最新河南省南阳市高一数学下册期中测试题

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河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期4月期中质量评估数学试题一、单选题1．与角20244'-o 终边相同的角是（） A ．4044'-oB ．2244'-oC ．31556'oD ．67556'o2．已知()1,2A ，()4,3B ，(),6C x ，若AB AC ∥u u u r u u u r，则x =（） A ．10B ．11C ．12D ．133．在扇形AOB 中，2AOB ∠=，弦2AB =，则扇形AOB 的面积是（） A ．1sin1B ．()21sin1 C ．sin1D ．()2sin14．在梯形ABCD 中，90BAD CDA ∠=∠=︒，5AD =，则AD BC ⋅=u u u r u u u r（）A ．25B ．15C ．10D ．55．在ABC V 与111A B C △中，已知11111π,3AB A B x BC B C C C =====，若对任意这样两个三角形,总有111ABC A B C ≅△△，则（）A ．30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．(x ∈C ．)x ∞∈+D ．)32x ∞⎧⎫∈+⋃⎨⎬⎩⎭6．小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为G u r，两人手臂上的拉力分别为1F u u r ，2F u u r ，且12F F =u u r u u r ，1F u u r 与2F u u r 的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A ．θ越小越费力，θ越大越省力B ．始终有122G F F ==ru u r u u rC ．当2π3θ=时，1F G =u u r r D ．当π2θ=时，1F G =u u r r7．若π,,0,2αβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c o s t a n αα=，cos ββ=，cos sin θθ=，则α，β，θ的大小是（）A ．αθβ<<B ．αβθ<<C ．βαθ<<D ．βθα<<8．已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<<.其部分图象如下图，则π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1-B ．C ．12-D ．二、多选题9．下列等式恒成立的是（） A ．()sin πsin αα+=B ．πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．3πsin cos 2αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭D ．()tan πtan αα+=-10．已知向量()1,2a =r，2b =r ，a b +=r r ）A ．a r 在b r 上的投影数量是12-B ．b r 在a r 上的投影向量是⎛ ⎝⎭C ．a r 与b rD ．()4a b b +⊥r r r11．设函数f x =A sin ωx +φ （其中0A >，0ω>，π0ϕ-<<），若()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π5ππ266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）A ．2A =B ．23ω=C ．π2ϕ=-D ．当π3π,64x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ⎡∈-⎣ 12．在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，则（）A ．ABC V 的周长是5B ．BCC ．BCD ．BC三、填空题13．若[]0,2πx ∈，满足条件sin cos 0x x +>的x 的集合是.14．将函数1sin 22y x =的图象上各点向左平移π3个单位长度，再把横坐标缩短为原来的13，得到的图象的函数解析式是.15．已知5πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭19πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭. 16．在ABC V 中，D 为BC 边上的任一点，若1cos 3B =，22AB AD BD DC =+⋅，则sin C =.四、解答题17．如图，以Ox 为始边作角α与π0π2ββα⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为x ⎛ ⎝⎭.(1)求2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-的值；(2)若OP OQ ⊥，求P 的坐标.18．如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 中点，点N 在BD 上，3BN BD =.(1)设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，用a r ，b r 表示向量u u u rNC ； (2)求证：M ，N ，C 三点共线.19．（1）已知()1,0A -，()0,2B ，求满足5AB AD ⋅=u u u r u u u r，210AD =u u u r 的点D 的坐标；（2）设a r ，b r 为单位向量，且12a b ⋅=-r r ，向量c r 与a b +r r 共线，求b c +r r 的最小值.20．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =-. (1)求C ；(2)若5b =，c =ABC V 的面积.21．已知()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，且对任意的x ∈R ，都有()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 解析式；(2)若函数()()()g x f x m m =-∈R 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点1x ，2x ，求()12f x x +的值.22．已知a ，b ，c 分别为ABC V 中角A ，B ，C 的对边，G 为ABC V 的重心，AD 为BC 边上的中线.(1)若ABC V 60CGD ∠=o ，1CG =，求AB 的长； (2)若GB GC ⊥，求cos BAC ∠的最小值.。

2021-2022学年河南省南阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)

河南省南阳市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．把5π化成角度制是( ) A ．36︒B ．30︒C ．24︒D ．12︒〖解析〗根据180π=︒，可得11803655π=︒⨯=︒．〖答案〗A 2．55sin()(6π-= )A ．12-B ．12C ． D〖解析〗因为55551sin()sin(10)sin sin 66662πππππ-=--===．〖答案〗B3．(AB AD BC -+= ) A ．CDB ．DCC ．DBD ．BD〖解析〗AB AD BC DB BC DC -+=+=．〖答案〗B4．已知向量(1,1)a =-，(3,2)b =，则sin a <，(b >= )A ．B ．CD 〖解析〗根据题意，向量(1,1)a =-，(3,2)b =，则||11a =+=||94b =+，则321a b ⋅=-=，则有cos a <，1||||26a b b a b ⋅>===，则sin a <，1126b >=-=．〖答案〗C5．如图，圆1O 内切于圆心角为3π，半径为3的扇形OAB ，则图中阴影部分面积为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 〖解析〗设圆1O 的半径为r ，圆1O 与OA 切于E ，与弧AB 切于F ，如图：依题意可得16AOO π∠=，1122OO O E r ==，根据对称性可知，O ，1O ，F 三点共线，所以23r r +=，所以1r =，所以图中阴影部分面积为22131232πππ⨯⨯-⨯=．〖答案〗D6．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <” ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件〖解析〗在ABC ∆中，“sin sin A B >”，由正弦定理可得a b >，A B ⇔>，又A ，(0,)B π∈，cos cos A B ∴<．∴在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <”的充要条件．〖答案〗C7．已知点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-，若AP xAB y AC =+，则2(x y +=) A ．1B ．2C ．3D ．4〖解析〗由点P 为ABC ∆所在平面内一点，且满足2BP PC =-，则22()2AP AB BP AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，又AP xAB y AC =+，则1x =-，2y =，则21223x y +=-+⨯=．〖答案〗C8．函数cos sin y x x x =+在区间[π-，]π上的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．〖解析〗()cos sin y f x x x x ==+，则()cos sin ()f x x x x f x -=--=-， ()f x ∴为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C ，D ，当x π=时，()cos sin 0y f πππππ==+=-<，故排除B ．〖答案〗A9．将函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数〖解析〗式是( ) A ．4cos(4)5y x π=- B ．4sin(4)5y x π=+C ．44cos(4)5y x π=-D ．44sin(4)5y x π=+〖解析〗由题意函数4cos(2)5y x π=+的图象上各点向右平移2π个单位长度，得到4cos(2)cos(2)55y x x πππ=-+=-，再把横坐标缩短为原来的一半，得到cos(4)5y x π=-，再把纵坐标伸长为原来的4倍，得到4cos(4)5y x π=-，考察四个选项知，A 是正确的．〖答案〗A10．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，02)ϕπ<<的部分图象如图所示，则( )A ．3()4sin(2)4f x x π=+B ．13()4sin()24f x x π=+C ．15()4sin()24f x x π=+D ．5()4sin(2)4f x x π=+〖解析〗由函数()f x 图象可得4A =，又函数的周期72()422T ππππω=--==，可得12ω=，可得1()4sin()2f x x ϕ=+，又函数图象经过点3(2π，0)，即：134sin()022πϕ⨯+=， ∴解得：13222k πϕπ⨯+=，k Z ∈，可得：324k πϕπ=-，k Z ∈， 02ϕπ<<，∴取1k =，得54πϕ=．〖答案〗C11．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的( ) A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心〖解析〗设OA a =，OB b =，OC c =，则BC c b =-，CA a c =-，AB b a =-．由题可知，222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，2222||||||||a c b b a c ∴+-=+-，化简可得c b a c ⋅=⋅，即()0b a c -⋅=，∴0OC AB ⋅=，∴AB OC ⊥，即OC AB ⊥．同理可得OB AC ⊥，OA BC ⊥． O ∴是ABC ∆的垂心．〖答案〗C12．已知()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，若当[0x ∈，1]时，()sin2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[2021-，2022]上零点的个数为( ) A ．2021B ．2020C ．4043 D．4044〖解析〗当[1x ∈-，0]时，()()sin()2f x f x x π=-=-，函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象如图：由图可知，函数()y f x =在[1-，1]上的图象与函数||x y e -=的图象有2个交点，又因为()f x 是定义在R 上周期为2的偶函数，因为2022(2021)4043220221--==⨯+，所以函数()y f x =的图象与函数||x y e -=的图象在[2021-，2022]上的交点个数为4043．〖答案〗C二、填空题（本大题共4小题、每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，则实数λ= ．〖解析〗向量(1,2)a =，(,1)b λ=，且a b +与a b -垂直，222()()5(1)0a b a b a b λ∴+⋅-=-=-+=，则实数2λ=±．〖答案〗2±14．函数(1tan )y lg x π=++ ．〖解析〗对于函数(1tan )y lg x π=++21tan 0140x x π+>⎧⎨-⎩，即2tan 114x x π>-⎧⎪⎨⎪⎩，即,421122k x k k Z x πππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，求得1122x-，故该函数的定义域为1[2-，1]2．〖答案〗1[2-，1]215．如图，O 为ABC∆的外心，||2,||4AB BC ==，则()BA BC BO +⋅= ．〖解析〗22221111()||||24102222BA BC BO BA BO BC BO BA BC +⋅=⋅+⋅=+=⨯+⨯=．〖答案〗1016．下列6个函数：①|sin |y x =，②sin ||y x =，③|cos |y x =，④cos ||y x =，⑤|tan |y x =，⑥tan ||y x =，其中最小正周期为π的偶函数的编号为．〖解析〗①|sin |y x =是偶函数，且周期为1221ππ⨯=，故满足条件；②sin ||y x =是偶函数，但它不是周期函数，故不满足条件； ③|cos |y x =是偶函数，最小正周期是π，故满足条件； ④cos ||y x =不是周期函数，故不满足条件； ⑤|tan |y x =是偶函数，周期为π，故满足条件； ⑥函数tan ||y x =是偶函数，没有周期，故不满足条件．〖答案〗①③⑤三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边上一点，且sin α= （1）求m 的值；（2）求sin()cos()tan(2022)23sin(2023)sin()2παπαπαππαα-++--++的值．解：（1）因为角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，(2,)P m -是角α终边上一点，且sin α==，所以解得1m =；（2）由（1）可得11tan 22α==--，所以1sin()cos()tan(2022)1cos (cos )(tan )cos sin 1tan 12231sin cos sin cos tan 13sin(2023)sin()122παπαπαααααααπαααααπαα-++--+--++=====-----++--． 18．（12分）已知(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ．（1）若AB CD =，求D 点的坐标；（2）设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值．解：（1）(1,3)A ，(2,2)B -，(4,1)C ，设(,)D x y ，则由AB CD =，可得(1，5)(4x -=-，1)y -，41x ∴-=，15y -=-，求得5x =，4y =-，可得(5,4)D -．（2）向量(1,5)a AB ==-，(2,3)b BC ==，故a 、b 不共线，若ka b -与3a b +平行，则113k -=，∴实数13k =-． 19．（12分）已知O 是坐标原点，(1,3)OA =-，(4,0)OB =，点P 满足0PA PB PO ++=．（1）求||OP ；（2）设t R ∈，求||OA tOP +的最小值．解：（1）0PA PB PO ++=，∴0OA OP OB OP OP -+--=，故3(3,3)OP OA OB =+=，故(1,1)OP =，故||2OP =（2）|||(1OA tOP t +=-，3)|t +=1022=；当且仅当1t =-时，等号成立；故||OA tOP +的最小值为20．（12分）“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m ，直径153m ．匀速旋转一圈需时30min ．以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，画示意图，如图1．设座舱A 为起始位置如图2，经过xmin 后，OA 逆时针旋转到OP ，此时点P 距离地面的高度()()h x m 满足()sin()h x M x K ωϕ=++，其中0M >，0ω>，[ϕπ∈-，]π．（1）根据条件求出()()h x m 关于()x min 的〖解析〗式；（2）在摩天轮转动的第一圈内，有多长时间P 点距离地面不低于45.25m ？解：（1）由题意得160160153M K M K +=⎧⎨-+=-⎩，可得76.583.5M K =⎧⎨=⎩，又23015ππω==，由于(0,7)A 在函数图象上，可得776.5sin 83.5ϕ=+，可得sin 1ϕ=-，又[ϕπ∈-，]π，所以2πϕ=-，所以()76.5sin()83.5152h x x ππ=-+，0x ．（2）由76.5sin()83.545.25152x ππ-+，可得1sin()1522x ππ--，又030x 时，可得321522x ππππ--，所以761526x ππππ--，解得525x ，故在摩天轮转动的第一圈内，有20分钟P 点距离地面不低于45.25m ． 21．（12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c b c ac b a b++=+-．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆外接圆半径1R =，求ABC ∆面积的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．解：（1）由于c b c ac b a b++=+-，整理可得222a b c ab +-=，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又(0,)C π∈，可得3C π=．（2）由题意3C π=，ABC ∆外接圆半径1R =，根据正弦定理2sin cR C=，可得2sin c R C = 由余弦定理，基本不等式可得2232a b ab ab ab ab =+--=，当且仅当a b =时等号成立，可得11sin 3222ABC S ab C ∆=⨯⨯=，可得ABC ∆，此时三角形为等边三角形． 22．（12分）已知向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6n x π=+，1)-，函数()f x m n =⋅，当3[,]44x ππ∈时，函数()f x 的值域为[1]-．（1）求实数a ，b 的值；（2）设函数()()g x f x λ=-在[0,]2π上有两个零点，求实数λ的取值范围；（3）若对x R ∀∈，都有2()(8)()40f x k f x k +--恒成立，求实数k 的取值范围．解：（1）由向量(2,2)m a a b =+（其中0)a >，(sin(2)6n x π=+，1)-，则函数()2sin(2)26f x m n a x a b π=⋅=+--，由3[,]44x ππ∈，则252[,]633x πππ+∈，又0a >，则函数()f x 的值域为[4a b --2]a b --，又函数()f x 的值域为[1]-，即4321a b a b --=-⎧⎪--=，则1a =，1b =-；（2）由（1）得()2sin(2)16g x x π=+-，又[0,]2x π∈，易得()g x 在[0，]6π为增函数，在[,]62ππ为减函数，又(0)0g =，()16g π=，()22g π=-，又函数()()g x f x λ=-在[0,]2π上有两个零点，则实数λ的取值范围为[0，1)；（3）设()t f x =，则[3t ∈-，1]，则原不等式可转化为对[3t ∀∈-，1]，都有2(8)40t k t k +--恒成立，设2()(8)4h t t k t k =+--，([3,1])t ∈-，则(3)0(1)0h h -⎧⎨⎩，即95k ，即实数k 的取值范围为9[,)5+∞．。

