2019探究文数(北师大版)练习：第三章第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式含解析

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同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，其中k ∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.公式五：sin ）（απ-2＝cos α，cos ）（απ-2＝sin α. 公式六：sin ）（απ+2cos α，cos ）（απ+2＝－sin α. 一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：（απ±2k ）奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝….一、已知某角的一个三角函数值，求其它三角函数值例1：① 已知sinA=23, A 为第二象限的角，求cosA ，tanA 的值；②已知cosA=23, A 为第四象限的角，求sinA ，tanA 的值；③已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________；二、由某角的正切值求该角关于正弦余弦的三角函数式的值例 2：已知tan α=2,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin 1αααααα---+;(3)25sin 3sin cos 2ααα+-变式(1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；三、关于某角的正弦与余弦之和，正弦与余弦之差，正弦与余弦之积，知一求二例3：已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15①求sinxcosx 的值， ②求sinx+cosx 的值③求sin 2x －cos 2x 的【试一试】 (1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.四、利用诱导公式求值，化简例4：已知sin）（2πα+＝－55，α∈(0，π)． (1)求)3cos()sin()23cos()2sin(απαπαππα++-+--的值； (2)求cos ）（απ-65的值．(2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.专项基础训练一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32C ．－12 D.12 2． cos(－2 013π)的值为( ) A.12B ．－1C ．－32D ．03．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32 D ．－324．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题5．如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝________.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．7. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值．9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．。

高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件

所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二诱导公式及其应用考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

答案：4
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时，首先根据题意选准公式再用，一般是负变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角，并不一定要为锐角，只不过是在运用的过程中把它“看作”是锐角而已．“奇变偶不变，符号看象限”同样适用于正切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2

高考数学复习第3章三角函数与解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考向 3 证明
例 4：求证：tatannαα－·ssininαα＝tatannαα＋·ssininαα.
证明：方法一，右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin α·tan αsin
α
＝tantaαn－2α－sintaαn2·αtacnosα2sαin
α＝tan
tan2α1－cos2α α－sin α·tan αsin
10°cos 10° 1－cos210°.
解：原式＝ csoisn1100°°－－|scions1100°°|2＝
|sin cos
10°－cos 10°－sin
10°|＝cos 10° cos
10°－sin 10°－sin
1100°°＝1.
【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技巧, 对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.
答案：C
【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
考向 2 化简
例
3：化简：cos11－0°2－sin
考点 2 同角三角函数基本关系式考向 1 三角函数求值例 2：(1)(2019 年新课标Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α ＋1，则 sin α＝( )
1
5
A.5
B. 5
3 C. 3
25 D. 5
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1,即4sin αcos α＝2cos2α, 则 2sin α＝cos α, 联立2sisnin2αα＋＝ccoos2sαα＝，1 ，得 sin α＝± 55，又 α∈0，π2，∴sin α＝ 55. 答案：B

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第3章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式含解析精品

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真](教师用书独具)1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．(对应学生用书第49页)[基础知识填充]1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α.2．诱导公式[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的“奇、偶”是指π2的奇数倍、偶数倍，“变与不变”指函数名称是否变化．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( )A ．－513B ．－1213C ．513D ．1213 B [∵sin α＝513，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.] 3．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝________.2 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4＋sin π4＝22＋22＝ 2.]4．已知tan α＝2，则sin α－cos αsin α＋cos α的值为________．13 [∵tan α＝2，∴sin α－cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－cos αcos αsin αcos α＋cos αcos α＝tan α－1tan α＋1＝13.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.](对应学生用书第50页)(1)已知sin αcos α＝18，且4＜α＜2，则cos α－sin α的值为( ) A ．－32B ．32C ．－34D ．34(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A ．6425 B ．4825 C ．1D ．1625(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)∵tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425，故选A ．][跟踪训练] (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )【导学号：79140105】A ．125B ．－125C ．512D ．－512(2)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23 B ．－23 C ．12D ．－12(1)D (2)B [(1)法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D ．(2)因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29.又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ＜cos θ，即sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23.](1)化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)·sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(1)C (2)C [(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.] 易错警示：利用诱导公式的关键是符号问题．[跟踪训练] (1)(2018·南昌一模)(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.(2)计算：tan(π＋α)cos(2π＋α)sin⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2cos(－α－3π)sin(－3π－α)＝________.(1)13(2)－1[cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝13.(2)原式＝tan αcos αsin⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2cos(π＋α)[－sin(3π＋α)]＝tan αcos αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos αsin α＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.](1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.(2)(2017·郑州质检)已知cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin3(π－α)＋cos(α＋π)5cos⎝⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________.【导学号：79140106】(1)－43(2)335[(1)由题意知sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15. sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.] [跟踪训练] (1)已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.(2)(2018·湖北调考)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝5，则1sin x cos x ＝( )A ．265 B ．－265 C ．±265D ．－526(1)24 (2)B [(1)∵sin α＝13，α是第二象限角， ∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24.(2)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x －sin x＝－1tan x ＝5，∴tan x ＝－15，∴1sin x cos x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ＝tan 2x ＋1tan x ＝－265，故选B ．]。

