=12，②由①②解得a=7， c=5，则离心率e= = ．应选：D．13．椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为F，若F 关于直线x+y=0 的对称点 A 是椭圆C 上的点，则椭圆 C 的离心率为（）A．B．C． D ．一l解解：设F（﹣ c， 0）关于直线x+y=0 的对称点A（ m， n），则答：，∴m= ， n= c，代入椭圆方程可得，化简可得 e4﹣ 8e2+4=0，∴e=﹣1，应选： D．14．已知 F1， F2分别为椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF2垂直于x 轴．若|F 1F2|=2|PF 2| ，则该椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．解解： F ， F 分别为椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点，1 2答：设 F1（﹣ c， 0）， F2（c， 0），（c＞ 0），P 为椭圆上一点，且 PF 垂直于 x 轴．若 |F F |=2|PF | ，2 1 2 2可得 2c=2 ，即 ac=b2=a2﹣ c2．可得 e2+e﹣ 1=0．解得 e= ．应选： D．15．已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过 F1的直线交椭圆于P，Q两点，若 |PF2|=|F 1F2| ，且 2|PF 1|=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解解：由题意作图如右图，答：l 1， l 2是椭圆的准线，设点Q（ x0， y0），∵2|PF 1|=3|QF 1 | ，∴点 P（﹣c﹣ x0，﹣y0）；又∵ |PF 1|= |MP| ， |QF1 |=|QA| ，∴2|MP|=3|QA| ，又∵ |MP|=﹣ c﹣ x0+ ∴3（ x0+ ） =2（﹣， |QA|=x 0+c﹣x +），，解得，x0=﹣，∵|PF 2|=|F 1F2| ，∴（c+ x0+ 将 x0=﹣） =2c；代入化简可得，3a2+5c2﹣8ac=0，即5﹣8 +3=0；解得，=1（舍去）或= ；应选： A．16．已知椭圆 C：的左、右焦点分别为F1， F2， O为坐标原点， M为y轴正半轴上一点，直线MF2交 C 于点 A，若 F1 A⊥MF2，且 |MF2 |=2|OA| ，则椭圆 C的离心率为（）A．B．C．D．解解：以以下图，1 2 中，1 2．答：在 Rt△AF F |F F |=2|OA|=2c 又|MF2|=2|OA| ，在Rt△OMF2中，∴∠ AF2F1=60°，在Rt△AF1 F2中，|AF2|=c ，|AF1 |= c．∴2a=c+ ∴c，= ﹣1．应选：C．17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足| |=2| |=2| | ，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D ．解解：∵|MF1|=|MO|=|MF 2| ，答：由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF 2|=3|MF 2| ，即|MF2|= a， |MF1|= a，在△F1OM中，|F 1O|=c，|F 1 M|=a， |OM|= a，则 cos∠MOF1==，在△ OF2M中， |F 2O|=c， |M0|=|F 2M|= a，则 cos∠MOF2= =，由∠ MOF1=180°﹣∠ MOF2得： cos∠MOF1+cos∠MOF2=0，即为+ =0，整理得： 3c2﹣2a2=0，即= ，即 e2= ，即有 e=．应选： D．18．设 F1，F2分别是椭圆+ =1（ a＞b＞0）的左右焦点，若在直线x=上存在点P，使△PF1F2为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（， 1）解解：由已知 P（， y），得 F1P 的中点 Q的坐标为（），答：∴，∵2 2，，∴y=2b ﹣2 2 2）（ 3﹣）＞ 0，∴y=（ a ﹣c ∴3﹣＞0，∵0＜ e＜ 1，∴＜ e＜ 1．应选： C．19．点 F 为椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点，若椭圆上存在点 A 使△ AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B ． C ．D．﹣1解解：以以下图所示：答：设椭圆的右焦点为F，依照椭圆的对称性，得直线 OP的斜率为 k=tan60 °=，∴点 P 坐标为：（ c，c），代人椭圆的标准方程，得，2 2 2 2 2 2∴b c +3a c =4a b，∴e=．应选： D．20．已知椭圆 C：=1（ a＞b＞ 0）和圆 O：x2+y2=b2，若 C 上存在点 M，过点 M引圆 O 的两条切线，切点分别为E， F，使得△ MEF为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C． [，1）D．（1， ]解解：以以下图，连接OE，OF，OM，答：∵△ MEF为正三角形，∴∠ OME=30°，∴OM=2b，则2b≤a，∴，∴椭圆 C 的离心率 e==．又e＜1．∴椭圆 C 的离心率的取值范围是．应选： C．21．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+ =1（ a＞b＞ 0）上的一点 A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴订交于 B， C两点，若△ ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，） B．（， 1） C．（， 1） D．（ 0，）解解：以以下图，答：设椭圆的右焦点F（ c， 0），代入椭圆的标准方程可得：，取 y= ， A ．∵△ ABC是锐角三角形，∴∠ BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．应选： A．22．设 F1、F2为椭圆C：+ =1（ a＞b＞ 0）的左、右焦点，直线l 过焦点F2且与椭圆交于 A，B 两点，若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2= （）A．2﹣B． 3﹣C．11﹣ 6D．9﹣ 6解解：可设 |F 1 F2 |=2c ， |AF1|=m，答：若△ ABF1构成以 A 为直角极点的等腰直角三角形，则 |AB|=|AF 1 |=m，|BF 1|=m，由椭圆的定义可得△ ABF1的周长为 4a，即有 4a=2m+ m，即 m=2（ 2﹣）a，则 |AF2|=2a ﹣m=（2）a，在直角三角形AF1F2中，|F 1F2| 2=|AF1| 2+|AF2| 2，即 4c2=4（ 2﹣）2a2+4（）2 a2，即有 c2 =（ 9﹣ 6）a2，即有 e2 = =9﹣ 6．应选D．23．直线y=kx 与椭圆C：+ =1（ a＞ b＞ 0）交于A、B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点，且? =0，若∠ ABF∈（0，] ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C． [ ，] D． [ ， 1）解解：设 F2是椭圆的右焦点．答：∵?=0，∴BF⊥AF，∵O点为 AB的中点， OF=OF2．∴四边形 AFBF2是平行四边形，∴四边形 AFBF2是矩形．