河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷

河南省南阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分）不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是（）A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高二上·新乡月考) 已知等差数列的前三项依次为为（），则此数列的第项A.B.C.D.3. （2 分） (2019 高二上·佛山月考) 如果，那么下列不等式成立的是（）A. B. C. D.4. （2 分） (2020 高一下·台州期末) 在，则（）中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，，第 1 页共 16 页A. B. C.2 D.5. （2 分） (2020 高一下·吉林期中) 在等比数列的值为（）中，，是方程的根，则A.B.C.D.26. （2 分） (2020 高一下·金华期中) 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若A.当（为非零实数），则下列结论错误的是（）时，是直角三角形B.当时，是锐角三角形C.当时，是钝角三角形D.当时，是钝角三角形7. （2 分）等比数列{an}的各项均为正数，且 A . 12 B . 10 C.8，则（）第 2 页共 16 页D . 148. （2 分） (2016 高二上·洛阳期中) 设 x，y 满足约束条件 b＞0）的最大值为 8，则 a+b 的最小值为（），若目标函数 z=abx+y（a＞0，A.2B.4C.6D.89. （2 分）设锐角为（）的三内角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c，且 a=1，B=2A,则 b 的取值范围A.B.C. D.10. （2 分）化简 A.5的结果为（）B.C.－ D . －5二、双空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） (2017 高二下·惠来期中) 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b=2，c=2 ，第 3 页共 16 页且 C= ，则△ABC 的面积为________．12. （1 分） (2020 高三上·石家庄月考) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 Sn＋an＝1，记 bm 为数列{an}中能使成立的最小项，则数列{bm}的前 99 项之和为________．13. （1 分） (2018·长春模拟) 设实数满足约束条件14. （1 分） (2019 高三上·新洲月考) 已知中，角，，，则________.三、填空题 (共 3 题；共 3 分)，则的最大值为________.所对边分别为，15. （1 分） (2018 高二上·赣榆期中) 函数的最小值为________．16. （1 分） (2019 高一上·哈尔滨月考) 设函数对的一切实数都有，则=________17. （1 分） (2019 高一上·台州期中) 已知函数________；若在上是单调函数，则的取值范围是________．，若为偶函数，则四、解答题 (共 5 题；共 40 分)18. （10 分） (2019 高一下·杭锦后旗期中) 在中的内角 , , 所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，且，求的值.19. （10 分） (2017 高二上·阳朔月考) 解下列不等式并将结果用集合的形式表示。

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县第一高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县高一下学期期中数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，角，其顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终xOy 120α=︒O x 边过点，则实数的值是（）(4,)P m -mA ．B ．C ．D ．--【答案】C【分析】根据三角函数的定义，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】由三角函数定义，可得，解得tan1204m︒=-4tan120m =-︒=故选：C2．下列说法正确的是A ．小于的角是锐角B ．钝角是第二象限的角90C ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角与角的终边相同，则αβαβ=【答案】B【详解】小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A 不正确．钝角是第二象限的角，正确；第二象限的角大于第一象限的角，例如：150°是第二象限角，390°是第一象限角，显然判断是不正确的．C 是不正确的．若角α与角β的终边相同，那么α=β+2kπ，k ∈Z ，所以D 不正确．故选B ．3．已知，则（）5s n(π6i 4)x -=πcos()3x +=A ．B ．C ．D ．45-35-4535【答案】C【分析】根据可得，进而求解.πππ632x x -++=ππππcos(cos[()]sin()3266x x x +=--=-【详解】因为，且，5s n(π6i 4)x -=πππ632x x -++=所以，ππππ4cos()cos[()]sin()32665x x x +=--=-=故选：.C4．已知非零向量、满足，，则与的夹角为（）a b 2a b a b -=+= 1a = a b + a b - A ．B ．6π3πC ．D ．23π56π【答案】C【分析】利用等式结合可求得，且有，利用平面向量的数量2a b a b -=+= 1a = 0ab ⋅= b = 积求出，结合向量夹角的取值范围可得出结果.cos ,a b a b <+->【详解】由，可得，所以，，2a b a b -=+=2222224a a b b a a b b -⋅+=+⋅+=0a b ⋅= 因为，则，故，1a = 214b += b = 所以，，()()221cos ,222a b a b a b a b a b a b a b+⋅--<+->===-⨯+⋅- 因为，因此，.0,a b a b π≤<+->≤ 2,3a b a b π<+->=故选：C.5．在中，内角A ，，的对边分别为，，，，则的形ABC B C a b c 22sin sin 0a bA B c --+=ABC 状一定为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理边化角计算即可.【详解】在中，，ABC 22sin sin 0a bA B c --+=则由正弦定理得：则，2(sin sin )2(sin sin )1(sin sin )0sin sin A B A B A B C C -⎛⎫-+=+⋅-= ⎪⎝⎭因为三角形中，，故，()0,πA B C Î、、2sin 010sin C C >⇒+≠所以，则的形状一定为等腰三角形．sin sin A B a b =⇒=ABC 故选：B6．如图，在中，设，，，，则（）ABC AB a=AC b = 2BD DC = 4AE ED = BE =A ．B ．1181515a b - 28315a b -C ．D ．1181515a b-+ 28315a b-+ 【答案】C【分析】利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．【详解】由于，，BC AC AB b a =-=- 2BD DC =故，22()33BD BC b a ==-，221()333AD AB BD a b a b a=+=+-=+ 又因为，4AE ED = 故，112121()55331515DE DA b a b a==-+=-- 所以．111221()351581515BE BD DE b a a b ba =+=---=-+ 故选：C ．7．已知△ABC 中，，则在上的投影向量为（）0,,2AC AB AO AC AB AO AB ⋅==+= BA BCA ．BC ．D ．14BC14BC -【答案】A【分析】由题意可知，且O 是边的中点，结合可得是等边三角形，AB AC ⊥BC AO AB=OAB 从而推出，利用投影向量的定义即可求得答案.1||||2BA BC = 【详解】由,知，且O 是边的中点，0AC AB ⋅= 2AO AC AB =+AB AC ⊥BC则,而，所以，OA OB =AO AB= ||||||OA AB OB ==所以是等边三角形，所以,OAB 160,||||2ABC BA BC ∠=︒∴=因此向量在向量上的投影向量为，BABC 11||cos ||44||||BC BC BA ABC BC BC BC BC ∠⋅=⋅=故选：A8．如图，平面四边形ABCD 中，，，，，，则（）AB BC ⊥AB BC =AD AC ⊥3ADC π∠=AC xAB y AD =+ y x =A B C ．D ．212【答案】B【分析】法一：构建以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x 、y 即可求值；,,AC AB AD 法二：过C 作交AB 的延长线于E ，作交AD 的延长线于F ，利用向量加法的平//CE AD //CF AB行四边形法则可得求x 、y ，进而求值；2AC AB =法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、()AC AB xAB y AD AB ⋅=+⋅ 及已知条件构建方程求x 、y 即可.()AC AD xAB y AD AD ⋅=+⋅【详解】法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，由，，则，||1AB =(1,0)AB =AB BC ⊥||||AB BC =||AC =(1,1)AC = 又，，即ADAC ⊥3ADC π∠=||AD∴，AD ⎛⎛== ⎝⎝ 由，有，解得AC xAB y AD=+ 11x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2=⎧⎪⎨=⎪⎩x y y x 法二：如图，过C 作交AB 的延长线于E ，作交AD 的延长线于F ，//CE AD //CF AB ∴.AC AE AF =+由，及，易知：B是线段AE 的中点，于是.AB BC ⊥AB BC =//CE AD 2AE AB =由，，得，易知，，AD AC ⊥3ADC π∠=AD AC=AC CE =CE AF =∴，则，故，于是，又，AF AC =AF=AF=2AC AB =AC xAB y AD=+∴2=⎧⎪⎨=⎪⎩x y y x =法三：设，由，，得，1AB =ABBC ⊥AB BC =AC =1AC AB ⋅== 由，得，又，则.AD AC ⊥0AC AD ⋅= 3ADC π∠=AD =又，()AC AB xAB y AD AB x y ⎛⋅=+⋅= ⎝x y =，()AC AD x AB y AD AD ⋅=+⋅=223x y y ⎛+=+ ⎝∴，于是1203x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2=⎧⎪⎨=⎪⎩x y y x =故选：B.二、多选题9．已知函数在上单调，且的图象关于点对称，()()2πcos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭则（）A ．的周期为()fx 2πB ．若，则()()122f x f x -=12min 2πx x -=C ．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数()f x π3D ．函数在上有1个零点()y f x =+[]0,π【答案】BCD【分析】对于A ，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心求解即可；对于B ，由A，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于C ，根据三角函数平移性质判断即可；对于D ，根据余弦函数值直接求解即可.【详解】对于A ，因为函数在上单调，所以的最小正周期2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x T 满足，即，所以，3π22T ≥π3π2ω≥203ω<≤因为的图象关于点对称，所以，得，()f x π,03⎛⎫-⎪⎝⎭π2πππ,Z 332k k ω-+=+∈13,Z 2k k ω=-∈所以当时，，所以，故A 错误；0k =12ω=2π4π12T ==对于B ，，，()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()122f x f x -=则分别为，则为半周期，即，故B 正确；()()12,f x f x 1,1-12minx x -2π对于C ，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，()f x π3()1π2π1cos sin 2332g x x x⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，故C 正确；()g x 对于D ，，即12πcos 023x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12πcos 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭令，当时，，故仅有，故D 正确．12π23t x =+[0,π]x ∈2π7π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π4t =故选：BCD.10．已知函数，若存在，使，则()()sin 24f x x ωω=≤<[]1212,π,2π,()x x x x ∈≠12()()2f x f x +=的值可以是（）ωA ．2B ．C ．3D ．5272【答案】BD【分析】由题设，令得且，结合给定定义域区间有12()()1f x f x ==()1f x =14π2x kω+=Z k ∈且，在满足存在两个整数，进而确定范围，即可得结果.12144k ωω-≤≤-*N k ∈24ω≤<k ω【详解】存在，使，即，[]1212,π,2π,()x x x x ∈≠12()()2f x f x +=12()()1f x f x ==令，则且，故且，sin ()1x f x ω==π2π2x k ω=+Z k ∈14π2x k ω+=Z k ∈所以，结合ω范围知：且，即在内至少存在两个值，14ππ2π2k ω+≤≤*N k ∈12144k ωω-≤≤-k 若，则，可得满足；{1,2}k ∈⊆[,11]442ωω--1124124ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩95[,][2,4)42ω=⊆若，则，可得，又，故；{2,3}k ∈⊆[,11]442ωω--1224134ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩13942ω≤≤24ω≤<1344ω≤<综上，.9513[,[,4)424ω∈ 故选：BD11．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（）ABC ,,A B C ,,a b c A ．若,则A B >sin sin A B>B ．若的三角形有两解，则a 的取值范围为2,30b A ==(1,)+∞C ．若点O 为内一点，且，则ABC 0OA OB OC ++= :1:6BOC ABCS S =△△D ．若是锐角三角形，，则边长c 的取值范围是ABC 2,3a b ==【答案】AD【分析】根据正弦定理可判断A ；利用正弦定理解三角形可判断B ；根据向量的线性运算结合三角形面积公式可判断C ；根据三角形为锐角三角形，利用余弦定理列出不等式，可判断D.【详解】由，可得，根据正弦定理得，即选项A 正确；A B >a b >sin sin A B >在中，，∴由正弦定理得,ABC 2,30b A ==sin 1sin b A a a B ==∵，∴，30A =0150B <<︒要使三角形有两解，得到，且，,30150B ︒<<︒90B ≠1sin 12B <<即，解得，故B 错误；1112a <<12a <<如图，取中点D ，连接，AB OD则，∴，∴三点共线,02OA OB OC OD OC ++==+2OD OC =- ,,D O C 所以，23OC DC =则，22113323BOC BCD ABC ABC S S S S ==⋅= ∴，故C 错误；:1:3BOC ABC S S = 对选项D ，因为是锐角三角形，ABC所以，整理可得，222222222cos 02cos 02cos 02b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=>⎪⎪⎪+-=>⎨⎪⎪+-=>⎪⎩222940490490c c c ⎧+->⎪+->⎨⎪+->⎩，故D正确，c <<故选：AD12．下列说法错误的是（）A ．若与是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上ABCD B ．若，则一定有使得a b ∥R λ∈a b λ= C ．若，且，则和在上的投影向量相等a b a c ⋅=⋅ 0a ≠ b c a D ．若，则与的夹角为||||2||0a b a b a +=-=≠ a b + a b - 60︒【答案】ABD【分析】根据向量共线，数量积的几何意义，以及向量夹角和模的公式，即可判断选项.【详解】A. 若与是共线向量，则与方向相同或相反，点A ，B ，C ，D 不一定在同一AB CD ABCD 条直线上，故A 错误；B. 若，，时，不存在使得，故B 错误；a b ∥0b = 0a ≠ R λ∈a b λ= C.根据投影向量的定义和公式，可知C 正确；D.由，两边平方后得，且，两边平方后得，||||a b a b +=- 0a b ⋅= ||2||0a b a -=≠ ，，223b a = ()()2222221cos ,244a b a b a b a a b a b a b a b a a+⋅---+-====-+-所以与的夹角为，故D 错误.a b + a b - 120故选：ABD三、填空题13．若与共线，则 ___．()2,3a =()6,b y =- y =【答案】9-【分析】根据向量共线的坐标表示，列式即可求得答案.【详解】因为与共线，()2,3a =()6,b y =-故，23(6)0,9y y -⨯-=∴=-故答案为：9-14．在中，角所对的边分别为，，，，且ABC ,,A B C a bc 60A =︒ABC ______．b c +==a 【答案】3【分析】根据三角形面积解得，代入6bc =b c +=b c ==b c ==根据余弦定理求得.3a =【详解】；1sin 2ABC S bc A ==6bc =又得：b c +=6bc =b c ==b c ==根据余弦定理得：，2222123cos 226b c a a A bc +-+-==⨯解得：；3a =故答案为：315．在平面直角坐标系xOy 中，角的顶点为O ，始边为x 轴的非负半轴，终边经过点，α(3,4)P -则__________sin (2)cos ()3sin ()cos ()22παπαππαα-++=++-【答案】17【分析】根据题意，列出与，根据诱导公式，化简求解即可.sin αcos α【详解】由已知得，，，4sin 5α=3cos 5α=-43sin (2)cos ()sin cos 155334cos sin 7sin ()cos ()2255παπαααππαααα-+-++--===-++---故答案为：17四、双空题16．如图，在中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且，则ABC AD AE xAB y AC +=+____________，的最小值为_____________.x y +=14x y +【答案】2/ 92 4.5【分析】设，，由，，，共线及已知可得，从AD mAB nAC =+AE AB AC λμ=+ B D E C 2x y +=而有，然后利用基本不等式即可求解；14114()()2x y x y x y +=++ 【详解】解：设，，AD mAB nAC =+AE AB AC λμ=+ ，，，共线，B D EC ，，1m n ∴+=1λμ+=，AD AE xAB y AC +=+ 又()()AD AE m AB n AC λμ+=+++ ，，x m λ∴=+y n μ=+，显然，，2x y m n λμ∴+=+++=0x >0y >所以141141419()552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当且即，时取等号4y x xy =2x y +=23x =43y =故答案为：2；．92五、解答题17．设，是两个不共线的向量．a b (1)若，，求；(1,3)a =- (2,1)b=-,a b 〈〉 (2)若，求的值．()(3)a b a b λλ++ ∥λ【答案】(1)3π,4a b 〈〉=(2)λ=【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式求夹角即可；（2）根据向量平行的充要条件计算参数即可.【详解】（1）因为[0,π]，cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉==所以.3π,4a b 〈〉=（2）因为，设，μ为实数，()(3)a b a b λλ++ ∥(3)a b a b λμλ+=+ 即，则，即，3a b a b λμλμ+=+31λμλμ=⎧⎨=⎩23λ=解得λ=18．已知函数的部分图像如图所示．π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求的解析式．()f x (2)先将的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，()f x π12得到函数的图像．当时，求的值域．()g x ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x 【答案】(1)π()4sin 66f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)[]2,4-【分析】（1）根据最值求出，再由周期求出，最后根据对称中心求出，可得解4A =6ω=π6ϕ=-析式；（2）先根据平移伸缩求出，再根据求出值域即可.()g x ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）根据图像可得，4A =，则，因为，所以．7πππ236366T =-=12ππ2||6ω⋅=0ω>6ω=将代入的解析式，得，π,036⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π4sin 6036ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭则，，π6π36k ϕ⨯+=Z k ∈得，．ππ6k ϕ=-+Z k ∈因为，所以，||2ϕπ<π6ϕ=-所以．π()4sin 66f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1）知，π()4sin 66f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭将的图像向左平移个单位长度得，()f x π12πππ4sin 64sin 6263y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得的图像，π()4sin 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以，ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ5π3,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦则，1πsin 3123x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭所以，π24sin 343x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭故在上的值域为()g x ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]2,4-19．在中，角，，所对的边分别为，，，且．ABC A B C a b c sin sin ()sin 0b B a A b c C -++=(1)求角的大小；A (2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．A AD BC D 4=AD 6AC =ABC 【答案】(1)2π3A =(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解.c 【详解】（1）因为，sin sin ()sin 0b B a A b c C -++=所以根据正弦定理可得，即，2220b a bc c -++=222b c a bc +-=-由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==-因为，所以；(0,π)A ∈2π3A =（2）由，ABD ACDABCS SS+=△△△得，解得，1π1π12π4sin 46sin 6sin232323c c ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯12c =所以的面积为.ABC 12π612sin 23⨯⨯⨯=20．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列()()(sin >0)2f x A x πωϕωϕ=+<，表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；()f x (2)若在上有两根，求的取值范围.()()f x m m =∈R 0,2π⎡⎤⎢⎣⎦m【答案】(1)表格见解析，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）根据表格数据可得A 和周期，然后可得，带点可得；ωϕ（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求24t x π=+sin t =[,]44t π5π∈解可得.【详解】（1）补充表格:x ωϕ+0π2π3π22π最小值为可知又，故A =12522882T ωππππ=⋅=-=2ω=再根据五点作图法，可得，得 282ϕππ⋅+=4πϕ=，故()2.4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)令，则24t x π=+[,]44t π5π∈所以=在上有两个根.()f x m t m =[,44t π5π∈即上有两个根.sin t =[,]44t π5π∈由在,sin y t =[,]44t π5π∈1≤<所以1m ≤<故实数的取值范围为m21．函数在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C()(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭为的图象与x 轴的交点，且为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的()f x ABC ()f x 倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.π23π()y g x =（1）求函数的解析式；()g x（2）若不等式对任意恒成立，求实数m 的取值范围.2sin (2)3m x x m π-≤+x R ∈【答案】（1）（2）1()2g x x =3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得，再由即可得，再利用三角函数图象4T =2T πω=ω变换的规律即可得解；（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得在上恒成2cos cos 30m x m x ++≥R 立，令，按照、、分类，结合二次函数的性质即可得解.cos ,[1,1]x t t =∈-0m =0m <0m >【详解】（1）由题意点为等边三角形，A ABC 所以三角形边长为2，所以，解得，24T πω==2πω=所以，()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，()f x π1()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再向右平移个单位，得到；23π121()2332g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由题意，(2)2g x x xππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以恒成立，22sin (2)sin cos 3m x g x m x m x m π⋅-=-≤+原不等式等价于在上恒成立.2cos cos 30m x m x ++≥R 令，即在上恒成立，cos ,[1,1]x t t =∈-230mt mt ++≥[1,1]t ∈-设，对称轴，2()3t mt mt ϕ=++12t =-当时，成立；0m =()30t ϕ=≥当时，，解得，此时；0m <min ()(1)230t m ϕϕ==+≥32m ≥-302m -≤<当时，，解得，此时；0m >min 1()30242mmt ϕϕ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭12m ≤012m <≤综上，实数m 的取值范围为.3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了三角函数图象的变换与性质的应用，考查了换元法求最值及恒成立问题的解决方法，属于中档题.22．已知锐角的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC ．()222sin (2sin sin )A a b c abBC +-=-(1)求A ；(2)求的取值范围．sin sin B C +【答案】(1)π3A =(2)32⎛ ⎝【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可；（2）利用两角差的正弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的性质进行求解即可【详解】（1）由条件得， 2222sin 2sin sin 2a b c A B Cab +-⋅=-由余弦定理得，2sin cos 2sin sin A C B C =-因为，所以，πA B C ++=2sin cos 2sin()sin A C A C C =+-得，即， 2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A C A C A C C =+-sin 2cos sin C A C =因为，所以，sin 0C ≠1cos 2A =又，所以．0πA <<π3A =（2）． 2π3πsin sin sin sin sin 326B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为为锐角三角形，ABC所以，且，所以． 2ππ032B <-<π02B <<ππ62B <<，π362B ⎛⎫⎛+∈ ⎪ ⎝⎭⎝即的取值范围是．sin sin B C +32⎛ ⎝。