(经典整理)同角三角函数的基本关系及诱导公式与两角和差

（一）同角三角函数的基本关系及诱导公式一、【课标要求】1.掌握同角三角函数的基本关系式，掌握公式中“1”的作用。

2.掌握诱导公式，并能进行化简求值。

二、【知识回顾】1．同角三角函数关系式（1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商的关系：sin tan cos ααα=（3）sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅三者之间，知一可求二，关键是利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±的变形2．诱导公式诱导公式一：sin(2)k απ+= ，cos(2)k απ+= ，tan(2)k απ+= ，k Z ∈诱导公式二：sin()α-= ，cos()α-= ，tan()α-= ，诱导公式三：sin()πα+= ，cos()πα+= ，tan()πα+= ，诱导公式四：sin()πα-= ，cos()πα-= ，tan()πα-= ，诱导公式五：sin()2πα+= ，cos()2πα+= ，诱导公式六：sin()2πα-= ，cos()2πα-= ，口决：“奇变偶不变，符号看象限”。

形式：将角的形式化为：()2k k Z πα⋅±∈,不管α是多大，统统看成锐角，诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为：31. 化简三角函数式的的一般原则①函数种类尽量少、指数尽量低、项数尽量少 ②尽量化成同名、同角的三角函数③大角化小角、负角化正角，化到锐角就终了 ④化切为弦 ⑤注意“1”的作用【例题精讲】考点一：同角三角函数的基本关系例1.已知sin 2cos αα=，求下列各式的值：（1）sin 4cos 5sin 2cos αααα-+ （2）2sin 2sin cos ααα+例2.已知tan 1tan 6αα=--，求下列各式的值：（1）213sin cos 3cos ααα-+ （2）2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+考点二：三角函数式的求值例3.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos()2f παπαπααπαπα+--=----（1）若1860α=-，求()f α （2）若33cos()25πα-=，求()f α的值。

同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)

同角三角函数基本关系式与诱导公式一、知识梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tanα.2.三角函数的诱导公式总结：1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.()(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(3)若α∈R，则tan α＝sin αcos α恒成立.()(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45B.－45C.35D.－35解析由同角三角函数关系得cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9＝－45.答案 B3.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( ) A.－35B.35C.－45D.45解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，故cos(π＋α)＝－cos α＝－35. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A5.(2019·济南质检)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( ) A.125B.－125C.512D.－512解析 ∵sin α＝－513，α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，因此tan α＝sin αcos α＝－512. 答案 D6.(2018·上海嘉定区月考)化简：sin 2(α＋π)·cos(π＋α)·cos(－α－2π)tan(π＋α)·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin(－α－2π)＝________.解析原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 1考点一同角三角函数基本关系式角度1 公式的直接运用【例1－1】 (2018·延安模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13，则cos α＝( ) A.－223 B.223 C.±223 D.23解析因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π4，且sin α＝－13>－22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，所以α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. 答案 A角度2 关于sin α，cos α的齐次式问题【例1－2】已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53. (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.角度3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系【例1－3】已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15. (1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0，所以cos x >0，则sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练1】 (1)(2019·烟台测试)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A.－32B.32C.－34D.34(2)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35B.－35C.－3D.3解析 (1)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34， ∴cos α－sin α＝32.(2)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.答案 (1)B (2)A考点二诱导公式的应用【例2】 (1)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 解析 (1)∵f (α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α（1＋2sin α）sin α（1＋2sin α）＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76π＝1tan 76π＝1tan π6＝ 3. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝－a ＋a ＝0.答案 (1)3 (2)0【训练2】 (1)(2019·衡水中学调研)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，则cos(π－2α)＝( )A.29B.59C.－29D.－59 (2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则sin β＝________. 解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝23，得sin α＝23.∴cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×29－1＝－59. (2)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2k π，k ∈Z .∴sin β＝sin(π－α＋2k π)＝sin α＝13. 答案 (1)D (2)13考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2019·菏泽联考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则tan(π＋2α)＝( ) A.427B.±225C.±427D.225(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355B.377C.31010D.13解析 (1)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－（－22）2＝427. (2)由已知得⎩⎨⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 答案 (1)A (2)C(3)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15. ①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2 x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x （cos x ＋sin x ）1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.【训练3】 (1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝( ) A.－1213 B.－513C.1213D.513(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 (1)∵α∈(0，π)，且cos α＝－513，∴sin α＝1213，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·tan α＝cos α·sin αcos α＝sin α＝1213.(2)由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案 (1)C (2)－43三、课后练习1.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－5 C.1± 5D.－1－5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45. 答案 35 453.已知k ∈Z ，化简：sin （k π－α）cos[（k －1）π－α]sin[（k ＋1）π＋α]cos （k π＋α）＝________.解析当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin （2n π－α）cos[（2n －1）π－α]sin[（2n ＋1）π＋α]cos （2n π＋α）＝sin （－α）·cos （－π－α）sin （π＋α）·cos α＝－sin α（－cos α）－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[（2n ＋1）π－α]·cos[（2n ＋1－1）π－α]sin[（2n ＋1＋1）π＋α]·cos[（2n ＋1）π＋α]＝sin （π－α）·cos αsin α·cos （π＋α）＝sin α·cos αsin α（－cos α）＝－1. 综上，原式＝－1. 答案－14.是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去.∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.5.已知sin α＝23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(π－α)＝________，cos 2α＝________.解析 cos(π－α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－73，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－732－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝59.答案－73 59。

