苏科版九年级数学上册第一单元《图形与证明》(1)小结+测试题

数学九年级（上）第一章知识点归纳总结
1.1 等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

1.2 直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

角平分线的性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

1.3 平行四边形的性质与判定：
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形的性质与判定：
定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。

定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。

2对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形的性质与判定：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：1四条边都相等的四边形是菱形。

2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形的性质与判定：
正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。

2有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

1.4 等腰梯形的性质与判定
定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

定理1：等腰梯形同一底上的两底角相等。

定理2：等腰梯形的两条对角线相等。

判定：1在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

2对角线相等的梯形是等腰梯形。

1.5 中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底的一半。

中点四边形：依次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。

原四边形对角线中点四边形
相等菱形
互相垂直矩形
相等且互相垂直正方形
九年级上册第一章《图形与证明》（二）习题集1
（时间：60分钟，总分：100分）
学校______________ 班级____________ 姓名____________ 得分___________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列判断正确的是（ ）
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ） A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等
3. 在平面直角坐标系xoy 中，已知A （2，－2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
4. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三边中垂线的交点
5. 角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：判断所构造的两个三角形全等的依据是（ ） A. SSS
B. ASA
C. SAS
D. AAS
6. 一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将滑动（ ） A. 0.9m
B. 1.5m
C. 0.5m
D. 0.8m
7. △ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于点D ，若BC=a ，则AD 等于（ ）
A. 12a
B. 32a
C. 3
2a D.
3a
8. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A. 30°
B. 36°
C. 45°
D. 70°
9. 如图，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ）
A. 45°
B. 55°
C. 60°
D. 75°
二、填空题：（每小题3分，共30分）
10. 如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条
件是________或________。

11. 如图，△
ABC 中，∠ACB=90°，以
△
ABC 的各边为
边在△ABC 外作三个正方形，S S S 123、、分别表示这三个正方形的面积，S S 1381225==，，则S 2=________。

12. 等腰三角形的腰长为2cm ，面积等于1平方cm ，则它的顶角的度数为________。

13. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10cm ，则△ODE 的周长________。

14. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是________。

15. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为________。

16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是________。

17. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且
AB=AC ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠∠D B C D A B
=
12
；
④△ABC 是正三角形。

请写出正确结论的序号________（把你认为正确结论的序号都填上）。

三、（每小题6分，共12分）
18. 已知：如图，D 是等腰△ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF 。

当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明。

19. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽。

它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。

设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且
OA A A A A A A A A 1122334891
======
……，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。

OA1OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8
四、（21,22每小题8分，23题12分，共28分）
20. 如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：
（1）AD=CB；
（2）AE=CF；
（3）∠B=∠D；
（4）AD∥BC。

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编出一道题。

21. 如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD、CD的长。

22. 如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c。

图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形。

请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形。

（2）用这个图形证明勾股定理。

（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）。

【试题答案】
一、选择题： 1. D
2. C
3. A
4. D
5. A
6. D
7. C
8. B
9. C
二、填空：
10. ∠ACB=∠CBD ，AB=CD 11. 144
12. 30°或150° 13. 10cm 14. 10° 15. 2
16. 32a
17. ① 三、
18. D 在BC 中点时，DE=DF ，连结AD 利用角平分线上的点到角两边距离相等。

19. 123256722，
，
，，
，
，
，，乘积=2470
20. 已知①AD=BC ，②AE=CF ③∠B=∠D 求证：AD ∥BC
证△ADF ≌△∠∠∥CBE SAS A C AD BC ()⇒=⇒ 21. 过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD Rt △ABE 中，BE=5，AE =53， Rt △CBF 中，BF=10，CF =103， ∴AD =+1053 CD =+1035 22. （1）
直角梯形
（2）1
2
12
12
12
2
()()a b a b ab ab c
++=
+
+
·
a b ab ab ab c
c a b 2
2
2
222
2++=++=+∴
（3）。