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期末质量评估数学试题

2024年春期高中一年级期终质量评估数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（）AB ．CD2．已知：，其中为虚数单位，则（）A ．1B CD ．23．如图是底面半径为1的圆锥，将其放倒在水平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在水平面内首次转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则滚动过程中该圆锥上的点到水平面的距离最大值为（）A ．B ．2C D4．已知：，，，若，则与的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量，则向量在向量上的投影向量是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞，，，经测量知，这个容器最多可盛原来水的（）22cos 15sin 15︒-︒=12()11z i i -=+i z =O ()1,2a = ()2,4b =-- c = ()52a b c +⋅= a c xOy ()3,4OA = OA 23πOB OB OA322⎛+-⎝3,22⎛⎫⎪⎝⎭322⎛---+ ⎝3,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D E F :::2:1SD DA SE EB CF FS ===A．B ．C ．D ．7．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（）A ．函数的对称中心为B ．若，则C ．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为D ．若，则8．如图，在直角梯形中，已知，，，，现将沿折起到的位置，使二面角的大小为45°，则此时三棱锥的外接球表面积是（）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．下列有关复数内容表述正确的是（）A ．若复数满足，则一定为纯虚数B ．对任意的复数均满足：C ．设在复数范围内方程的两根为，，则D ．对任意两个复数，，若，则，至少有一个为019272327293331351cos θ-θsin ver θ1sin θ-θcov ers θ()sin cov 1f x ver x ersx =-+,14k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()sin cov 1g x ver x ersx =⋅-()g x 1()sin 2cov 1h x ver x ersx =-+()1h α=02πα<<α43πsin 1cov 1ver x ersx -=-cov 311cov 13ers x ersx -=-ABCD AD BC 1AD AB ==90BAD ∠=︒45BCD ∠=︒ABD △BD PBD △P BD C --P BCD -83π143π4π6πz 0z z +=z z 22z z=24130x x -+=1x 2x 124x x +=1z 2z 120z z ⋅=1z 2z10．已知函数，且，则（）A ．B ．函数是偶函数C ．函数的图像关于直线对称D ．函数在区间上单调递减11．如图，在正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，点，分别为侧棱，上的异于端点的动点.则下列说法正确的是（）A ．若，则不可能存在这样的点，使得B ．若，，则C ．若平面，则D ．周长的最小值是三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是___________.13．如图，在中，，，，的角平分线交于，交过点且与平行的直线于点，则___________.14．设为函数图象上任意一点，的最大值是___________.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分13分）（1）已知复数满足，求；()()sin cos 0f x a x b x ab =+≠44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b=4f x π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x 54x π=()f x ,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭A BCD -a 2a E F AC AD BE AC ⊥F EF AC⊥13AE AC = 23AF AD = 29E ABF B EFDCV V --=CD BEF EF CDBEF △52a ()1,2OA = ()2,1OB =-P AB P ABC △60ABC ∠=︒AC =2BC =ABC ∠AC D A BC E DE =(),P x y ()[]()sin cos 11,122f x x x x ππ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭z 13z i z =+-()()1334i i z++（2）设，复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.16．（本小题满分15分）已知为锐角，为钝角，且，.（1）求的值；（2）求的值.17．（本小题满分15分）在中，，.（1）求证：；（2）若，，求的值.18．（本小题满分17分）如图，平面，底面为矩形，，点是棱的中点.（1）求证：；（2）若，分别是，上的点，且，为上任意一点，试判断：三棱锥的体积是否为定值？若是，请证明并求出该定值；若不是，请说明理由.19．（本小题满分17分）x ∈R ()2121log 1log cos 2z x i x ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭x αβsin α=1tan 7β=-sin 2β2βα-ABC △ABD α∠=DBC β∠=()sin sin sin BD BA BCαββα+=+AB AC =72C ∠=︒cos36︒PA ⊥ABCD ABCD 112PA AB BC ===E PB AE PC ⊥M N PD AC 2PM ANDM CN==Q MN P ABQ -已知在中，角，，所对应的边分别为，，.圆与的边及，的延长线相切（即圆为的一个旁切圆），圆与边相切于点.记的面积为，圆的半径为.（1）求证：；（2）若，，①求的最大值；②当时，求的值.ABC △AB C a b c M ABC △AC BA BC M ABC △M AC T ABC △S M r 2Sr a b c=-+3B π=8b =r r =AM AC ⋅。