同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x ．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．突破点一同角三角函数的基本关系[基本知识]1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R)． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .2．同角三角函数基本关系式的应用技巧一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )答案：(1)× (2)× 二、填空题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan α＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，于是tan α＝－34. 答案：－342．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：3[全析考法]考法一知弦求弦、切或知切求弦利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．[例1] (1)(2019·成都龙泉中学月考)设cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k1－k 2D ．－k1－k 2(2)(2019·甘肃诊断)已知tan x ＝43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x ＝( )A.45 B ．－45C.35D ．－35[解析] (1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2， ∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .故选B. (2)因为角x 的终边落在第三象限，所以cos x <0，因为tan x ＝43，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝43，cos x <0，解得cos x ＝－35，故选D.[答案] (1)B (2)D [易错提醒]知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．考法二知切求f (sin α、cos α)的值[例2] (2019·保定三校联考)已知tan(3π＋α)＝3，则3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝( )A.13B.89C.23D ．2[解析] ∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，∴3sin α－cos α2sin α＋3cos α＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89.故选B.[答案] B [方法技巧]利用“切弦互化”的技巧 (1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： ①sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α)的问题常采用“切”代换法求解； ②sin α，cos α的齐次分式⎝ ⎛⎭⎪⎫如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α的问题常采用分式的基本性质进行变形．(2)切化弦：利用公式tan α＝sin αcos α，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧．考法三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] (1)已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12C ．－14D ．－12(2)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α＝( )A.75 B.257 C.725D.2425[解析] (1)因为sin αcos α＝38，所以(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－12.(2)∵sin α＋cos α＝15，∴1＋2sin αcos α＝125， ∴2sin αcos α＝－2425，(cos α－sin α)2＝1＋2425＝4925. 又∵－π2<α<0，∴cos α>0>sin α，∴cos α－sin α＝75，∴1cos 2α－sin 2α＝1(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝115×75＝257. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题中已知1个可求另外2个．[集训冲关]1.[考法一]已知α∈(0，π)，cos α＝－35，则tan α＝( )A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选D ∵cos α＝－35且α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43.故选D. 2.[考法三]已知sin α＋cos α＝13，则sin αcos α的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝19，解得sin αcos α＝－49.答案：－493.[考法二]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257.(3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.突破点二三角函数的诱导公式[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(2)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．已知cos(π＋α)＝－35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α等于________．解析：cos(π＋α)＝－cos α＝－35，则cos α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos α＝－35. 答案：－352．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6等于________．解析：sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－453．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tan [ π－( π6－α ) ] ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33. 答案：－331．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角为终了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例感悟](2019·武威六中第一次阶段性检测)已知f (α)＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－αtan (π＋α)－cos (π－α)2－14sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋cos (π－α)＋cos (2π－α).(1)化简f (α)；(2)若－π3<α<π3，且f (α)<14，求α的取值范围．解：(1)f (α)＝(cos αtan α＋cos α)2－1－4cos α－cos α＋cos α＝(sin α＋cos α)2－1－4cos α＝2sin αcos α－4cos α＝－12sin α.(2)由已知得－12sin α<14，∴sin α>－12，∴2k π－π6<α<2k π＋7π6，k ∈Z.∵－π3<α<π3，∴－π6<α<π3.故α的取值范围为⎝⎛⎭⎫－π6，π3. [方法技巧]应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[针对训练]1．(2018·玉林陆川中学期中)sin 570°的值是( ) A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选A sin 570°＝sin(720°－150°)＝－sin 150°＝－12.故选A.2．(2019·湖北八校联考)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝( ) A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，∴tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±22，故选D. 3．(2019·南充模拟)设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A ∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.故选A. 4．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3⎝⎛⎭⎫π2＋α·sin (－α－2π)＝________.解析：原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案：1 [课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·新疆普通高中学业水平考试)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan x 的值为( ) A.34 B ．－34C.43D ．－43解析：选B 因为x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，所以tan x ＝sin x cos x ＝－34.故选B.2．(2019·淮南十校联考)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值是( ) A ．－13B.13C.223D ．－223解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13，故选A. 3．(2019·重庆一模)log 2⎝⎛⎭⎫cos 7π4的值为( ) A ．－1 B ．－12C.12D.22解析：选B log 2⎝⎛⎭⎫cos 7π4＝log 2⎝⎛⎭⎫cos π4＝log 222＝－12.故选B. 4．(2019·遵义模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈( π2，π )，则sin(π－2α)＝( ) A ．－2425B ．－1225C.1225D.2425解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425.故选A. 5．(2019·沈阳模拟)若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95解析：选C ∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1,5sin 2α－4sin α＝0，解得sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.6．(2019·庄河高中期中)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12等于( ) A.13 B.223 C ．－13D ．－223解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎣⎡⎦⎤3π2＋⎝⎛⎭⎫α－π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A. [B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·宝鸡金台区质检)已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α＝( )A. 3B. 2 C ．3D ．2解析：选C tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝2sin 2α＝223＝3.故选C.2．(2019·常德一中月考)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：选C 因为sin α＋2cos α＝102，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎨⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝3或－13.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－132＝－34.故选C.3．(2019·株洲醴陵二中、四中期中联考)已知2sin α－cos α＝0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( ) A ．－35B ．－125C.35D.125解析：选A 由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝12，所以sin 2α－2sin αcos α＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＝－35.故选A.4．(2019·大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角，且sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，则tan α的值是( ) A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．不存在解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝15，得cos α＋sin α＝15，∴2sin αcos α＝－2425<0.∵α∈(0，π)， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝75，∴sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43，故选A.115．(2019·平顶山、许昌联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan αtan 2α＋1＝1＋222＋1＝35. 6．(2019·河南中原名校联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝( ) A.1－32B.1＋32C. 3D ．－ 3解析：选B ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R)的两根，∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m 2，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－32，解得m ＝－32.∵θ为第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋32，∴sin θ－cos θ＝1＋32＝1＋32，故选B.7．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )， B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1解析：选B 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，∴cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23，∴tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55，∴|a －b |＝55.故选B.8．(2019·武邑中学调研)已知sin α＝13，0<α<π，则sin α2＋cos α2＝________.解析：⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43，又0<α<π，∴sin α2＋cos α2>0，∴sin α2＋cos α2＝233. 答案：2339．(2019·广西桂林等五市联考)已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan θ＝________.解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ＝1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225，又π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，∴(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝4925，∴sin θ－cos θ＝75，由⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝15，sin θ－cos θ＝75，解得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. 答案：－4310．(2019·浙江名校协作体检测)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________， cos α＝________.解析：sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝－cos α(－sin α)＝sin αcos α＝1225.又∵0<α<π4， ∴0<sin α<cos α.解⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝1225，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝35，cos α＝45.答案：35 4511．(2019·惠安惠南中学月考)已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4. (1)求sin αcos α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．解：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338. (2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213， ∴原式＝cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α)＝2(cos α＋sin α)＝2413.12．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2，所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形.。