以以下图，设∠ ABF=θ，∵BF=2ccosθ， BF2=AF=2csinθ，BF+BF2=2a，∴2ccosθ+2csin θ=2a，∴e=，sin θ+cosθ=，∵θ ∈（0，] ，∴∈，∴∈．∴∈，∴e∈．应选： D．24．已知 F1（﹣ c，0）， F2（c，0）为椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的两个焦点，若椭圆上存在点 P 满足?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．[ ， ] B．（0， ] C． [ ，1） D． [ ， ]解解：设 P（x0， y0），则 2c2= =（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣ x0，﹣答： y0） = + ，化为．又，∴= ，∵，∴，2 2 2∵b=a ﹣ c ，∴，∴．应选： A．25．已知F1（﹣ c，0）， F2（c， 0）是椭圆=1（ a＞ b＞ 0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解，解：设 P（x0，y0），则答：∴ = ．∵，∴（﹣ c﹣ x0，﹣ y0）?（ c﹣x0，﹣ y0） =c2，化为=c2，∴=2c2，化为 = ，∵，∴0≤2 ≤a，解得．应选： D．26．已知两定点A（﹣ 1，0）和 B（1， 0），动点 P（ x， y）在直线 l ： y=x+2 上搬动，椭圆C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆 C 的离心率的最大值为（）A． B ． C ．D．解解：由题意知c=1，离心率e= ，答：椭圆 C 以 A， B 为焦点且经过点P，则 c=1，∵P在直线 l ：y=x+2 上搬动，∴2a=|PA|+|PB| ．过 A 作直线 y=x+2 的对称点 C，设 C（m， n），则由，解得，即有 C（﹣ 2， 1），则此时 2a=|PA|+|PB| ≥|CD|+|DB|=|BC|=，此时 a 有最小值，对应的离心率 e 有最大值，应选 C．27．过椭圆+ =1（ a＞ b＞ 0）的左极点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若 0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（， 1）解解：以以下图： |AF2 |=a+c ， |BF 2|= ，答：∴k=tan ∠BAF2= ，又∵ 0＜ k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．应选： D．28．已知椭圆 C1：=1（ a＞b＞0）与圆 C2：x2+y2=b2，若在椭圆 C1上存在点 P，过 P 作圆的切线 PA， PB，切点为 A， B 使得∠ BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解解：连接 OA，OB， OP，依题意， O、 P、 A、 B 四点共圆，答：∵∠ BPA=，∠ APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠ AOP= ，∴c os∠AOP== ，∴ |OP|= =2b，∴b＜|OP| ≤a，∴ 2b≤a，2222 2∴4b ≤a，即 4（ a ﹣ c ）≤a，∴3a2≤4c 2，即，∴，又 0＜ e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆 C 的离心率的取值范围是[，1），应选： A．29．已知圆 O1：（ x﹣ 2）2+y2=16 和圆 O2：x2+y2 =r 2（ 0＜r ＜2），动圆 M与圆 O1、圆 O2都相切，动圆圆心 M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞ e2），则 e1+2e2的最小值是（）A．B．C． D ．解解：①当动圆M与圆 O1、 O2都相内切时， |MO2|+|MO1|=4 ﹣r=2a ，答：∴e1=．②当动圆 M与圆 O1相内切而与 O2相外切时， |MO1|+|MO2 |=4+r=2a ′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令 12﹣ r=t （ 10＜ t ＜12），e1+2e2 =2×≥2×==应选： A．。
圆锥曲线的离心率专项练习(含解析)
圆锥曲线的离心率专项练习一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2BCD ．12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）A ．12B ．2C ．14D 3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．13D ．34．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．3B ．23C ．2D ．126．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．37．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A ．152-+ B ．132-+ C ．12D ．32- 8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．29．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．23D ．3310．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．263C ．3D ．211．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．33C ．32D ．2212．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A 5B 10C ．52D ．5二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____. 17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______.20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．例22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.一、单选题1．已知双曲线2221(0)3y x a a-=>的离心率为2，则a =（ ）A ．2 B．2CD ．1【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的性质，直接表示离心率，求a . 【详解】由双曲线方程可知223c a =+，因为2c e a ==，所以22234a e a+==，解得：21a = ， 又0a >，所以1a =. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法： 1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e =（ ） A ．12B．2C ．