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。

2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。

3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。

4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。

河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期期中联考试题数学含答案

2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3cos 5θ=-，则m =（）A ．43-B ．34-C ．43±D ．34±2．已知非零向量(4,0)a k =- ，(6,2)b k =+，若a b ∥ ，则||a = （）A ．8B ．C ．6D ．3．17tan6π=（）A ．3-B ．3C ．D ．4．如图，在ABC △中，E 为边AB 的中点，2BD DC =，则DE = （）A ．1263AB AC-+B ．5163AB AC+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-5．如图所示的是为纪念南阳解放50周年于1998年11月4日建立的南阳解放纪念碑，某学生为测量该纪念碑的高度CD ，选取与碑基C 在同一水平面内的两个测量点A ，B ．现测得30BAC ∠=︒，105ABC ︒∠=，156AB =米，在点B 处测得碑顶D 的仰角为30︒，则纪念碑高CD 为（）A ．262米B ．392米C ．266米D ．393米6．已知向量,a b 满足||2||||2a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．14-B ．12-C ．14D ．127．已知函数()2cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若函数()f x θ+的图象关于y 轴对称，则||θ的最小值为（）A ．16B ．13C ．12D ．18．如图，在ABCD 中，60DAB ∠=︒，2AB AD =，E 为边AB 的中点，线段AC 与DE 交于点F ，则cos AFE ∠=（）A ．32114-B ．217-C ．714-D ．17-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3b =，60A =︒，a 为常数，满足条件的ABC △唯一确定，则a 的值可能为（）A ．2B 3C ．112D ．3210．已知向量(1,3)a =，(,2)(0)b x x =-> ，且()a b b +⊥ ，则（）A ．与b 同向的单位向量为55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．a 与b 的夹角为4πC ．||a b +=D ．a 在b上的投影向量是(1,2)-11．已知函数()|sin |cos f x x x =（注：sin 22sin cos x x x =⋅），则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 图象的一条对称轴为直线2x π=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若扇形的弧长为43π，圆心角为6π，则扇形的面积为__________．13．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()sin sin sin sin a b c A B C a B +++-=，则C =__________．14．如图，在面积为3的ABC △中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则254PB PC BC⋅+ 的最小值为__________．．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知向量,a b 满足||a = ，||2b = ，且|2|a b +=（Ⅰ）求,a b 〈〉；（Ⅱ）在ABC △中，若AB a = ，AC b = ，求||BC．16．（15分）已知函数()sin(2)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线8x π=对称．（Ⅰ）求()f x 的解析式及零点；（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移524π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间．17．（15分）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）完善下面的表格，并画出()f x 在[0,]π上的大致图象；x6ππx ωϕ+π32π2π()f x 02-0（Ⅲ）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．18．（17分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知8a =，且()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=-．（Ⅰ）求ABC △面积的最大值；（Ⅱ）若8,AB AC D ⋅=为边BC 的中点，求线段AD 的长度．19．（17分）如图，记OA a = ，OB b = ，OC c = ，已知||2||2b a ==，,60a b ︒〈〉= ．（Ⅰ）若点D 在线段OA 上，且13OD OA =，求BD BA ⋅ 的值；（Ⅱ）若向量c a - 与b 方向相同，且||3c =，求ACB ∠；（Ⅲ）若()0b c c -⋅=，求||a c - 的最大值．2023—2024学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案B命题意图本题考查由三角函数的定义求参数．解析由题知3cos 5θ==-，解得34m =-．2．答案C命题意图本题考查由向量平行的坐标表示求出k ，再求向量的模．解析a b ∥ ，(4)(2)0k k ∴-+=，4k ∴=（舍去），或2k =-，(6,0)a ∴= ，即||6a =．3．答案A 命题意图本题考查正切函数的诱导公式．解析173tantan 3tan tan 66663πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．4．答案D命题意图本题考查平面向量基本定理在平面几何中的应用．解析E 为AB 的中点，2BD DC =，212112()323263DE DB BE CB AB AB AC AB AB AC ∴=+=-=--=- ．5．答案C命题意图本题考查利用正弦定理解决高度测量问题．解析在ABC △中，1803010545ACB ︒︒︒︒∠=--=，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即156sin 45sin 30BC =︒︒，解得BC =，在Rt BCD △中，tan 303CD BC =⋅︒==6．答案B命题意图本题考查投影数量的定义及平面向量数量积的运算．解析222||2524a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅= ，12a b ∴⋅=- ，a ∴ 在b方向上的投影数量为1||cos ,||2||||||a b a b a a b a a b b ⋅⋅〈〉=⋅==- ．7．答案D命题意图本题考查利用余弦函数图像求解析式，利用余弦函数的对称性求参数．解析由图可知(0)2cos 1f ϕ==，则1cos 2ϕ=，又02πϕ-<<，3πϕ∴=-，又502f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据五点法作图原理，得5232ππω⨯-=，解得,()2cos 333f x x πππω⎛⎫=∴=- ⎪⎝⎭，从而()2cos (1)33f x x ππθθ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦，()f x θ+ 的图象关于y 轴对称，()f x θ∴+为偶函数，(1),3k k πθπ∴-=∈Z ，得min ||1θ=．8．答案C命题意图本题考查余弦定理．解析因为60DAB ∠=︒，AE AD =，所以ADE △是等边三角形，所以60AED ∠=︒．因为AFE CFD ∽，所以EF DF =12AE CD =，所以1133EF ED AE ==．设1EF =，则3AE =，在AEF △中，由余弦定理可得AF==，所以222cos 14AFE ∠=-．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案ABD 命题意图本题考查判定三角形解的个数问题．解析若满足条件的ABC △唯一确定，则3sin sin 602a b A ==︒=或a b ≥=，故A ，B ，D 正确．10．答案ACD 命题意图本题考查向量的垂直、夹角、模、投影向量及单位向量等概念．解析()a b b +⊥ ，()0a b b ∴+⋅=，(1,1)(,2)0x x ∴+⋅-=，解得1x =或2x =-（舍去）．对于A ，(1,2)b =- ，∴与b 同向的单位向量为525,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-⋅，则3,4a b π〈〉= ，故B 错误；对于C ，(1,3)(1,2)(2,1)a b +=+-=，||a b ∴+=，故C 正确；对于D ，a 在b上的投影向量是||cos ,,(1,2)255||b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅〈〉⋅=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．11．答案BC命题意图本题考查诱导公式，求正（余）弦型函数的最小正周期、单调性、对称中心及对称轴．解析对于A ，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ+=++=-=- ，π∴不是()f x 的周期，故A 错误；对于B ，当3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x >，1()|sin |cos sin cos sin 22f x x x x x x ∴===，又3,24x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1()sin 22f x x ∴=在3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确；对于C ，设()f x 图象上任意一点(,)M x y ，则M 关于点,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的对称点为(,)M x y π'---，()|sin()|cos()|sin |(cos )()f x x x x x f x πππ--=----=-=- ，()f x ∴的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；对于D ，设()f x 图象上任意一点(,)P x y ，则P 关于直线2x π=的对称点为(,)P x y π'-，()sin()cos()sin (cos )()()f x x x x x f x f x πππ-=--=-=-≠ ，()f x ∴的图像不关于直线2x π=对称，故D 错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案163π命题意图本题考查扇形的弧长、面积的有关计算．解析设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ．l r θ= ，即436r ππ=⋅，8r ∴=，1141682233S l r ππ∴=⋅=⨯⨯=扇形．13．答案23π命题意图本题考查正（余）弦定理的应用．解析()(sin sin sin )sin a b c A B C a B +++-= ，由正弦定理变形得()()a b c a b c ab +++-=，222a b c ab ∴+-=-，又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，23C π∴=．14．答案6命题意图本题考查平面向量在平面几何中的应用．解析如图，取BC 边的中点D ，连接PD ．22221()()()()4PC PB PD DC PD DB PD DC PD DC PD DC PD BC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，22252||||4PB PC BC PD BC PD BC ∴⋅+=+⋅≥ ，当且仅当||||PD BC =时取等号．设点A 到BC 边的距离为h ，则1||||||32PD BC h BC ⋅≥= ，当PD BC ⊥时取等号，254PB PC BC ∴⋅+ 的最小值为6，当且仅当PD BC ⊥且PD BC =时取得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查平面向量及其应用．解析（Ⅰ）22222(2)447a b a b a a b b +=+=+⋅+=，342cos ,167a b ∴+〈〉+=，cos ,2a b ∴〈〉=- ，又[],0,a b π∈，5,6a b π∴= ．（Ⅱ）在ABC △中，BC AC AB b a =-=-，2222||()2BC b a b a a b ∴=-=+-⋅ 34322132⎛⎫=+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，||BC ∴=．16．命题意图本题考查三角函数的对称性、单调性以及图象变换．解析（Ⅰ）()sin(2)22x f x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭ 的图象关于直线8x π=对称，2()82k k ππϕπ∴⨯+=+∈Z ，得()4k k πϕπ=+∈Z ，又22ππϕ-<< ，4πϕ∴=，()sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．令2()4x k k ππ+=∈Z ，得()28k x k ππ=-∈Z ，()f x ∴的零点为()28k x k ππ=-∈Z ．（Ⅱ）355()sin 3sin 32241246g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3232262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，可得22253939k k x ππππ+≤≤+，k ∈Z ，故()g x 的单调递减区间为2225,()3939k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．17．命题意图本题考查求函数解析式、用“五点法”画图、求三角函数的值域．解析（Ⅰ）由()f x 的图象与x 轴的相邻的两个交点之间的距离为2π，可知最小正周期T π=，222T ππωπ∴===．由一个最高点为7,26M π⎛⎫⎪⎝⎭，得2A =，由72sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即7sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得72()32k k ππϕπ+=+∈Z ，得112()6k k πϕπ=-∈Z ，又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6πϕ∴=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）完善表格如下：x6π512π23π1112ππx ωϕ+6π2ππ32π2π136π()f x 122-01()f x 在[0,]π上的大致图象如图：（Ⅲ）,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，故()f x 的值域为[1,2]-．18．命题意图本题考查正（余）弦定理、三角形面积公式以及不等式的应用．解析（Ⅰ）()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B -+=- ，由正弦定理可得()()()a b a b c c b -+=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<，故3A π=．2222a b c bc bc bc bc =+-≥-= ，64bc ∴≤，当且仅当b c =时取等号．1sin 24ABC S bc A bc ∴==≤△故ABC △面积的最大值为．（Ⅱ）D 是边BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+ ，()()2222221111()||2||4442AD AB AC AB AB AC AC b c AB AC ∴=+=+⋅+=++⋅ ．8AB AC ⋅= ，cos 8bc A ∴=，16bc ∴=，又由（Ⅰ）知22264b c bc a +-==，2280b c ∴+=，2118082442AD ∴=⨯+⨯=，||AD ∴= 即线段AD的长度为．19．命题意图本题考查向量的基本运算．解析（Ⅰ）由题可知13BD BO OD a b =+=- ，BA a b =- ，又||||cos ,12cos601a b a b a b ⋅=〈〉=⨯︒= ，2211414()4333333BD BA a b a b a a b b ⎛⎫∴⋅=-⋅-=-⋅+=-+= ⎪⎝⎭ ．（Ⅱ）设(0)c a b λλ-=> ，则c a b λ=+ ，222222()21423c a b a b a b λλλλλ∴=+=++⋅=++= ，解得12λ=或1λ=-（舍去）．12CA a c b ∴=-=- ，12CB b c b a =-=- ，1||||12CA b ∴==，||1CB == ，211111cos 22422||||CA CB b b a b a b CA C A B CB ⋅⎛⎫∴==-⋅-=-+⋅=- ⎭∠⎪⎝ ，120ACB ∴=∠︒．（Ⅲ）()0b c c -⋅= ，0CB OC ∴⋅= ，22()112cos600a b a a a b -⋅=-⋅=-⨯︒= ，0OA BA ∴⋅= ．,,,O A C B ∴四点均在以OB 为直径的圆上，AC ∴的最大值为该圆的直径，为2，即||a c - 的最大值为2．。

河南省南阳市南阳五校2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

河南省南阳市南阳五校2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题一、单选题1．已知0,6πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin (sin )a αα=，sin (cos )b αα=，sin (tan )c αα=，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c<a<b2的军事基地C 和D ，测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且30,30ADB BDC ∠=︒∠=︒，60,45DCA ACB ∠=︒∠=︒，如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为（）．A ．aB C D 3．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin b C c B a +=，6b =，则2sin 2sin a bA B+=+（）A ．4B ．6C ．D ．4．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+满足()()f x f a ≤对x R ∈恒成立，则函数 A ．()f x a -一定为奇函数 B ．()f x a -一定为偶函数 C ．()f x a +一定为奇函数 D ．()f x a +一定为偶函数5．下列命题为真命题的是（）A ．55π1sin 62⎛⎫-=- ⎪⎝⎭B ．已知π3cos 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2π3sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．已知函数()()tan f x x ωϕ=+，π0,2ωϕ⎛⎫≠< ⎪⎝⎭，点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭和5π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则π3ϕ=D ．设函数()()sin f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数，0,0)A ω>>.若()f x 在区间ππ,123⎡⎤-⎢⎥⎦⎣上具有单调性，且ππ5π326f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为π2 6．在ABC V 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，D 为BC 的中点，满足2AE CF ABEB FA AC===u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，0DE DF ⋅=u u u r u u u r，则cos A =（）．A ．0B C ．34D ．9167．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知2,,AB BC CD AB BC AC CD ===⊥⊥，若DB AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A ．BCD 8．如图，在ABC V 中，AB a u u u r r=，AC b =u u u r r ，D ，F 分别为,BC AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2AE EB =u u u r u u u r .若BP xa yb =+u u u r r r ，则x y +=________；若π3,4,3AB AC BAC ==∠=，则BP ED ⋅=u u u r u u u r________．则求解正确的是（）A ．13-，34B ．12-，43C ．13-，43D ．12，34二、多选题9．已知函数()5sin 2()4f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法正确的有（）A ．要得到函数()5sin 2g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移π4个单位长度即可B ．()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()y f x =的图象关于直线38x π=对称D ．5π8y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数10．设P 为ABC V 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A ．若0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，则点P 是ABC V 的重心B ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的垂心C ．若()||||AB ACAP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，,[)0λ∈+∞，则点P 是ABC V 的内心 D ．若()()()0PA PB BA PB PC CB PC PA AC +⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点P 是ABC V 的外心11．下列结论不正确的是（）A ．已知向量()3,0a =r ，向量(),5b k =r 且向量a r 与b r的夹角是45o ，则5k =± B ．若向量,a b rr 满足4,3a b ==r r ，且()()23261a b a b -⋅+=r r r r ，则a r 在b r上的投影向量为23b vC ．函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移ϕ个单位π02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到()g x ，若()g x 是偶函数，则5π12ϕ= D ．若cos 0<θ，则θ是第二或第三象限的角12．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC V 的周长为3,60B =︒，则（）A ．若2b a c =+，则ABC V 是等边三角形B ．存在非等边ABC V 满足2b ac =C ．ABC VD ．可以完全覆盖ABC V三、填空题13．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩ ，则()5f ＋41()6f ＝.14．若P 为ABC V 的外心，且PA PB PC +=u u u r u u u r u u u r，则ABC V 的内角C 等于． 15．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若存在12,x x ，使得2212[()][()]2f x g x +=，则12min x x -=．16．已知ABC V 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =．四、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且)222222tan a c b A a b c +-=--.(1)求角B 的大小；(2)若ABC V 的面积为14b =，求ABC V 的周长.18．已知函数π()2sin 24f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在[0,2π]上的单调递增区间；(3)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值．19．如图，在OAB V 中，C 是AB 的中点，D 是线段OB 上靠近点O 的四等分点，设,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ．(1)若OA 长为2,OB 长为π8,3AOB ∠=，求OC 的长；(2)若E 是OC 上一点，且2OC OE =u u u r u u u r，试判断,,A D E 三点是否共线？并说明你的理由．20．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(2cos ,),(,1)22c am C b n =-=u r r ，且m n ⊥u r r ．(1)求角A 的值；(2)若2a =，求ABC V 的周长l 的取值范围．21．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，若()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的对称中心及在[]0,π上的减区间；(3)若方程()()230f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相同的解，求实数m 的取值范围．22．如图，在ABC V 中，已知4,10,60,AB AC BAC BC ∠===o 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），,AM BN 相交于点P .(1)求BC ；(2)当点N 为AC 中点时，求：MPN ∠的余弦值；(3)求：NA NB ⋅u u u r u u u r 的最小值；当NA NB ⋅u u u r u u u r 取得最小值时设BP BN λ=u u u r u u u r，求λ的值.。

