江苏专版2018高考数学大一轮复习第七章数列推理与证明39等差数列课件文
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第39课 等差数列
课前热身
激活思维
1. (必修5P38习题3改编)在等差数列{an}中，若a1＝－ 13 1，d＝2，则a8＝________. 2. ( 必 修 5P37 习 题 6 改 编 ) 若 a1 ， a2 ， a3 ， … ， an ， an ＋
1 ， … ， a2n 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 则 数 列 {a2n} 的 公 差 为
S5 【解析】设等差数列{an}的首项为 a1 ，则由 ＝3 ，得 S3 5a1＋10d a5 a1＋4d 17a1 17 ＝3，所以 d＝4a1，所以 ＝ ＝ ＝ . a3 a1＋2d 9a1 9 3a1＋3d
量，它们分别是 a1 ，d ， n ， an ，Sn. 掌握这五个基本量之间的各
种关系，结合熟练的运算，即可解决等差数列的常见问题．
【高频考点·题组强化】 1. (2015·宿迁一模)已知{an}是等差数列，若2a7－a5－3＝
3 0，则a9的值为________ ． 【解析】方法一：设公差为d，则 2(a1＋6d)－(a1＋4d)－3
(a2－a3)· (a2＋a3)＝(a4－a1)(a4＋a1)．因为{an}是公差不为零的 等差数列，所以 a2＋a3＝a4＋a1＝0.由 S5＝5a3＝5，得 a3＝1， a7－a3 a3－a2 所以 a2＝－1.由 ＝ ，得 a7＝9. 7－3 3－2
【思维引导】(1) 求得a2的值，设公差为d，构造关于d的方 程，然后求之． 【 精要点评 】 在等差数列的运算中，常用的有五个基本
2. 等差数列求和公式 na1＋an nn－1 d 2 1 Sn＝ ＝na1＋ d＝ n ＋a1－2d n. 2 2 2 3. 等差数列的其他性质 (1) 若 a，b，c 成等差数列，则称 b 为 a，c 的等差中项， a＋c 且 b＝___________. 2 (2) 在等差数列{an}中， 若 m＋n＝p＋q(m， n， p， q∈N*)，
例1
(1) 已知等差数列 {an} 中的前三项和为 12 ，且
2a1，a2，a3＋1依次成等比数列，求数列{an}的公差． 【解答】(1) 设等差数列{an}的公差为d，由数列的前三项 和为12，得3a2＝12，所以a2＝4.
因为2a1，a2，a3＋1成等比数列，
所以 2a1(a3＋1)＝a2 2， 即 2(a2－d)(a2＋d＋1)＝a2 2， 即d2＋d－12＝0，
【解析】在等差数列{an}中，由S5＝5a3＝5，得a3＝1.设公
差为d，则a4＋a6＝(1＋d)＋(1＋3d)＝10，解得d＝2.
3. (2016· 徐州、连云港、宿迁三检)已知公差为 d 的等差 17 S5 a5 9 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 ＝3，则 的值为________ ． S3 a3
5. (必修5P44练习6改编)在等差数列{an}中，已知S8＝24， 24 S16＝32，那么S24＝________.
Sn S8 S16 S24 【解析】因为 n 是等差数列，又 ＝3， ＝2，所以 8 16 24
＝1，即 S24＝24.
知识梳理
1. 等差数列的定义及通项 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的 同一个常数 差 都 等 于 _______________ ，那么这个数列就叫作等差数 公差 ． 列．这个常数叫作等差数列的___________ 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ： an ＝ a1 ＋ (n － 1)d ＝ nd ＋ a1 － d(n∈N*)； (n－m) d. 推广：an＝am＋_________
________ 2d ．
3. (必修5P40习题7改编)在等差数列{an}中，若a4＝10，a10 ＝4，则a7＝________. 7 【解析】由a4＋a10＝2a7，得a7＝7. 4. (必修5P44练习5改编)在等差数列{an}中，已知a5＝8，那 72 么S9＝______来自百度文库_.
9a1＋a9 【解析】S9＝ ＝9a5＝72. 2
解得d＝－4或3.