14D【答案】D 【解析】 【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，，依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，， 在12F AF 中，由余弦定理得：22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅， 123cos 4F AF ∠=， 22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得e =故选：D . 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，在12F AF 中，利用余弦定理求得22142a c =是关键，属于中档题.3．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．12BC ．13D【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案. 【详解】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选：C.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是根据三点共线找到关于,a c 的等量关系.4．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1213PF =，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．2C 3D 23【答案】D 【解析】 【分析】双曲线的渐近线方程为by x a=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1OPF ∆中，分别求出2cos aPOF c∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=，可得22213PF a c =+结合222b c a =-，ce a=即可求解. 【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c2PF b ==，1OF c =，OP a =，因为12PF =，所以222121313PF PF b ==，在2OPF 中，2cos aPOF c∠=， 1OPF ∆中，22211cos a c PF POF c+-∠=，因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=， 所以22210a c PF acc+-+= 可得22213PF a c =+， 所以222213133c a a c -=+，所以c a =，所以e = 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题.5．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =则椭圆C 的离心率等于（ ） A．B ．23CD ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先利用几何关系找到a 、b 的比例关系，然后计算椭圆的离心率即可. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为F 1,连接PF 1，设圆心为C ，则圆心坐标为,03c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径为3b r =， ∴|F 1F |=3|FC |，∵PQ =2QF ,∴PF 1∥QC ,|PF 1|=b ， ∴|PF |=2a −b ，∵线段PF 与圆相切于点Q ， ∴CQ ⊥PF ， ∴PF 1⊥PF ， ∴b 2+(2a −b )2=4c 2，()2222(2)4b a b a b ∴+-=-，32a b ∴=,则23b a =，22513c b e a a ∴==-=. 故选：A . 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得出1b a =，再由e =可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】由于双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为y x =±，则1b a =，因此，该双曲线的离心率为c e a =====故选：A. 【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式e =计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（ ）A．BC ．12D【答案】A 【解析】 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率． 【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a=，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得512e -=． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．8．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．2C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】将直线l 的方程分别与双曲线方程及渐近线方程联立，求出,A B 的纵坐标，再利用已知条件求解． 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=． 由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯， 得222c b =，即222c a =，则2e =故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的几何性质等，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，解题关键是利用题目条件建立a 、b 、c 的等量关系，从而求解离心率，属于中等题.9．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A．BCD【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于a b c 、、的等量关系.10．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的斜率为3，则双曲线的离心率为（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐进线方程，可得到a 值，再由,,a b c 的关系和离心率公式，即可得到答案. 【详解】由渐近线方程为y ==，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3cea===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的求法，解题关键是利用渐近线方程的斜率与a b、的关系，找到关于a b c、、的等量关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题. 11．过椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若3BF FA=，则C的离心率为（）A．