2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市高一下册期中数学试题一、单选题1．14πsin 3=（）A B ．12-C ．12D 【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.【详解】14π2π2πππsin sin(4π)sin sin(πsin 33333=+==-==故选：D2．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且30A =︒，3,4a b ==，则满足条件的三角形有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】根据sin b A 与,a b 的大小判断可得.【详解】因为30A =︒，3,4a b ==，1sin 422b A =⨯=，所以sin b A a b <<，所以满足条件的三角形有2个.故选：C3．若α为第三象限角且()3sin π5α-=-，则πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【正确答案】B【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】因为()3sin πsin 5αα-==-，则π3cos sin 25αα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭.故选：B.4．下列说法正确的是（）A ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．若向量,a b 满足a b > 且,a b 同向，则a b>C ．若P A B ，，三点满足3OP OA OB =+，则P A B ，，三点共线D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为π3【正确答案】A【分析】根据象限角的概念判断A ，利用向量的定义以及共线定理判断B,C ，利用任意角的定义判断D.【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A 正确；因为两个向量不能比较大小，所以B 错误；由3OP OA OB =+ ，可得1341+=≠，根据向量的共线定理可知，P A B ，，三点不共线，所以C 错误；将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了60 ，所以分针转过的角的弧度数为π3-，所以D 错误，故选:A.5．将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，则ϕ的一个可能值为（）A ．712π-B ．4π-C ．4πD ．512π【正确答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得.【详解】将函数()cos 3y x φ=+的图象沿x 轴向左平移12π个单位后的函数为cos 3(cos(3)124y x x ϕϕππ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为cos(3)4y x ϕπ=++的图像关于原点对称，所以π42k ππϕ+=+，即π4k πϕ=+，当0k =时，4πϕ=.故选：C6．已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则7π24f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．23B 3C ．33-D ．3【正确答案】C【分析】由图象可求得π2T =，2ω=.然后根据3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值即可推出π4ϕ=，根据()01f =，求出1A =，即可得出()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.然后将7π24x =代入，即可得出答案.【详解】由图象可知，3πππ8842T -==，所以π2T =.由ππ2T ω==可得，2ω=，所以()()tan 2f x A x ϕ=+.又3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3πtan 04A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3ππ,4k k ϕ+=∈Z ，所以3ππ,4k k ϕ=-+∈Z .因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，()πtan 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又()01f =，所以πtan 14A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1A =，所以()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以7π7ππ5π3tan 2tan 2424463f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.7．在ABC 中，1,90AC BC C ==∠=︒．P 为AB 边上的动点，则PB PC ⋅的取值范围是（）A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】B【分析】以C 为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，得到231248PB PC t ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求出其值域.【详解】以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y轴，建立直角坐标系，则()()0,1,1,0A B ，直线AB 所在直线方程为1y x =-+，设(),1P t t -+，[]0,1t ∈，则()1,1PB t t =-- ，(),1PC t t =--，()()223111248PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+-=-- ⎪⎝⎭ ，当0=t 时，()max1PB PC ⋅= ，当3t 4=时，()min18PB PC⋅=-，故其取值范围为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：B.8．在锐角三角形ABC 中，下列结论正确的是（）A ．()() cos cos cos sin CB >B ．()() cos sin cos cos A B >C ．()()cos sin cos cos C B >D ．()()cos sin cos cos A A >【正确答案】A 【分析】利用2B C π+>，即022C B ππ<-<<，结合余弦函数的单调性可判断ABC ，取特值可判断D.【详解】因为ABC 为锐角三角形，所以2B C π+>，所以022C B ππ<-<<，所以1sin sin()cos 02B C C π>>-=>所以()() cos cos cos sin C B >，故A 正确；同理，1sin cos 0A B >>>，所以cos(sin )cos(cos )A B <，故B 错误；同上，1sin cos 0C B >>>，所以()()cos sin cos cos C B <，故C 错误；又4A π=时，cos(sin )cos(cos )44ππ=，故D 错误.故选：A二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（）A ．若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C ．若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅=，则m n += 【正确答案】BC【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，所以，a 在b上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n +，D 错.故选：BC.10．已知函数()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--，则下面结论正确的是（）A ．()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z B ．()f x 的最小正周期为2πC ．() fx ，最小值为1-D ．()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减【正确答案】ABC【分析】化简函数()f x 的解析式，作出函数()f x 的图象，逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当()π2π2ππ4k x k k ≤-≤+∈Z 时，即当()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≥，即sin cos x x ≥，此时，()()()11sin cos sin cos cos 22f x x x x x x =+--=；当()π2ππ2π4k x k k -≤-≤∈Z 时，即当()3ππ2π2π44k x k k -≤≤+∈Z 时，sin cos 0x x -≤，即sin cos x x ≤，此时，()()()11sin cos cos sin sin 22x x x x f x x =+--=.所以，()()3ππsin ,2π2π44π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z .作出函数()f x的图象如下图中实线所示：对于A 选项，由图可知，函数()f x 的图象关于直线3π4x =-、π4x =、5π4x =对称，对任意的k ∈Z ，π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x kx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()1111cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x x x x x f x =+--=+--=，所以，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，A 对；对于B 选项，对任意的x ∈R ，()()()()()112πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π22f x x x x x +=+++-+++⎡⎤⎣⎦()()11sin cos sin cos 22x x x x f x =+--=，结合图象可知，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，B 对；对于C 选项，由A 选项可知，函数()f x 的对称轴为()ππ4x k k =+∈Z ，且该函数的最小正周期为2π，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，因为函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()()min πcos π1f x f ===-，因为ππsin 442f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5π5ππsin sin 4442f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，所以，()max π4f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭因此，()f x 的最大值为2，最小值为1-，C 对；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 错.故选：ABC.关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内一点，BOC 、AOC 、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.设O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若230OA OB OC ++=，则::1:2:3A B C S S S =B ．2OA OB == ，5π6AOB ∠=，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S = C ．若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++= ，则π2C ∠=D ．若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=【正确答案】ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A 选项；求出C S ，结合“奔驰定理”可判断B 选项；利用“奔驰定理”可得出::a b c 的值，结合勾股定理可判断C 选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为230OA OB OC ++=，由“奔驰定理”可知::1:2:3A B C S S S =，A对；对于B 选项，由2OA OB == ，5π6AOB ∠=，可知1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，又2340OA OB OC ++=，所以::2:3:4A B C S S S =，由1C S =可得，12A S =，34B S =，所以1391244C ABC A B S S S S ++==++= ，B 错；对于C 选项，若O 为ABC 的内心，3450OA OB OC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==（r 为ABC 内切圆半径），所以，222a b c +=，故π2C ∠=，C 对；对于D 选项，如下图所示，因为O 为ABC 的重心，延长CO 交AB 于点D ，则D 为AB 的中点，所以，2OC OD =，12AOD BOD C S S S ==△△，且12AOD B S S =△，12BOD A S S =△，所以，A B C S S S ==，由“奔驰定理”可得0OA OB OC ++=，D 对.故选：ACD.12．已知函数()() sin (0)f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．() f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是[]221,24,5⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A ；根据中心对称求值即可判断B ；利用函数平移求出6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项即可判断C ；结合已知单调区间得出ω范围后即可判断D ．【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，由2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，由π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()f x 的图象重合，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=()k ∈Z ，再结合A 选项知π3T ≥，所以2π6T ω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中k ∈Z ，解得123125k k ω+≤≤+()k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当1k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确．故选：BCD ．思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将x ωϕ+看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研究正弦型函数的性质．三、填空题13．请写出终边落在射线y =()0x ≥上的一个角___________(用弧度制表示).【正确答案】π3（满足π2π,3k k +∈Z 即可，答案不唯一）【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得tan θ=.【详解】设θ的终边落在射线y =()0x ≥上，则θ为第一象限角，取y =()0x ≥上的一个点(A ，根据三角函数的定义可得，tan 1θ==又θ为第一象限角，所以π2π,3k k θ=+∈Z ，取0k =，可得π3θ=.故答案为.π314．在平行四边形ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，M N C ，，三点共线，若DN NB λ=，则λ=_______________.【正确答案】2【分析】由已知可推得，11NB DB λ=+.结合图象及已知，用,AB AD 表示出111211MN AB AD λλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-+ 以及12MC AB AD =+ .然后根据三点共线，得出μ∃∈R ，有MN MC μ=.然后列出方程组，即可求出答案.【详解】取基底{},AB AD ，由图可知DB AB AD =-，因为DN NB λ=，所以()1B D DN N B B N λ=++= ，所以11NB DB λ=+ ，显然1λ≠-.又M 是AB 的中点，所以12MB AB =，所以MN MB BN MB NB =+=- ()11112211AB DB AB AB AD λλ=-=-+-+112111AB AD λλ=⎛⎫ ⎪++⎝⎭-+ .又12MC MB BC AB AD =+=+ ，M N C ，，三点共线，所以μ∃∈R ，有MN MC μ=，即1112211AB AD AB AD λμμλ-⎫+⎛ ⎪++⎝+⎭= .因为,AB AD 不共线，所以有1121211μλμλ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得213λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为.215．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数s (6)6co y a A x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.【正确答案】20.5/412【分析】根据题意列出方程组，求出a ，A ，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x ＝10代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得28A a =+，18A a =-+解得5A =，23a =所以235cos (6)6y x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦令10x =得2235cos (106)235cos20.563y ππ⎡⎤=+-=+=⎢⎥⎣⎦.故20.5四、双空题16．H 为ABC 所在平面内一点，且满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ |则点H 为ABC 的_________心.若7AB = ,5AC =uuu r ，π3C =，则AH AC ⋅= ___________【正确答案】垂5【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，结合垂心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出AB AC ⋅uu u r uuu r的值，再利用垂心的几何性质结合平面向量数量积的运算性质可求得AH AC ⋅的值.【详解】因为222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ ，则2222HA CB HB CA +=+ ，即2222HA HB CA CB -=- ，即()()()()HA HB HA HB CA CB CA CB -⋅+=-⋅+ ，即()()BA HA HB BA CA CB ⋅+=⋅+ ，即()()20BA HA CA HB CB BA HA AC HB BC BA HC ⋅-+-=⋅+++=⋅= ，所以，HC AB ⊥，同理可得HA BC ⊥，HB AC ⊥，故点H 为ABC 的垂心，因为()222222π22cos3AB CB CACB CA CA CB CB CA CA CB =-=+-⋅=+-⋅ 252549CB CB =-+= ，即25240CB CB --=，因为0CB ≥ ，解得8CB =，因此，()222224925264CB AB ACAB AC AB AC AB AC =-=+-⋅=+-⋅=，解得5AB AC ⋅=，因此，()5AH AC AB BH AC AB AC BH AC AB AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=.故垂；5.五、解答题17．已知向量a ，b满足2a = ，3b = .(1)若//a b ，求a b ⋅ ;(2)若a 与b的夹角为60︒，求()()2a b a b -⋅+ .【正确答案】(1)6或6-(2)2【分析】（1）分为a ，b方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；（2）根据数量积的定义求出3a b ⋅=，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.【详解】（1）若a ，b方向相同，则236a b a b ⋅=⋅=⨯= ；若a ，b方向相反，则236a b a b ⋅=-⋅=-⨯=- .（2）由已知可得，1cos 602332a b a b ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，所以()()22222222332a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+-= .18．某同学用“五点作图法”画函数()()(sin >02f x A x πωϕωϕ=+<，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数()f x 的解析式；(2)若()()f x m m =∈R 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有两根，求m 的取值范围.【正确答案】(1)表格见解析，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）根据表格数据可得A 和周期，然后可得ω，带点可得ϕ；（2）令24t x π=+，将问题转化为sin t =[,]44t π5π∈上有两个根，然后根据正弦函数的性质求解可得.【详解】（1）补充表格:最小值为可知A =又12522882T ωππππ=⋅=-=，故2ω=再根据五点作图法，可得282ϕππ⋅+=，得4πϕ=，故()2.4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)令24t x π=+，则[,]44t π5π∈所以()f x =m t m =在[,]44t π5π∈上有两个根.即sint =[,]44t π5π∈上有两个根.由sin y t =在[,]44t π5π∈的图像和性质可得：12<,所以1m ≤<故实数m 的取值范围为19．已知向量()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ．(1)求a r的取值范围；(2)求a b ⋅的最大值．【正确答案】(1)⎡⎣(2)178【分析】（1）依题意先求出a = ，再结合cos x 的二次式即可求得a r 的取值范围；（2）依题意先求出21172sin 48a b x ⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭ ，再结合sin x 的二次式即可求得a b ⋅ 的最大值．【详解】（1）因为()1,2cos a x = ，所以a = 又cos 1x ≤，则20cos 1x ≤≤，所以2114cos 5x ≤+≤，所以a ⎡=⎣ ．（2）因为()1,2cos a x =，()sin ,cos b x x = ，则222117sin 2cos 22sin sin 2sin 48a b x x x x x ⎛⎫⋅=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 4x =时，a b ⋅ 取得最大值，且最大值为178．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为3a =，5b =，7c =.（1）求ABC 的三个角中最大角的大小；（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术S =.试用余弦定理推导该公式，并用该公式求ABC 的面积.【正确答案】（1）120︒；（2）4.（1）根据大边对大角得到C 为最大角，利用余弦定理求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用三角形面积公式1sin 2S ac B =，以及22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=，从而证明结论的成立，代入3a =、5b =、7c =即可求出三角形ABC 面积．【详解】（1）∵3a =、5b =、7c =∴角C 最大.由余弦定理得：2222223571cos 22352a b c C ac +-+-==-⨯⨯，又角C 为ABC 内角，∴120C =︒.（2）在ABC 中，1sin 2S ac B =∵22sin cos 1B B +=，且222cos 2a c b B ac+-=∴111sin 222S ac B ====.当3a =、5b =、7c =时，154S =，即ABC .此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),e b c =，()sin ,sin f C B = ，() ,g c a b a =--．(1)若e f，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若e g ⊥ ，2a =，π3A =求ABC 的面积．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意得到sin sin b B c C =，再根据正弦定理可得到²²b c =，进而即可证明结论；（2）根据题意化简整理可得到bc b c =+，再根据余弦定理即可得到4bc =，进而即可求得ABC 的面积．【详解】（1）因为(),e b c = ，()sin ,sin f C B = ，且e f ，所以sin sin b B c C =，由正弦定理可得22b cb c R R⋅=⋅，所以²²b c =，所以ABC 为等腰三角形．（2）因为(),e b c =，(),g c a b a =-- ，且e g ⊥ ，所以()()(),,20b c c a b a bc a b c ⋅--=-+=，又2a =，则bc b c =+，因为2a =，π3A =，则由余弦定理可得22π42cos3b c bc =+-，解得4bc =，所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯=22．已知函数()()π2cos 20).2f x x ωϕωϕ=++<<<<，请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数()f x 的图像过点(0；②函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称；③函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当()2,0a ∈-时，是否存在实数a 满足不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭？若存在，求出a 的范围，若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)存在，35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】对于小问(1)，由图像过(0可以求ϕ的值，由函数()f x 相邻两个对称轴之间距离可以求ω的值，结合上述两个条件之一，再由函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称可以求ω或ϕ的值.对于小问(2)，由轴对称的性质把不等式()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭进行求解.【详解】（1）选择①②:因为函数()f x 的图像过点(0，所以()02cos f ϕ=+，解得cos 2ϕ=，因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，因为函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()1πππZ 242k k ω⨯+=+∈，可得()π2πZ 2k k ω=+∈，因为02ω<<，所以π02k ω==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择①③:若函数()f x 的图像过点(所以()02cos f ϕ=+，解得cos ϕ=02πϕ<<，所以4πϕ=因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭选择②③:因为函数()f x 相邻两个对称轴之间距离为2，所以22T =，所以2π44T ω==，，解得.π2=ω若函数()f x 的图像关于点12⎛ ⎝对称，则()π1ππZ 222k k ϕ⨯+=+∈可得()ππZ 4k k ϕ=+∈，因为02πϕ<<所以π04k ϕ==，，所以()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)当()2,0a ∈-时，3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，令53,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ,π24x +∈-，记ππ24x m +=，则()12π3πππ3ππ2πππ,π,2242444m a a m a ⎛⎫⎛⎫=++=+∈-=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()322cos 2f a f a y m ⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，()π,πm ∈-轴对称，所以m m <₁₂，即ππππ24a a +<+，所以()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭，即()()21228150,23650a a a a ++<++<，解得：3526a -<<-所以实数a 的范围是.35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