第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式(知识梳理)

第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式复习目标学法指导1.同角三角函数的两个基本关系.2.三角函数的诱导公式(1)π+α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(2)-α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(3)π-α与α的正弦、余弦、正切值的关系.(4)π2±α与α的正弦、余弦值的关系. 1.在高考中,常给出角α的一个三角函数值,求其他异名的三角函数值,解题的关键就是灵活地掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用.2.诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为[0,π2]内的三角函数,其解题思路是化负角为正角,化复杂角为简单角.3.求值问题是三角公式的主要应用,求解时首先根据题目特点选择公式类型,再正确应用.一、同角三角函数的基本关系式1.平方关系sin 2α+cos 2α=1. 2.商数关系tan α=sin cos αα.1.公式理解(1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin cos αα=tan α可以实现弦切互化.(2)只要是同一个角,基本关系式就成立,不要拘泥于角的形式,如sin 22α+cos 22α=1,sin3cos3x x=tan 3x 都成立. 2.与公式应用相关的结论(1)1的代换:1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan 2α)=tan π4. (2)弦切互化法:弦切共存的代数式往往利用公式把切化为弦.(3)和积转换法:因为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,所以对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子可以知一求二,但要注意角的范围. 二、诱导公式组序一二三四五六角2k π+α(k ∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α正切 tan αtan α-tan α-tan α口诀函数名不变函数名改变符号看象限符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限1.公式理解诱导公式可简记为:奇变偶不变,符号看象限,“奇”“偶”指的是“k ·π2+α”中的整数k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数名称的变化,若k 是奇数,则正、余弦互变,若k 为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π2+α”中,将α看成锐角时“k ·π2+α”的终边所在的象限. 2.与诱导公式应用相关的知识诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C,2A +2B +2C =π2等,于是可得sin(A+B)=sin C,cos 2A B +=sin 2C 等.1.已知sin(π-α)=log 814,且α∈(-π2,0),则tan(2π-α)的值为( B ) 2525(C)255解析:sin(π-α)=sin α=log 814=-23, 又α∈(-π2,0), 所以cos α21sin α-5则tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=-sin cos αα25. 故选B.2.已知sin 3cos 3cos sin αααα+-=5,则sin 2α-sin αcos α的值是( A ) (A)25 (B)-25 (C)-2 (D)2解析:由sin 3cos 3cos sin αααα+-=5, 得tan 33tan αα+-=5,解得tan α=2. 所以sin 2α-sin αcos α=222sin sin cos sin cos ααααα-+=22tan tan tan 1ααα-+=25.故选A.3.(2018·宁波模拟)sin 210°cos 120°的值为( A ) (A)14(B)-3(C)-32 (D)3解析:sin 210°cos 120°=-sin 30°(-cos 60°)=12×12=14. 故选A.4.已知-π2<x<0,sin x+cos x=15,则sin x-cos x= . 解析:因为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=125,所以2sin xcos x=-2425. 又因为-π2<x<0, 所以sin x<0,cos x>0.又因为(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=4925, 所以sin x-cos x=-75. 答案:-75考点一同角三角函数的基本关系[例1] (1)已知α∈(π,3π2),tan α=2,则cos α= . (2)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=15. ①求tan α的值; ②把221cos sinαα-用tan α表示出来,并求其值.(1)解析:依题意得22sin tan 2,cos sin cos 1,ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩由此解得cos 2α=15, 又α∈(π,3π2), 因此cos α.答案(2)解:①法一联立方程221sin cos , (*)5sin cos 1,(**)αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩由(*)得cos α=15-sin α, 将其代入(**),整理得 25sin 2α-5sin α-12=0.解得sin α=45或sin α=-35.因为α是三角形的内角,所以4sin ,53cos ,5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以tan α=-43. 法二因为sin α+cos α=15, 所以(sin α+cos α)2=(15)2, 即1+2sin αcos α=125,所以2sin αcos α=-2425,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+2425=4925.因为sin αcos α=-1225<0且0<α<π, 所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0.所以sin α-cos α=75.由1 sin cos,57sin cos,5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得4sin,53cos,5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以tan α=-43.