13B3CD【答案】D【解析】【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c-，由3BF FA=，得4,33bA c⎛⎫--⎪⎝⎭，点A在椭圆上，则：22224331bca b⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：222221681,,9922c ce ea a⋅=∴===.故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） A．5B ．102C ．52D ．5【答案】B 【解析】 【分析】设2AF m =，根据1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点可知，13AF m =，4AB m =，23BF m =，再利用双曲线的定义可得1222AF AF m a -==，即a m =， 且15BF a =，然后解出21210F F c a ==，则可解得离心率的值. 【详解】如图所示，连接1BF ，设2AF m =，则4AB m =，因为1:3:4AF AB =，则13AF m =，所以1222AF AF m a -==，得a m =， 又122BF BF a -=，且233BF m a ==，所以1325BF m a a =+=， 所以22211AF AB BF +=，即12AF AF ⊥， 故2110F F a =，即210c a = 所以10c e a ==. 故选：B.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的定义运用，焦点弦长的计算、离心率计算问题，难度一般，根据几何条件得出a ，c 的关系即可.二、填空题13．已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F ，且和椭圆C 交于A ，B 两点，11||3||5AF BF =，12AF F △与12BF F △的面积之比为3：1，则椭圆C 的离心率为______________. 【答案】22【解析】 【分析】设13AF x =，15BF x =，23AF y =，2BF y =，根据椭圆的定义可得x y =，进而得出12AF F △为等腰直角三角形，从而求得离心率. 【详解】11||3||5AF BF =，不妨设13AF x =，15BF x =， 由点B 作BP x ⊥轴，同时也过点A 向x 轴引垂线，1212:3:1AF F BF F SS=，且22AOF BPF22:3:1AF BF ∴=，设23AF y =，2BF y =，由12122AF AF BF BF a +=+=，335x y x y ∴+=+，x y ∴=，所以12556AF AF x y x x x +=+=+=， 所以23AF x =，12AF F ∴为等腰三角形，34AB x x x ∴=+=，15BF x =，22211AF AB BF ∴+=，1AF B ∴为直角三角形，12AF AF ∴⊥，∴12AF F △为等腰直角三角形，112OF OA AF ∴==， 11,OF c AF a ==,即2c e a ==.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出12AF F △为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题.14．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2134e e +的最小值为________.【答案】6+ 【解析】 【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为11,,a b c ， 双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ， 所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 两式相减得到()1242c a a =-， 即121222a a c a c a -=⇒+=.所以2121223364344e a a c c e c a c a +=+=++66≥+=+当且仅当2c =取等号， 则2134e e +的最小值为6.故答案为：6. 【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可得最小值.15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过点2F 交双曲线右支于P ，Q 两点，若123PF PF =，23PQ PF =，则双曲线 C 的离心率为__________.【解析】 【分析】设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，推出22QF m =，由双曲线的定义得14QF a m a⎧=⎨=⎩，再在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得2225243a c a -=，进而得答案. 【详解】解：设2||PF m =，则1||3PF m =，3PQ m =，∴22QF m =，由双曲线的定义，得12112122422PF PF m aQF a m a QF QF QF m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨⎨=-=-=⎩⎪⎩， 此时，在1PQF △和12QF F 应用余弦定理得：2222221112116992cos 22433QF PQ PF a a a FQF QF PQa a +-+-∠===⨯⨯2222222212121221216445cos 22424QF QF F F a a c a c FQF QF QF a a a+-+--∠===⨯⨯； 所以2225243a c a -=，即2237c a =，故2273c a =，所以c e a ==．. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．16．已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A，若212PA A A =，则双曲线C 的离心率为_____.【解析】 【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率． 【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为212PA A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而e ==若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得e =【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.17．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.. 【解析】 【分析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可求解. 【详解】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =， 由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，2c e a ∴==，故答案为：2. 【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.18．设F 为椭圆2222:1x y C a b+=的左焦点，P 为C 上第一象限的一点.