河南省南阳市2023-2024学年高一下学期期中质量评估数学试题(含答案)

南阳市2023-2024学年高一下学期期中质量评估数学试题注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.与角终边相同的角是（）A. B. C. D.2.已知，，，若，则（）A.10B.11C.12D.133.在扇形中，，弦，则扇形的面积是（）A.B.C. D.4.在梯形中，，，则（）A.25B.15C.10D.55.在与中，已知，，，若，则（）A. B.C. D.6.小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（）20244'-︒4044'-︒2244'-︒31556'︒67556'︒()1,2A ()4,3B (),6C x AB AC ∥x =AOB 2AOB ∠=2AB =AOB 1sin1()21sin1sin1()2sin1ABCD 90BAD CDA ∠=∠=︒5AD =AD BC ⋅=ABC △111A B C △11AB A B x ==11BC B C ==13C C π∠=∠=111ABC A B C ≌△△30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦(x ∈)x ∈+∞)32x ⎧⎫∈+∞⎨⎬⎩⎭G 1F 2F12F F = 1F 2FθA.越小越费力，越大越省力B.始终有C.当时， D.当时，7.若，且，，，则，，的大小是（）A. B.C. D.8.已知，其中，.其部分图象如下图，则（）A.-1B. C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.10.已知向量，，，则（）θθ122GF F ==23πθ=1F G= 2πθ=1F G= ,,0,2παβθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos tan αα=cos ββ=cos sin θθ=αβθαθβ<<αβθ<<βαθ<<βθα<<()()sin f x x ωϕ=+0ω>0ϕπ<<6f π⎛⎫=⎪⎝⎭12-()sin sin παα+=cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3sin cos 2παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()tan tan παα+=-()1,2a = 2b = a b +=A.在上的投影数量是B.在上的投影向量是C.与D.11.设函数（其中，，），若在上具有单调性，且）A. B.C. D.当时，12.在中，，，，则（）A.的周长是B.C.D.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，满足条件的的集合是_______.14.将函数的图象上各点向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的，得到的图象的函数解析式是________.15.已知，则_______.16.在中，为边上的任一点，若，，则_______.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点Q 的坐标为.a b 12-b a⎛ ⎝a b ()4a b b+⊥()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>0πϕ-<<()f x ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5266f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2A =23ω=2πϕ=-3,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x ⎡∈-⎣ABC △2AB =3AC =60BAC ∠=︒ABC △5BC BC BC []0,2x π∈sin cos 0x x +>x 1sin 22y x =3π135sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭19cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ABC △D BC 1cos 3B =22AB AD BD DC =+⋅sin C =Ox α02πββαπ⎛⎫<<<< ⎪⎝⎭x ⎛⎝（1）求的值；（2）若，求P 的坐标.18.（本小题满分12分）如图，在平行四边形中，点M 为中点，点N 在上，.（1）设，，用，表示向量；（2）求证：M ，N ，C 三点共线.19.（本小题满分12分）（1）已知，，求满足，的点D 的坐标；（2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值.20.（本小题满分12分）在锐角中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求C ；（2）若，，求的面积.21.（本小题满分12分）已知在上是单调函数，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，都有.（1）求解析式；（2）若函数在上有两个零点，，求的值.2sin 5cos 3sin 2cos ββββ+-OP OQ ⊥ABCD AB BD 3BN BD =AD a = AB b = a b NC()1,0A -()0,2B 5AB AD ⋅=210AD = a b 12a b ⋅=- c a b + b c + ABC △2cos 2c B a b =-5b =c =ABC △()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭5,612ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭x ∈R ()512f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()f x ()()()g x f x m m =-∈R 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x ()12f x x +22.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为中角A ，B ，C 的对边，G 为的重心，为边上的中线.（1）若，且，，求的长；（2）若，求的最小值.ABC △ABC △AD BC ABC △60CGD ∠=︒1CG =AB GB GC ⊥cos BAC ∠南阳市2023-2024学年高一下学期期中质量评估数学试题参考答案一、选择题题号12345678答案BDBADCBC二、选择题题号9101112答案BCADACACD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【解析】（1）因为点在单位圆上且，所以，得由三角函数定义知，，，故.（2）由题意：，故.18.【解析】（1）（2）因为，370,,244πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 12sin 623y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q 02πβ<<221x +=x =sin β=cos β=2sin 5cos 123sin 2cos ββββ+=--sin sin cos 2παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭cos cos sin 2παββ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭P ⎛⎝13NC BC BN a BD=-=-()()11213333a AD AB a ab a b=--=--=+ 12MC MB BC b a =+=+且由（1）知，所以，所以，又C 为公共点，所以M ，N ，C 三点共线.19.【解析】（1）设D 点坐标为，则，，∴，解得或，即点D 的坐标为（2，1）或（-2，3）.（2）由向量与共线，令，，则，而向量，为单位向量，且，于是得，（当且仅当时取“=”）所以的最小值为.20.【解析】（1）（方法一：：）由余弦定理得：，又由题知：，所以，化简得，所以：，因为，故.（方法二：）由正弦定理得：，因为2132NC a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 23NC MC = NC MC ∥(),x y ()1,2AB = ()1,AD x y =+()22125110x y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩23x y =-⎧⎨=⎩c a b +()a c tb =+ R t ∈()1bc ta t b +=++ a b 12a b ⋅=- b c +=== =≥12t =-b c + 222cos 2a c b B ac+-=2cos 2c B a b =-222222a c b c a b ac ⎛⎫+-⋅=- ⎪⎝⎭222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3C π=2sin cos 2sin sin C B A B =-()sin 2sin 2sin cos B B C C B =+-sin 2sin cos B B C=sin 0B ≠所以：，因为，故.（2）由余弦定理：，整理得，解得或.当时，，最大角B 是钝角，为钝角三角形，舍去；当时，，最大角B 是锐角，为锐角三角形，符合题意.所以.21.【解析】（1）由题对任意，都有，故当时，取得最大值.因为在是单调函数，且的图象关于点对称，所以得，所以又因为函数在时取得最大值，所以，，即，.因为，所以，所以：.（2）因为，令，则在内的图象如图所示，1cos 2C =0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3C π=2222cos c a b ab C =+-2560a a -+=2a =3a =2a =222a cb +<ABC △3a =222a cb +>ABC △11sin 5322ABC S ab C ==⨯⨯=△x ∈R ()512f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭512x π=()f x ()f x 5,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x ,06π⎛⎫⎪⎝⎭541264T πππ=-=T π=22Tπω==()f x 512x π=5262k ππϕπ+=+k Z ∈23k πϕπ=-+k Z ∈2πϕ<3πϕ=-()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23t x π=-2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin y t =2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦由题函数在有两个零点，，即与在内有两个交点，，，，即，所以22.【解析】（1）由题可知：，即，所以，从而为等边三角形，则，，因为为的重心，所以为线段的三等分点，所以在中，由余弦定理得：，所以（2）（方法一：）由，且为中点，则，不妨设，则，，在中，由余弦定理：①，又因为，易得：②由①②解得：，（当且仅当时取“=”）故的最小值为.（方法二：）∵()()g x f x m =-0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x sin y t =y m =2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1t 2t 1m ≤<12122233t t x x πππ+=-+-=1256x x π+=()125sin sin sin 3333f x x πππππ⎛⎫⎛⎫+=-=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11113326CGD ACD ABC S S S ⎛⎫==⨯==⎪⎝⎭△△△1sin 602CGGD ︒=1GD =GCD △120BDG ∠=︒1BD CD ==G ABC △G AD 3AD =ABD △2222cos AB AD BD AD BD BDG =+-⋅⋅∠2231231cos12013=+-⨯⨯⨯︒=AB =GB GC ⊥D BC BD CD GD ==BD CD GD x ===3AD x =2BC x =ABC △()22222cos x b c bc BAC =+-∠ADB ADC π∠+∠=()()()()2222223302323x x c x x b x x x x +-+-+=⋅⋅⋅⋅22224cos 555b c b c BAC bc c b ⎛⎫+⎛⎫∠==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b c =cos BAC ∠4523GB AB AG AB AD=-=-，同理：，由，得，即，即，∴，当且仅当时，取“=”故的最小值为.()21213233AB AB AC AB AC =-⨯+=- 2133GC AC AB =- GB GC ⊥0GB GC ⋅=21213333GB GC AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225220999AB AC AB AC =⋅--=22522cos 999bc BAC c b ∠=+222224cos 555b c b c BAC bc c b +⎛⎫∠==+≥= ⎪⎝⎭b c =cos BAC ∠45。

高一数学期中试卷南阳_高一数学第二学期期中考试试卷

高一数学第二学期期中考试试卷说明：1．试卷总分150分，考试时间120分钟； 2．不允许．．．用计算器。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填入答题卷的表中）1、若cos 0θ>，且sin 20θ<，则角θ的终边所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、已知53)sin(=+απ且α是第三象限的角，则)2cos(πα-的值是（） A ．54 B ．54- C ．54± D ．533、．已知为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．24、、设点A ()0,4-、B ()3,0，则与向量B A同向的单位向量的相反向量坐标是（）A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--53,54B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54C ．()3,4--D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,535、化简00sin15-得到的结果是（）A B 、- C 、 D +6、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=（）A. B ．．53 D ．53-7、已知A （1，0），B ()2,5-，C （8，4），则C B B A与的夹角为（）A ．45B ． 90C ． 0D 1358、已知a 3=，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于（）A ．34± B ．43±C ．53±D ．54±9与,54==的夹角为60，则-3等于（）A ．109B ．49C ．49D ．10910、在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形11、已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是（）A ．20B ．21C ．22D ．6112、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案写在答题卷上）13、设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是；14、在ABC ∆中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ∆的面积是______________；15、已知113a (,2sin ),b (cos ,),a 322=α=α且∥b ，则锐角α的值为；16、函数)2,0,0(),sin(πϕωϕω<>>+⋅=A x A y 的部分图象如图所示，则此函数的解析式为；高一数学第二学期期中考试答题卷班级__________ 姓名__________ 学号__________ 分数_________13、_____________ 14、_______________15、_____________ 16、_______________三、解答题（本大题共有6小题，共计70分，解答应写文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）已知40,sin 25παα<<=⑴ 求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； ⑵求5tan()4πα-的值18、（本小题满分10分）已知βα、为锐角，且,54cos =α()178cos -=+βα，求βsin 的值。