(2) (2016· 梁丰中学)已知数列{an}是公差不为零的等差数
2 2 2 列，Sn 为其前 n 项和，若 a2 ＋ a ＝ a ＋ a 1 2 3 4，S5＝5，求 a7 的值．
2 2 【解答】 方法一： 设数列{an}的公差为 d.由 a2 1＋a2＝a3＋ 2 2 2 2 2 a2 ，得 a ＋ ( a ＋ d ) ＝ ( a ＋ 2 d ) ＋ ( a ＋ 3 d ) ，即 8 a d ＋ 12 d ＝ 4 1 1 1 1 1
3 0.因为 d≠0，所以 a1＝－ d.又由 S5＝5a3＝5，得 a3＝1，所 2 以 a1＋2d＝1，解得 a1＝－3，d＝2，所以 an＝a1＋(n－1)d＝ 2n－5，故 a7＝2×7－5＝9.
2 2 2 2 2 2 2 方法二： 因为 a2 ＋ a ＝ a ＋ a ，所以 a － a ＝ a － a 1 2 3 4 2 3 4 1，即
am＋an＝ap＋aq 则_________________.
(2n－1)an (3) S2n－1＝___________.
Sn d Sn 也是等差数列，首项为 (4) ＝ a1 ＋ (n － 1) ，所以 n n 2 d a1 ，公差为_______. ____ 2
＝0，即a1＋8d＝3，所以a9＝3. 方法二： 由等差数列的性质得 a5 ＋ a9 ＝ 2a7 ，所以 (a5 ＋ a9) －a5－3＝0，即a9＝3.
2. (2015·苏州期末 ) 在等差数列 {an}中，已知 a4 ＋ a6 ＝ 10， 前5项和S5＝5，那么其公差为________ ． 2
(5) 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，即 Sk，S2k－Sk，S3k －S2k，…也成等差数列，公差为_______. k2 d (6) 分别用 An 和 Bn 表示等差数列{an}和{bn}的前 n 项和， A2n－1 an B2n－1 则 ＝__________. bn
课堂导学
等差数列的基本量运算
课前热身
激活思维
1. (必修5P38习题3改编)在等差数列{an}中，若a1＝－ 13 1，d＝2，则a8＝________. 2. ( 必 修 5P37 习 题 6 改 编 ) 若 a1 ， a2 ， a3 ， … ， an ， an ＋
1 ， … ， a2n 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 则 数 列 {a2n} 的 公 差 为
S5 【解析】设等差数列{an}的首项为 a1 ，则由 ＝3 ，得 S3 5a1＋10d a5 a1＋4d 17a1 17 ＝3，所以 d＝4a1，所以 ＝ ＝ ＝ . a3 a1＋2d 9a1 9 3a1＋3d
量，它们分别是 a1 ，d ， n ， an ，Sn. 掌握这五个基本量之间的各
种关系，结合熟练的运算，即可解决等差数列的常见问题．
【高频考点·题组强化】 1. (2015·宿迁一模)已知{an}是等差数列，若2a7－a5－3＝
3 0，则a9的值为________ ． 【解析】方法一：设公差为d，则 2(a1＋6d)－(a1＋4d)－3
(a2－a3)· (a2＋a3)＝(a4－a1)(a4＋a1)．因为{an}是公差不为零的 等差数列，所以 a2＋a3＝a4＋a1＝0.由 S5＝5a3＝5，得 a3＝1， a7－a3 a3－a2 所以 a2＝－1.由 ＝ ，得 a7＝9. 7－3 3－2
【思维引导】(1) 求得a2的值，设公差为d，构造关于d的方 程，然后求之． 【 精要点评 】 在等差数列的运算中，常用的有五个基本
2. 等差数列求和公式 na1＋an nn－1 d 2 1 Sn＝ ＝na1＋ d＝ n ＋a1－2d n. 2 2 2 3. 等差数列的其他性质 (1) 若 a，b，c 成等差数列，则称 b 为 a，c 的等差中项， a＋c 且 b＝___________. 2 (2) 在等差数列{an}中， 若 m＋n＝p＋q(m， n， p， q∈N*)，
例1
(1) 已知等差数列 {an} 中的前三项和为 12 ，且
2a1，a2，a3＋1依次成等比数列，求数列{an}的公差． 【解答】(1) 设等差数列{an}的公差为d，由数列的前三项 和为12，得3a2＝12，所以a2＝4.