若6FPO π∠=，PF =，则椭圆C 的离心率为___________1 【解析】【分析】连接1PF ，由余弦定理结合平面几何的知识得11PF OF =，再由椭圆的定义及离心率公式即可得解. 【详解】设(),0F c -，椭圆的右焦点()1,0F c ，连接1PF ，如图，因为6FPO π∠=，3PF =，所以2222223cos 2223PF OP OFOP OFFPO PF OPOP OF+-+∠===⋅⋅， 所以OP OF =，所以1OP OF =，13POF π∠=，所以1POF 为等边三角形，11PF OF =， 所以)113312PF PF OF c a +=+==，所以离心率3131ce a===+. 31. 【点睛】解决本题的关键是利用余弦定理及平面几何的知识转化条件为11PF OF =，再由椭圆的定义、离心率公式即可得解.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=，则该椭圆的离心率是_______. 6 【解析】【分析】 首先联立直线与椭圆的方程求出B ，C 两点坐标，由此求出BF 、CF ，由90BFC ∠=得0BF CF ⋅=，从而可得a c 、的关系式，进而求得椭圆的离心率.【详解】222142233c e a ==⨯= 由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得32x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由题意可知(),0F c ，所以3,22b BF c a ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 因为90BFC ∠=，所以BF CF ⊥，所以0BF CF ⋅=，即3302222b b c c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-+-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22231044c a b -+=，因为222b a c =-， 所以22223110444c a a c -+-=，即223142c a =，所以22223c e a ==，所以6e =， 故答案为：63【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的常用方法：（1）直接求出a 、c 的值，利用离心率公式直接求解；（2）列出含有a 、b 、c 的其次方程或不等式，借助于222b a c =-消去b ，转化为含有e 的方程和不等式求解；（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值和特殊位置求出离心率；20．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ，点2(0)C b ,，若线段AC 的垂直平分线过点B ，则该双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】 由题中条件，得到BC BA =，由此得到2234a b =，再由双曲线中222c a b =+，即可求出离心率.【详解】 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A 、B ， 则2AB a =，(),0A a -，(),0B a ，又2(0)C b ,，线段AC 的垂直平分线过点B ， 所以BC BA =2a =，则2234b a =， 所以2222223744c a b a a a =+=+=，因此2c e a ===.故答案为：2. 例21设双曲线22221x y a b-= (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l，求双曲线的离心率． 【答案】e ＝2.【解析】【分析】先求出直线l 的方程，利用原点到直线l 的距离为3 c ，222c a b =+，求出22a c 的值，进而根据0a b <<求出离心率．【详解】由l 过两点(a,0)，(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为c ，得＝c . 将b ＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解关于的一元二次方程得＝或.∵e ＝，∴e ＝或e ＝2.又0<a <b ，故e ＝＝＝>. ∴应舍去e ＝.故所求离心率e ＝2.【点睛】 本题考查双曲线性质，考查求双曲线的离心率常用的方法即构造出关于,,a b c 的等式，属于中档题．22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，求双曲线的离心率.2.【解析】【分析】设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由射影定理知2||||||PF FM FO =，可得,,a b c 的关系，可求得双曲线的离心率.【详解】如图所示，不妨设F 为右焦点，过F 作FP 垂直于一条渐近线，垂足为P ，过P 作PM OF ⊥于M .由已知得M 为OF 的中点，由射影定理知2||||||PF FM FO =，又(c,0)F ，渐近线OP 的方程为0bx ay -=，所以22bc PF b b a ==+，于是22c bc =⋅， 即22222b c a b ==+，因此22a b =，故2212c b e a a==+=.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，求双曲线的离心率，属于基础题.23．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，求双曲线的离心率.【答案】53e =【解析】【分析】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，根据212PF F F =和直线1PF 与圆222x y a +=相切得到2b a c =+，再求离心率即可.【详解】设直线1PF 与圆222x y a +=相切点M ，连接OM ，如图所示：因为212PF F F =，所以12FF P 为等腰三角形，又因为1OM PF ⊥，所以1114MF PF =.在1RT MF O △中，1MF b ===， 所以14PF b =. 因为122PF PF a -=，所以422b c a -=，即2b a c =+.所以22242b a c ac =++，2222442c a a c ac -=++223520c a ac --=，23250e e --=， 解得53e =或1e =-（舍去）. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，同时考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.。
离心率专题-题目+解析版