河南省南阳市六校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

【详解】由图可知
f
(0)
=
2 cosj
=
1，则
cosj
=
1 2
，
所以j
=
±
π 3
+
2πk,
k ÎZ ，
又
-
π 2
<
j
<
0
，\j
=
-
π 3
，
答案第21 页，共22 页
又由图可知
f
æ çè
5ö 2 ÷ø
=
0，
根据五点法作图原理，得 w
´
52π-π 3
=
2
，解得 w
=
π3π,\π
f
(x)
=
2
cos
æ çè
(1)求 f (x) 的解析式及零点；
(2)将
f
(x)
的图象向右平移
5π 24
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
2 3
，
试卷第41 页，共33 页
纵坐标不变，得到函数 g(x) 的图象，求 g(x) 的单调递减区间．
17．已知函数
f
(x)
=
A sin(w x
+
j)
æ çè
A
>
0, w
ar
=
(1, 3)
，
r b
=
(
x, -2)( x
>
0)
，且
(ar
+
r b)
^
r b
，则（
）
r
A．与 b
同向的单位向量为
æ ççè
5 5
,

河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期中数学试题

河南省南阳市南召县 2022-2023 学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． cos3000o 的值为（）
A． 1
2
B． 1 2
C． 3 2
D． 3
2
2．函数
f
(x)
2 sin( x
f
(x)
的对称轴，且
f
(x)
在区间
π 6
,
2π 3
上单调．
(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 f (x) 的解析式存在，并求出其解
析式；
条件①：函数
f
(x)
的图象经过点
A 0,
1 2
；
条件②：
π 3
,
0
是
f
(x)
的对称中心；
条件③：
5π 12
, 0
是
f
(x)
的对称中心．
r a
，
r b
满足
r a
r
rr
4 ， b 1， a 2b 2
3
，则向量
r a
，
r b
的夹角为.
16．设
uuur OA
，OuuBur
，OuuCur
，OuuPur
为空间中
4
个单位向量，满足
uuur OA
uuur OB
，OuuAur
uuur OC
uuur ，OB
uuur OC
1 2
，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律其平面图

河南省南阳市高一下学期数学期中试试卷

河南省南阳市高一下学期数学期中试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·佛山月考) 用数学归纳法证明，在证明等式成立时，等式的左边是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·天津期中) 对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题为（）①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2 ，则a＞b；④若a＞b，则＜．A . ①B . ②C . ③D . ④4. （2分）已知tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan（2α）的值为（）A .B .C .D .5. （2分）中，,,则A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·临夏期中) 在中, 则等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·芮城期末) 已知，，均为正数，且，则的最小值为（）A .B .C . 4D . 88. （2分）已知函数的最小正周期为，则函数f(x)的图象（）A . 关于点对称B . 关于直线对称C . 关于点对称D . 关于直线对称9. （2分）(2017·吕梁模拟) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1+a3=5，S4=15，则S6=（）A . 15B . 31C . 40D . 6310. （2分） (2017高二上·清城期末) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若Sk﹣1=﹣3，Sk=0，Sk+1=4，则k=（）A . 5B . 6C . 7D . 8二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高一下·江门月考) －1与＋1的等比中项是________．12. （1分）(2017·滨州模拟) 不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞1的解集为________．13. （1分） (2016高一下·大庆开学考) 已知sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tanα=________．14. （1分） (2018高二上·六安月考) 已知函数f(x)= ，若正数a，b满足f(4a)+f(b-9)=0，则的最小值为 ________.三、双空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2018高二上·北京期中) 等差数列{ }中， =________16. （1分）(2017·海淀模拟) 在△ABC中，A=2B，2a=3b，则cosB=________．17. （1分）(2012·上海理) 已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2016高一下·汉台期中) 已知角θ的终边经过点P（- ，m）（m≠0）且sinθ= 试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．19. （10分） (2016高二上·郴州期中) 已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．（1）求通项公式；（2）若Sn=242，求项数n．20. （10分） (2018高二上·铜梁月考) 如图，在三棱锥P-ABC中，且底面，D是PC的中点，已知 ,AB=2，AC= ,PA=2.（1）求三棱锥P-ABC的体积（2）求异面直线BC与AD所成角的余弦值。

2022年至2022年高一下期期中考试数学在线测验(河南省南阳市)

2022年至2022年高一下期期中考试数学在线测验（河南省南阳市）选择题下面的抽样适合用简单随机抽样的是()A. 在某年明信片销售活动中,规定每100万张为一个开奖组,用随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B. 某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔30分钟抽一包产品,检验其质量是否合格C. 某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D. 用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验【答案】D【解析】试题分析：从所给的四个选项里观察因为抽取的个体间的间隔是固定的；得到A、B不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次，C不是简单随机抽样，D是简单随机抽样．解：A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．故选D．选择题一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥的事件是（）A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 恰有一次不中靶D. 至少有一次中靶【答案】B【解析】互斥事件指的是两个事件的交集为空集。

事件A、C、D都包括事件“恰有一次中靶”，事件B不包括“恰有一次中靶”。

故选B。

选择题计算机执行右面的程序后,输出的结果是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析：根据题意，把1赋给A，把3赋给B，把A+B赋给A，A最终的结果是新赋予的值；同理，程序最终将A-B赋予给了B，则B的最终输出结果为新赋予的值，代入数值即可求得答案.详解：把1赋给变量A，把3赋给变量B，把的值赋给A，把的值赋给B，然后输出A、B，此时，故选A.选择题从随机编号为的1500名参加某次沈阳市四校联考期末测试的学生中，用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为，则样本中最大的编号应该是()A. 1466B. 1467C. 1468D. 1469【答案】C【解析】间距为，所以最大的编号应该是，选C.选择题如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：(88+89+90+91+92)÷5=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+x则乙的平均成绩：，当x=9,甲的平均数，当x=8,甲的平均数=乙的平均数,即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为，本题选择D选项.选择题为了考查两个变量和之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了次和次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为、，已知两人得的试验数据中，变量和的数据的平均值都相等，且分别都是、，那么下列说法正确的是（）A. 直线和一定有公共点B. 必有直线C. 直线和相交，但交点不一定是D. 和必定重合【答案】A【解析】分析：根据两组数据的变量和的数据的平均值都相等，且分别都是，可以知道两组数据的样本中心点相同，根据线性回归直线一定过样本中心点，得到两条直线都过一个点，从而求得结果.详解：根据回归直线都过样本中心点，即都过均值点，因为变量和的数据的平均值都相等，且分别是，所以有点既在直线上，又在直线上，所以直线和一定有公共点，故选A.选择题是，，，的平均数，是，，，的平均数，是，，，的平均数，则下列各式正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据题意，由是，，，的平均数，结合平均数的计算公式，可得，同理得出；结合上述，从而得到，将其代入求平均数的公式中，计算可得出答案.详解：因为是，，，的平均数，所以，同理，则有，故选A.选择题如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C。

河南省南阳市第一中学高一数学下学期期中考前模拟试题

答案一：选择题1．A2B3．B4．C5．B6．A7．C8．C9．C10．B11．D12.A 二：填空题13．80 14．6 15． 25 16．36π 17．程序框图如图所示. 输入a,bIf a>0 Then 输出 “x<b a-” ElseIf a<0 Then 输出“x>b a-” ElseIf b<0 Then 输出 “全体实数” EIse输出“空集” EndIf EndIf EndIf18．试题解析：（1）由所给数据计算得()1123456747t =++++++=， ()15866728896104118867y =++++++=， ()21941014928ni i t t =-=++++++=∑，()()()()()()()()132822011402110218332280niii t t y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()()()12120ˆ81028ni i i n i i t t y y b t t ==--===-∑∑，86ˆ46ˆ104a y bt =-=-⨯=.所求回归方程为1046ˆyt =+. （2）由（1）知，ˆ100b=>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万.将8t =，代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y=⨯+=. 故预测该商城8月份的销售额为126万元.19．解析：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[)3,5内的人数为0.022100040⨯⨯=；健步走的步数在[)5,7内的人数为0.032100060⨯⨯=；健步走的步数在[)7,9内的人数为0.0521000100⨯⨯=；健步走的步数在[)9,11内的人数为0.0521000100⨯⨯=；4060100100300+++=．所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[)11,13内应抽取3人，记为1a ，2a ，3a ，每人的积分是90分；在[)13,15内应抽取2人，记为1b ，2b ，每人的积分是110分；在[)15,17内应抽取1人，记为c ，每人的积分是130分；从6人中随机抽取2人，有12a a ，13a a ，11a b ，12a b ，1a c ，23a a ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共15种方法．所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有11a b ，12a b ，1a c ，21a b ，22a b ，2a c ，31a b ，32a b ，3a c ，12b b ，1b c ，2b c 共12种方法．设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A ，则()124155P A ==．所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为45．（Ⅲ）中位数为373． 20．试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b .从甲袋中任取两球，所有可能的结果有{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,,,,a b a b a b b b b b b b 共6种.其中两球颜色不相同的结果有{}{}{}123,,,,,a b a b a b 共3种.记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件A ，则()3162P A == ∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为12. （2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b ，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为12,,A A B 从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有{}{}{}{}{}{}121111211,,,,,;,,,,,;a A a A a B b A b A b B {}{}{}212221,,,,,;b A b A b B {}{}{}313231,,,,,b A b A b B 共12种.其中两球颜色相同的结果有{}{}{}{}{}12112131,,,,,,,,,a A a A b B b B b B 共5种记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件B ，则()512P B = ∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为512. 21试题解析:若方程2220x ax b ++=有实根，则()22240a b ∆=-≥，即22a b ≥．（1）设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件A ，∵a 从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2,3中任取的一个数，∴记(),a b 为所取两数的一个组合，则所有可能的取法有：()0,0，()0,1，(0,2），（0，3），()1,0，()1,1，()1,2，（1，3），()2,0，()2,1，()2,2，（2，3），()3,0，()3,1，()3,2，（3，3），共16种且每种均等可能被抽到，其中满足条件22a b ≥的有()0,0，()1,0，()1,1，()2,0，()2,1，()2,2，()3,0，()3,1，()3,2，（3，3），共10种，∴()101586P A ==．（2）设“方程2220x ax b ++=有实根”为事件B ，∵a 从区间[]0,3上任取的一个数，b 是从区间[]0,2上任取的一个数，∴记(),a b 为所取两数的一个组合，则03a ≤≤，02b ≤≤， ∴点(),a b 所在的区域为如图所示的矩形，又条件22a b ≥可化为a b ≥，即0a b -≥，∴满足条件0a b -≥的点(),a b 所在的区域为如图所示的阴影部分区域∴()()11322263OABDOABCS P B S ⨯+⨯===梯形矩形．22．试题解析：解析：（Ⅰ）分数在[)80,70内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)1010.70.3-++++⨯=-= 5分（Ⅱ）由题意，[)90,80分数段的人数为：0.256015⨯=人[]100,90分数段的人数为：0.05603⨯=人； 6分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴[)90,80分数段抽取5人，[]100,90分数段抽取1人，因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在[)90,80分数段，所以只需在分数段[)90,80抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A ，()13P A =． 12分。