②221cos sinαα-=2222sin coscos sinαααα+-=22tan11tanαα+-.因为tan α=-43,所以221cos sinαα-=22tan11tanαα+-=224()1341()3-+--=-257.(1)利用和积互换公式时,要注意依据和、差、积的值对角的范围进行确定,必要时要与特殊值比较,进一步优化缩小角的范围.(2)若某一三角函数值中含有参数,要讨论值的正负,否则会漏根或增根.(3)对于含有sin α,cos α的齐次式,可根据1的代换化为齐次分式,通过除以某一齐次项,转化为只含有正切的式子,即化弦为切、整体代入.1.(2019·金华模拟)已知sin α+cos α2则tan α+cossinαα的值为( D )(A)-1 (B)-2 (C)12 (D)2 解析:因为sin α+cos α所以(sin α+cos α)2=2, 所以sin αcos α=12. 所以tan α+cos sin αα=sin cos αα+cos sin αα=1sin cos αα=2.故选D. 2.已知sin θ+cos θ=43,θ∈(0,π4),则sin θ-cos θ的值为 . 解析:因为(sin θ+cos θ)2=sin 2θ+cos 2θ+2sin θ·cos θ =1+2sin θcos θ =169, 所以2sin θcos θ=79, 则(sin θ-cos θ)2=sin 2θ+cos 2θ-2sin θcos θ =1-79=29.又因为θ∈(0,π4),所以sin θ<cos θ, 即sin θ-cos θ<0,所以sin θ-cos θ.答案考点二三角函数的诱导公式[例2] (1)已知cos α是方程3x 2-x-2=0的根,且α是第三象限角,则23π3πsin ()cos()tan (π)22ππcos()sin ()22ααααα-++-+-等于( )(A)916 (B)-916 (C)-54 (D)54(2)在△ABC 中,若sin(2πππ-B),求△ABC的三个内角.(1)解析:方程3x 2-x-2=0的根为x 1=1,x 2=-23, 由题知cos α=-23, 所以sin α=-5,tan α=5.所以原式=2cos sin tan sin cos ααααα--=tan 2α=54.故选D. (2)解:由已知得sin 2sin ,3cos 2cos A B A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩①,②①2+②2得sin 2A+3cos 2A=2, 所以1-cos 2A+3cos 2 A=2, 所以2cos 2A=1, 即cos A=2或cos A=-2.当cos A=2时,cos B=3,又A,B 是三角形的内角,所以A=π4,B=π6, 所以C=π-(A+B)=712π.当cos A=-2时,cos B=-3,又A,B 是三角形的内角,所以A=34π,B=56π,不合题意. 综上可知,A=π4,B=π6,C=712π. 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式化成“单角”三角函数;③整理得最简形式.(2)化简要求:①化简过程是恒等变形;②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.(3)求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小.1.已知cos(π6-θ)=a,则cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)的值是 . 解析:因为cos(5π6+θ)=-cos[π-(5π6+θ)]=-a,sin(2π3-θ)=sin[π2+(π6-θ)] =cos(π6-θ) =a,所以cos(5π6+θ)+sin(2π3-θ)=-a+a=0. 答案:02.在△ABC 中,求cos 22A B ++cos 22C 的值. 解:在△ABC 中,A+B=π-C,所以2A B +=π2-2C , 所以cos 2A B +=cos(π2-2C )=sin 2C , 所以cos 22A B ++cos 22C =sin 22C +cos 22C =1. 考点三三角函数的求值 [例3] (1)已知cos(π6-α3,则cos(56π+α)-sin 2(α-π6)的值是( ) 23+23+23- 23-+212sin 40cos40cos401sin 50-︒︒︒--︒= .解析:(1)因为cos(56π+α)=cos[π-(π6-α)] =-cos(π6-α) 3而sin 2(α-π6)=1-cos 2(α-π6)=1-13=23, 所以原式=-3-23=-23+. 故选B. (2)原式=22sin 40cos 402sin 40cos40︒︒+︒-︒=sin 40cos 40sin 50sin 40︒︒-︒︒- =sin 40sin 50sin 50sin 40︒︒-︒︒- =sin 50sin 40sin 50sin 40︒︒︒-︒-=1.答案:(1)B (2)1(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.1.若tan α=12,则sin 4α-cos 4α的值为 . 解析:因为tan α=12, 所以sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)·(sin 2α-cos 2α)=2222sin cos cos sin αααα-+=22tan 11tan αα-+=-35.答案:-352.(2018·绍兴一中适应性考试)已知sin α=12+cos α,且α∈(0,π2),则cos2πsin ()4αα-的值为 .解析:由sin α=12+cos α可得sin α-cos α=12, 即2sin(α-π4)=12,可得sin(α-π4)=2,又α∈(0,π2),则α-π4∈(-π4,π4), 可得cos(α-π4)=2π1sin ()4α--=14,则cos2πsin ()4αα-=πsin (2)2πsin ()4αα---=ππ2sin ()cos()44πsin ()4ααα---- =-2cos(α-π4) =-14.答案:-14考点四易错辨析[例4] 已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α= . 解析:因为5π4<α<3π2,所以cos α<0,sin α<0,且|cos α|<|sin α|,所以cos α-sin α>0.因为(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=34, 所以cos α-sin α=3. 答案:3本题常因不能断定cos α-sin α的符号而致误,所以在利用和积互换公式时,要特别注意对sin α±cos α,sin αcos α符号的关注,其中sin α-cos α的符号如图所示.sin α+cos α的符号如图所示.已知sin α=13,0<α<π,则tan α= ,sin 2α+cos 2α= . 解析:因为0<α<π,所以tan α=sin cos αα=22sin cos αα=22sin 1sin αα-2,又0<2α<π2, 所以sin 2α>0,cos 2α>0, 所以sin 2α+cos 2α2(sin +cos )22αα12sin cos 22αα+1sin α+ 23答案:2 23。