离心率专题解析1.已知双曲线的方程为 x 2 − y 2= 1(a > 0, b > 0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为√5 c （c 为双曲线a 2b 23的半焦距长），则双曲线的离心率为 ( )A ．√52 C ．3√5 5【答案】B【解析】由题意可知，点 (c , 0) 到直线 y =b xaB ．32 D ．23的距离为√5 c ，也即点到直线的距离公式3结合 c 2 = a 2 + b 2 可得bc =√a 2 + b 22 √5 c . 3所以离心率为 3双曲线的几何性质．2a = c ,3【备注】利用点 (c , 0) 到一条渐近线的距离为√5c 得到 a , b , c 三者的关系，然后结合 a 2 = b 2 + c 2 求得离心率．32.已知 A ，B 为双曲线 E 的左、右顶点，点 M 在 E 上，△ ABM 为等腰三角形，且顶角为 120∘，则 E 的离心率为 ( ) A ．√5 B ．2C ．√3D ．√2【答案】D【解析】设双曲线方程双曲线的概念与方程为 x 2− y 2= 1(a > 0, b > 0)．不妨取点 M 在第一象限，如图．则 ∠ABM = 120∘，且 |BM | = |AB | = 2a ， 所以点 M 的坐标为因为点 M 在双曲线上，所以a 2b 2(2a , √3a ).4a 2 a 2 − 3a 2 b 2 = 1, 又 c 2 = a 2 + b 2 双曲线的概念与方程，所以 e = c= √2 双曲线的几何性质．a【备注】解本题有两个关键点：一是“以静制动”假设点 M 的位置，画出草图；二是表示出点 M 的坐标．2 23.已知 F , F 是双曲线 x− y = 1(a > 0, b > 0) 的左，右焦点，设双曲线的离心率为 e 若在双曲线的右支上存1 2a 2b 2在点 M ，满足 |MF 2| = |F 1F 2|，且 e . sin ∠MF 1F 2 = 1，则该双曲线的离心率 e 等于( )A ．54 B ．53C ．√5D ．5 2【答案】B【解析】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查 ． 依题意 |MF 2| = |F 1F 2|，可知三角形 MF 2F 1 是一个等腰三角形，F 2 在直线 PF 1 的投影是其中点．由勾股定理可知 |MF 1| = 2√4c 2 − 4a 2 = 4b 根据双曲定义可知 4b − 2c = 2a ．整理得 c = 2b − a ，代入 c 2 = a 2 + b 2 整理得 3b 2 − 4ab = 0，求得 b = 4．∴ e = c= √c 2= √a 2+b 2= 5．a 3a故选 Ba 2a 234.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆顶点，F 2为右焦点，延长B 1F 2与A 2B 2 交于点P ，若∠B 1PB 2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是( )A ．(√5−2, 1)2 B ．(0, √5−22 C ．(0, √5−12D ．(√5−1, 1)2【答案】C 【解析】→→如图所示，∠B 1PB 2为A 2B 2与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，→ →A 2B 2 = (−a , b )，F 2B 1 = (−c, −b )， →→∵向量的夹角为钝角时，A 2B 2 ⋅ F 2B 1 < 0， ∴ ac − b 2 < 0， 又b 2 = a 2 − c 2， ∴ a 2 − ac − c 2 > 0；两边除以a 2得1 − e − e 2 > 0， 即e 2 + e − 1 < 0；解得−1−√5 < e < √5−1， 2 2 又∵ 0 < e < 1，∴ 0 < e < √5−1，2故答案选：C ．) )√ √ √ √ √ 2 ) 5.设椭圆C ：x 2 + y 2= 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F 、F ，其焦距为2c ，点 a在椭圆的内部，点P 是a 2b 212Q (c , )椭圆C 上的动点，且|PF 1| + |PQ | < 5|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(1 , 2 5 2B ．(1 , 2 4 2C ．(1 , 2 3 2D ．(2 , 25 2【答案】B【解析】2 ∵点Q (c , a )在椭圆的内部，∴ b > a，⇒ 2b 2 > a 2 ⇒ a 2 > 2c 2．2c < √2 a2a2 |PF 1| + |PQ | = 2a − |PF 2| + |PQ | 又因为−|QF | + |PQ | ⩽ |PQ| − |PF | ⩽ |QF |，且|QF | = a ，2 2 2 2 2 要|PF | + |PQ | < 5|F F |恒成立，即 a1 1 22a − |PF 2| + |PQ | ⩽ 2a + 2 < 5 × 2c5a< 10c ，c> 1，则椭圆离心率的取值范围是(1 , 2. 2 a 4 4 2故选：B【备注】点Q (c , a)在椭圆的内部，b 2> a，|PF | + |PQ | = 2a − |PF | + |PQ |，由−|QF | + |PQ | ⩽ |PQ| −2 a 2 1 2 2 |PF | ⩽ |QF |，且|QF | = a ，要|PF | + |PQ | < 5|F F |恒成立，即 a．2 2 221 1 22a − |PF 2| + |PQ | ⩽ 2a + 2 < 5 × 2c本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键))))。
离心率的常考试题
离心率的一些常考试题1 若m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．或3C．或3D．或答案：D。
2 已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且|AB|＝2|AF1|，则C的离心率为（）A．B．C．D．答案：C。
3 已知F（c，0）为双曲线的右焦点，过原点O的直线与双曲线交于A，B两点，若AF⊥BF且△ABF的周长为4a+2c，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．答案：D。
4已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则双曲线E的离心率为（）A．+1B．﹣1C．2+2D．2﹣2答案：A。
5已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为（4，1），则C的离心率e＝（）A．B．C．D．答案：C。
6 双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条有近线方程为y＝﹣2x，则其离心率为（）A．3B．C．D．5答案：A。
7 已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若MF2⊥NF2，则C的离心率为（）A．B．2C．D．答案：A。
8已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1，求双曲线C的标准方程与离心率。
答案：双曲线C的方程：，双曲线的离心率。
9已知椭圆的左右焦点为F1，F2，P为其上顶点，△PF1F2正三角形，求椭圆C的离心率。
答案：椭圆的离心率e＝＝。
10设椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，求椭圆的离心率。
答案：椭圆的离心率。
11已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点为A1，右焦点为F2，过F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M，N 两点，直线A1M的斜率为．求椭圆的离心率。
答案：椭圆的离心率e＝＝。
12已知双曲线的左，右焦点分别为F1、F2，焦距为2c．若以线段F1F2为直径的圆与直线ax﹣by+2ac＝0有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）答案：D。