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省南阳市桐柏县高一下学期期中数学试题一、单选题1．的弧度数为（）200︒A ．B ．C ．D ．7π1010π99π10π【答案】B【分析】根据角度与弧度关系求对应弧度即可.【详解】由.102001809ππ︒⨯=︒故选：B 2．已知点是角终边上一点，若，则（）()sin23,cos23A -α0360α<<α=A ．B ．C ．D ．113157293337【答案】C【分析】点在第四象限，由求得结果.A cos23tan tan67tan293sin23α=-=-=【详解】，则点在第四象限，0sin23,c 20os 3><-A 由，故.cos23sin67tan tan67tan293sin23cos67α=-=-=-=293α= 故选：C.3．函数的部分图象大致为（）()()2c e s 1o e xxf x x -=A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先判断的奇偶性，再根据时的函数值的符号判断图象.()f x π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】因为，，()()cos e e x x f x x -=-()()()()cos e e cos e e x x x x f x x x ---=--=--所以，故函数的为奇函数，排除BD ；()()f x f x -=-()f x 又所以，故A 错误.π0,,cos 0,e e 0,2x x x x -⎛⎫∈>-< ⎪⎝⎭()0f x <故选：C4．下列命题正确的是（）A ．向量与是两平行向量AB BA B ．若都是单位向量，则,a b a b= C ．若，则四点构成平行四边形AB DC = ,,,A B C D D ．两向量相等，则它们的始点、终点相同【答案】A【分析】利用平行向量的定义即可判断A ；利用向量相等的定义即可判断B ，D ；利用共线向量的定义即可判断C ．【详解】对于A ，向量与是相反向量，它们是平行向量，故A 正确；ABBA 对于B ，若，都是单位向量，但，的方向不一定相同，故，不一定相等，故B 错误；a b a b a b 对于C ，若，则四点共线或四点构成平行四边形，故C 错误；AB DC = ,,,A B C D ,,,A B C D 对于D ，若两向量相等，则它们的方向相同、长度相等，与始点、终点无关，故D 错误．故选：A ．5．已知中角、、对边分别为、、，若，，则的最大值为（）ABC A B C a b c 4a =π3A =b c +A ．B ．C ．D ．以上都不对468【答案】C【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值.b c +【详解】由余弦定理可得()222222162cos 3a b c bc A b c bc b c bc==+-=+-=+-，()()()222344b c b c b c ++≥+-=所以，，即，()264b c +≤8b c +≤当且仅当时，等号成立，故的最大值为.4b c ==b c +8故选：C.6．设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月()y f t =y t 份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似()y f t =()sin y A x B=++ωϕ表示图中曲线的函数是（）A ．B ．π2π15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ππ15sin 11.363y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．D ．ππ15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ππ15sin 11.366y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.【详解】由题意，，即.2π12T ω==π6ω=由图可知，，解得，，26.33.7A B A B +=⎧⎨-+=⎩15A =11.3B =此时，π15sin 11.56y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将点代入解析式，()1, 3.7-可得，即，π3.715sin 11.56ϕ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭所以，，ππ2π62k ϕ+=-+Z k ∈即，取，，2π2π3k ϕ=-+0k =2π3ϕ=-所以.π2π15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭故选：A.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别为CD ，AD 的中点，若以向量，为基AE BF底表示向量，则下列结论正确的是（）ACA ．B ．1355AC AE BF=+ 3455AC AE BF=-C ．D ．15AC AE BF=- 6255AC AE BF=- 【答案】D【分析】注意到，后利用表示，即可得答案.AC AB AD =+ ,AE BF,AB AD 【详解】注意到.AC AB AD =+又为DC 中点，则；E 12AE AD DE AD AB=+=+ F 为AD 中点，则.12BF BA AF AD AB=+=-则；15242455BF AE AD AD BF AE+=⇒=+ .15242455AE BF AB AB AE BF -=⇒=-则.6255AC AB AD AE BF=+=- 故选：D8．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列说法正确的是（）A ．B ．C ．与共线D ．AB OD =EF AB=ABAD BE BC > 【答案】B【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】对选项A ：，错误；AB OD ≠对选项B ：，正确；EF AB= 对选项C ：与不共线，错误；ABAD 对选项D ：向量不能比较大小，错误.故选：B.二、多选题9．下列说法错误的是（）A ．钝角是第二象限角B ．第二象限角比第一象限角大C ．大于的角是钝角D ．是第二象限角90165-【答案】BCD【分析】利用象限角的概念可判断ABD 选项；取可判断C 选项.390【详解】对于A 选项，钝角的范围是，α90180α<<第二象限角的取值范围是，β()36090360180k k k β⋅+<<⋅+∈Z 因为，{}90180αα<<{}36090360180,k k k ββ⋅+<<⋅+∈Z所以，钝角是第二象限角，A 对；对于B 选项，是第二象限角，是第一象限角，但，B 错；120 390120390< 对于C 选项，，但不是钝角，C 错；39090>390 对于D 选项，，且，165195360-=- 180195270<<故是第三象限角，D 错.165-故选：BCD.10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结()πsin 2cos cos 2sin 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭论正确的是（）A ．的图象关于点对称()f x π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．在区间的最小值为()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-C ．为偶函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．的图象向右平个单位后得到的图象()f x π6sin 2y x =【答案】BC【分析】由图象可求得的解析式，对于A ：验证是否为的零点；对于B 先求出()f x π3-()f x 的范围再求的值域；对于C ，求出的解析式判断奇偶性；对于D ：根据图象的π26x +()f x π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭平移求出平移后的解析式判断.【详解】，由图象可知，即，又，所以，()()sin 2f x x ωϕ=+1(0)2f =1sin 2ϕ=π02ϕ<<π6ϕ=由五点作图法可得，解得，所以，2ππ3π362ω⨯+=2ω=π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：，所以的图象关于对称，故A 错误；π2ππsin 1336f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π3x =-对于B ：当时，，即在区间上的最小值π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7ππ12sin 2,166662,,x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎣∴⎭⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦为，故B 正确；12-对于C ：，为偶函数，故C 正确.ππππsin 2sin 2cos 6662f x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：的图象向右平移个单位后得到的图象，故D 错()f x π6πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦误；故选:BC.11．在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（）ABC ,,A B C ,,a b c A ．若，则0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭B C=B ．若，则cos sin =+b a C c A 45A =︒C ．若，则A B >sin sin A B >D ．若，符合条件的有一个，则4,6a B π==ABC 24b <<【答案】ABC【分析】根据向量的四边形法则和正余弦弦定理，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，由分别为向量方向上的单位向量，,||||AB ACAB AC,AB AC 根据平行四边形法则向量平分角，||||AB AC AB AC +BAC ∠又，则，0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭ ||||AB AC BC AB AC +⊥ 所以，所以，故A 正确；AB AC =B C =对B ，由，根据正弦定理可得：cos sin =+b a C c A ，sin sin cos sin sin sin()sin cos cos sin B A C C A A C A C A C =+=+=+所以，由在三角形中，sin sin cos sin C A A C =sin 0C >所以，所以，故B 正确；tan 1A =45A =︒对C ，在三角形中，由可得，根据正弦定理可得，故C 正确；A B >a b >sin sin A B >对D ，若，即，此时符合条件的有两个，故D 错误.24b <<sin a B b a <<ABC 故选：ABC12．已知两个不相等的非零向量,，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个a b 1x 2x 3x 4x 5x 1y 2y 3y 4y 5y a排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列b1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅min S S 命题中真命题为（）A ．可能有5个不同的值S B ．若，则与无关a b ⊥ min SaC ．若，则4b a > min 0S >D ．若，，则与的夹角为2b a= 2min 8S a= a bπ4【答案】BC【分析】根据的取值依据所含的个数有0个、有1个、有2个，可得,进而可S 2a 2a 2a 2a 123,,S S S 判断A ，根据数量积的运算，结合选项即可判断BCD.【详解】根据题意得的取值依据所含的个数，分三类：有0个、有1个、有2个，记S 2a 2a 2a 2a ，分别得的取值为：，，，,a bθ= S 214cos S a b bθ=⋅+ 2222cos 2S a b a bθ=⋅++ 22323S a b =+ 则至多有3个不同的值，A 错误；S 若，则，此时，，，又，为非零向量，则a b ⊥ 90θ=︒21S b = 2222S a b =+ 22323S a b =+ a b，与无关，B 对；2min 1S S b == a 若，则，4b a>()222116cos 16161cos 0S a a a θθ>-+=-≥ ，，则，C 对；()222228cos 32338cos 0S a a a a θθ>-++=-> 30S >min0S >若，则，，，22b a = 2218cos 4S a a θ=+ 2224cos 9S a a θ=+ 222321214S a a a =+= ∵，，()22154cos 0S S a θ-=-> ()231108cos 0S S a θ-=-> ∴，解得，∴，D 错误.222min 18cos 48S S a a aθ==+= 1cos 2θ=π3θ=故选：BC三、填空题13．函数的最小正周期为____________．4cos 23y x =+【答案】π【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】直接根据余弦函数周期公式得，2ππ2T ==故答案为：.π14．已知定义域为的奇函数则的值为__________．[]4,22a a --()3sin 2,f x x x b =-++()()f a f b +【答案】0【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称求出，再根据奇函数的定义求出b 即可作答.a 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，()3sin 2f x x x b =-++[]4,22a a --则有，解得，4220a a -+-=2a =，解得，()()()()33sin 2sin 2240f x f x x x b x x b b -+=---+++-++=+=2b =-所以.()()f a f b +(2)(2)0f f =+-=故答案为：015．已知向量，满足，，，的夹角为__________.a b 4a = 1b =2a b += a b 【答案】/23π23π【分析】设与的夹角为，，得到，解得答案.a b θ()22224412a b a a b b +=+⋅+= 1cos 2θ=-【详解】设与的夹角为，a b θ2a b +=则，解得，()22224416441cos 412a ba ab b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=1cos 2θ=-，故.[]0,πθ∈2π3θ=故答案为：2π316．位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A ，从A 处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角C 45︒B是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的60︒45BAC ∠=︒B D C E距离为米，则两塔塔尖之间的距离为________米．【答案】【分析】先解直角三角形得AC =60米，米,再利用余弦定理解BC 即可.AB=【详解】在中，，则米．Rt AEC △CE =45EAC ∠=︒60sin 45CE AC ︒===同理，在中，Rt ADBAB =在中，米，米，，ABC AB =60AC =45BAC ∠=︒由余弦定理，得BC====故答案为：四、解答题17．已知向量．(2,4),(1,)(R)a b t t ==∈(1)若，求的值；()()a b a b +-∥t (2)若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围．1t =a a mb +m 【答案】(1)2(2)10(,0)(0,)3-⋃+∞【分析】（1）由向量加减运算的坐标表示分别求出和，再根据向量平行列出方程得出的a b +a b - t 值；（2）根据向量与的夹角为锐角得出且不共线，列出不等式，即可求出实数a a mb + ()0a a mb ⋅+> 的取值范围．m 【详解】（1）由已知得，，(3,4)a b t +=+ (1,4)a b t -=-因为，()()a b a b +-∥所以，解得，3(4)4t t -=+2t =故的值为．t 2（2）当时，，1t =(2,4)a mb m m +=++因为与的夹角为锐角，a a mb +所以且与不共线，()0a a mb ⋅+> a a mb + 当与共线时，，故与的夹角为锐角时，a a mb + 0m =a a mb + 0m ≠由得，，解得,()0a a mb ⋅+> 2(2)4(4)0m m +++>103m >-所以实数的取值范围是．m 10(,0)(0,)3-⋃+∞18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ37π12()f x 0202-0(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数在一个周期内的图象；()y f x =(2)将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，若的图象关于y ()y f x =(0)θθ>()y g x =()y g x =轴对称，求的最小值．θ【答案】(1)表格见解析，图象见解析(2)π3【分析】（1）根据表格，分别求得，即可得到函数的解析式，从而得到其函数图像；,,A ωϕ()f x （2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得的最小值.θ【详解】（1）由表中数据可得，，7πππ2,41234T A ==-=所以，则，且，解得，πT =2ππω=0ω>2ω=当时，，即，解得，3x π=π2x ωϕ+=π2π23ϕ⨯+=π6ϕ=-所以.π()2sin(26f x x =-分别令，解得，π3π20,,2π62x -=π5π13π,,12612x =据此可得表格为：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12()f x 0202-0由表格作出图象，如下图所示.（2）由题意可得：，()ππ()2sin 2()2sin 2266g x f x x x θθθ⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为的图象关于y 对称，则，()y g x =ππ2π,62k k θ-=+∈Z 解得，且，ππ,32k k θ=+∈Z0θ>所以当时，取到最小值．0k =θmin π3θ=19．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1))；(2)少．9π2m 1.522m 【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧21122S lr r α==田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即-得．试题解析：(1) 扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m 2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【解析】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．20．如图所示，在中，．ABC 4,3BC BD AC CE ==(1)用表示；,AB AC ,AD BE(2)若，证明：三点共线．2239AM AB AC=+ ,,B M E 【答案】(1)，3144AD AB AC =+ 23BE AC AB=- (2)证明见解析【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图形计算即可；（2）根据平面向量共线定理证明与共线，即可得证.BE BM 【详解】（1）因为，所以，4BC BD =1111()4444BD BC AC AB AC AB==-=- 所以，11314444AD AB BD AB AC AB AB AC=+=+-=+ 因为，所以，所以；3AC CE =23AE AC = 23BE AE AB AC AB=-=- （2）因为，所以，2239AM AB AC=+ 1239BM AM AB AB AC =-=-+因为，所以，2123339BE AC AB AB AC ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭3BE BM =即与共线，因为与有公共点B ，所以三点共线．BE BM BEBM ,,B E M21．在锐角中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．ABC sin Ca b =+(1)求角B 的值；(2)若，求的周长的取值范围．2a =ABC 【答案】(1)π6(2)(32+【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；222a cb +-=π6B =（2）根据正弦定理得到，从而得到，求1,sin b c A ==1tan b c A +=出，得到，，从而求出周长的取值范围.ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A 1tan A ⎛∈ ⎝(1b c +∈【详解】（1，sin C a b =+ca b =+即，222a cb +-由余弦定理得：222cos 2a c b B ac +-===因为，()0,πB ∈所以；π6B =（2）锐角中，，，ABC 2a =π6B =由正弦定理得：，2πsin sin sin 6b cA C==故，π2sin 12sin 6,sin sin sin A C b c A A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====则11cos tan A b c A ++=+=1tan A =因为锐角中，，ABC π6B =则，，π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ0,62C A ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭解得：，ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A故，，)tan A ∈+∞1tan A ⎛∈ ⎝，(11tan A ⎛+⎝故，(1b c +∈(32a b c ++∈++所以三角形周长的取值范围是.(32+【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值22．若函数满足，且，，则称为“型()f x ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()f a x f x a -=+a ∈R ()f x M 函数”.a (1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由；πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8(2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当()g x R 0x >()ln g x x=()h x M π6时，，若函数在上的零点个数为ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()2cos 2h x x =()()()()F x g h x m m =-∈R 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9，求的取值范围.m 【答案】(1)函数是“型函数”，理由见解析πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8(2)()1,2【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出答πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π8x =π案；（2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出()g x 1-()1h x m =-m 1m +在上的图象，数形结合求出.()h x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12m <<【详解】（1）由，得，所以的周期为，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()πf x f x =+()f x π由，，得的图象关于直线对称，()()f a x f x a -=+a ∈R ()f x x a =因为，所以的图象关于直线对称，32842πππ⨯-=πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3π8x =又的最小正周期为，所以函数是“型函数”.πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2ππ2=πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭M 3π8（2）令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1.()ln 0g x x ==1x =()g x R ()g x 1-令，所以或0或1，即或或.()()()0F x g h x m =-=()1h x m -=-()1h x m =-m 1m +画出在上的图象，由的图象关于直线对称，()h x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()h x π6x =可画出在上的图象.由的最小正周期为，()h x π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()h x π可画出在上的图象.()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故在上的图象如图所示，()h x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以函数在上的零点个数等于在上的图象与直线，()F x 5π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1y m =+，的交点个数之和.y m =1y m =-当，即时，在上的图象与直线，，的011m <-<12m <<()h x 5ππ,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1y m =+y m =1y m =-交点个数之和为9.故的取值范围为m ()1,2【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.。