因为2a1，a2，a3＋1成等比数列，
所以 2a1(a3＋1)＝a2 2， 即 2(a2－d)(a2＋d＋1)＝a2 2， 即d2＋d－12＝0，
【解析】在等差数列{an}中，由S5＝5a3＝5，得a3＝1.设公
差为d，则a4＋a6＝(1＋d)＋(1＋3d)＝10，解得d＝2.
3. (2016· 徐州、连云港、宿迁三检)已知公差为 d 的等差 17 S5 a5 9 数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 ＝3，则 的值为________ ． S3 a3
5. (必修5P44练习6改编)在等差数列{an}中，已知S8＝24， 24 S16＝32，那么S24＝________.
Sn S8 S16 S24 【解析】因为 n 是等差数列，又 ＝3， ＝2，所以 8 16 24
＝1，即 S24＝24.
知识梳理
1. 等差数列的定义及通项 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的 同一个常数 差 都 等 于 _______________ ，那么这个数列就叫作等差数 公差 ． 列．这个常数叫作等差数列的___________ 等 差 数 列 的 通 项 公 式 ： an ＝ a1 ＋ (n － 1)d ＝ nd ＋ a1 － d(n∈N*)； (n－m) d. 推广：an＝am＋_________
________ 2d ．
3. (必修5P40习题7改编)在等差数列{an}中，若a4＝10，a10 ＝4，则a7＝________. 7 【解析】由a4＋a10＝2a7，得a7＝7. 4. (必修5P44练习5改编)在等差数列{an}中，已知a5＝8，那 72 么S9＝______来自百度文库_.
9a1＋a9 【解析】S9＝ ＝9a5＝72. 2
解得d＝－4或3.
(2) (2016· 梁丰中学)已知数列{an}是公差不为零的等差数
2 2 2 列，Sn 为其前 n 项和，若 a2 ＋ a ＝ a ＋ a 1 2 3 4，S5＝5，求 a7 的值．
2 2 【解答】 方法一： 设数列{an}的公差为 d.由 a2 1＋a2＝a3＋ 2 2 2 2 2 a2 ，得 a ＋ ( a ＋ d ) ＝ ( a ＋ 2 d ) ＋ ( a ＋ 3 d ) ，即 8 a d ＋ 12 d ＝ 4 1 1 1 1 1
3 0.因为 d≠0，所以 a1＝－ d.又由 S5＝5a3＝5，得 a3＝1，所 2 以 a1＋2d＝1，解得 a1＝－3，d＝2，所以 an＝a1＋(n－1)d＝ 2n－5，故 a7＝2×7－5＝9.
2 2 2 2 2 2 2 方法二： 因为 a2 ＋ a ＝ a ＋ a ，所以 a － a ＝ a － a 1 2 3 4 2 3 4 1，即
am＋an＝ap＋aq 则_________________.
(2n－1)an (3) S2n－1＝___________.
Sn d Sn 也是等差数列，首项为 (4) ＝ a1 ＋ (n － 1) ，所以 n n 2 d a1 ，公差为_______. ____ 2
＝0，即a1＋8d＝3，所以a9＝3. 方法二： 由等差数列的性质得 a5 ＋ a9 ＝ 2a7 ，所以 (a5 ＋ a9) －a5－3＝0，即a9＝3.
2. (2015·苏州期末 ) 在等差数列 {an}中，已知 a4 ＋ a6 ＝ 10， 前5项和S5＝5，那么其公差为________ ． 2
(5) 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，即 Sk，S2k－Sk，S3k －S2k，…也成等差数列，公差为_______. k2 d (6) 分别用 An 和 Bn 表示等差数列{an}和{bn}的前 n 项和， A2n－1 an B2n－1 则 ＝__________. bn
课堂导学
等差数列的基本量运算