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离心率专项练习离心率专项练习1、 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是_____________．【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎨⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，2、3、4、 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为____________．【解析】本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．5、 从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是____________．【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22. 6、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为___________． 【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又2c ＝10，所以e ＝1014＝57. 7、 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是___________．【解析】不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a)，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b 1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.8、 设F 1，F 2是椭圆E ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为____________．【解析】由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 9、 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是____________．【解析】设焦点为F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，则双曲线的离心率e 1＝c a ，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.10、 设F 1，F 2是椭圆E ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为__________．【解析】由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2(32a －c )＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 11、 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为__________．【解析】设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a2，所以|AB |＝2×b 2a ＝2×2a .∴b 2＝2a 2.c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a ＝ 3. 12、 设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率等于____________．【解析】设圆锥曲线的离心率为e ，因|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝34－2＝32；综上，所求的离心率为12或32. 13、 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为___________． 【解析】不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b ,一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc-，()1b ba c∴⋅-=-，2bac∴=,220ca ac --=，解得512ce a ==.14、 椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是________．【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等,而|FA |＝22a b c c c-=,, |PF |∈[a －c ,a＋c ],于是2b c∈[a －c ,a ＋c ],即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2,∴222222ac c a ca c ac c⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩⇒1112ca c c aa ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或,又e ∈(0,1),故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15、 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的22221(0,0)x y a b a b-=>>A 1-交点分别为．若，则双曲线的离心率是________．【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，则有，因16、 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为____________． 【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y ,得有唯一解,所以△=,所以,17、 已知双曲线的右焦点为,,B C 12AB BC=u u u r u u u r (),0A a 0x y a +-=22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r 222,4,5AB BC a b e =∴=∴=u u u r u u u r12222=-b y a x 212222=-b y a x x aby =21b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩210bxx a -+=2()40b a-=2b a=2221()5c a b b e a a a+===+=()222210,0x y C a b a b-=>>：F过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率___________.【解析】设双曲线的右准线为,过分 别于,于, ,由直线AB知直线AB 的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又.18、 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．