同角三角函数的基本关系式与诱导公式-高考数学复习课件

4
2
sin2
1
cos2
α＝ · 2
＋ · 2
2
3 sin ＋cos
4 sin ＋cos2
2 tan2
1
1
2
22
1
1
7
＝ · 2
＋ · 2
＝ × 2 ＋ × 2 ＝ .
3 tan +1
4 tan +1
3
2 +1
4
2 +1
12
考点三
例3
(
sin α± cos α， sin α cos α之间的关系问题
[知识梳理]
知识点一同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ 1 .
sin
π
(α≠ ＋ k π， k ∈Z)
2
2. 商数关系：tan α＝ cos
⁠
.
⁠
知识点二诱导公式
公式
一
余弦
正切
三
四
π＋α
－α
π－α
－ sin α
－ sin α
sin α
2 k π＋α
角
1
θ＝，
25
∴ sin θ－ cos θ＝ 1 − 2sincos ＝ 1 −
∴ sin
4
θ＝，
5
∴tan
4
θ＝－，∴A，B，D正确.
3
cos
3
θ＝－，
5
24
−
25
＝
49
7
＝，
25
5
方法总结
对于 sin α＋ cos α， sin α－ cos α， sin α cos α这三个式子，知一可

2019高三数学(北师大版理科)一轮课件4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式精选ppt版本

∴
sin�� cos��
= =
4 5
-
,
3 5
∴tan ,
α=-43.
(2)co
s2
1 ��-si
n
2
��
= = si n2��+co s2��
co s2��-si n2��
si n 2�� +co s 2��
co s 2�� co s 2�� -si n 2��
考点自测
2.三角函数的诱导公式
一
二
三
3;α (k∈Z) π+α
-α
π-α
π2-α
π 2
+α
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α
关键能力
-17-
考点1 考点2 考点3
(方法二)由
sin��-cos�� = √2, sin2�� + cos2�� = 1,
得 2cos2α+2√2cos α+1=0,
即(√2cos α+1)2=0,
所以 cos α=-√22. 又 α∈(0,π),所以 α=34π, 所以 tan α=tan3π=-1.
= t1a-nta2n��2+��1.
co s 2��
∵tan
α=-43,∴co
s2

2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变形1同角三角函数的基本关系练习含解析北师大版必修

＝ cos 2x－sin 2x cos 2x＋sin 2x
cos 2x－sin 2x 1－tan 2x
＝
＝
＝右边，所以等式成立．
cos 2x＋sin 2x 1＋tan 2x
三测学业达标
1．解析：因为 sin α＝－ 5 ，α为第四象限角，所以 cos α＝ 1－sin2α＝12，所以
13
13
tan
-5-
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16．已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根为 sin θ和 cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)m 的值； (2)方程的两根及θ的值．
§1 同角三角函数的基本关系
一测基础过关
填一填
(1)1 1 (2)正切 tan α
sin 130°＋ cos2130°
|sin 130°－cos 130°| ＝
sin 130°＋|cos 130°|
sin 130°－cos 130°
＝
＝1.
sin 130°－cos 130°
8．解析：因为左边 cos22x＋sin22x－2sin 2xcos 2x
＝ cos22x－sin22x cos 2x－sin 2x 2
D．α是第二象限角时，tan α＝－sin α cos α
1－sin2x 1－cos2x
8．函数 y＝
＋
的值域是( )
cos x
sin x
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
二、填空题
2 9．若 sin θ＝－，tan θ>0，则 cos θ＝________.
2
12

第3篇第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式-(北师大版)PPT教学课件

诊断基础知识
8突破高频考点
培养解题能力
考点一同角三角函数基本关系式的应用
【例
1】
(1)已知
tan
α＝2，则24ssiinn
α－3cos α－9cos
αα＝____________，
4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________.
(2)(2014·西工大附中模拟)已知 sin θ·cos θ＝18，且4π＜θ＜π2，
2021/01/21
诊断基础知识
5突破高频考点
培养解题能力
2．对诱导公式的认识
(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．
(√ )
(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其
中的奇、偶是指
π 2
的奇数倍和偶数倍，变π＋α和α终边关于y轴对称．
( ×)
θ－sin
θ＝－
3 2.
答案
(1)－1
1
(2)－
3 2
2021/01/21
诊断基础知识
11突破高频考点
培养解题能力
规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
2021/01/21
诊断基础知识
20 突破高频考点
培养解题能力
【训练 2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋ tan(－1 089°)tan(－540°)＝________. (2)化简：tancoπs＋－ααc－os32ππs＋inα－si3nπα－－α32π＝________.

超实用高考数学复习(北师大版)：第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式

第三章三角函数、解三角形
第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式
距离高考还有一段时间，不少有经验的老师都会提醒考生，愈是临近高考
，能否咬紧牙关、学会自我调节，态度是否主动积极，安排是否科学合理，能不能保持良好的心态、以饱满的情绪迎接挑战，其效果往往大不一样。以下是本人从事10多年教学经验总结出的超实用新高考数学专题复习讲义希望可以帮助大家提高答题的正确率，希望对你有所帮助，有志者事竟成！
(2)已知 cos α＝k，k∈R，α∈π2，π，则 sin α＝(
)
A．－ 1－k2
B． 1－k2
C．± 1－k2
D． 1＋k2
[解析] 由 cos α＝k，k∈R，α∈π2，π，可知 sin α>0, cos α=k,所以 sin α＝ 1－k2.
[答案] B
在本例(1)中，如果只知 sin α＝－153，则 tan α＝________．答案：±152
k
为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在
π k·2
＋α 中，将 α 看成锐角时 k·π2＋α 所在的象限．
2．两个注意 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论． (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论． 3．两个推广
tan(π2－α)＝csoins αα，tan(π2＋α)＝－csoins αα.
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难 ”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30 天冲刺复习方法。

高考复习数学(北师大版)第3章第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于( ) A ．－513B ．－1213C ．513 D ．1213B [∵sin α＝513，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]3．(2017·陕西质检(二))若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )【导学号：66482140】A ．－15B ．－35C ．15D ．35B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1＝－35，故选B.]4．(2016·四川高考)sin750°＝________. 12 [sin750°＝sin(750°－360°×2)＝sin30°＝12.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－45.](1)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为()A．－32B．32C．－34D．34(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B．4825C．1D．16 25(1)B(2)A[(1)∵5π4＜α＜3π2，∴cosα＜0，sinα＜0且cosα＞sinα，∴cosα－sinα＞0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝3 2.(2)∵tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sin αcos αsin2α＋cos2α＝1＋4tan αtan2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎪⎫342＋1＝6425.][规律方法] 1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin 2α.[变式训练1] 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1A [由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4， ∴tan α＝tan 3π4＝－1.](1)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )【导学号：66482141】A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.(1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.][规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值为________.【导学号：66482142】－2＋33 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.](1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.(2)(2017·郑州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值为________．(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－17＝335.][规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[变式训练3] (2016·安徽皖南八校联考)已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.24 [∵sin α＝13，α是第二象限角， ∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24.][思想与方法]三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．(4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．。

2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第三章第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式