【解析】本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称F 3C A B 、4AF FB=C 22221x y C a b-=：l A B、AM l ⊥M BN l ⊥N BD AM D⊥于316060,||||2BAD AD AB ︒∴∠=︒=1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-u u u r u u u r 11||(||||)22AB AF FB ==+u u ur u u u r 15643||||25AF FB FB FB e e =∴⋅=∴=u u u r u u u r Q性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，求得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.而|F1F2|＝2c，所以在△PF1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2，所以4a2＝16a2＋4c2－2·4a·2c·cos 30°，即3a2－23ac＋c2＝0，所以3a－c＝0，故双曲线C的离心率为 3.19、椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝3(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．【解析】本题考查椭圆的定义、离心率等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c ＝3－1.20、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________. 【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求解．求解此题的关键是能够巧妙地应用过原点的直线与椭圆的两个交点关于原点对称来确定a 值，试题也侧重考查了逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝5 7.21、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2=6d1，则椭圆C的离心率为________．【解析】本题考查椭圆的基本概念及性质，意在考查学生的推理能力及运算能力．令F (c,0)，B (0，b )，则直线BF 的方程为x c ＋yb ＝1，所以d 1＝bc b 2＋c 2.又d 2＝a 2c －c ＝b 2c ，由d 2＝6d 1，可得b 2c ＝6·bc b 2＋c 2，解得b 2＝2c 2，所以a 2＝3c 2，a＝3c ，所以e ＝c a ＝33.22、 椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 【解析】本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．直线y＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c ＝3－1.23、 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．【解析】本题主要考查双曲线的离心率和解直角三角形，并结合数形结合思想和转化思想，意在考查考生的转化处理能力和运算能力．由已知可得，|PF 1|＝2c cos 30°＝3c ，|PF 2|＝2c sin30°＝c ，由双曲线的定义，可得3c －c ＝2a ，则e ＝c a ＝23－1＝3＋1.24、 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为______________．【解析】依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55.25、 椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．【解析】依题意得，点F (－a 2－5，0)，不妨设点A(a cos θ，－5sin θ)，|FA|＝|FB|＝(a cos θ＋a2－5)2＋5sin2θ＝a ＋a2－5cos θ，|AB|＝25sin θ，|FA|＋|FB|＋|AB|＝2a＋2a2－5cos θ＋25sin θ的最大值是2a＋(2a2－5)2＋(25)2＝4a＝12，即a＝3，因此该椭圆的离心率是23.26、设P为直线y＝b3a x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________. 【解析】由PF1⊥x轴且P点在双曲线的左支上，可得P(－c，－b2a)．又因为点P在直线y＝b3a x上，所以－b2a＝b3a×(－c)，整理得c＝3b，根据c2＝a2＋b2得a＝2 2b，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝3b 22b＝324. 27、 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．【解析】法一：因为在中，由正弦定理得，则由已知，得，即. 设点由焦点半径公式，得则. 记得，由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率.法二： 由法一知由椭圆的定义知 22221(0)x y a b a b +=>>12(,0),(,0)F c F c -P 1221sin sin a c PF F PF F =12PF F ∆211221sin sin PF PF PF F PF F =1211a cPF PF =12aPF cPF =00(,)x y 1020,PF a ex PF a ex =+=-00()()a a ex c a ex +=-0()(1)()(1)a c a a e xe c a e e --==-+0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则2210,e e +->2121(0,1)e e e <<∈或，又21,1)e ∈12c PF PF a=，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1. 28、 如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T ，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .【解析】直线的方程为：； 直线的方程为：.二者联立解得：，则在椭圆上，,解得. 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a +=+==+则即22222,,20,a PF a c a c c c a c a <+<++->+则既2210,e e +->xoy 1212,,,A A B B 22221(0)x y a b a b +=>>F 12A B 1B F OT M OT 12A B 1x y a b +=-1B F 1x y c b +=-2()(,)ac b a c T a c a c +--()(,)2()ac b a c M a c a c +--22221(0)x y a b a b +=>>2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--275e =-。