课时作业 A 组——基础对点练1．若cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( ) A ．－24B.24C ．－2 2D ．2 2解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－232， ∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案：C2．sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1D.33 解析：sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32. 答案：A3．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25B ．－15C.15D.25解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α＝15.故选C.答案：C4．已知角α(0°≤α＜360°)终边上一点的坐标为(sin 235°，cos 235°)，则α＝( ) A ． 215° B ．225° C ．235°D ．245°解析：由诱导公式可得sin 235°＝－sin 55°＜0，cos 235°＝－cos 55°＜0，角α终边上一点的横坐标、纵坐标均为负值，故该点在第三象限，由三角函数定义得sin α＝cos 235°＝－cos 55°＝sin(270°－55°)＝sin 215°，又0°≤α＜360°，所以角α的值是215°，故选A. 答案：A5．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝1 －2sin αcos α＝2，∴2sin α·cos α＝－1，∴sin 2α＝－1.故选A. 答案：A6．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°＞sin 33°＝a ， ∴b ＞a .又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°＞sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c ＞b .∴c ＞b ＞a .故选C. 答案：C7．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32 C.12 D ．－12解析：因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2<α<0，所以sin α＝－32. 答案：B8．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：原式可化为sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，分子、分母同除以cos θ得tan θ＋1tan θ－1＝12，求得tan θ＝－3，故选D. 答案：D9．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23B ．－23C.13 D ．－13解析：∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ ＝169，∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4.故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B. 答案：B10．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3. 答案：D11.cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝________.解析：原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.答案： 312．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝_________________________________. 解析：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α. 答案：－cos 2α13．若角θ满足2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，求tan θ的值．解析：由2cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin (π＋θ)－3cos (π－θ)＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cosθ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1. B 组——能力提升练1．若1＋cos αsin α＝2，则cos α－3sin α＝( )A ．－3B ．3C ．－95D.95解析：∵1＋cos αsin α＝2，∴cos α＝2sin α－1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋(2sin α－1)2＝1⇒5sin 2α－4sin α＝0⇒sin α＝45或sin α＝0(舍去)，∴cos α－3sin α＝－sin α－1＝－95.故选C.答案：C2．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2 015π2－2α的值为( ) A.45 B ．－45C ．2D ．－12解析：由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝⎛⎭⎫2 015π2－2α＝－sin 2α ＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45.故选B.答案：B3．(2018·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程 4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：由题意知，sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m 4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.答案：B4．已知t an θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，把tan θ＝2代入得，原式＝4＋2－24＋1＝45.故选D. 答案：D5．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74 ①， sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.答案：D6．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( ) A.103B ．－103C.1013 D ．－1013解析：直线x －3y ＋1＝0的斜率为13，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，∴23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[(－3)2＋1]3×(－3)2－1＝1013. 答案：C7．4sin 80°－cos 10°sin 10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2D ．22－3解析：4sin80°－cos 10°sin 10°＝4sin 80°sin 10°－cos 10°sin 10°＝2sin 20°－cos 10°sin 10°＝2sin (30°－10°)－cos 10°sin 10°＝－3，故选B.答案：B8．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32C ．0D ．－12解析：由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫ 236π＝f ⎝⎛⎭⎫116π＋2π＝f ⎝⎛⎭⎫116π＝f ⎝⎛⎭⎫π＋56π ＝f ⎝⎛⎭⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x ＜π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫236π＝0＋12＝12. 答案：A9．已知锐角θ满足sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫θ＋5π6的值为( ) A ．－19B.459 C ．－459D.19解析：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝23，由θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得θ2＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝53，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝459，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝－459.故选C. 答案：C10．tan θ和tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 之间的关系是( ) A ．p ＋q ＋1＝0 B ．p －q －1＝0 C ．p －q ＋1＝0D ．p ＋q －1＝0解析：依题意有p ＝－⎣⎡⎦⎤tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，q ＝tan θ·tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，化简得p ＝－tan 2θ＋1tan θ＋1，q ＝tan θ－tan 2θ1＋tan θ，故p －q ＝－1，即p －q ＋1＝0.故选C.答案：C11．已知α为锐角，若sin 2α＋cos 2α＝－15，则tan α＝( )A ．3B ．2 C.12D.13解析：因为sin 2α＋cos 2α＝－15，所以两边平方可得1＋2sin 2αcos 2α＝125，即sin 2αcos 2α＝－1225，所以联立sin 2α＋cos 2α＝－15，可得sin 2α＝35，cos 2α＝－45，所以tan 2α＝－34，再由tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得tan α＝3或tan α＝－13，因为α为锐角，所以tan α>0，所以tan α＝3，故选A. 答案：A12．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－113．(2018·泰安模拟)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，求sin θ＋cos θ的值．解析：法一：由tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，得1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，则cos θ＝－3sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得10sin 2θ＝1.∵θ为第二象限角，∴sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－105. 法二：由于θ在第二象限，且tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－105.。

高三数学一轮复习第3章三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式精品课件文北师大.ppt

方法二(同除转化)： (1)原式＝5ttaannαα－＋42＝5×2－2＋4 2＝－16； (2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sin2sαin＋2α2＋sincoαsc2αos α ＝tant2aαn＋2α＋2ta1n α＝85.
【变式训练】
1.若3sin
α＋cos
α＝0，则
1 cos2 α＋sin 2α
∴2sin
αcos α－cos 1－tan α
α＋1＝cos
α2sin αcos α－cos cos α－sin α
α＋1
＝
5545－－
55＋1＝ 5 5
55－95.
1．在利用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简、证明时：
(1)如果函数种类比较多，可考虑切化弦；
(2)要特别注意平方关系的使用，如“1”的代换技巧和消去等．
解析： ∵sin(3π＋α)＝2sin32π＋α， ∴－sin α＝－2cos α， ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. 方法一(直接代入)： (1)原式＝5×2c2ocsoαs－α＋4c2ocsoαs α＝－16； (2)原式＝sins2iαn＋2α2＋sicnoαsc2oαs α＝ssiinn22αα＋＋14ssiinn22αα＝85.
π 2
±α是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；主要是
诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差
角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同
时，注重考查等价转化的思想方法．
(2010·全国卷Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝( )
2．诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角“

三维1高考总复习北师大数学文配套课件：第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱

(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ 的关系进行
变形、转化．
(3)
巧
用
“1”的变
换
：
1＝
sin2θ
＋
cos2θ＝cos2θ(1
＋
tan2θ)
＝
π tan 4
＝….
[练一练]
1．已知sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 (
)
A．－π6
答案：
3 2
3．已知tanπ6－α＝ 33，则tan56π＋α＝________.
解析：tan56π＋α＝tanπ－π6＋α
＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－ 33.
答案：－
3 3
4.tancoπs＋－ααc－os3π2πs＋inα－si3nπ－α－α32π＝________. 解析：原式＝tacnosαc3oπs＋ααsin[－－s2inπ＋3π＋α＋απ2]
利用csions αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． 2．应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin
αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
B．－π3
π
π
C.6
D.3
解析：∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－ 3cos θ，∴tan θ＝ 3.
∵|θ|<π2，∴θ＝π3.
答案：D

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